Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform"

Transkript

1 1 10

2 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller skrive mengder på listeform regne med sum, differanse, produkt og kvotient av brøker og brudne brøker regne med potenser med rasjonale eksponenter anvende regneregler for potenser, kvadratrøtter, n-te røtter og røtter skrevet som potenser

3 1.1 Tall Tallene 1,, 3, kaller vi de naturlige tallene. Vi bruker symbolet N om dem og sier at N er mengden av alle naturlige tall. Når vi skal si at x er et naturlig tall, kan vi skrive x N Symbolet leser vi tilhører, er element i eller ligger i. Det er riktig å si at N ettersom er et naturlig tall. Men er ikke noe naturlig tall. Det kan vi uttrykke slik: N Symbolet leser vi tilhører ikke eller ligger ikke i. En strek over et matematisk symbol betyr alltid ikke. De hele tallene består av alle de negative hele tallene, tallet 0 og de positive hele tallene. Vi bruker symbolet Z om dem. Vi kan skrive Z og 3 Z Noen ganger skriver vi tallmengder på listeform. Da skriver vi opp alle tallene i mengden. Vi kan for eksempel skrive A {1,, 3, 4} Da består A bare av disse fire tallene. Vi ser at 3 A og at 5 A. Når vi skriver tall på listeform, spiller det ingen rolle hvilken rekkefølge vi skriver tallene i. Det spiller ingen rolle om vi tar med et tall flere ganger. Dermed er {, 4, 1, 3} {1,, 3, 4} {1,, 3, 4, } {1,, 3, 4} Et partall er et helt tall som er delelig med. Alle de positive partallene kan vi skrive på denne måten: {, 4, 6, 8, } Et oddetall er et helt tall som ikke er delelig med to. De positive oddetallene er {1, 3, 5, 7, } Et primtall er et helt tall som er større enn 1, og som bare er delelig med 1 og seg selv. Primtallene er {, 3, 5, 7, 11, } 1 Sinus for forkurset > Tall og tallregning

4 ? Oppgave 1.10 Sett inn enten eller i de tomme rutene. a) {1,, 3, 4} b) 3 {0, 1,, 4} c) 1,5 {1,, 3, 4} d) 1 {, 1, 0, 1} Oppgave 1.11 a) Skriv partallene opp til 0 på listeform. b) Skriv oddetallene mellom 0 og 36 på listeform. c) Skriv alle primtallene opp til 30 på listeform. Brøker og hele tall kaller vi rasjonale tall. Vi bruker symbolet Q om dem. Alle desimaltallene er rasjonale tall, for de kan skrives som brøker. For eksempel skriver vi tallet 13,46 som brøk på denne måten: 13,46 _ Dermed er 13,46 Q. Vi vet at 4, og derfor er 4. Det fins ikke noe helt tall a slik at a. er derfor ikke noe helt tall. Lommeregneren gir 1,414136, men det er bare en tilnærmingsverdi. Vi får ikke noen helt rett verdi for uansett hvor mange desimaler vi tar med. Det fins heller ingen brøk som er lik. Et tall som ikke kan skrives som en brøk, kaller vi et irrasjonalt tall. Vi kan vise at dersom x er et helt tall, så er x enten et helt tall eller et irrasjonalt tall. Hvis x ikke er et helt tall, så er det heller ikke en brøk. Ut fra dette kan vi se at det fins uendelig mange irrasjonale tall. For over 400 år siden beviste grekerne at er et irrasjonalt tall. Det var en stor sensasjon den gangen. Før det hadde grekerne vært overbevist om at alle tall enten var hele tall eller brøker. Det fortelles at de første som påstod offentlig at ikke var noen brøk, ble druknet i Egeerhavet. Tallet 3, er også et irrasjonalt tall. Det ble bevist i Matematikere har i flere tusen år arbeidet med å finne gode tilnærmingsverdier for tallet. Brøken /7 3,149 for ble brukt både av grekerne og av inderne. I år 1600 var kjent med 15 korrekte desimaler. I år 1701 ble det funnet 100 korrekte desimaler for, og i 1873 ble det funnet 707 riktige desimaler. Etter 1945 brukte en datamaskiner til å regne ut desimaler i. I 1989 regnet en maskin ut med 1 milliard desimaler. Hvis vi skulle lage bøker med denne verdien for, ville bøkene fylle ei bokhylle som var ca. 0 m lang. 13

5 De reelle tallene er alle de rasjonale og alle de irrasjonale tallene. Vi bruker ofte bokstaven R om de reelle tallene. Når vi vil uttrykke at x er et reelt tall, skriver vi x R. De reelle tallene kan vi framstille på ei tallinje: Origo x Det skal være en fast avstand mellom hvert helt tall. Denne avstanden kaller vi skalaen på tallinja. Punktet der 0 er plassert, kaller vi origo. Ethvert tall har sin egen plass på tallinja. Og hvert punkt på tallinja svarer til ett tall. Dersom det er en variabel med et navn vi framstiller på ei tallinje, skriver vi navnet på variabelen ved siden av pilspissen på tallinja. Variabelen på figuren ovenfor heter x. Tallene mellom 0 og 3 er et eksempel på et intervall. Dette intervallet er bestemt ved at 0 < x < 3. Et slikt intervall omfatter ikke bare de hele tallene, men også alle brøker og irrasjonale tall mellom 0 og 3. Slik avmerker vi intervallet på tallinja: x Åpent intervall Legg merke til at endepunktene 0 og 3 ikke er med i dette intervallet. Slike intervaller kaller vi åpne intervaller og skriver ofte 0, 3. Dersom vi vil uttrykke at x ligger mellom 0 og 3, kan vi skrive enten 0 < x < 3 eller x 0, 3 Dersom vi vil uttrykke at x ikke ligger i dette intervallet, skriver vi x 0, 3. Vi kan skrive 0, 3 og 4 0, 3. Det intervallet som er bestemt av 0 x 3, markerer vi slik på tallinja: x Lukket intervall Her er endepunktene med i intervallet. Et slikt intervall kaller vi et lukket intervall. Vi skriver det [0, 3]. I stedet for å skrive at 0 x 3, kan vi skrive x [0, 3]. 14 Sinus for forkurset > Tall og tallregning

6 Det fins også halvåpne intervaller. Dersom 0 x < 3, skriver vi at x [0, 3. På tallinja markerer vi dette slik: x Halvåpent intervall Dersom 0 < x 3, skriver vi at x 0, 3]. På tallinja ser det slik ut: x Halvåpent intervall Noen intervaller er uten grense i den ene enden. Intervallet x > er et eksempel på et slikt uendelig intervall: x Uendelig intervall I matematikken skriver vi x, når vi vil uttrykke at x >. På tilsvarende måte betyr x, 1] at x 1.? Oppgave 1.1 Skriv de avmerkede intervallene med matematiske symboler. a) x b) x c) x d) x e) x Oppgave 1.13 Skriv disse intervallene med matematiske symboler og tegn dem inn på tallinjer. a) Alle x større enn 3 og mindre enn 5 b) Alle x større enn eller lik og mindre enn 3 c) Alle x mindre enn eller lik 3 d) Alle x større enn 15

7 ? Oppgave 1.14 Marker disse intervallene på ei tallinje. a) [ 3, 6 b) [0, 4] c) [ 1, d), 3] Oppgave 1.15 Sett inn enten eller i de tomme rutene. a) 3 0, 6 b) 3 0, ] c) 6 0, 6 d) 6 0, 6] e) 0, 1 f) 1 0, Tallet kaller vi absoluttverdien til tallet. Vi skriver Vi definerer absoluttverdien av et tall x på denne måten: Dersom x 0, er x x. Dersom x < 0, er x x. Når tallet x er negativt, har x og x motsatte fortegn. Etter dette blir 5 5 og 7 7. Absoluttverdien av et tall er alltid positiv.? Oppgave 1.16 Finn absoluttverdien av tallene. a) 3 b) c) 0 d) 35 e) 3 Oppgave 1.17 Skriv mengdene som intervaller og tegn dem inn på ei tallinje. a) x < 1 b) x 5 c) x > 1 d) x Sinus for forkurset > Tall og tallregning

8 1. Regnerekkefølge Det fins mange regneregler for regning med tall. Vi ser på noen regler. Når vi skal regne ut et uttrykk, gjør vi det i denne rekkefølgen: 1 Regn først ut parentesene. Regn deretter ut potensene. 3 Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene. 4 Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene. Vi viser nå med et eksempel hvordan vi går fram. Regn ut (3 + 1) (6 + ) : (3 + 1) (6 + ) : Regn først ut parentesene. 4 8 : Regn ut potensene. 4 8 : Gjør multiplikasjonene og divisjonene. 4 Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene.!! Legg spesielt merke til hvordan vi regner ut 4 3. Det er ikke det samme som 8 3. Når vi skriver 4 3, er det bare -tallet som skal opphøyes i tredje potens, slik at Hvis vi vil at 4-tallet også skal opphøyes i tredje potens, må vi sette en parentes og skrive (4 ) Når vi skriver 3, er det bare tallet 3 som skal opphøyes i andre potens, ikke tallet 3. Dermed er 3 9. Hvis vi vil opphøye tallet 3 i andre potens, må vi skrive ( 3). Det gir ( 3) 9. Uttrykket i eksempelet ovenfor kan vi regne ut på lommeregneren. Da er det viktig å vite at det er to ulike minustegn på lommeregneren. Lommeregneren har både et differansetegn og et fortegn. Differansetegnet bruker vi når vi for eksempel skal regne ut Fortegnet bruker vi hvis vi skal legge inn et negativt tall, f.eks. 4. Differansetasten står på høyre side av lommeregneren. Fortegnstasten ( ) finner du i den nederste rekken. 17

9 ON CASIO Trykk på tasten ON og velg deretter RUN på ikonmenyen. Legg så inn uttrykket på denne måten: TEXAS Trykk først på tasten ON og legg inn uttrykket slik det er vist på figuren nedenfor. OFF Legg merke til at det første minustegnet er et fortegn, og at det andre minustegnet er et differansetegn. Legg også merke til at i potenser trykker vi på tasten ^ foran eksponenten. Vi får svaret når vi trykker på EXE. Hvis du ikke får svaret, har du tastet feil. Da trykker du på piltasten. Du kan nå flytte markøren framover eller bakover i uttrykket ditt og rette opp den feilen du gjorde. Finn også ut hvordan tastene DEL og INS virker. Trykk på EXE for å få fram svaret igjen. Legg merke til at det første minustegnet er et fortegn, og at det andre minustegnet er et differansetegn. Legg også merke til at i potenser trykker vi på tasten ^ foran eksponenten. Vi får svaret når vi trykker på ENTER. Hvis du ikke får svaret, har du tastet feil. Da trykker du på ENTRY. ENTRY står skrevet med gult over tasten ENTER. Du trykker da først på nd og deretter på ENTER. Nå kan du flytte markøren framover eller bakover i uttrykket ditt og rette opp den feilen du gjorde. Finn også ut hvordan tastene DEL og INS virker. Trykk på ENTER for å få fram svaret igjen.? Oppgave 1.0 Regn ut både med og uten lommeregner. a) 4 b) 4 ( ) c) 5 3 d) (5 3) e) + 3 ( ) f) ( ) + ( 3) g) ( 3) + 5 ( 3) + 6 Oppgave 1.1 Regn ut både med og uten lommeregner. a) (7 5) + b) 3(4 1) + 3 c) (8 4) ( 3) d) 4 + 3(17 3 ) + (3 4 5 ) 18 Sinus for forkurset > Tall og tallregning

10 1.3 Brøkregning Når vi skal forkorte eller utvide brøker, går vi fram på denne måten: Når vi vil utvide en brøk, multipliserer vi med det samme tallet i telleren og nevneren. Når vi vil forkorte en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og nevneren. a) Utvid brøken 5 slik at nevneren blir b) Forkort brøken _ a) Ettersom , multipliserer vi telleren og nevneren med _ _ b) 6 er det største hele tallet som går opp i både 18 og 30. Vi dividerer derfor telleren og nevneren med 6. _ : 6 30 : Vi kan bruke lommeregneren til å forkorte brøker. ON CASIO Velg RUN på ikonmenyen og tast Tegnet får du fram ved å trykke på tasten a b / c. Trykk nå på EXE. Da får du svaret 3 som vist 5 på denne figuren: TEXAS Tast først 18/30. Tegnet / får du fram ved å trykke på tasten. Trykk så på tasten MATH og velg 1: Frac. Trykk nå på ENTER. Da får du svaret 3 5. OFF 19

11 ? Oppgave 1.30 Forkort brøkene både uten og med lommeregner. a) 4 b) _ 9 c) _ Oppgave 1.31 Bruk lommeregneren til å forkorte brøkene. 7 a) b) 16 c) d) e) f) d) _ 4 54 Når vi regner med brøker, bruker vi disse regnereglene: Når vi skal summere brøker, må vi først finne fellesnevneren. Deretter utvider vi alle brøkene så de får den samme nevneren. Til slutt summerer vi tellerne og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere et helt tall og en brøk, multipliserer vi det hele tallet med telleren og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere to brøker, multipliserer vi telleren med telleren og nevneren med nevneren. Vi trenger ikke å finne fellesnevneren. Når vi skal dividere med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. a) b) 3 17 _ 18 c) _ _ 6 49 d) _ 35 1 : _ 8 7 a) Fellesnevneren for de to brøkene er _ _ 4 9 _ _ _ Vi gjør om tallet 3 til en brøk ved å skrive Sinus for forkurset > Tall og tallregning

12 ! 1 b) 3 _ _ c) _ 15 _ 6 49 _ _ 5 7 _ d) _ 35 1 : _ 8 7 _ 35 1 _ 7 _ _ _ Det er lurt å forkorte før vi multipliserer tallene i telleren og i nevneren. Vi forkorter brøken før vi multipliserer tallene i telleren og i nevneren. Svarene ovenfor kan vi la stå som uekte brøk. For eksempel trenger vi ikke gjøre om _ 45 til _ 13. I matematikken bruker vi slike blandede tall svært lite. Grunnen er at det er vanlig å utelate multiplikasjonstegn. Tallet _ kan vi derfor lett oppfatte som _ i stedet for + _, som er det rette ! Du trenger altså ikke gjøre uekte brøker om til blandede tall, men du må passe på å forkorte alle svar. Alle brøkstykkene foran kan vi også regne på lommeregneren. Vi skal ta et eksempel. ON CASIO Når vi skal regne ut velger vi først RUN på ikonmenyen. Tast inn uttrykket og husk på å trykke på tasten a b / c for å få fram symbolet for brøkstrek. Når du trykker på EXE, får du svaret 4 _ TEXAS Når vi skal regne ut taster vi inn uttrykket og bruker det vanlige delingstegnet som brøkstrek. Trykk deretter på MATH og velg 1: Frac. Når du trykker på ENTER, får du svaret _

13 Legg merke til hvordan lommeregneren skriver blandede tall. Hvis vi vil ha svaret som en uekte brøk, trykker vi på tasten d/c. Symbolet d/c står skrevet med gult over tasten a b / c. Du trykker da på SHIFT og deretter på a b / c. Nå får du svaret _ 77 som vist på figuren nedenfor. 18 Hvis vi skal regne ut _ 35 1 : _ 8 7, setter vi parentes om hver brøk slik som på figuren nedenfor. Grunnen er at lommeregneren ikke skiller mellom brøkstrek og delingstegn. Alle de andre oppgavene i eksempelet foran kan vi regne på tilsvarende måte. OFF Alle de andre oppgavene i eksempelet foran kan vi regne på tilsvarende måte.? Oppgave 1.3 Regn ut både med og uten lommeregner. 1 a) _ b) _ c) _ 1 : 4 9 e) 3 _ 5 1 d) 3 + _ 5 1 f) 3 : _ 5 1 Oppgave 1.33 a) ( ) b) ( ) 3 5 c) _ ( _ 1 1 ) : 9 d) ( ) ( ) Et rasjonalt bokstavuttrykk er en brøk som inneholder en variabel (et tall med ubestemt verdi). Vi bruker de vanlige regnereglene for brøker når vi regner med slike uttrykk. Sinus for forkurset > Tall og tallregning

14 a) 5 _ 7 x x b) a _ 4 ab c) x 4 : _ x 1 a) Fellesnevneren for x, x og 4 er 4x. Vi utvider brøkene slik at alle får nevneren 4x. 5 _ 7 x x _ x 7 x + _ 1 x 4 x _ 0 4x _ 14 4x + _ x 4x x _ 6 + x 4x 4x b) Vi multipliserer telleren med telleren og nevneren med nevneren. a _ 4 ab a 4 ab _ a 4 a b b 1 c) Når vi dividerer med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. x 4 : _ x 1 x 4 _ 1 x 1 x 4 x 1 x 4 x ? Oppgave 1.34 Trekk sammen. a) a + a 3 + a 6 b) _ 1 a + _ 1 3a + _ 1 6a c) + _ 3 x x _ 4 3x Oppgave 1.35 Trekk sammen. a) _ a 3 6 b) x a 3y 5y 4x c) _ 8a 5 : _ 4a 15 d) _ 6a 5 : a Oppgave 1.36 Trekk sammen. a) a _ 7 3a b) _ x ( 5x 3 _ 7x 6 ) c) ( x _ 3 + _ 5x 6 ) : _ x 1 3

15 1.4 Brudden brøk En brøk med brøker i telleren eller nevneren kaller vi en brudden brøk: 6 5 _ 4 15 Brøkene i teller og nevner kaller vi småbrøker. Her er det 6 5 og _ 4 som er 15 småbrøkene. Brøkstreken mellom småbrøkene kaller vi hovedbrøkstreken. Når vi skal forenkle en brudden brøk, finner vi først fellesnevneren for småbrøkene. Fellesnevneren i dette tilfellet er 15. Deretter multipliserer vi med fellesnevneren over og under hovedbrøkstreken _ 4 _ 5 15 _ _ 6 3 _ Den brudne brøken ovenfor kan vi også forenkle ved å dividere: 6 5 _ 4 6 : _ _ Den første metoden er mest praktisk når vi skal forenkle brudne brøker som har flere ledd i telleren eller i nevneren. Trekk sammen den brudne brøken Fellesnevneren for småbrøkene er 18. ( ) 9 18 _ 6 ( ) _ _ _ Lommeregneren kan også brukes til å forenkle brudne brøker. Vi regner ut den brudne brøken i eksempelet. Figurene på neste side viser framgangsmåten. 4 Sinus for forkurset > Tall og tallregning

16 ON CASIO TEXAS OFF Legg merke til at vi på begge lommeregnerne må sette parentes om telleren og om nevneren.? Oppgave 1.40 Regn ut både uten og med lommeregner. _ a) _ b) 36 c) + 5 _ 8 5 _ _ 5 d) _ 3 _ x + _ x Fellesnevneren for småbrøkene er 4. Vi multipliserer derfor med 4 over og under hovedbrøkstreken. x + 4 ( x _ + ) 4 x x _ ( x ) 4 x x + 8 x ? Oppgave 1.41 _ x a) x _ 1 10 b) 1 x + 1 _ 1 + x c) 1 a _ b a 1 b d) _ x 6 _ 1 x _ 1 3x 5

17 1.5 Potenser Med vårt tallsystem må vi bruke potenser når vi skal arbeide med spesielt små og spesielt store tall. Hvis vi for eksempel skal regne med massen av hele jorda i kilogram, må vi skrive et tall med 4 siffer. Massen til et hydrogenatom i kilogram får på tilsvarende måte 6 nuller etter kommaet. Dette tallet klarer vi ikke å regne med hvis vi ikke bruker en potens med en negativ eksponent. Dette skal vi lære om nå. Men først repeterer vi noen av potensreglene. Vi skal også se på hvorfor reglene er riktige. Uttrykket 4 kaller vi en potens. Denne potensen betyr. Eksponenten 4 forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet med seg selv. Hvis vi skal regne ut 4 3, får vi faktorer faktorer 3 faktorer Hvis vi skal regne ut a m a n, der m og n er naturlige tall, får vi m + n faktorer a m a n a a a a a a a m + n m faktorer n faktorer a m a n a m + n Regn ut a 4 a. a 4 a a 4 + a 6 Hvis vi skal regne ut 35 33, får vi _ _ Vi ser at _ Sinus for forkurset > Tall og tallregning

18 Vi bruker den samme tankegangen når vi skal regne ut n faktorer n m faktorer a n : a m _ a n a m a a a a a a a a a a a a a 1 n m m faktorer a n _ a m a n m Her må vi foreløpig forutsette at n er større enn m. Siden skal vi utvide potensbegrepet slik at formelen gjelder for alle hele tall n og m. a) _ b) a) _ b) _ 5 3 _ Vi kan også regne på denne måten: ? Oppgave 1.50 a) 3 b) ( 3) c) 3 3 d) ( 3) 3 Oppgave 1.51 Trekk sammen som en potens. a) b) 4 6 c) d) e) ( 10 4 ) ( ) Oppgave 1.5 a) _ 4 b) c) d) e) _ 7

19 Hittil har vi studert potensen a n der n er et naturlig tall. Vi skal nå innføre potenser der eksponenten er null eller negativ. Hva skal vi mene med 0? Det gir ingen mening å multiplisere med seg selv null ganger. Vi ønsker at regnereglene for potenser skal gjelde for alle heltallseksponenter, og bruker det til å bestemme 0. Vi regner ut 3 3 på to måter: _ _ Vi forutsatte at potensregelen for brøker gjelder her. For at de to utregningsmåtene skal gi samme svar, må vi ha at 0 1. Vi kan gjennomføre det samme resonnementet for potensen a 0 der a ikke er 0. For å få regnereglene til å passe må vi ha at a 0 1. a 0 1 Hva skal vi mene med uttrykket 4? Vi kan jo ikke forestille oss at vi multipliserer med seg selv 4 ganger. Vi definerer 4 på en slik måte at regnereglene for potenser gjelder for negative eksponenter: _ 0 4 _ 1 4 _ 1 16 For potensen a n må vi ha a n a 0 n _ a0 a n _ 1 a n Vi velger derfor å definere a n slik: a n 1 _ a n Vi har ikke bevist formlene for a 0 og a n. Det lar seg ikke gjøre. Men vi har definert potensene på en slik måte at vi får regnereglene til å bli riktige for alle potenser der eksponenten er et helt tall. a) 3 0 b) 50 0 c) 3 d) Sinus for forkurset > Tall og tallregning

20 a) b) c) 3 _ d) _ Skriv tallet 1, som et desimaltall. 1, , _ 1, ,00017 Vi kan vise at regnereglene for potenser også gjelder for eksponenter som ikke er positive. Reglene gjelder også når eksponentene er negative eller null. a) 4 3 b) _ a) ( 3) 1 b) _ ( 1) _ 3 3 _ ? Oppgave 1.53 Regn ut og skriv svaret som en brøk eller et helt tall. a) 5 0 b) ( ) 0 c) 5 1 d) 4 e) 10 f) 10 0 g) 10 4 Oppgave 1.54 a) 3 4 b) c) d) _ e) _ a 4 a 3 a a 9

21 1.6 Regneregler for potenser Hvis vi skal regne ut ( ) 3, kan vi gjøre det slik: 3 ( 3 ) _ _ _ 8 7 På samme måten kan vi regne ut ( a b ) n når n er et naturlig tall: ( a b ) n a b a b a n faktorer n faktorer b _ a a a b b b _ an b n n faktorer Vi kan vise at regelen gjelder for alle heltallige eksponenter. ( a b ) n _ an b n a) ( 5 ) 3 b) ( 3 a) ( 5 ) 3 _ 3 b) ( 3 ) 4 ( x ) 4 ( x 3 ) ) 3 _ 34 4 _ x x x 3 4 3x3 16 Uttrykk som (x) 3 kan vi regne ut uten å kjenne noen potensregel: (x) 3 x x x x x x 3 x 3 8x 3 Vi ser at (x) 3 3 x 3. Tilsvarende gjelder for alle produkter ab og alle eksponenter n: (a b) n a n b n 30 Sinus for forkurset > Tall og tallregning

22 a) (3x) b) (x) 1 4x c) a) (3x) 3 x 9x b) (x) 1 4x 1 x 1 4x 1 1 x 4x _ 4x x (x) 3 x c) _ (x) 4 _ 3 x 3 x 4 x 4 3 x 3 + ( ) 4 x x1 x 4 3 ( 4) x 1 ( 4) 7 x 5 18x 5 (x) 3 x _ (x) 4! I eksempelet ovenfor så vi at (3x) 9x. Det er dermed stor forskjell på (3x) og 3x. I 3x skal vi bare kvadrere x og ikke 3-tallet. I (3x) kvadrerer vi 3-tallet også.? Oppgave 1.60 a) ( 1 ) 3 b) ( 3 ) 3 c) _ ( 1 10 ) 3 d) ( 3 ) 4 Oppgave 1.61 a) ( 3 ) b) _ 5 5 ( 5 ) 3 c) ( x ) d) 3 5 ( x 3 ) 4 Vi skal nå finne en regel vi kan bruke når vi skal regne ut en potens der grunntallet er en potens. Uttrykket (a 3 ) 4 er av den typen. (a 3 ) 4 a 3 a 3 a 3 a 3 a a 3 4 a 1 For to vilkårlige heltallige eksponenter m og n får vi: (a m ) n a m n 31

23 a) (x ) 3 b) (x ) 1 c) a) (x ) 3 x 3 x 6 b) (x ) 1 1 (x ) 1 1 c) x( )( 1) 1 x 3 (a) a 4 (a 1 ) 1 3 a a 4 a ( 1)( 1) 3 + _ ( ) a a _ 1 a a a 3 _ 3 (a) a 4 (a 1 ) 1 a 3 a ( 3) a! Du må ikke blande sammen (a ) 4 og a a 4. (a ) 4 a 4 a 8 a a 4 a + 4 a 6? Oppgave 1.6 Regn ut og skriv svaret som et desimaltall eller et helt tall. a) ( ) 3 b) ( 10 ) 1 c) ( ) (3 10 ) 1 d) Oppgave 1.63 Skriv enklest mulig. a) x 7 (x ) 3 b) (x ) 1 x 3 c) (a ) (a 3 ) ( a 1 ) 3 (a) 4 d) _ (x y ) 1 (x ) y 3 (xy ) 3 Oppgave 1.64 a) Skriv tallparene som brøker. 1) ( 3 ) og ( 3 ) ) ( 3 5 ) 3 og ( 5 3 ) 3 3) ( 6 7 ) 1 og ( 7 b) Hvilken potensregel tror du gjelder for en brøk som er opphøyd i en negativ eksponent? c) Vis at regelen fra oppgave b er riktig for potensen ( a b ) n. 6 ) 1 3 Sinus for forkurset > Tall og tallregning

24 1.7 Tall på standardform Store tall med mange siffer er uoversiktlige. Ofte gjør vi regnefeil når vi skal regne med slike tall, for det er lett å glemme et siffer. Hvis vi i stedet skriver tallet ved hjelp av tierpotenser, får vi bedre styring med utregningene. Skriv tallet ved hjelp av tierpotenser , , Til vanlig skriver vi direkte , Eksponenten 6 forteller oss hvor mange plasser vi har flyttet kommaet mot venstre. Når vi skal regne med svært små desimaltall, er det lett å gjøre kommafeil. Vi regner mye sikrere hvis vi skriver tallene ved hjelp av tierpotenser med negative eksponenter. Nå skal vi regne ut noen tierpotenser med negativ eksponent så vi ser hvordan systemet er _ , , _ , _ ,0001 Skriv tallene ved hjelp av tierpotenser og regn ut 0,0001 0, Vi omformer 0,0001: 0,0001 1, 0,0001 1, 10 4 Den negative eksponenten 4 forteller hvor mange plasser vi har flyttet kommaet mot høyre. For tallet 0, får vi 0, ,

25 Nå finner vi produktet. 0,0001 0, , , , 3, ( 5) 4, , Et tall er skrevet på standardform når det er skrevet som ±a 10 n der 1 a < 10 og n er et helt tall. Skriv tallene og 0, på standardform , , , Lommeregneren har en egen tast som vi bruker når vi skal legge inn tall på standardform. ON CASIO Når vi skal legge inn tallet,3 10 5, taster vi først.3, trykker så på EXP og taster til slutt 5. Hvis vi nå trykker på EXE, får vi skrevet tallet på vanlig måte som vist på figuren nedenfor. TEXAS Når vi skal legge inn tallet,3 10 5, taster vi først.3, trykker så på EE ( nd og, ) og taster til slutt 5. Hvis vi nå trykker på ENTER, får vi skrevet tallet på vanlig måte som vist. 34 Sinus for forkurset > Tall og tallregning

26 Noen ganger skriver lommeregneren svaret på standardform når vi legger inn vanlige tall. På figuren nedenfor har vi regnet ut og : 500 på lommeregneren. Noen ganger skriver lommeregneren svaret på standardform når vi legger inn vanlige tall. På figuren nedenfor har vi regnet ut og : 500 på lommeregneren. OFF Vi ser at svarene blir 7.36E+11 og 8. E 04. Disse tallene er skrevet på standardform. 7.36E+11 7, E 04 8, ,0008 Vi ser at svarene blir 7.36E11 og 8E 4. Disse tallene er skrevet på standardform. 7.36E11 7, E 4 8, ,0008? Oppgave 1.70 Skriv som hele tall eller som desimaltall. a), b) 7,1 10 c) 8, d), Oppgave 1.71 Skriv på standardform. a) 0, b) c) d) 0, Når vi har en oppgave der tallene er skrevet på standardform, er det ofte lurt å regne slik vi gjør i dette eksempelet: a) (, ) (1,6 10 6) b) Bruk lommeregneren og regn ut. _ ( ) ( ) ( ) (3 10 ) 35

27 a) Vi samler tallene og tierpotensene hver for seg. (, ) (1, ),3 1, , ( 6) 3, ON b) CASIO TEXAS OFF Legg merke til at vi setter parentes om telleren og om nevneren på lommeregneren.? Oppgave 1.7 Regn ut og skriv svaret som desimaltall. a) ( ) ( ) b) ( 10 1 ) ( ) 8,4 10 c) _, d) _ (5 10 ) ( ) Oppgave 1.73 Regn ut både med og uten lommeregner. Skriv svaret på standardform. a) ( ) ( 10 ) b) ( ) (3 10 ) (3, 10 5 ) (4 10 ) c) 1, d) ( 107 ) ( ) (4 10 ) Oppgave 1.74 Gjør om til standardform og regn ut. a) , b) 0, , c) _ 0,00000 d) 0, ,001 _ Oppgave 1.75 Jordradien er m. Bruk formelen V 4 3 r3 og regn ut volumet av jorda i kubikkmeter. 36 Sinus for forkurset > Tall og tallregning

28 1.8 Kvadratrøtter og røtter av høyere orden Kvadratrota av et positivt tall x definerer vi på denne måten: Kvadratrota av x er det positive tallet som opphøyd i andre potens er lik x. x a dersom a 0 og a x. Etter dette må 9 3, da 3 > 0 og er ikke 3, selv om ( 3) 9. Kvadratrota av et tall er alltid positiv. Det fins ikke noe tall a slik at a 4, fordi a 0 for alle verdier av a. Dermed kan vi ikke finne kvadratrota av 4. x er bare definert når x 0. Etter definisjonen av kvadratrot må _ fordi 3 0 og ( 3 ) _ Vi får rett svar om vi regner slik: _ Vi finner kvadratrota av en brøk ved å finne kvadratrota av telleren og nevneren hver for seg. La a og b være to positive tall. Da er a b a b _ a b a b! Det fins ingen liknende regel for kvadratrot av en sum. Legg for eksempel merke til at _ ikke er lik 3 +. For _ _ 13 3,6, og Bruk regnereglene for kvadratrøtter til å vise at _ Vi utnytter at Dermed er _ 50 _ 5 _

29 ? Oppgave 1.80 Regn ut uten å bruke lommeregner. a) _ 16 b) _ c) _ 1 11 d) _ Oppgave 1.81 Bruk regnereglene for kvadratrøtter til å vise at a) _ 18 3 b) _ 1 3 c) _ Oppgave 1.8 Skriv kvadratrøttene ved hjelp av kvadratrota av et mindre tall. a) _ 7 b) _ 75 c) 16 Vi regner ut 3 og får 3 8 Tallet kaller vi tredjerota eller kubikkrota av 8. Vi skriver 3 8 Tredjerota definerer vi på denne måten: 3 x er det tallet som opphøyd i tredje potens er lik x. 3 x a dersom a 3 x. Legg merke til at vi kan finne tredjerota av negative tall: 3 _ 8 fordi ( ) 3 8 a) 3 _ 64 b) 3 _ 15 a) 3 _ 64 4 fordi b) 3 _ 15 5 fordi ( 5) Sinus for forkurset > Tall og tallregning

30 Hvis vi regner ut 3 4, får vi Tallet 3 kaller vi derfor for fjerderota av 81 og skriver 4 _ Nå er også ( 3) Likevel sier vi ikke at 3 er fjerderota av 81. Fjerderota skal alltid være et positivt tall. Fjerderota definerer vi på denne måten: 4 x er det positive tallet som opphøyd i fjerde potens er lik x. 4 x a dersom a 0 og a 4 x. Fjerderota av et negativt tall fins ikke, fordi a 4 0 for alle tall a. a) 4 56 b) 4 3 a) fordi b) 4 3 fins ikke. Femterota, sjetterota osv. definerer vi på den samme måten som tredjerota og fjerderota. Vi definerer n-te rot når n er et naturlig tall, på denne måten: n x a dersom a n x. Dersom n er et partall, velger vi n x som det positive tallet a som er slik at a n x. a) 5 _ 3 b) a) 5 _ 3 fordi 5 3 b) fordi (100) 6 (10 )

31 På lommeregneren finner vi 3 _ 64 og 4 56 på denne måten: ON CASIO Vi velger RUN på ikonmenyen. For å finne 3 _ 64 trykker vi på (SHIFT og ( ). Vi taster så 64 og trykker på EXE. Svaret blir 4. 3 TEXAS Vi trykker på MATH og velger 4: 3 (. Vi fullfører uttrykket nedenfor og trykker på ENTER. Svaret blir 4. OFF For å finne 4 56 trykker vi først på x 4 og deretter på. Vi taster så 56 og trykker på EXE. Svaret blir 4. For å finne 4 56 trykker vi først på 4 og deretter på MATH. Vi velger 5: x ( og taster 56. Vi trykker så på ENTER og får svaret 4. På lommeregneren kan vi også regne ut x a selv om x ikke er et helt tall. Edel Gran plantet en gran og fulgte veksten i 0 år. Etter x år var høyden målt i centimeter gitt ved formelen h 0,5 x, Når var grana 10 m høy? Ettersom 10 m 1000 cm, får vi denne likningen: h ,5 x, ,5 x,7 900 x, x,7 _ 1800 x 16 Grana var 10 m høy etter 16 år. 40 Sinus for forkurset > Tall og tallregning

32 ? Oppgave 1.83 Regn ut uten lommeregner. a) 3 _ 7 b) 3 _ 1000 c) 3 64 d) Oppgave 1.84 Bruk lommeregneren til å regne ut. a) 4 _ 13 b) 5 0,5 c) 3 _ 15 d) 3 5 e) 3 _ f) 4 1 Oppgave 1.85 Regn ut uten lommeregner. a) b) c) Oppgave 1.86 Volumet av ei kule er 6,5 cm 3. Regn ut radien i kula. Oppgave 1.87 La x være gjennomsnittsavstanden fra sola til en planet med avstanden mellom jorda og sola som målenhet. Omløpstida til planeten er den tida planeten bruker på en runde rundt sola. Regnet i år er den gitt ved formelen y x 1,5 Jorda a) Avstanden fra Mars til sola er 1,5 ganger så stor som avstanden fra jorda til sola. Finn omløpstida for Mars. b) Jupiter bruker 11,9 år rundt sola. Finn avstanden fra sola til Jupiter. 41

33 1.9 Potenser med en brøk som eksponent I kapittel 1.5 innførte vi potenser med heltallige eksponenter. Nå skal vi innføre potenser der eksponenten er en brøk. Det gjør vi slik at regnereglene for potenser blir riktige også når eksponentene er brøker. Hva skal vi mene med 8 1 3? Hvis regnereglene for potenser skal gjelde, må ( ) er det eneste tallet som gir 8 når vi opphøyer tallet i tredje potens. Ettersom ( ) 3 8, må derfor være lik Hvis a er et positivt tall og n er et naturlig tall, er a 1 n n a a) 16 1 b) c) a) 16 1 _ 16 _ 16 4 b) _ 7 3 c) ,50! Legg merke til at _ 16 _ 16. a er det samme som a. I oppgave c måtte vi bruke lommeregneren. Vi kan regne på to ulike måter: Legg merke til parentesen om Sinus for forkurset > Tall og tallregning

34 ? Oppgave 1.90 Regn ut uten å bruke lommeregner. a) 4 1 b) c) d) 36 1 e) ( 3 4 ) 1 4 f) ( ) 5 Hva skal vi så mene med 8 3? Vi kan tenke oss to måter å regne ut denne potensen på: ) ( ( ) ( 8 ) _ 8 3 _ 64 4 Vi ser at begge metodene gir samme svar. Grunnen er at ( 3 8 ) og 3 _ 8 gir samme svar. Hvis a ikke er et negativt tall, kan vi vise at uttrykkene ( n a ) m og n _ a m er like. Hvis a er et positivt tall og m og n er to hele tall der n er positiv, er a m n ( n a ) m eller a m n n _ a m Med denne definisjonen kan vi vise at alle regnereglene for potenser gjelder. a) b) 3 5 c) 7 3 d) _ a) ( 3 8 ) b) 3 5 ( 5 _ 3 ) _ 1 c) 7 3 _ ,5 d) _ ( ) 5 1 5! Når n a er et helt tall eller en brøk, får vi enklest tallregning ved å bruke formelen a m n ( n a ) m (se eksemplene a og b ovenfor). Formelen a m n n _ a m passer best når n a ikke er et helt tall (se eksempel c ovenfor). 43

35 Hvis vi skal forenkle sammensatte rotuttrykk, kan det lønne seg å skrive rotuttrykkene som potenser og deretter bruke regnereglene for potenser. Regn ut _ Skrivemåten a m n kan vi ikke bruke når a er et negativt tall. Det kan se fornuftig ut å si at ( 8 ) _ 8 Men fordi 1 3 6, bør ( 8) 1 3 og ( 8) 6 gi det samme svaret. Vi regner ut ( 8) 6 på to måter: ( 8 ) 6 6 _ ( 8 ) 6 _ 64 ( 8 ) 6 ( 6 _ 8 ) Det siste rotuttrykket eksisterer ikke. Uttrykkene ( 8) 1 3 og ( 8) 6 gir ikke det samme svaret, og skrivemåten ( 8) 1 3 er dermed ikke brukbar. Vi har nå definert potensen 4 x når x er en brøk. Potensen er dermed også definert når x er et desimaltall. 4 1,5 4 3 ( 4 ) 3 3 8? Oppgave 1.91 Regn ut uten å bruke lommeregner. a) 4 3 b) 7 3 c) d) e) ( 5 1 ) 1 4 f) ( ) 4 Oppgave 1.9 Bruk lommeregner og regn ut. a) 5 3 b) 1 5 c) d) 4,5 e) 7 _ 5 6 f) 31 _ Sinus for forkurset > Tall og tallregning

36 ? Oppgave 1.93 Skriv så enkelt som mulig. a) 1 ( 1 6 ) ( b) c) 3 6 d) 3 ) ( 3 ) 3 4 _ ( 3 1 ) Oppgave 1.94 Sidekantene i en terning har lengden s. a) Vis at overflaten O av terningen er gitt ved formelen O 6s. b) Forklar hvorfor O 6 V 3, der V er volumet av terningen. c) Hvor stor er overflaten av en terning som rommer 0,5 liter? s s s Men hva mener vi med 4 x når x er et irrasjonalt tall? Hva skal vi mene med 4? Vi kan finne desimaltall som er så nær som vi bare vil. Vi bruker desimaltallet som eksponent i stedet for og får en god tilnærmingsverdi for 4. 1, ,414 7,103 Uansett hvor mange desimaler vi tar med, får vi bare en tilnærmet verdi for 4. 4 er det tallet vi nærmer oss når tallet på desimaler i øker mot uendelig. Det kan se ut som om lommeregneren regner ut 4 eksakt riktig når vi regner på denne måten: Men lommeregneren bruker en tilnærmingsverdi for, og det svaret vi får, er dermed ikke nøyaktig. 45

37 SAMMENDRAG Regnerekkefølge 1 Regn først ut parentesene. Regn deretter ut potensene. 3 Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene. 4 Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene. Regneregler ved brøkregning Når vi forkorter en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og nevneren. Brøken endrer ikke verdi. Vi utvider en brøk ved å multiplisere med det samme tallet i telleren og nevneren. Brøken endrer da ikke verdi. Når vi skal summere brøker, må vi først finne fellesnevneren. Deretter utvider vi alle brøkene så de får den samme nevneren. Til slutt summerer vi tellerne og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere et helt tall og en brøk, multipliserer vi det hele tallet med telleren og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere to brøker, multipliserer vi telleren med telleren og nevneren med nevneren. Vi trenger ikke finne fellesnevneren. Når vi skal dividere med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. Regneregler for potenser a 0 1 a n _ 1 a n a m a n a m + n _ a n a m a n m (a b) n a n b n ( a b ) n _ an b n (a m ) n a m n Tall på standardform Et tall er skrevet på standardform når det er skrevet som ±a 10 n der 1 a < 10 og n er et helt tall. Kvadratrot x a dersom a x og a Sinus for forkurset > Tall og tallregning

38 n-te rot n x a dersom a n x. Dersom n er et partall, velger vi n x som et positivt tall. Potenser med brøk som eksponent Hvis a er et positivt tall og m og n er hele tall der n er positiv, er a 1 n n a a m n ( n a ) m eller a m n n _ a m 47

Potenser og tallsystemer

Potenser og tallsystemer 1 Potenser og tallsystemer Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser og tall på standardform med positive og negative eksponenter og bruke dette i praktiske sammenhenger gjøre rede

Detaljer

Potenser og tallsystemer

Potenser og tallsystemer 8 1 Potenser og tallsystemer Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser og tall på standardform med positive og negative eksponenter og bruke dette i praktiske sammen henger gjøre rede

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

Regning med tall og bokstaver

Regning med tall og bokstaver Regning med tall og bokstaver M L N r du har lest dette kapitlet, skal du kunne ^ bruke reglene for br kregning ^ trekke sammen, faktorisere og forenkle bokstavuttrykk ^ regne med potenser ^ l se likninger

Detaljer

Innledning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Innledning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Innledning Mål for opplæringen er at eleven skal kunne løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritme funksjoner, både ved regning

Detaljer

Tall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne

Tall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Tall og formler MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene tolke, bearbeide, vurdere

Detaljer

Tall og enheter. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Tall og enheter. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Tall og enheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene 1.1 Regnerekkefølge På ungdomsskolen

Detaljer

Tall og tallregning. 1.1 Tall. 1.2 Regnerekkefølge. Oppgave Marker disse intervallene på ei tallinje. a) [2, 5 b) 3, 4] c) 2, 2 d) 0, 1

Tall og tallregning. 1.1 Tall. 1.2 Regnerekkefølge. Oppgave Marker disse intervallene på ei tallinje. a) [2, 5 b) 3, 4] c) 2, 2 d) 0, 1 Tall og tallregning. Tall Oppgave.0 Sett inn eller i de tomme rutene. {,, 0,, }, {,,, } {,, 0,, } {,, 0, } Oppgave. Skriv disse intervallene med matematiske symboler og tegn dem inn på tallinjer. Alle

Detaljer

Kapittel 8. Potensregning og tall på standardform

Kapittel 8. Potensregning og tall på standardform Kapittel 8. Potensregning og tall på standardform I potensregning skriver vi tall som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Standardform er en metode som er nyttig for raskt å kunne skrive

Detaljer

Mer om likninger og ulikheter

Mer om likninger og ulikheter Mer om likninger og ulikheter Studentene skal kunne utføre polynomdivisjon anvende nullpunktsetningen og polynomdivisjon til faktorisering av polynomer benytte polynomdivisjon til å løse likninger av høyere

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG TALL OG TALLREGNING

INNHOLD SAMMENDRAG TALL OG TALLREGNING SAMMENDRAG TALL OG TALLREGNING INNHOLD TALL OG TALLREGNING... 2 PLASSVERDISYSTEMET... 2 PLASSERING PÅ TALLINJE... 2 UTVIDET FORM... 3 REGNESTRATEGIER... 3 DELELIGHETSREGLER... 3 SKRIFTLIG REGNING... 4

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

1 Potenser og tallsystemer

1 Potenser og tallsystemer Oppgaver 1 Potenser og tallsystemer KATEGORI 1 1.1 Potenser Oppgave 1.110 3 b) 3 c) 4 d) 4 Oppgave 1.111 10 3 b) ( 5) c) ( ) 3 d) ( ) 4 Oppgave 1.11 Skriv uttrykkene som én potens. 3 4 b) 5 3 c) 5 3 5

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Forberedelseskurs i matematikk

Forberedelseskurs i matematikk Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger

Detaljer

Verktøyopplæring i kalkulator for elever

Verktøyopplæring i kalkulator for elever Verktøyopplæring i kalkulator for elever Innholdsfortegnelse Enkel kalkulator... 2 Kalkulator med brøk og parenteser... 7 GeoGebra som kalkulator... 11 H. Aschehoug & Co. www.lokus.no Side 1 Enkel kalkulator

Detaljer

Kapittel 2. Tall på standardform

Kapittel 2. Tall på standardform Kapittel 2. Tall på standardform Standardform er en metode som er nyttig for raskt å kunne skrive tall som er mye større enn 1 eller mye mindre enn 1. Du må kunne potensregning for å forstå regning med

Detaljer

Uttrykket 2 kaller vi en potens. Eksponenten 3 forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet 2 med seg selv. Dermed er ) ( 2) 2 2 4

Uttrykket 2 kaller vi en potens. Eksponenten 3 forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet 2 med seg selv. Dermed er ) ( 2) 2 2 4 9.9 Potenslikninger Uttrykket kaller vi en potens. Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet med seg selv. Dermed er 8 Når vi skriver 5, betyr det at vi skal multiplisere

Detaljer

Tall SKOLEPROSJEKT MAT VÅR 2014 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM. Date: March 31,

Tall SKOLEPROSJEKT MAT VÅR 2014 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM. Date: March 31, Tall SKOLEPROSJEKT MAT400 - VÅR 204 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM Date: March 3, 204. 2. Innledning Vårt skoleprosjekt omhandler ulike konsepter innenfor det matematiske området

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Dette er et sammendrag av det du har arbeidet med om tall og tallregning i Nummer 8, Nummer 9 og Nummer 10.

Dette er et sammendrag av det du har arbeidet med om tall og tallregning i Nummer 8, Nummer 9 og Nummer 10. SAMMENDRAG Dette er et sammendrag av det du har arbeidet med om tall og tallregning i Nummer 8, Nummer 9 og Nummer 10. Hvis du trenger mer trening utover oppgavene i Nummer 10, finner du ekstra oppgaver

Detaljer

Verktøyopplæring i kalkulator

Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator Enkel kalkulator... 3 Regneuttrykk uten parenteser... 3 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 3 Negative tall... 4 Regneuttrykk med parenteser... 5 Brøk... 5 Blandet

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logaritmer 9.1 Potenser Regneregler 2 3 ¼ 2 2 2 Vi kaller 2 3 for en potens. 2 kaller vi for potensens grunntall og 3 for eksponenten. En potens er per definisjon produktet av like store tall.

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

Tall og mengder. Per G. Østerlie. 30. september 2013

Tall og mengder. Per G. Østerlie. 30. september 2013 Tall og mengder Per G. Østerlie 30. september 2013 1 Introduksjon Nå skal vi se på hva mengder og intervaller er og hvilke symboler vi benytter. Vi starter med å se på tall og hvordan vi kan dele opp i

Detaljer

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet CAS GeoGebra Innhold CAS GeoGebra... 1 REGNING MED CAS-VERKTØYET... 2 Rette opp feil, slette linjer... 3 Regneuttrykk... 4 FAKTORISERE TALL... 4 BRØK... 4 Blandet tall... 5 Regneuttrykk med brøk... 5 POTENSER...

Detaljer

Tema. Beskrivelse. Husk!

Tema. Beskrivelse. Husk! Dette er ment som en hjelpeoversikt når du bruker boka til å repetisjon. Bruk Sammendrag etter hvert kapittel som hjelp. Verktøykassen fra side 272 i boka er og til stor hjelp for repetisjon til terminprøve.

Detaljer

Kapittel 2. Tall på standardform

Kapittel 2. Tall på standardform Kapittel. Tall på standardform Standardform er en metode som er nyttig for raskt å kunne skrive tall som er mye større enn eller mye mindre enn. Du må kunne potensregning for å forstå regning med standardform.

Detaljer

1 Potenser og tallsystemer

1 Potenser og tallsystemer Oppgaver Potenser og tallsystemer KATEGORI. Potenser Oppgave.0 a) b) c) d) Oppgave. a) 0 b) ( ) c) ( ) d) ( ) Oppgave. Skriv uttrykkene som én potens. a) b) 7 c) d). Potensene a 0 og a n Oppgave.0 a) 7

Detaljer

Verktøyopplæring i kalkulator

Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator... 1 Enkel kalkulator... 2 Regneuttrykk uten parenteser... 2 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 2 Negative tall... 3 Regneuttrykk

Detaljer

Kapittel 1. Tallregning

Kapittel 1. Tallregning Kapittel 1. Tallregning Regning med tall er grunnlaget for mer avansert matematikk. I dette kapitlet repeteres følgende fra grunnskolen: Brøkregning Desimaltall Regning med positive og negative tall Potenser

Detaljer

Kapittel 1. Potensregning

Kapittel 1. Potensregning Kapittel. Potensregning I potensregning skriver vi tall som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kapitlet handler blant annet om: Betydningen av potenser som har negativ eksponent

Detaljer

Vi bruker desimaltall for Ô oppgi verdiene mellom de hele tallene. Tall med komma kaller vi desimaltall, og sifrene bak komma kaller vi desimaler.

Vi bruker desimaltall for Ô oppgi verdiene mellom de hele tallene. Tall med komma kaller vi desimaltall, og sifrene bak komma kaller vi desimaler. 196 FAKTA De naturlige tallene bestôr av ett eller ere sifre: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...Alle de hele positive tallene kaller vi naturlige tall, og tallmengden kaller vi N. NÔr vi tar med 0 og

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

Kapittel 1. Tallregning

Kapittel 1. Tallregning Kapittel 1. Tallregning Mål for Kapittel 1, Tallregning. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten digitale verktøy, presentere

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr Hvordan du regner med brøk Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com Opplysning: Et helt tall er delelig på et annet helt tall hvis svaret

Detaljer

Algebra. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Algebra. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser, formler, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver omforme en praktisk problemstilling til en

Detaljer

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Sensurveiledning Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1 Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Oppgave 1 Figuren viser hvordan en nettside forklarer en metode for addisjon og

Detaljer

Potenser og røtter. Lærerveiledning

Potenser og røtter. Lærerveiledning Potenser og røtter De følgende oppgavene er øvinger i regning med potenser og røtter. Gjennom oppgavene får elevene øving i å bruke regneregler for potensregning og omgjøring mellom tall skrevet som røtter

Detaljer

Forkurshefte i matematikk variant 1

Forkurshefte i matematikk variant 1 Forkurshefte i matematikk variant 1 2014 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO (Plan for kurset: se side 3) Forord Velkommen til Universitetet i Oslo (UiO), og til forkurs i matematikk! Dette

Detaljer

Kapittel 1. Tallregning

Kapittel 1. Tallregning Kapittel 1. Tallregning Regning med tall er grunnlaget for mer avansert matematikk. I dette kapitlet repeteres følgende fra grunnskolen: Brøkregning Desimaltall Regning med positive og negative tall Potenser

Detaljer

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Utgave 1.4 Skrevet av Bjørnar Tollaksen. Hele regelboka er et sammendrag av læreboka. Dette er ment som et supplement til formelheftet, ikke en erstatning. Skrivefeil kan

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 5. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =

Detaljer

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011. 1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset

Detaljer

Sinus 1TIP. Matematikk for teknikk og industriell produksjon. Bokmål. Tore Oldervoll Odd Orskaug Audhild Vaaje Finn Hanisch

Sinus 1TIP. Matematikk for teknikk og industriell produksjon. Bokmål. Tore Oldervoll Odd Orskaug Audhild Vaaje Finn Hanisch Tore Oldervoll Odd Orskaug Audhild Vaaje Finn Hanisch Sinus 1TIP Matematikk for teknikk og industriell produksjon Yrkesfaglig utdanningsprogram Bokmål CAPPELEN 8 1 Tall og tallregning Mål for opplæringen

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

PENSUMLISTE TIL MATEMATIKKTENTAMEN 2. juni

PENSUMLISTE TIL MATEMATIKKTENTAMEN 2. juni PNSUMS MAMAKKNAMN 2. juni Del 1: Prøver deg i det regnetekniske. Føres direkte på arket. ngen hjelpemidler er tillatt. kke kladd på oppgavearket, det får du eget ark til. De oppgavene med regnerute, fører

Detaljer

Posisjonsystemet FRA A TIL Å

Posisjonsystemet FRA A TIL Å Posisjonsystemet FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til posisjonsystemet P - 2 2 Grunnleggende om posisjonsystemet P - 2 3 Titallsystemet P - 3 4 Posisjonsystemet

Detaljer

Matematikk 01 - Matematikk for data- og grafiske fag.

Matematikk 01 - Matematikk for data- og grafiske fag. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Versjon per. juni 004 Matematikk 0 - Matematikk for data- og grafiske fag. y x Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no Forord Dette kompendiet er skrevet for faget

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

Brøker med samme verdi

Brøker med samme verdi Kapittel 7 Brøk Mål for det du skal lære: regne om mellom blandet tall og uekte brøk forkorte og utvide brøker, finne fellesnevner regne om mellom brøk og desimaltall ordne brøker etter størrelse og plassere

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...

Detaljer

Brøk Vi på vindusrekka

Brøk Vi på vindusrekka Brøk Vi på vindusrekka Brøken... 2 Teller og nevner... 3 Uekte brøk... 5 Blanda tall... 6 Desimalbrøk... 8 Pluss/minus... 9 Multiplikasjon... 11 Likeverdige brøker... 12 Utviding... 13 Forkorting... 14

Detaljer

Tore Oldervoll Odd Orskaug Audhild Vaaje Finn Hanisch. Sinus 2P. Lærebok i matematikk for vg2. Studieførebuande program.

Tore Oldervoll Odd Orskaug Audhild Vaaje Finn Hanisch. Sinus 2P. Lærebok i matematikk for vg2. Studieførebuande program. Tore Oldervoll Odd Orskaug Audhild Vaaje Finn Hanisch Sinus P Lærebok i matematikk for vg Studieførebuande program Nynorsk CAPPELEN Innhald Potensar og talsystem....... 9. Potensar... 0. Potensane a 0

Detaljer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer

REGEL 1: Addisjon av identitetselementer REGEL 1: Addisjon av identitetselementer Addisjon av identitetselementer a + 0 = a x + 0 = x Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med

Detaljer

Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03

Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De

Detaljer

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 6. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =

Detaljer

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Regning med positive og negative tall 2 Regnerekkefølge og parenteser 3 Potenser 4 Algebra 5 Brøkregning 6 Ligninger 7 Ulikheter

Detaljer

ÅRSPLAN MATEMATIKK 7. TRINN 2016/17

ÅRSPLAN MATEMATIKK 7. TRINN 2016/17 ÅRSPLAN MATEMATIKK 7. TRINN 2016/17 Uke Tema Læringsmål Lærestoff Metoder 34 36 God start Kunne avgjøre hvilken nevner brøken har ut fra oppdeling av helheten Kunne avgjøre hvilken brøk som er størst ut

Detaljer

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner. Faktor. Grunnbok. Bokmål

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner. Faktor. Grunnbok. Bokmål Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner Faktor 9 Grunnbok Bokmål Hei til deg som skal bruke Faktor! Dette er Faktor 9 Grunnbok. Til grunnboka hører det en oppgavebok. Her ser du ungdommene

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup Brukerveiledning for webapplikasjonen Mathemateria 01.02.2015 Terje Kolderup Innhold Brukerveiledning for webapplikasjonen...1 Mathemateria...1 Introduksjon...3 Typisk eksempel og bryterstyring...3 Innlogging...4

Detaljer

ÅRSPLAN MATEMATIKK 7. TRINN 2017/18

ÅRSPLAN MATEMATIKK 7. TRINN 2017/18 ÅRSPLAN MATEMATIKK 7. TRINN 2017/18 Uke Tema Læringsmål Lærestoff Metoder 34 36 God start Kunne avgjøre hvilken nevner brøken har ut fra oppdeling av helheten. Kunne avgjøre hvilken brøk som er størst

Detaljer

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag Notater fra forelesning i MAT00 mandag 3.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 8. august 009 Følger og konvergens (seksjon 4.3 i Kalkulus) Definisjon.. En følge er en uendelig sekvens av tall {a,a,a

Detaljer

Rasjonale potenser. For å finne side av kvadrat med gitt areal A løser vi likning x 2 = A.

Rasjonale potenser. For å finne side av kvadrat med gitt areal A løser vi likning x 2 = A. Rasjonale potenser Vi har tidligere sett hvordan man definierer potenser med heltall. Vi skal nå se hvordan man naturlig definierer potenser også for rasjonale tall, dvs brøk hvor teller og nevner er heltall.

Detaljer

ÅRSPLAN I MATTE 5. 7. TRINN BREIVIKBOTN SKOLE 2012-2013

ÅRSPLAN I MATTE 5. 7. TRINN BREIVIKBOTN SKOLE 2012-2013 ÅRSPLAN I MATTE 5. 7. TRINN BREIVIKBOTN SKOLE 2012-2013 Lærer: Knut Brattfjord og Hege Skogly Læreverk: Grunntall 5 a og b, 6 a og b og 7 a og b av Bakke og Bakke, Elektronisk Undervisningsforlag AS Målene

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2013 2014. Løsninger

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2013 2014. Løsninger Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 0 04. Løsninger Første runde 7. november 0 Oppgave. Siden er et primtall, vil bare potenser av gå opp i 0. Altså,,,,..., 0 i alt tall........................................

Detaljer

En konstant er et symbol med en fast verdi. 2 og er eksempler pô konstanter.

En konstant er et symbol med en fast verdi. 2 og er eksempler pô konstanter. Algebra Variabel Konstant trekke sammen Algebra er bokstavregning. Det er et verktöy som forenkler regneoperasjonene i forskjellige omrôder av matematikken. Bokstavene er symboler for tall og skal behandles

Detaljer

Vi sier også at for eksempel 16 er kvadratet av 4. Kvadrattallene kan vi framstille som figurtall av kuler på denne måten:

Vi sier også at for eksempel 16 er kvadratet av 4. Kvadrattallene kan vi framstille som figurtall av kuler på denne måten: 10 Tall og figurer Tallene 1,, 3, 4,, kaller vi de naturlige tallene De naturlige tallene deler vi ofte i partall og oddetall Partallene er de tallene vi kan dele med Det er tallene, 4, 6, 8, 10, Oddetallene

Detaljer

Kapittel 1 Tall og tallregning

Kapittel 1 Tall og tallregning Kapittel 1 Tall og tallregning Enkel kalkulator I en del situasjoner er tallregningen så tidkrevende at det kan være fornuftig å bruke kalkulator. I andre situasjoner kan vi bruke kalkulatoren til å kontrollere

Detaljer

Ordliste matematikk. Addere (addisjon) Areal. Divisjon. Addere er å "legge sammen" tall.

Ordliste matematikk. Addere (addisjon) Areal. Divisjon. Addere er å legge sammen tall. Ordliste matematikk Addere (addisjon) Addere er å "legge sammen" tall. Regnetegnet for addisjon er +. 3+4 er en addisjon. Summen er 7. Tallene som adderes kalles ledd. Areal Areal er et mål for hvor stor

Detaljer

1.8 Binære tall EKSEMPEL

1.8 Binære tall EKSEMPEL 1.8 Binære tall Når vi regner, bruker vi titallssystemet. Hvordan det virker, finner vi ut ved å se på for eksempel tallet 2347. 2347 = 2 1000 + 3 100 + 4 10 + 7 Hvis vi bruker potenser, får vi 2347 =

Detaljer

Fasit. Oppgavebok. Kapittel 1. Bokmål

Fasit. Oppgavebok. Kapittel 1. Bokmål Fasit 9 Oppgavebok Kapittel 1 Bokmål Kapittel 1 Prosent 1.1 a Omtrent 30 % b Omtrent 10 % c Omtrent 75 % 1.2 a 130 c 900 e 160 b 80 d 7 f 260 1.3 a 50 % c 20 % e 75 % b 10 % d 60 % f 90 % 1.4 a 65 b 614,4

Detaljer

Ronny Kjelsberg. Noen grunnleggende elementer innen manipulasjon av brøk og enkle algebraiske uttrykk

Ronny Kjelsberg. Noen grunnleggende elementer innen manipulasjon av brøk og enkle algebraiske uttrykk Ronny Kjelsberg Noen grunnleggende elementer innen manipulasjon av brøk og enkle algebraiske uttrykk Contents Hvordan bli en BRØKREGNER på en, to, tre:. EN: Basics................................ Hva er

Detaljer

FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn

FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn Områder Kompetansemål Operasjonaliserte læringsmål Tema/opplegg (eksempler, forslag), ikke obligatorisk Vurderingskriterier vedleggsnummer Samanlikne

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 10A og 10B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 10A og 10B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 10A og 10B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 10A Kapittel A GEOMETRI Oversikt over vinkelkonstruksjoner 90 45 60 30 120 135 67 1 2 75 Den pytagoreiske læresetningen I en rettvinklet

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 15. oktober 004 Tid for eksamen: 11:00 13:00 Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

FAKTA. Likeverdige bröker: BrÖker som har samme verdi. 1 2 = 2 4 = 3 6 = 4 8 = 5

FAKTA. Likeverdige bröker: BrÖker som har samme verdi. 1 2 = 2 4 = 3 6 = 4 8 = 5 FAKTA Likeverdige bröker: BrÖker som har samme verdi. 2 = 2 = 6 = 8 = 0 0 utvide en brök: utvide en brök betyr Ô multiplisere teller og nevner med det samme tallet. BrÖken forandrer da ikke verdi. = 2

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

Noen formler det er lurt å kunne...

Noen formler det er lurt å kunne... - Noen formler det er lurt å kunne... Standardform Statistikk a = ±k 10 n 1 k < 10 og n er et helt tall Gjennomsnitt og median Lineære funksjoner Eksponentielle funksjoner y = ax + b y = a b x Polynom

Detaljer

Prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03

Prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De 15 første oppgavene

Detaljer

GODE ALGORITMER. Mekanisk regneferdighet. Forskningens konklusjon. Hva kreves i læreplanen? Var alt bedre før? 17.09.2012

GODE ALGORITMER. Mekanisk regneferdighet. Forskningens konklusjon. Hva kreves i læreplanen? Var alt bedre før? 17.09.2012 Mekanisk regneferdighet GODE ALGORITMER IKKE SØRGELIG SUBTRAKSJON OG DYSTER DIVISJON Bjørnar Alseth Multi i Vest 2012 Forskningens konklusjon Hva kreves i læreplanen? Forskerne er enige om 1. Vi må ikke

Detaljer

NAVN: INNHOLD. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, Side 1 av 18

NAVN: INNHOLD. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, Side 1 av 18 NAVN: INNHOLD FORORD... 2 LÆREPLAN... 3 ALGEBRA.... 3 REGNING MED VARIABLER... 3 MONOM... 3 POLYNOM... 3 TREKKE SAMMEN UTTRYKK (addisjon/subtraksjon)... 4 MULTIPLIKASJON... 4 DIVISJON... 4 ADDISJON AV

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr 4 Hvordan du regner med bokstaver, likninger og formler (elementær algebra) Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com 1 Opplsning: Faste,

Detaljer

Matematikk 2P-Y. Hellerud videregående skole

Matematikk 2P-Y. Hellerud videregående skole Matematikk 2P-Y Hellerud videregående skole Forord til 1. utgave Denne boka dekker læreplanen i Matematikk 2P-Y. Stoffet og oppgavene er valgt ut med tanke på den type oppgaver som har vist seg å være

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅRET Side 1 av 8

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅRET Side 1 av 8 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅRET 2016-2017 Side 1 av 8 Periode 1: UKE 33 - UKE 39 Sammenligne og regne om mellom hele tall, desimaltall, brøker,

Detaljer

Funksjoner og grafiske løsninger

Funksjoner og grafiske løsninger 8 1 Funksjoner og grafiske løsninger Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse

Detaljer