Funksjoner og andregradsuttrykk

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Funksjoner og andregradsuttrykk"

Transkript

1 4 110

2 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme nullpunktene til disse løse andregradslikninger med en og to ukjente løse likninger av høyere grad som kan omformes til andregradslikninger sette opp fortegnsskjema for polynomer og rasjonale uttrykk

3 4.1 Funksjonsbegrepet Vi kaster en stein opp i lufta. Etter t sekunder er steinen y meter over bakken, der y er gitt ved formelen y = 5t + 0t Etter 3 s er høyden y = = 15 Steinen er 15 m over bakken etter 3 s. Når vi kjenner t, kan vi regne ut en bestemt verdi for y. Vi sier at høyden y er en funksjon av tida t. y er en funksjon av x hvis hver mulig verdi av x gir nøyaktig én verdi av y. Steinen har samme høyde over bakken to ganger, på vei opp og på vei ned. Steinen er 15 m over bakken etter 1 s og etter 3 s. Når vi kjenner høyden y, kan vi ikke fastsette én bestemt verdi for tida t. Tida t er dermed ikke en funksjon av høyden y. Uttrykket 5t + 0t kaller vi funksjonsuttrykket til funksjonen. Vi bruker ofte en egen skrivemåte for et funksjonsuttrykk. Når y er høyden, kaller vi gjerne funksjonsuttrykket h(t) og skriver h(t) = 5t + 0t Her er h den første bokstaven i ordet høyde. Vi sier også at funksjonen h er gitt ved h(t) = 5t + 0t Når vi skal finne høyden etter 1 s, skriver vi h(1) = = 15 Høyden etter s er h() = = 0 Tallene 15 og 0 kaller vi funksjonsverdier. Vi regner ut flere funksjonsverdier og samler dem i en tabell: t h(t) Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk

4 Så tegner vi grafen til funksjonen h. Vi markerer da punktene i tabellen i et koordinatsystem og trekker en glatt kurve gjennom dem. m 5 y 0 15 h 10 5 t s Langs førsteaksen finner vi variabelen t. Langs andreaksen finner vi funksjonsverdiene. Vi ser at steinen er tilbake på bakken etter 4 sekunder. Ferden stopper der. Altså må vi forutsette at variabelen t her er et tall mellom 0 og 4. Vi må forutsette at 0 t 4 eller at t [0, 4]. Vi sier at funksjonen h har definisjonsmengden [0, 4] og skriver D h = [0, 4] D er den første bokstaven i definisjonsmengde, og h er navnet på funksjonen. Vi ser at steinen på det høyeste punktet er 0 m over bakken. Med andre ord kan høyden være alle tall fra og med 0 m til og med 0 m. Funksjonsverdiene kan dermed være alle tall i intervallet [0, 0]. Dette intervallet kaller vi verdimengden til funksjonen. Vi skriver V h = [0, 0] Hvis en funksjon ikke har noen spesiell praktisk tolkning, bruker vi gjerne x som variabel. Funksjonsuttrykket kaller vi ofte f(x), der f er navnet på funksjonen. 113

5 EKSEMPEL Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 4x + 3 a) Tegn grafen til f. b) Løs likningen f(x) = 8 grafisk. c) Finn verdimengden til f. Løsning: a) Vi regner ut noen funksjonsverdier og samler dem i en tabell: x f(x) Nå markerer vi punktene (x, f(x)) i et koordinatsystem og tegner en glatt kurve gjennom punktene. Vi får denne grafen: y 10 9 f x b) Avlesing av grafen viser at likningen f(x) = 8 har løsningene x = 5 og x = 1 c) Vi ser av grafen at den minste funksjonsverdien er 1. Det er når x =. Verdimengden består dermed av alle tall som er større enn eller lik 1. Vi skriver V f = [ 1, 114 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk

6 ? Oppgave 4.10 Regn ut f( ), f(0) og f() når funksjonen f er gitt ved a) f(x) = 3x + b) f(x) = x + x + 3 c) f(x) = x 3 + x 9x + 1 Oppgave 4.11 Vi skyter opp ei kule. Høyden i meter etter t sekunder er gitt ved h(t) = 5t + 50t a) Når er kula tilbake på bakken? b) Finn definisjonsmengden til funksjonen. c) Finn verdimengden. d) Når er kula 50 m over bakken? Oppgave 4.1 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 6x + 8 a) Tegn grafen til f. b) Bruk grafen til å løse likningen x 6x + 8 = 0 c) Finn verdimengden til f. Oppgave 4.13 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x + x + 8 a) Tegn grafen til f. b) Løs likningen x + x + 8 = 5 grafisk. c) Finn verdimengden til f. Når du skal tegne grafer, trenger du ikke regne ut verdiene i tabellen for hånd. Du kan lage tabellen på lommeregneren. Du kan også bruke lommeregneren til å få fram grafen. Vi tar for oss funksjonen f gitt ved f(x) = x 4x

7 ON CASIO Vi velger TABLE på ikonmenyen. Først sletter vi eventuelle uttrykk som er der fra før. Det gjør vi ved å trykke på F (DEL) etterfulgt av F1 (YES). Så legger vi inn uttrykket som vist nedenfor. Vi får fram X ved å trykke på X,θ,T etterfulgt av x. TEXAS Vi trykker på Y= og sletter eventuelle uttrykk som er der fra før, ved å trykke på CLEAR. Så legger vi inn uttrykket som vist nedenfor. Vi får fram X ved å trykke på X,T,θ,n etterfulgt av x. Vi trykker nå på EXE for å lagre uttrykket. Deretter trykker vi på F5 (RANG) og velger verdier i samsvar med figuren nedenfor. Trykk på TBLSET ( nd og WINDOW ) og still inn lommeregneren som vist nedenfor. Husk å bruke tasten ( ) når du skal legge inn tallet 1. Tallet pitch bestemmer differansen mellom x-verdiene i tabellen. Husk å trykke på EXE etter hvert tall. Vi trykker nå på EXIT og deretter på F6 (TABL). Vi får fram tabellen som står øverst på neste side. Vi bruker piltastene for å få se resten av tabellen. Tallet Tbl bestemmer differansen mellom x-verdiene i tabellen. Nå trykker vi på TABLE ( nd og GRAPH ) og får fram tabellen som står øverst på neste side. Vi får fram flere verdier i tabellen ved å bruke piltastene. 116 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk

8 Så skal vi tegne grafen og må da først velge vindu. Derfor trykker vi på V-Window og velger verdier slik som på denne figuren: Så skal vi tegne grafen og må da først velge vindu. Derfor trykker vi på WINDOW og velger verdier slik som på denne figuren: Nå trykker vi på MENU og velger GRAPH. Et trykk på F6 (DRAW) gir denne grafen: Nå trykker vi på GRAPH og får fram denne grafen: OFF? Oppgave 4.14 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x + 4x 3 a) Tegn grafen til f på lommeregneren. b) Løs likningene 1) x + 4x 3 = 0 ) x + 4x 3 = x 7 på lommeregneren. 117

9 ? Oppgave 4.15 En bil kjører med farten v målt i kilometer per time. Utslippet av karbondioksid målt i gram per kilometer er da gitt ved formelen C(v) = 0,045v 6,75v a) Tegn grafen til C på lommeregneren når farten er mellom 0 km/h og 10 km/h. Du kaller variabelen v for X når du taster inn dette uttrykket. b) Hvor stort er utslippet per kilometer når farten er 50 km/h? c) Hvor stor er farten når utslippet er 00 g/km? d) Ved hvilken fart er utslippet lavest mulig, og hvor stort er utslippet da? e) Hvor mange kilogram karbondioksid slipper vi ut når vi kjører fra Bergen til Oslo i 75 km/h med denne bilen? Sett avstanden til 500 km. f) Bilen bruker 0,8 l bensin per mil. En liter bensin veier omtrent 0,8 kg. Hvor mange kilogram bensin bruker bilen på turen fra Bergen til Oslo? Hvordan kan du forklare at utslippet veier mer enn forbruket av bensin? 4. Nullpunkter, bunnpunkter og toppunkter Uttrykkene x + 3 og x + 3x 5 kaller vi polynomer. Uttrykket x + 3 er et polynom av første grad, og uttrykket x + 3x 5 er et polynom av andre grad. Den høyeste eksponenten til variabelen i et polynom kaller vi graden til polynomet. Polynomet x 3 + 3x 6x + 4 er av tredje grad, og polynomet x 4 + x + 4 er av fjerde grad. Når vi skriver polynomer, ordner vi alltid leddene etter graden. Det leddet som har den høyeste graden, skal stå først. Polynomet 4 + x + 3x 3 + 5x skriver vi som 3x 3 + x + 5x + 4. Vi skal nå se på noen funksjoner der funksjonsuttrykket er et polynom. Slike funksjoner kaller vi polynomfunksjoner. 10 y f Til høyre har vi tegnet grafen til polynomfunksjonen f gitt ved f(x) = x 4x + 3 Dette er en andregradsfunksjon. Grafen til en slik andregradsfunksjon kaller vi en parabel Nullpunkt Nullpunkt De punktene der grafen til en funksjon krysser x-aksen, kaller vi nullpunktene til funksjonen. Nullpunktene er dermed bestemt ved at 4 6 Bunnpunkt (, 1) x 118 f(x) = 0 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk

10 Funksjonen har dermed nullpunktene x = 1 og x = 3. Funksjonen har et bunnpunkt i det punktet der x = og y = 1. Bunnpunktet har koordinatene (, 1). I et bunnpunkt er funksjonsverdien mindre enn i alle nabopunktene. Vi skal snart se at bunnpunktet ikke trenger å være det laveste punktet på grafen. Andre funksjoner kan ha et toppunkt. Det er et punkt der funksjonsverdien er større enn i alle nabopunktene. Noen funksjoner kan ha både bunnpunkt og toppunkt. EKSEMPEL Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 3 3x a) Tegn grafen til funksjonen. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn bunnpunktet og toppunktet til f. Løsning: a) Vi tegner grafen til f. y 4 f Toppunkt 3 ( 1, ) Nullpunkter 1 x Bunnpunkt (1, ) 4 b) Grafen viser at f har nullpunktene x = 0, x = 1,7 og x = 1,7 c) Funksjonen har toppunktet ( 1, ). Funksjonen har bunnpunktet (1, ). 119

11 Funksjonen i eksempelet på forrige side har et toppunkt i ( 1, ) og et bunnpunkt i (1, ). Men funksjonen har ikke sin minste verdi i bunnpunktet. Funksjonen har heller ikke sin største verdi i toppunktet. Toppunkter og bunnpunkter er bare lokale topper og bunner. Eksempelet på forrige side viser at en tredjegradsfunksjon kan ha tre nullpunkter og både toppunkt og bunnpunkt. Men ikke alle tredjegradsfunksjoner har både toppunkt og bunnpunkt. Grafen til funksjonen f(x) = x 3 ser slik ut: y f x Denne tredjegradsfunksjonen har bare ett nullpunkt og ingen toppunkter eller bunnpunkter. EKSEMPEL Tegn grafen til funksjonen f(x) = x 4 5x + 4. Finn nullpunktene, toppunktet og bunnpunktene grafisk. Løsning: Vi bruker lommeregneren og får denne grafen: y f x Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk

12 Funksjonen har fire nullpunkter: x =, x = 1, x = 1 og x = Funksjonen har to bunnpunkter og ett toppunkt. Bunnpunkter: ( 1,6,,) og (1,6,,) Toppunkt: (0, 4)? Oppgave 4.0 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x x 3 a) Tegn grafen til f. b) Finn bunnpunktet til f. Oppgave 4.1 En vinterdag var temperaturen i celsiusgrader x timer etter midnatt gitt ved T(x) = 3 8 x + 1 x 135, x [8, 0] a) Tegn grafen til T. b) Når på dagen var temperaturen 0 C? c) Når på dagen var temperaturen høyest? Hva var temperaturen da? Oppgave 4. Funksjonen g er gitt ved g(x) = x 3 3x + 4 a) Tegn grafen til g. b) Finn nullpunktene til g. c) Finn toppunktet og bunnpunktet til g. d) Finn verdimengden til g. Nullpunkter, bunnpunkter og toppunkter kan vi også finne ved hjelp av lommeregneren. Vi skal nå bruke lommeregneren og finne nullpunktene og toppunktet til funksjonen g gitt ved g(x) = x + x

13 ON CASIO Vi velger GRAPH på ikonmenyen og legger inn funksjonsuttrykket Y1 = X + X + 3 Deretter trykker på V-Window og velger et vindu bestemt av at x [ 3, 6] og y [ 3, 6]. Nå tegner vi grafen på lommeregneren. For å finne nullpunktene trykker vi på G-Solv ( SHIFT og F5 ) og deretter på F1 (ROOT). Etter noen sekunder står markøren i nullpunktet lengst til venstre, og vi kan lese av nullpunktet x = 1. TEXAS Vi trykker på Y= og legger inn funksjonsuttrykket Y1 = X + X + 3 Deretter trykker vi på WINDOW og velger et vindu bestemt av at x [ 3, 6] og y [ 3, 6]. Nå tegner vi grafen på lommeregneren. For å finne nullpunktene trykker vi på CALC og velger :zero. Deretter bruker vi piltastene og flytter markøren like til venstre for nullpunktet og trykker på ENTER. Deretter flytter vi markøren til høyre for nullpunktet og trykker to ganger på ENTER. Vi trykker så på piltasten, og markøren flytter seg til det andre nullpunktet x = 3. For å finne toppunktet trykker vi på G-Solv og trykker F (MAX). Etter noen sekunder står markøren i toppunktet. I toppunktet er x = 1 og y = 4. Toppunktet har koordinatene (1, 4). Vi finner det andre nullpunktet x = 3 på tilsvarende måte. For å finne toppunktet trykker vi nå på CALC og velger 4:maximum. Vi flytter markøren til venstre for toppunktet og trykker på ENTER. Så flytter vi markøren til høyre for toppunktet og trykker deretter to ganger på ENTER. Toppunktet har koordinatene (1, 4). OFF 1 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk

14 ? Oppgave 4.3 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 3 1x a) Tegn grafen til f på lommeregneren. b) Finn bunnpunktet og toppunktet til f. Oppgave 4.4 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 4 4x a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktene og bunnpunktene. Oppgave 4.5 Bruk lommeregneren og tegn grafen til f der f(x) = x 5 5x 3 + 4x a) Hvor mange nullpunkter har grafen? b) Hvor mange toppunkter og bunnpunkter har grafen? c) Hvor mange nullpunkter tror du en funksjon av grad n kan ha? d) Hvor mange toppunkter og bunnpunkter tror du en funksjon av grad n kan ha? 4.3 Andregradslikninger med to ledd Likningen x 5x + 6 = 0 er et eksempel på en andregradslikning. Vi skal nå lære å løse slike likninger. Andregradslikningen x 4 = 0 mangler førstegradsledd. Vi løser den på denne måten: x 4 = 0 x = 4 x = eller x = Ofte skriver vi bare x = ± i stedet for x = eller x =. x = ±a betyr x = a eller x = a. 13

15 EKSEMPEL Løs andregradslikningene. a) x 10 = 0 b) (x ) + 4 = 0 c) x + 3 = 0 Løsning: a) x 10 = 0 x = 10 x = 5 x = 5 eller x = 5 x = ± 5 Likningen har to løsninger. b) (x ) + 4 = 0 x = 0 x = 0 x = 0 x = 0 Her får vi bare én løsning, for x = 0 er det eneste tallet som passer i x = 0. c) x + 3 = 0 x = 3 Likningen har ingen løsning. Det fins ingen tall x som er slik at x blir mindre enn null. Tallet x kan derfor ikke bli lik 3, og likningen x = 3 har dermed ingen løsning. At denne likningen ikke har noen løsning, kan vi også se hvis vi tegner grafen til funksjonen gitt ved f(x) = x + 3 Grafen når ikke ned til x-aksen.? Oppgave 4.30 Løs likningene. a) x = 9 b) x = 10 c) d) x = 4 e) 3x + 1 = 1 4x 5 = 0 14 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk

16 ? Oppgave 4.31 Løs likningene. a) (x + 1) = 10 b) 3x + = x 4 c) (x 1) = 4 d) (x + ) = 1 Oppgave 4.3 a) Et kvadrat har arealet 18 cm. Hvor lange er sidene i kvadratet? b) En sirkel har arealet 1,56 m. Hvor stor er radien i sirkelen? c) En sirkel har det samme arealet som et kvadrat der sidene er 5 cm lange. Finn radien i sirkelen. Når vi multipliserer to tall som ikke er null, kan vi ikke få null som svar. Dersom vi vet at produktet av to tall er null, må altså ett av tallene være null. Denne slutningen kaller vi produktregelen. Vi kan uttrykke den slik: Dersom r s = 0, så er r = 0 eller s = 0. EKSEMPEL Løs likningen x 3x = 0 og sett prøve på svaret. Løsning: Vi setter x utenfor en parentes. x 3x = 0 (x 3) x = 0 Når produktet av disse to tallene er null, må ett av tallene være null. x 3 = 0 eller x = 0 x = 3 eller x = 0 Vi får to løsninger: x = 3 og x = 0. Nå setter vi disse verdiene inn i x 3x = 0 for å se om vi har regnet riktig. x = 3 gir x 3x = = 9 9 = 0 x = 0 gir x 3x = = 0 0 = 0 Begge x-verdiene passer. 15

17 ? Oppgave 4.33 Løs likningene og sett prøve på svarene. a) x(x ) = 0 b) x + 3x = 0 c) x 4x = 0 d) 5x + 3x = 0 Oppgave 4.34 Løs likningene grafisk og ved regning. a) x + x + 3 = x + 7 b) x + x + 3 = 4x Andregradsformelen Ved hjelp av metoden med fullstendige kvadrater kan vi utlede en formel som vi kan bruke hver gang vi skal løse en andregradslikning. Vi kaller den andregradsformelen. Utledningen av formelen finner du på slutten av dette delkapittelet. Andregradslikningen ax + bx + c = 0 har løsningene x = b ± b 4ac a når b 4ac 0. Vi viser nå hvordan vi bruker denne formelen til å løse andregradslikninger. EKSEMPEL Løs andregradslikningene. a) 3x + 5x = 0 b) x 6x = 9 c) x + x + 3 = 0 Løsning: a) Når vi sammenlikner likningen 3x + 5x = 0 med likningen ax + bx + c = 0, ser vi at a = 3, b = 5 og c =. Vi setter inn i andregradsformelen. 3x + 5x = 0 x = 5 ± ( ) 3 x = 5 ± Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk

18 5 ± 49 x = 6 x = 5 ± 7 6 x = eller x = x = 6 eller x = 1 6 x = 1 3 eller x = b) Vi ordner først likningen slik at vi får 0 på høyre side. Deretter bruker vi andregradsformelen. x 6x = 9 x 6x + 9 = 0 Her er a = 1 fordi x = 1 x. Videre er b = 6, og c = 9. x = ( 6) ± ( 6) x = 6 ± 0 x = x = 3 eller x = 3 x = 3 eller x = 6 0 Denne likningen har bare én løsning. Det kommer av at x 6x + 9 er et fullstendig kvadrat. c) x + x + 3 = 0 a = 1, b =, og c = 3. ± x = x = ± 4 1 x = ± 8 Likningen har ingen løsning. Kvadratrota av 8 fins ikke. Derfor er det ingen løsning på likningen.! Vi kan løse alle typer andregradslikninger med andregradsformelen, også likninger med to ledd. Men slike likninger løser vi enklere med metodene i kapittel 4.3. Vi kan også løse andregradslikninger på lommeregneren. På neste side viser vi hvordan vi løser likningen x + x + 3 = 0. 17

19 ON CASIO Vi velger EQUA på ikonmenyen og velger Polynomial ved å trykke på F. Deretter velger vi andre grad ved å trykke på F1. Vi legger så inn verdier for tallene a, b og c på denne måten: TEXAS Denne lommeregneren har ikke innebygd noe program som løser andregradslikninger. Men vi kan legge inn et program selv. Det kan vi gjøre på to måter: Den ene måten er å få overført et program fra en annen lommeregner der formelen er lagt inn. Alternativet er å taste inn programmet selv. Du finner framgangsmåten og programmet bak i boka. Nå trykker vi på F1 (SOLV) og får fram løsningene x = 1 og x = 3. OFF? Oppgave 4.40 Løs andregradslikningene og sett prøve på svaret. a) x 5x + 6 = 0 b) x + x 1 = 0 c) x 4x + = 0 d) x x + = 0 e) 6x 17x + 1 = 0 Oppgave 4.41 Løs likningene. a) x 4x = b) x x = x c) x x + 1 = x + 1 Oppgave 4.4 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x x 3 a) Finn nullpunktene grafisk. b) Finn nullpunktene ved regning. 18 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk

20 Andregradslikninger får vi bruk for i praktiske sammenhenger. Noen ganger har begge løsningene av andregradslikningen praktisk betydning. I andre tilfeller er det bare én av løsningene som kan brukes. EKSEMPEL I et rektangel er den korteste siden 3 cm kortere enn den lengste. Hvor lange er sidene når arealet av rektangelet er 108 cm? Løsning: Vi setter lengden av den lengste siden lik x cm. Lengden av den korteste siden blir (x 3) cm. 108 cm (x 3) cm x cm Arealet i kvadratcentimeter blir A(x) = x (x 3) = x 3x Ettersom arealet er 108 cm, får vi likningen x 3x = 108 x 3x 108 = 0 x = ( 3) ± ( 3) 4 1 ( 108) 1 x = 3 ± 441 x = 3 ± 1 x = 4 eller x = 18 x = 1 eller x = 9 En side i et rektangel kan ikke ha negativ lengde. Oppgaven har bare løsningen x = 1. Den lengste siden er 1 cm, og den korteste er 1 cm 3 cm = 9 cm. 19

21 ? Oppgave 4.43 Vi kaster en stein opp i lufta. Høyden over bakken målt i meter etter t sekunder er gitt ved h(t) = 5t + 10t a) Når er steinen m over bakken? b) Når er steinen 5 m over bakken? c) Når er steinen 7 m over bakken? d) Bruk utregningene ovenfor til å finne ut hvor høyt kastet var. Oppgave 4.44 Et rektangulært jordstykke har omkretsen 380 m og arealet 8800 m. a) Vis at dersom den ene siden er x meter, er lengden av den andre siden målt i meter gitt ved y = 190 x b) Forklar hvorfor arealet er gitt ved A(x) = x(190 x) c) Vis at x må være en løsning av andregradslikningen x 190x = 0 d) Regn ut lengden og bredden av jordstykket. Oppgave 4.45 Summen av to tall er 10, og produktet av tallene er 565. Finn tallene. Beviset for andregradsformelen Vi skal nå bevise andregradsformelen. I den generelle andregradslikningen ax + bx + c = 0 er a, b og c tre tall, og a er ikke lik 0. Vi bruker metoden med fullstendige kvadrater fra kapittel.6. Først flytter vi konstantleddet over på høyre side av likhetstegnet. ax + bx = c Deretter deler vi alle leddene med tallet a foran x. x + b a x = c a 130 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk

22 Nå legger vi til ( b ) på begge sidene av likhetstegnet. a der x + b a x + ( b a ) = ( b a ) c a a ) = b c 4a a a ) = b 4a c 4a 4a a a ) = b 4ac 4a d 4a ( x + b ( x + b ( x + b ( x + b a ) = d = b 4ac Vi har fullstendig kvadrat på venstre side av likhetstegnet. Tallet d kaller vi diskriminanten (avgjøreren, den som skiller) til likningen. Det er nemlig d som avgjør om vi kan løse likningen eller ikke. Dersom d ikke er negativ, kan vi regne ut d. Da får vi x + b a = ± d 4a x + b a = ± d a x = b a ± d a x = b ± d a Vi setter inn for diskriminanten d og får b ± b x = 4ac a Vi har bevist andregradsformelen. 4.5 Noen spesielle likninger Det er bare når vi løser likninger av andre grad at vi kan bruke andregradsformelen. Men noen ganger kan vi omforme likninger av høyere grad slik at vi deretter kan bruke andregradsformelen. 131

23 I noen likninger kan vi sette variabelen utenfor en parentes og bruke produktsetningen. EKSEMPEL Løs likningene. a) x 3 5x + 6x = 0 b) x 4 + x 3 + x = 0 Løsning: a) Dette er en tredjegradslikning. Ettersom alle leddene inneholder faktoren x, kan vi sette x utenfor en parentes. x 3 5x + 6x = 0 x(x 5x + 6) = 0 x = 0 eller x 5x + 6 = 0 x = 0 eller x = ( 5) ± ( 5) x = 0 eller x = 5 ± 5 4 x = 0 eller x = 5 ± 1 x = 0 eller x = 5 ± 1 x = 0 eller x = eller x = 3 Produktsetningen b) I denne fjerdegradslikningen kan vi sette x utenfor en parentes. Det gir x 4 + x 3 + x = 0 x (x + x + 1) = 0 x = 0 eller x + x + 1 = 0 x = 0 eller x = ± x = 0 eller x = ± 0 x = 0 eller x = x = 0 eller x = 1 13 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk

24 ? Oppgave 4.50 Løs likningene. a) x 3 3x + x = 0 b) x 3 + 6x + 9x = 0 c) x 4 5x 3 + 6x = 0 EKSEMPEL Løs likningene. a) x 4 5x + 4 = 0 b) x 6 4x = 0 Løsning: a) Vi omformer likningen slik: x 4 5x + 4 = 0 (x ) 5x + 4 = 0 Dette kan vi se på som en andregradslikning med x som ukjent. Vi kan nå gå fram på to måter. Metode 1 Vi setter u = x Innsatt i likningen gir det u 5u + 4 = 0 Andregradsformelen gir u = ( 5) ± ( 5) u = 5 ± 9 u = 5 ± 3 u = 1 eller u = 4 Nå erstatter vi u med x. Det gir x = 1 eller x = 4 x = ±1 eller x = ± x = 1, x = 1, x = eller x = 133

25 Metode Vi løser likningen direkte. (x ) 5x + 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) x = 5 ± 9 x = 5 ± 3 x = 1 eller x = 4 x = ±1 eller x = ± x = 1, x = 1, x = eller x = b) Vi omformer likningen og går fram omtrent som i metode ovenfor. Vi kan også bruke metode 1 med u = x 3. x 6 4x = 0 (x 3 ) 4x = 0 x 3 = ( 4) ± ( 4) x 3 = 4 ± 4 4 fins ikke. Dermed fins det heller ikke noen verdi for x 3, og det er heller ikke mulig å finne noen verdi for x som passer. Likningen har ingen løsning.? Oppgave 4.51 Løs likningene. a) x 4 10x + 9 = 0 b) x 4 8x + 16 = 0 c) x 4 3x 4 = 0 Oppgave 4.5 Løs likningene. a) x 6 8x = 0 b) x 6 + 9x = 0 c) x 6 x 3 + = 0 Oppgave 4.53 Løs likningen. x 5 x + 6 = Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk

26 4.6 Ikke-lineære likningssett I kapittel 3.9 lærte vi å løse lineære likningssett ved hjelp av innsettingsmetoden. Den metoden kan vi også bruke når vi for eksempel skal løse to likninger med to ukjente der den ene likningen er av andre grad. EKSEMPEL Løs likningssettet ved regning. x y = 3 x x + y = 1 Løsning: Vi finner et uttrykk for y fra en av likningene. Vi velger å finne y fra den andre likningen. x x + y = 1 y = x + x + 1 Vi setter nå inn dette uttrykket for y i den første likningen. x y = 3 x ( x + x + 1) = 3 x + x x 1 = 3 x = 4 x = eller x = Nå finner vi verdiene av y ved å sette inn i uttrykket for y. x = gir y = x + x + 1 = = = 1 x = gir y = x + x + 1 = ( ) + ( ) + 1 = = 7 Løsningen er x = og y = 1 eller x = og y = 7? Oppgave 4.60 Løs likningssettene. a) x y = 1 b) x y = 1 c) x + 5x + y = 6 x + 4x + y = 3 x 3x + y = 4x + y = 5 135

27 I de likningene vi har løst til nå, forekommer x og ikke y. Vi kan også løse likninger der både x og y er med i en av likningene. EKSEMPEL Løs likningssettet. 3x + y = 3 3x y = 9 Løsning: Først finner vi et uttrykk for y ut fra den første likningen. y = 3 3x Dette uttrykket for y setter vi inn i den andre likningen. 3x (3 3x) = 9 3x (9 18x + 9x ) = 9 3x x 9x = 9 6x + 18x = x(x 3) = 0 6x = 0 eller x 3 = 0 x = 0 eller x = 3 Det fins to x-verdier som er løsning. For hver x-verdi regner vi ut en tilhørende y-verdi. x = 0 gir y = 3 3x = = 3 x = 3 gir y = 3 3x = = 3 9 = 6 Løsningen blir x = 0 og y = 3 eller x = 3 og y = 6? Oppgave 4.61 Løs likningssettene. a) x + y = 10 b) x + y = x + y = 5 x 4x + y 6y = 4 Oppgave 4.6 Løs likningssettet grafisk og ved regning. x 3x + y = x + 4x y = Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk

28 4.7 Nullpunkter og faktorisering I kapittel.6 lærte vi å faktorisere andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrater. Vi faktoriserte blant annet og fant ut at x 1x + 10 x 1x + 10 = (x 1)(x 5) Uttrykkene på høyre og venstre side av likhetstegnet er like for alle verdier av x. Høyre side har nullpunktene x = 1 og x = 5. Dermed må venstre side også være null når x = 1 og når x = 5. Dette kan vi utnytte når vi skal faktorisere andregradsuttrykk med to nullpunkter, for førstegradsfaktorene må ha de samme nullpunktene som andregradsuttrykket. Vi finner først nullpunktene til andregradsuttrykket og bruker dem til å sette opp førstegradsfaktorene. Noen andregradsuttrykk har bare ett nullpunkt. Uttrykket x x + 1 er et eksempel på det. Det eneste nullpunktet er x = 1. Men x x + 1 er et fullstendig kvadrat, for x x + 1 = (x 1) Da kan vi bruke nullpunktet når vi skal faktorisere andregradsuttrykk med bare ett nullpunkt. Vi må ta med førstegradsuttrykket to ganger. Alle førstegradsuttrykk har nullpunkter. Et andregradsuttrykk som er et produkt av førstegradsfaktorer, har altså nullpunkter. Et andregradsuttrykk uten nullpunkter kan vi dermed ikke skrive som et produkt av førstegradsfaktorer. Dersom ax + bx + c har nullpunktene x = x 1 og x = x, er ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ) Dersom andregradsuttrykket bare har ett nullpunkt, x = x 1, er ax + bx + c = a(x x 1 ) Dersom andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, kan det ikke faktoriseres i førstegradsfaktorer. EKSEMPEL Faktoriser uttrykkene. a) x 4x 6 b) x 5x + 7 c) x 1x

29 Løsning: a) Først bruker vi andregradsformelen og finner nullpunktene.! x 4x 6 = 0 x = ( 4) ± ( 4) 4 ( 6) x = 4 ± 64 = 4 ± x = 1 eller x = 3 Nå faktoriserer vi andregradsuttrykket. x 4x 6 = (x ( 1))(x 3) = (x + 1)(x 3) Husk å ta med tallet foran x i faktoriseringen. b) Vi bruker andregradsformelen og finner nullpunktene. x 5x + 7 = 0 x = ( 5) ± ( 5) x = 5 ± 3 3 fins ikke, og likningen har derfor ikke noe nullpunkt. Uttrykket kan ikke være et produkt av to førstegradsfaktorer. Det er ikke mulig å faktorisere uttrykket. c) Vi bruker lommeregneren eller andregradsformelen og finner nullpunktene til uttrykket x 1x Uttrykket har bare det ene nullpunktet x = 3. Det gir faktoriseringen x 1x + 18 = (x 3)? Oppgave 4.70 Faktoriser uttrykkene. a) x 8x + 1 b) x 3x + c) x 4x 30 d) 6x 5x + 1 Oppgave 4.71 Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. a) x 6x + 8 b) x 6x + 9 c) x 6x + 10 d) x 6x Oppgave 4.7 For hvilke verdier av c er det mulig å faktorisere uttrykket x 3x + c? 138 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk

30 4.8 Andregradsulikheter I kapittel 3.3 lærte vi hvordan vi kan løse lineære ulikheter ved hjelp av regneregler som likner de reglene vi bruker når vi skal løse likninger. Når vi arbeider med ulikheter som ikke er lineære, må vi bruke helt andre metoder. Vi bestemmer fortegnet til uttrykket ved hjelp av ei fortegnslinje. La oss tenke oss at vi ønsker å undersøke hvordan fortegnet til uttrykket x + 3 varierer med x. Vi vil finne ut hvor x + 3 er negativt, hvor x + 3 er null, og hvor x + 3 er positivt. Negativt område for x + 3: x + 3 < 0 når x < 3 Nullpunkt for x + 3: x + 3 = 0 når x = 3 Positivt område for x + 3: x + 3 > 0 når x > 3 Så lager vi ei tallinje der vi markerer nullpunktet til x + 3. Deretter lager vi ei fortegnslinje for uttrykket x + 3: x x På slike fortegnslinjer bruker vi disse symbolene: 0 markerer nullpunktene til uttrykket markerer at uttrykket er negativt markerer at uttrykket er positivt EKSEMPEL Lag ei fortegnslinje for uttrykket x + 6. Løsning: Først finner vi nullpunktet til uttrykket. Denne utregningen gjør vi ofte i hodet. x + 6 = 0 x = 6 x = 3 Når x > 3, blir x + 6 et negativt tall. Når x < 3, blir x + 6 et positivt tall. Det gir denne fortegnslinja: x x

31 ? Oppgave 4.80 Lag fortegnslinje for uttrykkene. a) x 3 b) x + 4 c) x + d) 3x + 9 Ulikheten x 4x 6 < 0 er et eksempel på en andregradsulikhet. Når vi skal løse slike ulikheter, får vi bruk for å faktorisere andregradsuttrykk. Vi kan da enten bruke metoden med fullstendige kvadrater eller bruke nullpunktene slik vi lærte i kapittel 4.7. Nå skal vi faktorisere andregradsuttrykket x 4x 6. Vi velger å utnytte nullpunktene og bruker derfor andregradsformelen.! x 4x 6 = 0 x = ( 4) ± ( 4) 4 ( 6) x = 4 ± 64 4 x = 4 ± 8 4 x = 1 eller x = 3 Nå faktoriserer vi andregradsuttrykket. x 4x 6 = (x ( 1))(x 3) = (x + 1)(x 3) Husk å ta med tallet foran x i faktoriseringen. Så lager vi fortegnslinje for hver av faktorene, (x + 1) og (x 3) og setter dem under hverandre i det samme skjemaet x x x 3 0 (x + 1)(x 3) 0 0 Nå utnytter vi fortegnsreglene for tallregning. Når x > 3, er alle tre faktorene positive, og produktet er da positivt. Se den røde linja nederst. Når x er et tall mellom 1 og 3, er det én negativ faktor og to positive. Da blir produktet negativt. Når x < 1, har vi to negative faktorer og én positiv. Da blir svaret positivt, og vi tegner sammenhengende rød linje. Når x = 1 og når x = 3, er en faktor lik null, og da blir produktet null. 140 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk

32 Vi har dermed funnet fortegnslinja til (x + 1)(x 3). Ettersom x 4x 6 er lik (x + 1)(x 3) for alle verdier av x, er dette også fortegnslinja for x 4x 6. Vi skulle løse ulikheten x 4x 6 < 0 og må da se etter hvor vi har stiplet linje på forrige side. Det er mellom 1 og 3. Løsningen er x 4x 6 < 0 når 1 < x < 3 EKSEMPEL Løs ulikheten x + x 3 > 3x + 5 Løsning: Vi ordner ulikheten ved å samle alle leddene på venstre side. x + x 3 > 3x + 5 x + x 3 3x 5 > 0 x x 8 > 0 Vi bruker andregradsformelen eller lommeregneren og finner nullpunktene x = 4 og x =. Dermed er x x 8 = (x 4)(x + ). Ulikheten blir (x 4)(x + ) > 0 Nå tegner vi fortegnslinjer for faktorene x 4 og x + og lager deretter ei fortegnslinje for (x 4)(x + ) ved å utnytte at to negative faktorer gir et positivt svar, at en positiv og en negativ faktor gir et negativt svar, og at to positive faktorer gir et positivt svar x x 4 x + (x 4)(x + ) Vi skulle finne de verdiene av x der (x 4)(x + ) > 0. Da må vi plukke ut de x-verdiene der fortegnslinja for uttrykket er sammenhengende. (x 4)(x + ) > 0 når x < eller x > 4. Ulikheten vi begynte med, har den samme løsningen: x + x 3 > 3x + 5 når x < eller x >

33 EKSEMPEL Løs ulikheten x 4x + 6 > 0 Løsning: Vi bruker andregradsformelen og finner nullpunktene. x 4x + 6 = 0 x = 4 ± 16 4 x = 4 ± 8 Kvadratrota av 8 fins ikke. Dermed har ikke x 4x + 6 noen nullpunkter, og uttrykket kan da heller ikke skifte fortegn. Uttrykket er dermed enten positivt for alle verdier av x, eller så er uttrykket negativt for alle verdier av x. Det finner vi ut ved å sette inn én verdi av x. Vi velger x = 0. Det gir x 4x + 6 = = 6 Ettersom uttrykket er positivt for x = 0, må uttrykket være positivt for alle verdier av x. x 4x + 6 > 0 for alle x. Det kan du også se ved å tegne grafen til funksjonen f(x) = x 4x + 6? Oppgave 4.81 Løs ulikhetene ved å bruke fortegnslinjer. a) x 5x + 6 > 0 b) x + x < 0 c) x + x 1 0 d) x x Oppgave 4.8 Løs ulikhetene. a) 6x 5x + 1 < 0 b) x 4x + 4 > 0 c) x + 6x 9 0 d) x 8x + 9 < 0 14 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk

34 SAMMENDRAG Polynom Et polynom er et uttrykk av typen x 3 + 3x x + 5. Dette polynomet er av grad 3. Funksjon Vi sier at y er en funksjon av x dersom hver mulig verdi av x gir nøyaktig én verdi av y. Parabel Grafen til en andregradsfunksjon kaller vi en parabel. Definisjonsmengden D f Definisjonsmengden D f til funksjonen f er alle de verdiene som vi kan velge for x. Verdimengden V f Verdimengden V f til funksjonen f er alle de funksjonsverdiene f(x) vi får når x D f. Nullpunkt x er et nullpunkt for f dersom f(x) = 0. Produktregelen Dersom r s = 0, så er r = 0 eller s = 0. Andregradsformelen Andregradslikningen ax + bx + c = 0 har løsningene b ± b x = 4ac a når b 4ac 0. Faktorisering av andregradsuttrykk Dersom ax + bx + c har nullpunktene x = x 1 og x = x, er ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ) Dersom andregradsuttrykket bare har ett nullpunkt, x = x 1, er ax + bx + c = a(x x 1 ) Dersom andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, kan det ikke faktoriseres i førstegradsfaktorer. 143

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Funksjoner og grafiske løsninger

Funksjoner og grafiske løsninger 8 1 Funksjoner og grafiske løsninger Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse

Detaljer

Texas. Så trykker vi på zoom og velger 0:ZoomFit. Vi får fram det valget enten ved å trykke på tasten 0 eller ved å trykke på tasten noen ganger.

Texas. Så trykker vi på zoom og velger 0:ZoomFit. Vi får fram det valget enten ved å trykke på tasten 0 eller ved å trykke på tasten noen ganger. ON Lommeregnerstoff Texas 4.1 Rette linjer Her viser vi hvordan vi går fram for å få tegnet linja med likningen y = 2x 3 Vi trykker på Y= og legger inn likningen som vist nedenfor. Nå må vi velge vindu.

Detaljer

4 Funksjoner og andregradsuttrykk

4 Funksjoner og andregradsuttrykk 4 Funksjoner og andregradsuttrkk KATEGORI 1 4.1 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.110 Regn ut f (0), f () og f (4) når a) f () = + b) f () = 4 c) f () = + 5 d) f () = 3 3 Oppgave 4.111 f() = + + 1 4 3 1 0 1

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

Graftegning på lommeregneren

Graftegning på lommeregneren Graftegning på lommeregneren Vi starter med å tegne grafen til fx ( )= 05, x 3 2x 2 +2på lommeregneren for x-verdier mellom 2 og 5. Kontroller grunninnstillingene Før du starter, er det lurt å kontrollere

Detaljer

Mer om likninger og ulikheter

Mer om likninger og ulikheter Mer om likninger og ulikheter Studentene skal kunne utføre polynomdivisjon anvende nullpunktsetningen og polynomdivisjon til faktorisering av polynomer benytte polynomdivisjon til å løse likninger av høyere

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Utgave 1.4 Skrevet av Bjørnar Tollaksen. Hele regelboka er et sammendrag av læreboka. Dette er ment som et supplement til formelheftet, ikke en erstatning. Skrivefeil kan

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

P(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen.

P(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen. 5.9 Sirkellikningen Fra kapittel 4.3 vet vi at sirkelen er det geometriske stedet for de punktene som har en bestemt avstand r fra et fast punkt S. Avstanden r kaller vi radien, og punktet S kaller vi

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner 14 4 Grafer og funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder omforme en praktisk problemstilling

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

1 Funksjoner og grafiske løsninger

1 Funksjoner og grafiske løsninger Oppgaver Funksjoner og grafiske løsninger KATEGORI. Rette linjer Oppgave.0 Vi har gitt likningene for noen rette linjer. Fll ut tabellene og tegn de rette linjene i hvert sitt koordinatsstem. a) = 3 0

Detaljer

Algebra. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Algebra. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser, formler, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver omforme en praktisk problemstilling til en

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette

Detaljer

2 Likningssett og ulikheter

2 Likningssett og ulikheter Likningssett og ulikheter KATEGORI 1.1 Grafisk løsning av lineære likningssett Oppgave.110 Et lineært likningssett består av likningene for to rette linjer. De to rette linjene er tegnet i koordi natsystemet

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er 7.5 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f () = 3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen f () = a k der tallet a og eksponenten k kan være både

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Casio fx-9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Casio fx-9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx-9860 Innhold 1 Om lommeregneren 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for i dag og i morgen Dag 1: 09.00-11.45 Del 1: teori. 11.45-12.30 Lunsj 12.30-13.15 Del 2: bruk av GeoGebra. 13.15-15.15 Oppgaveregning, del 1. Dag 2: 09.00-10.45

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

Formler, likninger og ulikheter

Formler, likninger og ulikheter 58 3 Formler, likninger og ulikheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse

Detaljer

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner S1

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner S1 Funksjoner oppgaver Innhold.1 Funksjoner.... Lineære funksjoner... 5 Ettpunktsformelen.... 9 Skjæringspunkt mellom rette linjer. Nullpunkt for en funksjon... 11.3 Andregradsfunksjon... 1.4 Tredjegradsfunksjon...

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...

Detaljer

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål Eksempel på løsning 011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 010 Bokmål MAT1013 Matematikk 1T, Høst 010 Del 1 Uten hjelpemidler Kun vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål

Detaljer

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a)

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a) R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( )

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx-9860 Innhold 1 Om Casio fx-9860 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e......................................

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Basisoppgaver til 1P kap. 5 Funksjoner

Basisoppgaver til 1P kap. 5 Funksjoner Basisoppgaver til 1P kap. 5 Funksjoner 5.1 Funksjoner og grafer 5.2 Førstegradsfunksjoner 5.3 Lineær vekst 5.4 Proporsjonalitet 5.5 Andregradsfunksjoner 5.6 Mer om funksjoner Basisoppgaver 5.1 Funksjoner

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010 Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Origo er skjæringspunktet mellom x-aksen og y-aksen. Koordinatene til origo er altså. (0, 0) b Førstekoordinaten til

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T Emne Underkapittel Rettvinklede trekanter 2.4 Ikke-rettvinklede trekanter I 2.6 Ikke-rettvinklede trekanter II 2.7 Graftegning 3.2 Graftegning med definisjonsmengde 3.2

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra kompetansemålet: Funksjoner - undersøkje funksjonar som beskriv praktiske situasjonar, ved å fastsetje nullpunkt, ekstremalpunkt og skjeringspunkt og tolke den praktiske verdien av resultata. Oppgave 1

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 Emne Underkapittel Utregning av algebraiske uttrykk 1.4 Forenkle uttrykk 1.5 Faktorisering 1.5 Kvadratsetningene 1.6 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 1.8 Grafisk

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for dagen Del 1: 09:00-11:45 Lunsj: 11:45-12:15 Del 2: 12:15-14:30 Eksamensinformasjon: 14:30-15:00 Plan for tiden før lunsj Økt 1: 09:00-09:45 Økt 2: 10:00-10:45

Detaljer

Løsningsforslag matematikk S1 V14

Løsningsforslag matematikk S1 V14 Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maple

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maple Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maple Innhold 1 Om Maple 4 1.1 Tillegg til Maple................................ 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

Texas Instruments TI-84

Texas Instruments TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Texas Instruments TI-84 Innhold 1 Regning 4 1.1 Tallet e...................................... 4 2 Sannsynlighetsregning

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Koordinatene til origo er (0, 0). b Vi leser av førstekoordinaten langs x-aksen og andrekoordinaten langs y-aksen for

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2012 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2012 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 01 1T DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Skriv så enkelt som mulig x 9 x 6 Vi må faktorisere både teller og nevner. Så kan vi forkorte felles faktorer. Da får vi: x 9 x x 6 a) 4a4 b

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2009

Løsning eksamen R1 våren 2009 Løsning eksamen R1 våren 009 Oppgave 1 a) 1) f( ) ( 1) 4 f ( ) 4( 1) ( 1) 4( 1) 8 ( 1) ) g ( ) e 3 3 3 g( ) e ( e ) 1 e e ( ) 1e e (1) e b) ( ) lim lim lim ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Løsning eksamen 1T våren 2010

Løsning eksamen 1T våren 2010 Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x

Detaljer

DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1

DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1 HELDAGSPRØVE I MATEMATIKK 1T HØST DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) Oppgave 1. Trekk sammen uttrykkene: a) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1 = a. b) 1

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 4.11.011 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Menyer..................................... 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2008

Løsning eksamen R1 våren 2008 Løsning eksamen R våren 008 Oppgave a) f ( ) ln f ( ) ( ) ln (ln ) ln ln b) c) d) e) ( 4 6) : ( ) 4 6 6 0 64 ( 8) ( 8) 8 8 8 6 lim lim lim 8 8 6 8 ( 8) 8 lg( y ) lg y lg lg lg y lg y lg lg y lg lg y y

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

a) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det.

a) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det. Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave

Detaljer

Eksamen 1T, Våren 2010

Eksamen 1T, Våren 2010 Eksamen 1T, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Funksjonen f er gitt ved f x x 3 Tegn grafen

Detaljer

Tall og enheter. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Tall og enheter. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Tall og enheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene 1.1 Regnerekkefølge På ungdomsskolen

Detaljer

Statistikk. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne. planlegge, gjennomføre og vurdere statistiske undersøkelser

Statistikk. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne. planlegge, gjennomføre og vurdere statistiske undersøkelser 48 3 Statistikk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne planlegge, gjennomføre og vurdere statistiske undersøkelser beregne kumulativ hyppighet, finne og drøfte sentralmål og spredningsmål representere

Detaljer

Texas Instruments TI-84

Texas Instruments TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Texas Instruments TI-84 Innhold 1 Om lommeregneren 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Eksamen 1P våren 2011

Eksamen 1P våren 2011 Eksamen 1P våren 011 Del 1: Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Når kursen på islandske kroner er 5,5, svarer 500 ISK til 5, 5 kr 500 = 6, 5 kr 100 b) Hvis vi setter kursen på islandske kroner til 5, blir omregningen

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

Eksamen 1T våren 2011

Eksamen 1T våren 2011 Eksamen 1T våren 011 Oppgave 1 a) 1) ) 7 6 00 000 =,6 10 0,04 10 =,4 10 4 b) c) x x + 6x= 16 + 6x 16 = 0 6 ± 6 4 1 ( 16) 6 ± 6 + 64 6 ± 100 6 ± 10 x = = = = = ± 5 1 x = 8 eller x = x x xx > 0 ( 1) > 0

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

eksamensoppgaver.org 4 2e x = 7 e x = 7 2 ln e x = ln 2 x = ln 7 ln 2 ln x 2 ln x = 2 2 ln x ln x = 2 ln x = 2 x = e 2

eksamensoppgaver.org 4 2e x = 7 e x = 7 2 ln e x = ln 2 x = ln 7 ln 2 ln x 2 ln x = 2 2 ln x ln x = 2 ln x = 2 x = e 2 eksamensoppgaver.org 4 oppgave a..i) e x = 7 e x = 7 ( ) 7 ln e x = ln x = ln 7 ln a..ii) ln x ln x = ln x ln x = ln x = x = e a..i) cos x =.8 x [, 6 ] x = arccos(.8) x 6.9 x 6 6.9 x 6.9 x. a..ii) Løserdennemedabc-formelen

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus 1P boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff. Se brukerveiledningen i Lokus for perspektivtegning med GeoGebra..1 Regnerekkefølge

Detaljer

Kapittel 2. Algebra. Kapittel 2. Algebra Side 29

Kapittel 2. Algebra. Kapittel 2. Algebra Side 29 Kapittel. Algebra Algebra kalles populært for bokstavregning. Det er ikke mye algebra i Matematikk P-Y. Det viktigste er å kunne løse enkle likninger og regne med formler. Kapittel. Algebra Side 9 1. Forenkling

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 50 a Vi ser at grafen har et toppunkt i (11, 380). Det var altså flest besøkende 11. juni. Antall besøkende var da 380. b Vi ser at grafen har

Detaljer

Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra. Av Sigbjørn Hals

Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra. Av Sigbjørn Hals Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Innledning... 3 Typeoppgave 1... 3 Oppgaven... 3 Fremgangsmåten... 4 Løsningen... 4

Detaljer

Eksamen vår 2009 Løsning Del 1

Eksamen vår 2009 Løsning Del 1 S Eksamen, våren 009 Løsning Eksamen vår 009 Løsning Del Oppgave a) Deriver funksjonene: ) f f f 3 3 f f 4 ) g e 3 g e g e e g e b) ) Gitt rekka 468 Finn ledd nummer 0 og summen av de 0 første leddene.

Detaljer

10 Funksjoner. Men vi kan skrive dette enklere rent matematisk. Hvis vi kaller lønnen for L og antall timer for t, kan vi skrive LðtÞ ¼70 t

10 Funksjoner. Men vi kan skrive dette enklere rent matematisk. Hvis vi kaller lønnen for L og antall timer for t, kan vi skrive LðtÞ ¼70 t 10 Funksjoner En funksjon er i matematisk forstand en (entydig) sammenheng mellom to eller flere variabler. Hvis Mari, som er en skoleelev på 16 år, har en lørdagsjobb og tjener kr 70 per time, vil hennes

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Eksamen.05.009 REA30 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5

Detaljer

Fagdag CAS-trening

Fagdag CAS-trening Fagdag 03.12.2015 - CAS-trening Innhold: Viktige kommandoer på side 1. Eksempler på bruk av CAS side 1-4. Arbeidsoppgaver på side 5 og utover. Viktige kommandoer: Se oversiktene side 444 og side 446 i

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

Løsning eksamen S1 våren 2008

Løsning eksamen S1 våren 2008 Løsning eksamen S våren 008 Del Oppgave a) 0 000 0 000 0 0 3 3 b) c) lg 4 0 lg 4 lg 0 00 ) Nullpunktene til f er gitt ved 56 0 ( 5) ( 5) 4 6 5 5 = eller = 3 Nullpunktet til g er gitt ved 6 0 6 3 ) Skjæringspunktene

Detaljer

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning R1 Eksamen, høsten 009 Løsning R1 Eksamen høsten 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 3 a) Deriver funksjonen f( x) 5e x f( x) 5e 3 15e 3 x 3x b) Deriver funksjonen gx x 3 ln x x x g( x) 3x ln x x 3 x 3ln 1 3 c)

Detaljer

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Anne-Mari Jensen Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Innledning I ungdomsskolen kommer funksjoner inn som et av hovedområdene i læreplanen i matematikk. Arbeidet

Detaljer

"Matematikk med TI-83 på AF/ØKAD/VKI" Eksempler som oppfyller målene i "Læreplan for 2MX etter R`94"

Matematikk med TI-83 på AF/ØKAD/VKI Eksempler som oppfyller målene i Læreplan for 2MX etter R`94 1 "Matematikk med TI-83 på AF/ØKAD/VKI" Eksempler som oppfyller målene i "Læreplan for 2MX etter R`94" Arbeidet bygger på Matematikk med TI-83 for GK av samme forfatter. Mål og hovedmomenter 1 2 Mål 3:

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Sinus T uten grafisk kalkulator Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus T boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff.. Regnerekkefølge ( + ) (6+ ):+ CTRL+J Bytter mellom

Detaljer

Tall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne

Tall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Tall og formler MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene tolke, bearbeide, vurdere

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. TI-NspireCAS

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. TI-NspireCAS Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-NspireCAS Innhold 1 Om TI-NspireCAS 4 1.1 Applikasjonene................................. 4 1.2 Dokumenter...................................

Detaljer

Kompendium til MATH001 - Forkurs i matematikk

Kompendium til MATH001 - Forkurs i matematikk Kompendium til MATH001 - Forkurs i matematikk Høst 017, NMBU Kine Josefine Aurland-Bredesen, e-post: kine.josefine.aurland-bredesen@nmbu.no f (x) = 1 x Kompendiumet gir en rask gjennomgang av grunnleggende

Detaljer

Sti 1 Sti 2 Sti 3 600, 601, 602, 603, 604, 605, 607, 609, 610 613, 614, 615, 616, 617, 618, 619 623, 624, 625, 626, 627 630, 631, 632 634, 635

Sti 1 Sti 2 Sti 3 600, 601, 602, 603, 604, 605, 607, 609, 610 613, 614, 615, 616, 617, 618, 619 623, 624, 625, 626, 627 630, 631, 632 634, 635 6 Derivasjon Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne beregne gjennomsnittlig veksthastighet, finne tilnærmede verdier for momentan veksthastighet og gi noen praktiske tolkninger ved

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Faktorisering. Side 55 i læreboka... 3 Rette linjer. Side 73 i læreboka... 3 Digital løsning av likninger. Side 77 i læreboka...

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Geogebra for Sigma matematikk 1P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet

Detaljer

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011. 1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

GeoGebra for Sinus 2T

GeoGebra for Sinus 2T GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side

Detaljer