4 Funksjoner og andregradsuttrykk
|
|
- Ina Lorentzen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 4 Funksjoner og andregradsuttrkk KATEGORI Funksjonsbegrepet Oppgave Regn ut f (0), f () og f (4) når a) f () = + b) f () = 4 c) f () = + 5 d) f () = 3 3 Oppgave f() = f () a) Kontroller de utregnede funksjonsverdiene i tabellen. b) Fll ut tabellen. c) Tegn grafen til f. Oppgave 4.11 Regn ut g( 1), g(1) og g(3) når a) g() = b) g() = c) g() = Oppgave Vi har tegnet grafen til funksjonen f f 1 3 Bruk grafen til å finne a) 1) f (0) ) f () b) Løs likningen f () = 0 c) Finn verdimengden til f. 315
2 Oppgave a) Bruk grafen til funksjonen f til å finne 1) f (0) ) f ( 1) b) Løs grafisk likningen f () = 3 c) Finn verdimengden til f. Oppgave En funksjon g er gitt ved g() = 4 a) Tegn grafen til g. b) Løs grafisk likningen g() = 5 c) Finn verdimengden til g. f Oppgave 4.11 f () = + 8 a) Tegn grafen til f. Velg [ 5, 4] når du tegner grafen. b) Bruk grafen til å finne 1) nullpunktene til f ) toppunktet til f c) Finn verdimengden V f. Oppgave 4.1 En funksjon f er gitt ved f() = 3 4 a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktet til f. d) Finn bunnpunktet til f. Oppgave 4.13 En funksjon f er gitt ved f() = a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktet til f. d) Finn bunnpunktet til f. 4. Nullpunkter, bunnpunkter og toppunkter Oppgave 4.10 f () = a) Tegn grafen til f. Velg [0, 6] når du tegner grafen. b) Bruk grafen til å finne 1) nullpunktene til f ) bunnpunktet til f c) Finn verdimengden V f. 4.3 Andregradslikninger med to ledd Oppgave Løs om mulig likningene. a) = 5 b) 100 = 0 c) = 7 d) + 4 = 0 Oppgave Løs likningene. a) ( 3) = 0 b) ( + 4) = 0 c) 81 = 0 d) (5 10) = Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrkk
3 Oppgave 4.13 Løs om mulig likningene. a) = 11 b) 7 = 0 c) + 8 = 0 d) + 8 = 0 Oppgave Løs likningen grafisk og ved regning. 4 = 0 Oppgave Løs likningen grafisk og ved regning. 4 = Andregradsformelen Oppgave Bruk andregradsformelen og løs likningene. a) = 0 b) = 0 c) 8 = 0 d) = 0 e) 4 = 0 f) + 4 = 0 Oppgave Løs om mulig likningene. a) + 8 = 0 b) = 0 c) + 3 = 0 d) = 0 e) = 0 Oppgave 4.14 f () = 6 16 a) Tegn grafen til f digitalt. Velg mellom 3 og 9 og mellom 30 og 0. b) Finn nullpunktene til f ved regning. c) Kontroller svaret i oppgave b ved å løse likningen 6 16 = 0 grafisk med et digitalt hjelpemiddel. 4.5 Praktisk bruk av andregradslikninger Oppgave I en trekant er høden 4 cm lengre enn grunnlinja. Arealet av trekanten er 16 cm. Finn lengden av grunnlinja og høden i trekanten. Oppgave Et jordstkke har form som et rektangel. Den lengste siden er 14 m lengre enn den korte. Arealet er 147 m. Hvor lange er sidene? 4.6 Ikke-lineære likningssett Oppgave Løs likningssettene ved regning. a) = b) = 6 = 1 = 8 c) = d) = 5 4 = 0 3 = 5 Oppgave a) Løs likningssettet ved regning. = 1 + = 8 b) Sidene i rektangelet nedenfor har lengdene og. Arealet av rektangelet er 1 cm, og omkretsen er 16 cm. 1) Forklar at likningssettet i oppgave a kan brukes til å finne lengden av sidene i rektangelet. ) Finn lengden av sidene. 317
4 Oppgave 4.16 Løs likningssettene ved regning. a) + = 4 b) = 1 = + 1 = Nullpunkter og faktorisering Oppgave Faktoriser ved hjelp av nullpunktene. a) 3 + b) c) + 3 d) Oppgave Faktoriser om mulig ved hjelp av nullpunktene. a) b) + + c) 8 d) Oppgave 4.17 Finn et andregradsuttrkk som har nullpunktene a) = og = 9 b) = 4 og = Andregradsulikheter Oppgave Løs ulikhetene ved bruk av fortegnslinjer. a) ( 1)( + ) > 0 b) ( + 1) < 0 c) ( 3)( + 3) < 0 d) ( ) > 0 Oppgave Faktoriser uttrkkene og løs ulikhetene. a) < 0 b) + 3 > 0 c) 4 > 0 d) 16 < 0 Oppgave 4.18 a) Vis at 4 1 = ( + )( 6) b) Løs ulikheten 4 1 > 0. Oppgave a) Faktoriser andregradsuttrkket + 6 ved hjelp av nullpunktene. b) Løs ulikheten ved å bruke fortegnslinjer. + 6 < 0 Oppgave a) Vis at = ( 3)( + 5) b) Løs ulikheten > Rasjonale funksjoner Oppgave Finn nullpunktet og bruddpunktet til funksjonen f. a) f() = 3 b) f() = + 3 Oppgave En funksjon f er gitt ved f() = a) Finn bruddpunktet til f. b) Finn nullpunktet til f. c) Tegn grafen til f digitalt når er mellom 4 og 4. d) Hva skjer med funksjonsverdiene for store tallverdier av? Hva blir likningen for den horisontale asmptoten? e) Tegn den horisontale asmptoten sammen med grafen til f digitalt. 318 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrkk
5 Oppgave 4.19 Vi har tegnet grafen til en rasjonal funksjon f a) Bruk grafen og finn nullpunktet til f. b) Bruk grafen og angi bruddpunktet til f. c) Funksjonsuttrkket til f er f() = 1 Finn nullpunktet og bruddpunktet ved å bruke funksjonsuttrkket til f. d) Hva skjer med funksjonsverdiene for store tallverdier av? Hva blir likningen for den horisontale asmptoten? Oppgave En funksjon f er gitt ved f() = + 1 a) Finn bruddpunktet til f. b) Finn nullpunktet til f. c) Tegn grafen til f digitalt når er mellom 5 og 3. d) Hva skjer med funksjonsverdiene for store tallverdier av? Hva blir likningen for den horisontale asmptoten? e) Tegn den horisontale asmptoten sammen med grafen til f digitalt. f KATEGORI 4.1 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.10 f () = 4 +1 Regn ut f (0), f (), f (4) og f ( 1). Oppgave 4.11 Regn ut f (), f (0) og f ( ) når a) f () = 3 b) f () = c) f () = + 1 d) f () = + Oppgave 4.1 Finn konstanten b når f () = g(3). a) f () = + b g() = b) f () = + b g() = b + c) f () = + b g() = b + 6 Oppgave 4.13 Hvilke av kurvene nedenfor og på neste side er grafer til funksjoner? a)
6 b) c) d) Nullpunkter, bunnpunkter og toppunkter Oppgave 4.0 En funksjon f er gitt ved f() = a( 5) der a er en konstant. a) Finn nullpunktene til f. b) 1) Tegn grafen til f når a = 1. ) Finn koordinatene til bunnpunktet. c) 1) Tegn grafen til f når a = 1. ) Finn koordinatene til toppunktet. Oppgave 4.1 Minimumstemperaturen i vinterhalvåret følger ofte modellen T() = , [0, ] 5 T() er temperaturen målt i celsiusgrader i uke nr., der = 0 tilsvarer uka midt i november. a) Tegn grafen til T. b) Når har vi lavest minimums temperatur? Hva er temperaturen da? c) Kan modellen også gjelde for uke nr. 30 (midten av juni)? Oppgave 4.14 a) Tegn grafen til funksjonen g gitt ved g() = + b) Løs likningen g() = 0. c) Finn verdimengden til g. Oppgave 4.15 a) Tegn grafen til h() = b) Løs likningen h() = 4. c) Finn verdimengden til h. Oppgave 4. f() = 3 + 6, D f = 7, a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktet og bunnpunktet til f. d) Finn verdimengden til f. Oppgave 4.3 a) Tegn grafen til funksjonen f gitt ved f () = 3 b) Finn nullpunktene til f. c) Finn koordinatene til toppunktet. d) Finn koordinatene til bunnpunktet. 30 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrkk
7 Oppgave 4.4 f () = 4 4 a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn koordinatene til toppunktet. d) Finn koordinatene til bunnpunktene. 4.3 Andregradslikninger med to ledd Oppgave 4.30 Løs likningene. a) = 50 b) 3 1 = 0 c) = 0 d) + 3 = 0 Oppgave 4.31 Løs likningene. a) + 1 = 3 b) = 9 c) 4 = 16 d) ( 5) ( + 1) = 0 Oppgave 4.3 Løs om mulig likningene. a) 4 = 4 b) = 0 c) = 1 d) = 0 Oppgave 4.33 a) Vis at ( 1)( 9) = b) Løs likningen = 0 Oppgave 4.34 I en trekant er høden tre enheter lengre enn grunnlinja. Arealet av trekanten er lik arealet av et kvadrat med like lange sider som grunnlinja i trekanten. Finn arealet av kvadratet. 4.4 Andregradsformelen Oppgave 4.40 Løs likningene. a) + 8 = 0 b) = 0 c) = 0 d) = 0 e) = 0 f) = 0 Oppgave 4.41 Løs likningene. a) = 0 b) = 0 c) = 0 d) = 0 Oppgave 4.4 Løs om mulig likningene. a) = 0 b) = 0 c) = 0 d) ( 1) + 4( 1) + 4 = 0 Oppgave 4.43 f () = a) Bestem nullpunktene til f ved regning. b) Tegn grafen til f og kontroller utregningen i oppgave a. Oppgave 4.44 a) Gitt andregradslikningen + p + q = 0 Vis at løsningene av likningen er = p ± ( p ) q Hva slags krav må vi stille til p og q for at likningen skal få løsninger? b) Bruk formelen i oppgave a og løs andregradslikningene. 1) = 0 ) = 0 31
8 3 4.5 Praktisk bruk av andregradslikninger Oppgave 4.50 a) I et rektangel er den ene siden 3 cm lengre enn den andre siden. Arealet av rektangelet er 70 cm. Finn sidene i rektangelet. b) I en trekant er høden 5 cm kortere enn grunnlinja. Arealet av trekanten er 4 cm. Finn høden og grunnlinja i trekanten. c) I en rettvinklet trekant er den ene kateten cm kortere enn den andre kateten. Hpotenusen er 10 cm. Finn lengden av katetene. Oppgave 4.51 Lasse har normalt en kroppstemperatur på 37 C. En dag pådrog han seg en kraftig influensa. Etter t timer var kroppstemperaturen (t) målt i celsius grader (t) = t t + 37 a) Tegn grafen for de fem første dagene av skdomsperioden. Bruk fornuftige enheter på aksene. b) Finn grafisk når feberen var på det høeste. Hva var kropps temperaturen da? c) Finn ved regning hvor lenge kroppstemperaturen var over det normale. d) Finn ved regning når kroppstemperaturen var 38,9 C. Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrkk Oppgave 4.5 En stein blir kastet opp i lufta med utgangsfarten 10 m/s fra et punkt som er 5 m over bakken. Høden målt i meter over bakken kan da bestemmes ved funksjonen h(t) = 5t + 10t + 5 der t er tida målt i sekunder fra kastøeblikket. a) Tegn grafen til h i et koordinatsstem. Velg t [0,,5]. b) Hvor høt kommer steinen over bakken? c) Hvor lang tid bruker steinen opp til det høeste punktet i banen? d) Finn ved regning hvor lang tid steinen bruker fra kastøeblikket til den treffer bakken. Oppgave 4.53 På grunn av snøsmelting om våren kan vannføringen i elva i Lillevik bli stor. Under en flom et år ble vannstanden i elva målt med jevne mellomrom fra et bestemt målepunkt. Vannstanden i meter dager ut i april var gitt ved V() = 0,03 + 0,7 + 8, [0, 4] a) Tegn grafen til V. b) Når var vannstanden på sitt høeste? Hva var vannstanden da? c) Finn grafisk når vannstanden i elva var 10,4 m. d) Finn ved regning når vannstanden i elva var 10,4 m. 4.6 Ikke-lineære likningssett Oppgave 4.60 Løs likningssettene. a) + = 1 b) = 3 + = 3 3 = 8 c) = 1 d) + = = 1 1 =
9 Oppgave 4.61 Tre brødre er til sammen 10 år. To av dem er tvillinger. Differansen mellom produktet av alderen til tvillingene og alderen til broren deres er Finn alderen til de tre brødrene. Oppgave 4.6 To kvadrater har til sammen arealet 410. Når vi legger sammen omkretsene av de to kvadratene, får vi 104. Finn sidene i de to kvadratene. Oppgave 4.63 Figuren viser en trekantet tomt ABC der vinkelen C er 90. AB er 70 m, og omkretsen av tomta er 168 m. A C 70 m a) Vis at og passer i likningssettet + = = 98 og løs likningssettet. b) Finn arealet av tomta. 4.7 Nullpunkter og faktorisering Oppgave 4.70 Faktoriser uttrkkene ved hjelp av nullpunktene. a) b) c) a + a 15 d) Oppgave 4.71 Faktoriser uttrkkene mest mulig. a) 1 b) c) 5t 0 d) + 3 B Oppgave 4.7 Faktoriser disse uttrkkene hvis det lar seg gjøre. a) 9 3 b) c) t 4 3 t + 4 d) s s 7s 4.8 Andregradsulikheter Oppgave 4.80 Løs ulikhetene ved regning. a) 4 < 0 b) ( 1)( ) > 0 c) < 0 d) > 0 Oppgave 4.81 Løs ulikhetene ved regning. a) + > 15 b) < 0 c) + 3 > 1 d) < 0 e) 5 15 > + 3 f) < 3 4 Oppgave 4.8 Vi kaster en ball rett opp i lufta. Etter t sekunder har ballen høden h (i meter over utgangspunktet) gitt ved h = 10t 4,9t Når er ballen mer enn,0 m over utgangspunktet? 4.9 Rasjonale funksjoner Oppgave 4.90 For hver av funksjonene nedenfor skal du 1) tegne grafen digitalt ) finne nullpunktet 3) finne bruddpunktet 4) finne den horisontale asmptoten a) f() = b) f() =
10 Oppgave 4.91 En funksjon g er gitt ved g() = 3 1 a) Tegn grafen til g digitalt. b) Finn bruddpunktet til g. c) Linja = er en skrå asmptote til g. Se om det kan stemme ved å tegne linja i det samme koordinatsstemet som du tegnet grafen til g. Oppgave 4.9 En funksjon h er gitt ved h() = a) Tegn grafen til h digitalt. b) Finn bruddpunktet til h. c) Linja = 1 1 er en skrå 4 asmptote til h. Se om det kan stemme ved å tegne linja i det samme koordinatsstemet som du tegnet grafen til h. Oppgave 4.93 I funksjonsuttrkket f() = + a b + c er a, b og c konstanter. Finn a, b og c når f har et nullpunkt for =, bruddpunkt for = 1 og en horisontal asmptote = 1. Oppgave 4.94 a) f() =, D f = 0, 1) Tegn grafen til f. La 1 cm på første aksen svare til og la 1 cm på andreaksen svare til. ) Løs likningen f() = 6,5 grafisk. b) En bank gir 5,5 % rente per år på spare beløp til og med kr. På det beløpet som overstiger kr, gir banken 7,0 % rente per år. Vi setter kr i banken ved årsskiftet. Pengene står urørt i ett år. 1) Regn ut rentene det første året. Hva blir den gjennomsnittlige rentefoten det første året? Vi setter kroner i banken ved årsskiftet, der > ) Vis at den gjennomsnittlige rentefoten det første året er ) Hvor me må vi sette i banken for at den gjennomsnittlige rentefoten skal bli 6,4 % det første året? BLANDEDE OPPGAVER Oppgave De fleste biler slipper ut klimagassen CO. Mengden av gass som slippes ut, er blant annet avhengig av den farten bilen har. For en bestemt bil med farten v km/h er utslippet U(v) av CO, målt i gram per kilometer (g/km), gitt ved U(v) = 0,05v 7,5v + 40 Finn når utslippet er mindre enn 170 g/km ved å løse en ulikhet. Ulikheten skal løses ved regning. 34 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrkk
11 Oppgave f() = a der a er en konstant. a) Sett a = 1. 1) Tegn grafen til f. ) Finn nullpunktene til f. 3) Finn bunnpunktet til f. 4) Finn verdimengden til f. b) Sett a = 1. 1) Tegn grafen til f. ) Finn toppunktet til f. 3) Finn verdimengden til f. c) La a ha forskjellige verdier og tegn hver gang grafen til f. Hvilket fortegn må konstanten a ha for at grafen til f skal ha 1) et bunnpunkt ) et toppunkt Oppgave 4.30 En funksjon f er gitt ved f() = + a 8 der a er en konstant. a) Sett a =. 1) Tegn grafen til f. ) Finn nullpunktene til f. 3) Finn bunnpunktet til f. 4) Finn verdimengden til f. b) Sett a =. 1) Tegn grafen til f. ) Finn nullpunktene til f. 3) Finn bunnpunktet til f. 4) Finn verdimengden til f. c) La a ha ulike verdier og tegn hver gang grafen til f. Finn ut hvordan bunnpunktet forskver seg med ulike verdier av a. Oppgave a) Gitt andregradslikningen a + b = 0 Vis at eventuelle løsninger kan skrives = a ± a b Når har likningen løsninger? b) Bruk formelen i oppgave a og løs likningene 1) 3 = 0 ) = 0 Oppgave En rasjonal funksjon f er gitt ved f() = a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktet til f. c) Finn bruddpunktet til f. d) Finn ut hva som skjer med grafen for store verdier av. Hva blir likningen for asmptoten? Oppgave På Blåfjell var snødbden 150 cm den 31. mars. dager ut i april var snødbden centimeter, der = 0, a) Finn ved regning snødbden på Blåfjell 5. april. b) Tegn grafen. c) Finn grafisk når i april snødbden var på det laveste. Hva var snødbden da? d) Finn grafisk og ved regning når snødbden var 70 cm. 35
12 Oppgave Løs ulikhetene ved regning. a) 7 8 < 0 b) 4 < 0 c) 10 > 1 d) > 0 Oppgave Bestem a slik at brøken kan forkortes a Oppgave Summen av nullpunktene til en andregrads funksjon er 11, og produktet av nullpunktene er 30. a) Finn nullpunktene. b) Finn en andregradsfunksjon f som har disse nullpunktene. Oppgave En rasjonal funksjon f er gitt ved f() = + a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktet til f. c) Finn bruddpunktet til f. d) Finn ut hva som skjer med grafen for store verdier av. Oppgave Grafen til funksjonen f () = a + b + c skjærer andreaksen i verdien 6. Funksjonsuttrkket til f har dessuten tre faktorer med disse fortegnslinjene: a) Løs ulikheten f () < 0. b) Bestem konstantene a, b og c. c) Løs om mulig ulikheten f () > 8. 0 Oppgave a) Løs andregradslikningene. 1) + 3 = 0 ) 3 = 0 b) 1) Bruk metoden med fullstendige kvadrater til å faktorisere ) Løs = 0 uten bruk av andregrads formelen. Oppgave 4.31 I reklame for slankeplaster finner vi påstander om vekttapet ved bruk av slike plaster. Blant annet står det at vekten f () til en mann, målt i kilogram etter dager med plaster, med god tilnærming kan beskrives med funksjonen f () = 0,0018 0,30 + a, [0, 60] der a er startvekten i kilogram til mannen. Sett a = 98. a) Regn ut f (10), f (30) og f (60). b) Tegn grafen til f. c) Finn ved regning når mannen veier 87,5 kg. d) Vurder om modellen kan holde ut over de første 60 dagene. Oppgave Trapeset nedenfor har en omkrets på a) Vis at det fører fram til likningssettet + = = 7 b) Løs likningssettet. 36 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrkk
13 Oppgave Faktoriser andregradsuttrkkene. a) b) + 4 c) 8 0 d) Oppgave f() = a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktet til f. d) Finn bunnpunktet til f. Oppgave Løs om mulig andregradslikningene. a) + 16 = 0 b) = 0 c) 3 = 0 d) ( ) 5 = 0 Oppgave En rasjonal funksjon f er gitt ved f() = 1 a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn bruddpunktet til f. d) Linja = + 1 er en skrå asmptote til f. Se om det kan stemme ved å tegne linja i det samme koordinatsstemet som du tegnet grafen til f. Oppgave a) Produktet av to partall som følger etter hverandre, er 78. Finn tallene. b) Mellom to oddetall og er det nøaktig ett oddetall. Produktet av og er 61. Finn og. Oppgave I trekanten ABC er AC = BC. Høden DC i trekanten er 16, og grunnlinja AB = 1. I trekanten ABC har vi innskrevet et rektangel EGHF med sider og slik figuren viser. A F E C D G a) Hvilken geometrisk sammenheng er det mellom ABC og FHC? b) Bruk oppgave a og vis at vi kan skrive H = 1 c) Bruk likningen i oppgave b og finn uttrkt ved. d) 1) Vis at arealet A() av det innskrevne rektangelet kan skrives A() = ) Tegn grafen til A i et koordinatsstem. 3) Finn grafisk den største verdien dette arealet kan ha. B 37
14 4.113 a) 1) f (0) = 3 ) f () = 5 b) = 3 eller = 1 c) V f = [ 4, a) 1) f (0) = 0 ) f ( 1) = 5 b) = 1 eller = 3 c) V f =, 4] b) = 1 eller = 5 c) V g = [ 4, 4.10 b) 1) = og = 4 ) (3, 1) c) V f = [ 1, 4.11 b) 1) = 4 og = ) ( 1, 9) c) V f =, 9] 4.1 b) = 0 og = 4 c) (0, 0) d) (,67, 9,48) 4.13 b) = 0 og = ± c) (1,15, 3,08) d) ( 1,15, 3,08) a) = ±5 b) = ±10 c) = ±6 d) Ingen løsning a) = 0 eller = 3 b) = 0 eller = 4 c) = ±9 d) = 0 eller = 4.13 a) = ±11 b) = 0 eller = 7 c) Ingen løsning d) = 0 eller = = eller = = 0 eller = a) = 1 eller = 4 b) = eller = 4 c) = eller = 4 d) = 10 eller = 15 e) = 6 eller = 4 f) = 4 eller = a) = 4 eller = b) = 3 eller = 5 c) = 3 eller = 1 d) = 3 e) Ingen løsning 4.14 b) = og = Grunnlinja er 4 cm, og høden er 8 cm Sidene er 7 m og 1 m a) = 1 og = 1 b) = og = 4 eller = 4 og = c) = 0 og = 0 eller = 4 og = 16 d) = 5 og = 0 eller = og = a) = og = 6 eller = 6 og = b) ) Lengdene er cm og 6 cm a) = 1 og = 3 eller = 3 og = 5 b) = 1 og = a) ( 1)( ) b) ( )( 4) c) ( 1)( + 3) d) ( + )( + 5) a) ( ) b) Umulig c) ( + )( 4) d) Umulig 4.17 a) For eksempel b) For eksempel 0 433
15 a) < eller > 1 b) 1 < < 0 c) 3 < < 3 d) < 0 eller > a) 0 < < b) < 3 eller > 0 c) < 0 eller > 4 d) 4 < < b) < eller > a) + 6 = ( + 3)( ) b) 3 < < b) < 5 eller > a) Nullpunkt: = 3 Bruddpunkt: = b) Nullpunkt: = 0 Bruddpunkt: = a) = 0 b) = d) Funksjonsverdiene nærmer seg 1. Asmptote: = a) = 1 b) = c) = 1, = d) Funksjonsverdiene nærmer seg 1. Asmptote: = a) = 1 b) = 0 d) Funksjonsverdiene nærmer seg. Asmptote: = 4.10 f (0) = 1, f () = 1, f (4) = 17 og f ( 1) = a) f () = 4, f (0) = 0 og f ( ) = 1 b) f () = 1, f (0) = 1 og f ( ) = 5 c) f () = 3, f (0) = 0 og f ( ) = d) f () =, f (0) = og f ( ) = a) b = 0 b) b = 1 c) b = a) Ikke funksjon b) Funksjon c) Ikke funksjon d) Funksjon 4.14 b) = 0 eller = c) V g = [ 1, 4.15 b) = eller = 0 c) V h =, a) = 0 og = 5 b) ) (,5, 6,5) c) ) (,5, 6,5) 4.1 b) Begnnelsen av februar (uke nr. 10); 1 C c) T(30) = 5 C, lite sannsnlig 4. b) = 0 og = 6 c) Toppunkt: ( 4, 3) Bunnpunkt: (0, 0) d) V f = 49, b) = 0, = 1 og = 1 c) (0,58, 0,38) d) ( 0,58, 0,38) 4.4 b) = 0, = ± c) (0, 0) d) ( 1, ) og (1, ) 4.30 a) = ±5 b) = 0 eller = 4 c) = ± 5 3 d) = 0 eller = a) = ± b) = 0 eller = 9 c) = ± d) = 1 eller = a) = 0 eller = 1 b) Ingen løsning c) = ± 1 d) = 0 eller = 4.33 b) = 1 eller = a) = 4 eller = b) = 3 eller = 4 c) = 10 eller = 15 d) = 5 eller = 1 e) = eller = 5 f) = 7 eller = a) = 1 eller = 3 b) = 5 c) = 1 3 eller = 1 d) = a) = 0 eller = 3 5 b) Ingen løsning c) Ingen løsning d) = a) = 1 og = b) 1) = 1 eller = 7 ) = 1 eller = 4.50 a) Sidene er 7 cm og 10 cm. b) Høden er 7 cm, og grunnlinja er 1 cm. c) Katetene er 6 cm og 8 cm b) Høeste temperatur etter 60 timer (=,5 døgn) Temperatur: 40 C c) 10 timer (= 5 døgn) d) Etter 4 timer og etter 96 timer 4.5 b) 10 m c) 1 s d),4 s
16 4.53 b) Vannstanden er høest 1. april, 1,3 m. c) 4. april og 0. april d) 4. april og 0. april 4.60 a) ( 1, ), (, 1) b) (, ), (4, 4) c) ( 4, 3), (3, 4) d) ( 3, 8) år, 38 år og 44 år og a) = 4 m og = 56 m, eller = 56 m og = 4 m b) 1176 m 4.70 a) ( 1)( 3) b) ( )( + 1) c) (a 3)(a + 5) d) ( + 4)( + 7) 4.71 a) ( 3)( + ) b) 3( + + ) c) 5(t )(t + ) d) ( 1)( + ) 4.7 a) 9 ( 3 )( ) b) Kan ikke faktoriseres c) ( t 3 ) d) s(s + 7)(s 1) 4.80 a) 0 < < b) 1 < < c) 1 < < 6 d) < 3 eller > a) < 5 eller > 3 b) < 1 eller > 10 c) 1 < < 1 d) 3 < < 1 3 e) < eller > 9 f) < 1 3 eller > , s < t < 1,8 s 4.90 a) ) = 1 3) = 1 4) = 1 b) ) = 1 3) = 1 4) = b) = 1 c) Grafen nærmer seg linja =. 4.9 b) = 1 c) Grafen nærmer seg linja = a =, b = 1, c = a) ) = b) 1) 9000 kr, 6,0 % 3) kr km/h < v < 100 km/h a) ) = 5 og = 1 3) (, 9) 4) [ 9, b) ) (, 1) 3), 1] c) 1) a > 0 ) a < a) ) = 4 og = 3) ( 1, 9) 4) [ 9, b) ) = og = 4 3) (1, 9) 4) [ 9, b) 1) = 1 eller = 3 ) = 8 eller = b) = 0,5 c) = 1 d) = a) 100 cm c) 15. april, 60 cm d) 10. april og 0. april a) 1 < < 8 b) < 0 eller > 4 c) 3 < < 3 d) 1 < < a = 5 eller a = a) = 5 og = 6 b) For eksempel f() = b) = 0 c) = 1 d) Grafen nærmer seg linja = a) < 1 eller > 3 b) a =, b = 4 og c = 6 c) Ingen løsning a) 1) = eller = 1 ) = 3 eller = 1 b) = 5 eller = 4.31 a) 95, kg, 90,6 kg, 86,5 kg c) Etter 50 dager b) = 5 og = a) ( 1)( 9) b) ( 4)( + 6) c) ( + )( 10) d) ( 3)( 7) b) = 0 og = 1,5 c) ( 1, 0,5) d) (0, 0) a) = 9 eller = 9 b) Ingen løsning c) = 0 eller = 1 3 d) = 3 eller = b) = 0 og = 0,5 c) = 1 d) Grafen nærmer seg linja =
17 4.318 a) 6 og 8 b) 3 og a) ABC er formlik med FHC. c) = d) 3) 48
1 Funksjoner og grafiske løsninger
Oppgaver Funksjoner og grafiske løsninger KATEGORI. Rette linjer Oppgave.0 Vi har gitt likningene for noen rette linjer. Fll ut tabellene og tegn de rette linjene i hvert sitt koordinatsstem. a) = 3 0
DetaljerFunksjoner og andregradsuttrykk
88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter
Detaljer2 Likningssett og ulikheter
Likningssett og ulikheter KATEGORI 1.1 Grafisk løsning av lineære likningssett Oppgave.110 Et lineært likningssett består av likningene for to rette linjer. De to rette linjene er tegnet i koordi natsystemet
DetaljerFunksjoner og andregradsuttrykk
4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) 8 v 6 Bruk trekanten ovenfor til å bestemme sinv. Oppgave ( poeng) Skriv så enkelt som mulig 4x 4 x x 1 Oppgave 3 ( poeng) Løs ulikheten x 4x 1 0 Eksamen MAT1013
DetaljerGrafer og funksjoner
14 4 Grafer og funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder omforme en praktisk problemstilling
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 2014
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 014 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform,5 10 3,0 10 15 5 15 ( 5) 10,5 3,0 10 7,5 10 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2009
Eksamen REA0 R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonene ) f x x 4 4 8 f x x x x x ) g x x
DetaljerEksamen REA3024 Matematikk R2
Eksamen 03.1.009 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:
DetaljerLøsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen
Løsningsforslag eksamen T våren 00 DEL Oppgave a) Funksjonen f er gitt ved f 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f 3 Grafen y 0 8 6 4-4 -3 - - 3 4 - -4 Nullpunkt 3 0 3 Nullpunkt når 3 b) Løs likningen
DetaljerEksamen R1, Va ren 2014, løsning
Eksamen R1, Va ren 014, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Deriver funksjonene a) f x lnx x Vi bruker
DetaljerLøsning eksamen R1 våren 2008
Løsning eksamen R våren 008 Oppgave a) f ( ) ln f ( ) ( ) ln (ln ) ln ln b) c) d) e) ( 4 6) : ( ) 4 6 6 0 64 ( 8) ( 8) 8 8 8 6 lim lim lim 8 8 6 8 ( 8) 8 lg( y ) lg y lg lg lg y lg y lg lg y lg lg y y
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL Uten hjelpemidler Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 5000000000 0,0005 Oppgave ( poeng) Løs likningen 6 Oppgave 3 ( poeng) Løs likningen lg( 3) 0 Oppgave 4 ( poeng) Løs ulikheten
Detaljer3 Formler, likninger og ulikheter
Formler, likninger og ulikheter KATEGORI 1.1 Likninger Oppgave.110 4 + 4x = x + 8 5x 6 = 4x 5 1 x = x + 1 d) x = x 5 Oppgave.111 x + x = x 4 5x = x 14 x 1 = 4x + 4 d) x + x = 0 Oppgave.11 x = 4x 10 x 8
DetaljerFunksjoner 1T, Prøve 1 løsning
Funksjoner 1T, Prøve 1 løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 Figuren viser utviklingen i en populasjon av harer på en øy fra 1880 til 000. a) Hvor mange harer var det på øya i 1880?
DetaljerOppgave 6. Tabellen nedenfor viser folketallet i en by fra 1960 til 2010. 1960 1970 1980 1990 2000 2010 35 000 41 000 43 000 47 000 48 000 56 000
GS3 Forberedelse til tentamen. Ark 38 Løsninger deles ut fredag 19. april. Oppgave 1. Løs ligningene og ulikhetene. a) + = 3 b) 3x > -9 6 (x + 3) c) 3 (x - ) = 2 - d) 3x < - (1 - ) Oppgave 2. Løs ligningssettet.
DetaljerFunksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner
Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den
DetaljerLøsningsforslag heldagsprøve våren 2012 1T
Løsningsforslag heldagsprøve våren 01 1T DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Skriv så enkelt som mulig x 9 x 6 Vi må faktorisere både teller og nevner. Så kan vi forkorte felles faktorer. Da får vi: x 9 x x 6 a) 4a4 b
DetaljerLøsning eksamen 1T våren 2010
Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x
DetaljerDel 1. Oppgave 1. a) Løs ulikheten 2x+ 4 4x+ b) Løs ulikheten. 1) Løs likningen f( x ) = 4 grafisk og ved regning.
Del 1 Oppgave 1 a) Løs ulikheten + 4 4+ 8 b) Løs ulikheten + > + + 10 10 5 c) Vi har gitt funksjonen f( ) = lg + 3. Figuren viser grafen til f. 7 6 5 4 3 1-1 1 3 4 5 6 7-1 1) Løs likningen f( ) = 4 grafisk
Detaljer1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4
3/8/06 T 0 høst LØSNING - matematikk.net T 0 høst LØSNING Contents Diskusjon av denne oppgaven Løsning av del Matteprat spørsmål om oppgave 6 del DEL EN Oppgave 5000000000 0, 0005 =, 5 0 0 5 0 =, 5 0 6
DetaljerR1 Eksamen høsten 2009 Løsning
R1 Eksamen, høsten 009 Løsning R1 Eksamen høsten 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 3 a) Deriver funksjonen f( x) 5e x f( x) 5e 3 15e 3 x 3x b) Deriver funksjonen gx x 3 ln x x x g( x) 3x ln x x 3 x 3ln 1 3 c)
DetaljerOppgaver. Innhold. Funksjoner i praksis Vg2P
Oppgaver Innhold Modul 1: Lineære funksjoner... Modul : Andregradsfunksjoner... 10 Modul 3: Tredjegradsfunksjoner... 1 Modul 4: Potensfunksjoner og rotfunksjoner... 14 Modul 5: Eksponentialfunksjoner...
DetaljerLøsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22.
c) Løs likningen 6 4 x 4 x 6 4 x 4 x Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.011 DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Regn ut 10 8 3 3 10 8 3 3 10 8 1 10 3 a) 3 5 4 5 3 5 5 4 5 3 5 5 3 5 5 4 5 1 3 5 1 5 1 1 3 1 5 1 3 3 5
DetaljerFunksjoner og grafiske løsninger
8 1 Funksjoner og grafiske løsninger Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse
DetaljerR1 eksamen høsten 2015 løsning
R1 eksamen høsten 15 løsning Løsninger laget av Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2013
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 750 000 0,005 5 7,510 7,5 5 3 8 3 10 1,5 10 510 5 Oppgave (1 poeng) Løs likningssystemet x3y7 5xy8 Velger å løse likningen
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 15 5,5 10 3,0 10 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig 1 0 1 3 9 6 4 8 Oppgave 3 (1 poeng) Løs
DetaljerGeometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform
DetaljerTest, 1 Tall og algebra
Test, 1 Tall og algebra Innhold 1.1 Tallregning... 1. Potenser... 5 1.3 Algebraiske uttrykk... 8 1.4 Likninger... 10 1.5 Faktorisering... 14 1.6 Andregradslikninger... 17 1.7 Faktorisering av andregradsuttrykk
DetaljerTerminprøve Sigma 1T Våren 2008 m a t e m a t i k k
Terminprøve Sigma 1T Våren 2008 Prøvetid 5 klokketimer for Del 1 og Del 2 til sammen. Vi anbefaler at du ikke bruker mer enn to klokketimer på Del 1. Du må levere inn Del 1 før du tar fram hjelpemidler.
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 1 1,8 10 0,0005 Oppgave ( poeng) Løs likningssystemet x 3y 13 4x y Oppgave 3 ( poeng) Løs ulikheten x 6x 0 Oppgave 4
DetaljerOppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6
Oppgave 1 (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. (ii) Skriv 314 100 og 4 5 (iii) Forkort brøkene som desimaltall. 12 15 og 3x 6 9x. (iv) Sorter disse seks tallene
DetaljerEksamen 1T våren 2011
Eksamen 1T våren 011 Oppgave 1 a) 1) ) 7 6 00 000 =,6 10 0,04 10 =,4 10 4 b) c) x x + 6x= 16 + 6x 16 = 0 6 ± 6 4 1 ( 16) 6 ± 6 + 64 6 ± 100 6 ± 10 x = = = = = ± 5 1 x = 8 eller x = x x xx > 0 ( 1) > 0
DetaljerR1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a)
R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( )
DetaljerR1 eksamen høsten 2015
R1 eksamen høsten 2015 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f x x x 2 ( ) 3 5 2 b) g( x)
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerR1 eksamen våren 2017 løsningsforslag
R eksamen våren 07 løsningsforslag Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene f 5 4 a) 3 f 6 5 b) g ( ) e
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 2014
Eksamen MAT03 Matematikk T Høsten 04 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 50000000000,0005 Oppgave ( poeng) Løs likningen 6 Oppgave 3 ( poeng) Løs likningen lg( 3) 0 Oppgave 4 ( poeng)
DetaljerEksempeloppgave 2014. MAT1013 Matematikk 1T Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)
Eksempeloppgave 014 MAT1013 Matematikk 1T Ny eksamensordning våren 015 Ny eksamensordning Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy på datamaskin:
DetaljerHeldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
DetaljerEksamen 1T, Høsten 2012
Eksamen 1T, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (1 poeng) En rett linje har stigningstall. Linjen skjærer
DetaljerOppgaver. Innhold. Funksjoner Vg1T. Innhold
Oppgaver Innhold Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 10 4.3 Andre funksjoner... 18 Polynomfunksjoner... 1 Rasjonale funksjoner... Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner... 3 4.4
DetaljerSti 1 Sti 2 Sti 3 600, 601, 602, 603, 604, 605, 607, 609, 610 613, 614, 615, 616, 617, 618, 619 623, 624, 625, 626, 627 630, 631, 632 634, 635
6 Derivasjon Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne beregne gjennomsnittlig veksthastighet, finne tilnærmede verdier for momentan veksthastighet og gi noen praktiske tolkninger ved
DetaljerEksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag
Eksamen 1T høsten 015, løsningsforslag Del 1, ingen hjelpemidler Oppgave 1 1,8 10 1 0,0005 = 1,8 10 1 5 10 4 = 1,8 5 10 1+( 4) = 9 10 8 Oppgave Velger addisjonsmetoden Legger sammen ligningene: x + y =
Detaljer1T 2014 vår LØSNING 9 1 2 6 0 4 1 3 ( 3 2 ) 1 1 = 3. 3 + x = 5 x = 2. + 8x + c = 16 DEL EN. Oppgave 1: Oppgave 2: Oppgave 3: Oppgave 4: Oppgave 5:
1T 014 vår LØSNING Contents Oppgaven som pdf Tråd om denne oppgaven på Matteprat Enda en tråd om denne oppgaven på Matteprat Løsning laget av Nebu DEL EN Oppgave 1:, 5 10 15 3, 0 10 5 7, 5 10 15+( 5) 7,
DetaljerKapittel 5. Lengder og areal
Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (24 poeng) a) Deriver funksjonene f x = x 3x+ 4 1) ( ) 3 g x = 6x e 2 2) ( ) x P x = 2x 6x 8x+ 24 b) Vi har gitt funksjonen ( ) 3 2 1) Vis at P ( 3) = 0 2) Bruk polynomdivisjon
DetaljerMatematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold
1 Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Regning med positive og negative tall 2 Regnerekkefølge og parenteser 3 Potenser 4 Algebra 5 Brøkregning 6 Ligninger 7 Ulikheter
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2013
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2013 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform DEL 1 Uten hjelpemidler 750 000 0,005 Oppgave 2 (1 poeng) Løs likningssystemet 2x3y7 5x2y8 Oppgave 3
DetaljerFunksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner S1
Funksjoner oppgaver Innhold.1 Funksjoner.... Lineære funksjoner... 5 Ettpunktsformelen.... 9 Skjæringspunkt mellom rette linjer. Nullpunkt for en funksjon... 11.3 Andregradsfunksjon... 1.4 Tredjegradsfunksjon...
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 2014
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 50000000000,0005 10 10 ( ) 6 7,510 5,010,55,010 1,510 1,510 Oppgave (1 poeng) Løs likningen 16 lg lg16
DetaljerEksamen høsten Fag: MAT1006, Matematikk 1T-Y. Eksamensdato: 14. november Kunnskapsløftet. Videregående trinn 1. Yrkesfag.
Eksamensoppgave for følgende fylker: Akershus, Oslo, Buskerud, Vestfold, Østfold, Oppland, Hedmark, Telemark, Aust-Agder, Vest-Agder, Rogaland, Hordaland, Sogn og Fjordane Eksamen høsten 014 Fag: MAT1006,
DetaljerEksamen våren Fag: MAT1006 Matematikk 1T-Y. Eksamensdato: 7. mai Kunnskapsløftet. Videregående trinn 1. Yrkesfag.
Eksamensoppgave for følgende fylker: Akershus, Oslo, Buskerud, Vestfold, Østfold, Oppland, Hedmark, Telemark, Aust-Agder, Vest-Agder, Rogaland, Hordaland, Sogn og Fjordane Eksamen våren 013 Fag: MAT1006
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerKvalifiseringstjenesten Tentamen matematikk GS3 22. 04. 2013
Tentamen matematikk GS3 Mandag 22. april 2013 DEL 1 Excel Oppgave 1. Hans låner 90 000 kr i banken til 4 % rente pr år. Nedbetalingstiden for lånet er 6 år. a) Lag tabellen nedenfor i Excel. År % rente
DetaljerEksamen 1T, Våren 2010
Eksamen 1T, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Funksjonen f er gitt ved f x x 3 Tegn grafen
DetaljerOppgaver. Innhold. Funksjoner Vg1P
Oppgaver Innhold Innhold... 1 Modul 1. Funksjonsbegrepet... Modul. Lineære funksjoner... 6 Modul 3. Mer om lineær vekst... 10 Modul 4. Andregradsfunksjoner... 13 Modul 5. Andre funksjoner... 16 Polynomfunksjoner...
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 2014
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 2014 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 2,510 3,010 15 5 Oppgave 2 (2 poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig 1 2 0 1 3 2 9 6 4
DetaljerEksempeloppgave 1T, Høsten 2009
Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
Detaljerc) 6 c) x
FASIT.0 7 7 7 7. [0, 7 7 C, 7 7 7 7, ] 7 C, 7. 7 7, 0 7 7 C, ] [ C, 7 7 7, 7. 7 7 7 7 e) 7 f) 7.0 8 80 C. C 78. C0 C 0.. 7 C.0. 8... _ 8 _. C _ 0 8 7 7 0 _..7.8.0. 0 C. + _ 8 C 0 C C 0 C.0 8. C8. 7 C.....7
DetaljerEksamen R1 høsten 2014 løsning
Eksamen R1 høsten 014 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene 3 a) f x x x 5 5 f x 15x 4x
DetaljerR1 eksamen våren 2018 løsningsforslag
R1 eksamen våren 018 løsningsforslag DEL 1 Uten hjelpemidler Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene
DetaljerAlgebra S1 Quiz. Test, S1 Algebra
Test, S1 Algebra Innhold 1.1 Potenser og kvadratrøtter... 1. Algebraiske uttrykk... 5 1.3 Likninger... 8 1.4 Andregradslikninger... 1 1.5 Ulikheter... 15 1.6 Logaritmer... 1 1.7 Implikasjon og ekvivalens...
DetaljerOppgaver. Innhold. Algebra R1
Oppgaver Innhold.1 Faktorisering... Polynomdivisjon.... Omforme og forenkle sammensatte rasjonale funksjoner og andre symbolske uttrykk... 6 Rasjonale uttrykk som inneholder andregradspolynomer... 6 Rasjonale
DetaljerTest, 5 Funksjoner (1P)
Test, 5 Funksjoner (1P) 5.1 Funksjonsbegrepet 1) f ( x) = 16x + 0 f (0) = 0 16 0 ) f ( x) = 4x 6 f ( ) = 14 6 3) f er en funksjon av x dersom hver verdi av x gir nøyaktig en verdi av f. Riktig Galt 4)
DetaljerEksamen 1P våren 2011
Eksamen 1P våren 011 Del 1: Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Når kursen på islandske kroner er 5,5, svarer 500 ISK til 5, 5 kr 500 = 6, 5 kr 100 b) Hvis vi setter kursen på islandske kroner til 5, blir omregningen
DetaljerLøsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5.
Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 3. desember 01 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (0 deloppgaver) Antall sider: Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2012
Eksamen REA30 R, Våren 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) a) Deriver funksjonene gitt ved ) f 3 5 4 f 5 ) 3
DetaljerEksamen våren Fag: MAT1006 Matematikk 1T-Y. Eksamensdato: Tirsdag 13. mai Kunnskapsløftet. Videregående trinn 1.
Eksamensoppgave for følgende fylker: Akershus, Oslo, Buskerud, Vestfold, Østfold, Oppland, Hedmark, Telemark, Aust-Agder, Vest-Agder, Rogaland, Hordaland, Sogn og Fjordane Eksamen våren 014 Fag: MAT1006
DetaljerOppgavesamling. Innhold. Funksjoner Vg1T Y
Oppgavesamling Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 8 4.3 Andre funksjoner... 17 4.4 Vekstfart... 0 4.5 Eksamensoppgaver... 4 Noen av oppgavene er merket med symbolet Disse oppgavene
DetaljerFasit. Funksjoner Vg1T. Innhold
Fasit Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjoner... 15 Andregradsfunksjoner... 15 Polynomfunksjoner... 18 Rasjonale funksjoner... 19 Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner...
Detaljer2P, Modellering Quiz fasit. Test, 3 Modellering
Test, 3 Modellering Innhold 3.1 Lineære modeller og lineær regresjon... 3. Modell for svingetiden til en pendel... 8 3.3 Potensfunksjon som modell... 8 3.4 Eksponentialfunksjon som modell... 18 3.5 Polynomfunksjoner
DetaljerEksamen 03.12.2009. REA3024 Matematikk R2
Eksamen 03.1.009 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga:
DetaljerEksamen 23.05.2014. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 23.05.2014 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga: Andre opplysningar:
Detaljera) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det.
Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerLøsningsforslag eksamen høsten 2010. DEL 1: Uten hjelpemidler. Oppgave 1
Løsningsforslag eksamen høsten 2010 DEL 1: Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Løs likningssystemet y 4 3 y 8 y 4 y 4. Setter inn i den andre likninga: 3 4 8, får 3 y 4 3 1 3 y 1 b) Løs likningen 1 4 2 2 5
DetaljerEksamen 1T høsten 2015
Eksamen 1T høsten 015 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 1 1,8 10 0,0005
DetaljerØVINGSPRØVE TIL ÅRSPRØVEN 10. trinn. Oppgave 1 (2 poeng) Regn ut. a) 34, ,3 = c) 1,1 2,9 = b) 3,06 1,28 = d) 33 : 2,2 =
ØVINGSPRØVE TIL ÅRSPRØVEN 10. trinn Del 1: 2 timer. Maks 30,5 poeng. Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Bruk sort eller blå penn når du fører inn svar eller
DetaljerLøsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T
Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y
DetaljerTid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. x x x x
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved f 3 6 4 a) f 3 6 6 6 b) g 5ln 3 3 Vi bruker kjerneregelen
DetaljerDEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x)
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) cos(3 x) x b) g( x) 5e sin( x) Oppgave (3 poeng) Bestem integralene a) b) 3 ( )d e 1 x x x x ln x dx Oppgave 3 (4 poeng) a) Løs
DetaljerTall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene
Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Origo er skjæringspunktet mellom x-aksen og y-aksen. Koordinatene til origo er altså. (0, 0) b Førstekoordinaten til
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2010
Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler På Del 1 av eksamen kan du få bruk for formlene nedenfor Binomisk fordeling: ( ) n k P X k p (1 p k ) n k Antall uavhengige forsøk er n X er antall ganger A inntreffer p i hvert
Detaljera) Tegn grafen til T b) Når på dagen var temperaturen 0 o C c) Når på dagen var temperaturen høyest? Hva var temperaturen da?
Oppgaver 1 Geogebra med fasit Oppgave 1 Funksjonen f er gitt ved: f(x) = x 2 2x 3 a) Tegn grafen digitalt b) Finn bunnpunktet til f Oppgave 2 En modell for temperaturen i celsiusgrader x timer etter midnatt
DetaljerEksamen 1T, Høsten 2012
Eksamen 1T, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (1 poeng) En rett linje har stigningstall. Linjen skjærer
DetaljerEksamen våren 2008 Løsninger
Eksamen våren 008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Del Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med cm-mål og vinkelmåler Oppgave a f x ( ) x ln = x f ( x) = x lnx+ x = xlnx+x x b c ( ) (
DetaljerFunksjoner S2 Oppgaver
Funksjoner S Funksjoner S Oppgaver. Derivasjon... Den deriverte til en konstant funksjon... Den deriverte til en potensfunksjon... Den deriverte til et produkt av to funksjoner... 4 Den deriverte til en
DetaljerEksamen R2, Våren 2011 Løsning
R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene
DetaljerEksamen 25.05.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 5.05.01 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del
DetaljerEksamen høsten Fag: MAT1006, Matematikk 1T-Y. Eksamensdato: 14. november Kunnskapsløftet. Videregående trinn 1. Yrkesfag.
Eksamensoppgave for følgende fylker: Akershus, Oslo, Buskerud, Vestfold, Østfold, Oppland, Hedmark, Telemark, Aust-Agder, Vest-Agder, Rogaland, Hordaland, Sogn og Fjordane Eksamen høsten 2014 Fag: MAT1006,
DetaljerHjemmearbeid matematikk eksamensklassen Ark 23 Leveres mandag 27. januar 2014 3 (10 (-4) 9 + 1) = 3 (10 + 36 + 1) = 3 47 = -44
Hjemmearbeid matematikk eksamensklassen Ark 23 Leveres mandag 27. januar 2014 Løsningsforslag Oppgave 1. Regn ut. a) 8 + 3 (2 6) + 16 : 2 = 8 + 3 (-4) + 8 = 8 12 + 8 = 4 b) + - = 4 + 5 10 = -1 c) 5 + 5
DetaljerLøsninger. Innhold. Funksjoner Vg1P
Løsninger Innhold Innhold... 1 Modul 1. Funksjonsbegrepet... Modul. Lineære funksjoner... 9 Modul 3. Mer om lineær vekst... 16 Modul 4. Andregradsfunksjoner... 5 Modul 5. Andre funksjoner... 30 Polynomfunksjoner...
DetaljerÅrsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole
Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole Våren 2013 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler hvor alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir delt ut samtidig, men
DetaljerEksempeloppgave 1T, Høsten 2009
Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne
DetaljerEksamen R2, Høsten 2015, løsning
Eksamen R, Høsten 05, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene a) f( ) 5cos( ) f 5 sin 0sin
Detaljer