Funksjoner løsninger. Innhold. Funksjoner S1

Transkript

1 Funksjoner løsninger Innhold.1 Funksjoner.... Lineære funksjoner... 9 Ettpunktsformelen Skjæringspunkt mellom rette linjer. Nullpunkt for en funksjon Andregradsfunksjon Tredjegradsfunksjon Rasjonale funksjoner Potensfunksjoner Eksponentialfunksjoner Modellering Vekstfart og derivasjon Drøfting av polynomfunksjoner på grunnlag av derivasjonsregler Øvingsoppgaver og løsninger Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA 1

2 .1 Funksjoner.1.1 Skriv opp funksjonsuttrykket for en funksjon som a) viser hva du må betale for x liter melk når hver liter koster 1,40 kroner. f( x) 1,40x b) viser hva du må betale for x antall SMS når hver SMS koster 0,49 kr. 0,49 f x x c) viser strekningen du har kjørt etter t timer når hastigheten er 80 km/time. f( t) 80t d) viser arealet av et rektangel når omkretsen er 36 meter og du kaller grunnlinja x. f( x) x 18 x e) viser hva hver elev må betale, dersom en gruppe elever skal leie en buss. Det koster 3000 kroner å leie bussen og x er antall elever i gruppa fx ( ) x.1. Camilla har et mobilabonnement. Hun betaler 99 kroner i fast pris per måned og 0,49 kroner per ringeminutt, t. Kostnadene, k, ved å bruke mobiltelefonen en måned kan vi skrive som 0,49t 99 k t a) Hva er definisjonsmengden til k? D 50, 00 Definisjonsmengden er der t varierer fra og med 50 til og med 00. k b) Lag en verditabell for k uten digitalt hjelpemiddel. Verditabell: t kt 13,50 148,00 17,50

3 c) Tegn grafen til k uten digitalt hjelpemiddel. d) Finn grafisk hvor mange minutt Camilla har ringt når kostnadene er 160 kroner. Camilla har ringt i ca 15 minutt når kostnaden er 160 kroner. e) Finn verdimengden til k. Ved en ringetid på 50 minutt er kostnaden 13,50 kroner. Ved en ringetid på 00 minutt er kostnaden 197,00 kroner. Verdimengden til k er dermed fra og med 13,50 til og med 197,00. V 13,50, 197,00 Bruker vi parenteser, skrives det slik: k 3

4 f) Gjør oppgave b) og c) med digitalt hjelpemiddel. Velger å bruke GeoGebra for å finne verditabell og for å tegne grafen til kt. Skriver 50 i rute A1 og 100 i rute A. I rute B1 skrives k A1. Funksjonsverdiene regnes ut og vises i rutene. Dra håndtaket (nederst i høyre hjørne i den blå rammen) og lag verditabell innenfor definisjonsmengden. For å avgrense funksjonen til definisjonsområdet skriver vi kx funksjon 0.49x 99,50,00 Grafen blir den samme som i oppgave d).1.3 Per jobber som telefonselger. Lønnen er basert på en grunnlønn per time på 105 kroner. I tillegg får han 10 kroner for hvert salg han oppnår. a) Lag en funksjon L som viser timelønnen i kroner når han oppnår s antall salg. 10s 105 L s b) D 0,15 L. Tegn grafen til funksjonen L i et koordinatsystem. 4

5 c) Hvor mange salg har Per hatt når timelønnen var 175 kroner? Vi ser av grafen ovenfor at Per da har hatt 7 salg. d) Finn verdimengden til funksjonen L. Den største timelønnen Per kan oppnå er 1015 kroner 105 kroner 55 kroner. Den laveste er 105 kroner. Verdimengden blir V 105, 55 L.1.4 Verdens beste maratonløpere løper med tilnærmet konstant fart og bruker ca. timer og 4 minutt på en maraton (4 195 meter). a) Hvor mange km tilbakelegger disse løperne per minutt? timer og 4 minutt er 14 minutt. Distanse per minutt: 4 195m 340m 14 b) Lag en funksjon som viser sammenhengen mellom distansen, d, løperne tilbakelegger og tiden, t. d t t 340 c) Hvor langt er løperne kommet etter 1 time? d m m 0,4km 5

6 d) Hva blir definisjonsmengden til funksjonen i b)? Definisjonsmengden blir tiden fra løperne starter til de er i mål. I dette tilfellet blir det fra og med 0 til og med 14 minutt. e) Lag en verditabell for følgende t-verdier, 30, 60, 90, 10 t dt Tegn grafen og finn ut hvilken distanse løperne har tilbakelagt når de har løpt i 45 minutt. Marker i koordinatsystemet. Leser av grafen at de har løpt meter, dvs. 15,3 km på 45 minutt. f) Hva er verdimengden til funksjonen i b)? Verdimengden til funksjonen er distansen maratonløperne tilbakelegger, dvs. fra og med 0 til meter. V 0, 4195 d 6

7 .1.5 På en terminprøve i matematikk har Trine tatt med seg en flaske med kaldt kildevann. Temperaturen i vannet var 5 C ved starten av prøven og stiger jevnt med 5,4 C i timen i løpet av de 3 første timene prøven varer. a) Lag en funksjon T for temperaturen i vannet etter x antall minutt. Temperaturstigningen er 5,4 C 0,09 C per minutt 60min 0,09x 5 T x b) Hva er temperaturen i vannet etter 1,5 timer? T 90 0, ,1 C c) Tegn grafen til T i et koordinatsystem. La x variere fra 0 til 180. d) Når var temperaturen i vannet 14 C? 7

8 Vi kan se grafisk at temperaturen i vannet var 14 C etter 100 minutt, altså etter 1 time og 0 minutt. Anette hadde også med seg en flaske med kildevann på prøven. Funksjonen f viser temperaturen i vannet til Anette x antall minutt etter at prøven startet 0,08x 6,5 f x e) Hva var temperaturen i vannet til Anette da prøven startet? Da prøven starter, er x 0. Temperaturen i vannflasken til Anette er dermed 6,5 C ved prøvestart. 8

9 . Lineære funksjoner..1 a) Skriv ned stigningstallet og konstantleddet til de tre funksjonene. 1. f x x Stigningstall er og konstantleddet er.. gx 3x Stigningstall er 3 og konstantleddet er. 3. hx x Stigningstall er 1 og konstantleddet er 0. b) Hva forteller stigningstallet og konstantleddet oss om grafen til en funksjon? Stigningstallet forteller hvor raskt grafen til funksjonen vokser eller avtar. Jo større stigningstallet er, jo brattere er grafen. Konstantleddet forteller hvor grafen skjærer andreaksen. Når grafen skjærer andreaksen, er variabelen x lik 0. 9

10 .. De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt ved 0,5x x x f x g x h x For hver av de tre funksjonene skal du - Lage en verditabell som inneholder 3 ulike x-verdier - Markere punktene du finner i et koordinatsystem - Tegne ei rett linje gjennom punktene 0,5x f x Verditabell x fx Punkter og linje x g x 10

11 Verditabell x gx Punkter og linje 6 0 h x x Verditabell x hx Punkter og linje

12 ..3 De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt ved f x g x h x x 1 x x 3 a) Tegn grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem. b) Hvor skjærer hver av disse grafene andreaksen? Konstantleddet til Konstantleddet til Konstantleddet til fx er 1. Grafen til gx er. Grafen til hx er 3. Grafen til f x skjærer dermed andreaksen i punktet 0, 1. g x skjærer dermed andreaksen i punktet 0,. h x skjærer dermed andreaksen i punktet 0, 3. c) Kan du si noe om hvordan disse grafene går i forhold til hverandre og hvorfor det er slik? Funksjonene har samme stigningstall. Linjene er derfor parallelle. 1

13 ..4 Bruk det du vet om stigningstallet og konstantleddet til en lineær funksjon til å tegne de rette linjene gitt ved a) f x x Grafen til f har stigningstall 1 og konstantledd, dvs. at grafen skjærer andreaksen i. Vi kan ta utgangspunkt i på andreaksen. Stigningstallet på 1 forteller at dersom vi beveger oss en enhet langs førsteaksen, stiger grafen med 1 enhet. Vi kan sette av to punkter til og tegne en rett linje gjennom punktene. b) gx x Grafen til g har stigningstall 1 og konstantledd, dvs. at grafen skjærer andreaksen i. Vi kan ta utgangspunkt i på andreaksen. Stigningstallet på 1 forteller at dersom vi beveger oss en enhet langs førsteaksen, synker grafen med 1 enhet. Vi kan sette av to punkter til og tegne en rett linje gjennom punktene. c) hx x 0,5 Grafen til h har stigningstall og konstantledd 0,5, dvs. at grafen skjærer andreaksen i 0,5. Vi kan ta utgangspunkt i 0,5 på andreaksen. Stigningstallet på forteller at dersom vi beveger oss en enhet langs førsteaksen, stiger grafen med enheter. Vi kan sette av to punkter til og tegne en rett linje gjennom punktene. 13

14 ..5 På figuren til høyre ser du to rette linjer i et koordinatsystem. Hva er konstantleddet i funksjonsuttrykket til hver av disse to linjene? Konstantleddet finner vi ved å se på hvor grafene skjærer andreaksen. Den røde linja skjærer andreaksen i punktet 0, 1. Konstantleddet er dermed 1. Den blå linja går gjennom origo. Konstantleddet er da lik a) Finn stigningstallet til den rette linja som er tegnet i koordinatsystemet til høyre. Vi kan ta utgangspunkt i et punkt på grafen, for eksempel punktet 1, 1. Når vi beveger oss 1 enhet langs førsteaksen, stiger grafen med enheter. Stigningstallet er 1 b) Skriv opp funksjonsuttrykket til den lineære funksjonen som gir denne rette linja. Kaller funksjonen for f. Grafen til funksjonen f skjærer andreaksen i punktet 0, 1. Konstantleddet er dermed 1 Funksjonsuttrykket kan da skrives som f x x 1 c) Hva er nullpunktet til funksjonen? Nullpunktet er der grafen skjærer førsteaksen. 1 Grafisk ser vi at nullpunktet er,0. Ved regning setter vi f x 0 x 1 0 x 1 1 x 14

15 ..7 I koordinatsystemet ovenfor er det tegnet fire grafer. Forklar hvilket av funksjonsuttrykkene nedenfor som hører sammen med hvilken graf. x 1 f x Stigningstall. Skjærer andreaksen i punktet 0, 1. Blå graf x g x Stigningstall. Skjærer andreaksen i punktet 0,. Gul graf hx x Stigningstall 1. Skjærer andreaksen i origo 0,0. Rød graf ix Stigningstall 0. Skjærer andreaksen i punktet 0,. Grønn graf 15

16 ..8 Skriv ned funksjonsuttrykket f til en rett linje som har a) stigningstall og konstantledd 3. x 3 f x b) stigningstall -1 og konstantledd 1. x 1 f x c) stigningstall 0 og konstantledd 3. fx 3 d) stigningstall - og konstantledd 0. f x x e) Tegn grafene til de fire funksjonsuttrykkene du fant ovenfor. 16

17 ..9 I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafene til de fem funksjonene f, g, h, i og j. Skriv ned funksjonsuttrykket til hver av de 5 funksjonene. Funksjonsuttrykket til den røde grafen kan skrives som fx 3 Funksjonsuttrykket til den blå grafen kan skrives som gx x Funksjonsuttrykket til den svarte grafen kan skrives som hx 4x 1 Funksjonsuttrykket til den lilla grafen kan skrives som ix 3x Funksjonsuttrykket til den grønne grafen kan skrives som jx 1 3 x 17

18 Ettpunktsformelen..10 Ei rett linje går gjennom punktene 0, 1 og 1, 1. a) Finn stigningstallet til denne rette linja. y y Stigningstallet er gitt ved x x b) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja gjennom disse punktene. Bruker punktet (1,1) og stigningstallet fra a) og får likningen y y a x x 1 1 y1 x1 y1 x yx1 c) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning. Linja skjærer andreaksen i 1 og har stigningstall. Løsningen er riktig. 18

19 ..11 En rett linje har stigningstall og går gjennom punktet (, ). a) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja. y y a x x 1 1 y x y x 4 yx b) Bruk den generelle likningen, y ax b, for en rett linje og finn likningen for linja. Vi vet at stigningstallet a Punktet, ligger på linjen slik at b Vi har en likning med en ukjent og kan finne den ukjente b. b b 4 b Likningen for linjen blir c) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning. Linja skjærer andreaksen i og har stigningstall. Løsningen er riktig. 19

20 ..1 Gitt funksjonen f der f x 3x 1 gjennom punktet 1,. Finn funksjonsuttrykket til funksjonen g.. Grafen til en annen funksjon g er parallell med grafen til f og går Når grafen til f og grafen til g er parallelle, har de samme stigningstall. En likning for funksjonen g blir 3x 1 y y 3x 3 y 3x 5 Funksjonen g kan da skrives gx 3x Ei rett linje går gjennom punktene, 100 og 5, a) Finn stigningstallet til denne rette linja. y y a x x b) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja gjennom disse punktene. y y a( x x ) 1 1 y ( x) y 100x y100x100 0

21 c) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning. Linja skjærer andreaksen i 100 og har stigningstall 100. Løsningen er riktig...14 Ei rett linje går gjennom punktene 0,, 0,5 og 0,5,,6. a) Finn stigningstallet, a, til denne rette linja. y y a x x 1 1,6 0,5,1 7,0 0,50, 0,3 b) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja gjennom disse punktene. y y a( x x ) 1 1 y 0,5 7,0( x 0,) y 7,0x1,4 0,5 y7,0x0,9 1

22 c) Bruk den generelle likningen, y ax b, for en rett linje og finn likningen for linja. Vi kan sette: 0,5 a0, b og,6 a0,5 b Vi får et likningssett med to ukjente a og b. 0,5 a0, b 0,5 0,ab b0,5 0,a b 0,5 0,7,0 b 0,9 Likningen for linjen blir y7,0x 0,9 og,6 a0,5 b,6 0,5a 0,5 0,a,6 0,5a 0,5 0,a 0,3a,1 a 7,0

23 Skjæringspunkt mellom rette linjer. Nullpunkt for en funksjon..15 Gitt funksjonen f x x og g x x 4 a) Tegn grafen til funksjonen f og g i samme koordinatsystem. b) Finn grafisk skjæringspunktene mellom grafene. Finner grafisk at skjæringspunktet mellom grafene er 0.67,.67 3

24 c) Finn skjæringspunktene mellom grafene ved regning. f x g x x x 4 3x x 3 Dette gir; f Skjæringspunktet blir, 3 3 d) Finn nullpunktene til funksjonene grafisk og ved regning. Leser av grafisk at funksjonen f har nullpunkt for x og funksjonen g for x Nullpunkt for f ved regning: 0 f x x 0 x Nullpunkt for g ved regning: 0 g x x 4 0 x 4 x 4

25 ..16 Gitt funksjonene 3 x 5 og gx x f x a) Tegn grafene til de to funksjonene i samme koordinatsystem. b) Finn skjæringspunktet mellom grafene grafisk. Jeg brukte kommandoen «Skjæring mellom to objekt» og fant at punktet, skjæringspunktet mellom grafene. A er c) Finn skjæringspunktet mellom grafene ved regning, både med og uten digitale hjelpemidler. Ved CAS Uten bruk av digitale hjelpemidler f x g x 3 x 5 x 3x 10 4x 4 3x 4x x 14 g 4 x Jeg får både med og uten digitale hjelpemidler at skjæringspunktet er,. 5

26 d) Finn nullpunktene til funksjonene grafisk og ved regning. Ved regning både med og uten digitale hjelpemidler. Grafisk brukte jeg kommandoen «Skjæring mellom to objekt» og fant skjæringspunktene mellom grafene og x -aksen. (Jeg kunne også brukt kommandoen «Nullpunkt[ <Polynom> ]»). Funksjonen f har nullpunkt for x 3,3 (Se punkt C) og funksjonen g har nullpunkt x 1,0 (Se punkt D) Ved regning uten digitale hjelpemidler: f x 0 3 g x 0 x 5 0 x 0 3x 10 x 10 x x 1 3 Ved CAS Ved CAS: Jeg får samme nullpunkter ved regning som grafisk...17 Anette og Bjørnar arbeider som telefonselgere i hvert sitt firma. Anette arbeider i firma A. Hun har en fast timelønn på 100 kroner, og et tillegg på 10 kroner per salg. Total timelønn i kroner, A, for Anette kan beskrives ved funksjonsuttrykket 10x 100 A x der x er antall salg per time. Bjørnar arbeider i firma B. Han har en fast timelønn på 90 kroner, og et tillegg på 1 kroner per salg. Total timelønn i kroner, B, for Bjørnar kan beskrives ved funksjonsuttrykket 1x 90 B x der x er antall salg per time. a) Tegn grafene til funksjonene i samme koordinatsystem. 6

27 b) Finn grafisk og ved regning skjæringspunktet mellom grafene. Jeg finner skjæringspunktet mellom grafene med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Jeg finner at skjæringspunktet mellom grafene er 5, 150. Ved regning: A x B x x 90 1x Det gir x 10 x 5 A , 150 Skjæringspunktet er c) Hva forteller skjæringspunktet? Skjæringspunktet forteller at timelønnen til Anette og Bjørner er den samme ved 5 salg. Timelønnen er da 150 kroner. 7

28 .3 Andregradsfunksjon.3.1 a) Se på de fire funksjonsuttrykkene nedenfor og finn ut ved regning - hvilken vei grafene til funksjonene krummer (smil eller sur ) - hvilke av grafene som har toppunkt og hvilke som har bunnpunkt - hvor grafene skjærer andreaksen - likningen for symmetrilinja til hver av grafene - koordinatene til topp- eller bunnpunktet til hver av grafene - verdimengden til funksjonene - nullpunktene til funksjonene f x x 7x 1 Når f() x ax bx c og a 0, vil grafen vende sin hule side opp (smile). Grafen vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 1 fordi konstantleddet, c 1. b 7 Symmetrilinja er x a Bunnpunkt har koordinater f( ) Verdimengden blir da, 4 For å finne nullpunktene løser vi likningen f x x 0 7x x x 3 x 4 1 Nullpunktene er 3 og (, f( )) (, ) 4 8

29 g x x x 4 Når f() x ax bx c og a 0, vil grafen vende sin hule side ned (sur). Grafen vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i 4 fordi konstantleddet, c 4. 1 Symmetrilinja blir x Toppunktet har koordinater g( ) 4 4 Verdimengden blir da 19, 4 For å finne nullpunktene løser vi likningen g x 0 x x x 4 x 1 x Nullpunktene er -1 og. x h x (, g( )) (, ) 4 Når f() x ax bx c og a 0, vil grafen vende sin hule side ned (sur). Grafen vil da ha et toppunkt. Grafen skjærer andreaksen i 8 fordi konstantleddet, c 8. b 0 Symmetrilinja: x 0 a Toppunkt faller da sammen med skjæring med andreaksen: (0, 8) Verdimengden:, 8 Grafen til h ligger under x-aksen. V =, 8. Funksjonen har derfor ingen nullpunkt. f 9

30 i x 3x 1x Når f() x ax bx c og a 0, vil grafen vende sin hule side opp (smile). Grafen vil da ha et bunnpunkt. Grafen skjærer andreaksen i 0 fordi konstantleddet, c 0 b 1 Symmetrilinja blir x a 3 Bunnpunktet har koordinater (, i( )) (, 1) i( ) Verdimengden blir da 1, For å finne nullpunktene løser vi likningen i x 0 3x 1x0 3 xx ( 4) 0 x 4 x 0 1 Nullpunktene er - 4 og 0. b) Sjekk svarene i a) ved å lage skisser av grafene til funksjonene i et koordinatsystem. 30

31 .3. Funksjonen f er gitt ved a) Tegn grafen til f. f x x x 6 for x - verdier mellom 4 og 3. b) Bestem bunnpunktet til grafen til f grafisk og ved regning. Jeg bruker kommandoen «Ekstremalpunkt[f]» i GeoGebra. Bunnpunktet er 0.5, 6.5 Ved regning Symmetrilinja blir y-verdien blir da 1 x 0,5 1 f 0,5 0,5 0,56 6,5 0.5, 6.5 Bunnpunktet blir c) Bestem grafisk hvor grafen til f skjærer koordinataksene. Grafen til f skjærer førsteaksen i 3, 0 og,0. Grafen til f skjærer andreaksen i 0, 6. 31

32 d) Bestem ved regning hvor grafen til f skjærer koordinataksene. Grafen skjærer andreaksen når x 0 : f 0 6 Skjæringspunkt 0, 6. Grafen skjærer andreaksen når y 0 : f x x 0 x x x 3 x Grafen skjærer førsteaksen i punktene 3, 0 og, 0. e) Hva er verdimengden til f? I denne oppgaven skulle vi velge x-verdier fra og med 4 til og med 3. Definisjonsmengden D til funksjonen blir dermed D 4,3 f f Den laveste verdien til funksjonen f er 6,5. Vi ser grafisk at den høyeste verdien til funksjonen er 6. Verdimengden f V blir dermed V 6,5, 6 f 3

33 .3.3 Gitt andregradsfunksjonen g x x 4x 3 Dg R Tegn grafen for hånd ved først å finne symmetrilinjen. Vi finner nullpunkt og toppunkt (grafen har toppunkt siden andregradsleddet er negativt). g x 0 x x x x xtoppunkt g x1 3 x 1 Ser av funksjonsuttrykket at grafen skjærer y aksen i punktet 0, 3. For å få en mer nøyaktig graf finner vi to punkt til. Vi regner ut g På grunn av symmetri er g5 g1 8 og g g Vi har nå tilstrekkelig med punkter for å tegne grafen. x gx

34 .3.4 Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Etter t sekund er høyden h meter over bakken gitt ved andregradsfunksjonen h t 14,1t 4,9t 1,8. a) Tegn grafen til h for de første 3 sekundene. b) Når er ballen 10 meter over bakken? Jeg tegner linjen y 10. Jeg finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen til h med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Se punktene D og E. Ballen er 10 meter over bakken etter 0,8 sekund og etter,1 sekund. c) Når treffer ballen bakken? Jeg finner nullpunktet med kommandoen «Nullpunkt[h]». Se punkt C. Ballen treffer bakken etter 3 sekund. d) Når er ballen 15 meter over bakken? Vi ser av grafen at ballen aldri når denne høyden! e) Hvor høyt når ballen og når er ballen på sitt høyeste punkt? Jeg finner toppunktet med kommandoen «Ekstremalpunkt[h]». se punkt A. Ballen når sitt høyeste punkt etter ca. 1,4 sekund og har da en høyde på 1,0 meter over bakken. 34

35 .3.5 Gitt grafene nedenfor. Sett riktig bokstav (A, B, C) foran den andregradsfunksjonen du mener tilhører Graf A, Graf B og Graf C. OBS! Tre av funksjonsuttrykkene hører ikke til noen av grafene. B A C x f x x x f x x x f x x x f x x x f x f 0,5 0,5x x 6 x x

36 .4 Tredjegradsfunksjon.4.1 a) Tegn grafen til funksjonen f gitt ved 3 - toppunkter - bunnpunkter - skjæringspunkter med koordinataksene Jeg finner grafisk bunnpunktet 0,6,, og toppunktet 3,4, 7,8 med kommandoen «Ekstremalpunkt[ f ]» i GeoGebra. Jeg finner grafisk, med kommandoen «Nullpunkt[ f ]» i GeoGebra, at det er et nullpunkt i 5,0. Skjæring med andreaksen i 0,3. f x 0,5x 3x 3x 3 og finn grafisk eventuelle b) Tegn grafen til funksjonen g gitt ved 3 g x 0,0x 0,60x 4 og finn grafisk eventuelle - toppunkter - bunnpunkter - skjæringspunkter med koordinataksene Toppunkt i 0,4. Bunnpunkt i, 3,. Skjæring med førsteaksen i,0. Skjæring med andreaksen i 0,4. 36

37 .4. Funksjonen f er gitt ved a) Tegn grafen til f. 3 f x 1,3x 5,x b) Finn eventuelle nullpunkter til f grafisk. Nullpunktene er,0, 0,0 og,0 c) Finn bunnpunktet og toppunktet til f grafisk. Bunnpunktet er 1.15, 4 Toppunktet er 1.15,4 37

38 .4.3 Temperatursvingningene gjennom et romjulsdøgn er gitt ved funksjonen 3 T x 0,005x 0,1x der x er antall timer etter midnatt. a) Forklar at definisjonsmengden til funksjonen T er fra og med 0 til og med 4. Antall timer i et døgn er 4. Funksjonen gjelder for et døgn. Definisjonsmengden er da fra og med 0 til og med 4. b) Tegn grafen til funksjonen T. c) Bruk grafen og finn når temperaturen er 6C. Temperaturen er 6 C omtrent klokka og klokka d) Finn verdimengden til funksjonen T og forklar hva verdimengden forteller om temperatursvingningene dette døgnet. Verdimengden forteller i hvilket område temperaturen beveger seg gjennom døgnet. Av grafen ser vi at den laveste temperaturen er Cog den høyeste temperaturen er ca. 8, C. Verdimengden til grafen vil ligge fra og med Ctil og med 8, C. V, 8, Bruker vi parenteser, skriver vi T 38

39 .4.4 Gitt en sylinder der summen av diameter og høyde er, dm. a) Kall høyden i sylinderen h og vis at et utrykk for radius r uttrykt ved h er dh, rh,, h rh, h rh () V h h h 4 b) Vis at volumet av sylinderen, Vh kan uttrykkes som ( ), Volumet til en sylinder er gitt ved V r h. Bruker uttrykket fra a) og får, h V( h) h, h h 4 c) Hva slags funksjon er V? Dette er en tredjegradsfunksjon. Hvis vi multipliserer ut parentesen, får vi et andregradsuttrykk som multiplisert med h gir et tredjegradsuttrykk. d) Finn volumet når høyden er 1,0 dm. Jeg tegner grafen til Vh i GeoGebra og leser av punktet 1, V (1) på grafen. Volumet er 1,1 liter når høyden er 1,0 dm. 39

40 e) Finn høyden når volumet er 1,0 liter. Jeg finner skjæringspunktene mellom linjen y 1 og grafen ved kommandoen «Skjæring mellom to objekt» Høyden kan være 0,39 dm eller 1,15 dm for at volumet skal bli 1,0 liter. f) Finn radius i de sylindrene som har et volum på 1,0 liter. Sammenhengen mellom radius og høyde har vi fra oppgave a): rh, h Radius i sylindrene er 0,91 dm eller 0,53 dm. 40

41 .5 Rasjonale funksjoner.5.1 Gitt funksjonen f x x 1. x a) Fyll ut resten av tabellen. x verdi ,5 1,9 1,99,01,1, fx b) Skriv med dine egne ord hva som skjer med funksjonsverdien når x -verdien nærmer seg fra venstre. Når x nærmer seg fra venstre så går funksjonsverdien mot minus uendelig. c) Skriv med dine egne ord hva som skjer med funksjonsverdien når x -verdien nærmer seg fra høyre. Når x nærmer seg fra høyre så går funksjonsverdien mot pluss uendelig. d) Tegn grafen til funksjonen f. e) Tegn inn linja x i samme koordinatsystemet som grafen til f. Hva kalles denne linja? Linja x kalles vertikal asymptote. 41

42 .5. Gitt funksjonen f x x 1. x a) Fyll ut resten av tabellen. x verdi ,5 0, fx 1,001 1,01 1, ,9 0,99 0,999 b) Skriv med dine egne ord hva som skjer med funksjonsverdien når x -verdien nærmer seg. Funksjonsverdien nærmer seg 1 når x-verdien nærmer seg. c) Skriv med dine egne ord hva som skjer med funksjonsverdien når x - verdien nærmer seg. Funksjonsverdien nærmer seg 1 når x-verdien nærmer seg. d) Tegn grafen til funksjonen f. e) Tegn inn linja y 1 i samme koordinatsystemet som grafen til f. Hva kalles denne linja? Linja x 1kalles horisontal asymptote. 4

43 .5.3 Finn eventuelle asymptoter til funksjonen. Lag deretter en skisse av grafen til funksjonen. a) fx x Vertikal asymptote: Nevneren er lik 0 når x. Telleren er ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke. f x når x Linjen x er en vertikal asymptote for f.. Horisontal asymptote: lim x f x lim x x lim x x x x x Når x går mot uendelig, vil grafen til f nærme seg x-aksen. Linjen y 0er en horisontal asymptote for f. x 1 x Vertikal asymptote: Nevneren er lik 0 når x. Telleren er ikke 0. b) fx Grenseverdien eksisterer ikke. f x når x Linjen x er en vertikal asymptote for f.. 43

44 Horisontal asymptote: lim x f x x 1 lim x x x 1 lim x x x x x x Når x går mot uendelig, vil grafen til f nærme seg linjen y 1. Linjen y 1er en horisontal asymptote for f. c) fx x 4 x Vertikal asymptote: Nevneren er lik 0 når x. Telleren er ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke. når x f x. Linjen x er en vertikal asymptote for f. Horisontal asymptote: x 4 x lim lim x x lim lim x x x x x 1 x x x x x Når x går mot uendelig, vil nevneren gå mot 0. Telleren blir et tall forskjellig fra 0. Grenseverdien eksisterer ikke. Det er dermed ingen horisontal asymptote. d) fx 3x 1 x Vertikal asymptote: Nevneren er lik 0 når x 0. Telleren er ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke. når x f x. 44

45 Linjen x 0 er en vertikal asymptote for f. Horisontal asymptote: lim x f x 3x 1 lim x x 3x 1 lim x x x x x Når x går mot uendelig, vil grafen til f nærme seg linjen y 3. Linjen y 3 er en horisontal asymptote for f. 45

46 .5.4 Morten har et mobilabonnement der han betaler 59 kroner i fast avgift per måned. I tillegg betaler han 0,49 kroner per minutt når han ringer. Kostnadene K per minutt for Mortens mobilbruk en måned når han ringer x minutt kan skrives som K x 0,49x 59 x a) Tegn grafen til K for x - verdier mellom 0 og b) Hva nærmer kostnadene seg per minutt når Morten ringer svært mye? Når Morten ringer svært mye, vil den faste månedsavgiften bety lite og kostnadene per minutt vil nærme seg 49 øre. c) Finn likningen for den horisontale asymptoten. 0,49x 59 Kx vil gå mot 0,49 x 0,49 øre per minutt når Morten ringer svært mye. x x Likningen for den horisontale asymptoten er y 0,49 46

47 d) Hva blir prisen per minutt dersom Morten en måned ringer 300 minutt? Vi ser av grafen at prisen per minutt blir 69 øre dersom han ringer 300 minutt i måneden. e) Hvor mye må Morten ringe dersom det skal koste 60 øre per minutt? Vi ser av grafen at Morten må ringe 536 minutt dersom prisen per minutt skal bli 60 øre. 47

48 .5.5 Funksjonen g er gitt ved g x x x 1 a) Tegn grafen til g. Bruk x- verdier mellom 6 og 4. Grafen til en lineær funksjon h går gjennom punktene 1, 3 og, 0. b) Finn funksjonsuttrykket hx, og tegn grafen til h i det samme koordinatsystemet som grafen til g. Finner stigningstallet y y a 1 x x Bruker ettpunktsformelen og finner y y1 ax x1 y 0 1 x hx kan da skrives som hx x y x, se graf i oppgave a) c) Finn ved hjelp av grafene løsningene på g x h x Se løsning i oppgave a). g( x) h( x) x og x 1 d) Løs likningen i c) ved regning. i punktene 1,1 og,4. Da er løsning på likningen 48

49 .6 Potensfunksjoner.6.1 Potensfunksjonene f, g og h er gitt ved f x g x h x 3x 3x 3x 0,6 1,,1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem. b) Hvilken betydning har eksponenten x - leddet er opphøyd i for stigningen til grafen? år eksponenten er større enn 1, vil grafen stige sterkere og sterkere. Når eksponenten er mindre enn 1, vil grafen stige svakere og svakere. 49

50 .6. Potensfunksjonene f, g og h er gitt ved f x g x h x 3x 3x 3x 0,6 1,,1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem. b) Hvilken betydning har eksponenten x - leddet er opphøyd i for stigningen til grafen? Grafen synker sterkere jo større absoluttverdi den negative eksponenten har. 50

51 .6.3 Høyden til et frukttre er gitt ved funksjonen 0.7 x h x 0,85 0,5 der x er antall år etter utplanting. a) Tegn grafen til h. Velg x - verdier mellom 0 og 10. b) Hvor høyt er treet etter 3 år? Vi ser av grafen at treet er ca.,3 meter høyt etter 3 år. c) Når er treet 4 meter høyt? Vi ser av grafen at treet er 4 meter høyt etter ca. 7,5 år. 51

52 .6.4 Salget Sp av en vare er gitt ved funksjonen 0,7 Sp p, der p er prisen på varen i kroner og p 50, 150 a) Hvor stort er salget av varen når prisen settes til 10 kroner? Jeg skrev inn funksjonsuttrykket på skrivelinjen i GeoGebra og regnet i CAS Når prisen på varen er 10 kroner vil det bli solgt ca enheter av varen. b) Tegn grafen til S. c) Hvor mye endrer salget seg når prisen økes fra 80 kroner til 10 kroner? Gi endringen både i antall og i prosent. Salget av varen går ned med 575 enheter når prisen økes fra 80 kroner til 10 kroner. I prosent utgjør denne nedgangen: 4,7% d) Finn inntektene på varen med en pris på henholdsvis 80 kroner og 10 kroner. Inntekter ved 80 solgte enheter er kroner Inntekter ved 10 solgte enheter er kroner 5

53 .7 Eksponentialfunksjoner.7.1 Eksponentialfunksjonene f, g og h er gitt ved f x g x h x 30,6 31, 3,1 x x x a) Tegn grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem. b) Grafene skjærer andreaksen i 3. Hvorfor? Når x 0, blir vekstfaltoren 1 og grafene vil da skjære andreaksen i 3. c) Hvilken betydning har vekstfaktoren for stigningen til grafen? Når vekstfaktoren er større enn 1, vil grafen stige mot høyre. Når vekstfaktoren er mindre enn 1, vil grafen synke mot høyre. 53

54 .7. Miriam kjøpte en scooter for kroner i begynnelsen av 008. Vi regner med at verdien S synker med 15 % per år. Vi kan da skrive verdien x år etter 008 som ,85 x S x. a) Tegn grafen til S. Velg x - verdier mellom 0 og 8. b) Finn grafisk scooterens verdi når den er 3 år gammel. Vi ser av grafen at scooterens verdi etter 3 år er ca kroner. c) Finn grafisk når scooterens verdi er kroner. Vi ser av grafen at det tar ca. 7,4 år før scooterens verdi er kroner. 54

55 .7.3 Temperaturen i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd er gitt ved Tx 31,15 x der x er antall timer etter strømbruddet. a) Hva var temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet? Da strømbruddet skjer, er x lik 0. 0 Vi setter inn i uttrykket og får T(0) 31, Temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet er 4 C. b) Tegn grafen til T La x variere mellom 0 og 0. c) Hvor lang tid går det før temperaturen er 10 grader i kjøleskapet? Jeg finner skjæringspunktet mellom grafen og linjen y 10 med kommandoen «Skjæring mellom to objekt» Vi ser grafisk at det går ca. 14 timer før det er 10 grader i kjøleskapet. d) Er det realistisk å bruke denne modellen dersom strømmen er borte over en lengre periode (mer enn 1 døgn)? Begrunn svaret ditt. Vi ser av grafen at temperaturen vil nå «romtemperatur» etter ca. 0 timer. Temperaturen i kjøleskapet vil aldri overstige «romtemperaturen». Etter modellen vil temperaturen fortsette å stige raskere og raskere etter 0 timer. Det betyr at modellen er urealistisk å bruke dersom strømbruddet varer over ett døgn. 55

56 .7.4 Jan er ute og prøvekjører den nye motorsykkelen sin. Farten de første sekundene av turen hans kan 100 beskrives ved hjelp av funksjonen v gitt ved vx 100 1,58 x Her er vx antall kilometer i timen x sekunder etter at han startet. a) Regn ut v 0. Hva betyr dette svaret i praksis? v x 0 1,58 1,58 Farten er 0 km/t når han starter. b) Tegn grafen til v i et koordinatsystem. Bruk x-verdier fra 0 til 10. Etter en tid begynte han å bremse. Farten hans like etter at han begynte å bremse, kan beskrives ved hjelp ved funksjonen b gitt ved Her er bx 100 1,86 x bx antall kilometer i timen x sekunder etter at han begynte å bremse. c) Tegn grafen til b, og finn ut hvor lang tid det tok fra han begynte å bremse til han stoppet helt opp. Det tar ca. 7,4 sekunder før Jan klarer å stoppe. 56

57 .8 Modellering.8.1 Tabellen viser folkemengden i Mandal i 1990 og i 006. Årstall Folkemengde Vi antar at folkemengden i Mandal har steget tilnærmet lineært. a) Finn en lineær modell som beskriver utviklingen av folkemengden i Mandal. La x være antall år etter 1990 og Fx folkemengden. Et lineært uttrykk for folkemengden i Mandal er gitt på formen Økning i folkemengde fra 1990 til 006: F x ax b. Finner stigningstallet a : , Vi skulle la x være antall år fra Konstantleddet blir dermed Da er 100x F x b) Hva blir folkemengden i Mandal etter denne modellen i år 050? Ved CAS i GeoGebra kan vi definere funksjonen ved å bruke «kolon-lik» som vist i linje 1. År 050 er 60 år etter 1990 Folkemengden i Mandal i år 050 vil være etter denne modellen. c) Når vil folkemengden i Mandal passere etter denne modellen? Folkemengden vil etter denne modellen passere år etter 1990, altså i år

58 .8. I denne tabellen har vi folkemengden i Mandal for fem utvalgte år i perioden 1990 til 006. Årstall Folkemengde a) Plott punktene i tabellen i et koordinatsystem, og bruk regresjon i et digitalt hjelpemiddel til å finne en lineær modell for folkemengden i Mandal. La x være antall år fra 1990 og folkemengden. Jeg legger punktene inn i regneark i GeoGebra, markerer punktene og velger «Regresjonsanalyse», «Analyser» og «Lineær» som regresjonsmodell. Fx Jeg finner at funksjonen F kan beskrives med uttrykket 95,3x 1 47 F x b) Sammenlikn uttrykket du fikk i denne oppgaven med det du fikk i forrige oppgave. Hvorfor er de to uttrykkene ikke like? Vi ser at punktene ikke ligger på en helt rett linje. Når vi bruker lineær regresjon, så finner vi den rette linja som totalt sett har minst avvik fra punktene. Den rette linja vi fant i forrige oppgave gikk gjennom de to punktene vi fikk oppgitt. c) Når vil folkemengden i Mandal passere etter denne modellen? Jeg løser likningen i CAS Folkemengden vil etter denne modellen passere ca. 80 år etter 1990, altså i år 070. d) Sammenlikn resultatet du fikk i c) med tilsvarende resultat fra forrige oppgave. Med modellen i denne oppgaven vil det ta ca. 80 år før folkemengden i Mandal passerer I forrige oppgave viste modellen at det ville ta ca. 75 år. Forskjellen skyldes at modellen i denne oppgaven har et noe lavere stigningstall. Det vil dermed ta noe lengre tid før folketallet passerer personer. 58

59 .8.3 Tabellen under viser utslipp av svoveldioksid til luft i Norge i 1973 og i 000. Årstall SO i 1000 tonn 156,4 7,3 Vi antar at nedgangen av utslippene av SO har vært tilnærmet lineært i perioden fra 1973 til 000. a) Finn en lineær modell som beskriver utviklingen av utslippene av svoveldioksid, SO. La x være antall år fra 1973 og Et lineært uttrykk for utslipp av SO er gitt på formen Siden x er antall år fra 1973, er konstantleddet 156,4. Sx utslippene av svoveldioksid i tusen tonn. Sx ax b. 4,8x 156,4 S x De virkelige utslippene av SO var 73,1 tusen tonn i 1987 og 33,1 tusen tonn i b) Bruk modellen du fant i a og vurder hvor godt modellen treffer. År 1987 er 14 år etter År 1996 er 3 år etter Modellen vår treffer bare sånn noenlunde. Det ser ut som utslippene av SO har sunket noe raskere enn modellen vår viser. c) Hva vil utslippet være i år 010 dersom vi følger denne modellen? Kommenter svaret. År 010 er 37 år etter 1973 Utslippene kan ikke være negativ. Modellen vår kan ikke brukes til å anslå utslippene framover. 59

60 .8.4 I denne tabellen har vi utslipp av svoveldioksid til luft i Norge for seks utvalgte år fra 1973 til 000. Årstall SO i 1000 tonn 156,4 136,4 73,1 37,0 33,1 7,3 a) Plott punktene i tabellen i et koordinatsystem, og bruk regresjon i et digitalt hjelpemiddel til å finne en lineær sammenheng mellom årstallene og utslippene av svoveldioksid, SO. La x være antall år fra 1973 og Sx utslippene av svoveldioksid i tusen tonn. Jeg legger punktene inn i regneark i GeoGebra, markerer punktene og velger «Regresjonsanalyse», «Analyser» og «Lineær» som regresjonsmodell. Jeg finner at funksjonen S kan beskrives med uttrykket 5,4x 158 S x b) Sammenlikn modellen du fikk i denne oppgaven med den modellen du fikk i forrige oppgave. Kommenter eventuelle forskjeller. Modellen i denne oppgaven viser at utslippet av SO vil avta noe raskere enn modellen i forrige oppgave. Reduksjonen av SO vil bli redusert med 5,4 tusen tonn per år etter modellen i denne oppgaven. Modellen i forrige oppgave viser at reduksjonen vil være på 4,8 tusen tonn per år. c) Hva vil utslippene være i år 010 dersom vi følger denne modellen? Kommenter svaret. S 37 5, ,8 tusen tonn Utslipp i år 010: Utslippene kan ikke være negative. Modellen over kan ikke brukes til å anslå utslippene framover. Når vi ser på punktene og grafen ovenfor, så ser vi at modellen passer bra fram til Etter 1996 flater utslippet ut og en lineær modell passer dårlig. 60

61 .8.5 Tabellen under viser utslipp av svoveldioksid til luft i Norge for noen utvalgte år fra 1981 til SO i 1000 tonn 136,4 104,0 37,0 33, 7,1 3, a) Legg punktene i et koordinatsystem og bruk potensregresjon til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La x være antall år fra 1980 og S x utslippene av svoveldioksid i tusen tonn. Plott punktene og grafen til uttrykket du finner. Jeg legger punktene inn i regneark i GeoGebra, markerer punktene, og velger «Regresjonsanalyse», «Analyser» og «Potens» som regresjonsmodell. Jeg finner at funksjonen S kan beskrives med uttrykket S x 158 x 0,58 Norge har forpliktet seg til ikke å la utslippene av svoveldioksid i 010 overstige 000 tonn. b) Bruk modellen du fant i a og finn ut om Norge vil oppfylle denne forpliktelsen innen 010. Ifølge modellen vår vil Norge akkurat klare dette innen tidsfristen. c) Statistisk sentralbyrå publiserer tabeller som viser utslipp av ulike klimagasser. Følg lenken Klimagasser og vurder hvordan vår modell stemmer med de virkelige verdiene de siste årene. I virkeligheten har utslippet vært noe lavere enn vår modell forutsier. Norge oppfylte faktisk forpliktelsene sine allerede i

62 .8.6 Tabellen viser temperaturen i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd. Antall timer etter strømbruddet Antall grader i o C 4,0 4,4 6,0 8,9 1,5 17,9 a) Plott punktene i et koordinatsystem og bruk eksponentialregresjon til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La x være antall timer etter strømbruddet og kjøleskapet. Plott punktene og grafen til uttrykket du finner. Jeg legger punktene inn i regneark i GeoGebra, markerer punktene og velger «Regresjonsanalyse», «Analyser» og «Eksponentiell» som regresjonsmodell. Tx temperaturen i Jeg finner at funksjonen T kan beskrives med uttrykket T x 3,511,08 x b) Vurder gyldigheten til modellen framover i tid. Begrunn svaret ditt. Modellen vil gi en høyere og høyere temperatur i kjøleskapet. I virkeligheten vil temperaturen nærme seg temperaturen i rommet der kjøleskapet står. Modellen vår er nok ikke gyldig noe særlig lenger enn ca. 1 døgn etter strømbruddet. 6

63 .8.7 Tabellen viser utslippene av karbondioksid CO i verden målt i millioner tonn. Årstall Utslipp av CO i millioner tonn a) Plott punktene i tabellen i et koordinatsystem, og finn en matematisk modell som beskriver utslippene av CO. La x være antall år etter 1980 og Ux utslippet av CO. Jeg legger punktene inn i regneark i GeoGebra og lager «liste med punkt». Ser av punktene at det er en sterk økning fra 005 til 006. Jeg prøver derfor med eksponentiell regresjon. Jeg markerer punktene i regnearket og velger «Regresjonsanalyse», «Analyser» og «Eksponentiell» som regresjonsmodell. Jeg finner at funksjonen U kan beskrives med uttrykket U x ,0164 x Vi ser at grafen til uttrykket vårt passer temmelig godt med punktene. b) Mange land har vedtatt å senke utslippene av CO i tiden framover. Vurder gyldigheten framover i tid av modellen du fant i a. Uttrykket vi fant i a) er eksponentielt, dvs. at mengden av CO - utslipp vil øke mer og mer. Mest sannsynlig vil CO - utslippet etter hvert flate ut, og vår modell blir antakelig ikke korrekt langt fram i tid. 63

64 .8.8 a) Bruk GeoGebra til å tegne 7 ulike rektangler. Alle rektanglene skal ha en omkrets på 4 cm. La x - verdien være bredden på rektangelet. Velger du for eksempel at bredden x skal være 4 cm, så blir høyden 8 cm. b) Bruk Avstand- og lengde - knappen til å måle arealet og omkretsen av rektanglene. Se figur ovenfor. c) Lag en liste i GeoGebra der x -verdien er bredden på rektangelet og y - verdien er arealet. Plott punktene i et koordinatsystem. Hva slags kurve likner dette på? Jeg legger punktene inn i regneark i GeoGebra og lager «liste med punkt». Det ser ut som punktene ligger langs en parabel, dvs. en andregradsfunksjon. 64

65 d) Bruk regresjon og finn det uttrykket som passer best til punktene i tabellen. Tegn grafen til uttrykket. La A være arealet av rektanglet og x være bredden på rektanglet. Jeg markerer punktene i regnearket, velger «Regresjonsanalyse», «Analyser» og «Polynom Grad» som regresjonsmodell. Jeg finner at funksjonen A kan beskrives med andregradsuttrykket A x x 1x e) For hvilken verdi av x har rektanglet størst areal, og hva er arealet da? Jeg ser at grafen har toppunkt når x 6. Arealet er størst når rektanglet er kvadratisk, dvs. når bredden er 6 cm. Arealet er da 6 cm6 cm 36 cm. En bonde har 600 meter gjerde til disposisjon. Har vil gjerde inn et område til sauene sine. f) Hvordan bør bonden sette opp gjerdet dersom sauene skal få mest mulig plass å boltre seg på? Ifølge modellen vi fant ovenfor bør bonden gjerde inn et kvadratisk område. Siden i kvadratet blir fjerdeparten av 600 meter som er 150 meter. Arealet blir da 150 m150 m 500 m. 65

66 .8.9 Tabellen viser observert vannstand på Tregde 1. februar 008. Observert vannstand er i cm over middelvann. I tabellen er x timer etter midnatt og h er høyden målt i cm over middelvann. x h a) Legg punktene inn i et koordinatsystem. Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn det tredjegradsuttrykket som passer best med verdiene i tabellen. Jeg legger punktene inn i regneark i GeoGebra, markerer punktene og velger «Regresjonsanalyse», «Analyser» og «Polynom grad 3» som regresjonsmodell. Jeg finner at funksjonen h kan beskrives med uttrykket: 3 h x 0,066x 1,15x 4,19x 8,95 Jeg kopierer grafen til grafikkfeltet. Vi ser at grafen treffer godt med de observerte verdiene. b) En større båt skal legge til kai i nærheten av Tregde. Båten kan ikke komme inn til kaia dersom vannstanden avviker mer enn 10 cm fra middel vannstand. I hvilket tidsrom kan båten gå inn til kaia? Vi kan se av grafen at fra litt før kl til litt etter kl kan båten gå til kai ved Tregde. c) Vurder gyldigheten til modellen lenger fram i tid. Sjekker hvilken verdi vi får 4 timer etter midnatt. 3 h 4 0, ,154 4,194 8, døgn (4 timer) etter midnatt viser modellen et avvik på -360 cm fra middel vannstand. Modellen er IKKE gyldig fram i tid. 66

67 .9 Vekstfart og derivasjon.9.1 Funksjonene g, h og i er gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor. For hver av funksjonene skal du først tegne grafen. Deretter velger du ut punkter på grafen og bruker disse punktene til å regne ut vekstfarten. Sjekk om vekstfarten er lik stigningstallet du kan lese direkte av grafen. a) gx x 4 y Vekstfart x 0 Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. b) hx x 8 y Vekstfart 1 x Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. 67

68 c) ix 1 x y Vekstfart 1 x 1 1 Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet..9. Funksjonene g, h, i og f er gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor. For hver av funksjonene skal du velge ut to verdier for x. Deretter regner du ut veksthastigheten ved å regne ut funksjonsverdiene til de valgte x - verdiene. Sjekk om vekstfarten er lik stigningstallet du kan lese direkte av funksjonsuttrykket. a) gx x 4 Jeg velger ut verdiene x1 og x 4. 4 f y g Vekstfarten x x x1 4 Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. b) hx 3x Jeg velger ut verdiene x1 og x 4. hx y h x x x x1 4 Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. 1 Vekstfarten 3 68

69 c) ix x Jeg velger ut verdiene x1 og x 4. i y i Vekstfarten 5 x x x1 4 Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet. d) f x x 7 3 Jeg velger ut verdiene x 1 og x y f4 f Vekstfarten 4 x x x Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet..9.3 Grafen til en lineær funksjon går gjennom to oppgitte punkter. Regn ut stigningstallet a til grafen når de oppgitte punktene er a) 3,7 og 5,9 y 9 7 a 1 x 53 b) 1, 8 og 4,1 y a 3 x Du får oppgitt at funksjonen f er en lineær funksjon. Du får videre oppgitt at f f 4 9. Finn vekstfarten a til f. f x1 y f x a x x x og at 69

70 .9.5 Funksjonen hx x x 1 x 0,0 viser høyden til et morelltre x antall år etter at det ble plantet i a) Finn grafisk hvor mye treet vokste i gjennomsnitt per år i perioden 1994 til Vi ser grafisk (stigningstallet til sekanten y) at treet i gjennomsnitt vokste 88 cm per år i perioden 1994 til b) Finn videre hvor mye treet vokste i gjennomsnitt per år i perioden 003 til 006. Vi ser grafisk (stigningstallet til sekanten y) at treet i gjennomsnitt vokste 4 cm per år i perioden fra 003 til

71 .9.6 Funksjonene f og g er gitt ved 3 3 0, og gx x x f x x x x For hver av funksjonene skal du 0,0 0,60 4 a) Finne gjennomsnittlig vekstfart når x vokser fra x 1 1 til x Jeg skriver inn begge funksjonene på skrivelinjen i GeoGebra og regner i CAS b) Finne gjennomsnittlige vekstfart når x vokser fra x 1 1 til x 1.1 c) Sammenlikn svarene i a) og b). Hvilket av disse svarene gir en mest korrekt verdi for vekstfarten når x 1? Vi får mest riktig verdi for vekstfarten når vi lar x øke fra 1 til 1,1. Se figur for funksjonen f. 71

72 .9.7 Forskere har undersøkt vekstutviklingen til trær i et bestemt skogområde. Det viser seg at høyden til et tre, ht (), målt i meter tilnærmet kan beskrives med en matematisk modell. De første åtte årene gjelder funksjonen: 3 h t 0,0t 0,5t 1,15t 0,15 der t er antall år etter utplanting. a) Hva er den gjennomsnittlige vekstfarten fra år 1 til år 4? Jeg skriver inn funksjonen på skrivelinjen i GeoGebra og regner i CAS Den gjennomsnittlige vekstfarten fra år 1 til 4 er cm 3 år b) Skriv noen ord om hvordan høyden til treet forandrer seg fra år til år. 7

73 Ut fra grafen til høydefunksjonen kan vi lese følgende: Treet vokser raskt de første to årene. De neste fire årene er veksten mindre. De siste to årene er veksten igjen mye større. Det ser ut til at veksten er veldig stor den første tiden etter planting. Så avtar veksten gradvis fram mot år 4. Deretter øker veksten stadig sterkere..9.8 Morten har et mobilabonnement der han betaler 59 kroner i fast avgift per måned. I tillegg betaler han 0,49 kroner per minutt når han ringer. Kostnadene K per minutt for Mortens mobilbruk en måned når han ringer x minutt kan skrives som K x 0,49x 59 x Hva er den gjennomsnittlige veksthastigheten når ringetiden øker fra a) 0 minutt til 00 minutt per måned? b) 00 minutt til 400 minutt per måned? c) 400 minutt til 100 minutt per måned? Jeg skriver inn kostnadsfunksjonen i GeoGebra. Gjennomsnittlig vekstfart når ringetiden øker fra 0 minutter til 00 minutter: 73

74 Kostnadene per minutt avtar gjennomsnittlig med 1,5 øre/minutt for hvert ekstra minutt han ringer mellom 0 og 00 minutt. Gjennomsnittlig vekstfart når ringetiden øker fra 00 minutt til 400 minutt er Kostnadene per minutt avtar gjennomsnittlig med 0,07 øre/minutt for hvert ekstra minutt han ringer mellom 00 og 400 minutt. Gjennomsnittlig vekstfart når ringetiden øker fra 400 minutt til 100 minutt er Kostnadene per minutt avtar gjennomsnittlig med 0,01 øre/minutt for hvert ekstra minutt han ringer mellom 400 og 100 minutt. d) Hvilken benevning får du? Kan du forklare hva det betyr i praksis? Kx måles i kr min mindre blir kostnadene per minutt. kr. x måles i minutt. Benevningen blir «per min minutt». Jo mer han ringer, jo 74

75 .9.9 Russen skal ha fest. De leier et selskapslokale. Prisen per deltaker, ved f x der x er antall festdeltakere. x fx kroner, er gitt a) Hva er den gjennomsnittlige veksthastigheten når antall festdeltakere øker fra 50 til 60? Gjennomsnittlig veksthastighet tilsvarer stigningstallet til sekanten gjennom punktene f og 60, 60 50, 50 f. Grafen viser at den gjennomsnittlige veksthastigheten er,8. b) Hva betyr i praksis det svaret du fikk i a)? Prisen avtar gjennomsnittlig med,80 kroner per deltaker når antall festdeltakere øker fra 50 til

76 .9.10 Funksjonen f gitt ved f x x x D R 6 f a) Finn grafisk den momentane vekstfarten til f for x x 1 x 0 x 1 Den momentane vekstfarten når x er 3. Den momentane vekstfarten når x 1 er 1. Den momentane vekstfarten når x 0 er 1. Den momentane vekstfarten når x 1 er 3. b) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den momentane vekstfarten og formen til grafen? Når fortegnet til den momentane vekstfarten er negativt, synker grafen når vi går fra venstre mot høyre. Når fortegnet til den momentane vekstfarten er positivt, stiger grafen når vi går fra venstre mot høyre. 76

77 .9.11 Funksjonen g er gitt ved g x x x 4 a) Finn grafisk den deriverte, g'( x ) for x 1 x 0 x 1 x Den deriverte når x 1 er 6. Den deriverte når x 0 er. Den deriverte når x 1 er. Den deriverte når x er 6. b) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den deriverte og formen til grafen? Når fortegnet til den deriverte er negativt, så synker grafen når vi går fra venstre mot høyre. Når fortegnet til den deriverte er positivt, så stiger grafen når vi går fra venstre mot høyre. 77

78 .9.1 Funksjonen f er gitt ved f x x x 6. a) Bruk definisjonen til den deriverte og regn deg fram til et generelt uttrykk for f x y f x x f x x x x x x 6 x x 6 x x x x x x x 6 x x 6 x x x x x x x xx 1 x x x x 1 x 1 når x 0 f x x 1 b) Regn ut f. f g x x x 4. Funksjonen g er gitt ved. a) Bruk definisjonen til den deriverte og regn deg fram til et generelt uttrykk for g x y g x x g x x x x x x x x x 4 4 x x x x x x x 4 x x 4 x x 4x x x x x 4 x x 4 x 4x x x x x 4xx x x 4x x 4x når x 0 g x 4x b) Regn ut g. g

79 .9.14 Bruk regnereglene for derivasjon og finn x f når a) fx 34 fx 0 b) fx Husk at er en konst ant! fx 0 c) fx 0 Husk at er en kon fx 0 1 stant!.9.15 Bruk regnereglene for derivasjon og finn x f når a) f x 3x fx 3 b) f x f 3 x 4 x c) f x 5x fx 5 79

80 .9.16 Bruk regnereglene for derivasjon og finn x f når a) 5 f x x f x x x b) 7 f x x f x x x c) 6 f x 3x f x x x x.9.17 Bruk regnereglene for derivasjon og finn x f når f x x x 1 a) f x 3x x 0 3x 4x b) f t 4t 3t 7 1 f t 4t 30 8t 3 c) 3 f x x 5x 4x f x 3x 5x 4 0 6x 10x 4 80

81 .9.18 Bruk regnereglene for derivasjon og finn x f når 3 a) f x x 5x 4x 9 f x x x x x b) f x x x 4x f x x x 4 0 x x 4 x x 4 c) 3 1 f x x 10x 4x f x x 10 x 4 0 3x 5x Deriver uttrykkene. a) b) c) 3 x 5x 4x 9 3 x 5x 4x 9 6x 10x 4 3 t t t t t t t t x x x x 10x 19x x 30x 19 81

82 .9.0 Funksjonen f er gitt ved 3 a) Finn f x. f x 6x 4x f x x x b) Finn ved regning likningen for tangenten når x 1. Tangenten går gjennom punktet 3 f , f 1. Den deriverte er stigningstallet til tangenten. Stigningstallet når x 1 er f Nå vet vi at tangenten går gjennom punktet 1, og har stigningstallet. Vi kan da bruke ettpunktsformelen for å finne likningen for tangenten. y y a x x 1 1 y x1 y x 8

83 .9.1 Funksjonen f er gitt ved f x x x a) Finn den momentane vekstfarten til funksjonen i punktene 0,, 1, 3 og, Deriverer f og finner vekstfarten i punktene. f x x f f f b) Finn likningene for tangentene i de tre punktene. Bruker ettpunktsformelen og finner tangentene. Tangentlikningen i punktet 0, blir y x 0 y x Tangentlikningen i punktet 1, 3 Tangentlikningen i punktet, blir y3 0x1 y 3 blir y x yx6 83

84 .9. Funksjonen g er gitt ved g x x x a) Finn den momentane vekstfarten til funksjonen i punktene,, 1, 1 og 0, Deriverer g og finner vekstfarten i punktene. g x x g g g 0 0 b) Finn likningene for tangentene i de tre punktene. Bruker ettpunktsformelen og finner tangentene. Tangentlikningen i punktet, y x Tangentlikningen i punktet Tangentlikningen i punktet 0, blir x 0 y y x blir yx 1, 1 blir y1 0x1 y 1. c) Tegn grafen til g og de tre tangentene i et koordinatsystem. d) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den momentane veksthastigheten og forløpet til grafen? Når veksthastigheten er negativ, vil grafen synke. Når veksthastigheten er 0 er det ingen stigning. I vårt tilfelle vil det si toppunktet. Når veksthastigheten er positiv, vil grafen vokse. 84

85 .9.3 Forskere har undersøkt vekstutviklingen til trær i et bestemt skogsområde. Det viser seg at høyden til et tre ht (), målt i meter, tilnærmet kan beskrives med en matematisk modell. Innenfor et avgrenset tidsrom gjelder funksjonen h gitt ved 3 h t 0,0t 0,5t 1,15t 0,15 der t er antall år etter utplantingen. a) Hvor fort vokser treet etter 5 år? Jeg definerer funksjonen i CAS i GeoGebra. Husk da «kolon lik». Jeg regner så ut den momentane veksthastigheten til treet etter 5 år. Treet vokser med 15 cm per år etter 5 år. b) Hvor fort vokser treet etter 7 år? Treet vokser med 59 cm per år etter 7 år. 85

86 .9.4 Morten har et mobilabonnement der han betaler 59 kroner i fast avgift per måned. I tillegg betaler han 0,49 kroner per minutt når han ringer. Kostnadene K per minutt for Mortens mobilbruk en måned når han ringer x minutt kan skrives som K x 0,49x 59 x Regn ut den momentane vekstfarten (den deriverte) for ringetidene 0, 00, 400 og 100 minutt. Hva forteller svarene deg? Hvilken benevning får du? Sammenlign svarene med svarene du fikk i oppgave.5.4. Jeg definerer funksjonen i CAS i GeoGebra. Husk da «kolon lik». Benevningen blir kr min per minutt. Svarene forteller oss hvor mye kostnadene per minutt går ned med når vi øker ringetiden med ett minutt, ved de ulike ringetidene. Vi ser at kostnadene per minutt går ned med 14,75 øre per minutt når vi øker ringetiden med ett minutt, når ringetiden er 0 minutt, mens kostnadene per minutt bare reduseres med 0,037 øre per minutt når ringetiden er 400 minutt. 86

87 .10 Drøfting av polynomfunksjoner på grunnlag av derivasjonsregler.10.1 Finn ved regning når grafen til funksjonen Finn også eventuelle topp- og bunnpunkter. Tegn grafen. f x x 1x 16 stiger og når den synker. Deriverer fx Setter så f x 0 f x x x 1 16 f x x 1 f x 4x 1 f x 0 4x 1 0 4x 1 x 3 Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene og ser om uttrykket er positivt eller negativt. f f Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f x 0 Vi ser av fortegnslinjen at Grafen til fx stiger når x 3 Grafen til fx synker når x 3 fx har toppunkt når 3 x. Toppunktet er 3, f 3 3, f

88 Grafen til f sammen med fortegnslinjen for den deriverte. 0 88

89 .10. Finn ved regning, når grafen til funksjonen eventuelle topp- og bunnpunkter. Tegn grafen. f x x x 3 stiger og når den synker. Finn også Vi deriverer fx Vi setter så f x 0 f x x x 3 f x x f x 0 x 0 x x 1 Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene og ser om uttrykket er positivt eller negativt. f f 0 Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f x 0 Vi ser av fortegnslinjen at Grafen til fx synker når x 1 Grafen til fx stiger når x 1 Grafen til fx har bunnpunkt når x 1. Bunnpunktet er f , f 1 1, 4 89

90 Grafen til f sammen med fortegnslinjen for den deriverte. 0 90

91 .10.3 Finn ved regning, når grafen til funksjonen 3 også eventuelle topp- og bunnpunkter. Tegn grafen. Vi deriverer fx 3 f x x x x f x x x f x x 3x 9x 10 stiger og når den synker. Finn Vi setter så f x 0 f x 0 3x 6x x x x 6 x 1 eller x 3 Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene og ser om uttrykket er positivt eller negativt. f f f Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f x Vi ser av fortegnslinjen at Grafen til fx stiger når x 1 og når x 3 Grafen til f x synker når 1 x 3 Grafen til fx har toppunkt når 1 3 x. Toppunktet er 1, f 1 1,15 f

92 Grafen til fx har bunnpunkt når 3 3 f x. Bunnpunktet er 3, f 3 3, 17 Grafen til f sammen med fortegnslinjen for den deriverte. 9

93 .10.4 Finn ved regning, når grafen til funksjonen 3 eventuelle topp- og bunnpunkter. Tegn grafen. Vi deriverer fx f x x 3x 3 f x 3x 6x f x x 3x stiger og når den synker. Finn også Vi setter så f x 0 f x 3x 6x0 0 3x x 0 3x 0 eller x 0 x0 eller x Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene og ser om uttrykket er positivt eller negativt. f f f Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f x Vi ser av fortegnslinjen at Grafen til fx stiger når x 0 og når x Grafen til f x synker når 0x Grafen til fx har toppunkt når 0 3 f x. Toppunktet er 0, f 0 0, 0 93

94 Grafen til fx har bunnpunkt når x. Bunnpunktet er 3 f , f, 4 Grafen til f sammen med fortegnslinjen for den deriverte. 94

95 x Finn ved regning når funksjonen f x x x vokser, og når den avtar. 3 3 Finn også eventuelle topp- og bunnpunkter. Tegn grafen. Vi deriverer fx Setter så f x 0 x f x x x f x x x x f x 0 x1 0 x 1 x x eller x 1 Vi får bare en løsning. De to løsningene er sammenfallende. Stikkprøver gir: f f Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f x 1 x -verdier 0 Den deriverte er positiv for alle x-verdier forskjellig fra 1. Det betyr at funksjonen vokser overalt bortsett fra når x er lik 1. Grafen har verken topp- eller bunnpunkt. Vi har et terrassepunkt (stasjonært punkt) for x 1 f

96 .10.6 Figuren viser grafen til en funksjon f. Tegn fortegnslinjene til f og f. 96

97 .10.7 Gitt en funksjon g. Fortegnet til funksjonsuttrykket og den deriverte til funksjonen varierer som vist nedenfor. Skisser i et koordinatsystem hvordan grafen til g kan se ut. Grafen til g har nullpunkter for x 4, x 0 og for x 4. Grafen har toppunkt for x og bunnpunkt for x. Skissen over viser hvordan grafen til g kan se ut. Vi kjenner ikke funksjonsverdiene til topp- og bunnpunktet. 97

98 .10.8 Ved en bedrift blir det produsert treningsdresser. Ledelsen ved bedriften har funnet ut at overskuddet i kroner er gitt ved produseres per år. O x x 0,4x hvor x er antall treningsdresser som Hvor mange treningsdresser er det mest lønnsomt for bedriften å produsere per år? Det er mest lønnsomt for bedriften å produsere det antall treningsdresser som gir grafen til overskuddsfunksjonen et toppunkt. Da er den deriverte til overskuddsfunksjonen lik null. Jeg skriver inn funksjonen på skrivelinjen i GeoGebra og setter O x 0 Dette viser at vi har å gjøre med en maksimalverdi for overskuddet når x 500. Det er mest lønnsomt for bedriften å produsere 500 treningsdresser per år. 98

99 .10.9 Vi skal lage en eske uten lokk av en rektangelformet papplate med sider 50 cm og 40 cm. Vi gjør dette ved å klippe ut et kvadrat med side x i hvert hjørne. Deretter bretter vi opp kantene og får en eske med høyde x. Se figur. Brettes opp Eskebunn a) Finn et uttrykk for volumet av esken som en funksjon av x. Av figuren fremgår det at volumet kan skrives som De mørke blå kvadratene klippes bort. Vi ser også at x må være et tall som er større enn 0 og mindre enn 0 (Hvorfor?). b) Finn ved regning hvilken verdi av x som gir størst volum av esken. Vi setter V x 0 Linjene 3, 4 og 5 viser at esken får sitt største volum når x 7,4 cm c) Hva blir det største volumet til esken? Det største volumet esken kan få er 6564 cm 3 99