5.9 Momentan vekstfart

Transkript

1 5.9 Momentan vekstfart I kapittel 5.8 fant vi den gjennomsnittlige vekstfarten til en funksjon i et intervall. Nå skal vi finne den momentane vekstfarten. Det er vekstfarten i et punkt. Den er vanskeligere å finne, for nå vi kan ikke sammenlikne verdien i to punkter. I dette delkapittelet finner vi tilnærmingsverdier for den momentane vekstfarten ved hjelp av en graf. På side 1 i delkapittel 5.7 fant vi den gjennomsnittlige vekstfarten til en plante. Nå skal vi finne den momentane vekstfarten etter 5 dager Vi skal finne ut hvor fort planten vokser etter nøyaktig 5 dager, og stiller oss dette spørsmålet: Hvordan ville planten vokse hvis den fortsatte å vokse nøyaktig like fort som den vokste etter 5 dager? Da ville vekstfarten være konstant, og høyden av planten ville følge ei rett linje med et stigningstall som er lik vekstfarten etter 5 dager. Denne rette linja må være nøyaktig like bratt som grafen i x = 5, og den må berøre grafen i punktet x = 5. Ei slik linje kaller vi en tangent. Vekstfarten etter 5 dager er stigningstallet til denne tangenten. På figuren ovenfor har vi tegnet tangenten i det punktet som svarer til x = 5. Hvis utviklingen hadde fulgt tangenten i stedet for grafen til h, ville planten ha vokst fra ca. 5 cm etter 5 dager til ca. 38 cm etter 5 dager. Økningen i løpet av de 0 dagene ville ha vært 38 cm 5 cm 33 cm Det gir denne gjennomsnittlige vekstfarten 33 cm 1,65 cm/dag 0 dager Vekstfarten etter 5 dager er 1,65 cm per dag. Dette er det samme som stigningstallet til tangenten. 1

2 Når vi skal finne vekstfarten til en funksjon f for x = a grafisk, tegner vi tangenten til grafen i punktet (a, f(a)). Vekstfarten er stigningstallet til tangenten. EKSEMPEL Funksjonen f er gitt ved f x x x ( ) 4 Finn vekstfarten grafisk når x =. Løsning: Først tegner vi grafen til f, og deretter tegner vi tangenten i punktet (, f()). Deretter finner vi stigningstallet til tangenten. Når vi går én enhet mot høyre, må vi gå to enheter opp for å komme til tangenten. Stigningstallet til tangenten er. Ettersom tangenten forteller hvor fort grafen stiger i punktet x =, er det stigningstallet til tangenten samtidig vekstfarten til funksjonen for x =. Vekstfarten til f er i punktet x =. Oppgave 5.90 På Sinussidene på nettet finner du grafen som viser veksten til planten fra side 1. Skriv ut den grafen og bruk den til å finne den momentane vekstfarten til planten etter 0 dager.

3 Oppgave 5.91 På Sinussidene på nettet finner du grafen nedenfor. Skriv ut den grafen og bruk den til å finne den momentane vekstfarten for a) x 3 b) x 4 c) x 1 d) x 0 Når vi kjenner funksjonsuttrykket til en funksjon, kan vi finne vekstfarten digitalt. Vi finner vekstfarten til funksjonen gitt ved f x x x ( ) 4 når x =. Jamfør eksempelet på side. I GeoGebra skriver vi først inn funksjonsuttrykket og tilpasser koordinatsystemet. Deretter skriver vi I algebrafeltet finner vi nå likningen for tangenten. Den er Tangenten har stigningstallet. Dermed er vekstfarten til f for x = lik. Det kan vi også finne ut ved å skrive der a er navnet som GeoGebra har gitt tangenten. Det gir dette resultatet: 3

4 Her finner vi grafen til f og tangenten til grafen i x = der stigningstallet b = er markert. Oppgave 5.9 Høyden av et tre i centimeter t år etter at det ble plantet, er gitt ved h( t) t t, t [0, 50] 30 Finn digitalt den momentane vekstfarten etter a) 10 år b) 30 år c) 40 år Oppgave 5.93 Funksjonen f er gitt ved f ( x) x 4x Finn digitalt den momentane vekstfarten til funksjonen når a) x = 1 b) x = 3 c) x = 4

5 Oppgavedel 5.9 Momentan vekstfart KATEGORI 1 Oppgave Grafen til funksjonen f (x) = x x 6 er tegnet sammen med tangenten til grafen i punktet (1, 6). a) Finn grafisk stigningstallet til tangenten. b) Hva forteller dette om vekstfarten til f når x = 1? c) Kontroller svaret i oppgave a ved å finne den momentane vekstfarten til f digitalt når x = 1. Oppgave Vi har tegnet grafen til funksjonen f x ( ) x 4 sammen med to tangenter til grafen. a) Finn grafisk stigningstallet til linja som tangerer grafen i punktet, f. b) Finn grafisk stigningstallet til linja som tangerer grafen i punktet 1, f 1. c) Kontroller svarene i oppgave a og b ved å finne de tilsvarende veksfartene digitalt. 5

6 KATEGORI Oppgave 5.90 Tegn grafen til funksjonen f ( x) x 3 på et ruteark. Bruk verdier for x fra x til x. 1, f ( 1) og a) Tegn tangenter i punktene, f (). b) Bruk tangentene til å finne den momentane vekstfarten til f i punktene x 1 og x. c) Finn digitalt den momentane vekstfarten til f i punktene x 1 og x. Oppgave 5.91 En funksjon er gitt ved f x x x ( ) a) Tegn grafen til f uten bruk av hjelpemiddel for 3 x 3. b) Finn grafisk den momentane vekstfarten til f når x 1 og x. c) Finn digitalt den momentane vekstfarten til f når x 1 og x. d) Finn digitalt den momentane vekstfarten til f 1 når x. Oppgave 5.9 Bensinstasjonen Kom og fyll fører statistikk over hvor mye drivstoff de selger. Salget D(x) i tusen liter diesel per uke var x uker etter nyttår 013 gitt ved 1 D x x x x 6 ( ) 4 50 for 0 6 a) Tegn grafen til f digitalt. b) Hvor stor var den gjennomsnittlige økningen i dieselsalget per uke fra uke 10 til uke 14? c) Finn digitalt den momentane vekstfarten i dieselsalget 1) 3 uker etter nyttår ) 4 uker etter nyttår 6

7 Oppgave 5.93 Vannlinjer kan dekke mye av overflaten i en næringsrik innsjø. Et år var det 50 m av en innsjø som var dekt av vannliljer, og 8 år seinere var 375 m av innsjøen dekt. Vi går i denne oppgaven ut fra at veksten skjedde eksponentielt. Opplysningene er satt inn i tabellen nedenfor. x (år) 0 8 Areal dekt av vannliljer (m ) a) Marker punktene i et koordinatsystem og finn ved regresjon den eksponentialfunksjonen som passer best med tallene i tabellen. b) Tegn grafen til denne eksponentialfunksjonen inn i koordinatsystemet. c) Hvor mange kvadratmeter av innsjøen var dekt av vannliljer etter 1 år? d) Finn digital den gjennomsnittlige vekstfarten per år fra det åttende året til det tolvte. e) Finn digitalt den momentane vekstfarten etter 1 år. Hva forteller den? 7

8 FASIT teoridel 5.90 a),7 cm/ dag 5.91 a) b) 4 c) d) a) 40 cm/år b) 60 cm/år c) 40 cm/år 5.93 a) b) c) 0 FASIT oppgavedel a) 1 b) Vekstfarten f er 1 når x a) 4 b) 5.90 b) x 1: 3, x :1 c) x 1: 3, x : b) 1) 3 ) 3 c) 1) 3 ) 3 d) b) 0 c) 1) 3000 liter per uke ) 4000 liter per uke 5.93 x a) f( x ) 50 1,05 c) 459 m d) 1 m /år e) 3 m. Den momentane vekstfarten forteller hvor fort utbredelsen av vannliljer skjer etter 1 år. 8