Oppgaver. Innhold. Funksjoner i praksis Vg2P

Transkript

1 Oppgaver Innhold Modul 1: Lineære funksjoner... Modul : Andregradsfunksjoner Modul 3: Tredjegradsfunksjoner... 1 Modul 4: Potensfunksjoner og rotfunksjoner Modul 5: Eksponentialfunksjoner Modul 6: Vekstfart Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA... 3 Noen av oppgavene er merket med symbolet Disse oppgavene bør du klare å løse uten hjelpemidler. Oppgaver og løsningsforslag Stein Aanensen og Olav Kristensen 1

2 Modul 1: Lineære funksjoner 1.1 Marker punktene 1, 1, 1,,, 1,, 3, 3, 0 og 0, i et koordinatsystem. 1. Gitt koordinatsystemet til høyre. Angi koordinatene for punktene A til I. Utfordring! Kan du finne avstanden fra origo til punktet H? 1.3 Skriv opp funksjonsuttrykket for en funksjon som a) viser hva du må betale for x liter melk når hver liter koster 1,40 kroner. b) viser strekningen du har kjørt etter t timer når hastigheten er 80 km/time.

3 1.4 Verdens beste maratonløpere løper med tilnærmet konstant fart og bruker ca. timer og 4 minutter på en maraton (4 195 meter). a) Hvor mange km tilbakelegger disse løperne per minutt? b) Lag en funksjon som viser sammenhengen mellom distansen, d, løperne tilbakelegger og tiden, t. c) Lag en verditabell for følgende t-verdier: 30, 60, 90, 10. d) Tegn grafen og finn ut hvilken distanse løperne har tilbakelagt når de har løpt i 45 minutter. Marker i koordinatsystemet. 1.5 Camilla har et mobilabonnement. Hun betaler 99 kroner i fast pris per måned og 0,49 kroner per ringeminutt, t. Kostnadene, k, ved å bruke mobiltelefonen en måned kan vi skrive som 0,49t 99 k t der t varierer fra og med 50 til og med 00. a) Lag en verditabell for k. b) Tegn grafen til k. c) Finn grafisk hvor mange minutter Camilla har ringt når kostnadene er 160 kroner. 3

4 1.6 De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt nedenfor. Skriv ned stigningstallet og konstantleddet til hver av de tre funksjonene. a) f xx b) g x 3x c) h x x d) Hva forteller stigningstallet og konstantleddet oss om grafen til en lineær funksjon? 1.7 De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt ved 0,5x x x f x g x h x For hver av de tre funksjonene skal du - Lage en verditabell som inneholder 3 ulike x-verdier - Markere punktene du finner i et koordinatsystem - Tegne en rett linje gjennom punktene 4

5 1.8 De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt ved f x g x h x x 1 x x 3 a) Hvor skjærer hver av disse grafene andreaksen? b) Kan du si noe om hvordan disse grafene går i forhold til hverandre og hvorfor det er slik? c) Tegn grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem. 1.9 Bruk det du vet om stigningstallet og konstantleddet til en lineær funksjon til å tegne de rette linjene gitt ved a) f xx b) g x x c) h xx 0, På figuren til høyre ser du to rette linjer i et koordinatsystem. Hva er konstantleddet i funksjonsuttrykket til hver av disse to linjene? 5

6 1.11 a) Finn stigningstallet til den rette linja som er tegnet i koordinatsystemet til høyre. b) Skriv opp funksjonsuttrykket til den lineære funksjonen som gir denne rette linja. c) Hva er nullpunktet til funksjonen? 1.1 I koordinatsystemet ovenfor er det tegnet fire grafer. Forklar hvilket av funksjonsuttrykkene nedenfor som hører sammen med hvilken graf. f xx 1 g x x h x x i x 6

7 1.13 I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafene til de fem funksjonene f, g, h, i og j. Skriv ned funksjonsuttrykket til hver av de 5 funksjonene Ei rett linje går gjennom punktene 0, 1 og 1, 1. a) Hva er stigningstallet til denne rette linja? b) Finn likningen for linja gjennom disse punktene Ei rett linje har stigningstall og går gjennom punktet,. Finn likningen for linja. 7

8 1.16 Gitt funksjonene 3 x 5 og g x x f x. a) Tegn grafene til de to funksjonene i samme koordinatsystem. b) Finn skjæringspunktet mellom grafene grafisk. c) Finn skjæringspunktet mellom grafene ved regning, både med og uten digitale hjelpemidler. d) Finn nullpunktene til funksjonene grafisk og ved regning. Ved regning både med og uten digitale hjelpemidler Per jobber som telefonselger. Lønnen er basert på en grunnlønn per time på 105 kroner. I tillegg får han 10 kroner for hvert salg han oppnår. a) Lag en funksjon L som viser timelønnen i kroner når han oppnår s antall salg. b) Tegn grafen til funksjonen L i et koordinatsystem. c) Hvor mange salg har Per hatt når timelønnen var 175 kroner? 1.18 På en terminprøve i matematikk har Trine tatt med seg en flaske med kaldt kildevann. Temperaturen i vannet var 5 o C ved starten av prøven og stiger jevnt med 5,4 o C i timen i løpet av de 3 første timene prøven varer. a) Lag en funksjon T for temperaturen i vannet x antall minutter etter at prøven startet. b) Hva er temperaturen i vannet etter 1,5 timer? c) Tegn grafen til T i et koordinatsystem. La x variere fra 0 til 180. d) Når var temperaturen i vannet 14 o C?. Anette hadde også med seg en flaske med kildevann på prøven. Funksjonen f viser temperaturen i vannet til Anette x antall minutt etter at prøven startet: 0,08x 6,5 f x e) Hva var temperaturen i vannet til Anette da prøven startet? 8

9 1.19 Tabellen nedenfor viser folkemengden i Norge for noen utvalgte år i perioden fra 1950 til 000. År Folkemengde a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon f som beskriver sammenhengen mellom år og folkemengde ved å bruke et digitalt hjelpemiddel. La x være antall år etter 1950 og f x folkemengden i millioner. b) Hvor mye øker folkemengden med per år ut fra uttrykket du fant i a)? c) Dersom denne utviklingen fortsetter, hva vil folkemengden i Norge være i år 050? 1.0 Tabellen nedenfor viser utslipp av svoveldioksid til luft i Norge for noen utvalgte år fra 1973 til 000. År Utslipp til luft SO i 1000 tonn 156,4 136,4 73,1 37,0 33,1 7,3 a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon S som beskriver sammenhengen mellom år og utslipp. La x være antall år etter 1973 og S x utslippet av svoveldioksid i tusen tonn. b) Når var utslippet av svoveldioksid 100 tusen tonn? c) Hva vil utslippet være i år 010 dersom vi følger denne modellen. Kommenter svaret. 9

10 Modul : Andregradsfunksjoner.1 Skriv opp funksjonsuttrykket for en funksjon som viser arealet av et rektangel når omkretsen er 36 m og du kaller grunnlinja x.. Tegn grafene til følgende funksjoner med digitalt verktøy. For hver graf skal du tilpasse vinduet og enhetene på aksene slik at du får et best mulig bilde av grafen. a) b) c) f( x) x 10x 0 for x verdier mellom 15 og 3. A x ( ) 10x 0 for x verdier mellom 1 og 1. K( x) 0,1x 100x 0000 for x verdier mellom 0 og Et rektangel har en omkrets på 100 m. a) Sett grunnlinja lik x og forklar at høyden da blir 50 x. b) Forklar at funksjonen A gitt ved ulike verdier av x. A( x) x 50x gir arealet av rektangelet for c) Tegn grafen til A. d) Hva er den største verdien arealet kan få? e) For hvilke x-verdier er arealet lik 400 m? Forklar hvorfor du får to løsninger. 10

11 .4 Andreas kaster et spyd. Grafen til funksjonen f gitt ved f x 0,01x 0,85x,0 beskriver banen spydet følger gjennom luften. Her er x meter målt langs bakken fra stedet hvorfra Andreas kaster spydet, og høyden spydet har over bakken. a) Tegn grafen til f for x 0. f x meter er b) Bestem skjæringspunktene mellom grafen til f og aksene. Bestem toppunktet på grafen til f. c) Hva forteller svarene i b) om spydkastet?.5 (Eksamen 1P våren 011) Antall gram CO en bil slipper ut per kilometer er gitt ved f x x x ( ) 0,046 6,7 386 der x er farten til bilen målt i km/h. a) Tegn grafen til f i et koordinatsystem for x - verdier fra 0 til 100. b) Hvor mange gram CO slipper bilen ut per kilometer, dersom den holder en fart på 60 km/h? c) Hvilken fart gir minst CO -utslipp per kilometer? Hvor stort er CO -utslippet per kilometer da? Bilen kjører i 80 km/h i en halv time. d) Hvor mye CO slipper bilen ut i løpet av denne halvtimen? 11

12 Modul 3: Tredjegradsfunksjoner 3.1 Tegn grafene til følgende funksjoner med digitalt verktøy. For hver graf skal du tilpasse vinduet og enhetene på aksene slik at du får et best mulig bilde av grafen. a) 3 g( x) x x for x verdier mellom og. b) i x x x 3 ( ) 0 for x verdier mellom 5 og a) Tegn grafen til funksjonen f gitt ved 3 - toppunkter - bunnpunkter - skjæringspunkter med koordinataksene f x 0,5x 3x 3x 3 og finn grafisk eventuelle b) Tegn grafen til funksjonen g gitt ved 3 - Toppunkter - Bunnpunkter - skjæringspunkter med koordinataksene g x 0,0x 0,60x 4 og finn grafisk eventuelle 1

13 3.3 Gitt en sylinder der summen av diameter og høyde er, dm. a) Kall høyden i sylinderen h og vis at et utrykk for radius r uttrykt ved h er, h rh (). V h h h. 4 b) Vis at volumet av sylinderen, V h kan uttrykkes som ( ), c) Hva slags funksjon erv? d) Finn volumet når høyden er 1,0 dm. e) Finn høyden når volumet er 1,0 liter. f) Finn radius i de sylindrene som har et volum på 1,0 liter. 3.4 Temperatursvingningene gjennom et romjulsdøgn er gitt ved funksjonen 3 T x 0,005x 0,1x der x er antall timer etter midnatt. a) Tegn grafen til funksjonen T for ett døgn. b) Bruk grafen og finn når temperaturen er 6C. 13

14 Modul 4: Potensfunksjoner og rotfunksjoner 4.1 Potensfunksjonene f, g og h er gitt ved f x 3 x g x 3 x h x 3 x 0,6 1,,1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem. b) Hvilken betydning har eksponenten x - leddet er opphøyd i for stigningen til grafen? 14

15 4. Høyden til et frukttre er gitt ved funksjonen 0.7 x h x 0,85 0,5 der x er antall år etter utplanting. a) Tegn grafen til h. Velg x - verdier mellom 0 og 10. b) Hvor høyt er treet etter 3 år? c) Når er treet 4 meter høyt? 4.3 Gitt en sylinder med et volum på én liter. a) Vis at radius i sylinderen kan uttrykkes som r 1. h b) Vis at overflata av sylinderen kan uttrykkes som O( h) h. h c) Tegn grafen til O. Du skal lage en sylinderformet boks som skal romme én liter. d) Hvor høy må boksen være, og hvor stor radius må den ha, dersom overflata skal bli minst mulig? e) Hva er forholdet mellom diameter og høyde i denne boksen? Neste gang du er i butikken, kan du ta med en linjal og måle diameter og høyde på noen literbokser. Hvordan er målene i forhold til resultatene du har funnet her? 15

16 Modul 5: Eksponentialfunksjoner 5.1 Eksponentialfunksjonene f, g og h er gitt ved x f x 3 0,6 x gx 3 1, x hx 3,1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem. b) Grafene skjærer andreaksen i 3. Hvorfor? c) Hvilken betydning har vekstfaktoren for stigningen til grafen? 5. Miriam kjøpte en scooter for kroner i begynnelsen av 008. Vi regner med at verdien S synker med 15 % per år. Vi kan da skrive verdien x år etter 008 som S x ,85 x. a) Tegn grafen til S Velg x - verdier mellom 0 og 8. b) Finn grafisk scooterens verdi når den er 3 år gammel. c) Finn grafisk når scooterens verdi er kroner. 5.3 Temperaturen i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd er gitt ved T x3 1,15 x der x er antall timer etter strømbruddet. a) Hva var temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet? b) Tegn grafen til T La x variere mellom 0 og 0. c) Hvor lang tid går det før temperaturen er 10 grader i kjøleskapet? d) Er det realistisk å bruke denne modellen dersom strømmen er borte over en lengre periode (mer enn 1 døgn)? Begrunn svaret ditt. 16

17 Modul 6: Vekstfart 6.1 Funksjonene g, h og i er gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor. For hver av funksjonene skal du først tegne grafen. Deretter velger du ut punkter på grafen og bruker disse punktene til å regne ut vekstfarten. Sjekk om vekstfarten er lik stigningstallet du kan lese direkte av grafen. a) g xx 4 b) h x x 8 c) i x 1 x 6. Funksjonene g, h, i og f er gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor. For hver av funksjonene skal du velge ut to verdier for x. Deretter regner du ut veksthastigheten ved å regne ut funksjonsverdiene til de valgte x - verdiene. Sjekk om vekstfarten er lik stigningstallet du kan lese direkte av funksjonsuttrykket. a) g xx 4 b) h x 3x c) i x600 5 f x x 7 3 x 17

18 6.3 (Eksamen 1p våren 013) Funksjonen h gitt ved 3 h t 3,5t 50t 170t 700 var en god modell for hjortebestanden i en kommune i perioden Ifølge modellen var det a) Tegn grafen til h for 0 t 10. ht hjort i kommunen t år etter 1. januar b) Når var hjortebestanden størst, og hvor mange hjort var det i kommunen da? c) Løs likningen ht 850 grafisk, og forklar hva løsningen forteller om hjortebestanden. d) Hvor stor var den gjennomsnittlige endringen i antall hjort per år i perioden 1. januar januar 1998? 6.4 Grafen til en lineær funksjon går gjennom to oppgitte punkter. Regn ut stigningstallet a til grafen når de oppgitte punktene er a) 3,7 og 5,9. b) 1, 8 og 4, Du får oppgitt at funksjonen f er en lineær funksjon. Du får videre oppgitt at f f 4 9. Finn vekstfarten a til f. 3 og at 18

19 6.6 h x x 0.09x 1 Funksjonen 3 viser høyden i meter til et morelltre de 0 første årene etter at det ble plantet i a) Finn grafisk hvor mye treet vokste i gjennomsnitt per år i perioden 1994 til b) Finn videre hvor mye treet vokste i gjennomsnitt per år i perioden 003 til Funksjonene f og g er gitt ved f x 0,5x 3x 3x 3 og g x x x For hver av funksjonene skal du 0,0 0,60 4. a) Finne gjennomsnittlig vekstfart når x vokser fra x 1 1 til x. b) Finne gjennomsnittlig vekstfart når x vokser fra x 1 1 til x 1,1 : c) Sammenlikn svarene i a) og b). Hvilket av disse svarene gir en mest korrekt verdi for vekstfarten når x 1? 19

20 6.8 Forskere har undersøkt veksten til trær i et bestemt skogområde. Det viser seg at høyden til et tre, ht (), målt i meter tilnærmet kan beskrives med en matematisk modell. De første åtte årene gjelder funksjonen 3 h t 0,0t 0,5t 1,15t 0,15 der t er antall år etter utplanting. a) Hva er den gjennomsnittlige vekstfarten fra år 1 til år 4? b) Skriv noen ord om hvordan høyden til treet forandrer seg fra år til år. 6.9 Funksjonen f gitt ved f x x x D R. 6 f a) Finn grafisk den momentane vekstfarten til f for x, x 1, x 0 og x 1. b) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den momentane vekstfarten og formen til grafen? 0

21 Eksempeloppgave 1P +P, Desember 007 Nedenfor er det beskrevet 6 ulike situasjoner. For hver situasjon skal du finne en funksjon som beskriver situasjonen. Tre av funksjonene finner du her: 1,60x ,95 x A x B x x x C x De tre andre skal du finne fram til på egen hånd. Situasjon 1, og 3 En teleoperatør opererer med følgende alternativer for mobilabonnement: Prisplan Situasjon 1 (Alternativ 1) Situasjon (Alternativ ) Situasjon 3 (Alternativ 3) Månedsavgift (kr) Samtalepris per minutt (kr),50 1,60 1,10 Finn tre ulike funksjoner som beskriver hvert av de tre alternativene i tabellen ovenfor. 1

22 Situasjon 4 Fra blant annet studier av ringmerkede kjøttmeiser har en funnet ut at innenfor et bestemt område dør 48 % av disse kjøttmeisene i løpet av ett år. Ett år ble det ringmerket 350 kjøttmeiser i dette området. Finn en funksjon som beskriver hvor mange av de ringmerkede kjøttmeisene som lever etter x år. Situasjon 5 En gårdbruker har 00 meter gjerde og skal lage en rektangulær innhegning. Rektangelet er x meter langt. Finn en funksjon som viser hvor stort areal rektangelet får for ulike verdier av x. x meter Situasjon 6 Lysstyrken under vann minker med ca. 5 % for hver meter en er under havoverflaten. Dette betyr at på en dybde er lysstyrken 5 % mindre enn 1 meter høyere oppe. Finn en funksjon som viser lysstyrken x meter under havoverflaten.

23 Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA Eksamen våren 015 Del 1: Oppgave 7 Eksamen våren 015 Del : Oppgave 6, Oppgave 7 Eksamen høsten 014 Del 1: Oppgave 8 Eksamen høsten 014 Del : Oppgave, Oppgave 5 Eksamen våren 014 Del 1: Oppgave 6 Eksamen våren 014 Del : Oppgave 4 Eksamen høsten 013 Del 1: Oppgave 5 Eksamen høsten 013 Del : Oppgave 3 Eksamen høsten 01 Del 1: Oppgave 8 3