Mer om likninger og ulikheter

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Mer om likninger og ulikheter"

Transkript

1 Mer om likninger og ulikheter Studentene skal kunne utføre polynomdivisjon anvende nullpunktsetningen og polynomdivisjon til faktorisering av polynomer benytte polynomdivisjon til å løse likninger av høyere grad sette opp fortegnsskjema for polynomer og rasjonale uttrykk løse irrasjonale likninger

2 5.1 Polynomdivisjon Uttrykket P(x) = 2x 3 6x 2 2x + 48 er et eksempel på et polynom. Uttrykket er av tredje grad. Vi sier derfor at P(x) er et tredjegradspolynom. Tallene 2, 6, 2 og 48 kaller vi koeffisientene i polynomet. Tallet 2 kaller vi tredjegradskoeffisienten, tallet 6 er andregradskoeffisienten, 2 er førstegradskoeffisienten, og tallet 48 er konstantleddet. Vi multipliserer uttrykket (2x 4)(x + 4) og får (2x 4)(x + 4) = 2x 2 + 8x 4x 16 = 2x 2 + 4x 16 Dermed er 2x 2 + 4x 16 = (2x 4)(x + 4) Da er 2x 2 + 4x 16 = (2x 4)(x + 4) = 2x 4 x + 4 (x + 4) I stedet for brøkstrek bruker vi ofte divisjonstegn. Med den skrivemåten blir (2x 2 + 4x 16) : (x + 4) = 2x 4 Vi skal nå lære å dividere to polynomer uten å faktorisere først. Metoden likner på den vi bruker når vi dividerer tall. ➊ ➍ (2x 2 + 4x 16) : (x + 4) = 2x 4 ➋ 2x 2 + 8x ➌ 4x 16 ➎ 4x 16 ➏ Her er en forklaring av de seks punktene ovenfor: ➊ Vi må multiplisere x med 2x for å få 2x 2. ➋ Vi regner ut (x + 4) 2x og får 2x 2 + 8x. ➌ Vi regner ut (2x 2 + 4x) (2x 2 + 8x) og får 4x. Deretter flytter vi ned leddet 16. ➍ Vi multipliserer x med 4 for å få 4x. ➎ Vi regner ut (x + 4) ( 4) og får 4x 16. ➏ Til slutt regner vi ut ( 4x 16) ( 4x 16) og får resten, som her blir. Vi kan dividere et tredjegradspolynom med et polynom av første grad på tilsvarende måte. 146 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

3 Utfør divisjonen. (2x 3 6x 2 2x + 48) : (2x 4) (2x 3 6x 2 2x + 48) : (2x 4) = x 2 x 12 2x 3 4x 2 2x 2 2x 2x 2 + 4x 24x x + 48 Begge divisjonene foran gav resten. I slike tilfeller sier vi at divisjonen går opp. Men det er mange divisjoner som ikke går opp. Vi utfører divisjonen (4x 2 2x + 1) : (2x 2). (4x 2 2x + 1) : (2x 2) = 2x + 1 4x 2 4x 2x + 1 2x 2 3 Her fikk vi resten 3. Dermed står vi igjen med 3 : (2x 2), som er det 3 samme som. Divisjonen gir da dette svaret: 2x 2 (4x 2 3 2x + 1) : (2x 2) = 2x x 2 Dette kan vi kontrollere ved multiplikasjon. 3 ( 2x x 2 ) (2x 2) = (2x + 1) (2x 2) + (2x 2) (2x 2) = 4x 2 4x + 2x = 4x 2 2x + 1 Utfør divisjonen. (x 3 4x 2 8x + 13) : (x 1) 147

4 (x 3 4x 2 8x + 13) : (x 1) = x 2 3x 11 + x 3 x 2 3x 2 8x 3x 2 + 3x 11x x x 1? Oppgave 5.1 Utfør polynomdivisjonene. a) (x 2 5x + 4) : (x 1) b) (2x 2 4x + 2) : (x 3) c) (3x 2 + 5x 2) : (3x 1) d) (2x 2 + 4x + 3) : (4x + 2) Oppgave 5.11 Utfør polynomdivisjonene. a) (x 3 + x 2 5x + 3) : (x 1) b) (x 3 + x 2 5x + 3) : (x + 2) c) (8x 3 4x 2 16x 6) : (2x 5) d) (x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) : (x 1) Vi kan også dividere med polynomer av andre grad eller høyere. Utfør divisjonen. (2x 3 x 2 4x 4) : (2x 2 + 3x + 2) (2x 3 x 2 4x 4) : (2x 2 + 3x + 2) = x 2 2x 3 + 3x 2 + 2x 4x 2 6x 4 4x 2 6x Før vi gjør en slik divisjon, må vi ordne polynomene slik at ledd med høy grad står først. Det kan også lønne seg å sette inn ledd med koeffisient der det mangler ledd. Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

5 Når graden til resten er lavere enn graden til det polynomet vi dividerer med, avslutter vi divisjonen som vist i eksempelet nedenfor. Utfør divisjonen (4x 3 2x 2 + 3) : (2 x 2 ) Vi ordner uttrykkene, setter inn ledd med koeffisient og utfører divisjonen. (4x 3 2x 2 + x + 3) : ( x 2 + x + 2) = 4x x 1 2 x 4x 3 + x 2 8x 2 2x 2 + 8x + 3 2x 2 + x + 4 8x 1 Når vi dividerer et polynom P(x) med et polynom Q(x), får vi en rest med lavere grad enn Q(x). Hvis Q(x) er et førstegradspolynom, blir resten et tall.? Oppgave 5.12 Utfør polynomdivisjonene. a) (2x 3 + 3x 2 + 2x 1) : (x 2 + x 1) b) (2x 4 + 5x 3 x 2 6x) : (2x 2 + x 3) c) (x 3 + 3x 2 2x 6) : (x 2 2) d) (x 3 + x 2) : (x + 3) e) (2x 4 + 5x 2 + 2) : (2x + 1) f) (4x 4 + 3x 3 + x) : (x 2 1) Oppgave 5.13 Utfør polynomdivisjonen P(x) : (x 2) og finn resten r. Regn deretter ut P(2). Hva ser du? a) P(x) = x 2 + 4x + 3 b) P(x) = x 3 3x 2 + 2x + 3 c) P(x) = x 3 + 2x 2 6x 4 149

6 5.2 Resten ved en polynomdivisjon Når vi dividerer P(x) = x 2 + x 1 med x 2, får vi (x 2 + x 1) : (x 2) = x x 2 2x 3x 1 3x 6 5 Vi finner at resten r = 5. 5 x 2 Uttrykket x 2 har nullpunktet x = 2. Når vi regner ut P(2), får vi P(2) = = 5 Vi ser at P(2) er lik resten etter divisjon med (x 2). I slutten av delkapittelet viser vi at dette er en generell regel. Når vi dividerer polynomet P(x) med (x x ), blir resten r = P(x ). a) Finn resten ved divisjonen (x 2 2x + 1) : (x 3) uten å utføre divisjonen. b) Kontroller dette ved å utføre divisjonen. a) Her er P(x) = x 2 2x + 1 og x = 3. Vi får r = P(3) = = 4 Resten blir 4. b) (x 2 2x + 1) : (x 3) = x x 2 3x x + 1 x 3 4 Vi ser at resten er 4. Det stemmer. 4 x 3 15 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

7 ? Oppgave 5.2 Finn resten uten å dividere. Kontroller svaret ved å utføre divisjonen. a) (x 2 2x + 3) : (x 1) b) (2x 2 + 5x 7) : (x 2) c) (x 3 2x 2 + x 2 ) : (x + 3) d) (2x 3 + 2x 2 3x 3) : (x + 1) Når vi dividerer et polynom P(x) med (x x ), vet vi at resten er P(x ). At en divisjon går opp, er det samme som å si at resten er. Det er det samme som at P(x ) =. La P(x) være et polynom. Divisjonen P(x) : (x x ) går opp hvis og bare hvis P(x ) =. Avgjør om divisjonen (x 3 2x 2 7x 4) : (x 4) går opp uten at du gjør divisjonen. Kontroller dette ved å utføre divisjonen. Her er P(x) = x 3 2x 2 7x 4 og x = 4. P(4) = = = Ettersom P(4) =, går divisjonen med (x 4) opp. Vi utfører divisjonen. (x 3 2x 2 7x 4) : (x 4) = x 2 + 2x + 1 x 3 4x 2 2x 2 7x 2x 2 8x x 4 x 4 Divisjonen går opp. 151

8 I eksempelet på forrige side fant vi ut at divisjonen med (x 4) måtte gå opp fordi P(4) =. Vi så at Dermed er (x 3 2x 2 7x 4) : (x 4) = x 2 + 2x + 1 (x 3 2x 2 7x 4) = (x 4) (x 2 + 2x + 1) Vi ser at (x 4) er en faktor i polynomet. Hvis P(x) er et polynom slik at P(x ) =, går divisjonen P(x) : (x x ) opp. Dermed fins det et polynom Q(x) slik at P(x) : (x x ) = Q(x). Da er P(x) = (x x ) Q(x), og (x x ) er en faktor i P(x). Og omvendt: Hvis (x x ) er en faktor i P(x), så fins det et polynom Q(x) slik at P(x) = (x x ) Q(x). Da er P(x ) = (x x ) Q(x ) = Q(x ) = Vi har vist denne regelen: La P(x) være et polynom. P(x) har faktoren (x x ) hvis og bare hvis P(x ) =. Finn ut om (x + 2) er en faktor i polynomet P(x). a) P(x) = 2x 2 + 3x 2 b) P(x) = x 3 + 3x 2 + 2x + 4 a) Ettersom (x + 2) = (x ( 2)), må vi undersøke om P( 2) =. P( 2) = 2 ( 2) ( 2) 2 = = (x + 2) er en faktor. b) P( 2) = ( 2) ( 2) ( 2) + 4 = = 4 Fordi P( 2), er (x + 2) ikke en faktor i P(x). 152 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

9 ? Oppgave 5.21 Avgjør om divisjonen går opp uten å utføre divisjonen. a) (x 2 + 2x 3) : (x 1) b) (x 3 3x 2 + 2x + 2) : (x + 2) c) (2x 3 + 4x 2 1x 12) : (x 2) d) (x 4 1x 2 + 8) : (x + 3) Oppgave 5.22 Avgjør om (x 2) er en faktor i P(x) uten å dividere. a) P(x) = 2x 2 + 4x 6 b) P(x) = 2x 2 + 6x 2 c) P(x) = x 3 3x 2 + 3x 2 d) P(x) = x 4 3x 3 + 4x + 1 Oppgave 5.23 Avgjør om (x 1) og om (x + 2) er faktorer i P(x) når a) P(x) = x 2 4x + 3 b) P(x) = x 3 + 2x 2 x 2 c) P(x) = 2x 3 3x 2 + 2x + 1 d) P(x) = x 4 2x 3 + 2x 2 + x 2 Oppgave 5.24 Bestem tallet a slik at divisjonen går opp. a) (x 2 + ax 2) : (x 2) b) (x 2 + 3x + a) : (x + 5) c) (x 3 + ax 2 + ax + 4) : (x + 2) d) (ax 2 + ax + 2) : (x + 1) e) (x 2 5x + 6) : (x a) Bevis for at divisjonen P(x) : (x x ) gir resten r = P(x ) La P(x) være et polynom. Når vi utfører divisjonen, finner vi et polynom Q(x) slik at P(x) : (x x ) = Q(x) + r x x der tallet r er resten. Det er det samme som at P(x) x x = Q(x) + r x x Når vi multipliserer med (x x ) på begge sidene av likhetstegnet, får vi P(x) = (x x ) Q(x) + r Her skal høyre og venstre side av likhetstegnet være like for alle verdier av x, spesielt for x = x. Dermed er P(x ) = (x x ) Q(x ) + r = Q(x ) + r = r Dermed har vi vist at resten r = P(x ). 153

10 5.3 Faktorisering av polynomer Å faktorisere et polynom vil si å skrive polynomet som et produkt av polynomer av lavere grad. I kapittel 4 lærte vi å faktorisere andregradspolynomer ved hjelp av nullpunktene. Vi brukte denne regelen: Dersom andregradsuttrykket ax 2 + bx + c har de to nullpunktene x = x 1 og x = x 2, er ax 2 + bx + c = a (x x 1 ) (x x 2 ) Dersom andregradsuttrykket har ett nullpunkt x = x 1, er ax 2 + bx + c = a (x x 1 ) 2 Hvis andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, er det ikke mulig å faktorisere uttrykket i førstegradsfaktorer. Når vi skal faktorisere et tredjegradsuttrykk, må vi kjenne en førstegradsfaktor. Vi utfører en polynomdivisjon og skriver tredjegradsuttrykket som et produkt av et førstegradsuttrykk og et andregradsuttrykk. Til slutt undersøker vi om vi kan faktorisere andregradsuttrykket. Et polynom er gitt ved P(x) = x 3 2x 2 x + 2 a) Vis at (x + 1) er en faktor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mulig. 154 a) Vi må undersøke om P( 1) =. P( 1) = ( 1) 3 2 ( 1) 2 ( 1) + 2 = = Dermed er (x + 1) en faktor. b) Nå vet vi at divisjonen P(x) : (x + 1) går opp. (x 3 2x 2 x + 2) : (x + 1) = x 2 3x + 2 x 3 + x 2 3x 2 x 3x 2 3x 2x + 2 2x + 2 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

11 Dermed er x 3 2x 2 x + 2 = (x + 1)(x 2 3x + 2) Det neste er å faktorisere uttrykket x 2 3x + 2 dersom det lar seg gjøre. Likningen x 2 3x + 2 = har løsningene x = 1 og x = 2. Dermed er x 2 3x + 2 = (x 1)(x 2) Innsatt i uttrykket ovenfor gir det faktoriseringen x 3 2x 2 x + 2 = (x + 1)(x 1)(x 2) Et polynom er gitt ved P(x) = x 3 x 2 4x 6 a) Vis at P(3) =. b) Faktoriser P(x) mest mulig. a) Vi regner ut P(3). P(3) = = = b) Ettersom P(3) =, vet vi at divisjonen P(x) : (x 3) går opp. Vi utfører polynomdivisjonen og får (x 3 x 2 4x 6) : (x 3) = x 2 + 2x + 2 Dermed er x 3 x 2 4x 6 = (x 3)(x 2 + 2x + 2). Det neste er å faktorisere uttrykket x 2 + 2x + 2 om mulig. Vi løser derfor likningen x 2 + 2x + 2 = 2 ± 2 x = ± = Andregradslikningen har ingen nullpunkter, og vi kan derfor ikke faktorisere andregradsuttrykket. Den beste faktoriseringen av tredjegradsuttrykket er dermed x 3 x 2 4x 6 = (x 3)(x 2 + 2x + 2) 155

12 ? Oppgave 5.3 Et polynom er gitt ved P(x) = x 3 + 4x 2 + x 6. a) Vis at (x 1) er en faktor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mulig. Oppgave 5.31 Et polynom er gitt ved P(x) = 2x 3 + 2x 2 16x 24. a) Vis at P(3) =. b) Faktoriser P(x) mest mulig. Oppgave 5.32 Et polynom er gitt ved P(x) = x 3 2x 2 3x + 1 a) Vis at (x + 2) er en faktor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mulig. Oppgave 5.33 Et polynom er gitt ved P(x) = x 4 5x 3 + 5x 2 + 5x 6 a) Vis at (x 1) og (x 2) er faktorer. b) Faktoriser P(x) mest mulig. 5.4 Likninger og ulikheter av høyere grad Det fins en formel som vi kan bruke til å løse tredjegradslikninger. Den lærer vi ikke i dette kurset. En tredjegradslikning kan ha inntil tre løsninger. Vi må kjenne en av dem for å kunne finne de to andre. a) Vis at x = 2 er en løsning av tredjegradslikningen x 3 + 2x 2 5x 6 = b) Løs tredjegradslikningen. c) Løs ulikheten x 3 + 2x 2 5x 6 < 156 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

13 a) Vi setter Da er P(x) = x 3 + 2x 2 5x 6 P(2) = = = x = 2 er en løsning av likningen. b) Ettersom P(2) =, er (x 2) en faktor i P(x). Vi vet da at denne polynomdivisjonen går opp: (x 3 + 2x 2 5x 6) : (x 2) = x 2 + 4x + 3 x 3 2x 2 4x 2 5x 4x 2 8x 3x 6 3x 6 Dermed er x 3 + 2x 2 5x 6 = (x 2)(x 2 + 4x + 3) Nå kan vi løse tredjegradslikningen. x 3 + 2x 2 5x 6 = (x 2)(x 2 + 4x + 3) = Når produktet av to tall er, må et av tallene være null. Det gir x 2 = eller x 2 + 4x + 3 = 4 ± 4 x = 2 eller x = ± 4 x = 2 eller x = 2 x = 2 eller x = 4 ± 2 2 x = 2 eller x = 1 eller x = 3 Likningen har løsningene x = 3, x = 1 og x = 2. c) Faktorisering av x 2 + 4x + 3 gir x 2 + 4x + 3 = (x ( 3))(x ( 1)) = (x + 3)(x + 1) Dermed kan vi faktorisere tredjegradsuttrykket P(x). 157

14 P(x) = x 3 + 2x 2 5x 6 = (x 2)(x 2 + 4x + 3) = (x 2)(x + 3)(x + 1) Ulikheten løser vi nå ved å lage fortegnslinjer for faktorene x x 2 x + 3 x + 1 P(x) x 3 + 2x 2 5x 6 < når x < 3 og når 1 < x < 2 a) Vis at x = 2 er en løsning av tredjegradslikningen x 3 x 2 3x + 6 = b) Løs tredjegradslikningen. c) Løs ulikheten x 3 x 2 3x + 6 > a) Vi setter P(x) = x 3 x 2 3x + 6 Da er P( 2) = ( 2) 3 ( 2) 2 3 ( 2) + 6 = = x = 2 er en løsning av likningen. b) Ettersom P( 2) =, er (x + 2) en faktor i P(x). Denne polynomdivisjonen går opp: (x 3 x 2 3x + 6) : (x + 2) = x 2 3x + 3 x 3 + 2x 2 3x 2 3x 3x 2 6x 3x + 6 3x Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

15 Dermed er x 3 x 2 3x + 6 = (x + 2)(x 2 3x + 3) Nå løser vi tredjegradslikningen. x 3 x 2 3x + 6 = (x + 2)(x 2 3x + 3) = x + 2 = eller x 2 3x + 3 = x = 2 eller x = 3 ± x = 2 eller x = 3 ± Andregradslikningen har ingen løsning, derfor er x = 2 den eneste løsningen av tredjegradslikningen. Likningen har løsningen x = 2. c) Ettersom x 2 3x + 3 ikke har nullpunkter, er uttrykket enten positivt for alle x eller negativt for alle x. Uttrykket er 3 når x =, dermed må x 2 3x + 3 være positivt for alle verdier av x. Nå kan vi lage fortegnslinje for P(x) = x 3 x 2 3x + 6 = (x + 2)(x 2 3x + 3) x x + 2 x 2 3x + 3 P(x) x 3 x 2 3x + 6 > når x > 2? Oppgave 5.4 a) Vis at x = 1 er en løsning av likningen x 3 4x 2 + x + 6 = b) Finn alle løsningene av likningen. c) Løs ulikheten x 3 4x 2 + x + 6 > 159

16 ? Oppgave 5.41 Polynomfunksjonen P er gitt ved P(x) = x 3 + 2x 2 3x 1 a) Vis at x 2 er en faktor i P(x). b) Faktoriser P(x) mest mulig. c) Finn nullpunktene til P ved regning. d) Finn ut ved regning for hvilke verdier av x grafen til P ligger under x-aksen. Oppgave 5.42 a) Bestem tallet a slik at x = 2 blir en løsning av likningen x 3 2x 2 + ax + 8 = b) Løs likningen for denne verdien av a. c) Bruk denne verdien av a og løs ulikheten x 3 2x 2 + ax + 8 Oppgave 5.43 Vi har gitt likningen x 4 6x 3 + 7x 2 + 6x 8 = a) Vis at x = 1 og x = 2 er løsninger av likningen. b) Finn de andre løsningene. c) Løs ulikheten x 4 6x 3 + 7x 2 + 6x Forkorting av rasjonale uttrykk Et rasjonalt uttrykk er på formen P(x), der P(x) og Q(x) er polynomer. Q(x) Vi skal nå lære å bruke polynomdivisjon til å forkorte noen slike uttrykk. Hvis det skal være mulig å forkorte det rasjonale uttrykket x2 5x + 6 x, må 2 (x 2) være en faktor i telleren x 2 5x + 6. Da må telleren x 2 5x + 6 = når x = 2. Vi undersøker det: = = Dermed kan vi forkorte uttrykket enten ved å utføre polynomdivisjonen (x 2 5x + 6) : (x 2) eller ved å faktorisere telleren ved hjelp av nullpunktene. 16 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

17 x 2 5x + 6 har nullpunktene x = 2 og x = 3. Dermed er x 2 5x + 6 = (x 2)(x 3) Det gir x 2 5x + 6 (x 2) (x = 3) = x 3 x 2 (x 2) P(x) At vi kan forkorte uttrykket x x, er det samme som å si at (x x ) er en faktor i P(x). Det er det samme som at P(x ) =. La P(x) være et polynom. Da kan vi forkorte P(x ) =. P(x) x x hvis og bare hvis Forkort uttrykket x3 2x 2 5x + 6 x hvis det er mulig. 3 Først undersøker vi om det er mulig å forkorte uttrykket. Da må telleren P(x) = når x = 3. P(3) = = = Uttrykket kan forkortes, og vi utfører en polynomdivisjon: Dermed er (x 3 2x 2 5x + 6) : (x 3) = x 2 + x 2 x 3 3x 2 x 2 5x x 2 3x 2x + 6 2x + 6 x 3 2x 2 5x + 6 = (x 3)(x 2 + x 2) og x 3 2x 2 5x + 6 x 3 = (x 3)(x2 + x 2) = x x x 2 161

18 Undersøk om vi kan forkorte uttrykket x 3 x + 2 x + 2 Det er mulig å forkorte uttrykket hvis telleren P(x) = når x = 2. P( 2) = ( 2) 3 ( 2) + 2 = = 4 Det er ikke mulig å forkorte uttrykket.? Oppgave 5.5 Forkort uttrykkene hvis det lar seg gjøre. a) x2 + x 2 x 1 b) 2x2 + 4x 6 x + 3 c) x 2 + 5x 14 x 2 d) 2x2 + 6x 2 2x 6 Oppgave 5.51 Forkort uttrykkene om mulig. a) x3 + x 2 x 1 b) x3 + 6x x + 6 x + 3 c) x 3 9x 3x + 6 d) x + 1 x 3 + 2x 2 + 2x + 1 Oppgave 5.52 For hvilke a kan vi forkorte uttrykket x 2 + 5x + a x + 2 I de eksemplene og oppgavene vi har regnet til nå, har det vært et førstegradsuttrykk i nevneren eller telleren. Nå skal vi se på rasjonale uttrykk der vi ikke har noe førstegradsuttrykk. Forkort uttrykket x 3 3x 2 x + 3 x 2 5x Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

19 Vi faktoriserer nevneren. Likningen x 2 5x + 6 = har løsningene x = 2 og x = 3. Dermed er x 2 5x + 6 = (x 2)(x 3) Nå undersøker vi om (x 2) eller (x 3) er faktorer i telleren, som vi setter lik P(x). (x 2) er en faktor hvis P(2) =. P(2) = = = 3 Dermed er (x 2) ikke en faktor. (x 3) er en faktor hvis P(3) =. P(3) = = = Altså er (x 3) en faktor, og denne divisjonen går opp: Etter dette er Det gir (x 3 3x 2 x + 3) : (x 3) = x 2 1 x 3 3x 2 x + 3 x + 3 (x 3 3x 2 x + 3) = (x 2 1) (x 3) x 3 3x 2 x + 3 x 2 5x + 6 Vi flytter ned to ledd fordi både andreog tredjegradsleddet forsvinner. = (x2 1)(x 3) (x 2)(x 3) = x2 1 x 2? Oppgave 5.53 Forkort uttrykkene hvis det lar seg gjøre. a) x3 2x + 4 x 2 4 b) x 2 + 4x + 3 x 3 + 3x 2 4x 12 Oppgave 5.54 For hvilke verdier av a kan vi forkorte uttrykket x 3 4x 2 + 6x + a x 2 4x

20 5.6 Rasjonale likninger En brøk er ikke definert når nevneren er null. I rasjonale uttrykk må vi derfor passe på at nevneren ikke blir null. I uttrykket x + 1 x(x 2) er nevneren null når x = og når x = 2. Det er ikke mulig å sette inn x = eller x = 2 i uttrykket. Derfor må vi forutsette at x og at x 2 når vi regner med dette uttrykket. Slike forutsetninger er svært viktige når vi løser likninger der den ukjente er med i nevneren. Løs likningen. 2 x 2 2x + 2 x = 1 x 2 Faktorisering av nevneren gir 2 x(x 2) + 2 x = 1 x 2 Nevneren er lik null når x = og når x = 2. Vi må derfor forutsette at x og at x 2. Nå multipliserer vi med fellesnevneren x(x 2) på begge sidene av likhetstegnet. 2 x(x 2) + x(x 2) 2 x(x 2) x (x 2) = 1 x 2 + 2x 4 = x 2x 2 = x 2x x = 2 x = 2 Ingen løsning 1 x(x 2) = (x 2) Likningen har ingen løsning fordi vi forutsatte at x 2. Det er ikke mulig å sette inn x = 2 i den likningen vi skulle løse. 164 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

21 Løs likningen x x 3 2 x 1 = 4 x 2 4x + 3 Først faktoriserer vi nevneren x 2 4x + 3. Andregradsuttrykket har nullpunktene x = 1 og x = 3. Dermed er x 2 4x + 3 = (x 1)(x 3) Likningen blir x x 3 2 x 1 = 4 (x 1)(x 3) I denne likningen må x 1 og x 3, for nevnerne kan ikke være lik null. Nå multipliserer vi med fellesnevneren (x 1)(x 3). x (x 1)(x 3) (x 3) 2 (x 1)(x 3) (x 1) = 4 (x 1)(x 3) (x 1)(x 3) x(x 1) 2(x 3) = 4 x 2 x 2x + 6 = 4 x 2 3x + 2 = Andregradsformelen eller lommeregneren gir x = 1 eller x = 2. Men x = 1 passer ikke inn i likningen i oppgaven. Dermed er løsningen x = 2? Oppgave 5.6 Løs likningene. a) 1 x + 1 x 2 = 2 x 2 2x 2 c) x 1 3 x + 1 = 4 x 2 1 Oppgave 5.61 Løs likningene. x a) x x 2 + 2x = 3 x x c) x x 2 2x 8 = 3 x 4 b) 2 x 3 4 x 2 3x = 1 x x b) x 3 2 x = 9 x 2 3x 3 d) x 2 4x x + 1 = x x 5 165

22 a) Vis at x = 1 er en løsning av likningen x 2 x x 6 x 2 + 5x + 6 = 8x x + 2 b) Finn de andre løsningene. a) Vi setter inn x = 1 på venstre og på høyre side av likhetstegnet og sammenlikner. 1 V.s. = = = = = 8 3 H.s. = = 8 3 x = 1 er en løsning. b) Nå faktoriserer vi nevneren x 2 + 5x + 6. Nullpunktene er x = 2 og x = 3. Dermed er x 2 + 5x + 6 = (x ( 2))(x ( 3)) = (x + 2)(x + 3) Likningen blir x 2 x x 6 (x + 2)(x + 3) = 8x x + 2 Her må x 2 og x 3. Fellesnevneren er (x + 2)(x + 3). Vi ganger med den på begge sidene av likhetstegnet. x 2 (x + 3) (x + 2)(x + 3) + 35x 6 (x + 2)(x + 3) (x + 2)(x + 3) = 8x (x + 2)(x + 3) (x + 2) x 2 (x + 2) + 35x 6 = 8x (x + 3) x 3 + 2x x 6 = 8x x x 3 6x x 6 = x = 1 er en løsning av likningen og må derfor også være et nullpunkt for dette tredjegradsuttrykket. Denne divisjonen må da gå opp: (x 3 6x x 6) : (x 1) = x 2 5x + 6 x 3 x 2 5x x 5x 2 + 5x 6x 6 6x 6 Dermed er x 3 6x x 6 = (x 1)(x 2 5x + 6) 166 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

23 Likningen blir (x 1)(x 2 5x + 6) = x 1 = eller x 2 5x + 6 = Andregradslikningen har løsningene x = 2 og x = 3. Det gir løsningene x = 1, x = 2 og x = 3? Oppgave 5.62 a) Vis at x = 2 er en løsning av likningen 1x + 4 x 2 + 2x 3 = x 2 x x x 1 b) Finn de andre løsningene. 5.7 Rasjonale ulikheter Ulikheten x x > kaller vi en rasjonal ulikhet. Vi kan ikke multiplisere med 4 2x på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis vi multipliserer med et negativt tall på begge sidene av ulikhetstegnet, må vi snu tegnet. Uttrykket 4 2x er positivt for noen verdier av x og negativt for andre verdier. Hvis vi multipliserer med 4 2x, vet vi ikke lenger hvilken vei ulikhetstegnet skal vende. Derfor må vi lage fortegnsskjema. Vi lager fortegnslinjer for telleren og for nevneren hver for seg x x x x x Hvis telleren og nevneren har samme fortegn, blir brøken positiv. Hvis telleren og nevneren har motsatt fortegn, blir brøken negativ. Brøken er null når telleren er null (x = 3). Brøken er ikke definert når nevneren er null (x = 2). Det punktet markerer vi ved å la to pilspisser møtes. Slike punkter ligger alltid under nullpunktene til nevneren. 167

24 ! Vi skal finne ut når uttrykket er positivt. Svaret finner vi der fortegnslinja er heltrukket. x + 3 > når 3 < x < 2 4 2x Fortegnslinjemetoden fungerer bare når vi har null på høyre side av ulikhetstegnet. Hvis vi har andre tall eller uttrykk på høyre side, må vi ordne uttrykket vårt slik at vi får null på høyre side. Løs ulikheten x x 2 < 2. x x 2 < 2 x x 2 2 < x x 2 2(x 2) < x 2 x (2x 4) < x 2 x 2x + 4 < x 2 x + 4 x 2 < Nå kan vi lage fortegnsskjema. Legg merke til hvordan vi gjør om tallet 2 til en brøk med x 2 som nevner x x + 4 x 2 x + 4 x 2 Her skal vi finne ut når uttrykket er negativt. Svaret finner vi der vi har stiplet linje. x + 4 x < når x < 2 og når x > 4. 2 x < 2 når x < 2 og når x > 4 x 2! 168 Multipliser aldri begge sidene av et ulikhetstegn med et uttrykk som kan være både positivt og negativt. Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

25 ? Oppgave 5.7 Løs ulikhetene. a) x 3 x + 1 > b) 2x + 4 x 1 < c) 2 x + 3 > d) 4 + x 3 2x Oppgave 5.71 Løs ulikhetene. a) x 1 x + 1 > 1 b) 2x 4 x 1 3 c) 2 x 1 < 2 d) 2x 4 x 2 > 3 Ulikheten i eksempelet på forrige side kan vi også løse på lommeregneren. ON CASIO Vi velger GRAPH, trykker på TYPE, F6 og F1 (Y>) og legger inn uttrykket Y1 > ( X + 4)/(X 2) Deretter trykker vi på TYPE, F6 og F2 (Y<) og legger inn uttrykket Y2 < Nå trykker vi på V-Window og velger vindu bestemt ved at x [ 3, 7] og y [ 5, 5]. Vi trykker på EXIT og på F6 (DRAW). Lommeregneren skraverer da først alle punkter som ligger over grafen. Deretter fjerner den skraveringen som ikke ligger under x-aksen. Vi kan da lese av løsningen på det skjermbildet vi får fram. TEXAS Vi trykker på Y= og legger inn uttrykket Y1 = ( X + 4)/(X 2) < Tegnet < finner vi ved å trykke på TEST og velge 5: <. Lommeregneren setter Y1 lik 1 hvis X passer i uttrykket ( X + 4)/(X 2) <. Hvis X ikke passer, blir uttrykket satt lik. Nå velger vi et vindu bestemt ved at x [ 5, 5] og y [ 5, 5]. Når vi så trykker på GRAPH, får vi dette skjermbildet: OFF Ulikheten har løsningen x < 2 eller x > 4 Ulikheten har løsningen x < 2 eller x > 4 169

26 ? Oppgave 5.72 Løs oppgave 5.71 ved hjelp av lommeregneren. Noen ganger må vi faktorisere andre- eller tredjegradsuttrykk når vi løser rasjonale ulikheter. Løs ulikheten x + 1 > 5x 1 x + 1 Vi flytter brøkuttrykket over på venstre side og setter alt på felles brøkstrek. x + 1 > 5x 1 x + 1 (x + 1)(x + 1) 5x 1 x + 1 x + 1 > (x 2 + 2x + 1) (5x 1) > Pass på parentesen om (5x 1). x + 1 x 2 + 2x + 1 5x + 1 > x + 1 x 2 3x + 2 > x + 1 Telleren x 2 3x + 2 har nullpunktene x = 1 og x = 2. Dermed er x 2 3x + 2 = (x 1)(x 2) Innsatt i ulikheten gir det (x 1)(x 2) > x + 1 Nå lager vi fortegnslinjer: x x 1 x 2 x + 1 (x 1)(x 2) x + 1 x + 1 > 5x 1 x + 1 når 1 < x < 1 og når x > 2 17 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

27 ? Oppgave 5.73 Løs ulikheten. 8 6x 1 x > x + 2 Oppgave 5.74 Løs ulikhetene. x(x 2) a) x + 1 > b) x x 3 > x 1 3x c) > x d) 3x + 1 x 2 x + 1 > 2x 3 Oppgave 5.75 a) Vis at x = 2 er en løsning av likningen x 3 4x 2 + x + 6 = 2x 2 b) Finn alle løsningene av likningen. c) Løs ulikheten x 3 4x 2 + x + 6 < 2x Irrasjonale likninger Nå skal vi gjøre oss kjent med noen av symbolene fra logikken. Vi vet at hvis 2x + 1 = 4, er alltid 2x = 3. Med bruk av symboler fra logikken skriver vi 2x + 1 = 4 2x = 3 Tegnet er en implikasjonspil som vi leser fører til at, medfører at eller impliserer at. Vi bruker denne pila mellom to likninger, påstander eller utsagn. Skrivemåten A B betyr at hvis påstanden A er riktig, så er også påstanden B riktig. 171

28 Slike påstander trenger ikke være matematiske. Vi kan for eksempel skrive Personen heter Ola Personen er en gutt Det er en riktig påstand. Men påstanden Personen er en gutt Personen heter Ola er ikke riktig. Hvis x = 2, fører det til at x 2 = 4. Med symboler skriver vi x = 2 x 2 = 4 Men hvis x 2 = 4, trenger ikke x = 2. Det riktige kan være at x = 2. Derfor kan vi ikke skrive at x 2 = 4 x = 2. Det riktige er x 2 = 4 x = 2 eller x = 2 Likningene 2x 2 = 8 og x 2 = 4 har nøyaktig de samme løsningene, nemlig x = 2 og x = 2. Vi sier at de to likningene er ekvivalente (likeverdige) og skriver 2x 2 = 8 x 2 = 4 Tegnet kaller vi et ekvivalenstegn. Vi leser er ekvivalent med, har samme løsning som eller hvis og bare hvis. Vi kan også skrive x 2 = 4 x = 2 eller x = 2 To likninger er ekvivalente hvis de har nøyaktig de samme løsningene. Når vi løser en likning, gjør vi om likningen på en slik måte at vi får en ny likning med den samme løsningen. Vi kan for eksempel flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet når vi samtidig skifter fortegn på leddet. Vi kan også multiplisere eller dividere på begge sidene av likhetstegnet med tall som ikke er null. Når vi omformer en likning på denne måten, får vi en ekvivalent likning som har nøyaktig de samme løsningene som den likningen vi begynte med. Da kan vi bruke ekvivalenstegnet mellom likningene. Når vi flytter et ledd over på det andre siden av likhetstegnet og skifter fortegn på leddet, får vi en ekvivalent likning. Når vi dividerer eller multipliserer på begge sidene av likhetstegnet med et tall som ikke er null, får vi en ekvivalent likning. 172 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

29 Løs likningen 3x 2 2x + 3 = 4x + 3 3x 2 2x + 3 = 4x + 3 3x 2 2x + 3 4x 3 = 3x 2 6x = 3x(x 2) = 3x = eller x 2 = x = eller x = 2 I eksempelet ovenfor var løsningene x = og x = 2. Vi sier også at løsningsmengden er {, 2}.! I denne boka kommer vi normalt ikke til å skrive ekvivalenstegnet når vi løser likninger. Vi forutsetter vanligvis at likningene er ekvivalente når det ikke står noe symbol mellom dem. Når vi multipliserer begge sidene av likhetstegnet i en likning med et tall som ikke er null, forandrer vi ikke løsningsmengden. Nå vil vi undersøke om vi kan kvadrere hver side uten å endre løsningsmengden. Likningen 2x = 4 har bare den ene løsningen x = 2. Men når 2x = 4, er (2x) 2 = 4 2 4x 2 = 16 Vi løser denne likningen og får 4x 2 = 16 x 2 = 4 x = 2 eller x = 2 173

30 Vi ser at vi har fått en løsning x = 2 i tillegg til den riktige løsningen x = 2. Løsningen x = 2 er feil og passer ikke i den likningen vi begynte med. Likningene 2x = 4 og (2x) 2 = 4 2 har ikke de samme løsningene, og likningene er ikke ekvivalente. Dermed kan vi ikke bruke ekvivalenstegnet mellom dem. Det riktige er 2x = 4 (2x) 2 = 4 2 Hvis vi kvadrerer en likning, får vi vanligvis ikke noen ekvivalent likning. Vi må derfor alltid sette prøve på de svarene vi får når vi har kvadrert en likning. Når vi kvadrerer begge sidene av en likning, kan vi få falske løsninger. Vi må derfor sette prøve på de svarene vi får. En likning der den ukjente står under et rottegn, kaller vi en irrasjonal likning. Når vi løser slike likninger, må vi som oftest kvadrere begge sidene av likhetstegnet og må dermed sette prøve på svaret. Løs den irrasjonale likningen 8 x = x 2 Vi kvadrerer begge sidene av likningen og må da sette prøve på de svarene vi får. 8 x = x 2 ( 8 x ) 2 = (x 2) 2 8 x = x 2 4x + 4 = x 2 3x 4 x 2 3x 4 = x = 3 ± x = 3 ± 5 2 x = 4 eller x = 1 Nå må vi sette prøve på svaret: 174 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

31 x = 4 Venstre side: 8 x = 8 4 = 4 = 2 Høyre side: x 2 = 4 2 = 2 x = 4 passer i likningen. x = 1 Venstre side: 8 x = 8 ( 1) = 9 = 3 Høyre side: x 2 = 1 2 = 3 x = 1 passer ikke i likningen. Likningen har løsningen x = 4.? Oppgave 5.8 Løs likningene. a) 2x 3 = x 3 b) 2x + 12 = x + 6 c) 14x 6 = x 3 Når vi løser irrasjonale likninger, er det viktig å ordne likningen slik at rotuttrykket står alene på den ene siden av likhetstegnet før vi kvadrerer. Løs likningen x = 3x Først ordner vi likningen slik at rotuttrykket står alene på den ene siden av likhetstegnet. x = 3x x + 1 = 3x + 7 (x + 1) 2 = ( 3x + 7 ) 2 x 2 + 2x + 1 = 3x + 7 x 2 x 6 = x = 1 ± x = 1 ± 5 2 x = 2 eller x = 3 Her kvadrerer vi, og vi må sette prøve på svaret. 175

32 Vi setter prøve på svaret: x = 2 Venstre side: x = 2 Høyre side: 3x = 3 ( 2) = 1 1 = x = 2 passer ikke i likningen. x = 3 Venstre side: x = 3 Høyre side: 3x = = 16 1 = 4 1 = 3 x = 3 passer i likningen. Likningen har løsningen x = 3.? Oppgave 5.81 Løs likningene. a) 2 2x = 2x b) 8x x + 5 = c) 4 x 2 x + 3 = 176 Sinus for forkurset > Mer om likninger og ulikheter

33 SAMMENDRAG Polynomdivisjon Når vi dividerer et polynom P(x) med et polynom Q(x), får vi en rest med lavere grad enn Q(x). Hvis Q(x) er et førstegradsuttrykk, blir resten et tall. Resten ved en polynomdivisjon Når vi dividerer polynomet P(x) med (x x ), blir resten r = P(x ). Divisjonen P(x) : (x x ) går opp hvis og bare hvis P(x ) =. Faktor i et polynom (x x ) er en faktor i polynomet P(x) når og bare når P(x ) =. Rasjonale uttrykk Et rasjonalt uttrykk er på formen P(x), der P(x) og Q(x) er polynomer. Q(x) Forkorting av rasjonale uttrykk Vi kan forkorte P(x) x x hvis og bare hvis P(x ) =. Rasjonale ulikheter Når vi løser ulikheter som inneholder rasjonale uttrykk, ordner vi dem først slik at vi har ett rasjonalt uttrykk på venstre side og på høyre side av ulikhetstegnet. Deretter lager vi fortegnslinje for telleren og for nevneren. Vi bruker så dem til å lage ei fortegnslinje for det rasjonale uttrykket. Ekvivalente likninger To likninger er ekvivalente hvis de har nøyaktig de samme løsningene. Når vi flytter et ledd over på den andre siden av likhetstegnet og skifter fortegn på leddet, får vi en ekvivalent likning. Når vi dividerer eller multipliserer på begge sidene av likhetstegnet med et tall som ikke er null, får vi en ekvivalent likning. Kvadrering av likninger Når vi kvadrerer begge sidene av likhetstegnet i en likning, kan vi få falske løsninger. Vi må sette prøve på svaret. 177

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Innledning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Innledning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Innledning Mål for opplæringen er at eleven skal kunne løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritme funksjoner, både ved regning

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme

Detaljer

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011. 1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset

Detaljer

. Vi får dermed løsningene x = 0, x = 1 og x = 2.

. Vi får dermed løsningene x = 0, x = 1 og x = 2. Innlevering i FO99A - Matematikk Innlevering 1 Innleveringsfrist. oktober 010 Antall oppgaver 11 Løsningsforslag Oppgave 1 a) ( 3 + 1)( 7 + ) 1 + 3 = 3 7 + 7 + 3 + 3 + 3 = 1 + 7 + 5. b) 5/3 3 50 = 3 5

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr Hvordan du regner med brøk Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com Opplysning: Et helt tall er delelig på et annet helt tall hvis svaret

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe

Detaljer

Kapittel 1. Potensregning

Kapittel 1. Potensregning Kapittel. Potensregning I potensregning skriver vi tall som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kapitlet handler blant annet om: Betydningen av potenser som har negativ eksponent

Detaljer

for opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne

for opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne 8 1 Algebra Mål for opp læ rin gen er at ele ven skal kun ne faktorisere po ly no mer ved hjelp av null punk ter og polynomdivisjon, og bru ke det te til å løse lik nin ger og ulik he ter med polynomer

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette

Detaljer

2 Likningssett og ulikheter

2 Likningssett og ulikheter Likningssett og ulikheter KATEGORI 1.1 Grafisk løsning av lineære likningssett Oppgave.110 Et lineært likningssett består av likningene for to rette linjer. De to rette linjene er tegnet i koordi natsystemet

Detaljer

Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 21. oktober 2011 Kapittel 7.4. Delbrøksoppspalting og Integrasjon av rasjonale funksjoner 3 Integrasjon av

Detaljer

Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4.2

Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4.2 Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4. av Sigbjørn Hals Innhold: CAS-verktøyet... Primtallanalyse... Faktorisering og utvidelse av uttrykk... Likninger... 4 Likningssett med flere ukjente... 5 Differensiallikninger...

Detaljer

er et er et heltall. For eksempel er 2, 3, 5, 7 og 11 primtall, mens 4 = 2 2, 6 = 2 3 og 15 = 3 5 er det ikke.

er et er et heltall. For eksempel er 2, 3, 5, 7 og 11 primtall, mens 4 = 2 2, 6 = 2 3 og 15 = 3 5 er det ikke. . Primtall og primtallsfaktorisering Definisjon Et primtall p er et heltall, større enn, som ikke er delelig med andre tall enn og seg selv, altså bare delelig med og p (og egentlig også og p) At et tall

Detaljer

Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori.

Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Matematisk induksjon Binomialteoremet Divisjonsalgoritmen Euklids algoritme Lineære diofantiske ligninger Aritmetikkens fundamentalteorem Euklid:

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

Algebra. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Algebra. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser, formler, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver omforme en praktisk problemstilling til en

Detaljer

Uttrykket 2 kaller vi en potens. Eksponenten 3 forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet 2 med seg selv. Dermed er ) ( 2) 2 2 4

Uttrykket 2 kaller vi en potens. Eksponenten 3 forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet 2 med seg selv. Dermed er ) ( 2) 2 2 4 9.9 Potenslikninger Uttrykket kaller vi en potens. Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet med seg selv. Dermed er 8 Når vi skriver 5, betyr det at vi skal multiplisere

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1

DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1 HELDAGSPRØVE I MATEMATIKK 1T HØST DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) Oppgave 1. Trekk sammen uttrykkene: a) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1 = a. b) 1

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra

Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Teknikker og type-eksempler Faktorisering Se også eget notat om faktorisering på nettsidene mine. Faktorisering brukes til å: Finne fellesnevner i rasjonale uttrykk.

Detaljer

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005 Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x

Detaljer

S1 Eksamen våren 2009 Løsning

S1 Eksamen våren 2009 Løsning S1 Eksamen, våren 009 Løsning S1 Eksamen våren 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig 1) x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 ) a b 3 a b 3 a 4a b 1 3 4a b 3 b 1 b) Løs likningene

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 00, H-04 Oppgave : a) Vi har zw ( + i )( + i) + i + i + i i og + i + i ( ) + i( + ) z w + i + i ( + i )( i) ( + i)( i) i + i i i ( i ) ( + ) + i( + ) + +

Detaljer

for opplæringen er at eleven skal kunne regne med forhold, prosent, prosentpoeng og vekst faktor

for opplæringen er at eleven skal kunne regne med forhold, prosent, prosentpoeng og vekst faktor 46 2 Forhold og prosent MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne regne med forhold, prosent, prosentpoeng og vekst faktor behandle proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser i praktiske sammenhenger

Detaljer

Tall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne

Tall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Tall og formler MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene tolke, bearbeide, vurdere

Detaljer

Eksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag

Eksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag Eksamen 1T høsten 015, løsningsforslag Del 1, ingen hjelpemidler Oppgave 1 1,8 10 1 0,0005 = 1,8 10 1 5 10 4 = 1,8 5 10 1+( 4) = 9 10 8 Oppgave Velger addisjonsmetoden Legger sammen ligningene: x + y =

Detaljer

MAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag

MAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag MAT 1001, Høsten 009 Oblig, sforslag a) En harmonisk svingning er gitt som en sum av tre delsvingninger H(x) = cos ( π x) + cos (π (x 1)) + cos (π (x )) Skriv H(x) på formen A cos (ω(x x 0 )). siden H(x)

Detaljer

Sensorveiledning Oppgave 1

Sensorveiledning Oppgave 1 Sensorveiledning Oppgave 1 Figuren er riktig, og kandidaten skisserer en måte å jobbe med dette på som kan fungere for en elev. Figuren eller forklaringen er riktig. Unøyaktigheter ved håndtegning godtas.

Detaljer

a) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det.

a) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det. Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave

Detaljer

Lokal læreplan. Lærebok: Gruntall. Læringsstrategi

Lokal læreplan. Lærebok: Gruntall. Læringsstrategi Lokal læreplan Lærebok: Gruntall Antall uker 34-37 Tall -lære de fire regneartene i hele tall, desimaltall og negative tall og i hoderegning og overslagsregning. -lære å bruke lommeregner og regneark -kjenne

Detaljer

Tall og enheter. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Tall og enheter. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Tall og enheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene 1.1 Regnerekkefølge På ungdomsskolen

Detaljer

Sinus 1TIP. Matematikk for teknikk og industriell produksjon. Bokmål. Tore Oldervoll Odd Orskaug Audhild Vaaje Finn Hanisch

Sinus 1TIP. Matematikk for teknikk og industriell produksjon. Bokmål. Tore Oldervoll Odd Orskaug Audhild Vaaje Finn Hanisch Tore Oldervoll Odd Orskaug Audhild Vaaje Finn Hanisch Sinus 1TIP Matematikk for teknikk og industriell produksjon Yrkesfaglig utdanningsprogram Bokmål CAPPELEN 8 1 Tall og tallregning Mål for opplæringen

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2013

Eksamen REA3022 R1, Våren 2013 Eksamen REA30 R1, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Formlene for arealet A av en sirkel og volumet

Detaljer

MAT1030 Forelesning 30

MAT1030 Forelesning 30 MAT1030 Forelesning 30 Kompleksitetsteori Roger Antonsen - 19. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-19 15:04) Forelesning 30: Kompleksitetsteori Oppsummering I dag er siste forelesning med nytt stoff! I morgen

Detaljer

Terminprøve Sigma 1T Våren 2008 m a t e m a t i k k

Terminprøve Sigma 1T Våren 2008 m a t e m a t i k k Terminprøve Sigma 1T Våren 2008 Prøvetid 5 klokketimer for Del 1 og Del 2 til sammen. Vi anbefaler at du ikke bruker mer enn to klokketimer på Del 1. Du må levere inn Del 1 før du tar fram hjelpemidler.

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

Forkurshefte i matematikk variant 1

Forkurshefte i matematikk variant 1 Forkurshefte i matematikk variant 1 2014 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO (Plan for kurset: se side 3) Forord Velkommen til Universitetet i Oslo (UiO), og til forkurs i matematikk! Dette

Detaljer

Vekst av planteplankton - Skeletonema Costatum

Vekst av planteplankton - Skeletonema Costatum Vekst av planteplankton - Skeletonema Costatum Nivå: 9. klasse Formål: Arbeid med store tall. Bruke matematikk til å beskrive naturfenomen. Program: Regneark Referanse til plan: Tall og algebra Arbeide

Detaljer

Kapittel 3. Potensregning

Kapittel 3. Potensregning Kpittel. Potensregning I potensregning skriver vi tll som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kpitlet hndler blnt nnet om: Betydningen v potenser som hr negtiv eksponent eller

Detaljer

Grenseverdier og asymptoter. Eksemplifisert med 403, 404, 408, 409, 410, 411, 412, 414, 416, 417, 418, 419

Grenseverdier og asymptoter. Eksemplifisert med 403, 404, 408, 409, 410, 411, 412, 414, 416, 417, 418, 419 Grenseverdier og asymptoter Eksemplifisert med 403, 404, 408, 409, 40, 4, 42, 44, 46, 47, 48, 49 Grenseverdier Grenseverdien til en funksjon, lim x a f x g, er en verdi vi kan komme så nær vi vil, når

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013 BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )

Detaljer

Kapittel 4: Logikk (predikatlogikk)

Kapittel 4: Logikk (predikatlogikk) MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 7: Logikk, predikatlogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 4: Logikk (predikatlogikk) 10. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-11

Detaljer

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet. MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f

Detaljer

EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I - LØSNING Mandag 15. desember 2014 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I - LØSNING Mandag 15. desember 2014 Tid: 09:00 14:00 Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 11 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I - LØSNING Mandag. desember 214 Tid: 9: 14:

Detaljer

Oversikt over aktuelle temaer til matematikkprøve onsdag 28. november

Oversikt over aktuelle temaer til matematikkprøve onsdag 28. november Oversikt over aktuelle temaer til matematikkprøve onsdag 28. november 1. Algebra 1.1 Innsetting av tallverdier i bokstavuttrykk Eksempel 1: Sett inn a = 2 og regn ut verdien til uttrykket 4a 3 4a 3 = 4

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Utgave 1.4 Skrevet av Bjørnar Tollaksen. Hele regelboka er et sammendrag av læreboka. Dette er ment som et supplement til formelheftet, ikke en erstatning. Skrivefeil kan

Detaljer

Matematikk R1 Oversikt

Matematikk R1 Oversikt Matematikk R1 Oversikt Lars Sydnes, NITH 20. mai 2014 I. ALGEBRA ANNENGRADSLIGNINGER Annengradsformelen: ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a (i) 0 løsninger hvis b 2 4ac < 0 (ii) 1 løsning hvis b 2 4ac

Detaljer

FAKTA. Likeverdige bröker: BrÖker som har samme verdi. 1 2 = 2 4 = 3 6 = 4 8 = 5

FAKTA. Likeverdige bröker: BrÖker som har samme verdi. 1 2 = 2 4 = 3 6 = 4 8 = 5 FAKTA Likeverdige bröker: BrÖker som har samme verdi. 2 = 2 = 6 = 8 = 0 0 utvide en brök: utvide en brök betyr Ô multiplisere teller og nevner med det samme tallet. BrÖken forandrer da ikke verdi. = 2

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...

Detaljer

Sigbjørn Hals. Nedenfor har vi tegnet noen grafer til likningen y = C, der C varierer fra -2 til 3, med en økning på 1.

Sigbjørn Hals. Nedenfor har vi tegnet noen grafer til likningen y = C, der C varierer fra -2 til 3, med en økning på 1. Retningsdiagrammer og integralkurver Eksempel 1 Den enkleste av alle differensiallikninger er nok y' = 0. Denne har løsningen y = C fordi den deriverte av en konstant er 0. Løsningen vil altså bli flere

Detaljer

Matematikk R1 Forslag til besvarelse

Matematikk R1 Forslag til besvarelse Matematikk R1 Forslag til besvarelse NITH 4. mars 014 Oppgave 1 a) Regn ut p x) når px) = x 3 3x + 6x 1. p x) = x 3 ) 3x ) + 6x) 0 = 3x ) 3x) + 6 1 = 6x 6x + 6 b) Regn ut p x) når px) = ax + bx + c. Her

Detaljer

Eksamen R1 Høsten 2013

Eksamen R1 Høsten 2013 Eksamen R1 Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene f x e a) 3 x b) gx x ln3x c) hx x

Detaljer

Andregradslikninger. x 2 =d hvor d = c a

Andregradslikninger. x 2 =d hvor d = c a Andregradslikninger En andregradslikning har form ax bx c=0 hvor x er ukjent. Den enkelste er når b=0. Vi har då x =d hvor d = c a Denne likning kan løses med å ta rot. Eksempel 1. Vi løser x =11 Vi ønsker

Detaljer

Resonnerende oppgaver

Resonnerende oppgaver Resonnerende oppgaver Oppgavene på de påfølgende sidene inneholder flere påstander eller opplysninger. Opplysningene bygger på eller utfyller hverandre, og de stiller visse krav eller betingelser. Når

Detaljer

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00 SENSORVEILEDNING MET 803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 9.04.05 Kl. 09:00 Innlevering: 9.04.05 Kl. 4:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave Beregn følgende

Detaljer

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene. Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag oktober 01 kl 1:00 Antall oppgaver: 16 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer Tegn

Detaljer

Texas. Så trykker vi på zoom og velger 0:ZoomFit. Vi får fram det valget enten ved å trykke på tasten 0 eller ved å trykke på tasten noen ganger.

Texas. Så trykker vi på zoom og velger 0:ZoomFit. Vi får fram det valget enten ved å trykke på tasten 0 eller ved å trykke på tasten noen ganger. ON Lommeregnerstoff Texas 4.1 Rette linjer Her viser vi hvordan vi går fram for å få tegnet linja med likningen y = 2x 3 Vi trykker på Y= og legger inn likningen som vist nedenfor. Nå må vi velge vindu.

Detaljer

Forelesning 9 mandag den 15. september

Forelesning 9 mandag den 15. september Forelesning 9 mandag den 15. september 2.6 Største felles divisor Definisjon 2.6.1. La l og n være heltall. Et naturlig tall d er den største felles divisoren til l og n dersom følgende er sanne. (1) Vi

Detaljer

Matematikk for økonomer Del 2

Matematikk for økonomer Del 2 Matematikk for økonomer Del 2 Formelark Dokument type: Formelark Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 17 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere rett til bruk av materialet. Det innebærer at

Detaljer

a) f(x) = 3 cos(2x 1) + 12 LF: Vi benytter (lineær) kjerneregel og får f (x) = (sin(7x + 1)) (sin( x) + x) sin(7x + 1)(sin( x) + x) ( sin(x) + x) 2 =

a) f(x) = 3 cos(2x 1) + 12 LF: Vi benytter (lineær) kjerneregel og får f (x) = (sin(7x + 1)) (sin( x) + x) sin(7x + 1)(sin( x) + x) ( sin(x) + x) 2 = Innlevering DAFE ELFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Mandag 2. mars 205 før forelesningen 0:30 Antall oppgaver: 7 Løsningsforslag Deriver de følgende funksjonene. a) f(x)

Detaljer

Faktorisering og multiplisering med konjugatsetningen

Faktorisering og multiplisering med konjugatsetningen Faktorisering og multiplisering med konjugatsetningen De følgende oppgavene er øvinger i faktorisering og multiplisering ved hjelp av konjugatsetningen /3. kvadratsetning. Gjennom oppgavene gir vi elevene

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

Under noen av oppgavene har jeg lagt inn et hint til hvordan dere kan går frem for å løse dem! Send meg en mail om dere finner noen feil!

Under noen av oppgavene har jeg lagt inn et hint til hvordan dere kan går frem for å løse dem! Send meg en mail om dere finner noen feil! Under noen av oppgavene har jeg lagt inn et hint til hvordan dere kan går frem for å løse dem! Send meg en mail om dere finner noen feil! 1. Husk at vi kan definere BNP på 3 ulike måter: Inntektsmetoden:

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato. desember 6 Tidspunkt 9. -. Antall oppgaver Vedlegg Tillatte hjelpemidler Ingen Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave Vi løser likningene ved

Detaljer

Manual for wxmaxima tilpasset R1

Manual for wxmaxima tilpasset R1 Manual for wxmaxima tilpasset R1 Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

Forelesning 28: Kompleksitetsteori

Forelesning 28: Kompleksitetsteori MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 28: Kompleksitetsteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 28: Kompleksitetsteori 12. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-13

Detaljer

Matematikk 01 - Matematikk for data- og grafiske fag.

Matematikk 01 - Matematikk for data- og grafiske fag. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Versjon per. juni 004 Matematikk 0 - Matematikk for data- og grafiske fag. y x Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no Forord Dette kompendiet er skrevet for faget

Detaljer

KURSHEFTE TIL FORKURS I MATEMATIKK

KURSHEFTE TIL FORKURS I MATEMATIKK KURSHEFTE TIL FORKURS I MATEMATIKK Variant av Magnus Dehli Vigeland UNIVERSITETET I OSLO MATEMATISK INSTITUTT Innhold Oppvarming 3. Noen viktige tallmengder. Notasjon.................... 3. Mer om mengder.............................

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for dagen Del 1: 09:00-11:45 Lunsj: 11:45-12:15 Del 2: 12:15-14:30 Eksamensinformasjon: 14:30-15:00 Plan for tiden før lunsj Økt 1: 09:00-09:45 Økt 2: 10:00-10:45

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5.

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5. Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 3. desember 01 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (0 deloppgaver) Antall sider: Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.

Detaljer

Prosent. Det går likare no! Svein H. Torkildsen, NSMO

Prosent. Det går likare no! Svein H. Torkildsen, NSMO Prosent Det går likare no! Svein H. Torkildsen, NSMO Enkelt opplegg Gjennomført med ei gruppe svakt presterende elever etter en test som var satt sammen av alle prosentoppgavene i Alle Teller uansett nivå.

Detaljer

Labyrint Introduksjon Scratch Lærerveiledning. Steg 1: Hvordan styre figurer med piltastene

Labyrint Introduksjon Scratch Lærerveiledning. Steg 1: Hvordan styre figurer med piltastene Labyrint Introduksjon Scratch Lærerveiledning Introduksjon I dette spillet vil vi kontrollere en liten utforsker mens hun leter etter skatten gjemt inne i labyrinten. Dessverre er skatten beskyttet av

Detaljer

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 2006. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 2006. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654/AA656 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 6 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det

Detaljer

Verktøyopplæring i kalkulator for elever

Verktøyopplæring i kalkulator for elever Verktøyopplæring i kalkulator for elever Innholdsfortegnelse Enkel kalkulator... 2 Kalkulator med brøk og parenteser... 7 GeoGebra som kalkulator... 11 H. Aschehoug & Co. www.lokus.no Side 1 Enkel kalkulator

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr 4 Hvordan du regner med bokstaver, likninger og formler (elementær algebra) Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com 1 Opplsning: Faste,

Detaljer

Innlevering i FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 19. september 2014 kl. 14:00 Antall oppgaver: 18

Innlevering i FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 1 Innleveringsfrist Fredag 19. september 2014 kl. 14:00 Antall oppgaver: 18 Innlevering i FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag 9. september 04 kl. 4:00 Antall oppgaver: 8 Løsningsforslag Skriv som en brøk (eller et heltall) + 3/4 +

Detaljer

Algebra. 5.-7. trinn. Nord-Gudbrandsdalen Januar 2015

Algebra. 5.-7. trinn. Nord-Gudbrandsdalen Januar 2015 Algebra 5.-7. trinn Nord-Gudbrandsdalen Januar 2015 Hva er algebra? Diskuter i grupper. Finn en enkel forklaring. Algebra i skolen Når bør vi starte algebraundervisningen? Bli enige om et synspunkt. Argumenter

Detaljer

Matriser og Kvadratiske Former

Matriser og Kvadratiske Former Eivind Eriksen Matriser og Kvadratiske Former 15 mars 2012 Handelshøyskolen BI Innhold 1 Matriser og vektorer 1 11 Matriser 1 12 Matriseaddisjon 2 13 Matrisesubtraksjon 3 14 Skalarmultiplikasjon 3 15

Detaljer

4. kurskveld: Brøk og geometri

4. kurskveld: Brøk og geometri 4. kurskveld: Brøk og geometri I dag skal vi se på begrepet brøk, regning med brøk, og hvorfor de ulike regnereglene fungerer. Mange har bedre grep om desimaltall fordi regnereglene er lik regnereglene

Detaljer

Brøk Vi på vindusrekka

Brøk Vi på vindusrekka Brøk Vi på vindusrekka Brøken... 2 Teller og nevner... 3 Uekte brøk... 5 Blanda tall... 6 Desimalbrøk... 8 Pluss/minus... 9 Multiplikasjon... 11 Likeverdige brøker... 12 Utviding... 13 Forkorting... 14

Detaljer

Deriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker.

Deriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker. Heldagsprøve i matematikk, 1. desember 006 Forkurs for Ingeniørutdanningen ved HiO, 006/07 Antall oppgaver: Antall timer: 5 timer fra klokken 0900 til klokken 100. Hjelpemidler: Kalkulator og Formelsamling

Detaljer

Fagstoff til eksamen. Matematikk S2

Fagstoff til eksamen. Matematikk S2 Matematikk S2 Fagstoff til eksamen Innhold på ndla.no er nå tilgjengelig i PDF- eller epub-format som hjelpemidler til eksamen. Disse filene kan lagres på egen datamaskin og leses i digitalt format, eller

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Hva er matematikktillegget for Word?... 2 Nedlasting og installasjon av matematikktillegget for Word...

Detaljer