Når du har arbeidet deg gjennom dette kapittelet, er målet at du skal kunne

Transkript

1 Funksjoner i praksis Innhold Kompetansemål Funksjoner i praksis, Vg2P... 1 Modul 1: Lineære funksjoner... 2 Modul 2: Andregradsfunksjoner... 8 Modul 3 Tredjegradsfunksjoner Modul 4: Potensfunksjoner Modul 5: Eksponentialfunksjoner Modul 6: Vekstfart Bildeliste Kompetansemål Funksjoner i praksis, Vg2P Når du har arbeidet deg gjennom dette kapittelet, er målet at du skal kunne bruke digitale verktøy til å undersøke kombinasjoner av polynomfunksjoner, rotfunksjoner, potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner som beskriver praktiske situasjoner, ved å bestemme nullpunkt, ekstremalpunkt og skjæringspunkt og finne gjennomsnittlig vekstfart og tilnærmingsverdier for momentan vekstfart bruke funksjoner til å modellere, drøfte og analysere praktiske sammenhenger 1

2 Modul 1: Lineære funksjoner Lene løper med en jevn fart på 160 m/min. Hvor langt har Lene løpt etter 70 minutter? Hvor lang tid bruker Lene på å løpe meter? Vi kan beskrive sammenhengen mellom strekningen Lene tilbakelegger og hvor lenge hun har løpt ved hjelp av funksjonen S gitt ved 160 S t t der S t står for strekningen i meter som Lene har tilbakelagt etter t minutter. Vi antar at løpeturen varer i 100 minutter. Det vil si at t varierer fra 0 til

3 Vi kan tegne grafen til funksjonen S i GeoGebra. Vi bruker kommandoen «Funksjon[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ]», og på skrivelinjen skriver vi S t Funksjon[160 t,0,100] Legg merke til at vi ikke trenger skrive inn hele uttrykket. Så fort vi begynner å skrive får vi flere valg.. Bruk knappen «Flytt grafikkfeltet» for å plassere koordinatsystemet i ønsket posisjon og dra i koordinataksene for å få ønskede avstander. Fra Algebrafeltet kan du «dra» funksjonsuttrykket over til Grafikkfeltet. Bruk «Innstillinger - Avansert - Grafikkfelt» eller høyreklikk når du peker på et punkt i Grafikkfeltet, for å angi «Navn» og «Avstand» på aksene. Hvor langt har Lene løpt etter 70 minutter? Ved grafisk løsning kan vi skrive x 70 og vi får en «loddrett» linje gjennom punktet D. Vi finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen ved kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Vi får punktet E 70, Det betyr at Lene har løpt meter etter 70 minutter. En kjappere metode er å skrive inn punktet 70, 70 S på skrivelinjen. Da får du punket E på grafen. Ved regning skriver vi S 70 i CAS-feltet og klikker på knappen «Regn ut». Hvor lang tid bruker Lene på å løpe meter? Ved grafisk løsning kan vi skrive y 5000 og vi får en «vannrett» linje gjennom punktet A. Vi finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen ved kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Vi får punktet B 31.25, Det betyr at Lene har brukt 31,25 minutter som er lik 31 minutter og 15 sekunder på å løpe meter. Ved regning skriver vi S t 5000 i CAS og klikker på knappen «Løs en eller flere likninger numerisk». 3

4 Lineære funksjoner Grafen til funksjonen S t 160 derfor en lineær funksjon. t er en rett linje og er Alle lineære funksjoner kan skrives som et konstant tall multiplisert med en variabel pluss et konstant tall. Lineær betyr rettlinjet. En lineær funksjon er en funksjon som kan skrives på formen f x ax b der a og b er konstante tall. Stigningstall og konstantledd Funksjonen som beskriver løpeturen til Lene kan skrives som S t 160 t 0 og b 0.. Det betyr at a 160 Vi ser at grafen til S t 160 t 0 Grafen skjærer andreaksen når 0 skjærer y -aksen der y b 0. t og S Tallet b kalles konstantleddet og viser alltid hvor grafen skjærer y -aksen. Tallet a viser hvor mye grafen stiger når x øker med 1 enhet. Tallet a kalles stigningstallet. Vi ser at stigningstallet er 160. Det betyr at når tiden øker med ett minutt så øker strekningen med 160 meter. Det betyr at farten er 160 meter per minutt. Stigningstallet svarer altså til farten i dette tilfellet. 4

5 Hvordan finne funksjonsuttrykket til en lineær funksjon ut fra grafen I koordinatsystemet til høyre har vi tegnet grafen til en lineær funksjon som går gjennom noen kjente punkter. Grafen skjærer y - aksen i punktet 0, 1. Det betyr at b 1. Når vi går én enhet til høyre fra 0, 1 eller for eksempel fra 2,3, må vi gå to enheter oppover parallelt med y - aksen for igjen å treffe grafen. Det betyr at a 2. Funksjonsuttrykket blir derfor f x 2x 1. Det er heller ikke nødvendig å gå én enhet til høyre for å finne stigningstallet. Ved å starte i punktet 1,1 og for eksempel gå to enheter til høyre, må vi gå fire enheter oppover parallelt med y - aksen for igjen å treffe grafen. Stigningstallet blir 4 a 2 2 5

6 Skjæringspunktet mellom to rette linjer To firmaer leier ut selskapslokaler. Firma A tar en fast leiepris på kroner og et timetillegg på 500 kroner. Kostnadene i kroner, A x, ved leie av lokalet i x timer kan beskrives med funksjonsuttrykket A x 500x 3000 Firma B tar en fast leiepris på 2000 kroner og et timetillegg på kroner. Kostnadene i kroner, B x, ved leie av lokalet i x timer kan beskrives med funksjonsuttrykket B x 1000x 2000 Vi tegner grafene til de to funksjonene og finner skjæringspunktet mellom grafene ved kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Grafene skjærer hverandre når x 2. Det betyr at hvis du skal leie lokalene i to timer, er det prismessig det samme hvilket firma du velger. Prisen er 4000 kroner hos begge firmaene. Hvis du skal leie lokalet i mindre enn to timer, lønner det seg å velge firma B. Det ser vi ved at grafen til B ligger under grafen til A i dette området. Hvis du skal leie lokalet i mer enn to timer, lønner det seg å velge firma A. Det ser vi ved at grafen til A ligger under grafen til B i dette området. Vi kan kontrollere den grafiske løsningen ved regning Vi får også her at leieprisene er like når leietiden er to timer og at leieprisen da er kroner. Vi ser at for disse funksjonene svarer stigningstallet til timeprisen og konstantleddet til den faste leieprisen. 6

7 Nullpunkt Med et nullpunkt til en funksjon f, mener vi et punkt på grafen hvor andrekoordinaten er lik null. Det er med andre ord et punkt hvor grafen til funksjonen skjærer x - aksen. I nullpunktet er f x 0. Like før sommerferien får Janne tilbud om å kjøpe en brukt båt med motor for kroner Janne har ikke penger, men får et rentefritt lån av sine foreldre på kroner som skal betales tilbake gjennom sommeren med ukentlige avdrag på kr Janne har fått sommerjobb med ukelønn på kroner Restgjelden Janne har til sine foreldre x uker etter at hun opptar lånet, kan beskrives med den lineære funksjonen 1500 x 9000 R x Konstantleddet er Det betyr at restgjelden i starten er på kroner Stigningstallet er negativt, Det betyr at restgjelden avtar med kroner per uke. Vi kan si at restgjelden har negativ lineær vekst! Vi finner nullpunktet til funksjonen i GeoGebra med kommandoen «Nullpunkt[ <Polynom> ]». Nullpunktet er 6,0. Det forteller at lånet er nedbetalt, restgjelden er null, etter 6 uker. Ved regning løser vi likningen Vi får samme løsning. 7

8 Modul 2: Andregradsfunksjoner Eksempel 1 Fra modelleringskapitlet er du kjent med funksjonen A x x x A x x x som beskriver arealet til et rektangel med variabel grunnlinje, x, men slik at omkretsen hele tiden skal være lik 12 meter. Vi skriver inn funksjonen A(x)=Funksjon[-x^2+6x, 0, 6] på skrivelinjen i GeoGebra. Vi kan finne «toppunktet» med kommandoen «Ekstremalpunkt[ <Polynom> ]», og vi må skrive «Ekstremalpunkt[ A ]». Vi får punktet B 3,9. Det betyr at arealet har sin største verdi på 9 m 2 når x er lik 3 meter. Grafen har to nullpunkter. Vi kan finne nullpunktene med kommandoen «Nullpunkt[ <Polynom> ]», og vi må skrive «Nullpunkt[ A ]». Vi får punktene C 0,0 og D 6,0. Det betyr at arealet er lik null når x enten er lik 0 meter eller 6 meter. Vi får da ikke noe reelt rektangel. Vi skriver y 4 og får linjen a. Vi finner skjæringspunktene mellom denne linjen og grafen med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Punktene E og F viser at arealet er lik 4 kvadratmeter når grunnlinjen er lik 0,76 meter eller 5,24 meter. Ved regning løser vi likningen Vi skriver x 2 og får linjen b. Skjæringspunktet G mellom denne linjen og grafen viser at arealet er lik 8 kvadratmeter når grunnlinjen er lik 2 meter. Vi kan også skrive inn Ved regning får vi 2, A 2 8

9 Eksempel 2 Per målte temperaturen hver 4. time gjennom et helt døgn. Han startet kl den ene dagen og avsluttet kl den neste dagen. Per brukte regresjon på de observerte dataene og fant en modell for temperaturutviklingen det døgnet han målte temperaturen. Han fant modellen hvor 2 T x 0,0234 x 0,69x 2,6 T x er temperaturen x timer etter kl Modellen gjelder for x -verdier mellom null og 24 timer. T x er også en andregradsfunksjon. Men T x har ikke toppunkt. Den har derimot et bunnpunkt, et punkt som viser den laveste temperaturen gjennom døgnet. Det er fortegnet til andregradsleddet som avgjør om en andregradsfunksjon har toppunkt eller bunnpunkt. Både toppunkt og bunnpunkt fås ved kommandoen «Ekstremalpunkt[ <Polynom> ]». Nullpunktene E og F finnes som vist i forrige eksempel og viser at temperaturen etter modellen var lik null grader Celsius kl og kl neste dag. På samme måte som i forrige eksempel finner vi grafisk at temperaturen 20 timer etter kl , altså kl dagen etter, var 0,8 grader og at temperaturen var 2 grader ca. kl. 15 den første dagen og ca. kl. 12 neste dag. Ved regning får vi ikke alltid begge løsninger i GeoGebra når vi har definert funksjonen i et avgrenset intervall. En mulighet er å gjøre som vist i linje 3 og 4 i CAS. 9

10 Generell form for andregradsfunksjoner I andregradsfunksjoner opptrer x i andre potens. Det vil si at vi har ledd som inneholder slike funksjoner kan skrives på formen 2 f x a x b x c 2 x. Alle hvor a, b og c er konstante tall. I tillegg til andregradsleddet har vi vanligvis et førstegradsledd, et ledd med x i første potens, og et konstantledd. Grafen til en andregradsfunksjon kalles en parabel og har enten et toppunkt eller et bunnpunkt. Hvis leddet med bunnpunkt. 2 x er negativt, har grafen toppunkt. Hvis leddet med 2 x er positivt, har grafen et 10

11 Eksempel 3 En bedrift produserer x enheter av en vare per dag. Funksjonen K gitt ved 2 x K x 0, viser kostnadene (kroner) ved produksjon av x enheter. Bedriften kan maksimalt produseres 200 enheter per dag. De produserte enhetene selges for 45 kroner per stk. Inntektene er da gitt ved 45 I x x. Overskuddet er differensen mellom inntekter og kostnader, og overskuddsfunksjonen O er derfor gitt ved Figuren viser grafene til K, I og O. O x I x K x. Skjæringspunktene, A og B, mellom grafene til K og I viser at kostnadene er like store som inntektene ved produksjon av 12 enheter og ved produksjon av 168 enheter. Overskuddet er da lik null, og grafen til O har nullpunkter, G for x 12 og H for x 168. Ved produksjon av mindre enn 12 enheter eller flere enn 168 enheter er kostnadene større enn inntektene og overskuddet er negativ. Bedriften taper penger. Ved produksjon mellom 12 enheter og 168 enheter er kostnadene mindre enn inntektene og bedriften går med overskudd. Grafen til O har toppunkt 90,1525. Bedriften oppnår maksimalt overskuddet ved å produsere 90 enheter per dag. Overskuddet per dag er da kroner. 11

12 Modul 3 Tredjegradsfunksjoner Vi tegner grafen til tredjegradsfunksjonen f gitt ved 1 1 f x x x x ( ) 1 Grafen har nullpunkter x 2,2, x 0,8 og x 1,6. Grafen skjærer y - aksen for 0 Grafen har toppunkt x. Skjæringspunktet er 0, 1. 1,6, 0,5 og bunnpunkt 0,6, 1,3. For andregradsfunksjoner sa vi at en funksjon hadde sin laveste verdi i bunnpunktet og høyeste verdi i toppunktet. En tredjegradsfunksjon kan ha høyere verdier enn i toppunktet andre steder på grafen. Vi sier allikevel at grafen har et toppunkt, selv om det bare er lokalt. 12

13 Polynomfunksjoner Et fellesnavn på lineære funksjoner, andregradsfunksjoner og tredjegradsfunksjoner er polynomfunksjoner. Til denne gruppen hører også fjerdegradsfunksjoner, femtegradsfunksjoner osv. Uttrykket 3x 3 er et polynom av første grad, fordi den høyeste eksponenten av x er én. 2 Uttrykket 2x 2x 4 er et polynom av andre grad, fordi den høyeste eksponenten av x er to. Uttrykket x 3 4 2x er et polynom av tredje grad, fordi den høyeste eksponenten av x er tre. Det er vanlig å ordne et polynom slik at leddet med den høyeste eksponenten kommer først, leddet med nest høyest eksponent kommer som nummer to osv. Fjerdegradspolynomet 5 3x x 7x skriver vi på ordnet form som 7x 3x x 5. Tallene foran potensene av x kaller vi koeffisienter. I dette fjerdegradspolynomet er koeffisienten foran 2 x lik 1. Lineære funksjoner og andregradsfunksjoner er polynomfunksjoner av henholdsvis første og andre grad. Tredjegradsfunksjoner er polynomfunksjoner av tredje grad. 13

14 Modul 4: Potensfunksjoner Live arver kroner. Hun vil spare pengene. Den lokale banken tilbyr en årlig rente på 3 % per år. Dette svarer til en vekstfaktor på 1,03. Live regner det som sannsynlig at hun vil få bruk for pengene om 10 år. Hvor mye vil beløpet ha vokst til etter 10 år? , Beløpet vil ha vokst til ca kroner. Live vet at det finnes alternativer til banksparing, og hun vil undersøke hva beløpet kan vokse til etter 10 år, hvis renten er høyere enn 3 %. Hun ser da at hun kan bruke funksjonen B gitt ved x B x Her er det vekstfaktoren som er den variable, x. Live tegner grafen til B for x 1,03, 1,12 14

15 Av grafen ser hun at ved en årlig rente på 3 %, vil beløpet vokse til ca kroner etter 10 år. Hvis renten er på 8 % per år, vil beløpet vokse til ca kroner og hvis hun kan få en rente på 11 % per år, altså at vekstfaktoren er 1,11, vil hun sitte med ca etter 10 år. B x I funksjonsuttrykket x er x grunntallet i en potens hvor eksponenten er et konstant tall. En slik funksjon kalles for en potensfunksjon. Potensfunksjoner f x En funksjon f gitt ved b a x, hvor a og b er konstante tall, kalles en potensfunksjon. Legg merke til at når b er et helt tall som ikke er negativt, er potensfunksjonen også en polynomfunksjon, som for eksempel 2x, Til høyre har vi tegnet grafene til funksjoner gitt på formen 2x b for ulike verdier av b. Vi har bare tegnet grafene for positive verdier av x. Grunnen er at for eksempel 0,5 x betyr det samme som x, og kvadratroten av et negativt tall er ikke et reelt tall. Hvorfor går alle grafene gjennom punktet 1,2? Hvordan ser grafen ut når b 1? Grafene endrer hovedform etter som b,0, b 0,1 eller b 1,. 2 3x, osv. 15

16 Eksempel Når en pendel svinger, er svingetiden, det vil si den tiden det tar fra pendelen slippes til den kommer tilbake til utgangspunktet, avhengig av lengden på snoren som pendelkulen henger i. Fra naturfag kjenner du kanskje formelen for svingetiden T sekunder, som funksjon av snorlengden x meter? Formelen sier at 2 2 T x x g g 0,5 Her er 3,14 og g 9,81 ( g er tyngdens akselerasjon). Når vi setter inn disse verdiene i formelen, får vi 2 3,14 T x 2,0 x 9,81 0,5 0,5 Svingetiden til en pendel er altså en potensfunksjon av snorlengden. Rotfunksjoner Kvadratroten til et tall x skriver vi som x. Med kvadratroten til et positivt tall mener vi det positive tallet som opphøyd i andre potens gir tallet. Kvadratroten til 9 er lik 3 fordi 3 opphøyd i andre potens er lik 9. Vi kan også skrive kvadratroten som en potens hvor eksponenten er et desimaltall. 0,5 Vi har at x x. Det betyr at svingetiden også kan uttrykkes som T 2 x Nå er svingetiden uttrykt som en rotfunksjon. Grafen ovenfor er altså grafen til en rotfunksjon. 16

17 Modul 5: Eksponentialfunksjoner En eksponentialfunksjon er gitt på formen x ab der tallet b kalles vekstfaktoren. Eksponentialfunksjoner er bare definert for positive verdier av b, og vi skal bare se på funksjoner der a også er positiv. Funksjonene g og h gitt nedenfor er eksempler på eksponentialfunksjoner. g x h x 2,5 1,5 x 6,5 0,8 x Når vekstfaktoren er større enn 1, øker funksjonsverdiene med en fast prosent i like lange perioder. Sammenhengen mellom den prosentvise veksten p og vekstfaktoren b er gitt ved likningen p b Når vekstfaktoren er mindre enn 1, avtar funksjonsverdiene med en fast prosent i like lange perioder. Sammenhengen mellom den prosentvise nedgangen p og vekstfaktoren b er gitt ved likningen p b Antall individer i en populasjon i naturen vil øke eksponentielt hvis populasjonen har ubegrenset tilgang til mat og ingen fiender. Populasjonen vil ikke vokse så fort i begynnelsen, men etter hvert vil veksten øke mer og mer. Dette er karakteristisk for eksponentiell vekst. (Se grafen til g i koordinatsystemet ovenfor.) Vi vil også få eksponentiell vekst på et bankinnskudd med en fast årlig rente. Verdien på en gjenstand, for eksempel en bil, vil ofte utvikle seg som en eksponentialfunksjon med vekstfaktor mindre enn 1. 17

18 Praktiske eksempler med eksponentialfunksjoner Eksempel 1 I algebrakapitlet lærte du om vekstfaktor. Hvis du setter kroner i banken i dag og får 6 % rente på pengene, kan du om ett år ta ut 1000 kroner 1, kroner av banken. Tallet 1,06 er vekstfaktoren. Hvis pengene står tre år i banken, vil beløpet vokse til kroner 1, kroner. Hvis kroner står x år i banken med 6 % rente, vil beløpet vokse til ,06 x Innestående beløp, B, er en funksjon av antall år i banken, x, og funksjonsuttrykket blir B x ,06 x kroner. Grafen til funksjonen viser for eksempel at beløpet på kroner har vokst til kroner etter 3 år (som vi regnet ut ovenfor) og til 2693 kroner etter 17 år. Hvor lenge må pengene stå i banken før beløpet er fordoblet? Vi finner svaret ved å tegne den rette linjen y i samme koordinatsystem som grafen til B og så finne skjæringspunktet mellom linjen og grafen. Pengene må stå i banken i 12 år. 18

19 Eksempel 2 Kari kjøper en fire år gammel bil for kroner. Bilen har sunket i verdi med 10 % hvert år siden den var ny. Kari regner med at verdien vil synke på samme måte de neste årene. Bilens verdi Vi tegner grafen til V. V x, x antall år etter at Kari kjøpte den, er da gitt ved V x ,90 x Av grafen kan vi lese at bilens verdi vil ha sunket til kr etter 6,6 år. Avlesning på grafen viser også at bilens verdi for 4 år siden, altså bilens pris som ny, var ca kroner. 19

20 Modul 6: Vekstfart Vekstfart til lineære funksjoner En lineær funksjon kan skrives på formen f x ax b. Tallet a kalles stigningstallet, og tallet b kalles konstantleddet. Eline selger bær på torget. Hun har en fast timelønn på 100 kroner. I tillegg får hun 3 kroner per kilo hun selger. Vi lar x være antall kilo Eline selger per time, og timelønna. Da er timelønna en lineær funksjon 3x 100 f x f x Stigningstallet forteller at timelønna øker med 3 kroner for hver ekstra kilo Eline selger. Stigningstallet forteller altså hvor fort funksjonen vokser og kalles derfor også for vekstfarten til funksjonen. Hvis Eline selger 20 kg per time, er timelønna 160 kroner. Hvis Eline selger 40 kg per time, er timelønna 220 kroner. Vi kan alltid regne ut vekstfarten eller stigningstallet til en rett linje når vi kjenner to punkter på grafen. Stigningstallet er alltid lik endring i y -verdier dividert med endring i x -verdiene. f Vekstfarten a f Timelønna til Eline vokser med 3 kroner for hvert ekstra kg med bær hun selger per time. 20

21 Vekstfart til funksjoner som ikke er lineære Gjennomsnittlig vekstfart Som 13 åring var Niels Henrik 149 cm høy. Fire år senere var han 181 cm. Niels Henrik vokste ikke like fort hele tiden i disse årene. Men vi kan regne ut at den gjennomsnittlige vekstfarten til Nils Henrik i fireårsperioden blir 181 cm 149 cm 32 cm Gjennomsnittlig vekstfart 8 cm per år. 4 år 4 år I 2006 plantet Elin et morelltre. Funksjonen h, for de første årene etter planting, er gitt ved 3 2 h x x 0.09x 1 og viser høyden til morelltreet i meter x år etter at det ble plantet. Vi tegner grafen til funksjonen og ser at kurven blir brattere og brattere de første årene. Treet vokser fortere og fortere. Vi finner grafisk at treet er 1,09 meter ett år etter planting og 2,25 meter fire år etter planting. Vi kan regne ut gjennomsnittlig vekstfart fra år 2007 til år 2010 På grafen har vi tegnet linjen (sekanten) gjennom punktene 1, 1,09 og 4, 2,25 og finner at stigningstallet til denne sekanten er lik gjennomsnittlig vekstfart fra år 1 til år 4. I perioden 2007 til 2010 vokste treet med gjennomsnittlig 39 cm per år. Vi ser av grafen at treet vokser fortere etter fire år enn etter ett år. Grafen er mye brattere når x 4 enn når x 1. 21

22 Momentan vekstfart Vi ønsker å finne en tilnærmet verdi for hvor fort treet ovenfor vokser når det er akkurat ett år gammelt. Vi finner først gjennomsnittlig vekstfart fra det første året til det tredje året som en tilnærmingsverdi og deretter fra det første året til det andre året. Grafene ovenfor viser at gjennomsnittlig vekstfart fra det første året til det tredje året er 32 cm per år, og at gjennomsnittlig vekstfart fra det første året til det andre året er 25 cm per år. Stigningen til sekantene blir mer og mer lik brattheten til grafen når x 1 jo nærmere hverandre de to punktene er. Av de to tilnærmingsverdiene, er det derfor den siste som er den beste tilnærmingen. For å finne enda bedre tilnærmingsverdier reduserer vi avstanden mellom punktene enda mer. Til slutt vil punktene falle sammen til ett punkt, og sekanten blir en tangent til kurven i dette punktet. Stigningstallet til denne tangenten gir den aller beste tilnærmingsverdien for vekstfarten til treet når det er akkurat ett år gammelt. Vi kaller dette for den momentane vekstfarten når treet er ett år gammelt. Vi kan altså finne en tilnærmet verdi for den momentane vekstfarten i et punkt på en kurve ved å tegne en tangent til kurven i punktet og finne stigningstallet til denne tangenten. 22

23 I GeoGebra gjør vi dette ved å bruke kommandoene «Tangenter» og «Stigning». Vi finner for eksempel at den momentane vekstfarten til treet nøyaktig 3 år etter planting er 0,46 meter per år. 23

24 Tekst og eksempler Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA Bildeliste Woman Jogging Foto: Corbis/Scanpix Bær Foto: Leif R Jansson/Scanpix Sweden Morelltre Foto: Anna Agnete Nissen/Scanpix Danmark 24