Mer om likninger og ulikheter

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Mer om likninger og ulikheter"

Transkript

1 Mer om likninger og ulikheter Studentene skal kunne utføre polynomdivisjon anvende nullpunktsetningen og polynomdivisjon til faktorisering av polynomer benytte polynomdivisjon til å løse likninger av høyere grad sette opp fortegnsskjema for polynomer og rasjonale uttrykk løse irrasjonale likninger

2 5.1 Polynomdivisjon Uttrykket P(x) = 2x 3 6x 2 2x + 48 er et eksempel på et polynom. Uttrykket er av tredje grad. Vi sier derfor at P(x) er et tredjegradspolynom. Tallene 2, 6, 2 og 48 kaller vi koeffisientene i polynomet. Tallet 2 kaller vi tredjegradskoeffisienten, tallet 6 er andregradskoeffisienten, 2 er førstegradskoeffisienten, og tallet 48 er konstantleddet. Vi multipliserer uttrykket (2x 4)(x + 4) og får (2x 4)(x + 4) = 2x 2 + 8x 4x 16 = 2x 2 + 4x 16 Dermed er 2x 2 + 4x 16 = (2x 4)(x + 4) Da er 2x 2 + 4x 16 = (2x 4)(x + 4) = 2x 4 x + 4 (x + 4) I stedet for brøkstrek bruker vi ofte divisjonstegn. Med den skrivemåten blir (2x 2 + 4x 16) : (x + 4) = 2x 4 Vi skal nå lære å dividere to polynomer uten å faktorisere først. Metoden likner på den vi bruker når vi dividerer tall. ➊ ➍ (2x 2 + 4x 16) : (x + 4) = 2x 4 ➋ 2x 2 + 8x ➌ 4x 16 ➎ 4x 16 ➏ Her er en forklaring av de seks punktene ovenfor: ➊ Vi må multiplisere x med 2x for å få 2x 2. ➋ Vi regner ut (x + 4) 2x og får 2x 2 + 8x. ➌ Vi regner ut (2x 2 + 4x) (2x 2 + 8x) og får 4x. Deretter flytter vi ned leddet 16. ➍ Vi multipliserer x med 4 for å få 4x. ➎ Vi regner ut (x + 4) ( 4) og får 4x 16. ➏ Til slutt regner vi ut ( 4x 16) ( 4x 16) og får resten, som her blir. Vi kan dividere et tredjegradspolynom med et polynom av første grad på tilsvarende måte. 146 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

3 Utfør divisjonen. (2x 3 6x 2 2x + 48) : (2x 4) (2x 3 6x 2 2x + 48) : (2x 4) = x 2 x 12 2x 3 4x 2 2x 2 2x 2x 2 + 4x 24x x + 48 Begge divisjonene foran gav resten. I slike tilfeller sier vi at divisjonen går opp. Men det er mange divisjoner som ikke går opp. Vi utfører divisjonen (4x 2 2x + 1) : (2x 2). (4x 2 2x + 1) : (2x 2) = 2x + 1 4x 2 4x 2x + 1 2x 2 3 Her fikk vi resten 3. Dermed står vi igjen med 3 : (2x 2), som er det 3 samme som. Divisjonen gir da dette svaret: 2x 2 (4x 2 3 2x + 1) : (2x 2) = 2x x 2 Dette kan vi kontrollere ved multiplikasjon. 3 ( 2x x 2 ) (2x 2) = (2x + 1) (2x 2) + (2x 2) (2x 2) = 4x 2 4x + 2x = 4x 2 2x + 1 Utfør divisjonen. (x 3 4x 2 8x + 13) : (x 1) 147

4 (x 3 4x 2 8x + 13) : (x 1) = x 2 3x 11 + x 3 x 2 3x 2 8x 3x 2 + 3x 11x x x 1? Oppgave 5.1 Utfør polynomdivisjonene. a) (x 2 5x + 4) : (x 1) b) (2x 2 4x + 2) : (x 3) c) (3x 2 + 5x 2) : (3x 1) d) (2x 2 + 4x + 3) : (4x + 2) Oppgave 5.11 Utfør polynomdivisjonene. a) (x 3 + x 2 5x + 3) : (x 1) b) (x 3 + x 2 5x + 3) : (x + 2) c) (8x 3 4x 2 16x 6) : (2x 5) d) (x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) : (x 1) Vi kan også dividere med polynomer av andre grad eller høyere. Utfør divisjonen. (2x 3 x 2 4x 4) : (2x 2 + 3x + 2) (2x 3 x 2 4x 4) : (2x 2 + 3x + 2) = x 2 2x 3 + 3x 2 + 2x 4x 2 6x 4 4x 2 6x Før vi gjør en slik divisjon, må vi ordne polynomene slik at ledd med høy grad står først. Det kan også lønne seg å sette inn ledd med koeffisient der det mangler ledd. Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

5 Når graden til resten er lavere enn graden til det polynomet vi dividerer med, avslutter vi divisjonen som vist i eksempelet nedenfor. Utfør divisjonen (4x 3 2x 2 + 3) : (2 x 2 ) Vi ordner uttrykkene, setter inn ledd med koeffisient og utfører divisjonen. (4x 3 2x 2 + x + 3) : ( x 2 + x + 2) = 4x x 1 2 x 4x 3 + x 2 8x 2 2x 2 + 8x + 3 2x 2 + x + 4 8x 1 Når vi dividerer et polynom P(x) med et polynom Q(x), får vi en rest med lavere grad enn Q(x). Hvis Q(x) er et førstegradspolynom, blir resten et tall.? Oppgave 5.12 Utfør polynomdivisjonene. a) (2x 3 + 3x 2 + 2x 1) : (x 2 + x 1) b) (2x 4 + 5x 3 x 2 6x) : (2x 2 + x 3) c) (x 3 + 3x 2 2x 6) : (x 2 2) d) (x 3 + x 2) : (x + 3) e) (2x 4 + 5x 2 + 2) : (2x + 1) f) (4x 4 + 3x 3 + x) : (x 2 1) Oppgave 5.13 Utfør polynomdivisjonen P(x) : (x 2) og finn resten r. Regn deretter ut P(2). Hva ser du? a) P(x) = x 2 + 4x + 3 b) P(x) = x 3 3x 2 + 2x + 3 c) P(x) = x 3 + 2x 2 6x 4 149

6 5.2 Resten ved en polynomdivisjon Når vi dividerer P(x) = x 2 + x 1 med x 2, får vi (x 2 + x 1) : (x 2) = x x 2 2x 3x 1 3x 6 5 Vi finner at resten r = 5. 5 x 2 Uttrykket x 2 har nullpunktet x = 2. Når vi regner ut P(2), får vi P(2) = = 5 Vi ser at P(2) er lik resten etter divisjon med (x 2). I slutten av delkapittelet viser vi at dette er en generell regel. Når vi dividerer polynomet P(x) med (x x ), blir resten r = P(x ). a) Finn resten ved divisjonen (x 2 2x + 1) : (x 3) uten å utføre divisjonen. b) Kontroller dette ved å utføre divisjonen. a) Her er P(x) = x 2 2x + 1 og x = 3. Vi får r = P(3) = = 4 Resten blir 4. b) (x 2 2x + 1) : (x 3) = x x 2 3x x + 1 x 3 4 Vi ser at resten er 4. Det stemmer. 4 x 3 15 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

7 ? Oppgave 5.2 Finn resten uten å dividere. Kontroller svaret ved å utføre divisjonen. a) (x 2 2x + 3) : (x 1) b) (2x 2 + 5x 7) : (x 2) c) (x 3 2x 2 + x 2 ) : (x + 3) d) (2x 3 + 2x 2 3x 3) : (x + 1) Når vi dividerer et polynom P(x) med (x x ), vet vi at resten er P(x ). At en divisjon går opp, er det samme som å si at resten er. Det er det samme som at P(x ) =. La P(x) være et polynom. Divisjonen P(x) : (x x ) går opp hvis og bare hvis P(x ) =. Avgjør om divisjonen (x 3 2x 2 7x 4) : (x 4) går opp uten at du gjør divisjonen. Kontroller dette ved å utføre divisjonen. Her er P(x) = x 3 2x 2 7x 4 og x = 4. P(4) = = = Ettersom P(4) =, går divisjonen med (x 4) opp. Vi utfører divisjonen. (x 3 2x 2 7x 4) : (x 4) = x 2 + 2x + 1 x 3 4x 2 2x 2 7x 2x 2 8x x 4 x 4 Divisjonen går opp. 151

8 I eksempelet på forrige side fant vi ut at divisjonen med (x 4) måtte gå opp fordi P(4) =. Vi så at Dermed er (x 3 2x 2 7x 4) : (x 4) = x 2 + 2x + 1 (x 3 2x 2 7x 4) = (x 4) (x 2 + 2x + 1) Vi ser at (x 4) er en faktor i polynomet. Hvis P(x) er et polynom slik at P(x ) =, går divisjonen P(x) : (x x ) opp. Dermed fins det et polynom Q(x) slik at P(x) : (x x ) = Q(x). Da er P(x) = (x x ) Q(x), og (x x ) er en faktor i P(x). Og omvendt: Hvis (x x ) er en faktor i P(x), så fins det et polynom Q(x) slik at P(x) = (x x ) Q(x). Da er P(x ) = (x x ) Q(x ) = Q(x ) = Vi har vist denne regelen: La P(x) være et polynom. P(x) har faktoren (x x ) hvis og bare hvis P(x ) =. Finn ut om (x + 2) er en faktor i polynomet P(x). a) P(x) = 2x 2 + 3x 2 b) P(x) = x 3 + 3x 2 + 2x + 4 a) Ettersom (x + 2) = (x ( 2)), må vi undersøke om P( 2) =. P( 2) = 2 ( 2) ( 2) 2 = = (x + 2) er en faktor. b) P( 2) = ( 2) ( 2) ( 2) + 4 = = 4 Fordi P( 2), er (x + 2) ikke en faktor i P(x). 152 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

9 ? Oppgave 5.21 Avgjør om divisjonen går opp uten å utføre divisjonen. a) (x 2 + 2x 3) : (x 1) b) (x 3 3x 2 + 2x + 2) : (x + 2) c) (2x 3 + 4x 2 1x 12) : (x 2) d) (x 4 1x 2 + 8) : (x + 3) Oppgave 5.22 Avgjør om (x 2) er en faktor i P(x) uten å dividere. a) P(x) = 2x 2 + 4x 6 b) P(x) = 2x 2 + 6x 2 c) P(x) = x 3 3x 2 + 3x 2 d) P(x) = x 4 3x 3 + 4x + 1 Oppgave 5.23 Avgjør om (x 1) og om (x + 2) er faktorer i P(x) når a) P(x) = x 2 4x + 3 b) P(x) = x 3 + 2x 2 x 2 c) P(x) = 2x 3 3x 2 + 2x + 1 d) P(x) = x 4 2x 3 + 2x 2 + x 2 Oppgave 5.24 Bestem tallet a slik at divisjonen går opp. a) (x 2 + ax 2) : (x 2) b) (x 2 + 3x + a) : (x + 5) c) (x 3 + ax 2 + ax + 4) : (x + 2) d) (ax 2 + ax + 2) : (x + 1) e) (x 2 5x + 6) : (x a) Bevis for at divisjonen P(x) : (x x ) gir resten r = P(x ) La P(x) være et polynom. Når vi utfører divisjonen, finner vi et polynom Q(x) slik at P(x) : (x x ) = Q(x) + r x x der tallet r er resten. Det er det samme som at P(x) x x = Q(x) + r x x Når vi multipliserer med (x x ) på begge sidene av likhetstegnet, får vi P(x) = (x x ) Q(x) + r Her skal høyre og venstre side av likhetstegnet være like for alle verdier av x, spesielt for x = x. Dermed er P(x ) = (x x ) Q(x ) + r = Q(x ) + r = r Dermed har vi vist at resten r = P(x ). 153

10 5.3 Faktorisering av polynomer Å faktorisere et polynom vil si å skrive polynomet som et produkt av polynomer av lavere grad. I kapittel 4 lærte vi å faktorisere andregradspolynomer ved hjelp av nullpunktene. Vi brukte denne regelen: Dersom andregradsuttrykket ax 2 + bx + c har de to nullpunktene x = x 1 og x = x 2, er ax 2 + bx + c = a (x x 1 ) (x x 2 ) Dersom andregradsuttrykket har ett nullpunkt x = x 1, er ax 2 + bx + c = a (x x 1 ) 2 Hvis andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, er det ikke mulig å faktorisere uttrykket i førstegradsfaktorer. Når vi skal faktorisere et tredjegradsuttrykk, må vi kjenne en førstegradsfaktor. Vi utfører en polynomdivisjon og skriver tredjegradsuttrykket som et produkt av et førstegradsuttrykk og et andregradsuttrykk. Til slutt undersøker vi om vi kan faktorisere andregradsuttrykket. Et polynom er gitt ved P(x) = x 3 2x 2 x + 2 a) Vis at (x + 1) er en faktor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mulig. 154 a) Vi må undersøke om P( 1) =. P( 1) = ( 1) 3 2 ( 1) 2 ( 1) + 2 = = Dermed er (x + 1) en faktor. b) Nå vet vi at divisjonen P(x) : (x + 1) går opp. (x 3 2x 2 x + 2) : (x + 1) = x 2 3x + 2 x 3 + x 2 3x 2 x 3x 2 3x 2x + 2 2x + 2 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

11 Dermed er x 3 2x 2 x + 2 = (x + 1)(x 2 3x + 2) Det neste er å faktorisere uttrykket x 2 3x + 2 dersom det lar seg gjøre. Likningen x 2 3x + 2 = har løsningene x = 1 og x = 2. Dermed er x 2 3x + 2 = (x 1)(x 2) Innsatt i uttrykket ovenfor gir det faktoriseringen x 3 2x 2 x + 2 = (x + 1)(x 1)(x 2) Et polynom er gitt ved P(x) = x 3 x 2 4x 6 a) Vis at P(3) =. b) Faktoriser P(x) mest mulig. a) Vi regner ut P(3). P(3) = = = b) Ettersom P(3) =, vet vi at divisjonen P(x) : (x 3) går opp. Vi utfører polynomdivisjonen og får (x 3 x 2 4x 6) : (x 3) = x 2 + 2x + 2 Dermed er x 3 x 2 4x 6 = (x 3)(x 2 + 2x + 2). Det neste er å faktorisere uttrykket x 2 + 2x + 2 om mulig. Vi løser derfor likningen x 2 + 2x + 2 = 2 ± 2 x = ± = Andregradslikningen har ingen nullpunkter, og vi kan derfor ikke faktorisere andregradsuttrykket. Den beste faktoriseringen av tredjegradsuttrykket er dermed x 3 x 2 4x 6 = (x 3)(x 2 + 2x + 2) 155

12 ? Oppgave 5.3 Et polynom er gitt ved P(x) = x 3 + 4x 2 + x 6. a) Vis at (x 1) er en faktor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mulig. Oppgave 5.31 Et polynom er gitt ved P(x) = 2x 3 + 2x 2 16x 24. a) Vis at P(3) =. b) Faktoriser P(x) mest mulig. Oppgave 5.32 Et polynom er gitt ved P(x) = x 3 2x 2 3x + 1 a) Vis at (x + 2) er en faktor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mulig. Oppgave 5.33 Et polynom er gitt ved P(x) = x 4 5x 3 + 5x 2 + 5x 6 a) Vis at (x 1) og (x 2) er faktorer. b) Faktoriser P(x) mest mulig. 5.4 Likninger og ulikheter av høyere grad Det fins en formel som vi kan bruke til å løse tredjegradslikninger. Den lærer vi ikke i dette kurset. En tredjegradslikning kan ha inntil tre løsninger. Vi må kjenne en av dem for å kunne finne de to andre. a) Vis at x = 2 er en løsning av tredjegradslikningen x 3 + 2x 2 5x 6 = b) Løs tredjegradslikningen. c) Løs ulikheten x 3 + 2x 2 5x 6 < 156 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

13 a) Vi setter Da er P(x) = x 3 + 2x 2 5x 6 P(2) = = = x = 2 er en løsning av likningen. b) Ettersom P(2) =, er (x 2) en faktor i P(x). Vi vet da at denne polynomdivisjonen går opp: (x 3 + 2x 2 5x 6) : (x 2) = x 2 + 4x + 3 x 3 2x 2 4x 2 5x 4x 2 8x 3x 6 3x 6 Dermed er x 3 + 2x 2 5x 6 = (x 2)(x 2 + 4x + 3) Nå kan vi løse tredjegradslikningen. x 3 + 2x 2 5x 6 = (x 2)(x 2 + 4x + 3) = Når produktet av to tall er, må et av tallene være null. Det gir x 2 = eller x 2 + 4x + 3 = 4 ± 4 x = 2 eller x = ± 4 x = 2 eller x = 2 x = 2 eller x = 4 ± 2 2 x = 2 eller x = 1 eller x = 3 Likningen har løsningene x = 3, x = 1 og x = 2. c) Faktorisering av x 2 + 4x + 3 gir x 2 + 4x + 3 = (x ( 3))(x ( 1)) = (x + 3)(x + 1) Dermed kan vi faktorisere tredjegradsuttrykket P(x). 157

14 P(x) = x 3 + 2x 2 5x 6 = (x 2)(x 2 + 4x + 3) = (x 2)(x + 3)(x + 1) Ulikheten løser vi nå ved å lage fortegnslinjer for faktorene x x 2 x + 3 x + 1 P(x) x 3 + 2x 2 5x 6 < når x < 3 og når 1 < x < 2 a) Vis at x = 2 er en løsning av tredjegradslikningen x 3 x 2 3x + 6 = b) Løs tredjegradslikningen. c) Løs ulikheten x 3 x 2 3x + 6 > a) Vi setter P(x) = x 3 x 2 3x + 6 Da er P( 2) = ( 2) 3 ( 2) 2 3 ( 2) + 6 = = x = 2 er en løsning av likningen. b) Ettersom P( 2) =, er (x + 2) en faktor i P(x). Denne polynomdivisjonen går opp: (x 3 x 2 3x + 6) : (x + 2) = x 2 3x + 3 x 3 + 2x 2 3x 2 3x 3x 2 6x 3x + 6 3x Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

15 Dermed er x 3 x 2 3x + 6 = (x + 2)(x 2 3x + 3) Nå løser vi tredjegradslikningen. x 3 x 2 3x + 6 = (x + 2)(x 2 3x + 3) = x + 2 = eller x 2 3x + 3 = x = 2 eller x = 3 ± x = 2 eller x = 3 ± Andregradslikningen har ingen løsning, derfor er x = 2 den eneste løsningen av tredjegradslikningen. Likningen har løsningen x = 2. c) Ettersom x 2 3x + 3 ikke har nullpunkter, er uttrykket enten positivt for alle x eller negativt for alle x. Uttrykket er 3 når x =, dermed må x 2 3x + 3 være positivt for alle verdier av x. Nå kan vi lage fortegnslinje for P(x) = x 3 x 2 3x + 6 = (x + 2)(x 2 3x + 3) x x + 2 x 2 3x + 3 P(x) x 3 x 2 3x + 6 > når x > 2? Oppgave 5.4 a) Vis at x = 1 er en løsning av likningen x 3 4x 2 + x + 6 = b) Finn alle løsningene av likningen. c) Løs ulikheten x 3 4x 2 + x + 6 > 159

16 ? Oppgave 5.41 Polynomfunksjonen P er gitt ved P(x) = x 3 + 2x 2 3x 1 a) Vis at x 2 er en faktor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mulig. c) Finn nullpunktene til P ved regning. d) Finn ut ved regning for hvilke verdier av x grafen til P ligger under x-aksen. Oppgave 5.42 a) Bestem tallet a slik at x = 2 blir en løsning av likningen x 3 2x 2 + ax + 8 = b) Løs likningen for denne verdien av a. c) Bruk denne verdien av a og løs ulikheten x 3 2x 2 + ax + 8 Oppgave 5.43 Vi har gitt likningen x 4 6x 3 + 7x 2 + 6x 8 = a) Vis at x = 1 og x = 2 er løsninger av likningen. b) Finn de andre løsningene. c) Løs ulikheten x 4 6x 3 + 7x 2 + 6x Forkorting av rasjonale uttrykk Et rasjonalt uttrykk er på formen P(x), der P(x) og Q(x) er polynomer. Q(x) Vi skal nå lære å bruke polynomdivisjon til å forkorte noen slike uttrykk. Hvis det skal være mulig å forkorte det rasjonale uttrykket x2 5x + 6 x, må 2 (x 2) være en faktor i telleren x 2 5x + 6. Da må telleren x 2 5x + 6 = når x = 2. Vi undersøker det: = = Dermed kan vi forkorte uttrykket enten ved å utføre polynomdivisjonen (x 2 5x + 6) : (x 2) eller ved å faktorisere telleren ved hjelp av nullpunktene. 16 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

17 x 2 5x + 6 har nullpunktene x = 2 og x = 3. Dermed er x 2 5x + 6 = (x 2)(x 3) Det gir x 2 5x + 6 (x 2) (x = 3) = x 3 x 2 (x 2) P(x) At vi kan forkorte uttrykket x x, er det samme som å si at (x x ) er en faktor i P(x). Det er det samme som at P(x ) =. La P(x) være et polynom. Da kan vi forkorte P(x ) =. P(x) x x hvis og bare hvis Forkort uttrykket x3 2x 2 5x + 6 x hvis det er mulig. 3 Først undersøker vi om det er mulig å forkorte uttrykket. Da må telleren P(x) = når x = 3. P(3) = = = Uttrykket kan forkortes, og vi utfører en polynomdivisjon: Dermed er (x 3 2x 2 5x + 6) : (x 3) = x 2 + x 2 x 3 3x 2 x 2 5x x 2 3x 2x + 6 2x + 6 x 3 2x 2 5x + 6 = (x 3)(x 2 + x 2) og x 3 2x 2 5x + 6 x 3 = (x 3)(x2 + x 2) = x x x 2 161

18 Undersøk om vi kan forkorte uttrykket x 3 x + 2 x + 2 Det er mulig å forkorte uttrykket hvis telleren P(x) = når x = 2. P( 2) = ( 2) 3 ( 2) + 2 = = 4 Det er ikke mulig å forkorte uttrykket.? Oppgave 5.5 Forkort uttrykkene hvis det lar seg gjøre. a) x2 + x 2 x 1 b) 2x2 + 4x 6 x + 3 c) x 2 + 5x 14 x 2 d) 2x2 + 6x 2 2x 6 Oppgave 5.51 Forkort uttrykkene om mulig. a) x3 + x 2 x 1 b) x3 + 6x x + 6 x + 3 c) x 3 9x 3x + 6 d) x + 1 x 3 + 2x 2 + 2x + 1 Oppgave 5.52 For hvilke a kan vi forkorte uttrykket x 2 + 5x + a x + 2 I de eksemplene og oppgavene vi har regnet til nå, har det vært et førstegradsuttrykk i nevneren eller telleren. Nå skal vi se på rasjonale uttrykk der vi ikke har noe førstegradsuttrykk. Forkort uttrykket x 3 3x 2 x + 3 x 2 5x Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

19 Vi faktoriserer nevneren. Likningen x 2 5x + 6 = har løsningene x = 2 og x = 3. Dermed er x 2 5x + 6 = (x 2)(x 3) Nå undersøker vi om (x 2) eller (x 3) er faktorer i telleren, som vi setter lik P(x). (x 2) er en faktor hvis P(2) =. P(2) = = = 3 Dermed er (x 2) ikke en faktor. (x 3) er en faktor hvis P(3) =. P(3) = = = Altså er (x 3) en faktor, og denne divisjonen går opp: Etter dette er Det gir (x 3 3x 2 x + 3) : (x 3) = x 2 1 x 3 3x 2 x + 3 x + 3 (x 3 3x 2 x + 3) = (x 2 1) (x 3) x 3 3x 2 x + 3 x 2 5x + 6 Vi flytter ned to ledd fordi både andreog tredjegradsleddet forsvinner. = (x2 1)(x 3) (x 2)(x 3) = x2 1 x 2? Oppgave 5.53 Forkort uttrykkene hvis det lar seg gjøre. a) x3 2x + 4 x 2 4 b) x 2 + 4x + 3 x 3 + 3x 2 4x 12 Oppgave 5.54 For hvilke verdier av a kan vi forkorte uttrykket x 3 4x 2 + 6x + a x 2 4x

20 5.6 Rasjonale likninger En brøk er ikke definert når nevneren er null. I rasjonale uttrykk må vi derfor passe på at nevneren ikke blir null. I uttrykket x + 1 x(x 2) er nevneren null når x = og når x = 2. Det er ikke mulig å sette inn x = eller x = 2 i uttrykket. Derfor må vi forutsette at x og at x 2 når vi regner med dette uttrykket. Slike forutsetninger er svært viktige når vi løser likninger der den ukjente er med i nevneren. Løs likningen. 2 x 2 2x + 2 x = 1 x 2 Faktorisering av nevneren gir 2 x(x 2) + 2 x = 1 x 2 Nevneren er lik null når x = og når x = 2. Vi må derfor forutsette at x og at x 2. Nå multipliserer vi med fellesnevneren x(x 2) på begge sidene av likhetstegnet. 2 x(x 2) + x(x 2) 2 x(x 2) x (x 2) = 1 x 2 + 2x 4 = x 2x 2 = x 2x x = 2 x = 2 Ingen løsning 1 x(x 2) = (x 2) Likningen har ingen løsning fordi vi forutsatte at x 2. Det er ikke mulig å sette inn x = 2 i den likningen vi skulle løse. 164 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

21 Løs likningen x x 3 2 x 1 = 4 x 2 4x + 3 Først faktoriserer vi nevneren x 2 4x + 3. Andregradsuttrykket har nullpunktene x = 1 og x = 3. Dermed er x 2 4x + 3 = (x 1)(x 3) Likningen blir x x 3 2 x 1 = 4 (x 1)(x 3) I denne likningen må x 1 og x 3, for nevnerne kan ikke være lik null. Nå multipliserer vi med fellesnevneren (x 1)(x 3). x (x 1)(x 3) (x 3) 2 (x 1)(x 3) (x 1) = 4 (x 1)(x 3) (x 1)(x 3) x(x 1) 2(x 3) = 4 x 2 x 2x + 6 = 4 x 2 3x + 2 = Andregradsformelen eller lommeregneren gir x = 1 eller x = 2. Men x = 1 passer ikke inn i likningen i oppgaven. Dermed er løsningen x = 2? Oppgave 5.6 Løs likningene. a) 1 x + 1 x 2 = 2 x 2 2x 2 c) x 1 3 x + 1 = 4 x 2 1 Oppgave 5.61 Løs likningene. x a) x x 2 + 2x = 3 x x c) x x 2 2x 8 = 3 x 4 b) 2 x 3 4 x 2 3x = 1 x x b) x 3 2 x = 9 x 2 3x 3 d) x 2 4x x + 1 = x x 5 165

22 a) Vis at x = 1 er en løsning av likningen x 2 x x 6 x 2 + 5x + 6 = 8x x + 2 b) Finn de andre løsningene. a) Vi setter inn x = 1 på venstre og på høyre side av likhetstegnet og sammenlikner. 1 V.s. = = = = = 8 3 H.s. = = 8 3 x = 1 er en løsning. b) Nå faktoriserer vi nevneren x 2 + 5x + 6. Nullpunktene er x = 2 og x = 3. Dermed er x 2 + 5x + 6 = (x ( 2))(x ( 3)) = (x + 2)(x + 3) Likningen blir x 2 x x 6 (x + 2)(x + 3) = 8x x + 2 Her må x 2 og x 3. Fellesnevneren er (x + 2)(x + 3). Vi ganger med den på begge sidene av likhetstegnet. x 2 (x + 3) (x + 2)(x + 3) + 35x 6 (x + 2)(x + 3) (x + 2)(x + 3) = 8x (x + 2)(x + 3) (x + 2) x 2 (x + 2) + 35x 6 = 8x (x + 3) x 3 + 2x x 6 = 8x x x 3 6x x 6 = x = 1 er en løsning av likningen og må derfor også være et nullpunkt for dette tredjegradsuttrykket. Denne divisjonen må da gå opp: (x 3 6x x 6) : (x 1) = x 2 5x + 6 x 3 x 2 5x x 5x 2 + 5x 6x 6 6x 6 Dermed er x 3 6x x 6 = (x 1)(x 2 5x + 6) 166 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

23 Likningen blir (x 1)(x 2 5x + 6) = x 1 = eller x 2 5x + 6 = Andregradslikningen har løsningene x = 2 og x = 3. Det gir løsningene x = 1, x = 2 og x = 3? Oppgave 5.62 a) Vis at x = 2 er en løsning av likningen 1x + 4 x 2 + 2x 3 = x 2 x x x 1 b) Finn de andre løsningene. 5.7 Rasjonale ulikheter Ulikheten x x > kaller vi en rasjonal ulikhet. Vi kan ikke multiplisere med 4 2x på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis vi multipliserer med et negativt tall på begge sidene av ulikhetstegnet, må vi snu tegnet. Uttrykket 4 2x er positivt for noen verdier av x og negativt for andre verdier. Hvis vi multipliserer med 4 2x, vet vi ikke lenger hvilken vei ulikhetstegnet skal vende. Derfor må vi lage fortegnsskjema. Vi lager fortegnslinjer for telleren og for nevneren hver for seg x x x x x Hvis telleren og nevneren har samme fortegn, blir brøken positiv. Hvis telleren og nevneren har motsatt fortegn, blir brøken negativ. Brøken er null når telleren er null (x = 3). Brøken er ikke definert når nevneren er null (x = 2). Det punktet markerer vi ved å la to pilspisser møtes. Slike punkter ligger alltid under nullpunktene til nevneren. 167

24 ! Vi skal finne ut når uttrykket er positivt. Svaret finner vi der fortegnslinja er heltrukket. x + 3 > når 3 < x < 2 4 2x Fortegnslinjemetoden fungerer bare når vi har null på høyre side av ulikhetstegnet. Hvis vi har andre tall eller uttrykk på høyre side, må vi ordne uttrykket vårt slik at vi får null på høyre side. Løs ulikheten x x 2 < 2. x x 2 < 2 x x 2 2 < x x 2 2(x 2) < x 2 x (2x 4) < x 2 x 2x + 4 < x 2 x + 4 x 2 < Nå kan vi lage fortegnsskjema. Legg merke til hvordan vi gjør om tallet 2 til en brøk med x 2 som nevner x x + 4 x 2 x + 4 x 2 Her skal vi finne ut når uttrykket er negativt. Svaret finner vi der vi har stiplet linje. x + 4 x < når x < 2 og når x > 4. 2 x < 2 når x < 2 og når x > 4 x 2! 168 Multipliser aldri begge sidene av et ulikhetstegn med et uttrykk som kan være både positivt og negativt. Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

25 ? Oppgave 5.7 Løs ulikhetene. a) x 3 x + 1 > b) 2x + 4 x 1 < c) 2 x + 3 > d) 4 + x 3 2x Oppgave 5.71 Løs ulikhetene. a) x 1 x + 1 > 1 b) 2x 4 x 1 3 c) 2 x 1 < 2 d) 2x 4 x 2 > 3 Ulikheten i eksempelet på forrige side kan vi også løse på lommeregneren. ON CASIO Vi velger GRAPH, trykker på TYPE, F6 og F1 (Y>) og legger inn uttrykket Y1 > ( X + 4)/(X 2) Deretter trykker vi på TYPE, F6 og F2 (Y<) og legger inn uttrykket Y2 < Nå trykker vi på V-Window og velger vindu bestemt ved at x [ 3, 7] og y [ 5, 5]. Vi trykker på EXIT og på F6 (DRAW). Lommeregneren skraverer da først alle punkter som ligger over grafen. Deretter fjerner den skraveringen som ikke ligger under x-aksen. Vi kan da lese av løsningen på det skjermbildet vi får fram. TEXAS Vi trykker på Y= og legger inn uttrykket Y1 = ( X + 4)/(X 2) < Tegnet < finner vi ved å trykke på TEST og velge 5: <. Lommeregneren setter Y1 lik 1 hvis X passer i uttrykket ( X + 4)/(X 2) <. Hvis X ikke passer, blir uttrykket satt lik. Nå velger vi et vindu bestemt ved at x [ 5, 5] og y [ 5, 5]. Når vi så trykker på GRAPH, får vi dette skjermbildet: OFF Ulikheten har løsningen x < 2 eller x > 4 Ulikheten har løsningen x < 2 eller x > 4 169

26 ? Oppgave 5.72 Løs oppgave 5.71 ved hjelp av lommeregneren. Noen ganger må vi faktorisere andre- eller tredjegradsuttrykk når vi løser rasjonale ulikheter. Løs ulikheten x + 1 > 5x 1 x + 1 Vi flytter brøkuttrykket over på venstre side og setter alt på felles brøkstrek. x + 1 > 5x 1 x + 1 (x + 1)(x + 1) 5x 1 x + 1 x + 1 > (x 2 + 2x + 1) (5x 1) > Pass på parentesen om (5x 1). x + 1 x 2 + 2x + 1 5x + 1 > x + 1 x 2 3x + 2 > x + 1 Telleren x 2 3x + 2 har nullpunktene x = 1 og x = 2. Dermed er x 2 3x + 2 = (x 1)(x 2) Innsatt i ulikheten gir det (x 1)(x 2) > x + 1 Nå lager vi fortegnslinjer: x x 1 x 2 x + 1 (x 1)(x 2) x + 1 x + 1 > 5x 1 x + 1 når 1 < x < 1 og når x > 2 17 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

27 ? Oppgave 5.73 Løs ulikheten. 8 6x 1 x > x + 2 Oppgave 5.74 Løs ulikhetene. x(x 2) a) x + 1 > b) x x 3 > x 1 3x c) > x d) 3x + 1 x 2 x + 1 > 2x 3 Oppgave 5.75 a) Vis at x = 2 er en løsning av likningen x 3 4x 2 + x + 6 = 2x 2 b) Finn alle løsningene av likningen. c) Løs ulikheten x 3 4x 2 + x + 6 < 2x Irrasjonale likninger Nå skal vi gjøre oss kjent med noen av symbolene fra logikken. Vi vet at hvis 2x + 1 = 4, er alltid 2x = 3. Med bruk av symboler fra logikken skriver vi 2x + 1 = 4 2x = 3 Tegnet er en implikasjonspil som vi leser fører til at, medfører at eller impliserer at. Vi bruker denne pila mellom to likninger, påstander eller utsagn. Skrivemåten A B betyr at hvis påstanden A er riktig, så er også påstanden B riktig. 171

28 Slike påstander trenger ikke være matematiske. Vi kan for eksempel skrive Personen heter Ola Personen er en gutt Det er en riktig påstand. Men påstanden Personen er en gutt Personen heter Ola er ikke riktig. Hvis x = 2, fører det til at x 2 = 4. Med symboler skriver vi x = 2 x 2 = 4 Men hvis x 2 = 4, trenger ikke x = 2. Det riktige kan være at x = 2. Derfor kan vi ikke skrive at x 2 = 4 x = 2. Det riktige er x 2 = 4 x = 2 eller x = 2 Likningene 2x 2 = 8 og x 2 = 4 har nøyaktig de samme løsningene, nemlig x = 2 og x = 2. Vi sier at de to likningene er ekvivalente (likeverdige) og skriver 2x 2 = 8 x 2 = 4 Tegnet kaller vi et ekvivalenstegn. Vi leser er ekvivalent med, har samme løsning som eller hvis og bare hvis. Vi kan også skrive x 2 = 4 x = 2 eller x = 2 To likninger er ekvivalente hvis de har nøyaktig de samme løsningene. Når vi løser en likning, gjør vi om likningen på en slik måte at vi får en ny likning med den samme løsningen. Vi kan for eksempel flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet når vi samtidig skifter fortegn på leddet. Vi kan også multiplisere eller dividere på begge sidene av likhetstegnet med tall som ikke er null. Når vi omformer en likning på denne måten, får vi en ekvivalent likning som har nøyaktig de samme løsningene som den likningen vi begynte med. Da kan vi bruke ekvivalenstegnet mellom likningene. Når vi flytter et ledd over på det andre siden av likhetstegnet og skifter fortegn på leddet, får vi en ekvivalent likning. Når vi dividerer eller multipliserer på begge sidene av likhetstegnet med et tall som ikke er null, får vi en ekvivalent likning. 172 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

29 Løs likningen 3x 2 2x + 3 = 4x + 3 3x 2 2x + 3 = 4x + 3 3x 2 2x + 3 4x 3 = 3x 2 6x = 3x(x 2) = 3x = eller x 2 = x = eller x = 2 I eksempelet ovenfor var løsningene x = og x = 2. Vi sier også at løsningsmengden er {, 2}.! I denne boka kommer vi normalt ikke til å skrive ekvivalenstegnet når vi løser likninger. Vi forutsetter vanligvis at likningene er ekvivalente når det ikke står noe symbol mellom dem. Når vi multipliserer begge sidene av likhetstegnet i en likning med et tall som ikke er null, forandrer vi ikke løsningsmengden. Nå vil vi undersøke om vi kan kvadrere hver side uten å endre løsningsmengden. Likningen 2x = 4 har bare den ene løsningen x = 2. Men når 2x = 4, er (2x) 2 = 4 2 4x 2 = 16 Vi løser denne likningen og får 4x 2 = 16 x 2 = 4 x = 2 eller x = 2 173

30 Vi ser at vi har fått en løsning x = 2 i tillegg til den riktige løsningen x = 2. Løsningen x = 2 er feil og passer ikke i den likningen vi begynte med. Likningene 2x = 4 og (2x) 2 = 4 2 har ikke de samme løsningene, og likningene er ikke ekvivalente. Dermed kan vi ikke bruke ekvivalenstegnet mellom dem. Det riktige er 2x = 4 (2x) 2 = 4 2 Hvis vi kvadrerer en likning, får vi vanligvis ikke noen ekvivalent likning. Vi må derfor alltid sette prøve på de svarene vi får når vi har kvadrert en likning. Når vi kvadrerer begge sidene av en likning, kan vi få falske løsninger. Vi må derfor sette prøve på de svarene vi får. En likning der den ukjente står under et rottegn, kaller vi en irrasjonal likning. Når vi løser slike likninger, må vi som oftest kvadrere begge sidene av likhetstegnet og må dermed sette prøve på svaret. Løs den irrasjonale likningen 8 x = x 2 Vi kvadrerer begge sidene av likningen og må da sette prøve på de svarene vi får. 8 x = x 2 ( 8 x ) 2 = (x 2) 2 8 x = x 2 4x + 4 = x 2 3x 4 x 2 3x 4 = x = 3 ± x = 3 ± 5 2 x = 4 eller x = 1 Nå må vi sette prøve på svaret: 174 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

31 x = 4 Venstre side: 8 x = 8 4 = 4 = 2 Høyre side: x 2 = 4 2 = 2 x = 4 passer i likningen. x = 1 Venstre side: 8 x = 8 ( 1) = 9 = 3 Høyre side: x 2 = 1 2 = 3 x = 1 passer ikke i likningen. Likningen har løsningen x = 4.? Oppgave 5.8 Løs likningene. a) 2x 3 = x 3 b) 2x + 12 = x + 6 c) 14x 6 = x 3 Når vi løser irrasjonale likninger, er det viktig å ordne likningen slik at rotuttrykket står alene på den ene siden av likhetstegnet før vi kvadrerer. Løs likningen x = 3x Først ordner vi likningen slik at rotuttrykket står alene på den ene siden av likhetstegnet. x = 3x x + 1 = 3x + 7 (x + 1) 2 = ( 3x + 7 ) 2 x 2 + 2x + 1 = 3x + 7 x 2 x 6 = x = 1 ± x = 1 ± 5 2 x = 2 eller x = 3 Her kvadrerer vi, og vi må sette prøve på svaret. 175

32 Vi setter prøve på svaret: x = 2 Venstre side: x = 2 Høyre side: 3x = 3 ( 2) = 1 1 = x = 2 passer ikke i likningen. x = 3 Venstre side: x = 3 Høyre side: 3x = = 16 1 = 4 1 = 3 x = 3 passer i likningen. Likningen har løsningen x = 3.? Oppgave 5.81 Løs likningene. a) 2 2x = 2x b) 8x x + 5 = c) 4 x 2 x + 3 = 176 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

33 SAMMENDRAG Polynomdivisjon Når vi dividerer et polynom P(x) med et polynom Q(x), får vi en rest med lavere grad enn Q(x). Hvis Q(x) er et førstegradsuttrykk, blir resten et tall. Resten ved en polynomdivisjon Når vi dividerer polynomet P(x) med (x x ), blir resten r = P(x ). Divisjonen P(x) : (x x ) går opp hvis og bare hvis P(x ) =. Faktor i et polynom (x x ) er en faktor i polynomet P(x) når og bare når P(x ) =. Rasjonale uttrykk Et rasjonalt uttrykk er på formen P(x), der P(x) og Q(x) er polynomer. Q(x) Forkorting av rasjonale uttrykk Vi kan forkorte P(x) x x hvis og bare hvis P(x ) =. Rasjonale ulikheter Når vi løser ulikheter som inneholder rasjonale uttrykk, ordner vi dem først slik at vi har ett rasjonalt uttrykk på venstre side og på høyre side av ulikhetstegnet. Deretter lager vi fortegnslinje for telleren og for nevneren. Vi bruker så dem til å lage ei fortegnslinje for det rasjonale uttrykket. Ekvivalente likninger To likninger er ekvivalente hvis de har nøyaktig de samme løsningene. Når vi flytter et ledd over på den andre siden av likhetstegnet og skifter fortegn på leddet, får vi en ekvivalent likning. Når vi dividerer eller multipliserer på begge sidene av likhetstegnet med et tall som ikke er null, får vi en ekvivalent likning. Kvadrering av likninger Når vi kvadrerer begge sidene av likhetstegnet i en likning, kan vi få falske løsninger. Vi må sette prøve på svaret. 177

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Tall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne

Tall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Tall og formler MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene tolke, bearbeide, vurdere

Detaljer

Forkurshefte i matematikk variant 1

Forkurshefte i matematikk variant 1 Forkurshefte i matematikk variant 1 2014 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO (Plan for kurset: se side 3) Forord Velkommen til Universitetet i Oslo (UiO), og til forkurs i matematikk! Dette

Detaljer

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Utgave 1.4 Skrevet av Bjørnar Tollaksen. Hele regelboka er et sammendrag av læreboka. Dette er ment som et supplement til formelheftet, ikke en erstatning. Skrivefeil kan

Detaljer

Tall og enheter. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Tall og enheter. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Tall og enheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene 1.1 Regnerekkefølge På ungdomsskolen

Detaljer

Matematikk R1 Forslag til besvarelse

Matematikk R1 Forslag til besvarelse Matematikk R1 Forslag til besvarelse NITH 4. mars 014 Oppgave 1 a) Regn ut p x) når px) = x 3 3x + 6x 1. p x) = x 3 ) 3x ) + 6x) 0 = 3x ) 3x) + 6 1 = 6x 6x + 6 b) Regn ut p x) når px) = ax + bx + c. Her

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

FAKTA. Likeverdige bröker: BrÖker som har samme verdi. 1 2 = 2 4 = 3 6 = 4 8 = 5

FAKTA. Likeverdige bröker: BrÖker som har samme verdi. 1 2 = 2 4 = 3 6 = 4 8 = 5 FAKTA Likeverdige bröker: BrÖker som har samme verdi. 2 = 2 = 6 = 8 = 0 0 utvide en brök: utvide en brök betyr Ô multiplisere teller og nevner med det samme tallet. BrÖken forandrer da ikke verdi. = 2

Detaljer

KURSHEFTE TIL FORKURS I MATEMATIKK

KURSHEFTE TIL FORKURS I MATEMATIKK KURSHEFTE TIL FORKURS I MATEMATIKK Variant av Magnus Dehli Vigeland UNIVERSITETET I OSLO MATEMATISK INSTITUTT Innhold Oppvarming 3. Noen viktige tallmengder. Notasjon.................... 3. Mer om mengder.............................

Detaljer

Manual for wxmaxima tilpasset R1

Manual for wxmaxima tilpasset R1 Manual for wxmaxima tilpasset R1 Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,

Detaljer

Matematikk R1 Oversikt

Matematikk R1 Oversikt Matematikk R1 Oversikt Lars Sydnes, NITH 20. mai 2014 I. ALGEBRA ANNENGRADSLIGNINGER Annengradsformelen: ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a (i) 0 løsninger hvis b 2 4ac < 0 (ii) 1 løsning hvis b 2 4ac

Detaljer

Oversikt over aktuelle temaer til matematikkprøve onsdag 28. november

Oversikt over aktuelle temaer til matematikkprøve onsdag 28. november Oversikt over aktuelle temaer til matematikkprøve onsdag 28. november 1. Algebra 1.1 Innsetting av tallverdier i bokstavuttrykk Eksempel 1: Sett inn a = 2 og regn ut verdien til uttrykket 4a 3 4a 3 = 4

Detaljer

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

Matematikk 01 - Matematikk for data- og grafiske fag.

Matematikk 01 - Matematikk for data- og grafiske fag. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Versjon per. juni 004 Matematikk 0 - Matematikk for data- og grafiske fag. y x Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no Forord Dette kompendiet er skrevet for faget

Detaljer

Fagstoff til eksamen. Matematikk S2

Fagstoff til eksamen. Matematikk S2 Matematikk S2 Fagstoff til eksamen Innhold på ndla.no er nå tilgjengelig i PDF- eller epub-format som hjelpemidler til eksamen. Disse filene kan lagres på egen datamaskin og leses i digitalt format, eller

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr 4 Hvordan du regner med bokstaver, likninger og formler (elementær algebra) Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com 1 Opplsning: Faste,

Detaljer

Brøk Vi på vindusrekka

Brøk Vi på vindusrekka Brøk Vi på vindusrekka Brøken... 2 Teller og nevner... 3 Uekte brøk... 5 Blanda tall... 6 Desimalbrøk... 8 Pluss/minus... 9 Multiplikasjon... 11 Likeverdige brøker... 12 Utviding... 13 Forkorting... 14

Detaljer

löse likninger gôr ut pô Ô nne den ukjente verdien som gjör at venstresiden blir lik höyresiden.

löse likninger gôr ut pô Ô nne den ukjente verdien som gjör at venstresiden blir lik höyresiden. Likning En likning inneholder alltid et likhetstegn og minst e n ukjent. Den ukjente kaller vi som regel eller y, men alle bokstavene i alfabetet kan brukes. löse likninger gôr ut pô Ô nne den ukjente

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

4 Funksjoner og andregradsuttrykk

4 Funksjoner og andregradsuttrykk 4 Funksjoner og andregradsuttrkk KATEGORI 1 4.1 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.110 Regn ut f (0), f () og f (4) når a) f () = + b) f () = 4 c) f () = + 5 d) f () = 3 3 Oppgave 4.111 f() = + + 1 4 3 1 0 1

Detaljer

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Hva er matematikktillegget for Word?... 2 Nedlasting og installasjon av matematikktillegget for Word...

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent MATEMATIKK: 2 Likninger 2 Likninger 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent Ulike problemer kan løses på ulike måter. I den gamle folkeskolen brukte man delingsregning ved løsning av enkelte oppgaver. Eksempel

Detaljer

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering.

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering. 11 CAS i GeoGebra Fra og med versjon 4.2 får GeoGebra et eget CAS-vindu. CAS står for Computer Algebra System og er en betegnelse for programvare som kan gjøre symbolske manipuleringer. Eksempler på slike

Detaljer

Verktøyopplæring i kalkulator for elever

Verktøyopplæring i kalkulator for elever Verktøyopplæring i kalkulator for elever Innholdsfortegnelse Enkel kalkulator... 2 Kalkulator med brøk og parenteser... 7 GeoGebra som kalkulator... 11 H. Aschehoug & Co. www.lokus.no Side 1 Enkel kalkulator

Detaljer

Regning med tall og bokstaver

Regning med tall og bokstaver Regning med tall og bokstaver M L N r du har lest dette kapitlet, skal du kunne ^ bruke reglene for br kregning ^ trekke sammen, faktorisere og forenkle bokstavuttrykk ^ regne med potenser ^ l se likninger

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å

Detaljer

Studentmanual. Matematisk analyse 1. 8. utgave. Knut Sydsæter Arne Strøm

Studentmanual. Matematisk analyse 1. 8. utgave. Knut Sydsæter Arne Strøm Studentmanual Matematisk analyse 8. utgave Knut Sydsæter Arne Strøm Foreløpig utgave, oktober 2 Forord Denne manualen gir mer detaljerte løsninger på utvalgte oppgaver (merket SM ) i Matematisk Analyse

Detaljer

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Regning med positive og negative tall 2 Regnerekkefølge og parenteser 3 Potenser 4 Algebra 5 Brøkregning 6 Ligninger 7 Ulikheter

Detaljer

Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om likninger og annen algebra

Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om likninger og annen algebra Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om likninger og annen algebra Kilde: www.clipart.com 1 Likninger og annen algebra. Lærerens ark Hva sier læreplanen? Tall og algebra Mål for opplæringen er at eleven

Detaljer

Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100

Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100 Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100 I dette notatet skal vi se litt på polynomdivisjon. Mange vil kjenne denne teknikken fra før, men etter siste læreplanomlegning er den ikke lenger pensum i

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012 Eksamen REA308 S, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Deriver funksjonene 3x x a) gx 3 3x x 3x

Detaljer

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup Brukerveiledning for webapplikasjonen Mathemateria 01.02.2015 Terje Kolderup Innhold Brukerveiledning for webapplikasjonen...1 Mathemateria...1 Introduksjon...3 Typisk eksempel og bryterstyring...3 Innlogging...4

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...

Detaljer

Verktøyopplæring i kalkulator

Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator Enkel kalkulator... 3 Regneuttrykk uten parenteser... 3 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 3 Negative tall... 4 Regneuttrykk med parenteser... 5 Brøk... 5 Blandet

Detaljer

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si

Detaljer

Matematikk 1T. det digitale verktøyet. Kristen Nastad

Matematikk 1T. det digitale verktøyet. Kristen Nastad Matematikk 1T og det digitale verktøyet Kristen Nastad Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.2.2394 2007 08 25 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Operating System Software

Detaljer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

Brøker med samme verdi

Brøker med samme verdi Kapittel 7 Brøk Mål for det du skal lære: regne om mellom blandet tall og uekte brøk forkorte og utvide brøker, finne fellesnevner regne om mellom brøk og desimaltall ordne brøker etter størrelse og plassere

Detaljer

KORT INNFØRING I GEOGEBRA

KORT INNFØRING I GEOGEBRA Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER... 9 ØVELSE 2. TEGNE GRAFER TIL RASJONALE FUNKSJONER... 11 ØVELSE 3. LIKNINGSLØSNING... 15 ØVELSE 4. TANGENTER OG MAKS OG MIN

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Matematikk S1. det digitale verktøyet. Kristen Nastad. Aschehoug Undervisning

Matematikk S1. det digitale verktøyet. Kristen Nastad. Aschehoug Undervisning Matematikk S1 og det digitale verktøyet Kristen Nastad Aschehoug Undervisning Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.4.11643 2008 07 09 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Operating

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus 1P boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff. Se brukerveiledningen i Lokus for perspektivtegning med GeoGebra..1 Regnerekkefølge

Detaljer

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4 3/8/06 T 0 høst LØSNING - matematikk.net T 0 høst LØSNING Contents Diskusjon av denne oppgaven Løsning av del Matteprat spørsmål om oppgave 6 del DEL EN Oppgave 5000000000 0, 0005 =, 5 0 0 5 0 =, 5 0 6

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Dette er en FORELØBIG versjon fra 13. juni 2001, for korrektur og kommentarer!

Dette er en FORELØBIG versjon fra 13. juni 2001, for korrektur og kommentarer! MATEMATIKK Dette er en FORELØBIG versjon fra 3. juni 00, for korrektur og kommentarer! Det har tatt adskillig mer tid å skrive dette enn antatt. Noen konsekvenser av dette: Kapittel 8, lineær algebra,

Detaljer

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den?

Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? side 1 Detaljert eksempel om Likninger - en introduksjon på 8. trinn Hva er en likning og hva betyr å løse den? Dette er et forslag til undervisningsopplegg der utgangspunktet er sentrale problemstillinger

Detaljer

Faktor. Eksamen høst 2005 SØK 1001- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto

Faktor. Eksamen høst 2005 SØK 1001- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto Faktor -en eksamensavis utgitt av Pareto Eksamen høst 005 SØK 00- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr : OBS!! Dette er en eksamensbevarelse, og ikke en fasit. Besvarelsene er uten endringer

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22.

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22. c) Løs likningen 6 4 x 4 x 6 4 x 4 x Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.011 DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Regn ut 10 8 3 3 10 8 3 3 10 8 1 10 3 a) 3 5 4 5 3 5 5 4 5 3 5 5 3 5 5 4 5 1 3 5 1 5 1 1 3 1 5 1 3 3 5

Detaljer

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen 31.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen 31.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Vår 31.05.01 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag matematikk S1 V14

Løsningsforslag matematikk S1 V14 Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007 Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA022 - Desember 200 eksamensoppgaver.org October 2, 2008 eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksempeloppgave i R1

Detaljer

Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter.

Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter. Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter. Dersom man ofte ikke er intressert i å finne eksakte løsninger kun sikkre interval, er ulikheter

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Eksamen 29.11.2011. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 29.11.2011. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål Eksamen 9.11.011 REA308 Matematikk S Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter timer. Del skal leveres inn

Detaljer

Ronny Kjelsberg. Noen grunnleggende elementer innen manipulasjon av brøk og enkle algebraiske uttrykk

Ronny Kjelsberg. Noen grunnleggende elementer innen manipulasjon av brøk og enkle algebraiske uttrykk Ronny Kjelsberg Noen grunnleggende elementer innen manipulasjon av brøk og enkle algebraiske uttrykk Contents Hvordan bli en BRØKREGNER på en, to, tre:. EN: Basics................................ Hva er

Detaljer

Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. august 2010 Induksjon Pensumlitteratur: Notat 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger.

Detaljer

Det digitale verktøyet. Matematikk 1T. Kristen Nastad

Det digitale verktøyet. Matematikk 1T. Kristen Nastad Det digitale verktøyet og Matematikk 1T Kristen Nastad Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.2.2409 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Computer Software for Windows og Aschehougs

Detaljer

Analyse og metodikk i Calculus 1

Analyse og metodikk i Calculus 1 Analyse og metodikk i Calculus 1 Fredrik Göthner og Raymi Eldby Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 3. desember 01 1 Innhold Forord 3 1 Vurdering av grafer og funksjoner 4 1.1 Hva er en funksjon?.........................

Detaljer

Texas Instruments TI-84

Texas Instruments TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Texas Instruments TI-84 Innhold 1 Regning 4 1.1 Tallet e...................................... 4 2 Sannsynlighetsregning

Detaljer

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om 1 Eksponentielt vekst: En størrelse vokser eller avtar med en fast prosent per tidsenhet. Eulers tall e: En matematisk konstant, e=2,7 1828.. ln a gir det tallet du må opphøye Eulers tall e i for å få

Detaljer

Et slikt pizzastykke utgjør en firedel av hele pizzaen. En firedel skriver vi slik:

Et slikt pizzastykke utgjør en firedel av hele pizzaen. En firedel skriver vi slik: Kapittel Brøk Det er en god egenskap å være villig til å dele med andre, for eksempel hvis du deler den pizzaen du hadde gledet deg til å spise, med tre venner som uventet stikker innom. Dersom alle skal

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG SIF5015 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 18. desember 2002

LØSNINGSFORSLAG SIF5015 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 18. desember 2002 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 LØSNINGSFORSLAG SIF55 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 8. desember 22 Oppgave a) Vi vil ha 77x (mod 3), så vi trenger en

Detaljer

Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i S1 er gratis, og det er

Detaljer

3 x = 27 x ln 3 = ln 27 ln 27 x = ln 3 x = 3. 10 x2 = 10 x log(10 x2 ) = log(10 x ) x 2 = x x(x 1)=0 x = 0 x = 1. x +3=2

3 x = 27 x ln 3 = ln 27 ln 27 x = ln 3 x = 3. 10 x2 = 10 x log(10 x2 ) = log(10 x ) x 2 = x x(x 1)=0 x = 0 x = 1. x +3=2 4 oppgave. a..i) 3 x = 7 x ln 3 = ln 7 ln 7 x = ln 3 x = 3. a..ii) 0 x = 0 x log(0 x ) = log(0 x ) x = x x(x )=0 x = 0 x =.3 a..i) Kvadrerer x +3= x +3= x = Setterikkeprøve,forjegseratsvareterriktig,menhuskåsetteprøvepå

Detaljer

Algebra. Likningsløsning. tasten) for å komme ned til S, og bla videre nedover til du finner solve(.

Algebra. Likningsløsning. tasten) for å komme ned til S, og bla videre nedover til du finner solve(. Algebra Algebra blir ofte referert til som bokstavregning, selv om man nok mister noe av det helhetlige bildet ved å holde seg til en slik oppfatning. Vi velger her å ta med ting som likningsløsning og

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire CAS Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Noen forhåndsdefinerte variabler......................

Detaljer

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy 1 Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy Graftegner Det skal gå klart fram av den grafiske framstillingen hvilken skala og hvilken enhet som er brukt, på hver av aksene. Det er en

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. sin 2 x cos 2 x = 0, x [0, 2π) 1 cos 2 x cos 2 x = 0 2 cos 2 x = 1 cos 2 x = 1 2 1 2

Høgskolen i Oslo og Akershus. sin 2 x cos 2 x = 0, x [0, 2π) 1 cos 2 x cos 2 x = 0 2 cos 2 x = 1 cos 2 x = 1 2 1 2 Innlevering i DAFE/ELFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 31. januar klokka 14:00 Antall oppgaver: 3 Løsningsforslag Oppgave 1 Løs disse likningene ved regning, og oppgi svarene eksakt: a) Vi kan for

Detaljer

Velg mellom disse kommandoene: Dersom[, , ] Funksjon[, , ]

Velg mellom disse kommandoene: Dersom[<Vilkår>, <Så>, <Ellers>] Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>] 442 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Nullpunkter Velg mellom disse kommandoene: Dersom[, , ] Funksjon[, , ] GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 27.01.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 27.01.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 27.01.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 9 Kapittel 2 Bokmål 1 av 9 Kurs i GeoGebra Funksjoner og grafer I dette kurset skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke GeoGebra som en graftegner. Grunnleggende innstillinger Når vi skal bruke

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen Løsningsforslag eksamen T våren 00 DEL Oppgave a) Funksjonen f er gitt ved f 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f 3 Grafen y 0 8 6 4-4 -3 - - 3 4 - -4 Nullpunkt 3 0 3 Nullpunkt når 3 b) Løs likningen

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012 Eksamen REA306 S1, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) 8 8 0 1 1 4 1 8 4 3 6

Detaljer

Det digitale verktøyet. Matematikk S2. Kristen Nastad. Aschehoug Undervisning

Det digitale verktøyet. Matematikk S2. Kristen Nastad. Aschehoug Undervisning Det digitale verktøyet og Matematikk S2 Kristen Nastad Aschehoug Undervisning Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.6.4319 2008 12 09 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Computer

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx-9860 Innhold 1 Om Casio fx-9860 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e......................................

Detaljer

TALLÆRE UKE 34. Rest. Hvis vi deler a med b og det ikke går opp har vi rest som er mindre enn b.

TALLÆRE UKE 34. Rest. Hvis vi deler a med b og det ikke går opp har vi rest som er mindre enn b. TALLÆRE UKE 34. Faktor. Hva er en faktor i et heltall? Vi fant ut at hvis et heltall b er med i et regnestykke med kun multiplikasjon som gir heltallet a som svar da er b faktor i a. Eksempel: 3 8=24 og

Detaljer