Funksjoner og andregradsuttrykk
|
|
- Ludvig Edvardsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 88 4
2 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritme funksjoner både ved regning og med digitale hjelpemidler omforme en praktisk problemstilling til en likning, en ulikhet eller et likningssystem, løse dette og vurdere gyldigheten av løsningen gjøre rede for funksjonsbegrepet og tegne grafer ved å analysere funksjonsbegrepet beregne nullpunkter, skjæringspunkter og gjennom snittlig veksthastighet, finne tilnærmede verdier for momentan veksthastighet og gi noen praktiske tolkninger ved disse aspektene bruke digitale hjelpemidler til å drøfte polynomfunksjoner, rasjonale funksjoner, eksponentialfunksjoner og potensfunksjoner
3 4.1 Funksjonsbegrepet Vi kaster en stein opp i lufta. Etter t sekunder er steinen y meter over bakken, der y er gitt ved formelen y = 5t + 0t Etter 3 s er høyden y = = 15 Steinen er 15 m over bakken etter 3 s. Når vi kjenner t, kan vi regne ut en bestemt verdi for y. Vi sier at høyden y er en funksjon av tida t. y er en funksjon av x hvis hver mulig verdi av x gir nøyaktig én verdi av y. Steinen har samme høyde over bakken to ganger, på vei opp og på vei ned. Steinen er 15 m over bakken etter 1 s og etter 3 s. Når vi kjenner høyden y, kan vi ikke fastsette én bestemt verdi for tida t. Tida t er dermed ikke en funksjon av høyden y. Uttrykket 5t + 0t kaller vi funksjonsuttrykket til funksjonen. Vi bruker ofte en egen skrivemåte for et funksjonsuttrykk. Når y er høyden, kaller vi gjerne funksjonsuttrykket h(t) og skriver h(t) = 5t + 0t Her er h den første bokstaven i ordet høyde. Vi sier også at funksjonen h er gitt ved h(t) = 5t + 0t Når vi skal finne høyden etter 1 s, skriver vi h(1) = = 15 Høyden etter s er h() = = 0 Tallene 15 og 0 kaller vi funksjonsverdier. Vi regner ut flere funksjonsverdier og samler dem i en tabell: t h(t) Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk
4 Så tegner vi grafen til funksjonen h. Langs førsteaksen finner vi variabelen t. Langs andreaksen finner vi funksjonsverdiene. Vi setter så av alle punktene fra tabellen i koordinatsystemet og trekker en glatt kurve gjennom dem. Det er grafen til funksjonen h. Vi ser at steinen er tilbake på bakken etter 4 sekunder. Ferden stopper der. Altså må vi forutsette at variabelen t her er et tall mellom 0 og 4. Vi må forutsette at 0 t 4. Det skriver vi ofte på denne måten: m 0 15 y h t [0, 4] Symbolet leser vi tilhører eller er element i. [0, 4] kaller vi et intervall. Det er alle tallene fra og med 0 til og med 4. Endepunktene er altså med i dette intervallet. Hvis vi ikke vil ha endepunktene med i intervallet, skriver vi intervallet som 0, t s Vi sier at funksjonen h har definisjonsmengden [0, 4], og skriver D h = [0, 4] D er den første bokstaven i definisjonsmengde, og h er navnet på funksjonen. Vi ser at steinen på det høyeste punktet er 0 m over bakken. Med andre ord kan høyden være alle tall fra og med 0 m til og med 0 m. Funksjons verdiene kan dermed være alle tall i intervallet [0, 0]. Dette intervallet kaller vi verdimengden til funksjonen. Vi skriver V h = [0, 0] Hvis en funksjon ikke har noen spesiell praktisk tolkning, bruker vi gjerne x som variabel. Funksjonsuttrykket kaller vi ofte f(x), der f er navnet på funksjonen. EKSEMPEL Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 4x + 3 a) Tegn grafen til f. b) Løs likningen f(x) = 8 grafisk. c) Finn verdimengden til f. 91
5 Løsning: a) Vi regner ut noen funksjonsverdier og samler dem i en tabell: x f(x) Nå markerer vi punktene (x, f(x)) i et koordinatsystem og tegner en glatt kurve gjennom punktene. Vi får denne grafen: y 10 9 f x b) Avlesing av grafen viser at likningen f(x) = 8 har løsningene x = 5 og x = 1 c) Vi ser av grafen at den minste funksjonsverdien er 1. Det er når x =. Verdimengden består dermed av alle tall som er større enn eller lik 1. Vi skriver V f = [ 1, Intervallet [ 1, består av alle tall som er større enn eller lik 1. Å si at y [ 1, er det samme som å si at y 1. Hvis vi for eksempel skal uttrykke at y 3, kan vi skrive at y, 3]. Intervallet, 3] består av alle tall som er mindre enn eller lik 3.? 9 Oppgave 4.10 Regn ut f( ), f(0) og f() når funksjonen f er gitt ved a) f(x) = 3x + b) f(x) = x + x + 3 c) f(x) = x 3 + x 9x + 1 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk
6 ? Oppgave 4.11 Vi skyter opp ei kule. Høyden i meter etter t sekunder er gitt ved h(t) = 5t + 50t a) Tegn grafen til h. b) Når er kula tilbake på bakken? c) Finn definisjonsmengden til funksjonen. d) Finn verdimengden. e) Når er kula 50 m over bakken? Oppgave 4.1 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 6x + 8 a) Tegn grafen til f. b) Bruk grafen til å løse likningen x 6x + 8 = 0. c) Finn verdimengden til f. Oppgave 4.13 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x + x + 8 a) Tegn grafen til f. b) Løs likningen x + x + 8 = 5 grafisk. c) Finn verdimengden til f. Når du skal tegne grafer, trenger du ikke regne ut verdiene i tabellen for hånd. Du kan lage tabellen digitalt. Du kan også bruke digitale hjelpemidler til å få fram hvordan grafen ser ut. Framgangsmåten finner du på nettsidene eller bak i boka.? Oppgave 4.14 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x + 4x 3 a) Tegn grafen til f digitalt. b) Løs likningene digitalt. 1) x + 4x 3 = 0 ) x + 4x 3 = x 7 93
7 ? Oppgave 4.15 En bil kjører med farten v målt i kilometer per time. Utslippet av karbondioksid målt i gram per kilometer er da gitt ved funksjonen C(v) = 0,045v 6,75v a) Tegn grafen til C digitalt når farten er mellom 0 km/h og 10 km/h. b) Hvor stort er utslippet per kilometer når farten er 50 km/h? c) Hvor stor er farten når utslippet er 00 g/km? d) Ved hvilken fart er utslippet lavest mulig, og hvor stort er utslippet da? e) Hvor mange kilogram karbondioksid slipper vi ut når vi kjører fra Bergen til Oslo i 75 km/h med denne bilen? Sett avstanden til 500 km. f) Bilen bruker 0,8 l bensin per mil. En liter bensin veier omtrent 0,8 kg. Hvor mange kilogram bensin bruker bilen på turen fra Bergen til Oslo? Hvordan kan du forklare at utslippet veier mer enn forbruket av bensin? 4. Nullpunkter, bunnpunkter og toppunkter Uttrykkene x + 3 og x + 3x 5 kaller vi polynomer. Uttrykket x + 3 er et polynom av første grad, og uttrykket x + 3x 5 er et polynom av andre grad. Den høyeste eksponenten til variabelen i et polynom kaller vi graden til polynomet. Polynomet x 3 + 3x 6x + 4 er av tredje grad, og polynomet x 4 + x + 4 er av fjerde grad. Når vi skriver polynomer, ordner vi alltid leddene etter graden. Det leddet som har den høyeste graden, skal stå først. Polynomet 4 + x + 3x 3 + 5x skriver vi som 3x 3 + x + 5x + 4. Vi skal nå se på noen funksjoner der funksjonsuttrykket er et polynom. Slike funksjoner kaller vi polynomfunksjoner. I kapittel 4.1 tegnet vi grafen til polynomfunksjonen f gitt ved f(x) = x 4x + 3 Dette er en andregradsfunksjon. Grafen til en slik andregradsfunksjon kaller vi en parabel. Grafen ser du til høyre. De punktene der grafen til en funksjon krysser x-aksen, kaller vi nullpunktene til funksjonen. Nullpunktene er dermed bestemt ved at f(x) = y f Nullpunkt Nullpunkt 4 6 Bunnpunkt (, 1) x 94 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk
8 Funksjonen har dermed nullpunktene x = 1 og x = 3. Funksjonen har et bunnpunkt i det punktet der x = og y = 1. Bunnpunktet har koordinatene (, 1). I et bunnpunkt er funksjonsverdien mindre enn i alle nabopunktene. Vi skal snart se at bunnpunktet ikke trenger å være det laveste punktet på grafen. Andre funksjoner kan ha et toppunkt. Det er et punkt der funksjonsverdien er større enn i alle nabopunktene. Noen funksjoner kan ha både bunnpunkt og toppunkt. EKSEMPEL Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 3 3x a) Tegn grafen til funksjonen. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn bunnpunktet og toppunktet til f. Løsning: a) Vi tegner grafen til f. y 4 Toppunkt 3 ( 1, ) Nullpunkter Bunnpunkt (1, ) f 3 b) Grafen viser at f har nullpunktene x = 0, x = 1,7 og x = 1,7 c) Funksjonen har toppunktet ( 1, ) og bunnpunktet (1, ). x Funksjonen i eksempelet ovenfor har et toppunkt i ( 1, ) og et bunnpunkt i (1, ). Men funksjonen har ikke sin minste verdi i bunnpunktet. Funksjonen har heller ikke sin største verdi i toppunktet. Toppunkter og bunnpunkter er bare lokale topper og bunner. 95
9 Eksempelet på forrige side viser at en tredjegradsfunksjon kan ha tre nullpunkter og både toppunkt og bunnpunkt. Men ikke alle tredjegradsfunksjoner har både toppunkt og bunnpunkt. Grafen til funksjonen f(x) = x 3 ser slik ut: y f x Denne tredjegradsfunksjonen har bare ett nullpunkt og ingen toppunkter eller bunnpunkter. EKSEMPEL Tegn grafen til funksjonen f(x) = x 4 5x + 4. Finn nullpunktene, toppunktet og bunnpunktene grafisk. Løsning: Funksjonen har denne grafen: y f x Funksjonen har fire nullpunkter: x =, x = 1, x = 1 og x = Bunnpunkter: ( 1,6,,) og (1,6,,) Toppunkt: (0, 4) 96 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk
10 ? Oppgave 4.0 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x x 3 a) Tegn grafen til f. b) Finn bunnpunktet til f. Oppgave 4.1 En vinterdag var temperaturen i celsiusgrader x timer etter midnatt gitt ved T(x) = 3 8 x + 1 x 135, x [8, 0] a) Tegn grafen til T. b) Når på dagen var temperaturen 0 C? c) Når på dagen var temperaturen høyest? Hva var temperaturen da? Oppgave 4. Funksjonen g er gitt ved g(x) = x 3 3x + 4 a) Tegn grafen til g. b) Finn nullpunktene til g. c) Finn toppunktet og bunnpunktet til g. d) Finn verdimengden til g. Nullpunkter, bunnpunkter og toppunkter kan vi også finne digitalt. Framgangsmåten finner du på Sinus-sidene eller bak i boka.? Oppgave 4.3 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 3 1x a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn bunnpunktet og toppunktet til f. Oppgave 4.4 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 4 4x a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktene og bunnpunktene. 97
11 ? Oppgave 4.5 Tegn grafen til f digitalt der f(x) = x 5 5x 3 + 4x a) Hvor mange nullpunkter har grafen? b) Hvor mange toppunkter og bunnpunkter har grafen? c) Hvor mange nullpunkter tror du en funksjon av grad n kan ha? d) Hvor mange toppunkter og bunnpunkter tror du en funksjon av grad n kan ha? 4.3 Andregradslikninger med to ledd Likningen x 5x + 6 = 0 er et eksempel på en andregradslikning. Vi skal nå lære å løse slike likninger. Andregradslikningen x 4 = 0 mangler førstegradsledd. Vi løser den på denne måten: x 4 = 0 x = 4 x = eller x = Ofte skriver vi bare x = ± i stedet for x = eller x =. x = ±a betyr x = a eller x = a. EKSEMPEL Løs andregradslikningene. a) x 10 = 0 b) (x ) + 4 = 0 c) x + 3 = 0 Løsning: a) x 10 = 0 x = 10 x = 5 x = 5 eller x = 5 x = ± 5 98 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk
12 b) (x ) + 4 = 0 x = 0 x = 0 x = 0 x = 0 Her får vi bare én løsning, for x = 0 er det eneste tallet som passer i x = 0. c) x + 3 = 0 x = 3 Likningen har ingen løsning. Det fins ingen tall x som er slik at x blir mindre enn null. Tallet x kan derfor ikke bli lik 3, og likningen x = 3 har dermed ingen løsning. I eksempelet foran ser vi at en andregradslikning kan ha to, én eller ingen løsninger.? Oppgave 4.30 Løs likningene. a) x = 9 b) 4x = 0 4x c) 5 = 0 d) x = 4 e) 3x + 1 = 1 Oppgave 4.31 Løs likningene. a) (x + 1) = 10 b) 3x + = x 4 c) (x 1) = 4 d) (x + ) = 1 Oppgave 4.3 a) Et kvadrat har arealet 18 cm. Hvor lange er sidene i kvadratet? b) En sirkel har arealet 1,56 m. Hvor stor er radien i sirkelen? c) En sirkel har det samme arealet som et kvadrat der sidene er 5 cm lange. Finn radien i sirkelen. 99
13 Når vi multipliserer to tall som ikke er null, kan vi ikke få null som svar. Dersom vi vet at produktet av to tall er null, må altså ett av tallene være null. Denne slutningen kaller vi produktregelen. Vi kan uttrykke den slik: Dersom r s = 0, så er r = 0 eller s = 0. Vi bruker produktregelen når vi skal løse andregradslikninger uten konstantledd. EKSEMPEL Løs likningen x 3x = 0 og sett prøve på svaret. Løsning: Vi setter x utenfor en parentes. x 3x = 0 (x 3) x = 0 Når produktet av disse to tallene er null, må ett av tallene være null. x 3 = 0 eller x = 0 x = 3 eller x = 0 Vi får to løsninger: x = 3 og x = 0. Nå setter vi disse verdiene inn i x 3x = 0 for å se om vi har regnet riktig. x = 3 gir x 3x = = 9 9 = 0 x = 0 gir x 3x = = 0 0 = 0 Begge x-verdiene passer.? Oppgave 4.33 Løs likningene og sett prøve på svarene. a) x(x ) = 0 b) x + 3x = 0 c) x 4x = 0 d) 5x + 3x = 0 Oppgave 4.34 Løs likningene grafisk og ved regning. a) x + x + 3 = x + 7 b) x + x + 3 = 4x Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk
14 4.4 Andregradsformelen Ved hjelp av metoden med fullstendige kvadrater kan vi utlede en formel som vi kan bruke hver gang vi skal løse en andregradslikning. Vi kaller den andregradsformelen. Utledningen av formelen finner du på slutten av dette delkapittelet. Andregradslikningen ax + bx + c = 0 har løsningene x = b ± b 4ac a når b 4ac 0. Vi viser nå hvordan vi bruker denne formelen til å løse andregradslikninger. EKSEMPEL Løs andregradslikningene. a) 3x + 5x = 0 b) x 6x = 9 c) x + x + 3 = 0 Løsning: a) Når vi sammenlikner likningen 3x + 5x = 0 med likningen ax + bx + c = 0, ser vi at a = 3, b = 5 og c =. Vi setter inn i andregradsformelen. 3x + 5x = 0 x = 5 ± ( ) 3 5 ± x = 6 5 ± 49 x = 6 x = 5 ± 7 6 x = x = 6 x = 1 3 eller x = eller x = 1 6 eller x = 101
15 b) Vi ordner først likningen slik at vi får 0 på høyre side. Deretter bruker vi andregradsformelen. x 6x = 9 x 6x + 9 = 0 Her er a = 1 fordi x = 1 x. Videre er b = 6, og c = 9. x = ( 6) ± ( 6) x = 6 ± 0 x = x = 3 eller x = 3 x = 3 eller x = 6 0 Denne likningen har bare én løsning. Det kommer av at x 6x + 9 er et fullstendig kvadrat. c) x + x + 3 = 0 a = 1, b =, og c = 3. ± x = ± 4 1 x = ± 8 x = Likningen har ingen løsning. Kvadratrota av 8 fins ikke. Derfor er det ingen løsning på likningen.! Vi kan løse alle typer andregradslikninger med andregradsformelen, også likninger med to ledd. Men slike likninger løser vi enklere med metodene i kapittel 4.3. Vi kan også løse andregradslikninger digitalt. Finn framgangsmåter på nettsidene eller bak i boka.? Oppgave 4.40 Løs andregradslikningene og sett prøve på svaret. a) x 5x + 6 = 0 b) x + x 1 = 0 c) x 4x + = 0 d) x x + = 0 e) 6x 17x + 1 = 0 10 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk
16 ? Oppgave 4.41 Løs likningene. a) x 4x = b) x x = x c) x x + 1 = x + 1 Oppgave 4.4 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x x 3 a) Finn nullpunktene grafisk. b) Finn nullpunktene ved regning. Bevis for andregradsformelen Vi skal nå bevise andregradsformelen. I den generelle andregradslikningen ax + bx + c = 0 er a, b og c tre tall, og a er ikke lik 0. Vi omformer først likningen og danner et fullstendig kvadrat. Deretter løser vi den generelle likningen. Først flytter vi konstantleddet over på høyre side av likhetstegnet. ax + bx = c Deretter deler vi alle leddene med tallet a foran x. x + b a x = c a Nå legger vi til ( b ) på begge sidene av likhetstegnet. a x + b a x + ( b a ) = ( b a ) c a a ) = b 4a c a a ) = b 4a 4a c 4a a a ) = b 4ac 4a d 4a ( x + b ( x + b ( x + b ( x + b a ) = der d = b 4ac. Venstre side er et fullstendig kvadrat. Tallet d kaller vi diskriminanten (avgjøreren, den som skiller) til likningen. Det er nemlig d som avgjør om vi kan løse likningen eller ikke. Dersom d ikke er negativ, kan vi regne ut d. 103
17 Da får vi x + b a = ± d 4a x + b a = ± d a x = b a ± d a x = b ± d a Vi setter inn for diskriminanten d og får b ± b x = 4ac a Vi har bevist andregradsformelen. 4.5 Praktisk bruk av andregradslikninger Andregradslikninger får vi bruk for i praktiske sammenhenger. Noen ganger har begge løsningene av andregradslikningen praktisk betydning. I andre tilfeller er det bare én av løsningene som kan brukes. EKSEMPEL I et rektangel er den korteste siden 3 cm kortere enn den lengste. Hvor lange er sidene når arealet av rektangelet er 108 cm? Løsning: Vi setter lengden av den lengste siden lik x cm. Lengden av den korteste siden blir (x 3) cm. 108 cm (x 3) cm x cm 104 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk
18 Arealet i kvadratcentimeter blir A(x) = x (x 3) = x 3x Ettersom arealet er 108 cm, får vi likningen x 3x = 108 x 3x 108 = 0 x = ( 3) ± ( 3) 4 1 ( 108) 1 x = 3 ± 441 x = 3 ± 1 x = 4 eller x = 18 x = 1 eller x = 9 En side i et rektangel kan ikke ha negativ lengde. Oppgaven har bare løsningen x = 1. Den lengste siden er 1 cm, og den korteste er 1 cm 3 cm = 9 cm.? Oppgave 4.50 Vi kaster en stein opp i lufta. Høyden over bakken målt i meter etter t sekunder er gitt ved h(t) = 5t + 10t a) Når er steinen m over bakken? b) Når er steinen 5 m over bakken? c) Når er steinen 7 m over bakken? d) Bruk utregningene ovenfor til å finne ut hvor høyt kastet var. Oppgave 4.51 Et rektangulært jordstykke har omkretsen 380 m og arealet 8800 m. a) Vis at dersom den ene siden er x meter, så er den andre siden (190 x) meter. b) Forklar hvorfor arealet er gitt ved A(x) = x(190 x) c) Vis at x må være en løsning av andregradslikningen x 190x = 0 d) Regn ut lengden og bredden av jordstykket. 105
19 4.6 Ikke-lineære likningssett I kapittel 3.7 lærte vi innsettingsmetoden. Den kan vi også bruke til å løse likningssett der en likning er av andre grad. EKSEMPEL Løs likningssettet ved regning. x y = 3 x x + y = 1 Løsning: Vi finner et uttrykk for y fra en av likningene. Vi velger å finne y fra den andre likningen. x x + y = 1 y = x + x + 1 Vi setter nå inn dette uttrykket for y i den første likningen. x y = 3 x ( x + x + 1) = 3 x + x x 1 = 3 x = 4 x = eller x = x = gir y = x + x + 1 = = = 1 x = gir y = x + x + 1 = ( ) + ( ) + 1 = = 7 Løsningen er x = og y = 1 eller x = og y = 7 I eksempelet ovenfor har vi to løsninger. x = og y = 1 hører sammen og er én løsning. x = og y = 7 er den andre løsningen.? Oppgave 4.60 Løs likningssettene. a) x y = 1 b) x y = 1 c) x + 5x + y = 6 x + 4x + y = 3 x 3x + y = 4x + y = I de likningene vi har løst til nå, forekommer x og ikke y. Vi kan også løse likninger der både x og y er med i en av likningene. Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk
20 EKSEMPEL Løs likningssettet. 3x + y = 3 3x y = 9 Løsning: Først finner vi et uttrykk for y ut fra den første likningen. y = 3 3x Dette uttrykket for y setter vi inn i den andre likningen. 3x (3 3x) = 9 3x (9 18x + 9x ) = 9 3x x 9x = 9 6x + 18x = x(x 3) = 0 6x = 0 eller x 3 = 0 x = 0 eller x = 3 Det fins to x-verdier som er løsning. For hver x-verdi regner vi ut en tilhørende y-verdi. x = 0 gir y = 3 3x = = 3 x = 3 gir y = 3 3x = = 3 9 = 6 Løsningen er x = 0 og y = 3 eller x = 3 og y = 6? Oppgave 4.61 Løs likningssettene. a) x + y = 10 b) x + y = x + y = 5 x 4x + y 6y = 4 Det finnes digitale hjelpemidler som løser slike likningssett. Du finner hjelp for noen slike hjelpemidler på Sinus-sidene på nettet.? Oppgave 4.6 Løs likningssettet på så mange måter som mulig. x 3x + y = x + 4x y = 4 107
21 4.7 Nullpunkter og faktorisering I kapittel.9 lærte vi å faktorisere andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrater. Vi faktoriserte blant annet x 1x + 10 og fant ut at x 1x + 10 = (x 1)(x 5) Uttrykkene på høyre og venstre side av likhetstegnet er like for alle verdier av x. Høyre side har nullpunktene x = 1 og x = 5. Dermed må venstre side også være null når x = 1 og når x = 5. Dette kan vi utnytte når vi skal faktorisere andregradsuttrykk med to nullpunkter, for førstegradsfaktorene må ha de samme nullpunktene som andregradsuttrykket. Vi finner først null punktene til andregradsuttrykket og bruker dem til å sette opp førstegradsfaktorene. Noen andregradsuttrykk har bare ett nullpunkt. Uttrykket x x + 1 er et eksempel på det. Det eneste nullpunktet er x = 1. Men x x + 1 er et fullstendig kvadrat, for x x + 1 = (x 1) Dermed kan vi bruke nullpunktet når vi skal faktorisere andregradsuttrykk med bare ett nullpunkt. Vi må ta med førstegradsuttrykket to ganger. Alle førstegradsuttrykk har nullpunkter. Et andregradsuttrykk som er et produkt av førstegradsfaktorer, har altså nullpunkter. Et andregradsuttrykk uten nullpunkter kan vi dermed ikke skrive som et produkt av førstegradsfaktorer. Dersom ax + bx + c har nullpunktene x = x 1 og x = x, er ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ) Dersom andregradsuttrykket bare har ett nullpunkt, x = x 1, er ax + bx + c = a(x x 1 ) Dersom andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, kan det ikke faktoriseres i førstegradsfaktorer. EKSEMPEL Faktoriser uttrykkene. a) x 4x 6 b) x 5x + 7 c) x 1x Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk
22 ! Løsning: a) Først bruker vi andregradsformelen og finner nullpunktene. x 4x 6 = 0 x = ( 4) ± ( 4) 4 ( 6) x = 4 ± 64 4 x = 4 ± 8 4 x = 1 eller x = 3 Nå faktoriserer vi andregradsuttrykket. x 4x 6 = (x ( 1))(x 3) = (x + 1)(x 3) Husk å ta med tallet foran x i faktoriseringen. b) Vi bruker andregradsformelen og finner nullpunktene. x 5x + 7 = 0 x = ( 5) ± ( 5) x = 5 ± 5 8 = 5 ± 3 3 fins ikke, og likningen har derfor ikke noe nullpunkt. Uttrykket kan ikke være et produkt av to førstegrads faktorer. Det er ikke mulig å faktorisere uttrykket. c) Vi bruker andregradsformelen eller digitale hjelpemidler og finner nullpunktene til uttrykket x 1x Uttrykket har bare det ene nullpunktet x = 3. Det gir faktoriseringen x 1x + 18 = (x 3)? Oppgave 4.70 Faktoriser uttrykkene. a) x 8x + 1 b) x 3x + c) x 4x 30 d) 6x 5x + 1 Oppgave 4.71 Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. Løs oppgaven ved regning og digitalt. a) x 6x + 8 b) x 6x + 9 c) x 6x + 10 d) x 6x Oppgave 4.7 For hvilke verdier av c er det mulig å faktorisere uttrykket x 3x + c? 109
23 4.8 Andregradsulikheter I kapittel 3.8 lærte vi hvordan vi kan løse lineære ulikheter ved hjelp av regneregler som likner de reglene vi bruker når vi skal løse likninger. Når vi arbeider med ulikheter som ikke er lineære, må vi bruke helt andre metoder. Vi bestemmer fortegnet til uttrykket ved hjelp av ei fortegnslinje. La oss tenke oss at vi ønsker å undersøke hvordan fortegnet til uttrykket x + 3 varierer med x. Vi vil finne ut hvor x + 3 er negativt, hvor x + 3 er null, og hvor x + 3 er positivt. Negativt område for x + 3: x + 3 < 0 når x < 3 Nullpunkt for x + 3: x + 3 = 0 når x = 3 Positivt område for x + 3: x + 3 > 0 når x > 3 Så lager vi ei tallinje der vi markerer nullpunktet til x + 3. Deretter lager vi ei fortegnslinje for uttrykket x + 3: x x På slike fortegnslinjer bruker vi disse symbolene: 0 markerer nullpunktene til uttrykket markerer at uttrykket er negativt markerer at uttrykket er positivt EKSEMPEL Lag ei fortegnslinje for uttrykket x + 6. Løsning: Først finner vi nullpunktet til uttrykket. Denne utregningen gjør vi ofte i hodet. x + 6 = 0 x = 6 x = 3 Når x > 3, blir x + 6 et negativt tall. Når x < 3, blir x + 6 et positivt tall. Det gir denne fortegnslinja: x x Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk
24 ? Oppgave 4.80 Lag fortegnslinje for uttrykkene. a) x 3 b) x + 4 c) x + d) 3x + 9 Ulikheten x 4x 6 < 0 er et eksempel på en andregradsulikhet. Når vi skal løse slike ulikheter, får vi bruk for å faktorisere andregradsuttrykk. Vi kan da enten bruke metoden med fullstendige kvadrater eller bruke nullpunktene slik vi lærte i kapittel 4.7. Nå skal vi faktorisere andregradsuttrykket x 4x 6. Vi velger å utnytte nullpunktene og bruker derfor andregradsformelen. x 4x 6 = 0 x = ( 4) ± ( 4) 4 ( 6) x = 4 ± 64 4 x = 4 ± 8 4 x = 1 eller x = 3 Nå faktoriserer vi andregradsuttrykket. x 4x 6 = (x ( 1))(x 3) = (x + 1)(x 3) Så lager vi fortegnslinje for hver av faktorene, (x + 1) og (x 3) og setter dem under hverandre i det samme skjemaet x x x 3 0 (x + 1)(x 3) 0 0 Nå utnytter vi fortegnsreglene for tallregning. Når x > 3, er alle tre faktorene positive, og produktet er da positivt. Se den røde linja nederst. Når x er et tall mellom 1 og 3, er det én negativ faktor og to positive. Da blir produktet negativt. Når x < 1, har vi to negative faktorer og én positiv. Da blir svaret positivt, og vi tegner sammenhengende rød linje. Når x = 1 og når x = 3, er en faktor lik null, og da blir produktet null. Vi har dermed funnet fortegnslinja til (x + 1)(x 3). Ettersom x 4x 6 er lik (x + 1)(x 3) for alle verdier for x, er dette også fortegnslinja for x 4x
25 Vi skulle løse ulikheten x 4x 6 < 0 og må da finne ut hvor vi har stiplet linje på forrige side. Det er mellom 1 og 3. Løsningen er x 4x 6 < 0 når 1 < x < 3 EKSEMPEL Løs ulikheten x + x 3 > 3x + 5 Løsning: Vi ordner ulikheten ved å samle alle leddene på venstre side. x + x 3 > 3x + 5 x + x 3 3x 5 > 0 x x 8 > 0 Vi bruker andregradsformelen eller digitale hjelpemidler og finner nullpunktene x = 4 og x =. Dermed er x x 8 = (x 4)(x + ) Ulikheten blir (x 4)(x + ) > 0 Nå tegner vi fortegnslinjer for faktorene x 4 og x + og lager deretter ei fortegnslinje for (x 4)(x + ) ved å utnytte at to negative faktorer gir et positivt svar, at en positiv og en negativ faktor gir et negativt svar, og at to positive faktorer gir et positivt svar x x 4 x + (x 4)(x + ) Vi skulle finne de verdiene av x der (x 4)(x + ) > 0. Da må vi plukke ut de x-verdiene der fortegnslinja for uttrykket er sammenhengende. (x 4)(x + ) > 0 når x < eller x > 4. Ulikheten vi begynte med, har den samme løsningen: x + x 3 > 3x + 5 når x < eller x > Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk
26 EKSEMPEL Løs ulikheten x 4x + 6 > 0 Løsning: Vi bruker andregradsformelen og finner nullpunktene. x 4x + 6 = 0 x = 4 ± 16 4 x = 4 ± 8 Kvadratrota av 8 fins ikke. Dermed har ikke x 4x + 6 noen nullpunkter, og uttrykket kan da heller ikke skifte fortegn. Uttrykket er dermed enten positivt for alle verdier av x, eller så er uttrykket negativt for alle verdier av x. Det finner vi ut ved å sette inn én verdi av x. Vi velger x = 0. Det gir x 4x + 6 = = 6 Ettersom uttrykket er positivt for x = 0, må uttrykket være positivt for alle verdier av x. x 4x + 6 > 0 for alle x. Det kan du også se ved å tegne grafen til funksjonen f(x) = x 4x + 6? Oppgave 4.81 Løs ulikhetene ved å bruke fortegnslinjer. a) x 5x + 6 > 0 b) x + x < 0 c) x + x 1 0 d) x x Oppgave 4.8 Løs ulikhetene. a) 6x 5x + 1 < 0 b) x 4x + 4 > 0 c) x + 6x 9 0 d) x 8x + 9 < 0 113
27 4.9 Rasjonale funksjoner Funksjonen f gitt ved f(x) = x + 1 x 1 kaller vi en rasjonal funksjon. Funksjonsuttrykket til en rasjonal funksjon er en brøk med polynomer i telleren og nevneren. En brøk er ikke definert når nevneren er null. Funksjonen f er ikke definert når x 1 = 0 x = 1 Det er ikke mulig å regne ut noen funksjonsverdi for x = 1. Vi regner ut f(x) for noen verdier nær x = 1. Først ser vi på hva som skjer når x nærmer seg 1 og er litt mindre enn 1 og deretter på noen verdier når x er litt større enn 1. x 0,97 0,98 0,99 0,999 0,9999 f(x) x 1,03 1,0 1,01 1,001 1,0001 f(x) Funksjons verdiene i tallverdi vokser ut over alle grenser når x nærmer seg 1. Vi sier at funksjonen f har et bruddpunkt for x = 1. En rasjonal funksjon har et bruddpunkt der nevneren er null. Nå ser vi hva som skjer med funksjonsverdiene for store tallverdier av x. x x f(x),33,03,003 f(x) 1,73 1,97 1,997 Det kan se ut som om funksjonsverdiene nærmer seg for store tallverdier av x. Det kan vi også finne ved regning. Når x har stor tallverdi, er brøken x + 1 x omtrent lik x. Da er x 1 f(x) = x + 1 x 1 x = x 1 = Dette viser at f(x) er nær når x blir et stort tall. For store tallverdier av x vil grafen nærme seg linja y =. Før vi tegner grafen, tegner vi den horisontale linja y =. Vi tegner også ei vertikal linje gjennom bruddpunktet x = Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk
28 Da blir det lettere å tegne grafen etterpå, fordi grafen nærmer seg disse linjene når vi går utover i koordinatsystemet. Grafen ser du til høyre. Grafen nærmer seg den horisontale linja y = og den vertikale linja x = 1. Slike rette linjer som en graf nærmer seg, kaller vi asymptoter. Denne grafen har en horisontal asymptote y = og en vertikal asymptote x = y x? Oppgave 4.90 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x + 3 x a) Finn bruddpunktet til f. Hva er likningen for den vertikale asymptoten? b) Hva skjer med funksjonsverdiene når x har stor tallverdi? Hva blir likningen for den horisontale asymptoten? c) Tegn asymptotene og deretter grafen til f. Oppgave 4.91 Funksjonen f er gitt ved f(x) = 3x 5 x 6 a) Finn bruddpunktet. Hva er likningen for den vertikale asymptoten? b) Hva skjer med funksjonsverdiene for store tallverdier av x? Hva blir likningen for den horisontale asymptoten? c) Tegn asymptotene og grafen i et koordinatsystem. Oppgave 4.9 Mari betaler 150 kr i avgift per måned for mobiltelefonen sin. I tillegg betaler hun 0,89 kr per minutt når hun ringer. Utgiftene i kroner per minutt når hun en måned ringer i x minutter, er 0,89x U(x) = x a) Hva nærmer utgiftene seg per minutt når Mari ringer svært mye? Hva blir likningen for den horisontale asymptoten? b) Tegn grafen til U for x-verdier mellom 0 og 000. c) Hva koster telefonen per minutt hvis Mari en måned ringer i 00 minutter? d) Hvor mye må Mari ringe hvis utgiftene per minutt skal bli kr? 115
29 SAMMENDRAG Polynom Et polynom er et uttrykk av typen x 3 + 3x x + 5. Dette polynomet er av grad 3. Funksjon Vi sier at y er en funksjon av x dersom hver mulig verdi av x gir nøyaktig én verdi av y. Parabel Grafen til en andregradsfunksjon kaller vi en parabel. Definisjonsmengden D f Definisjonsmengden D f til funksjonen f er alle de verdiene som vi kan velge for x. Verdimengden V f Verdimengden V f til funksjonen f er alle de funksjonsverdiene f(x) vi får når x D f. Nullpunkt x er et nullpunkt for f dersom f(x) = 0. Produktregelen Dersom r s = 0, så er r = 0 eller s = 0. Andregradsformelen Andregradslikningen ax + bx + c = 0 har løsningene b ± b x = 4ac a når b 4ac Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk
30 Faktorisering av andregradsuttrykk Dersom andregradsuttrykket ax + bx + c har nullpunktene x = x 1 og x = x, er ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ) Dersom andregradsuttrykket bare har ett nullpunkt x = x 1, er ax + bx + c = a(x x 1 ) Dersom andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, kan det ikke faktoriseres i førstegradsfaktorer. Rasjonal funksjon Funksjonsuttrykket til en rasjonal funksjon er en brøk med polynom i telleren og nevneren. Bruddpunkt En rasjonal funksjon har et bruddpunkt der nevneren er null. Asymptoter En asymptote er ei rett linje som en graf nærmer seg når vi går utover i koordinatsystemet. En rasjonal funksjon som har et bruddpunkt for x = a, har til vanlig en vertikal asymptote for x = a. 117
Funksjoner og andregradsuttrykk
4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme
Detaljer4 Funksjoner og andregradsuttrykk
4 Funksjoner og andregradsuttrkk KATEGORI 1 4.1 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.110 Regn ut f (0), f () og f (4) når a) f () = + b) f () = 4 c) f () = + 5 d) f () = 3 3 Oppgave 4.111 f() = + + 1 4 3 1 0 1
DetaljerGrafer og funksjoner
14 4 Grafer og funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder omforme en praktisk problemstilling
DetaljerFunksjoner og grafiske løsninger
8 1 Funksjoner og grafiske løsninger Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse
DetaljerFunksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner
Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den
DetaljerTallregning og algebra
30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer
DetaljerMer om likninger og ulikheter
Mer om likninger og ulikheter Studentene skal kunne utføre polynomdivisjon anvende nullpunktsetningen og polynomdivisjon til faktorisering av polynomer benytte polynomdivisjon til å løse likninger av høyere
DetaljerFasit. Funksjoner Vg1T. Innhold
Fasit Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjoner... 15 Andregradsfunksjoner... 15 Polynomfunksjoner... 18 Rasjonale funksjoner... 19 Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner...
Detaljer5 Matematiske modeller
Løsning til KONTROLLOPPGAVER 5 Matematiske modeller OPPGAVE 1 a) Endringen i lengden på lyset i løpet av de 100 minuttene er 12 cm 27 cm = 15 cm Endringen per minutt blir da 15 cm 0,15cm/ min 100 min Når
DetaljerS1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka
S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].
DetaljerHeldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
Detaljer2 Likningssett og ulikheter
Likningssett og ulikheter KATEGORI 1.1 Grafisk løsning av lineære likningssett Oppgave.110 Et lineært likningssett består av likningene for to rette linjer. De to rette linjene er tegnet i koordi natsystemet
DetaljerFunksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner S1
Funksjoner oppgaver Innhold.1 Funksjoner.... Lineære funksjoner... 5 Ettpunktsformelen.... 9 Skjæringspunkt mellom rette linjer. Nullpunkt for en funksjon... 11.3 Andregradsfunksjon... 1.4 Tredjegradsfunksjon...
DetaljerTest, 5 Funksjoner (1P)
Test, 5 Funksjoner (1P) 5.1 Funksjonsbegrepet 1) f ( x) = 16x + 0 f (0) = 0 16 0 ) f ( x) = 4x 6 f ( ) = 14 6 3) f er en funksjon av x dersom hver verdi av x gir nøyaktig en verdi av f. Riktig Galt 4)
DetaljerOppgaver. Innhold. Funksjoner Vg1P
Oppgaver Innhold Innhold... 1 Modul 1. Funksjonsbegrepet... Modul. Lineære funksjoner... 6 Modul 3. Mer om lineær vekst... 10 Modul 4. Andregradsfunksjoner... 13 Modul 5. Andre funksjoner... 16 Polynomfunksjoner...
DetaljerFunksjoner med og uten hjelpemidler
Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for dagen Del 1: 09:00-11:45 Lunsj: 11:45-12:15 Del 2: 12:15-14:30 Eksamensinformasjon: 14:30-15:00 Plan for tiden før lunsj Økt 1: 09:00-09:45 Økt 2: 10:00-10:45
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerSammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009
Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A
Detaljer1 Funksjoner og grafiske løsninger
Oppgaver Funksjoner og grafiske løsninger KATEGORI. Rette linjer Oppgave.0 Vi har gitt likningene for noen rette linjer. Fll ut tabellene og tegn de rette linjene i hvert sitt koordinatsstem. a) = 3 0
DetaljerRegelbok i matematikk 1MX og 1MY
Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Utgave 1.4 Skrevet av Bjørnar Tollaksen. Hele regelboka er et sammendrag av læreboka. Dette er ment som et supplement til formelheftet, ikke en erstatning. Skrivefeil kan
DetaljerOppgaver. Innhold. Funksjoner Vg1T. Innhold
Oppgaver Innhold Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 10 4.3 Andre funksjoner... 18 Polynomfunksjoner... 1 Rasjonale funksjoner... Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner... 3 4.4
DetaljerEksempeloppgave 1T, Høsten 2009
Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne
DetaljerFormler, likninger og ulikheter
58 3 Formler, likninger og ulikheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse
DetaljerGeoGebra 6 for Sinus 1T
SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 1T Sinus 1T ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I
DetaljerR1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a)
R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( )
DetaljerSammendrag R1. 26. januar 2011
Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander
DetaljerLøsninger. Innhold. Funksjoner Vg1P
Løsninger Innhold Innhold... 1 Modul 1. Funksjonsbegrepet... Modul. Lineære funksjoner... 9 Modul 3. Mer om lineær vekst... 16 Modul 4. Andregradsfunksjoner... 5 Modul 5. Andre funksjoner... 30 Polynomfunksjoner...
DetaljerLær å bruke GeoGebra 4.0
Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...
DetaljerP(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen.
5.9 Sirkellikningen Fra kapittel 4.3 vet vi at sirkelen er det geometriske stedet for de punktene som har en bestemt avstand r fra et fast punkt S. Avstanden r kaller vi radien, og punktet S kaller vi
DetaljerGrafer og funksjoner
Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem
DetaljerGeoGebra 6 for Sinus 1P
SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 1P SINUS 1P ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I
DetaljerLøsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T
Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y
Detaljerf (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er
7.5 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f () = 3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen f () = a k der tallet a og eksponenten k kan være både
DetaljerTall og enheter. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 1 Tall og enheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene 1.1 Regnerekkefølge På ungdomsskolen
Detaljer2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene
P kapittel Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a c d e y = 4x+ 1 Stigningstallet er 4. Konstantleddet er 1. Linja skjærer altså y-aksen i punktet (0,1). y = 3x 4 Stigningstallet er 3. Konstantleddet
DetaljerOppgaver. Innhold. Funksjoner i praksis Vg2P
Oppgaver Innhold Modul 1: Lineære funksjoner... Modul : Andregradsfunksjoner... 10 Modul 3: Tredjegradsfunksjoner... 1 Modul 4: Potensfunksjoner og rotfunksjoner... 14 Modul 5: Eksponentialfunksjoner...
DetaljerFunksjoner løsninger. Innhold. Funksjoner S1
Funksjoner løsninger Innhold.1 Funksjoner.... Lineære funksjoner... 9 Ettpunktsformelen... 18 Skjæringspunkt mellom rette linjer. Nullpunkt for en funksjon... 3.3 Andregradsfunksjon... 8.4 Tredjegradsfunksjon...
DetaljerINNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER
INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...
DetaljerFunksjoner med og uten hjelpemidler
Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for i dag og i morgen Dag 1: 09.00-11.45 Del 1: teori. 11.45-12.30 Lunsj 12.30-13.15 Del 2: bruk av GeoGebra. 13.15-15.15 Oppgaveregning, del 1. Dag 2: 09.00-10.45
DetaljerStudentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform
1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller
DetaljerDel 2 skal leveres inn etter 5 timer. verktøy som tillater kommunikasjon. framgangsmåte.
Eksamen.05.009 REA306 Matematikk S1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:
DetaljerLøsningsforslag. Funksjoner Vg1T
Løsningsforslag Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 19 4.3 Andre funksjoner... 44 Andregradsfunksjoner... 44 Polynomfunksjoner... 53 Rasjonale funksjoner... 57 Potensfunksjoner og
DetaljerKapittel 7. Funksjoner
Kapittel 7. Funksjoner Mål for kapittel 7: Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne redegjøre for begrepet lineær vekst, vise gangen i slik vekst og bruke dette i praktiske eksempler,
DetaljerFunksjoner med og uten hjelpemidler
Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for i dag og i morgen Dag 1: 09.00-11.45 Del 1: teori med oppgaver. 11.45-12.30 Lunsj 12.30-13.15 Del 2: bruk av GeoGebra. 13.15-15.15 Oppgaveregning. Dag 2: 09.00-11.45
Detaljera) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det.
Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................
DetaljerEksempeloppgave 1T, Høsten 2009
Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne
Detaljer4 Funksjoner. Innhold
4 Funksjoner Innhold Kompetansemål - Funksjoner, Vg1T... 3 4.1 Funksjonsbegrepet... 4 Funksjoner representert ved formler... 5 Definisjonsmengde... 6 Funksjoner representert ved grafer og verditabeller...
DetaljerLøsningsforslag. Innhold. Funksjoner i praksis Vg2P
Løsningsforslag Innhold Modul 1: Lineære funksjoner... Modul : Andregradsfunksjoner... 1 Modul 3: Tredjegradsfunksjoner... 6 Modul 4: Potensfunksjoner og rotfunksjoner... 3 Modul 5: Eksponentialfunksjoner...
DetaljerTexas. Så trykker vi på zoom og velger 0:ZoomFit. Vi får fram det valget enten ved å trykke på tasten 0 eller ved å trykke på tasten noen ganger.
ON Lommeregnerstoff Texas 4.1 Rette linjer Her viser vi hvordan vi går fram for å få tegnet linja med likningen y = 2x 3 Vi trykker på Y= og legger inn likningen som vist nedenfor. Nå må vi velge vindu.
DetaljerFasit. Innhold. Tall og algebra Vg1T
Tall og algebra VgT Fasit Innhold Innhold.... Tallregning... 3 Tall og tallmengder... 3 Regningsarter... 4 Å regne med negative tall... 5 Addisjon og subtraksjon av brøker... 5 Multiplikasjon og divisjon
DetaljerLøsningsforslag heldagsprøve våren 2012 1T
Løsningsforslag heldagsprøve våren 01 1T DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Skriv så enkelt som mulig x 9 x 6 Vi må faktorisere både teller og nevner. Så kan vi forkorte felles faktorer. Da får vi: x 9 x x 6 a) 4a4 b
DetaljerVelg mellom disse kommandoene: Dersom[<Vilkår>, <Så>, <Ellers>] Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>]
442 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Nullpunkter Velg mellom disse kommandoene: Dersom[, , ] Funksjon[, , ] GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt
DetaljerS1 Eksamen våren 2009 Løsning
S1 Eksamen, våren 009 Løsning S1 Eksamen våren 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig 1) x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 ) a b 3 a b 3 a 4a b 1 3 4a b 3 b 1 b) Løs likningene
DetaljerR1 eksamen høsten 2015 løsning
R1 eksamen høsten 15 løsning Løsninger laget av Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f
DetaljerSigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy
Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra
DetaljerGeometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen
DetaljerForkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning
Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen
DetaljerLøsningsforslag matematikk S1 V14
Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2009
Eksamen REA0 R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonene ) f x x 4 4 8 f x x x x x ) g x x
DetaljerTall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 1 Tall og formler MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene tolke, bearbeide, vurdere
DetaljerTerminprøve Sigma 1T Våren 2008 m a t e m a t i k k
Terminprøve Sigma 1T Våren 2008 Prøvetid 5 klokketimer for Del 1 og Del 2 til sammen. Vi anbefaler at du ikke bruker mer enn to klokketimer på Del 1. Du må levere inn Del 1 før du tar fram hjelpemidler.
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................
DetaljerTall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene
Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Origo er skjæringspunktet mellom x-aksen og y-aksen. Koordinatene til origo er altså. (0, 0) b Førstekoordinaten til
DetaljerKrasjkurs MAT101 og MAT111
Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk S1
GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 Emne Underkapittel Utregning av algebraiske uttrykk 1.4 Forenkle uttrykk 1.5 Faktorisering 1.5 Kvadratsetningene 1.6 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 1.8 Grafisk
DetaljerForord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.
1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset
DetaljerLøsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22.
c) Løs likningen 6 4 x 4 x 6 4 x 4 x Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.011 DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Regn ut 10 8 3 3 10 8 3 3 10 8 1 10 3 a) 3 5 4 5 3 5 5 4 5 3 5 5 3 5 5 4 5 1 3 5 1 5 1 1 3 1 5 1 3 3 5
DetaljerEksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål
Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en
DetaljerEksamen R1, Va ren 2014, løsning
Eksamen R1, Va ren 014, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Deriver funksjonene a) f x lnx x Vi bruker
DetaljerPlotting av grafer og funksjonsanalyse
Opplæringshefte i GeoGebra Innholdsfortegnelse: Plotting av grafer og funksjonsanalyse... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 4 Oppgave 3... 8 Å plassere et bilde i GeoGebra... 8 Oppgave 4... 8 Vektorregning
DetaljerGeoGebra for Sinus 2T
GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side
DetaljerEksamen REA3026 S1, Høsten 2012
Eksamen REA306 S1, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) 8 8 0 1 1 4 1 8 4 3 6
DetaljerAlgebra. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 1 Algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne regne med potenser, formler, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver omforme en praktisk problemstilling til en
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk 2P
GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P Emne Underkapittel Graftegning 2.1 Linje gjennom to punkter 2.1 Å finne y- og x-verdier 2.1 Lineær regresjon 2.3 Andregradsfunksjoner 2.4 Polynomregresjon 2.4 Eksponential-
Detaljer3 Formler, likninger og ulikheter
Formler, likninger og ulikheter KATEGORI 1.1 Likninger Oppgave.110 4 + 4x = x + 8 5x 6 = 4x 5 1 x = x + 1 d) x = x 5 Oppgave.111 x + x = x 4 5x = x 14 x 1 = 4x + 4 d) x + x = 0 Oppgave.11 x = 4x 10 x 8
DetaljerLøsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik
Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 4.11.011 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere
DetaljerDEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1
HELDAGSPRØVE I MATEMATIKK 1T HØST DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) Oppgave 1. Trekk sammen uttrykkene: a) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1 = a. b) 1
DetaljerBasisoppgaver til 1P kap. 5 Funksjoner
Basisoppgaver til 1P kap. 5 Funksjoner 5.1 Funksjoner og grafer 5.2 Førstegradsfunksjoner 5.3 Lineær vekst 5.4 Proporsjonalitet 5.5 Andregradsfunksjoner 5.6 Mer om funksjoner Basisoppgaver 5.1 Funksjoner
DetaljerKompendium til MATH001 - Forkurs i matematikk
Kompendium til MATH001 - Forkurs i matematikk Høst 017, NMBU Kine Josefine Aurland-Bredesen, e-post: kine.josefine.aurland-bredesen@nmbu.no f (x) = 1 x Kompendiumet gir en rask gjennomgang av grunnleggende
DetaljerLøsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk 1T
GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T Emne Underkapittel Rettvinklede trekanter 2.4 Ikke-rettvinklede trekanter I 2.6 Ikke-rettvinklede trekanter II 2.7 Graftegning 3.2 Graftegning med definisjonsmengde 3.2
DetaljerARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK
ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr 4 Hvordan du regner med bokstaver, likninger og formler (elementær algebra) Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com 1 Opplsning: Faste,
DetaljerEksamen matematikk S1 løsning
Eksamen matematikk S1 løsning Oppgave 1 (3 poeng) Løs likningene a) 6 4 0 6 6 44 6 36 3 4 6 4 1 b) lg lg lg4 lg lg4 lg 10 10 lg4 4 8 0 4 4 8 6 4 må være større enn null fordi den opprinnelige likningen
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform
DetaljerFunksjoner 1T, Prøve 2 løsning
Funksjoner 1T, Prøve løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 I koordinatsystemet ovenfor er det tegnet fire rette linjer, j, k, m og n. Finn likningen for hver av de fire linjene.
DetaljerEksamen R1 høsten 2014 løsning
Eksamen R1 høsten 014 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene 3 a) f x x x 5 5 f x 15x 4x
DetaljerLær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals
Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Hva er matematikktillegget for Word?... 2 Nedlasting og installasjon av matematikktillegget for Word...
DetaljerLøsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å
DetaljerEksamen REA3028 S2, Høsten 2012
Eksamen REA308 S, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Deriver funksjonene 3x x a) gx 3 3x x 3x
Detaljer: subs x = 2, f n x end do
Oppgave 2..5 a) Vi starter med å finne de deriverte til funksjonen av orden opp til og med 5 i punktet x = 2. Det gjør vi ved å bruke kommandoen diff f x, x$n der f x er uttrykket som skal deriveres, x
DetaljerLøsning eksamen 1T våren 2010
Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x
DetaljerEksamen 1T, Våren 2010
Eksamen 1T, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Funksjonen f er gitt ved f x x 3 Tegn grafen
DetaljerEksamen S1 høsten 2014 løsning
Eksamen S1 høsten 014 løsning Tid: timer Hjelpemiddel: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (3 poeng) Løs likningene a) x 10 xx 5 x x 10 x 5x 7x 10 0 7 49 40
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2013
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 750 000 0,005 5 7,510 7,5 5 3 8 3 10 1,5 10 510 5 Oppgave (1 poeng) Løs likningssystemet x3y7 5xy8 Velger å løse likningen
DetaljerFunksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner R1
Funksjoner oppgaver Innhold 3.1 Funksjoner... 3. Kontinuitet, grenseverdier og asymptoter til funksjoner... 3 Grenseverdier... 3 Rasjonale funksjoner og asymptoter... 6 Kontinuitet... 8 Funksjoner med
Detaljer