Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik"

Transkript

1 Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere gitte eksamener. Dessverre er disse ofte bare åpne for betalende medlemmer. Videre vil dette løsningsforslaget legge seg på en litt annen kurs enn andre løsningsforslag. I første del vil fasitsvaret til alle regneoppgaver bli oppgitt. Dette gjøres slik at om ønsket kan raskt se om en har regnet riktig eller ei. Har en regnet feil, kan en selv regne på nytt uten å få fremgangsmåten spolert. Deretter vil vi ta for oss oppgavene i tur og orden gjerne litt nøyere en hva som kreves under eksamen. Vi vil også skrive små kommentarer om vanlige feil elever gjør til en del oppgaver, og også hva som bør nevnes til hver oppgave. Til tider vil vi også vise alternative måter å løse oppgavene på. Og et fåtall ganger vil vi streife utenfor pensum og vise alternative metoder. Dette er et annerledes løsningsforslag, men vi håper den som leser dette vil få glede av det. Det viktigste å huske på før en eksamen er å opparbeide seg en god forståelse, og en bred faglig kompetanse. Dokumentet her er ment å hjelpe leser et lite steg i den retningen.

2 Innhold II

3 Karaktergrenser og Vurderingsskjema Gjeldende poengfordeling Del 1 Del Sum Oppgave 1a 1b 1c 1d1 1d 1d3 1e 1f 1g a b c d Poeng Oppgave 3a 3b 3c 4a 4b 4c 5a 5b 5c 6a 6b1 6b 6c 6d Poeng a 7b 7c 7d Total antall poeng 60 Karakterfordelingen, basert på 180 besvarelser: Karakter Prosent 5.6% 6.1% 5.0% 1.7% 17.% 4.4% Gjennomsnittet besvarelsene er 3.3. Karaktergrenser Karakter I Poeng I prosent Nebuchadnezzars synspunkter om årets eksamen En stort sett grei eksamen. Oppgavene på del 1 var kreative, og arbeidsmengden var passelig. Arbeidsmengden på del to var forholdsvis høy. Dog var de fleste oppgavene av normal vanskelighetsgrad. Noen vil antakeligvis ha problemer med geometrioppgaven og siste deloppgave på oppgaven med flyet. Forhåndssensur Forhåndssensur blir ikke lagt ut for høst-eksamener. III

4 Fasitsvar til regneoppgaver Oppgave 1 a) Vann 16, Eple 6 b) 1 c) sin(30 ) opposite hypotenuse x x 1 d) 1) % d) ) d) 3) x e) 8x+16 x 16 (x 4) (x 4)(x+4) x 4 x+4 f) ( 8 ) ( ) Oppgave a) x + x 8 x + (4 )x (4)( ) (x )(x + 4) [x, x 4] b) f (x) x + 0 x 1 bunn ( 1, 9) d) f (x) x 0 y x 8 Oppgave 3 a) Pytten b) Sentralvinkel dobbel av periferivinkel. Sirkel med radius 0.8 c) Cosinussetning L cos(150 ) L 1.50 Oppgave 4 a) P (0) ( 1 100) 16 0 ( 3% b) 0 ) ( 16 ) ( ) 1% c) P (x) ( ) ( 0 16 ) x ( 84 ) 0 x P (x 4) Oppgave 5 x 0 k4 a) t s v P (x) 1 (P (0) + P (1) + P () + P (3)) 40% 3.6 altså 3 timer og 36 minutter. c) y 500t 1, y 750t, t 1 + t 8 y 333km Oppgave 6 a) f (x) 0 x 0 x f (0) < 0 f () > 0 når a topp(0, ), bunn(, 6) og når a 5 topp(0, 5), bunn(, 1) b) a er en konstant som bare skifter grafen opp og ned. c) a < 0 eller a > 4 da er topp- og bunnpunktet på samme siden av x-aksen. Oppgave 7 a) h(t) t og h(t) 0 t 4.88s b) 1) h(0) h(1) 4.9m ) h() h(1) 14.7m 3) h(3) h() 4.5m c) Når kule slippes har kule 1 større fart, og de har samme akselerasjon. Altså vil de møtes. d) h(t) g(t) t (t 1) t s, h m IV

5 Del 1 Uten hjelpemider Oppgave 1 (18 poeng) a) to flasker vann og to epler koster 40 kroner en flaske vann og tre epler koster 3 kroner. Hvor mye koster èn flaske vann, og hvor mye koster ett eple? Det er flere metoder å løse denne oppgaven på. Vi velger den først å løse den uten bruk av likninger. Vi vet at to flasker vann og to epler koster 40 kroner. Dette betyr at èn flaske vann og et eple koster 0 kroner. Den andre opplysningen kan vi si som: En flaske vann og et eple og to epler koster 3 kroner. Heldigvis vet vi nå prisen på et eple og en flaske vann. Dermed vet vi at hvis vi at 0 kroner pluss to epler blir 3 kroner. Altså koster to epler 1 kroner, eller et eple koster 6 kroner. Siden vi vet at ett eple og en flaske vann koster 0 kroner, fører dette til at en flaske vann koster 14 kroner. Vi kan også sette dette opp som et likningsett, vi innfører noen forkortninger av lathet. Flaske vann F og Eple E. Da gir opplsyningene ovenfor Først så ganger vi øverste likning med 1/ Så legger vi sammen likningene F + E 40 1 F + 3E 3 F En annen metode er innsetningsmetoden Først så ganger vi øverste likning med 1/ Så setter vi inn første likning E 0 F + 3E E 1 E 6 F 14 F + E 40 1 F + 3E 3 F + E 0 (F + E) + E 3 F + E 0 (0) + E 3 E 6 Hvilken metode en bruker spiller liten rolle, så lenge en husker å sjekke om svarene sine gir mening. Om du kommer frem til at prisen for en flaske vann er -43 kroner, bør du se over regningen. 1

6 b) skriv så enkelt som mulig Vi husker på potensreglene våre nemlig at a b c b c a (b c ) 1/a oppgaven en del. Vi benytter nå disse reglene på oppgaven: 3 8 ( b 1/a) c Dette forenkler ( ) 1/ c) Dersom vinklene i en trekant er 30, 60 og 90, er hypotenusen dobbelt så lang som den korteste kateten. Bruk dette til å finne sin 30 Her kan de være lurt å lage tegning. Vi kaller katetene for henholdsvis K1 og K. Sinus er definert som motsatt delt på hypotenusen. Utifra figur ser vi at sin(30 ) opposite hypotenuse K K 1 d) Eva har èn pakke blåbærgelè, to pakker kiwigelè, to pakker sitrongelè og tre pakker bingebærgelè. Hun tar tilfeldig to pakker gelè 1. Hva er sannsynligheten for at den første pakken hun tar, er kiwigelè? Sannsynlighet er her definert som ønskelige utfall delt på mulige utfall. I vårt tilfelle har vi to pakker vi vil ha, og åtte mulige pakker. Dette gir P (Blåbærgelè) ønskelige mulige %. Hva er sannsynligheten for at hun tar to pakker kiwigelè? Det mange elever glemmer er at når en trekker en kiwipakke så blir det færre pakker igjen. Første gang hun trekker så er det P (B) 8 mens neste gang så har vi syv pakker å trekke fra, og en pakke med kiwigelè. Altså P (B B) 1 7. Den totale sannsynligheten for å trekke pakker med kiwigele blir dermed P (B B) P (B) P (B B) Hva er sannsynligheten for at hun tar èn pakke kiwigelè og èn pakke blåbærgelè?

7 En vanlig feil er at en glemmer at det er flere måter å trekke en blåbærpakke og en kiwikpakke på. Her kan vi enten først trekke en kiwigele pakke, også blåbærgele. Eller vi kan først trekke en pakke blåbærgele også en pakke kiwigele. Men husk at vi har to pakker kiwigele! Altså har vi fire ønskelige utfall. Blåbærgele og kiwi 1 Blåbærgele og kiwi kiwi 1 og blåbærgele kiwi og blåbærgele Vi har 56 mulige utfall, siden vi først har 8 pakker å velge mellom, også 7. Som gir Sannsynligheten blir dermed P (B K) ønskelige mulige En annen måte å tenke på dette problemet er vist under. Vi deler det opp i to tilfeller: ett hvor vi trekker kiwi først og ett hvor vi trekker blåbær først. Summen av disse to tilfellene gir oss den totale sannsynligheten. P (B K) Vi velger her også å vise en mer mekanisk metode å løse problemet på. Dette lærer en mer om i R1 kurset. Problemet her handler om utvlelging uten tilbakelegging, og vi kan da bruke hypergeometrisk fordeling. P (B K) ( )( )( ) ( ) e) Skriv så enkelt som mulig x 8x + 16 x 16 Kvadratsetningene er lurt å kunne her. Disse sier at sier at (a + b) a + ab + b (a b) a ab + b a b (a b)(a + b) Bruker vi disse reglene ser vi at stykket vårt kan bli omskrevet slik x 8x + 16 x 16 x x x 4 Bruker vi nå andre kvadratsetning på teller, og tredje kvadratsetning på nevner får vi (x 4) (x 4)(x + 4) (x 4) (x 4) (x 4)(x + 4) x 4 x + 4 3

8 ( ) f) Regn ut 8 Her er det flere veier til rom som vanlig, den enkleste metoden er å huske på regnereglene vi har for kvadratrøtter. Nemmlig at ab a b. Og det er stort sett det vi trenger for å løse oppgaven. Dette bruker vi for å skrive om 8 ( 8 ) ( 4 ) ( 4 ) ( ) Den andre metoden er å gange ut parentesen. Litt mer strevsom men gir selvfølgelig samme svar. (Andre kvadratsetning) ( 8 ) ( ) g) De gamle egypterene påstod følgende: For å finne arealet av en sirkel kan du først multiplisere diameteren med 8 9 opphøye resultatet du får, i andre. Vis at egypterene brukte verdien for π og så Opplysningene i begynnelsen gir at arealet av en sirkel er gitt som A ( 8 9 d) d Vi vet også at arealet av en sirkel er πr. Setter vi disse to lik hverandre får vi A A ( 8 πr 9 d ( ) d π d π d d π ) Oppgave (8 poeng) Funksjonen f er gitt ved f(x) x + x 8. a) Finn nullpunktene til f ved regning. Det finnes mange måter å finne nullpunktene til denne funksjonen på. Dersom et polynom bare har heltallsrøtter vil disse alltid være faktorer i konstantleddet. Så mulige nullpunkter blir dermed 8, 4,, 1, 1,, 4, 8. Herfra ser vi raskt at x f(x) Altså er nullpunktene til f,x 4 og x. En alternativ metode er som følger: Anta at vi har en funksjon på formen f(x) x + bx + c da kan f skrives som f(x) (x + n)(x + m) x + (n + m)x + nm dersom det finnes to heltall n og m slik at n + m b og nm c. Så i praksis så må vi se om likningsettet nm 8 n + m 4

9 Har heltallsløsninger, dette er heldigvis enkelt. Vi skriver bare opp alle to tall vi kan gange sammen for å få 8 og ser om summen av noen av disse blir. ( 1)(8) 8 og ( 8)(1) 8 og ( 4)() 8 og 4 + ( )(4) 8 og + 4 Altså ser vi at vi at n og m 4. Så vi kan skrive f(x) x + x 8 (x )(x + 4) så løsningene blir x og x 4. Den siste metoden blir å bruke andregradsformelen. Denne metoden bør være siste metoden en prøver på, da den er tregere enn metodene nevnt ovenfor. Løsningene til en funksjon på formen. ax + bx + c er gitt som x b ± b 4ac. a I vårt tilfelle så er a 1, b og c 8. Innsetning gir da x b ± b 4ac a x ± 4(1)( 8) (1) x ± x ± 6 x 1 ± 3 x 4 x Løsningen er til f er dermed x og x 4 b) Bruk f (x) til å finne eventuelle ekstremalpunkter på grafen til f. Den deriverte gir stigningstallet til en funksjon, altså hvor mye en funksjon stiger eller synker i et gitt punkt. Vi vet at i et toppunkt eller bunnpunkt så vil stigningstallet være null. For å finne eventuelle ekstremalpunkter trenger vi dermed bare å løse likningen f (x) 0. Vi trenger bare en derivasjons-regel for å løse denne oppgaven, nemlig at. (x n ) n x n 1 så f(x) x + x 8 f (x) x + 0 x + x 1 f( 1) 9 Vi kan finne ut om dette punktet er et toppunkt, eller bunnpunkt på tre forskjellige måter. Vi kan ta dobbelderivert testen. Dersom vi vet at f (x 1 ) 0 så er x 1 et toppunkt dersom f (x 1 ) < 0 og bunnpunkt dersomf (x 1 ) > 0, og et terrasepunkt dersom f (x 1 ) 0 (for å se det siste tilfelle se på f(x) x 3 når x 0) Her har vi at f (x) så ( 1, 9) er et bunnpunkt. Fortegnslinjen sier det samme 1 0 (x + 1) 0 f (x) x + 0 x Vi kan også finne x-koordinatene til ekstremalpunktet noe lettere. Ekstremalpunktet til en andregradsfunksjon vil alltid ligge midt mellom nullpunktene, altså ( 4 + )/ 1. 5

10 c) Lage en skisse av grafen til f. Her kan vi først som vanlig lage en liten verditabell, også kan vi også markere av nullpunktene og ekstremalpunktet. Det å tegne grafen til funksjonen er uansett veldig lurt. Da er det lett å sjekke om svarene en tidligere har kommet frem til virker logiske. Så figuren blir seende slik ut. x f(x) y 4 0 x Funksjonen g er gitt ved g(x) x + 1 Grafen til f har en tangent som er parallell med grafen til g. d) Finn likningen for denne tangenten Dersom tangenten er parallell med grafen til g, betyr det at de har samme stigningstall. Vi kan dermed finne ut når f har samme stigningstall som g. f (x) g (x) x + x 0 f(0) 8 Altså har vi stigningstallet, og et punkt funksjonen går gjennom. Vi kan da bruke ettpunktsformelen. y a(x x 1 ) + y 1 y (x 0) 8 y x 8 Altså er en tangent til f som er parallell med g gitt som y x 8 6

11 Del Med hjelpemider Oppgave 3 (6 poeng) Markiseduk 0.8 m L Vindu 1.6 m v 0.8 m Arm Solstråle u Fredrik har montert en markise for å hindre sollys fra å komme inn gjennom et vindu. Tegningen ovenfor viser vindu og markise sett fra siden. a) Regn ut lengen L av markiseduken når markisens armer ligger vannrett, dvs når v 90 Fredrik ønsker at markisen skal ta bort alle solstråler når u 0 b) Forklar at da må 140 c) Regn ut lengden L når v 140 7

12 Oppgave 4 (6 poeng) I 009 gjennomførte TNS Gallup en undersøkelse på oppdrag fra Kunnskapsdepartementet. Undersøkelsen viste at 16% av elevene som gikk siste året på videregående skole, kunne tenke seg å bli lærere. Anta at andelen er like stor i dag. Vi velger tilfeldig 0 elever som går siste året på videregående skole. a) Hva er sannsynligheten for at ingen av elevene kan tenke seg å bli lærere? Her kan vi tenke litt hva sannsynligheten for at en elev ville ikke vil bli lærer. Vi antar at enten vil en elev bli lærer, eller så vil en elev ikke bli lærer. Siden det er 16% sannsynlighet for at en elev vil bli lærer, må det bety at det er % som ikke vil bli lærere. Sannsynligheten for dette blir dermed P (0) ( 1 16 ) ( ) Alternativt kan vi bare burke binomialformelen. Vi kan bruke denne formelen siden vi antar at sannsynligheten er uavhengige av hverandre, og konsant. Binomialformelen ser slik ut ( ) n P (k) (ρ) k (1 ρ) n k k Formelen er i praksis veldig grei å forstå. De to siste leddene gir sannsynligheten for at et gitt utfall skjer, mens første delen gir antall måter det kan skje på. Her ser vi at det bare er en måte at ingen elever vil bli lærere. Nå vet vi også la oss si vi kaster en mynt 5 ganger, og vi ønsker 3 kron. Det betyr jo at resten av kastene må ende i mynt. Her ser vi at derom vi velger 0 elever, og k elever ønsker å bli lærere, må 0 k elever ikke ønske å bli lærere. ( ) n P (k) (ρ) k (1 ρ) n k k ( ) ( ) k ( k ( ) ( ) k ( ) 0 k k 5 5 ( ) ( ) 0 ( ) P (0) ) 0 k ( ) % 5 b) Hva er sannsynligheten for at akkurat to av elevene kan tenke seg å bli lærere? Her er det raskeste å bare bruke binomialformelen igjen ( ) ( ) k ( ) 0 k P (k) k 5 5 ( ) ( ) ( ) P () [10 19] % c) Hva er sannsynligheten for at minst fire av elevene kan tenke seg å bli lærere? Igjen her er det flere metoder å tenke seg til svaret på. Ved hjelp av lommeregner kan vi hurtig rene ut dette. Dette gir oss at P (k 4) 0 k4 ( ) ( ) k ( ) 0 k k % 8

13 Eller vi kan regne ut den komplementære sannsynligheten. La oss si vi har en hendelse A, sannsynligheten for at A inntreffer kan vi skrive som P(A). Sannsynligheten for at A ikke inntreffer kan vi skrive som P (A). Enten så skjer A eller så skjer ikke A. Vi vet at summen av alle sannsynlighetene er 1. Så P (A) + P (A) 1 P (A) 1 P (A). Altså er det noen ganger lettere å regne med 1 - noe ikke skjer Enn å regne ut sannsynligheten for at noe skjer. Eksempelvis så har vi her at. P (0) + P (1) + P () + P (3) + + P (19) + P (0) 1 P (0) + P (1) + P () + P (3) + P ( 4) 1 P ( 4) 1 [P (0) + P (1) + P () + P (3)] I vårt tilfelle så er det greiere å regne ut høyresiden enn venstresiden. Selv om vi bruker kalkulator for å beregne begge. For å regne høyresiden må vi regne sammen 17 utfall. Mens på høyresiden slipper vi billig unna med 3. (Siden vi allerede har regnet ut P (0)) så P (X > 4) 1 [P (0) + P (1) + P () + P (3)] % Oppgave 5 (6 poeng) Et fly har en gjennomsnittshastighet på 600 km/h når det ikke er vind. Hastigheten øker i medvind og avtar i motvind: Gjennomsnittshastighet i medvind 600 km/h + vindhastigheten Gjennomsnittshastighet i motvind 600 km/h vindhastigheten En dag skal flyet dra til et sted som ligger 1050 km borte. Der snur det og drar tilbake uten å lande. Flyet har medvind på vei til stedet og motvind på vei tilbake. Vi ser bort fra den ekstra tiden det tar å snu. Vindhastigheten denne dagen er 100 km/h. a) Vis at hele flyturen tar 3 timer og 36 minutter. Flyturen består av to deler, når vi flyr i medvind og når vi flyr i motvind. Vi vet at når en beveger seg med konstant fart så er s vt så Tid tid frem + tid tilbake s 1 + s v 1 v For å gjøre brøken 3 5 om fra timer til minutter, kan vi enten utvide brøken som vi har gjort. Eller vi kan gange med 60. Altså tar hele flyturen 3 timer og 36 minutt. b) Lag et koordinatsystem der x-aksen viser hvor lang tid flyet har vært i luften, og y- aksen viser avstand fra startstedet. Tegn en graf som viser flyets avstand fra startstedet som funksjon av tiden. I resten av oppgaven antar vi også at flyet skal dra til et sted og tilbake uten å lande. Flyet har medvind på vei til stedet og motvind på vei tilbake. Vi ser bort fra tiden det tar å snu. Vindhastigheten er 100km/h. Flyet har drivstoff nok til å holde seg på vingene i 8 timer. 9

14 1,100 1, y 700x (x 1.5) x c) Hvor langt kan flyet maksimalt dra før det må snu? La oss kalle strekningen flyet kan reise for s, da vil den bruke halve denne strekningen på turen frem, og det samme tilbake igjen. Vi kan kalle tiden den reiser fremover for t 1 og tiden den bruker tilbake igjen for t. Her er det viktig å presisere at t 1 og t er forskjellige siden vi har motvind og medvind. Vi kan dermed sette opp tre likninger som følger s t s t 500 t 1 + t 8 Vi kan sette de to øverste likningene lik hverandre t t 500 Så benytter vi at t 8 t 1 på høyre side av likningen. t (8 t 1 ) 500 t t 1 t Innsetning i første likning gir nå at s t Flyet kommer altså 3 3.3km før det må snu. 10

15 Oppgave 6 (6 poeng) Funksjonen f er gitt ved f(x) x 3 3x + a a) Finn f (x) og bruk den deriverte til å finne topp- og bunnpunkter på grafen til f når a og når a 5. Her kan vi bruke, en av derivasjonsreglene våre som sier at (x n ) n x n 1. Den deriverte gir stinginstallet til funksjonen, og stigningstallet til en konstant er alltid null. Den deriverte blir dermed f(x) x 3 3x + a f (x) 3 x x f (x) 3x 6x 3x(x ) Den deriverte gir som sagt stigningstallet til en funksjon, og stigningstallet i et topp og bunnpunkt er null. Så dersom vi løser f (x) 0 kan vi finne disse punktene. f(x) x 3 3x + a f (x) 0 3x(x ) 0 x 0 x f(0) a, f() a 4 Nå kan vi enten se på den dobbelderiverte for å finne topp, og bunnpunkt. Eller se på den dobbelderiverte. Vi velger først å se på siste metode. Anta at vi vet at f (x 1 ) 0 for en eller annen x-verdi. Dersom f (x 1 ) > 0, da er x 1 et bunnpunkt, dersom f (x 1 ) < 0 er x 1 ett toppunkt, og tilslutt nevner vi at dersom f (x 1 ) 0 er x 1 et terrasepunkt. (For eksempel på sistnevnte se på f(x) x 3 når x 0) Vi ser at f (x) 6x 6, f(0) < 0, f() > 0 Altså er (0, a) et toppunkt og (, a 4) et bunnpunkt. Eventuelt ser vi på fortegnslinjen til f (x). Denne viser hvor grafen stiger og synker x 0 x 0 f(x) 3x 6x 0 0 x Her ser vi at funksjonen stiger frem til x 0 også synker den frem til x før den igjen stiger. Altså er x 0 et toppunkt, og x er ett toppunkt. Når a er toppunktet (0, ) og bunnpunktet er (0, 6) Når a 5 er toppunktet (0, 5) og bunnpunktet er (0, 1) b) 1) Finn stigningstallet til tangenten til f i punktet (1, f(1)) når a, og når a 5. Stigningstallet til en funksjon i et punkt er bare den deriverte. Så det neste vi trenger er å regne ut den deriverte f(x) x 3 3x + a f (x) 3x 6x Vi ser at den deriverte er uavhengig av a-verdien, dermed er stigningstallet til f i punktet (1, f(1)) alltid 3 for alle a. ) Forklar hvorfor tangentene til grafene til f i punktet (1, f(1)) er parallell for alle verdier av a. 11

16 Her ser vi at a er en konstant, og når vi forandrer konstantleddet til en funksjon skifter vi funksjon opp og ned x-aksen. Dette kommer klarere frem om vi tegner funksjonen for ulike verdier av a. c) For hvilke verdier av a har likningen f(x) 0 nøyaktig èn løsning? En odde funksjon krysser alltid x-aksen minst en gang. En odde funksjon krysser alltid x-aksen et odde antall ganger. Skriver vi om funksjonen i eksempelet vårt ser vi at ( f(x) x 3 3x + a x x + a ) x 3 Så når x vokser mot uendelig går funksjonen mot uendelig, mens når x blir veldig liten og vokser mot minus uendelig, synker funksjonen mot minus uendelig. Så dette fører til at funksjonen uansett krysser x-aksen en gang. Men når krysser funksjonen x-aksen flere ganger? Jo funksjonen krysser x-aksen flere ganger dersom topp og bunnpunktet er på hver sin side av x-aksen. Igjen disse tingene ser en klarere om en tegner funksjonen Topp og bunnpunktet har vi allerede funnet til funksjonen, og denne avhenger bare av a. Toppunktet (0, a) og bunnpunktet er (0, a 4) Så funksjonen krysser x-aksen bare en gang dersom a < 0 og a 4 < 0 eller at a > 0 og a 4 > 0. Dette er det samme som at a < 0 eller a > 4. Noe som vi igjen kan klarer se, derom vi tegner funksjonen for ulike a-verdier. 4 y x 3 3x 1 x 3 3x + 0 x 3 3x + x 3 3x + 4 x 3 3x x

17 Oppgave 7 (8 poeng) Strekningen s meter en jernkule som slippes, faller i løpet av tiden t sekunder, er gitt ved s 4.9 t Oslo Plaza, en av Norges høyeste bygninger, er ca. 117m høy. Tenk deg at en jernkule slippes fra toppen av Oslo Plaza. a) Hvor lang tid vil det ta før kulen treffer bakken? Bygningen er 117 meter, dermed treffer kulen bakken etter den har reist avstanden 117m. Vi har en formel for å finne tiden det tar for ballen å reise en strekning s. Så vi kan dermed løse likningen s t t Altså tar det 4.9 sekunder for ballen og treffe bakke. For å løse de neste oppgaven lager vi en ny funksjon, definert som h(t) t b) Hvor langt faller kulen i løpet av det første sekundet? Hvor langt den faller i løpet av det første sekundet er gitt som h(0) h(1) 4.9m Grunnen til at vi her bruker h(0) h(1) er for å få svaret vårt positivt. Hvor langt faller kulen i løpet av det andre sekundet? Hvor langt faller kulen i løpet av det tredje sekundet? Tenk deg at en person slipper en jernkule fra toppen av Oslo Plaza. Et sekund senere slipper en annen person, som står ved et vindu 10 m nedenfor toppen, en tilsvarende jernkule. c) Bruk for eksempel resultatet i b) til å forklare at kulen som slippes fra toppen, tar igjen kulen som slippes fra vinduet. d) Hvor lang tid går det fra den første kulen slippes, til de to kulene er i samme høyde? Hvor høyt over bakken er kulene da? 13

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 26.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 26.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 28.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 28.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Høst 28.11.2011 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 27.01.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 27.01.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 27.01.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag R2 Eksamen 21.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R2 Eksamen 21.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R2 Eksamen 6 Vår 21.05.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 29.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 29.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Høst 29.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Vår 31.05.2011 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2010. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2010. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 4.11.010 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Vår 19.05.010 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen 31.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen 31.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Vår 31.05.01 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen 25.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen 25.05.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Vår 25.05.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Eksamen 23.11.2011. MAT1008 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 23.11.2011. MAT1008 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 23.11.2011 MAT1008 Matematikk 2T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar.

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010 Eksamen REA6 S, Høsten Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) x 7 x 6 6 x6 x 6 7 6 6 6 x 7 x

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2012 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2012 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 01 1T DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Skriv så enkelt som mulig x 9 x 6 Vi må faktorisere både teller og nevner. Så kan vi forkorte felles faktorer. Da får vi: x 9 x x 6 a) 4a4 b

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning R1 Eksamen, høsten 009 Løsning R1 Eksamen høsten 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 3 a) Deriver funksjonen f( x) 5e x f( x) 5e 3 15e 3 x 3x b) Deriver funksjonen gx x 3 ln x x x g( x) 3x ln x x 3 x 3ln 1 3 c)

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010 Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen Løsningsforslag eksamen T våren 00 DEL Oppgave a) Funksjonen f er gitt ved f 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f 3 Grafen y 0 8 6 4-4 -3 - - 3 4 - -4 Nullpunkt 3 0 3 Nullpunkt når 3 b) Løs likningen

Detaljer

Hjelpemidler på Del 2 Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Hjelpemidler på Del 2 Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Eksamen 1T, Våren 2010

Eksamen 1T, Våren 2010 Eksamen 1T, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Funksjonen f er gitt ved f x x 3 Tegn grafen

Detaljer

Løsningsforslag for 2P våren 2015

Løsningsforslag for 2P våren 2015 Del 1 Oppgave 1 Sortert i stigende rekkefølge blir det: 4 5 6? 10 12 Medianen, som er 7, skal ligge midt mellom de to midterste tallene 6 og det ukjente tallet, som derfor må være 8. Oppgave 2 Opprinnelig

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Løsningsforslag eksamen høsten 2010. DEL 1: Uten hjelpemidler. Oppgave 1

Løsningsforslag eksamen høsten 2010. DEL 1: Uten hjelpemidler. Oppgave 1 Løsningsforslag eksamen høsten 2010 DEL 1: Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Løs likningssystemet y 4 3 y 8 y 4 y 4. Setter inn i den andre likninga: 3 4 8, får 3 y 4 3 1 3 y 1 b) Løs likningen 1 4 2 2 5

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i REA3026 Matematikk S1-08.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i REA3026 Matematikk S1-08.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i REA306 Matematikk S1-08.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i S1 er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Oppgaver i funksjonsdrøfting

Oppgaver i funksjonsdrøfting Oppgaver i funksjonsdrøfting To av oppgavene er merket med *. Det betyr at de er ekstra interessante. Oppgave 1 Gitt funksjonen f(x) = x + 4. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Løsningsforslag matematikk S1 V14

Løsningsforslag matematikk S1 V14 Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2

Detaljer

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a)

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a) R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( )

Detaljer

Matematikk R1 Forslag til besvarelse

Matematikk R1 Forslag til besvarelse Matematikk R1 Forslag til besvarelse NITH 4. mars 014 Oppgave 1 a) Regn ut p x) når px) = x 3 3x + 6x 1. p x) = x 3 ) 3x ) + 6x) 0 = 3x ) 3x) + 6 1 = 6x 6x + 6 b) Regn ut p x) når px) = ax + bx + c. Her

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

Løsning eksamen 1T våren 2010

Løsning eksamen 1T våren 2010 Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x

Detaljer

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor eksamensoppgaver.org 5 oppgave1 a.i.1) 2 10 x = 700 10 x = 700 2 x lg(10) = lg(350) x = lg(350) a.i.2) Vibrukerfortegnsskjema 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor x 1, 5 a.ii.1)

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA mai 2006

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA mai 2006 Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-3. mai 2006 eksamensoppgaver.org September 21, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål Eksempel på løsning 011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 010 Bokmål MAT1013 Matematikk 1T, Høst 010 Del 1 Uten hjelpemidler Kun vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Oppgaver om derivasjon

Oppgaver om derivasjon Oppgaver om derivasjon Oppgave 1 Gitt funksjonen g(x) = x 3 6x 48x + 13 a) Finn g (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene,

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX desember eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX desember eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 08. desember 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015 CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007 Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA022 - Desember 200 eksamensoppgaver.org October 2, 2008 eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksempeloppgave i R1

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Eksamen MAT 104 BOKMÅL

Eksamen MAT 104 BOKMÅL Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning Eksamen MAT 104 BOKMÅL Emnekode: MAT104 - løsningsforslag Eksamen Tid: timer Dato: 22..201 Hjelpemidler: Kalkulator, gradeskive, passer og skrivesaker

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

Eksamen 19.05.2010. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 19.05.2010. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 19.05.010 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer: Del 1 skal

Detaljer

Del 1. 3) Øker eller minker den momentane veksthastigheten når x = 1? ( )

Del 1. 3) Øker eller minker den momentane veksthastigheten når x = 1? ( ) Del Oppgave a) Deriver funksjonen f( x) = x cos( x) b) Deriver funksjonen ( ) ( 4 x f x = e + ) c) Gitt funksjonen f( x) = x 4x + x+ ) Ligger grafen over eller under x-aksen når x =? ) Stiger eller synker

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 1MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer.

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer. Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 007 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 4 Vedlegg Tillatte hjelpemidler Sirkelskive i radianer Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

eksamensoppgaver.org 4 2e x = 7 e x = 7 2 ln e x = ln 2 x = ln 7 ln 2 ln x 2 ln x = 2 2 ln x ln x = 2 ln x = 2 x = e 2

eksamensoppgaver.org 4 2e x = 7 e x = 7 2 ln e x = ln 2 x = ln 7 ln 2 ln x 2 ln x = 2 2 ln x ln x = 2 ln x = 2 x = e 2 eksamensoppgaver.org 4 oppgave a..i) e x = 7 e x = 7 ( ) 7 ln e x = ln x = ln 7 ln a..ii) ln x ln x = ln x ln x = ln x = x = e a..i) cos x =.8 x [, 6 ] x = arccos(.8) x 6.9 x 6 6.9 x 6.9 x. a..ii) Løserdennemedabc-formelen

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Løsningsforslag. Høst Øistein Søvik

Løsningsforslag. Høst Øistein Søvik Eksamen R Løsningsforslag Høst 0..0 Øistein Søvik Del Oppgave a ) ) f x x ex Her bruker vi regelen som sier at uv ' u ' v uv ' u x, u ' og v e x, v ' e x f ' x ex x ex f ' x x ex f ' x x e x Oppgave )

Detaljer

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform

Detaljer

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 01 Oppgave 1 (1 poeng) Per har lest 150 sider i en bok. Dette er 0 % av sidene i boka. Hvor mange sider er det i boka? Går «veien om 1»: 150 1% 5 0 100% 5 100 500

Detaljer

Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i S1 er gratis, og det er

Detaljer

Eksamen REA3024 Matematikk R2

Eksamen REA3024 Matematikk R2 Eksamen 03.1.009 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:

Detaljer

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4 3/8/06 T 0 høst LØSNING - matematikk.net T 0 høst LØSNING Contents Diskusjon av denne oppgaven Løsning av del Matteprat spørsmål om oppgave 6 del DEL EN Oppgave 5000000000 0, 0005 =, 5 0 0 5 0 =, 5 0 6

Detaljer

1T 2014 vår LØSNING 9 1 2 6 0 4 1 3 ( 3 2 ) 1 1 = 3. 3 + x = 5 x = 2. + 8x + c = 16 DEL EN. Oppgave 1: Oppgave 2: Oppgave 3: Oppgave 4: Oppgave 5:

1T 2014 vår LØSNING 9 1 2 6 0 4 1 3 ( 3 2 ) 1 1 = 3. 3 + x = 5 x = 2. + 8x + c = 16 DEL EN. Oppgave 1: Oppgave 2: Oppgave 3: Oppgave 4: Oppgave 5: 1T 014 vår LØSNING Contents Oppgaven som pdf Tråd om denne oppgaven på Matteprat Enda en tråd om denne oppgaven på Matteprat Løsning laget av Nebu DEL EN Oppgave 1:, 5 10 15 3, 0 10 5 7, 5 10 15+( 5) 7,

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 215 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 217 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 3 + 2x. Formelen vi må bruke er (x n ) =

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Origo er skjæringspunktet mellom x-aksen og y-aksen. Koordinatene til origo er altså. (0, 0) b Førstekoordinaten til

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Eksamen 21.05.2013. Del 1. MAT0010 Matematikk. Del 1 + ark fra Del 2. Bokmål

Eksamen 21.05.2013. Del 1. MAT0010 Matematikk. Del 1 + ark fra Del 2. Bokmål Eksamen 1.05.013 MAT0010 Matematikk Del 1 Skole: Bokmål Kandidatnr.: Del 1 + ark fra Del Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt: Del

Detaljer

Eksamen 27.01.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 27.01.2012. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 27.01.2012 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Skriv tallet 2460000 på standardform. b) Regn ut: 3 3 3 2 81 4 + 12 5 + 8 + 4 3 c) Løs likningssystemet: 2x y = 3 x+ 2y = 4 d) Løs ulikheten: 2 2x + 2x+ 4 0 e) Løs

Detaljer

Oppgavesett med fasit

Oppgavesett med fasit TIL ENT3R ELEVENE Oppgavesett med fasit Tommy Odland Sist oppdatert: 1. november 2013 http://is.gd/ent3rknarvik http://tommyodland.com/ent3r 1 INNHOLD 1 Om dette dokumentet 3 1.1 Formål og oppbygging..................................

Detaljer

eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir

eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir x, 5 2, eksamensoppgaver.org 5 a.ii) Vi har ulikheten og ordner den. 10 x 2

Detaljer

DEL1 Uten hjelpemidler

DEL1 Uten hjelpemidler DEL1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Brukopplysningenenedenfortilåfinneuthvaénballkoster,oghvaén hockeykølle koster. 500 kroner 100kroner b) Figuren viser grafene til tre andregradsfunksjoner f, g og h.

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL Uten hjelpemidler Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) 7 + + = 6 3 6 ) = 0 b) Løs likningssystemet y= y+ = 3 c) ) Løs likningen 3 = 4 ) Finn en formel for når y = a b d) Vi har gitt funksjonen: (

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012 Eksamen REA306 S1, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) 8 8 0 1 1 4 1 8 4 3 6

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6 Oppgave 1 (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. (ii) Skriv 314 100 og 4 5 (iii) Forkort brøkene som desimaltall. 12 15 og 3x 6 9x. (iv) Sorter disse seks tallene

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 15 5,5 10 3,0 10 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig 1 0 1 3 9 6 4 8 Oppgave 3 (1 poeng) Løs

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2014

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2014 Eksamen MAT1005 Matematikk P-Y Høsten 014 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 0,0003 500000000 0,00,0 10,0 4 8 3,0 10 5,0 10 3,0 5,0 4 8 ( 3) 7 3 10 7,5 10 Oppgave (1 poeng) Prisen

Detaljer

Eksempeloppgave 2008. REA3024 Matematikk R2. Bokmål

Eksempeloppgave 2008. REA3024 Matematikk R2. Bokmål Eksempeloppgave 008 REA04 Matematikk R Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer:

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (14 poeng) a) Skriv så enkelt som mulig x x 5 10x 5 b) Løs likningen x 1 3 1 c) Skriv så enkelt som mulig a a 1 4 3 4 a 3 a d) Gitt ABC ovenfor. AB 5,0, AC 3,0 og BC 4,0.

Detaljer

Eksamensoppgaver med funksjoner

Eksamensoppgaver med funksjoner Eksamensoppgaver med funksjoner Oppgave 1 - V 013 A r r r (A r er lik formelen for omkretsen av en sirkel!) V r 4 3 3r 4 r (V r er lik formlen for overflaten av en kule!) Oppgave 6 - V013 f x x 3 6x f

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3022 Matematikk R1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3022 Matematikk R1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 014 REA30 Matematikk R1 Eksempel på eksamen våren 015 etter ny ordning Ny eksamensordning Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy

Detaljer

Eksamen S1, Høsten 2013

Eksamen S1, Høsten 2013 Eksamen S1, Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f

Detaljer

Bokmål. Eksamensinformasjon

Bokmål. Eksamensinformasjon Eksamen 27052010 REA022 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på del 1: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer: Del

Detaljer

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka E Bruker formelen cos 36 cos( 8 ) E sin 8 v og sin8 5 cos v sin sin8 5 5 6 5 5 8 5 5 8 6 5 8 6 5 8 8 3 5 5 5 a f ( ) sin 5 cos f ( ) 5cos

Detaljer

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra kompetansemålet: Funksjoner - undersøkje funksjonar som beskriv praktiske situasjonar, ved å fastsetje nullpunkt, ekstremalpunkt og skjeringspunkt og tolke den praktiske verdien av resultata. Oppgave 1

Detaljer

Løsningsforslag. f(x) = 2/x + 12x

Løsningsforslag. f(x) = 2/x + 12x Prøve i FO929A - Matematikk Dato: august 212 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (2 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

JULETENTAMEN 2016, FASIT.

JULETENTAMEN 2016, FASIT. JULETENTAMEN 2016, FASIT. DELPRØVE 1. OPPGAVE 1 709 + 2598 = 3307 540-71 = 469 c: 2,9. 3,4 116 870 9,86 d: 30,6 : 0,6 = 306 : 6 = 51 30 6 6 OPPGAVE 2 440 kr 4 = 110 kr c: 7 4 7 2 = 7 4+2 =7 6 (Godtar også:

Detaljer

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 50 a Vi ser at grafen har et toppunkt i (11, 380). Det var altså flest besøkende 11. juni. Antall besøkende var da 380. b Vi ser at grafen har

Detaljer