Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra"

Transkript

1 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra

2 Innhold 1 Om Geogebra Menyer Regning Tallregning Eksakte verdier og tilnærmingsverdier Regnerekkefølge Om grensesnittet i CAS Tallet π Kvadratrot Parenteser Brøk Store og små tall Sinus, cosinus og tangens Potenser n-terøtter Logaritmer Funksjoner Verditabell Tegne grafer Tegne graf og zoome på frihånd Tegne graf med verditabell Finne minste avstand Utregninger på grafen Finne y når du kjenner x Nullpunkter Finne x når du kjenner y Topp- og bunnpunkter Skjæringspunkter mellom grafer Derivert Tangent Lineær regresjon Likninger Likninger av andre og tredje grad Lineære likningssett med to ukjente Sannsynlighetsregning Simulering

3 Innledning Dette heftet er ment som en beskrivelse av dataprogrammet Geogebra som digitalt verktøy i undervisningen i faget «Matematikk Vg1T», studieforbedredende utdanningsprogram. Heftet er tilpasset læreverket Sigma matematikk, Gyldendal Undervisning, og inneholder referanser til framstillingen der. Henvisninger fra boka Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har referanse til digitale verktøy. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i dette heftet som omhandler det aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matematikk 1T, 3. utgave, Gyldendal Undervisning, I den elektroniske utgaven av heftet er referansene klikkbare. Sidetall i læreboka Emne Avsnitt i dette heftet 10 Tallregning Regnerekkefølge Likningssett Regresjon Potenser Negative potenser Lese standardform Taste inn standardform N-terot Brøkeksponent Lage verditabell Logaritmer Andregradslikning Sinus, cosinus, tangens Inversfunksjonene Tegne graf Minste avstand Informasjon fra grafer Regne ut funksjonsverdi Regne ut den deriverte Finne tangent 3.5 3

4 1 Om Geogebra Geogebra er et matematikkverktøy med funksjonalitet innenfor de fleste områdene i matematikk i videregående skole. Geogebra kan lastes ned fra Internett og kjøres som et frittstående program. Du kan også kjøre Geogebra direkte fra Internett. Du finner Geogebra på Dette heftet tar utgangspunkt i versjon 4.4. I et Geogebra-dokument er de viktigste elementene du bruker disse: 1. Algebrafelt 2. Grafikkfelt 3. CAS-felt 4. Regneark I CAS-feltet og regnearket taster du inn direkte. I tillegg har du et inntastingsfelt, hvor resultatene vises i Algebrafeltet. Grafikkfeltet viser rgesultatene fra både Algebrafeltet og CAS-feltet, i en viss utstrekning. Når du åpner et nytt dokument i Geogebra, kan du velge mellom disse visningsoppsettene: 1. Algebra og grafikk 2. Grunnleggende geometri 3. Geometri 4. Tabell og grafikk 5. CAS og grafikk I 1T starter vi vanligvis med «CAS og grafikk», men også de andre feltene blir aktuelle. 1.1 Menyer Som i alle andre programmer på datamaskinen, har du en vanlig menylinje. I tillegg er det i hvert vindu en egen verktøymeny. Denne endrer innhold avhengig av hva slags felt du arbeider i, slik at verktøymenyen i CAS-feltet og i Grafikkfeltet er ulike. 4

5 2 Regning Du kan gjøre utregninger flere steder i Geogebra, blant annet i inntastingsfeltet («Skriv inn:»-feltet) og i regnearket. Mest oversiktlig er det likevel i CAS-vinduet. Beskrivelsene i dette heftet forutsetter derfor at du har valgt «CAS og grafikk» ved oppstart av programmet og at du taster i CAS når du gjør utregninger. 2.1 Tallregning Du taster inn regnestykker omtrent som på en vanlig lommeregner, med for gange og «/» for dele. Desimaltall skrives inn med punktum som desimalkomma. Tallet 2, taster du altså inn som «2.5». Kommaet («,») brukes for å skille koordinater i punkter og argumenter i kommandoer som tar mer enn ett argument. 2.2 Eksakte verdier og tilnærmingsverdier Øverst til venstre i verktøymenyen kan du velge mellom «Regn ut», som gir eksakt utregning, markert med en «=», og «Numerisk», som gir tilnærmede verdier, desimaltall, markert med en. Ofte kan det være lurt å be programmet om å gjenta det du har tastet inn uten å gjøre noen regneoperasjoner på det, slik at du får kontrollert at du har tastet riktig. Da bruker du «Bruk inntasting»-verktøyet, markert med en «V». På Innstillinger-menyen velger du hvor mange desimaler Geogebra skal arbeide med. Standardinnstillingen er 2 desimaler. Dette er litt lite. Det er viktig at du er klar over at Geogebra i visse situasjoner bare bruker de desimalene du ser. Da kan avrunding til to desimaler bli for lite. Eksempel: Dersom du legger inn funksjonsuttrykket f(x) = 0, 0009x + 1, så vil Geogebra med avrunding til to desimaler tolke dette som f(x) = Regnerekkefølge Vanlig regnerekkefølge er innebygd i programmet. Så vi kan taste rett inn slik det står. Utregningen taster vi inn som det står og avslutter med enter. Geogebra bruker cirkumflex ( ) for potenser. På noen datamaskiner må man taste et mellomrom etter. 5

6 Svaret blir 44. Dersom vi skal omgå regnerekkefølgen, må vi angi ønsket rekkefølge med parenteser. Eksempel: Vi skal regne ut 7 ( ( 3)) 2, hentet fra eksempel 9 på side 14 i læreboka. Dette tastes inn slik: «7 ( (-3)) 2», som gir 7 til svar. Geogebra har hurtigtaster for skrive eksponenter. Dersom du taster alt + 2 (Window) eller ctrl-2 (Macintosh), så ser du at programmet skriver «opphøyd i andre» direkte. 2.4 Om grensesnittet i CAS Når skrivemerket står i CAS-vinduet, vil programmet tolke følgende taster spesielt: Mellomromtast: Forrige resultat blir skrevet inn. Høyreparentes: Forrige resultat blir skrevet inn med parenteser rundt. Tegnet $: Kombinasjonen «$4» gir deg resultatet på linje 4 (dynamisk). Tegnet #: Kombinasjonen «#4» gir deg resultatet på linje 4 (statisk). Du kan også lagre verdier i variabler, som du så kan regne videre med etterpå. For å 2 i a og 71 i b, skriver du a : 2 og b : 71. Deretter kan du skrive a b, og du får 142 til svar. 2.5 Tallet π Programmet har en egen hurtigknapp for π. Dessuten kan vi bruke tastesnarveien alt + p / ctrl + p. 2.6 Kvadratrot For å regne ut kvadratroten av et tall, bruker du kommandoen «sqrt()». For å regne ut 5, skriver du inn «sqrt(5)». Om du ber om tilnærmingsverdien, får du 2, Parenteser Når vi skriver for hånd, skriver vi ofte brøker og kvadratrottegn uten parenteser, da vi er enige om hvordan de skal regnes ut. For eksempel er = 12 6 = 2 6

7 Dersom vi vil regne ut svaret uten mellomregning i programmet, må vi hjelpe til med å slå parenteser om telleren og nevneren: «(5+7)/(2 3)». 2.8 Brøk Brøker taster du inn med vanlig deletegn (/) i stedet for brøkstrek. Pass på å slå parenteser om telleren og nevneren dersom de består av flere ledd. Skal vi for eksempel regne ut slår vi parenteser om den første telleren og den siste nevneren og får «(2+3)/3-8/(7-3)». CAS-vinduet viser oss at svaret blir 1 3 : Ved utregning av brudden brøk er det også nødvendig å bruke parenteser. Skal vi regne ut brøken taster vi det inn med parenteser rundt telleren og nevneren i hovedbrøken. «((1/2)/(1/3))» 2.9 Store og små tall Geogebra bruker «E» i tierpotenser. Tallet «3.4E-7» betyr derfor 3, Du velger selv om du taster inn på standardform eller ikke. Skal du taste inn , kan du velge å taste «6.7 E 9». Eksempel: Vi skal regne ut 6, , hentet fra side 95 i læreboka. Dette kan vi taste rett inn med standardform: «6.7 E 9 2 E -4». Vi kan også velge å taste inn som ,0002. Svaret blir

8 2.10 Sinus, cosinus og tangens Funksjonene for sinus, cosinus og tangens er henholdsvis «sin( )», «cos( )» og «tan( )». For å finne sin 30, taster du inn «sin(30 )», og får 0, 5. Gradtegnet er viktig for å angi at vinkelen er oppgitt i grader. Dersom du utelater gradtegnet, bruker programmet et annet vinkelmål enn grader, som du ikke lærer om før i Vg3. Da blir svaret feil. Når vi skal finne vinkelen utfra en oppgitt sinus-, cosinus- eller tangensverdi, bruker vi henholdsvis funksjonene «asin( )», «acos( )» og «atan( )». For at vi skal få vinkelen angitt i grader, velger vi «Avansert» fra Innstillinger-menyen. Der velger vi «Gi vinkel i grader ut fra inverse trigonometriske funksjoner». Eksempel: Vi skal finne ut hvilken vinkel som har sinus-verdi 1, hentet fra læreboka 2 side 212. Vi taster inn «asin(1/2)»: Altså har en vinkel på 30 sinus-verdi Potenser Potenser tastes inn med cirkumflex,. Vi regner ut 2 5 ved å taste 2 5 og får 32 til svar. For å taste inn potenser med flere elementer i eksponenten, slår du en parentes om eksponenten. 8

9 Eksempel: Vi skal regne ut eksempel 4c på side 92 i læreboka, altså brøken Vi taster inn «y (-2)/y (-3)» og får y 2 y 3 På samme måte bruker parenteser for å regne ut 2 2 3, nemlig ved å taste 2 (2/3). Husk at når du taster inn brøker, er det vanligvis nødvendig med parenteser rundt teller eller nevner når de består av flere enn ett element. Eksempel: Vi skal regne ut eksempel 1 på side 90 i læreboka: Vi setter parentes rundt nevneren og taster slik: «5 23/(5 10*5 12)»: n-terøtter Programmet har egne kommandoer for kvadratrot og tredjerot, henholdsvis «sqrt( )» og «cbrt( )». For andre n-terøtter bruker vi kommandoen «nrot( )». Eksempel: Vi skal beregne 5 7,34. Da taster vi «nrot(7.34, 5)» og får 1, Logaritmer Logaritmer regner vi ut med «lg( )». Så vi finner lg 25 ved å skrive «lg(25)» og får 1, Funksjoner Funksjoner kan legges inn både i CAS-feltet og i algebra- og grafikkfeltets inntastingsfelt. Her har vi valgt å bruke CAS-feltet. Da legges funksjoner inn med kolon og likhetstegn. For eksempel legger vi inn f(x) = x 2 ved å taste «f(x):=x 2». 1 1 I algebra- og grafikkfeltets inntastingsfelt legges funksjonsuttrykkene inn uten kolon. 9

10 Når du har tastet inn et funksjonsuttrykk, vil grafen til funksjonen vises i grafikkfeltet, dersom du har dette framme. Dataskjermen får naturlig nok ikke alltid plass til hele grafen, så ofte passer ikke standardutsnittet som vises. I avsnitt 3.2 nedefor viser vi derfor hvordan du gjør nødvendige innstillinger. Et praktisk hjelpemiddel til dette er å lage verditabell over funksjonen. 3.1 Verditabell Vi åpner et Geogebra-dokument med «CAS og grafikk». Vi legger inn funksjonsuttryket i CAS-feltet. Deretter velger vi «Regneark» fra Vis-menyen. I kolonne A legger vi inn de x-verdiene vi ønsker. I celle B1 skriver vi «=f(a1)». Deretter utvider vi kolonne B til å bli like stor som kolonne A, og verditabellen vår er ferdig. Eksempel: Vi skal lage verditabell til funksjonen f(x) = 0, 023 x 1,7 for x mellom 0 og 30. Eksempelet er hentet fra side 99 i læreboka. 1. Vi åpner et dokument med «CAS og grafikk». 2. Vi definerer funksjonen ved å taste inn «f(x):=0.023 x 1.7». 3. Vi velger «Regneark» fra Vis-menyen. 4. Vi taster inn tallene fra 0 til 30 i kolonne A. 5. Vi setter celle B1 til «=f(a1)» og utvider cellen til cellene B2:B7. Da får vi følgende verditabell: 3.2 Tegne grafer Tegne graf og zoome på frihånd Når vi har lagt inn funksjonsuttrykket i CAS-feltet blir automatisk funksjonens graf tegnet inn. Dersom vi kjenner funksjonstypen godt og vet med sikkerhet hvordan 10

11 grafen skal se ut, kan det være effektivt å zoome på grafen direkte uten å lage verditabell til du får fram grafen slik du vil ha den. Advarsel! Dersom du er det minste i tvil om hvordan grafen skal se ut, anbefaler vi at du bruker en verditabell til å hjelpe deg med å velge utsnitt av grafen, se avsnitt nedenfor. Eksempel: Vi skal tegne grafen til f(x) = 400 1, 2 x fra side 104 i læreboka. Vi taster inn «f(x):=400 1,2 x» i CAS-feltet. I grafikkfeltet holder vi shift inne og drar i aksene. Vi drar først i x-aksen til vi har verdier som inneholder x = 5 og x = 5, slik det kommer fram av teksten i boka. Deretter drar vi i y-aksen til grafen kommer til syne Tegne graf med verditabell Vi anbefaler at du bruker følgende prosedyre for å tegne grafer: Legg inn funksjonsuttrykket i CAS-feltet. Lag verditabell. Juster grafikkfeltet så det viser passende utsnitt. Bruk evt. «Funksjon( )»-kommandoen til å angi funksjonens definisjonsmengde. Eksempel: Vi skal tegne grafen til funksjonen f(x) = 15 for x fra 0 til 15. Eksempelet x er hentet fra side 253 i læreboka. 1. Legg inn funksjonen i CAS-feltet og lag verditabell, jfr. avsnitt 3.1 ovenfor. 2. Høyreklikk på grafikkfeltet og velg innstillinger for grafikkfeltet. Ut fra tabellen vår lar vi x gå fra 0 til 15 og y gå fra 0 til

12 3. Skriv inn «g(x):=funksjon(f, 1, 15)» i CAS-feltet. (Vi starter på 1, siden funksjonen ikke er definert for x = 0.) 4. Klikk på den lille sirkelen helt til venstre i CAS-feltet, utenfor din definisjon av f(x). Dette gjør at grafen til f ikke blir synlig i grafikkfeltet, men kun grafen til g. Da ser grafen vår slik ut: Til slutt kan det hende det er lurt å justere grafikkfeltet noe, slik at du får det akkurat slik du vil ha det. Ofte er det raskeste å holde shift nede og så flytte hele grafen, samt dra i aksene. 3.3 Finne minste avstand Den minste avstanden mellom to punkter kan vi finne ved å lage en funksjon f(x) som regner avstanden mellom punktene og så finne den minste verdien til denne funksjonen. I eksempel 13 på side 256 i læreboka har vi funnet avstanden fra A til B innom P som funksjonen f(x) = x (400 x) Vi finner minste avstand ved å finne bunnpunktet til grafen. Vi tegner grafen, jfr. avsnitt 3.2. Vi ser av grafen at bunnpunktet må ligge i intervallet [200, 400]. Da finner vi bunnpunktet med kommandoen «Ekstremalpunkt[f(x), 200, 400]». 12

13 Altså er bunnpunktet (267, 500). Det betyr at minste avstand er Utregninger på grafen Finne y når du kjenner x Om vi skal finne funksjonsverdien av en bestemt verdi a av x, taster vi inn f(a). Eksempel: Vi lar f være f(x) = 0,001x 3 + 0,09x Vi taster inn f(1) og får Nullpunkter Du finner nullpunkter til en graf f med kommandoen «Nullpunkt[f]». Eksempel: La f(x) = 0,5x 3 + 2x 2 + 3x 6. Vi skal finne nullpunktene. Vi taster inn funksjonsuttrykket og deretter «Nullpunkt[f]»: Dette betyr at nullpunktene har koordinater ( 2, 0), (1,27, 0) og (4,73, 0). Dersom en funksjon ikke har noe nullpunkt, vil Geogebra skrive «udefinert» eller bare et spørsmålstegn («?»). Eksempel: La f(x) = x 2 5x 12. Vi skal finne funksjonens nullpunkter. Vi taster inn f(x) og skriver «Nullpunkt[f]»: 13

14 Dette betyr at f ikke har noen nullpunkter Finne x når du kjenner y Vi skal finne hvilken x-verdi som svarer til en bestemt y-verdi. Det er flere måter å gjøre dette på. Vi viser deg hvordan du kan gjøre dette grafisk i programmet og hvordan du kan gjøre det i CAS. Grafisk løsning Vi legger inn y-verdien som en ny funksjon g(x). Deretter finner vi skjæringspunktene med «skjæring[f,g]». Eksempel: La f være funksjonen 0,0025x 3 + 0,075x for x [0, 20]. Vi skal finne når f(x) oppnår verdien 4,1. Vi taster inn f(x) som «f(x):= x x 2+1» og g(x) som «g(x):=4.1». Vi tegner begge grafene, jfr. avsnitt 3.2 ovenfor. Fra grafikkfeltet velger vi nå «Skjæring mellom to objekt» fra punktmenyen (verktøymeny nummer to fra venstre). Vi klikker på de to grafene, og skjæringspunktene kommer opp. For å se koordinatene, kan vi velge «Algebrafelt» fra Vis-menyen. Progamvinduet ser da slik ut: Altså ser vi at i definisjonsmengden er f(x) = 4,1 når x er ca. 7,4. De andre skjæringspunktene er ikke innenfor funksjonens definisjonsmengde. Legg merke til at det her er nødvendig å endre innstillingene for avrunding til minst fire desimaler. Dersom du beholder standardinnstillingene med to desimaler, vil 14

15 Geogebra tolke koeffisienten 0, 0025 som null, og derfor tegne opp en parabel i stedet. CAS-løsning Vi setter funksjonsuttrykket lik den y-verdien vi skal ha og løser likningen i CAS. Eksempel: La f være funksjonen 0,0025x 3 + 0,075x for x [0, 20]. Vi skal finne når f(x) oppnår verdien 4,1. Vi taster inn f(x) som «f(x):= x x 2+1». På neste linje taster vi inn «Løs[f(x)=4.1]»: Vi får samme løsning som vi fikk med grafisk metode ovenfor: Funksjonsuttrykket antar verdien 4,1 når x = 7, 4. De andre løsningene er ikke i definisjonsmengden Topp- og bunnpunkter Topp- og bunnpunkter til en funksjon f(x) finner vi ved å bruke kommandoen «ekstremalpunkt[ ]». Av og til er det nok å bare skrive inn funksjonens navn. Andre ganger må vi angi to x-verdier som ekstremalpunktet helt sikkert ligger mellom. Eksempel: La f(x) = 0,5x 3 +2x 2 +3x 6 som i eksempel 1 på side 276 i læreboka. Vi skal finne toppunkter og bunnpunkter. Vi legger inn funksjonsuttrykket og tegner grafen. Vi ser at bunnpunktet ligger mellom x = 2 og x = 0 og toppunktet mellom x = 2 og x = 4. Vi taster derfor «ekstremalpunkt[f, -2, 0]» og «ekstremalpunkt[f, 2, 4]»: 15

16 Altså er koordinatene til bunnpunktet ( 0,6; 7,0) og toppunktet (3,3; 7,7) Skjæringspunkter mellom grafer Skjæringspunkter mellom to grafer f og g finner vi ved å velge «Skjæring mellom to objekt» fra punktmenyen (verktøymeny nummer to fra venstre). Vi klikker på de to grafene, og skjæringspunktene kommer opp. For å se koordinatene, kan vi velge «Algebrafelt» fra Vis-menyen. Eksempel: Vi skal finne skjæringspunktene mellom f(x) = 0,5x 3 + 2x 2 + 3x 6 og g(x) = x + 2. Vi definerer f og g og tegner grafene. Vi velger «Skjæring mellom to objekt» fra punktmenyen og klikker på de to grafene. Vi viser algebrafeltet og får: Altså er skjæringspunktene ( 2, 0), (2, 4) og (4, 6) Derivert Du finner den deriverte til en funksjon ved å skrive «f'(x)». 16

17 Eksempel: La f være funksjonen f(x) = 0,001x 3 + 0,09x , som i eksempel 3 på side 280 i læreboka. Vi skal finne f (x) og f (10). Vi legger inn funksjonsuttrykket. Så skriver vi vi inn «f'(x)» og «f'(10)». Dette betyr at f (x) = 0, 003x 2 + 0, 18x og f (10) = 1, Tangent For å finne tangenten til en funksjon f(x) i et punkt x = a, skriver vi inn «tangent[a,f]». Eksempel: La f være funksjonen f(x) = x 2 4x+5. Vi skal finne likningen til tangenten til kurven for x = 1. Da skriver vi inn funksjonsuttrykket og så «tangent[1,f]». Hvis vi klikker på den vesle sirkelen til venstre for likningen til tangenten i CASfeltet, blir også tangenten tegnet inn: Altså er likningen til tangenten y = 2x

18 3.6 Lineær regresjon Det finnes et eget verktøy for regresjonsanalyse i Geogebra. Du finner dette verktøyet når du har lagt inn verditabellen i et regneark. (Velg «Regneark» fra Vis-menyen.) Av og til er det imidlertid hensiktsmessig å gjennomføre regresjonsanalysen selv, og det er denne metoden som blir forklart her. Dette består av følgende trinn: 1. Legg inn verditabellen i et regneark (velg «Regneark» fra Vis-menyen). 2. Lag spredningsdiagram: Marker verditabellen, høyreklikk på tabellen og velg «Lag liste med punkter». 3. Juster grafikkfeltet slik at det viser passende utsnitt. 4. Kjør regresjon av passende type på den listen du lagde fra verditabellen ved hjelp av de forskjellige regresjonskommandoene. Se beskrivelse nedenfor for eksempler på de forskjellige typene regresjon. Det er liten forskjell på å skrive inn regresjonskommandoene i algebrafeltets inntastingsfelt eller i CAS-feltet. Nedenfor har vi valgt å bruke inntastingsfeltet. Eksempel: Vi skal utføre lineær regresjon på følgende tabell. x y Først henter vi fram regnearkvinduet ved å velge «Regneark» fra Vis-menyen. Så legger vi inn x-verdiene og y-verdiene i regnearket. Vi markerer tabellen, og velger «Lag liste med punkt» fra verktøymenyen for lister (nummer tre fra venstre). Når vi justerer grafikkfeltet til å omfatte tabellverdiene, får vi opp følgende spredningsdiagram: 18

19 Algebrafeltet viser nå at en liste {( 10, 868), ( 5, 735), (0, 566), (5, 448)} av punkter er opprettet under navnet «Liste1». Til slutt taster vi inn «RegLin[Liste1]» i inntastingsfeltet. Da får vi tegnet inn regresjonslinja. Likningen for regresjonslinja vises i algebrafeltet. Da ser vinduet vårt slik ut: Dette betyr at regresjonslinja er y = 28,6x + 582,8. 4 Likninger De fleste likningstyper løser vi i Geogebra med kommandoen «Løs( )». Syntaksen avhenger av likningstype. Når du begynner å taste kommandoen «Løs( )», får du opp en liste med ulike syntaksalternativer du kan velge blant. Det er ikke nødvendig å ordne likningen på noen bestemt måte før du løser likningen. Hvis du ikke oppgir hvilken variabel som inngår i likningen, antar programmet at du bruker x som variabel. Skal du løse en likning med en annen variabel, må du angi dette spesielt. 4.1 Likninger av andre og tredje grad Eksempel på andregradslikning: Vi skal løse likningen fra eksempel 19 på side 175 i læreboka. 1, 63x(2, 1 0, 76x) =

20 Først velger vi «Bruk inntasting» og taster inn likningen, slik at vi får kontrollert at vi har skrevet inn riktig. Deretter velger vi «Numerisk» og skriver inn «Løs[$1]». Da ser programvinduet vårt slik ut: Løsning på likningen er altså at x er 0,47 eller 2,29. Eksempel på tredjegradslikning: 3x 3 x 2 12x + 4 = 0 Vi velger «Bruk inntasting» og taster inn likningen for kontroll. Deretter velger vi «Regn ut» og taster inn «Løs[#]». Da får vi: Altså er løsningen at x er 2, 1 eller 2. 3 Hvis likningen ikke har noen løsning vil Geogebra skrive et spørsmålstegn («?»). Eksempel: Vi løser likningen x 2 + 3x + 3 = 0 Da får vi: Da svarer vi at likningen ikke har noen løsning. 20

21 4.2 Lineære likningssett med to ukjente Når du skal legge inn flere likninger fra et likningssett, må disse omsluttes av mengdeparentesene { og } slik at likningene tolkes som en liste. Tilsvarende må variablene også angis med mengdeparenteser. Eksempel: Vi skal løse likningssettet 3x 2y = 4 x + 2y = 4 Vi taster inn slik: «Løs[{3x - 2y = 4, x + 2y = 4},{x, y}]»: Altså er løsningen x = 2 og y = 1. Tilsvarende gjør vi om vi har flere likningssett. Eksempel: Vi skal løse følgende likningssett: 3x + 4y z = 21 x + 5y + 3z = 32 2x + y + 5z = 9 Vi taster inn likningene og variablene for seg, omsluttet av mengdeparenteser: Dette betyr at løsningen er x = 3, y = 7 og z = 2. 5 Sannsynlighetsregning 5.1 Simulering Kommandoen «tilfeldigmellom[p,q]» gir oss et tilfeldig tall mellom p og q. Det er mulig å bruke dette til å simulere enkle uniforme modeller. Eksempel: Vi skal simulere terningkast. Vi åpner et regneark og skriver inn «=tilfeldigmellom[1,6]» i celle A1. Da får vi et tilfeldig tall større enn eller lik 1 og 21

22 mindre enn eller lik 6. Vi utvider cellen nedover, slik at vi får en forsøksrekke med tilfeldige tall mellom 1 og 6: Dersom vi markerer cellene og velger «Analyse av en variabel» og så velger «Stolpediagram», kan vi få opp en grafisk framstilling av hvordan forsøksrekken vår fordeler seg på de ulike enkeltutfallene. 22

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Geogebra for Sigma matematikk 1P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maple

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maple Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maple Innhold 1 Om Maple 4 1.1 Tillegg til Maple................................ 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. TI-NspireCAS

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. TI-NspireCAS Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-NspireCAS Innhold 1 Om TI-NspireCAS 4 1.1 Applikasjonene................................. 4 1.2 Dokumenter...................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R2. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R2. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2 Tallet e......................................

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra 1 Geogebra for Sigma matematikk 2P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet

Detaljer

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. 2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maxima

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maxima Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maxima Innhold 1 Om wxmaxima 4 1.1 Tilleggspakker................................. 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Casio fx-9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Casio fx-9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx-9860 Innhold 1 Om lommeregneren 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maxima

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maxima Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maxima Innhold 1 Om wxmaxima 5 1.1 Tilleggspakker................................. 5 2 Regning 6 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Microsoft Excel

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Microsoft Excel Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Microsoft Excel Innhold 1 Om Excel 4 1.1 Utvide området kopiere celler....................... 4 1.2 Vise formler i regnearket...........................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Microsoft Excel Innhold 1 Om Excel 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma S1. TI-Nspire CAS

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma S1. TI-Nspire CAS Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire CAS Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Microsoft Excel Innhold 1 Om Excel 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire CAS Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Noen forhåndsdefinerte variabler......................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. TI-Nspire

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. TI-Nspire Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2 Potenser.....................................

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Hylland. Digitalt verktøy for Sigma S2. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Hylland. Digitalt verktøy for Sigma S2. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Hylland Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2 Tallet

Detaljer

Texas Instruments TI-84

Texas Instruments TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Texas Instruments TI-84 Innhold 1 Om lommeregneren 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx-9860 Innhold 1 Om Casio fx-9860 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e......................................

Detaljer

Texas Instruments TI-84

Texas Instruments TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Texas Instruments TI-84 Innhold 1 Regning 4 1.1 Tallet e...................................... 4 2 Sannsynlighetsregning

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 GeoGebra som kalkulator. Eksempel side 55... 3 Omforming av formler. Side 82 i læreboka... 4 Rette linjer. Side 89 i læreboka...

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet CAS GeoGebra Innhold CAS GeoGebra... 1 REGNING MED CAS-VERKTØYET... 2 Rette opp feil, slette linjer... 3 Regneuttrykk... 4 FAKTORISERE TALL... 4 BRØK... 4 Blandet tall... 5 Regneuttrykk med brøk... 5 POTENSER...

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Faktorisering. Side 55 i læreboka... 3 Rette linjer. Side 73 i læreboka... 3 Digital løsning av likninger. Side 77 i læreboka...

Detaljer

GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015)

GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015) 1 INNFØRING GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015) Østerås 12. september 2015 Odd Heir 2 Innhold Side 3-10 Innføring i GeoGebra 10-12 Utskrift 12-13 Overføring til Word 13-15 Nyttige tips 15-16 Stolpediagram

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er 7.5 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f () = 3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen f () = a k der tallet a og eksponenten k kan være både

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Sinus T uten grafisk kalkulator Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus T boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff.. Regnerekkefølge ( + ) (6+ ):+ CTRL+J Bytter mellom

Detaljer

Plotting av grafer og funksjonsanalyse

Plotting av grafer og funksjonsanalyse Opplæringshefte i GeoGebra Innholdsfortegnelse: Plotting av grafer og funksjonsanalyse... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 4 Oppgave 3... 8 Å plassere et bilde i GeoGebra... 8 Oppgave 4... 8 Vektorregning

Detaljer

GeoGebra-opplæring i 2P-Y

GeoGebra-opplæring i 2P-Y GeoGebra-opplæring i 2P-Y Emne Underkapittel Terningkast 2.1 Valgtre I 2.3 Valgtre II 2.7 Graftegning 3.2 Nullpunkter 3.3 Å finne y- og x-verdier 3.4 Andregradsfunksjoner 3.5 Grafisk løsning 3.5 Tredjegradsfunksjoner

Detaljer

Funksjoner, likningssett og regning i CAS

Funksjoner, likningssett og regning i CAS Funksjoner, likningssett og regning i CAS MKH, TUS 2014, GeoGebra 4.4 Innholdsfortegnelse Funksjoner og likningssett i GeoGebra... 2 Introduksjon til lineære funksjoner... 2 Oppgave om mobilabonnement...

Detaljer

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett.

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett. GeoGebra Menylinje Angreknapp Verktøylinje Aktivt verktøy med mørkeblå kant Innstillinger Algebrafelt Grafikkfelt Inntastingsfelt Velge oppsett GEOGEBRA SOM FUNKSJONSTEGNER OPPSETT FLYTTE TEGNE- FLATEN,

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Velg mellom disse kommandoene: Dersom[<Vilkår>, <Så>, <Ellers>] Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>]

Velg mellom disse kommandoene: Dersom[<Vilkår>, <Så>, <Ellers>] Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>] 442 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Nullpunkter Velg mellom disse kommandoene: Dersom[, , ] Funksjon[, , ] GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt

Detaljer

Funksjoner med GeoGebra

Funksjoner med GeoGebra Funksjoner med GeoGebra Wallace Anne Karin 2015 G e o G e b r a 5. 0 Innhold Oppsett for arbeid med funksjoner... 2 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 4 Flytt inntastingsfeltet øverst... 4

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Arbeidskrav 2 Læring med digitale medier 2013 Magne Svendsen, Universitetet i Nordland Innholdsfortegnelse INNLEDNING... 3 GRAFISK LØSNING AV LIGNINGER I GEOGEBRA...

Detaljer

GeoGebra for Sinus 2T

GeoGebra for Sinus 2T GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P Emne Underkapittel Graftegning 2.1 Linje gjennom to punkter 2.1 Å finne y- og x-verdier 2.1 Lineær regresjon 2.3 Andregradsfunksjoner 2.4 Polynomregresjon 2.4 Eksponential-

Detaljer

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta Hurtigstart Hva er GeoGebra? En dynamisk matematisk programvare som er lett å ta i bruk Er egnet til læring og undervisning på alle utdanningsnivå Binder interaktivt sammen geometri, algebra, tabeller,

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Flytt inntastingsfeltet

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold Funksjonstegner... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 3 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 4 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8].

GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8]. 413 GeoGebra i S2 Grafer Nullpunkter GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. Topp- og bunnpunkter GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8]. GeoGebra

Detaljer

KORT INNFØRING I GEOGEBRA

KORT INNFØRING I GEOGEBRA Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER... 9 ØVELSE 2. TEGNE GRAFER TIL RASJONALE FUNKSJONER... 11 ØVELSE 3. LIKNINGSLØSNING... 15 ØVELSE 4. TANGENTER OG MAKS OG MIN

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus 1P boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff. Se brukerveiledningen i Lokus for perspektivtegning med GeoGebra..1 Regnerekkefølge

Detaljer

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 Emne Underkapittel Utregning av algebraiske uttrykk 1.4 Forenkle uttrykk 1.5 Faktorisering 1.5 Kvadratsetningene 1.6 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 1.8 Grafisk

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T Emne Underkapittel Rettvinklede trekanter 2.4 Ikke-rettvinklede trekanter I 2.6 Ikke-rettvinklede trekanter II 2.7 Graftegning 3.2 Graftegning med definisjonsmengde 3.2

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

GeoGebra 6. GeoGebra 6 kan lastes ned fra:

GeoGebra 6. GeoGebra 6 kan lastes ned fra: GeoGebra 6 Den vanlige GeoGebra brukeren må bruke litt tid til å sette seg inn i GeoGebra 6. Noen viktige endringer blir vist i dette dokumentet. Tema er valgt spesielt med tanke på arbeid med elever.

Detaljer

GEOGEBRA (Versjon 5.0.233.0 6. mai 2016)

GEOGEBRA (Versjon 5.0.233.0 6. mai 2016) 1 KURSHEFTE INNFØRING GEOGEBRA (Versjon 5.0.233.0 6. mai 2016) Østerås 8. mai 2016 Odd Heir 2 Innhold Side 3-13 Innføring i GeoGebra 13-14 Funksjonsanalyse 14-16 Utskrift 17-18 Overføring til Word 18-20

Detaljer

Verktøyopplæring i kalkulator

Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator Enkel kalkulator... 3 Regneuttrykk uten parenteser... 3 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 3 Negative tall... 4 Regneuttrykk med parenteser... 5 Brøk... 5 Blandet

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme

Detaljer

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals GeoGebra brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals Innhold Hva er GeoGebra?... 2 Hvilken nytte har elevene av å bruke GeoGebra?... 2 Hvor finner vi GeoGebra?... 2 Oppbyggingen av programmet...

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Terningkast 4.1 Valgtre I 4.3 Valgtre II 4.7 Graftegning 5.2 Linje gjennom to punkter 5.2 Nullpunkter

Detaljer

QED Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen

QED Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Statistikkberegninger i regnearket... 5 Nye muligheter for funksjonsanalyse... 8 Nullpunkt og ekstremalpunkt...

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Eksponentiell vekst. Side 45 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 50-52 i læreboka... 4 Kurvediagram. Side 55-56 i læreboka...

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 9 Kapittel 2 Bokmål 1 av 9 Kurs i GeoGebra Funksjoner og grafer I dette kurset skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke GeoGebra som en graftegner. Grunnleggende innstillinger Når vi skal bruke

Detaljer

GEOGEBRA (Versjon desember 2016)

GEOGEBRA (Versjon desember 2016) 1 MANUAL 1P 2P 2PY GEOGEBRA (Versjon 5.0.303.0 10. desember 2016) Østerås 14. desember 2016 Odd Heir 2 Innhold Side 3-12 Innføring i GeoGebra 12-15 Utskrift 16-17 Overføring til Word 17-18 Regneark i GeoGebra

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Regulære mangekanter 3.9 Flislegging I 3.9 Flislegging II 3.9 Flislegging III 3.9 Terningkast 4.1

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 2P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 2P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 2P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

Del 1. Generelle tips

Del 1. Generelle tips Innhold Del 1. Generelle tips... 2 Bruk en "offline installer"... 2 Øk skriftstørrelsen... 3 Sett navn på koordinataksene... 3 Vis koordinater til skjæringspunkt, ekstremalpunkt m.m.... 4 Svar på spørsmålene

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S2

GeoGebra-opplæring i Matematikk S2 GeoGebra-opplæring i Matematikk S Emne Underkapittel Faktorisering.1 Grafisk løsning av likningssett I.3 Størst mulig overskudd 3. Vendepunkter 3.4 Den naturlige eksponentialfunksjonen 3.5 3.6 Den naturlige

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt. Vinkel mellom to vektorer 1.6 Parameterframstilling 1.8 Binomialkoeffisient I 2.7 Binomialkoeffisient

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. wxmaxima

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. wxmaxima Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for wxmaxima Innhold 1 Om wxmaxima 4 1.1 Tilleggspakker................................. 4 2 Regning 5 2.1 Noen

Detaljer

Hvordan forandrer jeg på innstillingene langs aksene, slik at hele grafen viser? Dette kan du gjøre på seks ulike måter:

Hvordan forandrer jeg på innstillingene langs aksene, slik at hele grafen viser? Dette kan du gjøre på seks ulike måter: Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 3.0 bokmål. Jeg har lastet ned en installasjonsfil fra www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikke til å fungere. Hva kan dette skyldes? Den vanligste

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Nullpunkt. Side 11 i læreboka... 3 Andregradslikninger. Side 18 i læreboka... 3 Momentan vekstfart. Side 47 i læreboka...

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette

Detaljer

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy 1 Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy Graftegner Det skal gå klart fram av den grafiske framstillingen hvilken skala og hvilken enhet som er brukt, på hver av aksene. Det er en

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

R2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k

R2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k R kapittel Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka. a f( ) = 7 + sin, D f = R Når sin =, har f( ) sin største verdi. sin = for = + k f( ) maks = 7+ = 8 Toppunktene på grafen til f er, Z k +,8 k. Når

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 2P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Linjediagram. Side 46 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 57 i Læreboka... 5 Histogram. Side 81 i læreboka... 6 Lineær regresjon.

Detaljer

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering.

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering. 11 CAS i GeoGebra Fra og med versjon 4.2 får GeoGebra et eget CAS-vindu. CAS står for Computer Algebra System og er en betegnelse for programvare som kan gjøre symbolske manipuleringer. Eksempler på slike

Detaljer

Lineære funksjoner. Skjermbildet

Lineære funksjoner. Skjermbildet Lineære funksjoner I dette opplæringsløpet lærer du å tegne funksjoner i GeoGebra samt å bruke verktøy til å løse oppgaver som dreier seg om funksjoner. Alle oppgavene handler om lineære funksjoner. I

Detaljer

Sigbjørn Hals. Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse. Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011

Sigbjørn Hals. Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse. Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011 Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011 1 Framgangsmåten med GeoGebra Vi vil her bare se på løsningen av oppgavene c og d. Åpne GeoGebra.

Detaljer

3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter

3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter 3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter MKH Innholdsfortegnelse 1. Graftegner - GeoGebra... 2 1.1 Introduksjon GeoGebra... 2 1.2 Endre innstillinger på aksene...

Detaljer

Oppgaver i funksjonsdrøfting

Oppgaver i funksjonsdrøfting Oppgaver i funksjonsdrøfting To av oppgavene er merket med *. Det betyr at de er ekstra interessante. Oppgave 1 Gitt funksjonen f(x) = x + 4. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4.2

Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4.2 Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4. av Sigbjørn Hals Innhold: CAS-verktøyet... Likninger... Likningssett med flere ukjente... 4 Differensiallikninger... 5 Derivasjon... 5 Integralregning... 6 Polynomdivisjon...

Detaljer

QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen

QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære, 2. utgave Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE

Detaljer

Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål

Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål Jeg har lastet ned en installasjonsfil fra www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikke til å fungere. Hva kan dette skyldes? Den vanligste

Detaljer

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger. GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,

Detaljer

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål Eksempel på løsning 011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 010 Bokmål MAT1013 Matematikk 1T, Høst 010 Del 1 Uten hjelpemidler Kun vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål

Detaljer

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Utgave 1.4 Skrevet av Bjørnar Tollaksen. Hele regelboka er et sammendrag av læreboka. Dette er ment som et supplement til formelheftet, ikke en erstatning. Skrivefeil kan

Detaljer

Ny, GeoGebra til forkurset ved HiOA sommeren 2016

Ny, GeoGebra til forkurset ved HiOA sommeren 2016 Ny, GeoGebra til forkurset ved HiOA sommeren 2016 Fra Prøveveiledning, Matematikk 1P + 2P, Sentralt gitt skriftlig prøve etter forkurs i lærerutdanningene, 2016 1.6.2.1 Graftegner (programvare på datamaskin).

Detaljer

Eksamen S1, Høsten 2013

Eksamen S1, Høsten 2013 Eksamen S1, Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f

Detaljer

Kurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4.0

Kurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4.0 Kurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold Liste over kommandoene... 2 Lineær regresjon... 3 Potensregresjon... 5 Eksponentiell regresjon... 5 Logaritmisk regresjon... 6 Logistisk

Detaljer

Lokal læreplan i matematikk Trysil ungdomsskole 1

Lokal læreplan i matematikk Trysil ungdomsskole 1 Lokal læreplan i matematikk Trysil ungdomsskole 1 Lokal læreplan i matematikk Trysil ungdomsskole 2 Lokal læreplan i matematikk Trysil ungdomsskole 3 Lokal læreplan i matematikk Trysil ungdomsskole 4 Lokal

Detaljer

Årsplan i matematikk Trinn 10 Skoleåret Haumyrheia skole

Årsplan i matematikk Trinn 10 Skoleåret Haumyrheia skole Årsplan i matematikk Trinn 10 Skoleåret 2016-2017 Tids rom Kompetansemål Hva skal vi lære? (Læringsmål) Hvordan jobber vi? (Metoder) 34-38 sammenligne og regne tall på standardform og uttrykke slike tall

Detaljer