Funksjoner og andregradsuttrykk

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Funksjoner og andregradsuttrykk"

Transkript

1 88 4

2 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritme funksjoner både ved regning og med digitale hjelpemidler omforme en praktisk problemstilling til en likning, en ulikhet eller et likningssystem, løse dette og vurdere gyldigheten av løsningen gjøre rede for funksjonsbegrepet og tegne grafer ved å analysere funksjonsbegrepet beregne nullpunkter, skjæringspunkter og gjennom snittlig veksthastighet, finne tilnærmede verdier for momentan veksthastighet og gi noen praktiske tolkninger ved disse aspektene bruke digitale hjelpemidler til å drøfte polynomfunksjoner, rasjonale funksjoner, eksponentialfunksjoner og potensfunksjoner

3 4.1 Funksjonsbegrepet Vi kaster en stein opp i lufta. Etter t sekunder er steinen y meter over bakken, der y er gitt ved formelen y = 5t + 0t Etter 3 s er høyden y = = 15 Steinen er 15 m over bakken etter 3 s. Når vi kjenner t, kan vi regne ut en bestemt verdi for y. Vi sier at høyden y er en funksjon av tida t. y er en funksjon av x hvis hver mulig verdi av x gir nøyaktig én verdi av y. Steinen har samme høyde over bakken to ganger, på vei opp og på vei ned. Steinen er 15 m over bakken etter 1 s og etter 3 s. Når vi kjenner høyden y, kan vi ikke fastsette én bestemt verdi for tida t. Tida t er dermed ikke en funksjon av høyden y. Uttrykket 5t + 0t kaller vi funksjonsuttrykket til funksjonen. Vi bruker ofte en egen skrivemåte for et funksjonsuttrykk. Når y er høyden, kaller vi gjerne funksjonsuttrykket h(t) og skriver h(t) = 5t + 0t Her er h den første bokstaven i ordet høyde. Vi sier også at funksjonen h er gitt ved h(t) = 5t + 0t Når vi skal finne høyden etter 1 s, skriver vi h(1) = = 15 Høyden etter s er h() = = 0 Tallene 15 og 0 kaller vi funksjonsverdier. Vi regner ut flere funksjonsverdier og samler dem i en tabell: t h(t) Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

4 Så tegner vi grafen til funksjonen h. Langs førsteaksen finner vi variabelen t. Langs andreaksen finner vi funksjonsverdiene. Vi setter så av alle punktene fra tabellen i koordinatsystemet og trekker en glatt kurve gjennom dem. Det er grafen til funksjonen h. Vi ser at steinen er tilbake på bakken etter 4 sekunder. Ferden stopper der. Altså må vi forutsette at variabelen t her er et tall mellom 0 og 4. Vi må forutsette at 0 t 4. Det skriver vi ofte på denne måten: m 0 15 y h t [0, 4] Symbolet leser vi tilhører eller er element i. [0, 4] kaller vi et intervall. Det er alle tallene fra og med 0 til og med 4. Endepunktene er altså med i dette intervallet. Hvis vi ikke vil ha endepunktene med i intervallet, skriver vi intervallet som 0, t s Vi sier at funksjonen h har definisjonsmengden [0, 4], og skriver D h = [0, 4] D er den første bokstaven i definisjonsmengde, og h er navnet på funksjonen. Vi ser at steinen på det høyeste punktet er 0 m over bakken. Med andre ord kan høyden være alle tall fra og med 0 m til og med 0 m. Funksjons verdiene kan dermed være alle tall i intervallet [0, 0]. Dette intervallet kaller vi verdimengden til funksjonen. Vi skriver V h = [0, 0] Hvis en funksjon ikke har noen spesiell praktisk tolkning, bruker vi gjerne x som variabel. Funksjonsuttrykket kaller vi ofte f(x), der f er navnet på funksjonen. EKSEMPEL Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 4x + 3 a) Tegn grafen til f. b) Løs likningen f(x) = 8 grafisk. c) Finn verdimengden til f. 91

5 Løsning: a) Vi regner ut noen funksjonsverdier og samler dem i en tabell: x f(x) Nå markerer vi punktene (x, f(x)) i et koordinatsystem og tegner en glatt kurve gjennom punktene. Vi får denne grafen: y 10 9 f x b) Avlesing av grafen viser at likningen f(x) = 8 har løsningene x = 5 og x = 1 c) Vi ser av grafen at den minste funksjonsverdien er 1. Det er når x =. Verdimengden består dermed av alle tall som er større enn eller lik 1. Vi skriver V f = [ 1, Intervallet [ 1, består av alle tall som er større enn eller lik 1. Å si at y [ 1, er det samme som å si at y 1. Hvis vi for eksempel skal uttrykke at y 3, kan vi skrive at y, 3]. Intervallet, 3] består av alle tall som er mindre enn eller lik 3.? 9 Oppgave 4.10 Regn ut f( ), f(0) og f() når funksjonen f er gitt ved a) f(x) = 3x + b) f(x) = x + x + 3 c) f(x) = x 3 + x 9x + 1 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

6 ? Oppgave 4.11 Vi skyter opp ei kule. Høyden i meter etter t sekunder er gitt ved h(t) = 5t + 50t a) Tegn grafen til h. b) Når er kula tilbake på bakken? c) Finn definisjonsmengden til funksjonen. d) Finn verdimengden. e) Når er kula 50 m over bakken? Oppgave 4.1 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 6x + 8 a) Tegn grafen til f. b) Bruk grafen til å løse likningen x 6x + 8 = 0. c) Finn verdimengden til f. Oppgave 4.13 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x + x + 8 a) Tegn grafen til f. b) Løs likningen x + x + 8 = 5 grafisk. c) Finn verdimengden til f. Når du skal tegne grafer, trenger du ikke regne ut verdiene i tabellen for hånd. Du kan lage tabellen digitalt. Du kan også bruke digitale hjelpemidler til å få fram hvordan grafen ser ut. Framgangsmåten finner du på nettsidene eller bak i boka.? Oppgave 4.14 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x + 4x 3 a) Tegn grafen til f digitalt. b) Løs likningene digitalt. 1) x + 4x 3 = 0 ) x + 4x 3 = x 7 93

7 ? Oppgave 4.15 En bil kjører med farten v målt i kilometer per time. Utslippet av karbondioksid målt i gram per kilometer er da gitt ved funksjonen C(v) = 0,045v 6,75v a) Tegn grafen til C digitalt når farten er mellom 0 km/h og 10 km/h. b) Hvor stort er utslippet per kilometer når farten er 50 km/h? c) Hvor stor er farten når utslippet er 00 g/km? d) Ved hvilken fart er utslippet lavest mulig, og hvor stort er utslippet da? e) Hvor mange kilogram karbondioksid slipper vi ut når vi kjører fra Bergen til Oslo i 75 km/h med denne bilen? Sett avstanden til 500 km. f) Bilen bruker 0,8 l bensin per mil. En liter bensin veier omtrent 0,8 kg. Hvor mange kilogram bensin bruker bilen på turen fra Bergen til Oslo? Hvordan kan du forklare at utslippet veier mer enn forbruket av bensin? 4. Nullpunkter, bunnpunkter og toppunkter Uttrykkene x + 3 og x + 3x 5 kaller vi polynomer. Uttrykket x + 3 er et polynom av første grad, og uttrykket x + 3x 5 er et polynom av andre grad. Den høyeste eksponenten til variabelen i et polynom kaller vi graden til polynomet. Polynomet x 3 + 3x 6x + 4 er av tredje grad, og polynomet x 4 + x + 4 er av fjerde grad. Når vi skriver polynomer, ordner vi alltid leddene etter graden. Det leddet som har den høyeste graden, skal stå først. Polynomet 4 + x + 3x 3 + 5x skriver vi som 3x 3 + x + 5x + 4. Vi skal nå se på noen funksjoner der funksjonsuttrykket er et polynom. Slike funksjoner kaller vi polynomfunksjoner. I kapittel 4.1 tegnet vi grafen til polynomfunksjonen f gitt ved f(x) = x 4x + 3 Dette er en andregradsfunksjon. Grafen til en slik andregradsfunksjon kaller vi en parabel. Grafen ser du til høyre. De punktene der grafen til en funksjon krysser x-aksen, kaller vi nullpunktene til funksjonen. Nullpunktene er dermed bestemt ved at f(x) = y f Nullpunkt Nullpunkt 4 6 Bunnpunkt (, 1) x 94 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

8 Funksjonen har dermed nullpunktene x = 1 og x = 3. Funksjonen har et bunnpunkt i det punktet der x = og y = 1. Bunnpunktet har koordinatene (, 1). I et bunnpunkt er funksjonsverdien mindre enn i alle nabopunktene. Vi skal snart se at bunnpunktet ikke trenger å være det laveste punktet på grafen. Andre funksjoner kan ha et toppunkt. Det er et punkt der funksjonsverdien er større enn i alle nabopunktene. Noen funksjoner kan ha både bunnpunkt og toppunkt. EKSEMPEL Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 3 3x a) Tegn grafen til funksjonen. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn bunnpunktet og toppunktet til f. Løsning: a) Vi tegner grafen til f. y 4 Toppunkt 3 ( 1, ) Nullpunkter Bunnpunkt (1, ) f 3 b) Grafen viser at f har nullpunktene x = 0, x = 1,7 og x = 1,7 c) Funksjonen har toppunktet ( 1, ) og bunnpunktet (1, ). x Funksjonen i eksempelet ovenfor har et toppunkt i ( 1, ) og et bunnpunkt i (1, ). Men funksjonen har ikke sin minste verdi i bunnpunktet. Funksjonen har heller ikke sin største verdi i toppunktet. Toppunkter og bunnpunkter er bare lokale topper og bunner. 95

9 Eksempelet på forrige side viser at en tredjegradsfunksjon kan ha tre nullpunkter og både toppunkt og bunnpunkt. Men ikke alle tredjegradsfunksjoner har både toppunkt og bunnpunkt. Grafen til funksjonen f(x) = x 3 ser slik ut: y f x Denne tredjegradsfunksjonen har bare ett nullpunkt og ingen toppunkter eller bunnpunkter. EKSEMPEL Tegn grafen til funksjonen f(x) = x 4 5x + 4. Finn nullpunktene, toppunktet og bunnpunktene grafisk. Løsning: Funksjonen har denne grafen: y f x Funksjonen har fire nullpunkter: x =, x = 1, x = 1 og x = Bunnpunkter: ( 1,6,,) og (1,6,,) Toppunkt: (0, 4) 96 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

10 ? Oppgave 4.0 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x x 3 a) Tegn grafen til f. b) Finn bunnpunktet til f. Oppgave 4.1 En vinterdag var temperaturen i celsiusgrader x timer etter midnatt gitt ved T(x) = 3 8 x + 1 x 135, x [8, 0] a) Tegn grafen til T. b) Når på dagen var temperaturen 0 C? c) Når på dagen var temperaturen høyest? Hva var temperaturen da? Oppgave 4. Funksjonen g er gitt ved g(x) = x 3 3x + 4 a) Tegn grafen til g. b) Finn nullpunktene til g. c) Finn toppunktet og bunnpunktet til g. d) Finn verdimengden til g. Nullpunkter, bunnpunkter og toppunkter kan vi også finne digitalt. Framgangsmåten finner du på Sinus-sidene eller bak i boka.? Oppgave 4.3 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 3 1x a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn bunnpunktet og toppunktet til f. Oppgave 4.4 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 4 4x a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktene og bunnpunktene. 97

11 ? Oppgave 4.5 Tegn grafen til f digitalt der f(x) = x 5 5x 3 + 4x a) Hvor mange nullpunkter har grafen? b) Hvor mange toppunkter og bunnpunkter har grafen? c) Hvor mange nullpunkter tror du en funksjon av grad n kan ha? d) Hvor mange toppunkter og bunnpunkter tror du en funksjon av grad n kan ha? 4.3 Andregradslikninger med to ledd Likningen x 5x + 6 = 0 er et eksempel på en andregradslikning. Vi skal nå lære å løse slike likninger. Andregradslikningen x 4 = 0 mangler førstegradsledd. Vi løser den på denne måten: x 4 = 0 x = 4 x = eller x = Ofte skriver vi bare x = ± i stedet for x = eller x =. x = ±a betyr x = a eller x = a. EKSEMPEL Løs andregradslikningene. a) x 10 = 0 b) (x ) + 4 = 0 c) x + 3 = 0 Løsning: a) x 10 = 0 x = 10 x = 5 x = 5 eller x = 5 x = ± 5 98 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

12 b) (x ) + 4 = 0 x = 0 x = 0 x = 0 x = 0 Her får vi bare én løsning, for x = 0 er det eneste tallet som passer i x = 0. c) x + 3 = 0 x = 3 Likningen har ingen løsning. Det fins ingen tall x som er slik at x blir mindre enn null. Tallet x kan derfor ikke bli lik 3, og likningen x = 3 har dermed ingen løsning. I eksempelet foran ser vi at en andregradslikning kan ha to, én eller ingen løsninger.? Oppgave 4.30 Løs likningene. a) x = 9 b) 4x = 0 4x c) 5 = 0 d) x = 4 e) 3x + 1 = 1 Oppgave 4.31 Løs likningene. a) (x + 1) = 10 b) 3x + = x 4 c) (x 1) = 4 d) (x + ) = 1 Oppgave 4.3 a) Et kvadrat har arealet 18 cm. Hvor lange er sidene i kvadratet? b) En sirkel har arealet 1,56 m. Hvor stor er radien i sirkelen? c) En sirkel har det samme arealet som et kvadrat der sidene er 5 cm lange. Finn radien i sirkelen. 99

13 Når vi multipliserer to tall som ikke er null, kan vi ikke få null som svar. Dersom vi vet at produktet av to tall er null, må altså ett av tallene være null. Denne slutningen kaller vi produktregelen. Vi kan uttrykke den slik: Dersom r s = 0, så er r = 0 eller s = 0. Vi bruker produktregelen når vi skal løse andregradslikninger uten konstantledd. EKSEMPEL Løs likningen x 3x = 0 og sett prøve på svaret. Løsning: Vi setter x utenfor en parentes. x 3x = 0 (x 3) x = 0 Når produktet av disse to tallene er null, må ett av tallene være null. x 3 = 0 eller x = 0 x = 3 eller x = 0 Vi får to løsninger: x = 3 og x = 0. Nå setter vi disse verdiene inn i x 3x = 0 for å se om vi har regnet riktig. x = 3 gir x 3x = = 9 9 = 0 x = 0 gir x 3x = = 0 0 = 0 Begge x-verdiene passer.? Oppgave 4.33 Løs likningene og sett prøve på svarene. a) x(x ) = 0 b) x + 3x = 0 c) x 4x = 0 d) 5x + 3x = 0 Oppgave 4.34 Løs likningene grafisk og ved regning. a) x + x + 3 = x + 7 b) x + x + 3 = 4x Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

14 4.4 Andregradsformelen Ved hjelp av metoden med fullstendige kvadrater kan vi utlede en formel som vi kan bruke hver gang vi skal løse en andregradslikning. Vi kaller den andregradsformelen. Utledningen av formelen finner du på slutten av dette delkapittelet. Andregradslikningen ax + bx + c = 0 har løsningene x = b ± b 4ac a når b 4ac 0. Vi viser nå hvordan vi bruker denne formelen til å løse andregradslikninger. EKSEMPEL Løs andregradslikningene. a) 3x + 5x = 0 b) x 6x = 9 c) x + x + 3 = 0 Løsning: a) Når vi sammenlikner likningen 3x + 5x = 0 med likningen ax + bx + c = 0, ser vi at a = 3, b = 5 og c =. Vi setter inn i andregradsformelen. 3x + 5x = 0 x = 5 ± ( ) 3 5 ± x = 6 5 ± 49 x = 6 x = 5 ± 7 6 x = x = 6 x = 1 3 eller x = eller x = 1 6 eller x = 101

15 b) Vi ordner først likningen slik at vi får 0 på høyre side. Deretter bruker vi andregradsformelen. x 6x = 9 x 6x + 9 = 0 Her er a = 1 fordi x = 1 x. Videre er b = 6, og c = 9. x = ( 6) ± ( 6) x = 6 ± 0 x = x = 3 eller x = 3 x = 3 eller x = 6 0 Denne likningen har bare én løsning. Det kommer av at x 6x + 9 er et fullstendig kvadrat. c) x + x + 3 = 0 a = 1, b =, og c = 3. ± x = ± 4 1 x = ± 8 x = Likningen har ingen løsning. Kvadratrota av 8 fins ikke. Derfor er det ingen løsning på likningen.! Vi kan løse alle typer andregradslikninger med andregradsformelen, også likninger med to ledd. Men slike likninger løser vi enklere med metodene i kapittel 4.3. Vi kan også løse andregradslikninger digitalt. Finn framgangsmåter på nettsidene eller bak i boka.? Oppgave 4.40 Løs andregradslikningene og sett prøve på svaret. a) x 5x + 6 = 0 b) x + x 1 = 0 c) x 4x + = 0 d) x x + = 0 e) 6x 17x + 1 = 0 10 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

16 ? Oppgave 4.41 Løs likningene. a) x 4x = b) x x = x c) x x + 1 = x + 1 Oppgave 4.4 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x x 3 a) Finn nullpunktene grafisk. b) Finn nullpunktene ved regning. Bevis for andregradsformelen Vi skal nå bevise andregradsformelen. I den generelle andregradslikningen ax + bx + c = 0 er a, b og c tre tall, og a er ikke lik 0. Vi omformer først likningen og danner et fullstendig kvadrat. Deretter løser vi den generelle likningen. Først flytter vi konstantleddet over på høyre side av likhetstegnet. ax + bx = c Deretter deler vi alle leddene med tallet a foran x. x + b a x = c a Nå legger vi til ( b ) på begge sidene av likhetstegnet. a x + b a x + ( b a ) = ( b a ) c a a ) = b 4a c a a ) = b 4a 4a c 4a a a ) = b 4ac 4a d 4a ( x + b ( x + b ( x + b ( x + b a ) = der d = b 4ac. Venstre side er et fullstendig kvadrat. Tallet d kaller vi diskriminanten (avgjøreren, den som skiller) til likningen. Det er nemlig d som avgjør om vi kan løse likningen eller ikke. Dersom d ikke er negativ, kan vi regne ut d. 103

17 Da får vi x + b a = ± d 4a x + b a = ± d a x = b a ± d a x = b ± d a Vi setter inn for diskriminanten d og får b ± b x = 4ac a Vi har bevist andregradsformelen. 4.5 Praktisk bruk av andregradslikninger Andregradslikninger får vi bruk for i praktiske sammenhenger. Noen ganger har begge løsningene av andregradslikningen praktisk betydning. I andre tilfeller er det bare én av løsningene som kan brukes. EKSEMPEL I et rektangel er den korteste siden 3 cm kortere enn den lengste. Hvor lange er sidene når arealet av rektangelet er 108 cm? Løsning: Vi setter lengden av den lengste siden lik x cm. Lengden av den korteste siden blir (x 3) cm. 108 cm (x 3) cm x cm 104 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

18 Arealet i kvadratcentimeter blir A(x) = x (x 3) = x 3x Ettersom arealet er 108 cm, får vi likningen x 3x = 108 x 3x 108 = 0 x = ( 3) ± ( 3) 4 1 ( 108) 1 x = 3 ± 441 x = 3 ± 1 x = 4 eller x = 18 x = 1 eller x = 9 En side i et rektangel kan ikke ha negativ lengde. Oppgaven har bare løsningen x = 1. Den lengste siden er 1 cm, og den korteste er 1 cm 3 cm = 9 cm.? Oppgave 4.50 Vi kaster en stein opp i lufta. Høyden over bakken målt i meter etter t sekunder er gitt ved h(t) = 5t + 10t a) Når er steinen m over bakken? b) Når er steinen 5 m over bakken? c) Når er steinen 7 m over bakken? d) Bruk utregningene ovenfor til å finne ut hvor høyt kastet var. Oppgave 4.51 Et rektangulært jordstykke har omkretsen 380 m og arealet 8800 m. a) Vis at dersom den ene siden er x meter, så er den andre siden (190 x) meter. b) Forklar hvorfor arealet er gitt ved A(x) = x(190 x) c) Vis at x må være en løsning av andregradslikningen x 190x = 0 d) Regn ut lengden og bredden av jordstykket. 105

19 4.6 Ikke-lineære likningssett I kapittel 3.7 lærte vi innsettingsmetoden. Den kan vi også bruke til å løse likningssett der en likning er av andre grad. EKSEMPEL Løs likningssettet ved regning. x y = 3 x x + y = 1 Løsning: Vi finner et uttrykk for y fra en av likningene. Vi velger å finne y fra den andre likningen. x x + y = 1 y = x + x + 1 Vi setter nå inn dette uttrykket for y i den første likningen. x y = 3 x ( x + x + 1) = 3 x + x x 1 = 3 x = 4 x = eller x = x = gir y = x + x + 1 = = = 1 x = gir y = x + x + 1 = ( ) + ( ) + 1 = = 7 Løsningen er x = og y = 1 eller x = og y = 7 I eksempelet ovenfor har vi to løsninger. x = og y = 1 hører sammen og er én løsning. x = og y = 7 er den andre løsningen.? Oppgave 4.60 Løs likningssettene. a) x y = 1 b) x y = 1 c) x + 5x + y = 6 x + 4x + y = 3 x 3x + y = 4x + y = I de likningene vi har løst til nå, forekommer x og ikke y. Vi kan også løse likninger der både x og y er med i en av likningene. Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

20 EKSEMPEL Løs likningssettet. 3x + y = 3 3x y = 9 Løsning: Først finner vi et uttrykk for y ut fra den første likningen. y = 3 3x Dette uttrykket for y setter vi inn i den andre likningen. 3x (3 3x) = 9 3x (9 18x + 9x ) = 9 3x x 9x = 9 6x + 18x = x(x 3) = 0 6x = 0 eller x 3 = 0 x = 0 eller x = 3 Det fins to x-verdier som er løsning. For hver x-verdi regner vi ut en tilhørende y-verdi. x = 0 gir y = 3 3x = = 3 x = 3 gir y = 3 3x = = 3 9 = 6 Løsningen er x = 0 og y = 3 eller x = 3 og y = 6? Oppgave 4.61 Løs likningssettene. a) x + y = 10 b) x + y = x + y = 5 x 4x + y 6y = 4 Det finnes digitale hjelpemidler som løser slike likningssett. Du finner hjelp for noen slike hjelpemidler på Sinus-sidene på nettet.? Oppgave 4.6 Løs likningssettet på så mange måter som mulig. x 3x + y = x + 4x y = 4 107

21 4.7 Nullpunkter og faktorisering I kapittel.9 lærte vi å faktorisere andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrater. Vi faktoriserte blant annet x 1x + 10 og fant ut at x 1x + 10 = (x 1)(x 5) Uttrykkene på høyre og venstre side av likhetstegnet er like for alle verdier av x. Høyre side har nullpunktene x = 1 og x = 5. Dermed må venstre side også være null når x = 1 og når x = 5. Dette kan vi utnytte når vi skal faktorisere andregradsuttrykk med to nullpunkter, for førstegradsfaktorene må ha de samme nullpunktene som andregradsuttrykket. Vi finner først null punktene til andregradsuttrykket og bruker dem til å sette opp førstegradsfaktorene. Noen andregradsuttrykk har bare ett nullpunkt. Uttrykket x x + 1 er et eksempel på det. Det eneste nullpunktet er x = 1. Men x x + 1 er et fullstendig kvadrat, for x x + 1 = (x 1) Dermed kan vi bruke nullpunktet når vi skal faktorisere andregradsuttrykk med bare ett nullpunkt. Vi må ta med førstegradsuttrykket to ganger. Alle førstegradsuttrykk har nullpunkter. Et andregradsuttrykk som er et produkt av førstegradsfaktorer, har altså nullpunkter. Et andregradsuttrykk uten nullpunkter kan vi dermed ikke skrive som et produkt av førstegradsfaktorer. Dersom ax + bx + c har nullpunktene x = x 1 og x = x, er ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ) Dersom andregradsuttrykket bare har ett nullpunkt, x = x 1, er ax + bx + c = a(x x 1 ) Dersom andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, kan det ikke faktoriseres i førstegradsfaktorer. EKSEMPEL Faktoriser uttrykkene. a) x 4x 6 b) x 5x + 7 c) x 1x Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

22 ! Løsning: a) Først bruker vi andregradsformelen og finner nullpunktene. x 4x 6 = 0 x = ( 4) ± ( 4) 4 ( 6) x = 4 ± 64 4 x = 4 ± 8 4 x = 1 eller x = 3 Nå faktoriserer vi andregradsuttrykket. x 4x 6 = (x ( 1))(x 3) = (x + 1)(x 3) Husk å ta med tallet foran x i faktoriseringen. b) Vi bruker andregradsformelen og finner nullpunktene. x 5x + 7 = 0 x = ( 5) ± ( 5) x = 5 ± 5 8 = 5 ± 3 3 fins ikke, og likningen har derfor ikke noe nullpunkt. Uttrykket kan ikke være et produkt av to førstegrads faktorer. Det er ikke mulig å faktorisere uttrykket. c) Vi bruker andregradsformelen eller digitale hjelpemidler og finner nullpunktene til uttrykket x 1x Uttrykket har bare det ene nullpunktet x = 3. Det gir faktoriseringen x 1x + 18 = (x 3)? Oppgave 4.70 Faktoriser uttrykkene. a) x 8x + 1 b) x 3x + c) x 4x 30 d) 6x 5x + 1 Oppgave 4.71 Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. Løs oppgaven ved regning og digitalt. a) x 6x + 8 b) x 6x + 9 c) x 6x + 10 d) x 6x Oppgave 4.7 For hvilke verdier av c er det mulig å faktorisere uttrykket x 3x + c? 109

23 4.8 Andregradsulikheter I kapittel 3.8 lærte vi hvordan vi kan løse lineære ulikheter ved hjelp av regneregler som likner de reglene vi bruker når vi skal løse likninger. Når vi arbeider med ulikheter som ikke er lineære, må vi bruke helt andre metoder. Vi bestemmer fortegnet til uttrykket ved hjelp av ei fortegnslinje. La oss tenke oss at vi ønsker å undersøke hvordan fortegnet til uttrykket x + 3 varierer med x. Vi vil finne ut hvor x + 3 er negativt, hvor x + 3 er null, og hvor x + 3 er positivt. Negativt område for x + 3: x + 3 < 0 når x < 3 Nullpunkt for x + 3: x + 3 = 0 når x = 3 Positivt område for x + 3: x + 3 > 0 når x > 3 Så lager vi ei tallinje der vi markerer nullpunktet til x + 3. Deretter lager vi ei fortegnslinje for uttrykket x + 3: x x På slike fortegnslinjer bruker vi disse symbolene: 0 markerer nullpunktene til uttrykket markerer at uttrykket er negativt markerer at uttrykket er positivt EKSEMPEL Lag ei fortegnslinje for uttrykket x + 6. Løsning: Først finner vi nullpunktet til uttrykket. Denne utregningen gjør vi ofte i hodet. x + 6 = 0 x = 6 x = 3 Når x > 3, blir x + 6 et negativt tall. Når x < 3, blir x + 6 et positivt tall. Det gir denne fortegnslinja: x x Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

24 ? Oppgave 4.80 Lag fortegnslinje for uttrykkene. a) x 3 b) x + 4 c) x + d) 3x + 9 Ulikheten x 4x 6 < 0 er et eksempel på en andregradsulikhet. Når vi skal løse slike ulikheter, får vi bruk for å faktorisere andregradsuttrykk. Vi kan da enten bruke metoden med fullstendige kvadrater eller bruke nullpunktene slik vi lærte i kapittel 4.7. Nå skal vi faktorisere andregradsuttrykket x 4x 6. Vi velger å utnytte nullpunktene og bruker derfor andregradsformelen. x 4x 6 = 0 x = ( 4) ± ( 4) 4 ( 6) x = 4 ± 64 4 x = 4 ± 8 4 x = 1 eller x = 3 Nå faktoriserer vi andregradsuttrykket. x 4x 6 = (x ( 1))(x 3) = (x + 1)(x 3) Så lager vi fortegnslinje for hver av faktorene, (x + 1) og (x 3) og setter dem under hverandre i det samme skjemaet x x x 3 0 (x + 1)(x 3) 0 0 Nå utnytter vi fortegnsreglene for tallregning. Når x > 3, er alle tre faktorene positive, og produktet er da positivt. Se den røde linja nederst. Når x er et tall mellom 1 og 3, er det én negativ faktor og to positive. Da blir produktet negativt. Når x < 1, har vi to negative faktorer og én positiv. Da blir svaret positivt, og vi tegner sammenhengende rød linje. Når x = 1 og når x = 3, er en faktor lik null, og da blir produktet null. Vi har dermed funnet fortegnslinja til (x + 1)(x 3). Ettersom x 4x 6 er lik (x + 1)(x 3) for alle verdier for x, er dette også fortegnslinja for x 4x

25 Vi skulle løse ulikheten x 4x 6 < 0 og må da finne ut hvor vi har stiplet linje på forrige side. Det er mellom 1 og 3. Løsningen er x 4x 6 < 0 når 1 < x < 3 EKSEMPEL Løs ulikheten x + x 3 > 3x + 5 Løsning: Vi ordner ulikheten ved å samle alle leddene på venstre side. x + x 3 > 3x + 5 x + x 3 3x 5 > 0 x x 8 > 0 Vi bruker andregradsformelen eller digitale hjelpemidler og finner nullpunktene x = 4 og x =. Dermed er x x 8 = (x 4)(x + ) Ulikheten blir (x 4)(x + ) > 0 Nå tegner vi fortegnslinjer for faktorene x 4 og x + og lager deretter ei fortegnslinje for (x 4)(x + ) ved å utnytte at to negative faktorer gir et positivt svar, at en positiv og en negativ faktor gir et negativt svar, og at to positive faktorer gir et positivt svar x x 4 x + (x 4)(x + ) Vi skulle finne de verdiene av x der (x 4)(x + ) > 0. Da må vi plukke ut de x-verdiene der fortegnslinja for uttrykket er sammenhengende. (x 4)(x + ) > 0 når x < eller x > 4. Ulikheten vi begynte med, har den samme løsningen: x + x 3 > 3x + 5 når x < eller x > Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

26 EKSEMPEL Løs ulikheten x 4x + 6 > 0 Løsning: Vi bruker andregradsformelen og finner nullpunktene. x 4x + 6 = 0 x = 4 ± 16 4 x = 4 ± 8 Kvadratrota av 8 fins ikke. Dermed har ikke x 4x + 6 noen nullpunkter, og uttrykket kan da heller ikke skifte fortegn. Uttrykket er dermed enten positivt for alle verdier av x, eller så er uttrykket negativt for alle verdier av x. Det finner vi ut ved å sette inn én verdi av x. Vi velger x = 0. Det gir x 4x + 6 = = 6 Ettersom uttrykket er positivt for x = 0, må uttrykket være positivt for alle verdier av x. x 4x + 6 > 0 for alle x. Det kan du også se ved å tegne grafen til funksjonen f(x) = x 4x + 6? Oppgave 4.81 Løs ulikhetene ved å bruke fortegnslinjer. a) x 5x + 6 > 0 b) x + x < 0 c) x + x 1 0 d) x x Oppgave 4.8 Løs ulikhetene. a) 6x 5x + 1 < 0 b) x 4x + 4 > 0 c) x + 6x 9 0 d) x 8x + 9 < 0 113

27 4.9 Rasjonale funksjoner Funksjonen f gitt ved f(x) = x + 1 x 1 kaller vi en rasjonal funksjon. Funksjonsuttrykket til en rasjonal funksjon er en brøk med polynomer i telleren og nevneren. En brøk er ikke definert når nevneren er null. Funksjonen f er ikke definert når x 1 = 0 x = 1 Det er ikke mulig å regne ut noen funksjonsverdi for x = 1. Vi regner ut f(x) for noen verdier nær x = 1. Først ser vi på hva som skjer når x nærmer seg 1 og er litt mindre enn 1 og deretter på noen verdier når x er litt større enn 1. x 0,97 0,98 0,99 0,999 0,9999 f(x) x 1,03 1,0 1,01 1,001 1,0001 f(x) Funksjons verdiene i tallverdi vokser ut over alle grenser når x nærmer seg 1. Vi sier at funksjonen f har et bruddpunkt for x = 1. En rasjonal funksjon har et bruddpunkt der nevneren er null. Nå ser vi hva som skjer med funksjonsverdiene for store tallverdier av x. x x f(x),33,03,003 f(x) 1,73 1,97 1,997 Det kan se ut som om funksjonsverdiene nærmer seg for store tallverdier av x. Det kan vi også finne ved regning. Når x har stor tallverdi, er brøken x + 1 x omtrent lik x. Da er x 1 f(x) = x + 1 x 1 x = x 1 = Dette viser at f(x) er nær når x blir et stort tall. For store tallverdier av x vil grafen nærme seg linja y =. Før vi tegner grafen, tegner vi den horisontale linja y =. Vi tegner også ei vertikal linje gjennom bruddpunktet x = Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

28 Da blir det lettere å tegne grafen etterpå, fordi grafen nærmer seg disse linjene når vi går utover i koordinatsystemet. Grafen ser du til høyre. Grafen nærmer seg den horisontale linja y = og den vertikale linja x = 1. Slike rette linjer som en graf nærmer seg, kaller vi asymptoter. Denne grafen har en horisontal asymptote y = og en vertikal asymptote x = y x? Oppgave 4.90 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x + 3 x a) Finn bruddpunktet til f. Hva er likningen for den vertikale asymptoten? b) Hva skjer med funksjonsverdiene når x har stor tallverdi? Hva blir likningen for den horisontale asymptoten? c) Tegn asymptotene og deretter grafen til f. Oppgave 4.91 Funksjonen f er gitt ved f(x) = 3x 5 x 6 a) Finn bruddpunktet. Hva er likningen for den vertikale asymptoten? b) Hva skjer med funksjonsverdiene for store tallverdier av x? Hva blir likningen for den horisontale asymptoten? c) Tegn asymptotene og grafen i et koordinatsystem. Oppgave 4.9 Mari betaler 150 kr i avgift per måned for mobiltelefonen sin. I tillegg betaler hun 0,89 kr per minutt når hun ringer. Utgiftene i kroner per minutt når hun en måned ringer i x minutter, er 0,89x U(x) = x a) Hva nærmer utgiftene seg per minutt når Mari ringer svært mye? Hva blir likningen for den horisontale asymptoten? b) Tegn grafen til U for x-verdier mellom 0 og 000. c) Hva koster telefonen per minutt hvis Mari en måned ringer i 00 minutter? d) Hvor mye må Mari ringe hvis utgiftene per minutt skal bli kr? 115

29 SAMMENDRAG Polynom Et polynom er et uttrykk av typen x 3 + 3x x + 5. Dette polynomet er av grad 3. Funksjon Vi sier at y er en funksjon av x dersom hver mulig verdi av x gir nøyaktig én verdi av y. Parabel Grafen til en andregradsfunksjon kaller vi en parabel. Definisjonsmengden D f Definisjonsmengden D f til funksjonen f er alle de verdiene som vi kan velge for x. Verdimengden V f Verdimengden V f til funksjonen f er alle de funksjonsverdiene f(x) vi får når x D f. Nullpunkt x er et nullpunkt for f dersom f(x) = 0. Produktregelen Dersom r s = 0, så er r = 0 eller s = 0. Andregradsformelen Andregradslikningen ax + bx + c = 0 har løsningene b ± b x = 4ac a når b 4ac Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

30 Faktorisering av andregradsuttrykk Dersom andregradsuttrykket ax + bx + c har nullpunktene x = x 1 og x = x, er ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ) Dersom andregradsuttrykket bare har ett nullpunkt x = x 1, er ax + bx + c = a(x x 1 ) Dersom andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, kan det ikke faktoriseres i førstegradsfaktorer. Rasjonal funksjon Funksjonsuttrykket til en rasjonal funksjon er en brøk med polynom i telleren og nevneren. Bruddpunkt En rasjonal funksjon har et bruddpunkt der nevneren er null. Asymptoter En asymptote er ei rett linje som en graf nærmer seg når vi går utover i koordinatsystemet. En rasjonal funksjon som har et bruddpunkt for x = a, har til vanlig en vertikal asymptote for x = a. 117

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme

Detaljer

4 Funksjoner og andregradsuttrykk

4 Funksjoner og andregradsuttrykk 4 Funksjoner og andregradsuttrkk KATEGORI 1 4.1 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.110 Regn ut f (0), f () og f (4) når a) f () = + b) f () = 4 c) f () = + 5 d) f () = 3 3 Oppgave 4.111 f() = + + 1 4 3 1 0 1

Detaljer

Funksjoner og grafiske løsninger

Funksjoner og grafiske løsninger 8 1 Funksjoner og grafiske løsninger Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner 14 4 Grafer og funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder omforme en praktisk problemstilling

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

Mer om likninger og ulikheter

Mer om likninger og ulikheter Mer om likninger og ulikheter Studentene skal kunne utføre polynomdivisjon anvende nullpunktsetningen og polynomdivisjon til faktorisering av polynomer benytte polynomdivisjon til å løse likninger av høyere

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

2 Likningssett og ulikheter

2 Likningssett og ulikheter Likningssett og ulikheter KATEGORI 1.1 Grafisk løsning av lineære likningssett Oppgave.110 Et lineært likningssett består av likningene for to rette linjer. De to rette linjene er tegnet i koordi natsystemet

Detaljer

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner S1

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner S1 Funksjoner oppgaver Innhold.1 Funksjoner.... Lineære funksjoner... 5 Ettpunktsformelen.... 9 Skjæringspunkt mellom rette linjer. Nullpunkt for en funksjon... 11.3 Andregradsfunksjon... 1.4 Tredjegradsfunksjon...

Detaljer

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Utgave 1.4 Skrevet av Bjørnar Tollaksen. Hele regelboka er et sammendrag av læreboka. Dette er ment som et supplement til formelheftet, ikke en erstatning. Skrivefeil kan

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for dagen Del 1: 09:00-11:45 Lunsj: 11:45-12:15 Del 2: 12:15-14:30 Eksamensinformasjon: 14:30-15:00 Plan for tiden før lunsj Økt 1: 09:00-09:45 Økt 2: 10:00-10:45

Detaljer

1 Funksjoner og grafiske løsninger

1 Funksjoner og grafiske løsninger Oppgaver Funksjoner og grafiske løsninger KATEGORI. Rette linjer Oppgave.0 Vi har gitt likningene for noen rette linjer. Fll ut tabellene og tegn de rette linjene i hvert sitt koordinatsstem. a) = 3 0

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a)

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a) R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( )

Detaljer

Formler, likninger og ulikheter

Formler, likninger og ulikheter 58 3 Formler, likninger og ulikheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

P(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen.

P(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen. 5.9 Sirkellikningen Fra kapittel 4.3 vet vi at sirkelen er det geometriske stedet for de punktene som har en bestemt avstand r fra et fast punkt S. Avstanden r kaller vi radien, og punktet S kaller vi

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for i dag og i morgen Dag 1: 09.00-11.45 Del 1: teori. 11.45-12.30 Lunsj 12.30-13.15 Del 2: bruk av GeoGebra. 13.15-15.15 Oppgaveregning, del 1. Dag 2: 09.00-10.45

Detaljer

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er 7.5 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f () = 3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen f () = a k der tallet a og eksponenten k kan være både

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene P kapittel Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a c d e y = 4x+ 1 Stigningstallet er 4. Konstantleddet er 1. Linja skjærer altså y-aksen i punktet (0,1). y = 3x 4 Stigningstallet er 3. Konstantleddet

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem

Detaljer

a) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det.

a) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det. Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

Del 2 skal leveres inn etter 5 timer. verktøy som tillater kommunikasjon. framgangsmåte.

Del 2 skal leveres inn etter 5 timer. verktøy som tillater kommunikasjon. framgangsmåte. Eksamen.05.009 REA306 Matematikk S1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:

Detaljer

S1 Eksamen våren 2009 Løsning

S1 Eksamen våren 2009 Løsning S1 Eksamen, våren 009 Løsning S1 Eksamen våren 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig 1) x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 ) a b 3 a b 3 a 4a b 1 3 4a b 3 b 1 b) Løs likningene

Detaljer

Texas. Så trykker vi på zoom og velger 0:ZoomFit. Vi får fram det valget enten ved å trykke på tasten 0 eller ved å trykke på tasten noen ganger.

Texas. Så trykker vi på zoom og velger 0:ZoomFit. Vi får fram det valget enten ved å trykke på tasten 0 eller ved å trykke på tasten noen ganger. ON Lommeregnerstoff Texas 4.1 Rette linjer Her viser vi hvordan vi går fram for å få tegnet linja med likningen y = 2x 3 Vi trykker på Y= og legger inn likningen som vist nedenfor. Nå må vi velge vindu.

Detaljer

Terminprøve Sigma 1T Våren 2008 m a t e m a t i k k

Terminprøve Sigma 1T Våren 2008 m a t e m a t i k k Terminprøve Sigma 1T Våren 2008 Prøvetid 5 klokketimer for Del 1 og Del 2 til sammen. Vi anbefaler at du ikke bruker mer enn to klokketimer på Del 1. Du må levere inn Del 1 før du tar fram hjelpemidler.

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 Emne Underkapittel Utregning av algebraiske uttrykk 1.4 Forenkle uttrykk 1.5 Faktorisering 1.5 Kvadratsetningene 1.6 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 1.8 Grafisk

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T Emne Underkapittel Rettvinklede trekanter 2.4 Ikke-rettvinklede trekanter I 2.6 Ikke-rettvinklede trekanter II 2.7 Graftegning 3.2 Graftegning med definisjonsmengde 3.2

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2012 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2012 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 01 1T DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Skriv så enkelt som mulig x 9 x 6 Vi må faktorisere både teller og nevner. Så kan vi forkorte felles faktorer. Da får vi: x 9 x x 6 a) 4a4 b

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

Tall og enheter. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Tall og enheter. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Tall og enheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene 1.1 Regnerekkefølge På ungdomsskolen

Detaljer

GeoGebra for Sinus 2T

GeoGebra for Sinus 2T GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side

Detaljer

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011. 1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

Funksjoner 1T, Prøve 2 løsning

Funksjoner 1T, Prøve 2 løsning Funksjoner 1T, Prøve løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 I koordinatsystemet ovenfor er det tegnet fire rette linjer, j, k, m og n. Finn likningen for hver av de fire linjene.

Detaljer

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform

Detaljer

Velg mellom disse kommandoene: Dersom[, , ] Funksjon[, , ]

Velg mellom disse kommandoene: Dersom[<Vilkår>, <Så>, <Ellers>] Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>] 442 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Nullpunkter Velg mellom disse kommandoene: Dersom[, , ] Funksjon[, , ] GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt

Detaljer

Eksamen 1T, Våren 2010

Eksamen 1T, Våren 2010 Eksamen 1T, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Funksjonen f er gitt ved f x x 3 Tegn grafen

Detaljer

Tall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne

Tall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Tall og formler MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene tolke, bearbeide, vurdere

Detaljer

DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1

DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1 HELDAGSPRØVE I MATEMATIKK 1T HØST DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) Oppgave 1. Trekk sammen uttrykkene: a) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1 = a. b) 1

Detaljer

Løsning eksamen 1T våren 2010

Løsning eksamen 1T våren 2010 Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x

Detaljer

Løsningsforslag matematikk S1 V14

Løsningsforslag matematikk S1 V14 Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2

Detaljer

Basisoppgaver til 1P kap. 5 Funksjoner

Basisoppgaver til 1P kap. 5 Funksjoner Basisoppgaver til 1P kap. 5 Funksjoner 5.1 Funksjoner og grafer 5.2 Førstegradsfunksjoner 5.3 Lineær vekst 5.4 Proporsjonalitet 5.5 Andregradsfunksjoner 5.6 Mer om funksjoner Basisoppgaver 5.1 Funksjoner

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Koordinatene til origo er (0, 0). b Vi leser av førstekoordinaten langs x-aksen og andrekoordinaten langs y-aksen for

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Eksamen S1, Høsten 2013

Eksamen S1, Høsten 2013 Eksamen S1, Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 24.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 4.11.011 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

3 Formler, likninger og ulikheter

3 Formler, likninger og ulikheter Formler, likninger og ulikheter KATEGORI 1.1 Likninger Oppgave.110 4 + 4x = x + 8 5x 6 = 4x 5 1 x = x + 1 d) x = x 5 Oppgave.111 x + x = x 4 5x = x 14 x 1 = 4x + 4 d) x + x = 0 Oppgave.11 x = 4x 10 x 8

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette

Detaljer

Lineære funksjoner. Skjermbildet

Lineære funksjoner. Skjermbildet Lineære funksjoner I dette opplæringsløpet lærer du å tegne funksjoner i GeoGebra samt å bruke verktøy til å løse oppgaver som dreier seg om funksjoner. Alle oppgavene handler om lineære funksjoner. I

Detaljer

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra kompetansemålet: Funksjoner - undersøkje funksjonar som beskriv praktiske situasjonar, ved å fastsetje nullpunkt, ekstremalpunkt og skjeringspunkt og tolke den praktiske verdien av resultata. Oppgave 1

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato. desember 6 Tidspunkt 9. -. Antall oppgaver Vedlegg Tillatte hjelpemidler Ingen Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave Vi løser likningene ved

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012 Eksamen REA306 S1, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) 8 8 0 1 1 4 1 8 4 3 6

Detaljer

S1 Eksamen høst 2009 Løsning

S1 Eksamen høst 2009 Løsning S1 Eksamen, høsten 009 Løsning S1 Eksamen høst 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig: 1) 5a a a a 1 5a a 4 a 1 6a a 5 ) 1 3 13 3 3 48 3 6 7 8 6 3) 4 a b a 3 a b 13 43 1 a b a b 4 4)

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)

Detaljer

Vi kan finne formler som gir oss neste tall i tallfølgen dersom vi kjenner ett tall. Det er den rekursive formelen. gir oss gir oss alle tallene a

Vi kan finne formler som gir oss neste tall i tallfølgen dersom vi kjenner ett tall. Det er den rekursive formelen. gir oss gir oss alle tallene a Tallfølger, figurtall, algebra (utgave beregnet for GLU1-7). Av Geir Martinussen, Høgskolen i Oslo og Akershus (Se også: http://www.matematikk.org/uopplegg.html?tid=114140 ) Tallfølger er en nyttig ressurs

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen

Detaljer

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 50 a Vi ser at grafen har et toppunkt i (11, 380). Det var altså flest besøkende 11. juni. Antall besøkende var da 380. b Vi ser at grafen har

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Eksamen.05.009 REA30 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010 Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e

Detaljer

Matematikk R1 Forslag til besvarelse

Matematikk R1 Forslag til besvarelse Matematikk R1 Forslag til besvarelse NITH 4. mars 014 Oppgave 1 a) Regn ut p x) når px) = x 3 3x + 6x 1. p x) = x 3 ) 3x ) + 6x) 0 = 3x ) 3x) + 6 1 = 6x 6x + 6 b) Regn ut p x) når px) = ax + bx + c. Her

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

Plotting av grafer og funksjonsanalyse

Plotting av grafer og funksjonsanalyse Opplæringshefte i GeoGebra Innholdsfortegnelse: Plotting av grafer og funksjonsanalyse... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 4 Oppgave 3... 8 Å plassere et bilde i GeoGebra... 8 Oppgave 4... 8 Vektorregning

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Eksamen vår 2009 Løsning Del 1

Eksamen vår 2009 Løsning Del 1 S Eksamen, våren 009 Løsning Eksamen vår 009 Løsning Del Oppgave a) Deriver funksjonene: ) f f f 3 3 f f 4 ) g e 3 g e g e e g e b) ) Gitt rekka 468 Finn ledd nummer 0 og summen av de 0 første leddene.

Detaljer

Eksamen 19.05.2010. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 19.05.2010. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 19.05.010 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer: Del 1 skal

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Matematikk for økonomer Del 2

Matematikk for økonomer Del 2 Matematikk for økonomer Del 2 Formelark Dokument type: Formelark Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 17 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere rett til bruk av materialet. Det innebærer at

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22.

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22. c) Løs likningen 6 4 x 4 x 6 4 x 4 x Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.011 DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Regn ut 10 8 3 3 10 8 3 3 10 8 1 10 3 a) 3 5 4 5 3 5 5 4 5 3 5 5 3 5 5 4 5 1 3 5 1 5 1 1 3 1 5 1 3 3 5

Detaljer

Deriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker.

Deriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker. Heldagsprøve i matematikk, 1. desember 006 Forkurs for Ingeniørutdanningen ved HiO, 006/07 Antall oppgaver: Antall timer: 5 timer fra klokken 0900 til klokken 100. Hjelpemidler: Kalkulator og Formelsamling

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P Emne Underkapittel Graftegning 2.1 Linje gjennom to punkter 2.1 Å finne y- og x-verdier 2.1 Lineær regresjon 2.3 Andregradsfunksjoner 2.4 Polynomregresjon 2.4 Eksponential-

Detaljer

Funksjoner løsninger. Innhold. Funksjoner R1

Funksjoner løsninger. Innhold. Funksjoner R1 Funksjoner løsninger Innhold. Funksjoner.... Kontinuitet, grenseverdier og asymptoter til funksjoner... 6 Grenseverdier... 6 Rasjonale funksjoner og asymptoter... 5 Kontinuitet... 4 Funksjoner med delt

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Faktorisering. Side 55 i læreboka... 3 Rette linjer. Side 73 i læreboka... 3 Digital løsning av likninger. Side 77 i læreboka...

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maple

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maple Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maple Innhold 1 Om Maple 4 1.1 Tillegg til Maple................................ 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Regning med positive og negative tall 2 Regnerekkefølge og parenteser 3 Potenser 4 Algebra 5 Brøkregning 6 Ligninger 7 Ulikheter

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010 Eksamen REA6 S, Høsten Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) x 7 x 6 6 x6 x 6 7 6 6 6 x 7 x

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012 Eksamen REA308 S, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Deriver funksjonene 3x x a) gx 3 3x x 3x

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen Løsningsforslag eksamen T våren 00 DEL Oppgave a) Funksjonen f er gitt ved f 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f 3 Grafen y 0 8 6 4-4 -3 - - 3 4 - -4 Nullpunkt 3 0 3 Nullpunkt når 3 b) Løs likningen

Detaljer

Karakter 2: 10p Karakter 3: 16p Karakter 4: 22p Karakter 5: 28p Karakter 6: 34p

Karakter 2: 10p Karakter 3: 16p Karakter 4: 22p Karakter 5: 28p Karakter 6: 34p 13.03.2017 MATEMATIKK (MAT1005) Funksjoner og vekst DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 40 minutter DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 50 minutter (Del 1 leveres inn etter nøyaktig 40 minutter og før hjelpemidlene kan benyttes)

Detaljer

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering.

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering. 11 CAS i GeoGebra Fra og med versjon 4.2 får GeoGebra et eget CAS-vindu. CAS står for Computer Algebra System og er en betegnelse for programvare som kan gjøre symbolske manipuleringer. Eksempler på slike

Detaljer

Lineære funksjoner - Elevark

Lineære funksjoner - Elevark Lineære funksjoner - Elevark -Navn: Oppgave 1 a) Hva koster det å reise for to personer? b) Hvor mange kan reise for 160 kr? c) Hva koster en billett? d) Vi kaller antall personer for x, og utgiftene for

Detaljer