Tallregning og algebra

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Tallregning og algebra"

Transkript

1 30

2 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritme funksjoner, både ved regning og med digitale hjelpemidler regne med potenser med rasjonal eksponent og tall på standardform, bokstavuttrykk, formler, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver, og bruke kvadratsetningene til å faktorisere algebraiske uttrykk omforme en praktisk problemstilling til en likning, ulikhet eller et likningssystem, løse dette og vurdere gyldigheten av løsningen

3 . Regnerekkefølge På ungdomsskolen har du lært mange regneregler for regning med tall. Vi repeterer noen regler. Når vi skal regne ut et uttrykk, gjør vi det i denne rekkefølgen: Regn først ut parentesene. Regn deretter ut potensene. 3 Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene. 4 Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene. Vi viser nå med et eksempel hvordan vi går fram. EKSEMPEL Regn ut (3 + ) (6 + ) : Løsning: (3 + ) (6 + ) : Regn først ut parentesene. 4 8 : Regn ut potensene. 4 8 : Gjør multiplikasjonene og divisjonene. 4 Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene.!! Legg spesielt merke til hvordan vi regner ut 4 3. Det er ikke det samme som 8 3. Når vi skriver 4 3, er det bare -tallet som skal opphøyes i tredje potens, slik at Hvis vi vil at 4-tallet også skal opphøyes i tredje potens, må vi sette en parentes og skrive (4 ) Når vi skriver 3, er det bare tallet 3 som skal opphøyes i andre potens, ikke tallet 3. Dermed er 3 9. Hvis vi vil opphøye tallet 3 i andre potens, må vi skrive ( 3). Det gir ( 3) 9. På gode lommeregnere kan vi regne ut (3 + ) (6 + ) : uten å dele opp uttrykket. Vi taster inn hele uttrykket på én gang. Prøv å få til det på din lommeregner. 3 3 Sinus T > Tallregning og algebra

4 Da er det viktig å vite at det er to ulike minustegn på lommeregneren. Lommeregneren har både et differansetegn og et fortegn. Differansetegnet bruker vi når vi for eksempel skal regne ut 45. Fortegnet bruker vi hvis vi skal legge inn et negativt tall, f.eks. 4. Differansetasten står vanlig vis på høyre side av lomme regneren. Fortegnstasten ( ) finner du som oftest i den nederste rekka sammen med desimaltegnet. Hvis du har en grafisk lommeregner, finner du framgangsmåten bak i denne boka.? Oppgave.0 Regn ut både med og uten digitale hjelpemidler. 4 4 ( ) c) 5 3 d) (5 3) e) + 3 ( ) f) ( ) + ( 3) g) ( 3) + 5 ( 3) + 6 Oppgave. Regn ut både med og uten digitale hjelpemidler. (7 5) + 3(4 ) + 3 c) (8 4) ( 3) d) 4 + 3(7 3 ) + (3 4 5 ). Brøkregning På grunnskolen lærte vi å forkorte og utvide brøker. Når vi vil utvide en brøk, multipliserer vi med det samme tallet i telleren og nevneren. Når vi vil forkorte en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og nevneren. EKSEMPEL Utvid brøken 5 slik at nevneren blir Forkort brøken _

5 Løsning: Ettersom , multipliserer vi telleren og nevneren med _ _ er det største tallet som går opp i både 8 og 30. Vi dividerer derfor telleren og nevneren med 6. _ : 6 30 : 6 _ Gode lommeregnere kan forkorte brøker. På Texas TI-30X IIB går vi fram på denne måten: Når vi skal forkorte brøken 6, taster vi 6 A b / c 8 Vi får svaret som vist på figuren nedenfor: Finn ut hvordan du gjør dette på din lommeregner. Hvis du har en grafisk lommeregner, finner du framgangsmåten bak i boka.? Oppgave.0 Forkort brøkene både uten og med lommeregner. 4 _ c) _ d) _ 4 54 Oppgave. Bruk lommeregneren til å forkorte brøkene. 7 6 c) d) 53 5 e) 7 78 f) Sinus T > Tallregning og algebra

6 Når vi regner med brøker, bruker vi disse regnereglene: Når vi skal summere brøker, må vi først finne fellesnevneren. Deretter utvider vi alle brøkene så de får den samme nevneren. Til slutt summerer vi tellerne og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere et helt tall og en brøk, multipliserer vi det hele tallet med telleren og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere to brøker, multipliserer vi telleren med telleren og nevneren med nevneren. Vi trenger ikke å finne fellesnevneren. Når vi skal dividere med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. EKSEMPEL 7 _ c) 3 7 _ 8 d) _ 4 5 _ 6 49 e) _ 35 : _ 8 7! Løsning: Fellesnevneren er 4. _ _ _ _ 9 4 _ 3 4 Fellesnevneren for de to brøkene er 8. c) 3 7 _ Legg merke til hvordan vi gjør om tallet 3 til en brøk ved å skrive _ _ 4 9 _ _ _ 8 _ _ _ d) _ 4 5 _ 6 49 _ _ 5 7 _ e) _ : _ 8 7 _ 35 _ 7 _ _ _ 45 6 Det er lurt å forkorte før vi multipliserer tallene i telleren og i nevneren. Vi forkorter brøken før vi multipliserer tallene i telleren og i nevneren. 35

7 Svarene på forrige side kan vi la stå som uekte brøk. For eksempel trenger vi ikke gjøre om _ 45 til _ 3. I den videregående skolen bruker vi slike 6 6 blandede tall svært lite. Grunnen er at det er vanlig å utelate multiplikasjonstegn. Tallet _ 3 kan vi derfor lett oppfatte som _ 3 i stedet for + _ , som er det rette.! Du trenger altså ikke gjøre uekte brøker om til blandede tall, men du må passe på å forkorte alle svar. Brøkstykkene foran kan vi regne på gode lommeregnere. Når vi skal regne 7 ut _ på Casio fx8es, taster vi Svaret blir _ 3 som vist her: Sinus T > Tallregning og algebra 3 4 Finn ut hvordan du kan gjøre dette på din lommeregner. Hvis du bruker en grafisk lommeregner, finner du framgangsmåten bak i denne boka. En brøk med brøker i telleren eller nevneren kaller vi en brudden brøk: 6 5 _ 4 5 Brøkene i teller og nevner kaller vi småbrøker. Her er det 6 5 og _ 4 som er 5 småbrøkene. Brøkstreken mellom småbrøkene kaller vi hovedbrøkstreken. Når vi skal forenkle en brudden brøk, finner vi først fellesnevneren for småbrøkene. Fellesnevneren i dette tilfellet er 5. Deretter utvider vi den brudne brøken. Det gjør vi ved å multiplisere med fellesnevneren over og under hovedbrøkstreken _ _ 6 3 _ Den brudne brøken ovenfor kan vi også forenkle ved å dividere: 6 5 _ : _ _ Den første metoden er mest praktisk når vi skal forenkle brudne brøker som har flere ledd i telleren eller i nevneren.

8 EKSEMPEL Trekk sammen den brudne brøken Løsning: Fellesnevneren for småbrøkene er 8. ( ) 9 8 _ 6 ( + 7 ) _ _ 8 + _ 39 3 Vi kan regne ut brudne brøker på lommeregnere. Pass da på å sette parentes om telleren og om nevneren.? Oppgave. Regn ut både med og uten lommeregner. _ d) 3 + _ 5 _ 4 9 e) 3 _ 5 c) _ : 4 9 f) 3 : _ 5 Oppgave.3 ( ) ( ) 3 5 c) _ ( _ ) : 9 d) ( ) ( ) Oppgave.4 Regn ut både uten og med lommeregner. _ _ 36 c) _ _ _ 5 d) _ 3 _

9 .3 Bokstavregning og parenteser I uttrykket x + 4x står x for en variabel eller et ukjent tall. Uttrykket består av to ledd, x og 4x. Bokstavuttrykk eller tall med plusstegn eller minustegn mellom kaller vi ledd. Disse to leddene er av samme type, og dermed kan vi trekke dem sammen: I uttrykket x + 4x 6x 4a + a + a + 3a er det seks ledd. Leddene 4a og a er av samme type, og vi kan trekke dem sammen. Leddene 4a og a er ikke av samme type og kan derfor ikke trekkes sammen. Vi samler ledd av samme type og trekker sammen. 4a + a + a + 3a 4a a + a + 3a + 3a + 5a Når vi regner med bokstavuttrykk, får vi bruk for å løse opp parenteser. Når vi løser opp en parentes, fjerner vi parentesen. Fra ungdomsskolen kjenner vi reglene nedenfor. Når vi skal løse opp en parentes som har et minustegn foran, må vi skifte fortegn på alle leddene inne i parentesen. En parentes med et plusstegn foran kan vi fjerne uten å endre noe fortegn inne i parentesen. EKSEMPEL Trekk sammen 5a + (3a + (4a +. Løsning: 5a + (3a + (4a + 5a + 3a + b 4a b 5a + 3a 4a + b b 4a Sinus T > Tallregning og algebra

10 ? Oppgave.30 Trekk sammen uttrykkene. x 5y + 3x + 7y + a + a a 3a c) x + x + y x y d) xy + xy x y xy yx Oppgave.3 Løs opp parentesene og trekk sammen. (5x + y) + (x y) a + b ( a + c) (x + x + ) (x x + ) d) a a 3 + ( a + a + 3) Når vi multipliserer parentesuttrykk, bruker vi disse reglene: Når vi skal multiplisere et tall og et parentesuttrykk, må vi multiplisere tallet med hvert ledd som står inne i parentesen. Når vi skal multiplisere to parentesuttrykk, må vi multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre. EKSEMPEL 3(x + 3x ) 3(x 4) c) (x 3) (x + ) d) y (y + 3)(y ) Løsning: 3(x + 3x ) 3 x + 3 3x 3 3x + 9x 6 3(x 4) ( 3) x ( 3) 4 6x + c) (x 3)(x + ) x x + x 3 x 3 x + 4x 3x 6 x + x 6 d) y (y + 3)(y ) y (y y + y ( ) + 3 y + 3 ( )) y (y y + 6y 3) y (y + 5y 3) y y 5y + 3 5y + 3 Når vi multipliserer uttrykk med minus foran, må vi beholde parentesen. 39

11 Et produkt av tre faktorer kan vi regne ut på flere måter. Her skal vi vise hvordan vi kan regne ut (t 5)(t + ) på tre forskjellige måter. Metode Vi kan multiplisere parentesene med hverandre først: (t 5)(t + ) (t + t 5t 5 ) (t 9 t 5 ) t 9t 5 Metode Vi kan multiplisere med (t 5) først: (t 5)(t + ) (t 0)(t + t t + t ) 0t 0 t + t 0t 5 t 9t 5 Metode 3 Vi kan multiplisere med (t + ) først: (t 5)(t + ) (t 5)(t + ) (t 5)(t + ) t + t 0t 5 t 9t 5 Vi ser at alle de tre metodene gir samme svar, og vi kan velge fritt hvilken metode vi vil bruke. Her er kanskje den tredje metoden den beste, for den gir minst brøkregning.!? Når vi skal regne ut (t 5)(t + ), må vi ikke multiplisere begge parentesene med. Oppgave.3 (x + 4) (t 3) c) 3(x + ) (3x + ) d) 5(x + 3x + ) 5(x + ) Oppgave.33 Trekk sammen. (a + 3( a + 3 a(ab b ) b(a a c) (x + )(x 3) d) (3t )(t + ) Oppgave.34 Trekk sammen. (x )(x + 3) + (x )(x 4) (x + 3)(4x ) (x + )(x 3) c) (x )(x + 3) d) 3 (t + 3)(8t 4) Sinus T > Tallregning og algebra

12 .4 Rasjonale uttrykk Et rasjonalt bokstavuttrykk er en brøk som inneholder en variabel. Vi bruker de vanlige regnereglene for brøker når vi regner med slike uttrykk. EKSEMPEL 5 _ 7 x x + 4 a _ 4 ab c) x 4 : _ x Løsning: Fellesnevneren for x, x og 4 er 4x. Vi utvider brøkene slik at alle får nevneren 4x. 5 _ 7 x x + 4 _ x 7 x + _ x 4 x _ 0 4x _ 4 4x + _ x x _ 6 + x 4x 4x 4x Vi multipliserer telleren med telleren og nevneren med nevneren. a _ 4 ab a 4 ab _ a 4 a b b c) Når vi dividerer med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. 3 x 4 : _ x x 4 _ x x 4 x x 4 x 3 3? Oppgave.40 Trekk sammen. a + a 3 + a 6 _ a + _ 3a + _ 6a c) + _ 3 x x _ 4 3x Oppgave.4 _ a 3 6 x a 3y 5y 4x c) _ 8a 5 : _ 4a 5 d) _ 6a 5 : a Oppgave a _ 7 3a _ x ( 5x 3 _ 7x 6 ) c) ( x _ 3 + _ 5x 6 ) : _ x 4

13 Hvis telleren inneholder en sum, må vi sette parentes om summen når vi setter uttrykkene på felles brøkstrek. EKSEMPEL x _ x _ x + 4 Løsning: x _ x + 6 (x + 3) 3 4x _ x + 6 _ x + 6 (4x + 6) (x + ) _ 6 4x + 6 x 6 3x _ x + 8 (x + ) _ (x + ) 3 x + 3 Brudne brøker som inneholder en variabel, er det lettest å forenkle hvis vi multipliserer over og under hovedbrøkstreken med fellesnevneren for småbrøkene. EKSEMPEL x + _ x Sinus T > Tallregning og algebra

14 Løsning: Fellesnevneren for småbrøkene er 4. Vi multipliserer derfor med 4 over og under hovedbrøkstreken. x + 4 ( x _ + ) x 4 + _ 4 ( x 4 + ) 4 x x x x +? Oppgave.43 x + 3 _ x c) x + _ x x 3x _ a + d) + _ a a a 6 a _ a + 3 3a Oppgave.44 _ x 5 + x _ 0 x + _ + x c) _ a b a b d) + _ x 6 _ x _ 3x.5 Kvadratsetningene I kapittel.3 multipliserte vi parentesuttrykk med hverandre. Vi skal nå multiplisere ut tre spesielle uttrykk: (a + (a + (a + a a + a b + b a + b b a + ab + ab + b a + ab + b (a (a (a a a a b b a + ( ( a ab ab + b a ab + b (a + (a a a + a ( + b a + b ( a ab + ab b a b 43

15 Vi har nå bevist de tre kvadratsetningene: Første kvadratsetning: (a + a + ab + b Andre kvadratsetning: (a a ab + b Tredje kvadratsetning: (a + (a a b I den tredje kvadratsetningen regner vi ikke ut noe kvadrat. Mange kaller denne setningen for konjugatsetningen. Men vi bruker ofte denne setningen den andre veien. Vi får da at a b (a + (a. Det gir oss et uttrykk for en differanse mellom to kvadrater. Vi kaller derfor også denne setningen for en kvadratsetning. EKSEMPEL (x + 3) (y 5) c) (t + )(t ) d) (x + 3) + (x 3) (x + 3)(x 3) Løsning: (x + 3) x + x x + 6x + 9 (y 5) y y y 0y + 5 c) (t + )(t ) (t) 4t Legg merke til at d) (x + 3) + (x 3) (x + 3)(x 3) (x + 6x + 9) + (x 6x + 9) (x 9) x + 6x x 6x + 9 x + 8 0x + 0x (t) t t 4t? Oppgave.50 Bruk kvadratsetningene til å regne ut. (x ) (x + 4) c) (t + 5) d) (t + 3)(t 3) e) (y 4)(y + 4) Oppgave.5 Bruk kvadratsetningene til å regne ut. (t )(t + ) (x + ) c) (x 5)(x + 5) d) (3x ) e) (5x + ) Sinus T > Tallregning og algebra

16 ? Oppgave.5 Bruk om mulig kvadratsetningene når du regner ut og trekker sammen. (x + ) (x + )(x ) (x + 3) (x 3) c) (x 3) 4(x + )(x 3) d) (t 4)(t + 4) + 3(t + 4)! Du kan regne eksemplene på forrige side uten å bruke kvadratsetningene, men du bør likevel bruke dem. Vi skal snart bruke kvadratsetningene baklengs. Hvis vi skal få til det, må vi ha god trening i å bruke kvadrat setningene slik som vist foran. Vi kan også bruke kvadratsetningene til vanlig tallregning. EKSEMPEL Regn ut ved hjelp av kvadratsetningene c) d) Løsning: 9 (0 ) (0 + ) (30 + ) c) (40 ) d) (50 + 3) (50 3) ? Oppgave.53 Regn ut ved hjelp av kvadratsetningene c) d) 8 3 e) f) Oppgave.54 Regn ut uten å bruke lommeregner. ( + )( ) ( 5 )( 5 + ) c) ( 7 + 3)( 7 3) 45

17 .6 Faktorisering Et uttrykk består av flere ledd dersom det er sammensatt av flere deler med plusstegn eller minustegn mellom. Uttrykket x + 5x + 6 har tre ledd: x, 5x og 6. Uttrykket 5xy + 3(x + y) + y består av de tre leddene 5xy, 3(x + y) og y. Vi sier at et uttrykk er faktorisert når det består av bare ett ledd. Uttrykket 3(x + 5)(x 3) er faktorisert. Det består av de tre faktorene 3, (x + 5) og (x 3). Uttrykket 3(x + 5)y + 7 er ikke faktorisert, for det består av to ledd: 3(x + 5)y og 7. Når vi faktoriserer et uttrykk, skriver vi uttrykket som et produkt av flere faktorer. Vi skal lære flere faktoriseringsmetoder. Dersom leddene i et uttrykk har felles faktorer, kan vi trekke faktorene utenfor en parentes. 4x + 4 x (x + 3) x 4x x x 4 x (x 4) x (x 4)x 3x 3 9x 3x x 3x 3 3x(x 3) Vi ser at uttrykkene er faktorisert, for nå består de av bare ett ledd. Ved å multiplisere faktorene kan vi alltid kontrollere om en faktorisering er riktig: 3x(x 3) 3x x 3x 3 3x 3 9x Vi må være forsiktige når vi setter negative tall utenfor en parentes: 6x + 4x 0 (3x x + 5) 3x 6x 3x(x + ) Leddene i parentesen må skifte fortegn. Vi ser at det stemmer når vi multipliserer faktorene: 3x(x + ) 3x x + ( 3x) 3x 6x Vi kan alltid kontrollere en faktorisering ved å multiplisere faktorene Sinus T > Tallregning og algebra

18 ? Oppgave.60 Hvor mange ledd består uttrykkene av? Hvilke uttrykk er faktorisert? x(x ) + 4x x 4x + 4 c) (x 4y)(x y) d) (x ) Oppgave.6 Sett mest mulig utenfor en parentes. 3x + 6 x 3x c) y 3 4y d) x 3 4x + 6x Oppgave.6 Trekk mest mulig utenfor en parentes. xy + 4x 5xy 0xy c) a b + 3a b + ab d) 3x + 6xy 9x Vi kan bruke tredje kvadratsetning til å faktorisere en differanse mellom to kvadrater. Da bruker vi setningen slik: a b (a + (a EKSEMPEL Faktoriser uttrykkene. x 4 x 5 c) 4t 9 d) (x ) 4 Løsning: x 4 x (x + )(x ) x 5 x ( 5 ) ( x + 5 ) ( x 5 ) c) 4t 9 (t) 3 (t + 3)(t 3) d) (x ) 4 (x ) ((x ) + )((x ) ) (x + )(x 3) Når vi faktoriserer, må vi ofte først sette faktorer utenfor en parentes og deretter bruke tredje kvadratsetning. 47

19 EKSEMPEL Faktoriser 3x 3 48x. Løsning: 3x 3 48x 3x(x 6) 3x(x 4 ) 3x(x + 4)(x 4)? Oppgave.63 Faktoriser uttrykkene. x 9 t 6 c) x d) x 4 8 Oppgave.64 Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. 4x 9 x + 4 c) 9x d) x 3 75x Oppgave.65 Faktoriser uttrykkene hvis det er mulig. (x ) 9 (x + ) c) (x 3) + 4 d) (x + ) 6.7 Forkorting av rasjonale uttrykk I kapittel.4 arbeidet vi med rasjonale uttrykk. Når vi skal forkorte slike uttrykk, og når vi skal finne fellesnevneren, får vi bruk for det vi nå har lært om faktorisering. EKSEMPEL _ x + x 7 3 3x + 6 9x x x Sinus T > Tallregning og algebra

20 Løsning: Først faktoriserer vi og setter alt på én brøkstrek. Deretter forkorter vi brøken. _ x + x 7 _ x (x + ) 7 7x 3 3x (x + ) 9 _ 3x 3x Først faktoriserer vi nevnerne for å finne fellesnevneren. x + 6 (x + 3) 3x (x + 3) Fellesnevneren er 3 (x + 3) 6(x + 3) Nå utvider vi brøkene slik at de får samme nevner. Deretter trekker vi sammen. 9x x x + 9 9x (x + 3) + 4 3(x + 3) 3 9x 3 (x + 3) + 4 3(x + 3) 7x 6(x + 3) + 8 6(x + 3) 7x + 8 6(x + 3) Vi må alltid se etter om vi kan forkorte svaret. Her går det ikke an, for vi kan ikke faktorisere telleren. 3? Oppgave x 9 4x c) _ x + 3 x x 4 d) x x + 4 3x Oppgave.7 _ x + 3 3x + 9 x + 4 x 4 x + _ 3x + 3 7x 4 c) _ x 3x x + x x 6 49

21 ? Oppgave.7 Trekk sammen. x 3 + _ x + _ 5x 6 c) + 3x 4 x _ x + + x d) x _ + x 4 + x _ x x + Noen ganger må vi faktorisere andregradsuttrykk når vi skal trekke sammen rasjonale uttrykk. EKSEMPEL x + 4 x x 6x Løsning: Først faktoriserer vi telleren og nevneren mest mulig. Vi må bruke tredje kvadratsetning for å faktorisere x. x x (x )(x + ) Deretter forkorter vi før vi multipliserer uttrykkene i telleren og i nevneren. x + 4 x x (x + ) (x )(x + ) 6x (x ) 6x (x + ) (x )(x + ) _ (x ) 6 x 3 x + 3x + 3x (x + )(x + ) 3x? Oppgave.73 Faktoriser og forkort. x 4 x 4 _ 4x 9 4x 6 Oppgave.74 Faktoriser og skriv uttrykkene så enkle som mulig. 3x 3 + x + 3 x + 3 x + x x x Sinus T > Tallregning og algebra

22 .8 Fullstendige kvadrater Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere ved hjelp av den første eller den andre kvadratsetningen. Uttrykket x + 6x + 9 er et fullstendig kvadrat fordi x + 6x + 9 (x + 3) Vi kontrollerer om dette er riktig ved å regne ut (x + 3) ved hjelp av den første kvadratsetningen: (x + 3) x + 3 x + 3 x + 6x + 9 Hvordan kan vi finne ut om x + bx + c er et fullstendig kvadrat? Da må x + bx + c (x + k) der k er et eller annet tall. Vi bruker nå første kvadratsetning og regner ut uttrykket på høyre side. Det gir x + bx + c x + kx + k Disse uttrykkene skal være like for alle verdier av x. Da må tallene foran x være like. Vi får k b k b Leddene uten x (konstantleddene) må også være like. Det gir c k ( b ) Uttrykket x + bx + c er et fullstendig kvadrat dersom ( b ) c. Da er x + bx + c ( x + b ) 5

23 EKSEMPEL Undersøk om uttrykkene er fullstendige kvadrater. Faktoriser uttrykkene hvis det er mulig, og kontroller faktoriseringen. x + 8x + 6 x 4x + Løsning: I uttrykket x + 8x + 6 er b 8 og c 6. Det gir ( b ) ( 8 ) 4 6 Både ( b ) og c er dermed lik 6. Vi har et fullstendig kvadrat som vi kan faktorisere på denne måten: x + 8x + 6 ( x + b ) ( x + 8 ) (x + 4) Dette kontrollerer vi ved hjelp av første kvadrat setning: (x + 4) x + x x + 8x + 6 For uttrykket x 4x + er ( b ) _ ( 4 ) ( ) 4 Men ettersom c, er ikke ( b ) c. Uttrykket er ikke noe fullstendig kvadrat.? Oppgave.80 Undersøk om uttrykkene er fullstendige kvadrater, og faktoriser de fullstendige kvadratene. x 0x + 5 x + 3x + 9 c) x 4 + 6x + 8 d) t 5t + 6 Oppgave.8 Finn tallet c slik at uttrykket blir et fullstendig kvadrat. x + 4x + c x 4x + c c) x 6x + c d) x + 5x + c Oppgave.8 Vis at uttrykket er et fullstendig kvadrat. x + 8x + 6 Forkort brøkene ) 4x + 6 _ x + 8x Sinus T > Tallregning og algebra ) x 6 _ x + 8x + 6

24 .9 Metoden med fullstendige kvadrater I kapittel.8 lærte vi å faktorisere andregradsuttrykk som er fullstendige kvadrater. Hvis andregradsuttrykket x + bx + c ikke er et fullstendig kvadrat, kan vi faktorisere ved å lage et fullstendig kvadrat av x + bx. Vi legger til og trekker fra ( b ). Vi viser hvordan vi faktoriserer x + 4x + 3. x + 4x + 3 x + 4x + ( 4 ) ( 4 ) + 3 Vi danner fullstendig kvadrat. x + 4x (x + ) Vi bruker den første kvadratsetningen. (x + ) ((x + ) + )((x + ) ) Vi bruker den tredje kvadratsetningen. (x + 3)(x + ) Faktoriseringer kan vi alltid kontrollere ved multiplikasjon. (x + 3)(x + ) x + x + 3x + 3 x + 4x + 3 Tall foran x setter vi utenfor en parentes før vi lager fullstendig kvadrat. Vi bruker denne framgangsmåten når vi skal faktorisere andregradsuttrykk: Trekk tallet foran x utenfor en parentes. Lag fullstendig kvadrat ved å legge til og trekke fra tallet foran x ( ). 3 Faktoriser det fullstendige kvadratet og trekk sammen resten av leddene. 4 Faktoriser uttrykket ved hjelp av den tredje kvadratsetningen hvis det lar seg gjøre. 53

25 EKSEMPEL Faktoriser uttrykkene hvis det er mulig. x x + 0 x 4x + 5 Løsning: Vi følger framgangsmåten på forrige side. x x + 0 (x 6x + 5) ( x 6x + _ ( 6 ) ( 6 _ (x 6x ) Andre kvadratsetning ((x 3) 9 + 5) ((x 3) 4) ((x 3) ) Tredje kvadratsetning ((x 3) + )((x 3) ) (x 3 + )(x 3 ) (x )(x 5) ) + 5 ) I uttrykket x 4x + 5 trenger vi ikke sette noe tall utenfor en parentes. Vi går rett på punkt i algoritmen. x 4x + 5 x 4x + _ ( 4 ) _ ( 4 ) + 5 x 4x Andre kvadratsetning (x ) (x ) + Uttrykket (x ) + kan vi ikke faktorisere ved hjelp av tredje kvadratsetning fordi det står et plusstegn mellom de to leddene. Vi kan dermed heller ikke faktorisere x 4x + 5. Uttrykket x 4x + 5 kan vi ikke faktorisere. Det er bare andregradsuttrykk med tre ledd vi faktoriserer ved å lage fullstendige kvadrater. Uttrykket ax + bx faktoriserer vi ved å sette x utenfor en parentes. Uttrykket ax + c faktoriserer vi med den tredje kvadratsetningen hvis det lar seg gjøre. Tallene a og c må da ha motsatt fortegn. Uttrykk av typen (x + + c kan vi ikke faktorisere hvis c > Sinus T > Tallregning og algebra

26 ? Oppgave.90 Faktoriser uttrykkene. x 8x + x 3x + c) x 4x 30 d) 3x 5x + 8 Oppgave.9 Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. 4x 4x + x + 4x + 3 c) x + 4x + d) 4x + 4x 4 Oppgave.9 Faktoriser uttrykket x 4x + 3 Trekk sammen x 4x + 3 _ 6 x Oppgave.93 Faktoriser andregradsuttrykkene og trekk sammen. _ x 3 x + x 4x + 3 x + x 5x _ 3 x _ 4 x 3 Det finnes digitale hjelpemidler som kan faktorisere og forkorte algebraiske uttrykk. Du finner hjelp til noen slike hjelpemidler på Sinus-sidene på nettet. Oppgave.94 Løs oppgave.90 digitalt. Oppgave.95 Løs oppgave.8b og oppgave.9 digitalt. 55

27 SAMMENDRAG Regnerekkefølge Regn først ut parentesene. Regn deretter ut potensene. 3 Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene. 4 Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene. Regneregler ved brøkregning Når vi forkorter en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og nevneren. Brøken endrer ikke verdi. Vi utvider en brøk ved å multiplisere med det samme tallet i telleren og nevneren. Brøken endrer da ikke verdi. Når vi skal summere brøker, må vi først finne fellesnevneren. Deretter utvider vi alle brøkene så de får den samme nevneren. Til slutt summerer vi tellerne og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere et helt tall og en brøk, multipliserer vi det hele tallet med telleren og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere to brøker, multipliserer vi telleren med telleren og nevneren med nevneren. Vi trenger ikke finne fellesnevneren. Når vi skal dividere med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. Å løse opp parenteser Når vi skal løse opp en parentes som har et minustegn foran, må alle leddene inne i parentesen skifte fortegn. En parentes med et plusstegn foran kan vi fjerne uten å endre noe fortegn inne i parentesen. Multiplikasjon med parentes Når vi skal multiplisere et tall og et parentesuttrykk, må vi multiplisere tallet med hvert ledd som står inne i parentesen. Når vi skal multiplisere to parentesuttrykk, må vi multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre. Kvadratsetningene Første kvadratsetning: (a + a + ab + b Andre kvadratsetning: (a a ab + b Tredje kvadratsetning: (a + (a a b Sinus T > Tallregning og algebra

28 Fullstendig kvadrat Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere ved hjelp av den første eller den andre kvadratsetningen. Uttrykket x + bx + c er et fullstendig kvadrat dersom ( b ) c. Da er x + bx + c ( x + b ) Metoden med fullstendige kvadrater Denne metoden bruker vi til å faktorisere andregradsuttrykk: Trekk tallet foran x utenfor en parentes. Lag fullstendig kvadrat ved å legge til og trekke fra _ tallet foran x ( ). 3 Faktoriser det fullstendige kvadratet og trekk sammen resten av leddene. 4 Faktoriser uttrykket ved hjelp av den tredje kvadratsetningen hvis det lar seg gjøre. 57

Innledning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Innledning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Innledning Mål for opplæringen er at eleven skal kunne løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritme funksjoner, både ved regning

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

Algebra. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Algebra. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser, formler, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver omforme en praktisk problemstilling til en

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Tall og enheter. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Tall og enheter. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Tall og enheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene 1.1 Regnerekkefølge På ungdomsskolen

Detaljer

Forberedelseskurs i matematikk

Forberedelseskurs i matematikk Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger

Detaljer

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.

Detaljer

Mer om likninger og ulikheter

Mer om likninger og ulikheter Mer om likninger og ulikheter Studentene skal kunne utføre polynomdivisjon anvende nullpunktsetningen og polynomdivisjon til faktorisering av polynomer benytte polynomdivisjon til å løse likninger av høyere

Detaljer

Verktøyopplæring i kalkulator for elever

Verktøyopplæring i kalkulator for elever Verktøyopplæring i kalkulator for elever Innholdsfortegnelse Enkel kalkulator... 2 Kalkulator med brøk og parenteser... 7 GeoGebra som kalkulator... 11 H. Aschehoug & Co. www.lokus.no Side 1 Enkel kalkulator

Detaljer

Regning med tall og bokstaver

Regning med tall og bokstaver Regning med tall og bokstaver M L N r du har lest dette kapitlet, skal du kunne ^ bruke reglene for br kregning ^ trekke sammen, faktorisere og forenkle bokstavuttrykk ^ regne med potenser ^ l se likninger

Detaljer

Tall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne

Tall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Tall og formler MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene tolke, bearbeide, vurdere

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...

Detaljer

Regning med variabler

Regning med variabler Regning med variabler???? (x y) (x y) Hvordan kan Herman regne ut uttrykket på tavla? Når vi skal regne ut bokstavuttrykk med parenteser, må vi løse opp parentesene først. Hvis det står et tall eller et

Detaljer

NAVN: INNHOLD. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, Side 1 av 18

NAVN: INNHOLD. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, Side 1 av 18 NAVN: INNHOLD FORORD... 2 LÆREPLAN... 3 ALGEBRA.... 3 REGNING MED VARIABLER... 3 MONOM... 3 POLYNOM... 3 TREKKE SAMMEN UTTRYKK (addisjon/subtraksjon)... 4 MULTIPLIKASJON... 4 DIVISJON... 4 ADDISJON AV

Detaljer

Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om likninger og annen algebra

Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om likninger og annen algebra Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om likninger og annen algebra Kilde: www.clipart.com 1 Likninger og annen algebra. Lærerens ark Hva sier læreplanen? Tall og algebra Mål for opplæringen er at eleven

Detaljer

Faktorisering og multiplisering med konjugatsetningen

Faktorisering og multiplisering med konjugatsetningen Faktorisering og multiplisering med konjugatsetningen De følgende oppgavene er øvinger i faktorisering og multiplisering ved hjelp av konjugatsetningen /3. kvadratsetning. Gjennom oppgavene gir vi elevene

Detaljer

Matematikk 01 - Matematikk for data- og grafiske fag.

Matematikk 01 - Matematikk for data- og grafiske fag. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Versjon per. juni 004 Matematikk 0 - Matematikk for data- og grafiske fag. y x Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no Forord Dette kompendiet er skrevet for faget

Detaljer

En konstant er et symbol med en fast verdi. 2 og er eksempler pô konstanter.

En konstant er et symbol med en fast verdi. 2 og er eksempler pô konstanter. Algebra Variabel Konstant trekke sammen Algebra er bokstavregning. Det er et verktöy som forenkler regneoperasjonene i forskjellige omrôder av matematikken. Bokstavene er symboler for tall og skal behandles

Detaljer

Verktøyopplæring i kalkulator

Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator Enkel kalkulator... 3 Regneuttrykk uten parenteser... 3 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 3 Negative tall... 4 Regneuttrykk med parenteser... 5 Brøk... 5 Blandet

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Oversikt over aktuelle temaer til matematikkprøve onsdag 28. november

Oversikt over aktuelle temaer til matematikkprøve onsdag 28. november Oversikt over aktuelle temaer til matematikkprøve onsdag 28. november 1. Algebra 1.1 Innsetting av tallverdier i bokstavuttrykk Eksempel 1: Sett inn a = 2 og regn ut verdien til uttrykket 4a 3 4a 3 = 4

Detaljer

Kapittel 1 Tall og tallregning

Kapittel 1 Tall og tallregning Kapittel 1 Tall og tallregning Enkel kalkulator I en del situasjoner er tallregningen så tidkrevende at det kan være fornuftig å bruke kalkulator. I andre situasjoner kan vi bruke kalkulatoren til å kontrollere

Detaljer

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Utgave 1.4 Skrevet av Bjørnar Tollaksen. Hele regelboka er et sammendrag av læreboka. Dette er ment som et supplement til formelheftet, ikke en erstatning. Skrivefeil kan

Detaljer

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet CAS GeoGebra Innhold CAS GeoGebra... 1 REGNING MED CAS-VERKTØYET... 2 Rette opp feil, slette linjer... 3 Regneuttrykk... 4 FAKTORISERE TALL... 4 BRØK... 4 Blandet tall... 5 Regneuttrykk med brøk... 5 POTENSER...

Detaljer

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011. 1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Sinus 1TIP. Matematikk for teknikk og industriell produksjon. Bokmål. Tore Oldervoll Odd Orskaug Audhild Vaaje Finn Hanisch

Sinus 1TIP. Matematikk for teknikk og industriell produksjon. Bokmål. Tore Oldervoll Odd Orskaug Audhild Vaaje Finn Hanisch Tore Oldervoll Odd Orskaug Audhild Vaaje Finn Hanisch Sinus 1TIP Matematikk for teknikk og industriell produksjon Yrkesfaglig utdanningsprogram Bokmål CAPPELEN 8 1 Tall og tallregning Mål for opplæringen

Detaljer

Revidert veiledning til matematikk fellesfag. May Renate Settemsdal Nasjonalt Senter for Matematikk i Opplæringen Lillestrøm 14.

Revidert veiledning til matematikk fellesfag. May Renate Settemsdal Nasjonalt Senter for Matematikk i Opplæringen Lillestrøm 14. Revidert veiledning til matematikk fellesfag May Renate Settemsdal Nasjonalt Senter for Matematikk i Opplæringen Lillestrøm 14.oktober 2013 Hvorfor ny veiledning Revidert læreplan matematikk fellesfag

Detaljer

Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra

Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Teknikker og type-eksempler Faktorisering Se også eget notat om faktorisering på nettsidene mine. Faktorisering brukes til å: Finne fellesnevner i rasjonale uttrykk.

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme

Detaljer

Algebraiske morsomheter Vg1-Vg3 90 minutter

Algebraiske morsomheter Vg1-Vg3 90 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: Algebraiske morsomheter Vg1-Vg3 90 minutter Algebraiske morsomheter er et skoleprogram hvor elevene kan bruke forskjellige matematiske modeller i praktiske undersøkende

Detaljer

Matematikk fellesfag veiledning til læreplanene

Matematikk fellesfag veiledning til læreplanene Matematikk fellesfag veiledning til læreplanene Denne veiledningen gir praktiske eksempler på hvordan du som lærer kan arbeide med læreplanene i matematikk fellesfag og matematikk 2P/2T. Veiledning Publisert:

Detaljer

Innhold. 1 Innledning. Søk SØK. Du er her: Forside Læring og trivsel Læreplanverket Matematikk fellesfag - veiledning til læreplaner.

Innhold. 1 Innledning. Søk SØK. Du er her: Forside Læring og trivsel Læreplanverket Matematikk fellesfag - veiledning til læreplaner. Søk SØK SØK MENY Du er her: Forside Læring og trivsel Læreplanverket Matematikk fellesfag - veiledning til læreplaner Innhold 1 Innledning 2 Fagets egenart 3 Yrkesretting av fellesfaget matematikk 4 Praktiske

Detaljer

Eksamen i matematikk. Hvordan har eksamen i R1 høsten 2011 endret all læreplantolkning?

Eksamen i matematikk. Hvordan har eksamen i R1 høsten 2011 endret all læreplantolkning? Eksamen i matematikk Hvordan har eksamen i R1 høsten 2011 endret all læreplantolkning? Samarbeidet udir/forlag Før reform 94: En representant fra hvert matematikkverk var med på å lage eksamensoppgavene

Detaljer

Kompendium til MATH001 - Forkurs i matematikk

Kompendium til MATH001 - Forkurs i matematikk Kompendium til MATH001 - Forkurs i matematikk Høst 017, NMBU Kine Josefine Aurland-Bredesen, e-post: kine.josefine.aurland-bredesen@nmbu.no f (x) = 1 x Kompendiumet gir en rask gjennomgang av grunnleggende

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

Brøk Vi på vindusrekka

Brøk Vi på vindusrekka Brøk Vi på vindusrekka Brøken... 2 Teller og nevner... 3 Uekte brøk... 5 Blanda tall... 6 Desimalbrøk... 8 Pluss/minus... 9 Multiplikasjon... 11 Likeverdige brøker... 12 Utviding... 13 Forkorting... 14

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup Brukerveiledning for webapplikasjonen Mathemateria 01.02.2015 Terje Kolderup Innhold Brukerveiledning for webapplikasjonen...1 Mathemateria...1 Introduksjon...3 Typisk eksempel og bryterstyring...3 Innlogging...4

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr Hvordan du regner med brøk Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com Opplysning: Et helt tall er delelig på et annet helt tall hvis svaret

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Ronny Kjelsberg. Noen grunnleggende elementer innen manipulasjon av brøk og enkle algebraiske uttrykk

Ronny Kjelsberg. Noen grunnleggende elementer innen manipulasjon av brøk og enkle algebraiske uttrykk Ronny Kjelsberg Noen grunnleggende elementer innen manipulasjon av brøk og enkle algebraiske uttrykk Contents Hvordan bli en BRØKREGNER på en, to, tre:. EN: Basics................................ Hva er

Detaljer

Forkurshefte i matematikk variant 1

Forkurshefte i matematikk variant 1 Forkurshefte i matematikk variant 1 2014 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO (Plan for kurset: se side 3) Forord Velkommen til Universitetet i Oslo (UiO), og til forkurs i matematikk! Dette

Detaljer

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Hva er matematikktillegget for Word?... 2 Nedlasting og installasjon av matematikktillegget for Word...

Detaljer

Flyt i oppgaveløsing gjennom relasjonell forståelse

Flyt i oppgaveløsing gjennom relasjonell forståelse Novemberkonferansen 2016 Flyt i oppgaveløsing gjennom relasjonell forståelse Susanne Stengrundet Matematikksenteret 1 Juniper Green Pararbeid: 100 ark Spiller 1 velger et tall og krysser det ut. Spiller

Detaljer

Potenser og tallsystemer

Potenser og tallsystemer 1 Potenser og tallsystemer Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser og tall på standardform med positive og negative eksponenter og bruke dette i praktiske sammenhenger gjøre rede

Detaljer

Potenser og tallsystemer

Potenser og tallsystemer 8 1 Potenser og tallsystemer Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser og tall på standardform med positive og negative eksponenter og bruke dette i praktiske sammen henger gjøre rede

Detaljer

Tillegg til kapittel 2 Grunntall 9

Tillegg til kapittel 2 Grunntall 9 18.09.2013 Kvadratsetningene Tillegg til kapittel 2 Grunntall 9 Nytt læringsmål i revidert læreplan 2013 Mål for det du skal lære: kunne bruke kvadratsetningene til å multiplisere to parentesuttrykk Bjørn

Detaljer

Dette er en FORELØBIG versjon fra 13. juni 2001, for korrektur og kommentarer!

Dette er en FORELØBIG versjon fra 13. juni 2001, for korrektur og kommentarer! MATEMATIKK Dette er en FORELØBIG versjon fra 3. juni 00, for korrektur og kommentarer! Det har tatt adskillig mer tid å skrive dette enn antatt. Noen konsekvenser av dette: Kapittel 8, lineær algebra,

Detaljer

Kapittel 1. Tallregning

Kapittel 1. Tallregning Kapittel 1. Tallregning Mål for Kapittel 1, Tallregning. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten digitale verktøy, presentere

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅRET Side 1 av 8

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅRET Side 1 av 8 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅRET 2016-2017 Side 1 av 8 Periode 1: UKE 33 - UKE 39 Sammenligne og regne om mellom hele tall, desimaltall, brøker,

Detaljer

Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om likningar og annan algebra

Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om likningar og annan algebra Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om likningar og annan algebra Kjelde: www.clipart.com 1 Likningar og annan algebra. Læraren sitt ark Kva seier læreplanen? Tal og algebra Mål for opplæringa er at

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Prosent- og renteregning

Prosent- og renteregning FORKURSSTART Prosent- og renteregning p prosent av K beregnes som p K 100 Eksempel 1: 5 prosent av 64000 blir 5 64000 =5 640=3200 100 p 64000 Eksempel 2: Hvor mange prosent er 9600 av 64000? Løs p fra

Detaljer

Brøker med samme verdi

Brøker med samme verdi Kapittel 7 Brøk Mål for det du skal lære: regne om mellom blandet tall og uekte brøk forkorte og utvide brøker, finne fellesnevner regne om mellom brøk og desimaltall ordne brøker etter størrelse og plassere

Detaljer

Kapittel 1. Tallregning

Kapittel 1. Tallregning Kapittel 1. Tallregning Regning med tall er grunnlaget for mer avansert matematikk. I dette kapitlet repeteres følgende fra grunnskolen: Brøkregning Desimaltall Regning med positive og negative tall Potenser

Detaljer

FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn

FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn Områder Kompetansemål Operasjonaliserte læringsmål Tema/opplegg (eksempler, forslag), ikke obligatorisk Vurderingskriterier vedleggsnummer Samanlikne

Detaljer

Lokal læreplan. Lærebok: Gruntall. Læringsstrategi

Lokal læreplan. Lærebok: Gruntall. Læringsstrategi Lokal læreplan Lærebok: Gruntall Antall uker 34-37 Tall -lære de fire regneartene i hele tall, desimaltall og negative tall og i hoderegning og overslagsregning. -lære å bruke lommeregner og regneark -kjenne

Detaljer

Kapittel 1. Tallregning

Kapittel 1. Tallregning Kapittel 1. Tallregning Regning med tall er grunnlaget for mer avansert matematikk. I dette kapitlet repeteres følgende fra grunnskolen: Brøkregning Desimaltall Regning med positive og negative tall Potenser

Detaljer

Verktøyopplæring i kalkulator

Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator... 1 Enkel kalkulator... 2 Regneuttrykk uten parenteser... 2 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 2 Negative tall... 3 Regneuttrykk

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATTE 10.TRINN SKOLEÅR 2015-2016. Side 1 av 9

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATTE 10.TRINN SKOLEÅR 2015-2016. Side 1 av 9 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATTE 10.TRINN SKOLEÅR 2015-2016 Side 1 av 9 Periode 1: UKE 34-UKE 39 Tall og Algebra Analysere sammensatte problemstillinger, identifisere

Detaljer

Læreplan i matematikk. Kompetansemål etter 10. årstrinn

Læreplan i matematikk. Kompetansemål etter 10. årstrinn Læreplan i matematikk Kompetansemål etter 10. årstrinn Tall og algebra Eleven skal kunne: 1. Sammenlikne og regne om hele tal, desimaltall, brøker, prosent, promille og tall på standardform 2. Regne med

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 5. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG TALL OG TALLREGNING

INNHOLD SAMMENDRAG TALL OG TALLREGNING SAMMENDRAG TALL OG TALLREGNING INNHOLD TALL OG TALLREGNING... 2 PLASSVERDISYSTEMET... 2 PLASSERING PÅ TALLINJE... 2 UTVIDET FORM... 3 REGNESTRATEGIER... 3 DELELIGHETSREGLER... 3 SKRIFTLIG REGNING... 4

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr 4 Hvordan du regner med bokstaver, likninger og formler (elementær algebra) Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com 1 Opplsning: Faste,

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

Dette er et sammendrag av det du har arbeidet med om tall og tallregning i Nummer 8, Nummer 9 og Nummer 10.

Dette er et sammendrag av det du har arbeidet med om tall og tallregning i Nummer 8, Nummer 9 og Nummer 10. SAMMENDRAG Dette er et sammendrag av det du har arbeidet med om tall og tallregning i Nummer 8, Nummer 9 og Nummer 10. Hvis du trenger mer trening utover oppgavene i Nummer 10, finner du ekstra oppgaver

Detaljer

Oppgavesett med fasit

Oppgavesett med fasit TIL ENT3R ELEVENE Oppgavesett med fasit Tommy Odland Sist oppdatert: 1. november 2013 http://is.gd/ent3rknarvik http://tommyodland.com/ent3r 1 INNHOLD 1 Om dette dokumentet 3 1.1 Formål og oppbygging..................................

Detaljer

FAKTA. Likeverdige bröker: BrÖker som har samme verdi. 1 2 = 2 4 = 3 6 = 4 8 = 5

FAKTA. Likeverdige bröker: BrÖker som har samme verdi. 1 2 = 2 4 = 3 6 = 4 8 = 5 FAKTA Likeverdige bröker: BrÖker som har samme verdi. 2 = 2 = 6 = 8 = 0 0 utvide en brök: utvide en brök betyr Ô multiplisere teller og nevner med det samme tallet. BrÖken forandrer da ikke verdi. = 2

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN I MATEMATIKK 8. TRINN SKOLEÅR 2014-2015

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN I MATEMATIKK 8. TRINN SKOLEÅR 2014-2015 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN I MATEMATIKK 8. TRINN SKOLEÅR 2014-2015 Periode 1: UKE 34 37 Tema: Tall og tallforståelse Samanlikne og rekne om mellom heile tal, desimaltal ( ) og tal

Detaljer

Tema. Beskrivelse. Husk!

Tema. Beskrivelse. Husk! Dette er ment som en hjelpeoversikt når du bruker boka til å repetisjon. Bruk Sammendrag etter hvert kapittel som hjelp. Verktøykassen fra side 272 i boka er og til stor hjelp for repetisjon til terminprøve.

Detaljer

MATEMATIKK kjennetegn på måloppnåelse HOVEDOMRÅDE Tall og algebra:

MATEMATIKK kjennetegn på måloppnåelse HOVEDOMRÅDE Tall og algebra: MATEMATIKK kjennetegn på måloppnåelse HOVEDOMRÅDE Tall og algebra: 1. sammenligne og regne om mellom hele tall, desimaltall, brøker, prosent, promille og tall på standardform, uttrykke slike tall på varierte

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅR 2015-2016

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅR 2015-2016 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅR 2015-2016 Side 1 av 7 Periode 1: UKE 34 - UKE 37 Sammenligne og regne om mellom hele tall, desimaltall, brøker,

Detaljer

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Regning med positive og negative tall 2 Regnerekkefølge og parenteser 3 Potenser 4 Algebra 5 Brøkregning 6 Ligninger 7 Ulikheter

Detaljer

E.1: Lage et uttrykk som viser sammenhengen mellom to variabler hvor nødvendige opplysninger gis eksplisitt E.2: Faktorisere flerleddet

E.1: Lage et uttrykk som viser sammenhengen mellom to variabler hvor nødvendige opplysninger gis eksplisitt E.2: Faktorisere flerleddet 1. november 2013 INNHOLD INNHOLD... 2 INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 NIVÅ A: POSITIVE UTTRYKK MED SAMME VARIABEL... 5 NIVÅ B: TREKKE SAMMEN POSITIVE OG NEGATIVE UTTRYKK, INNSETTING AV POSITIVE VERDIER...

Detaljer

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Sensurveiledning Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1 Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Oppgave 1 Figuren viser hvordan en nettside forklarer en metode for addisjon og

Detaljer

Fagstoff til eksamen. Matematikk S2

Fagstoff til eksamen. Matematikk S2 Matematikk S2 Fagstoff til eksamen Innhold på ndla.no er nå tilgjengelig i PDF- eller epub-format som hjelpemidler til eksamen. Disse filene kan lagres på egen datamaskin og leses i digitalt format, eller

Detaljer

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform

Detaljer

Løsninger til forkursstartoppgaver

Løsninger til forkursstartoppgaver Løsninger til forkursstartoppgaver Prosent: Oppgave 1. Prisforskjell er 20. 20 100 Kylling er da =66 2 prosent dyrere. 30 3 Vi beregner hvor mange prosent 20 er av 30. Kylling er også 20 100 =40 prosent

Detaljer

Kapittel 1. Potensregning

Kapittel 1. Potensregning Kapittel. Potensregning I potensregning skriver vi tall som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kapitlet handler blant annet om: Betydningen av potenser som har negativ eksponent

Detaljer

Algebra II. -Utgave B- (ToPLUSS for matematikkundervisningen) Eksempelsider! F. Rothe. 2006 by Frank Rothe, Salzburg, www.calculemus.

Algebra II. -Utgave B- (ToPLUSS for matematikkundervisningen) Eksempelsider! F. Rothe. 2006 by Frank Rothe, Salzburg, www.calculemus. 006 by Frank Rothe, Salzburg, www.calculemus.at Algebra II -Utgave B- (ToPLUSS for matematikkundervisningen) F. Rothe 006 by Frank Rothe, Salzburg, www.calculemus.at 3 Innholdsfortegnelse Forord...4 Oppgaver...5

Detaljer

Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program

Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 27. mars 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings-

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR 2015-2016. Side 1 av 9

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR 2015-2016. Side 1 av 9 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR 2015-2016 Side 1 av 9 Periode 1: UKE 34-UKE 39 Tema: Statistikk gjennomføre undersøkelser og bruke databaser

Detaljer

Skoleåret 2015/16 UKE KAPITTEL EMNER HOVEDOMRÅDE. Naturlige tall. Primtall. Faktorisering. Hoderegning. Desimaltall. Overslagsregning.

Skoleåret 2015/16 UKE KAPITTEL EMNER HOVEDOMRÅDE. Naturlige tall. Primtall. Faktorisering. Hoderegning. Desimaltall. Overslagsregning. MATEMATIKK 8. KLASSE ÅRSPLAN Skoleåret 2015/16 UKE KAPITTEL EMNER HOVEDOMRÅDE 34 35 36 Kapittel 1 Naturlige tall Primtall Faktorisering Hoderegning Tall og algebra punkt: 1, 2, 3 og 4 37 38 Tall og tallforståelse

Detaljer

PENSUMLISTE TIL MATEMATIKKTENTAMEN 2. juni

PENSUMLISTE TIL MATEMATIKKTENTAMEN 2. juni PNSUMS MAMAKKNAMN 2. juni Del 1: Prøver deg i det regnetekniske. Føres direkte på arket. ngen hjelpemidler er tillatt. kke kladd på oppgavearket, det får du eget ark til. De oppgavene med regnerute, fører

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

Lærerveiledning Versjon 1.0

Lærerveiledning Versjon 1.0 Lærerveiledning Versjon 1.0 F orord Jeg jobbet som mattelærer i fem år, og har sett hvor mange unge barn som sliter med matte. Det er veldig lett for elevene å miste motivasjonen og gi opp, og de blir

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATTE 10.TRINN SKOLEÅR Side 1 av 8

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATTE 10.TRINN SKOLEÅR Side 1 av 8 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATTE 10.TRINN SKOLEÅR 2017-2018 Side 1 av 8 Periode 1: UKE 33-39 Tall og Algebra Analysere sammensatte problemstillinger, identifisere faste

Detaljer

En divisor til et heltall N er et heltall som går opp i N. Både 1 og N regnes blant divisorene til N.

En divisor til et heltall N er et heltall som går opp i N. Både 1 og N regnes blant divisorene til N. Oppgave 1 Hvilket av disse tallene er ikke heltall? 11! 12345678910 11 11! 11! 11! 11! 11! A B C D E 20 21 22 23 24 Hva må være oppfylt for at brøkene i løsningsalternativene skal bli hele tall? Hvilke

Detaljer

Årsplan i matematikk for 10. trinn

Årsplan i matematikk for 10. trinn Årsplan i matematikk for 10. trinn Uke 34-40 Geometri undersøkje og beskrive eigenskapar ved to- og tredimensjonale figurar og bruke eigenskapane i samband med konstruksjonar og berekningar Begreper. Utregning

Detaljer

Utfordringer med tall

Utfordringer med tall Utfordringer med tall e følgende oppgavene er øvinger for å utdype tallforståelse. e første fem oppgavene handler om faktorer og faktorisering. I de to siste handler det om å vurdere størrelsen av tall

Detaljer