Enkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker
|
|
- Tora Davidsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Vedlegg Enkel matematikk for økonomer I dette vedlegget går vi gjennom noen grunnleggende regneregler som brukes i boka. Del går gjennom de helt nødvendige matematikk-kunnskapene. Dette må du jobbe med hvis du har svak bakgrunn i matematikk. Del 2 gjennomgår temaer som er nyttige å kunne, men ikke helt nødvendige for å kunne følge fremstillingen i boka. Del nødvendig bakgrunn Parenteser og brøker ) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at 4( - y) = 4-4y (husk 4 betyr 4 ganger : at det er vanlig å sløyfe gangetegn (-t) = ( t) = + t 2) Tall i telleren i en brøk kan settes foran eller bak brøken: foran symboler og parenteser, der det ikke kan misforståes) 3) Minustegn kan flyttes fra telleren til foran brøken 5 5 ( 5) 4) Vi kan sette en felles faktor utenfor en parentes = (2+4) = 6 Y ty = Y(-t) z I G z I G 5) Dersom vi har en ligning, er det lov å gjøre samme operasjoner på begge sider at likhetstegnet, f.eks. trekke fra et tall, eller dele på et tall.
2 Anta vi skal løse følgende ligning for Y: Y = z + Y Da må vi få Y alene på venstresiden av likhetstegnet. Vi kan trekke fra Y på begge sider, slik at vi får Y Y = z +Y Y = z, dvs Y Y = z Vi kan sette Y utenfor en parentes: Y Y = Y(-), slik at vi får Y(-) = z og dele på uttrykket i parentesen (antar at - er forskjellig fra null) z Y z Y Her er brøken (-)/(-) =, slik at løsningen for Y blir 6) Dersom vi skal legge sammen en brøk og et helt tall, eller to brøker, må de settes på felles brøkstrek De samme regneregler gjelder med symboler: z z z z z z Av og til må vi utvide brøkene Tilsvarende med symboler b a b a z z z z z a b a b ab ba ab 2
3 z z I z z I z z I z I z I z I Funksjoner Funksjoner er et matematisk begrep som beskriver hvordan et tall avhenger av et eller flere andre tall. F.eks. er den prisen du må betale i kassen en funksjon av hvilke varer du kjøper, og prisen på hver av disse varene. Et annet eksempel er at ditt konsum av sjokolade og andre godsaker kan være en funksjon av hvor mye penger du har i lommeboka. Med symboler kan være kjøp av godsaker målt i kroner og Y antall kroner i lommeboka. At er en funksjon av Y, kan vi skrive som = f(y). Her har vi brukt kalt funksjonen for f(.), men vi kunne også brukte stor bokstav eller andre bokstaver for å betegne funksjonen. At er en funksjon av Y, betyr at hvor stor er, avhenger av hvor stor Y er. Hvis du f.eks. har svak viljestyrke og alltid bruker det du har, blir konsumet av godsaker målt i kroner lik antall kroner du har i lommeboka. Da blir funksjonen enkel, ved at = Y. Vi kaller den variabelen som vi finner verdien på, i dette tilfellet, for funksjonsverdien eller den avhengige variabelen, mens Y i dette tilfellet er argumentet til funksjonen, eller den uavhengig variabelen. Produktfunksjonen viser hvor stor produksjonen er, avhengig av hvor mye som brukes av de ulike produksjonsfaktorene. F.eks. kan vi ha en produktfunksjon for vafler, der antall vafler er en funksjon av arbeidsinnsatsen, egg, melk, mel, sukker, osv. En slik produktfunksjon kan nok være vanskelig å beskrive matematisk, og økonomer velger gjerne funksjonsformer som er enkle å regne på, samtidig som de beskriver de relevante sammenhengene på en akseptabel måte. Produktfunksjonen Y F( K, N) sier at produksjonen Y avhenger av hvor mye vi bruker av hhv realkapital K og arbeidskraft N. Vi bruker pluss-tegnene under argumentene for å indikere at vi antar at hvis K eller N øker, vil Y også øke. Et eksempel på en spesifikk produktfunksjon som viser presist hvordan Y avhenger av K og N, er /3 2/3 Y K N Hvis du bruker en kalkulator eller et regneark, kan du enkelt regne ut hva Y er, avhengig av hvilke verdier du velger for K og N. 3
4 Tilvekstform (differensialregning) Ofte er vi interessert i å se på virkningen på noen variabler av at en eller flere andre variabler endres. Da bruker vi gjerne den greske bokstaven Δ (delta) for endringen, slik at Δy betyr endringen i y. Anta at vi har en lineær funksjon y = 5 Dersom = 2, finner vi y = 5 2 = 0. Hvis øker til 4, dvs endringen i blir Δ = 4 2 = 2, så øker y til y = 5 4=20. Økningen i y, Δy = 20 0 = 0. Her finnes det en generell regneregel, som i vårt tilfelle sier at Δy = 5Δ. Mer generelt har vi Regel for tilvekstform: Hvis y er en lineær funksjon av, altså y = a + b, der a og b er konstante parametre, så er Δy = aδ. Merk at konstanten b ikke kommer med i uttrykket for endringen Δy, for den endres jo ikke selv om øker. Eksempel Anta at y er antall kroner, er antall 0 kroner og b er en 00-lapp. Da er y = 5+b= Hvis du får to 0-kroner til, slik at Δ = 2, da er Δy = 2Δ= 2 0=20 Eksempel 2: Anta at Y er en funksjon av variablene I og G, mens og z er parametere Y (z I G ) Vi antar at er et fast tall som er mindre enn en ( < ), slik at brøken /(-) er større enn null. Vi ser på en endring i I, som vi kaller ΔI, mens G og parameterne holdes uendret. Da blir endringen i Y, ΔY, gitt ved Y I Hvis f.eks. = 0,5 og ΔI = 0, så er 4
5 Y ,5 0,5 Brøken foran ΔI svarer til parameteren a i formelen over, mens de andre variablene og parametrene i parentesen svarer til parameteren b. Siden brøken er positiv, har vi at hvis ΔI > 0, så blir ΔY > 0, dvs at Y øker hvis I øker. Hvis vi derimot hadde ΔI < 0, så blir ΔY < 0, dvs Y reduseres hvis I reduseres. Regel 2 for tilvekstform: Hvis y er en lineær funksjon av og z, altså y = a + bz +, der a, b og er konstante parametere, da er Δy = aδ + bδz. Eksempel Anta at y = 4-5z Så endres og z med henholdsvis Δ = 3 og Δz =2. Da blir Δy = 4Δ - 5Δz= =2-0=2. Eksempel 2: Anta at Y (z I G ) Dersom vi endrer to variabler, I og G, med ΔI og ΔG, mens og z er konstante, da blir endringen i Y gitt ved Y I G. Her vil Y øke, ΔY > 0, hvis summen av endringene i I og G er større enn null, ΔI + ΔG > 0. Motsatt vil Y reduseres dersom summen av endringene i I og G er mindre enn null, dvs ΔY < 0 hvis ΔI + ΔG < 0. Eksempel 3 I Keynes-modellen som presenteres i kapittel 5, er likevektsløsningen for Y gitt ved T I () Y (z z z G) ( t) b og konsumfunksjonen kan skrives som (2) z ( t) Y z T Anta at vi skal finne virkningen på Y og av en økning i z, Δz > 0, på Y og. Vi ser av () at dersom z øker, så vil det føre til at Y øker, der 5
6 (3) Y z 0, ( t) b Vi vet at høyresiden er større enn null, siden både brøken /(- (-t)-b ) og Δz er større enn null. Økt z fører dermed til at Y øker. Vi skal så finne virkningen på. Vi ser av (2) at en økning i z vil føre til økt, samtidig som en økning i Y også vil føre til økt. Virkningen av økt z på vil være summen av den direkte virkningen av z og den indirekte virkningen via Y. Vi finner virkningen på ved å bruke regel 2 for tilvekstform (4) z ( ) t Y Vi setter inn for ΔY ved å bruke (3) i (4) og får (5) z ( t) Y ( t) ( t) b z z ( t) b ( t) ( t) b ( t) b z z ( t) b ( t) z ( t) b b ( t) b z z 0 ( t) b I andre linje settes inn for ΔY. I tredje linje bruker vi at z z ( t) b. I fjerde linje setter vi på felles brøkstrek. I femte linje faller (-t) mot + (-t), og siden telleren er større enn nevneren i siste uttrykket, vet vi at uttrykket må være større enn Δz. Økningen i er større enn den direkte økningen i z fordi Y også øker, noe som har positiv virkning på. 6
7 Del 2 nyttig å kunne Telleregelen En økonomisk modell består gjerne av flere ligninger og flere variabler. Vi bruker modellen til å forklare hva som bestemmer noen variabler. De variablene som får sin verdi bestemt i modellen, kaller vi endogene variabler. Variabler som får sin verdi bestemt utenfor modellen, dvs. som vi ikke forsøker å forklare med modellen, kaller vi eksogene. Det betyr at dersom vi skal regne ut hva de endogene variablene blir, med tall, så må vi vite på forhånd hvilke verdier de eksogene variablene har. Telleregelen sier at en modell kan bestemme verdien på like mange variable som det er uavhengige ligninger, slik at vi kan ha like mange endogene variable som det er uavhengige ligninger. Merk imidlertid at eksempel 4 viser tilfeller der telleregelen ikke gjelder. Eks. Like mange variabler som ligninger gir determinert modell: Modellen () Y= 2 (2) X + Y = 4 har to ligninger, og vi kan finne verdien til de to variablene X og Y: X = 2 og Y = 2. Eks 2 Flere variabler enn ligninger gir ikke determinert modell: Modellen () Y + 2Z = 2 (2) X + Y + Z = 4 har to ligninger og tre variabler, og dersom vi ikke har mer informasjon, kan vi ikke finne verdien på variablene. Dersom vi får en ligning til, f.eks. (3) X + Z = 2, da kan vi regne ut verdien de resterende variablene. Vi setter setter (3) inn i (2) og får 7
8 X Y Z 4 2Y 4 Y Fra () får vi da at Y 2Z 2 2 2Z 2 2Z Z 0 Eks 3 Flere ligninger enn variabler gir inkonsistent modell Modellen () X + Y = 2 (2) X + 2Y = 4 (3) 2X 2Y = 0 er inkonsistent det finnes ikke verdier for X og Y som gjør at alle ligningene er oppfylt. Eks 4 Telleregelen gjelder ikke ved avhengige ligninger I telleregelen over har vi oppgitt at ligningene må være uavhengige, noe som litt løst innebærer at de må gi informasjon som ikke allerede er innebygget i de andre ligningene I modellen () Y + X = 2 (2) 2Y + 2X = 4 er det ikke mulig å finne verdiene for X og Y, til tross for at det er to ligninger og to variabler (f.eks. er Y = 2 og X = 0 en mulig løsning, mens Y = -2 og X = 4 er en annen mulig løsning). De to ligningene er avhengige, og inneholder den samme informasjon. Eksempel : Anta vi har følgende modell, der Y og er de endogene variablene. Vi skal løse modellen for Y og 8
9 () Y = + I + G (2) = z + Y Her kan vi velge om vi vil løse først for Y eller for. Vi velger å løse for Y. Da må vi sette inn for i () ved å bruke (2) Y I G Y z Y I G Y Y z G Y ( ) z G Y z G Y z G Siste linje viser løsningen for Y, siden vi har funnet hva Y blir, som et uttrykk i parametere og eksogene variabler som, z og G, og uten at den andre endogene variabelen er med. Vi finner løsningen for ved å sette inn løsningen for Y i (2). Vi får z Y z z G Det siste uttrykket for er riktig løsning, men det kan skrives på en litt enklere måte. z z G z z G z z G z G z G 70-regelen Det vi kan kalle 70-regelen, er en nyttig huskeregel i forbindelse med prosentvis tilvekst. Et beløp som vokser med prosent per år, blir dobbelt så stort etter 70/ år. Dersom beløpet vokser med prosent i året (= ), blir det dobbelt så stort på 70 år. Hvis det vokser med 3,5 prosent i året, blir det dobbelt så stort på 70/3,5 = 20 år. Regelen innebærer en tilnærming som stemmer svært godt ved lave prosenter, og mindre godt ved høye prosenter. Nyttige tilnærminger I mange sammenhenger kan det være vanskelig eller tungvint å regne ut et helt korrekt svar, og mye lettere å regne ut et svar som er tilnærmet riktig. Her er noen tommelfingerregler som 9
10 vanligvis gir bra tilnærminger så lenge vi ser på små tall, gjerne endringer på 0 prosent eller mindre av utgangspunktet. Resultat : Hvis X og Y er små tall, så er (+X)(+Y) ( + X + Y) Hvis du ganger ut venstresiden, får du det eksakte svaret som er + X + Y + XY. Men hvis både X og Y er små tall, vil X multiplisert med Y bli et mye mindre tall, som vi som en tilnærmelse kan sette til 0. Hvis f.eks. X = 0,05 og Y = 0,03, er det eksakte svaret (+0,05)(,0,03)=,085 og det tilnærmede svaret (+0,05+0,03) =,08, så feilen vi gjør i tilnærmingen er lik 0,005. Resultat 2: Hvis X og Y er små tall, er X Y X Y Vi har at produktet (+X-Y)(+Y) = +X + XY-Y 2. Hvis både X og Y er små tall, så er produktene XY og Y 2 veldig små, dvs. tilnærmet lik null. Dermed er (+X-Y)(+Y) +X. Dersom vi deler på begge sider med +Y, og forkorter +Y på venstresiden, får vi ( X Y )( Y ) X Y Y X X Y Y som er det resultatet vi skulle vise. En viktig anvendelse av dette resultatet gjelder realrenten, der den eksakte størrelsen (+i)/(+π) +i-π. Resultat 3: Hvis Z = XY, så er Z X Y, Z X Y dvs. at relativ endring i et produkt Z er tilnærmet lik summen av den relative endringen i hver av faktorene X og Y. Hvis vi øker Z med ΔZ, er det eksakte svaret at Z Z ( X X )( Y Y). Hvis vi deler med Z på begge sider blir venstresiden lik Z Z Z Z Z 0
11 Og høyresiden blir ( X X )( Y Y) ( X X ) ( Y Y) X Y X Y Z X Y X Y X Y der den første likheten følger fra at Z = XY, den andre likheten er omskriving av hver av brøkene, og den tredje tilnærmingen følger fra resultat ovenfor. Resultat 4: Hvis Z = X/Y, så er Z X Y, Z X Y dvs. at relativ endring av en brøk Z er tilnærmet lik differansen mellom relativ endring i telleren X og relativ endring i nevneren Y. Fra definisjonen av Z har vi at Z Z X X Y Y. Hvis vi deler med Z på begge sider av likhetstegnet, blir venstresiden lik Z Z Z Z Z og høyresiden blir X X X X Y ( X X ) / X X / X X Y Y Y Z Y Y X ( Y Y ) / Y Y / Y X Y der vi i siste del har brukt tilnærmingen fra resultat 2. Vi setter venstre- og høyresiden sammen, og får Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y
12 Naturlige logaritmer Den naturlige logaritmen er en spesiell funksjon som har matematiske egenskaper som er meget nyttige i mange anvendelser, bl.a. innen økonomi. Vi bruker betegnelsen ln, slik at = ln X betyr at er den naturlige logaritmen til X. ( I økonomi bruker en ofte liten bokstav for å betegne den naturlige logaritmen til en variabel. Merk også at i engelskspråklige bøker er det vanlig å bruke betegnelsen log for den naturlige logaritmen.) Hvis = F(X) = ln X, så har vi som en tilnærming at Δ ΔX/X. Dette betyr at endringen i den naturlige logaritmen, Δ, er tilnærmet lik relativ endring ΔX/X, som igjen er lik prosentvis endring dersom vi multipliserer med 00. En nyttig konsekvens av dette er at hvis vi har en variabel som vokser med en fast prosentsats, dvs. en konstant prosentvis økning, så vil den naturlige logaritmen til denne variabelen vokse lineært. Hvis f.eks. folketallet i et land vokser med 2 prosent i året, vil en graf som viser folketallet bli brattere og brattere etter hvert som tiden går, mens grafen til den naturlige logaritmen til folketallet vil være en rett linje. Dette blir illustrert i figur, der X vokser med 2 prosent i hver periode. Den blå stiplete linjen viser X, mens den røde linjen viser ln X. Vi ser at X vokser stadig raskere, men logaritmen til X blir en rett linje. Figur : Naturlig logaritme X ln X 0 Potenser Potenser vil si at et tall, grunntallet, multipliseres med seg selv flere ganger. F.eks. 2 3 = 2 2 2, og n =., dvs. multiplisert med seg selv n ganger. Noen nyttige regneregler for potenser: Eksempler n m = n+m, 2 4 = (2 2) ( )= 2+4 = 6 2
13 (gjelder også for n, m < ) /3 2/3 /32/3 n m nm n n ( n ) m = nm ( 2 ) 3 = ( )( )( ) = 6 y n m k y nk mk = 5 0 = Den deriverte En viktig egenskap ved en funksjon Y = F(X) er hvordan funksjonsverdien Y avhenger av en økning i argumentet X. Et matematisk begrep for dette er den deriverte, som sier hvor mye Y øker dersom X øker «veldig lite». I figur 2 viser kurven hvordan Y avhenger av X, og stigningen på kurven viser dermed hvor mye Y øker ved en liten økning i X. Anta at vi starter fra punktet X 0, som har den tilhørende Y-verdien Y = F(X 0 ). Så øker vi X med ΔX, dvs. slik at det blir X 0 + ΔX. Y øker dermed fra F(X 0 ) til F(X 0 +ΔX). Vi er interessert i forholdet mellom økningen i Y og økningen i X når X øker svært lite, dvs. hva brøken F(X 0 X ) F(X 0) blir når ΔX nærmer seg null. Av figuren kan du med litt godvilje X akseptere at dette forholdet blir lik helningen på tangenten til kurven, dvs. helningen på den rette linjen som går gjennom punktet (X 0, F(X 0 )), og som har samme stigningstall som kurven i dette punktet. Helningen til denne kurven er den deriverte til funksjonen, og den viser dermed hvor mye Y øker dersom X øker svært lite. Vi bruker F (X) som betegnelse på den deriverte av funksjonen F(.). Figur 2 Den deriverte. 3
14 Y=F(X) F(X 0 +ΔX) Tangent med stigningstall F (X 0 ) F(X) F(X 0 ) X 0 X 0 +ΔX X Den deriverte til en funksjon Y = F(X) i et punkt X 0, med betegnelse F (X 0 ), er lik helningen eller stigningstallet til tangenten i punktet X 0. Helningen er lik forholdet mellom økningen i Y og økningen i X, når økningen i X, ΔX, går mot null. Det økonomiske begrepet er marginalproduktiviteten, som også kalles grenseproduktiviteten. Marginal betyr svært liten, og «grense» henspiller også på at man ser på en økning i K som er så «liten som mulig». Vanligvis forenkler vi og sier at den deriverte er lik økningen i Y hvis X øker med en enhet. Noen derivasjonsregler y er en funksjon av, y = f(). Vi bruker y =f () som betegnelse på den deriverte Eksempel/kommentar y = ( er en konstant) => y = 0 y = 5 => y = 0 y = a => y = a y = 3 => y = 3 y = a => y = a a- y = 3 => y = 3y 3- = 3y 2 y = / = - => y = - -- = - 2 = -/( 2 ) (husk at -n = / n ) y = e => y = e (eksponentialfunksjonen, der e = 2,7828.) y = ln => y = / (ln står for naturlig logaritme ) y = a => y = a ln a, a > 0. 4
15 Produktet av to funksjoner: y = f()g() => y = f ()g() + f()g () Eksempel: y = 5 ln her er f() = 5, og g() = ln, slik at f () = 5, g () = / Kjerneregelen: y = 5 ln + 5 / = 5ln +5 y = f(g()) => y = f (g()) g () Eksempel: y = e 2 her er f(g()) = e g() og g() = 2. => f (g()) = e (g() = e 2 2 og g ()= 2 => y =e 2 2=2e 5
Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015
Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8
Detaljer1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at
Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8
DetaljerNoen regneregler som brukes i Keynes-modeller
Forelesningsnotat nr 5, august 2009, Steinar Holden Noen regneregler som brukes i Keynes-modeller Først litt repetisjon ) Vi kan sette en felles faktor utenfor en parentes: Y ty = Y(-t) der det siste uttrykket
DetaljerLøsningsforslag oppgave 1: En måte å løse oppgave på, er å først sette inn tall for de eksogene variable og parametre, slik at vi får
Steinar Holden, oktober 29 Løsningsforslag til oppgave-sett Keynes-modeller Oppgave Betrakt modellen: () Y C (2) C Y >, < < der Y er BNP, C er konsum, og er realinvesteringer. Y og C er de endogene variable,
DetaljerHusk at minustegn foran et tall eller en variabel er å tenke på som tallet multiplisert med det som kommer etter:
Økonomisk Institutt, november 2006 Robert G. Hansen, rom 1207 ECON 1210: Noen regneregler og løsningsprosedyrer som brukes i kurset (A) Faktorisering og brøkregning (1) Vi kan sette en felles faktor utenfor
DetaljerEnkel Keynes-modell for en lukket økonomi uten offentlig sektor
Forelesningsnotat nr 3, januar 2009, Steinar Holden Enkel Keynes-modell for en lukket økonomi uten offentlig sektor Notatet er ment som supplement til forelesninger med sikte på å gi en enkel innføring
DetaljerLøsningsforslag til Oppgaver for Keynes-modeller
Løsningsforslag til Oppgaver for Keynes-modeller Oppgavene er ment som øvelsesoppgaver i tilknytning til forelesningene. Fasit vil bli lagt ut på nettet til noen av oppgavene Oppgave 1 Betrakt modellen:
Detaljerder Y er BNP, C er konsum, I er realinvesteringer og r er realrente. Y og C er de endogene variable, og I og r er eksogene.
Steinar Holden, februar 205 Løsningsforslag til oppgave-sett Keynes-modeller Oppgave Betrakt modellen: () Y = C + I (2) C = z C + Y - 2 r 0 < 0 der Y er BNP, C er konsum, I er realinvesteringer
DetaljerKapittel 5. Økonomisk aktivitet på kort sikt
Kapittel 5 Økonomisk aktivitet på kort sikt skal studere økonomien på kort sikt, og dermed se på årsakene til slike konjunkturmessige svingninger. hvordan økonomien reagerer på de stadige sjokk og forstyrrelser
DetaljerOppgave 1 Betrakt konsumfunksjonen. C = z C + c 1 (Y-T) - c 2 r 0 < c 1 < 1, c 2 > 0
Fasit - Oppgaveverksted EON 30, H5 Oppgave Betrakt konsumfunksjonen = z + (Y-T) - 2 r 0 < 0 Her er Y bruttonasjonalproduktet, privat konsum, T nettoskattebeløpet (dvs skatter og avgifter fra private
DetaljerFasit til øvelsesoppgave 1 ECON 1310 høsten 2014
Fasit til øvelsesoppgave EON 30 høsten 204 Keynes-modell i en åpen økonomi (i) Ta utgangspunkt i følgende modell for en åpen økonomi () Y = + + G + X - Q (2) = z + c( Y T) cr 2, der 0 < c < og c 2 > 0,
DetaljerMatematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. Sensorveiledning obligatorisk øvelsesoppgave ECON 1310, h16
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Sensorveiledning obligatorisk øvelsesoppgave ECON 30, h6 Ved sensuren tillegges oppgave vekt 20%, oppgave 2 vekt 60%, og oppgave 3 vekt 20%. For å få godkjent besvarelsen,
DetaljerFasit til øvelsesoppgave 1 ECON 1310 høsten 2005
Fasit til øvelsesoppgave 1 ECON 131 høsten 25 NB oppgaven inneholder spørsmål som ikke ville blitt gitt til eksamen, men likevel er nyttige som øvelse. Keynes-modell i en åpen økonomi (i) Ta utgangspunkt
Detaljer(8) BNP, Y. Fra ligning (8) ser vi at renten er en lineær funksjon av BNP, med stigningstall d 1β+d 2
Oppgave 1 i) Finn utrykket for RR-kurven. (Sett inn for inflasjon i ligning (6), slik at vi får rentesettingen som en funksjon av kun parametere, eksogene variabler og BNP-gapet). Kall denne nye sammenhengen
DetaljerForberedelseskurs i matematikk
Forberedelseskurs i matematikk Formålet med kurset er å friske opp matematikkunnskapene før et år med realfag. Temaene for kurset er grunnleggende algebra med regneregler, regnerekkefølgen, brøk, ligninger
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk 2008
Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-
DetaljerBNP, Y. Fra ligning (8) ser vi at renten er en lineær funksjon av BNP, med stigningstall d 1β+d 2
Oppgave 1 a og c) b) Høy ledighet -> Vanskelig å finne en ny jobb om du mister din nåværende jobb. Det er dessuten relativt lett for bedriftene å finne erstattere. Arbeiderne er derfor villige til å godta
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. Sensorveiledning obligatorisk øvelsesoppgave ECON 1310, h15
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Sensorveiledning obligatorisk øvelsesoppgave ECON 30, h5 Ved sensuren tillegges oppgave vekt 20%, oppgave 2 vekt 60%, og oppgave 3 vekt 20%. For å få godkjent besvarelsen,
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag
5..7 EKSAMEN Løsningsforslag Emnekode: ITD5 Dato:. desember 7 Hjelpemidler: - To A-ark med valgfritt innhold på begge sider. - Formelhefte. - Kalkulator som deles ut samtidig med oppgaven. Emnenavn: Matematikk
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsningsforslag Øving 04 30 For å vise at f er en injektiv one-to-one funksjon, ser vi på den deriverte,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. Sensorveiledning 1310, H14
UNVERSTETET OSLO ØKONOMSK NSTTUTT Sensorveiledning 30, H4 Ved sensuren tillegges oppgave vekt 20%, oppgave 2 vekt 60%, og oppgave 3 vekt 20%. For å bestå eksamen, må besvarelsen i hvert fall: Ha nesten
DetaljerTa utgangspunkt i følgende modell for en åpen økonomi. der 0 < t < 1 = der 0 < a < 1
Fasit Oppgaveverksted 2, ECON 30, V5 Oppgave Veiledning: I denne oppgaven skal du forklare de økonomiske mekanismene i hver deloppgave, men det er ikke ment at du skal bruke tid på å forklare modellen
Detaljer2. Forelsesning siste time. Enkel Keynes-modell Lukket økonomi
2. Forelsesning siste time Enkel Keynes-modell Lukket økonomi Hva inneholder en enkel makroøkonomisk modell? Sentrale forutsetninger og forklaringer Ligninger Nødvendige restriksjoner på parametrene Symbolforklaring
Detaljer4. Forelesning. Keynes-modell Åpen økonomi, offentlig og privat sektor
4. Forelesning Keynes-modell Åpen økonomi, offentlig og privat sektor Repetisjon - makroøkonomiske modeller Sentrale forutsetninger og forklaringer Ligninger Nødvendige restriksjoner på parametrene Symbolforklaring
DetaljerECON Etterspørsel, investeringer og konsum. Enkle Keynes-modeller
ECON 1310 - Etterspørsel, investeringer og konsum. Enkle Keynes-modeller Helene Onshuus 29. januar 2018 Realligningen i en lukket økonomi En lukket økonomi har ikke handel med utlandet, ser også vekk fra
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. Sensorveiledning obligatorisk øvelsesoppgave, ECON 1310, v16
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Sensorveiledning obligatorisk øvelsesoppgave, ECON 30, v6 Ved sensuren tillegges oppgave vekt /6, oppgave 2 vekt 2/3, og oppgave 3 vekt /6. For å få godkjent besvarelsen,
DetaljerHeldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
DetaljerFasit til oppgaver. Pris D 1 S D 2 P 1 P 2. Kvantum Q 2 Q 1. Oppgaver kapittel 1
Fasit til oppgaver For repetisjonsoppgavene skal det være mulig å finne svaret direkte fra teksten i kapitlet. Oppgaver kapittel ) Hvordan vil en nedgang i verdensøkonomien påvirke pris og kvantum i oljemarkedet?
DetaljerRepetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2,
Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, 201. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Repetisjonsoppgaver MATEMATIKK 1 REA1141 og REA1141F Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 Denne oppgaven har forholdsvis enkle derivasjoner,
DetaljerKapittel 6. Konjunkturer og økonomisk aktivitet
Kapittel 6 Konjunkturer og økonomisk aktivitet Keynes-modell endogen investering & nettoskatter Y = + I + G z c ( ) Y T, der 0 < c
DetaljerDel 2: Enkel Keynes-modell Lukket økonomi. 3. Forelesning ECON
Del 2: Enkel Keynes-modell Lukket økonomi 3. Forelesning ECON 1310 27.1.2009 Introduksjon: Litteraturreferanser Kjernepensum: Forelesningsnotat 3 (H) Kapittel 3 (B) Øvrig pensum: Avisartikkel DN s.4 og
DetaljerSAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B
SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi
DetaljerKapittel 8. Potensregning og tall på standardform
Kapittel 8. Potensregning og tall på standardform I potensregning skriver vi tall som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Standardform er en metode som er nyttig for raskt å kunne skrive
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO, ØKONOMISK INSTITUTT. Oppgaveverksted 3, v16
UNIVERSITETET I OSLO, ØKONOMISK INSTITUTT Oppgaveverksted 3, v16 Oppgave 1 Ta utgangspunkt i følgende modell for en lukket økonomi (1) Y = C + I + G (2) C = z c + c 1 (Y-T) c 2 (i-π e ) der 0 < c 1 < 1,
DetaljerMatematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne
Detaljer= 5, forventet inntekt er 26
Eksempel på optimal risikodeling Hevdet forrige gang at i en kontrakt mellom en risikonøytral og en risikoavers person burde den risikonøytrale bære all risiko Kan illustrere dette i en enkel situasjon,
DetaljerDerivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner
DetaljerForelesningsnotater ECON 2910 VEKST OG UTVIKLING, HØST Litt om endogen vekstteori
4. oktober 2004 Forelesningsnotater ECON 2910 VEST OG UTVIING, HØST 2004 7. itt om endogen vekstteori I matematiske fremstillinger hvor vi ser på endringer i variable over tid er det vanlig å betegne de
DetaljerDel 2: Keynes-modell Åpen økonomi, offentlig og privat sektor. 4. Forelesning ECON
Del 2: Keynes-modell Åpen økonomi, offentlig og privat sektor 4. Forelesning ECON 1310 3.2.2009 Repetisjon - makroøkonomiske modeller Sentrale forutsetninger og forklaringer Ligninger Nødvendige restriksjoner
DetaljerHøgskolen i Bodø Matematikk for økonomer 16. desember 2000 Løsninger
Høgskolen i Bodø Matematikk for økonomer 6. desember 2 Løsninger OPPGAVE. a) Deriver funksjonen f( x) x 8 + 2x 4 + 7x 4 + 7 f ( x) 4x 8 + 4x 2 + + 28x 3 + 28x 3 8x 4 8x 6 b) Deriver funksjonen f( x) 7x
DetaljerProsent- og renteregning
FORKURSSTART Prosent- og renteregning p prosent av K beregnes som p K 100 Eksempel 1: 5 prosent av 64000 blir 5 64000 =5 640=3200 100 p 64000 Eksempel 2: Hvor mange prosent er 9600 av 64000? Løs p fra
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. Sensorveiledning ECON1310, h16
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Sensorveiledning ECON1310, h16 Ved sensuren tillegges oppgave 1 vekt 20%, oppgave 2 vekt 60% og oppgave 3 vekt 20%. For å få godkjent besvarelsen, må den i hvert
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 24 Løsningsforslag Øving 9 4.3.4 Vi bruker Taylor-polynom til å løse denne oppgaven. Taylor-polynomet (Maclaurinpolynomet)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 15. oktober 004 Tid for eksamen: 11:00 13:00 Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerOppsummering matematikkdel ECON 2200
Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke 7. mai 2008 1 Innledning En rask oppsummering av hele kurset vil ikke kunne dekke alt vi har gjennomgått. Men alt er pensum, selv om det ikke blir
Detaljery (t) = cos t x (π) = 0 y (π) = 1. w (t) = w x (t)x (t) + w y (t)y (t)
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 013 Løsningsforslag Notasjon og merknader En vektor boken skriver som ai + bj + ck, vil vi ofte skrive som (a, b, c), og tilsvarende
DetaljerOppgaveverksted 2. ECON mars 2017
Oppgaveverksted 2 ECON 30 7. mars 207 () Y = C + I + G + X Q Oppgave i) (2) C = z C + c Y T c 2 r der 0 < c < og c 2 > 0, (3) I = z I + b Y b 2 r der 0 < b < og b 2 > 0, (4) T = z T + ty der 0 < t < (5)
DetaljerMatematikk for økonomer Del 2
Matematikk for økonomer Del 2 Formelark Dokument type: Formelark Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 17 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere rett til bruk av materialet. Det innebærer at
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerKAPITTEL 1 - ALGEBRA. 1. Regnerekkefølger og regneregler. Legg først merke til at: Legg spesielt merke til at :
KAPITTEL - ALGEBRA. Regnerekkefølger og regneregler Legg først merke til at: 2( ) = 2 ( ) = 6, ab = a b = b a = ba og a a = a 2 Legg spesielt merke til at : a 2 = a a, ( a) 2 = ( a) ( a) = a 2 og ( a)
DetaljerMen han kan også først finne ut hvor mange kasser han har solgt og deretter regne ut hvor mange epler det blir.
3.0 Variabler Peder har en stor eplehage og selger epler i hele kasser. En dag selger han 3 kasser og den neste 5 kasser. Han vil finne ut hvor mange epler han har solgt til sammen når det er 50 epler
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24
DetaljerTallregning og algebra
30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer
DetaljerØkonomisk aktivitet på kort sikt 1
Kapittel 5, september 205 Økonomisk aktivitet på kort sikt I dette og neste kapittel skal vi studere den økonomiske aktiviteten på kort sikt. Vi ser altså på.de konjunkturmessige svingningene i BNP, rundt
DetaljerKapittel 2. Algebra. Kapittel 2. Algebra Side 29
Kapittel. Algebra Algebra kalles populært for bokstavregning. Det er ikke mye algebra i Matematikk P-Y. Det viktigste er å kunne løse enkle likninger og regne med formler. Kapittel. Algebra Side 9 1. Forenkling
DetaljerDeleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at
DetaljerSAMMENDRAG OG FORMLER
SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger del 1 Eksamensdag: Tirsdag 7. desember 2004 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesettet
DetaljerEksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag
Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato. desember 6 Tidspunkt 9. -. Antall oppgaver Vedlegg Tillatte hjelpemidler Ingen Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave Vi løser likningene ved
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Vår 2010
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Vår 2 Ved sensuren tillegges oppgave vekt,2, oppgave 2 vekt,5, og oppgave 3 vekt,3. For å bestå eksamen, må besvarelsen i hvert fall vise svare riktig på 2-3 spørsmål
DetaljerMatematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 2: Funksjoner (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 16. august, 2012 Eksponentialfunksjoner Eksponentialfunksjoner Definisjon: Eksponentialfunksjon En
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 10.2.27 a) Vi skal vise at u + v 2 = u 2 + 2u v + v 2. (1) Som boka nevner på side 581,
DetaljerKonjunkturer og økonomisk aktivitet Forelesning ECON 1310
Konjunkturer og økonomisk aktivitet Forelesning EON 30 3. september 205 Keynes-modell endogen investering & nettoskatter Y = + I + G z c ( ) Y T, der 0 < c
DetaljerAnvendelser av derivasjon.
Ukeoppgaver, uke 39, i Matematikk, Anvendelser av derivasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk Ukeoppgaver uke 39 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea4
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 3 8.2.1 Anta at dy = y2 y) dx a) Finn likevektspunktene til
DetaljerSolow-modellen - et tilleggsnotat i ECON2915
Solow-modellen - et tilleggsnotat i Herman ruse 27. september 2013 Innhold 1 Solow-modellen en innføring 2 1.1 Forklaring av likningene............................ 2 1.2 Å sette modellen på intensivform.......................
DetaljerSteinar Holden, september 2016
Steinar Holden, september 2016 Fasit til oppgave i tilknytning til Keynes-modell i Excel For enkelhets skyld skriver jeg ut hele resultattabellen, ikke bare de som det spørres om, og det bare skissemessig
DetaljerAlle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
DetaljerINNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER
INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...
DetaljerNAVN: INNHOLD. IVAR RICHARD LARSEN/algebra - oppsummering, Side 1 av 18
NAVN: INNHOLD FORORD... 2 LÆREPLAN... 3 ALGEBRA.... 3 REGNING MED VARIABLER... 3 MONOM... 3 POLYNOM... 3 TREKKE SAMMEN UTTRYKK (addisjon/subtraksjon)... 4 MULTIPLIKASJON... 4 DIVISJON... 4 ADDISJON AV
DetaljerDeriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker.
Heldagsprøve i matematikk, 1. desember 006 Forkurs for Ingeniørutdanningen ved HiO, 006/07 Antall oppgaver: Antall timer: 5 timer fra klokken 0900 til klokken 100. Hjelpemidler: Kalkulator og Formelsamling
DetaljerKapittel 4. Etterspørsel, investering og konsum. Forelesning ECON januar 2017
Kapittel 4 Etterspørsel, investering og konsum Forelesning ECON 1310 31. januar 2017 1 BNP fra etterspørselssiden Realligningen for en lukket økonomi er gitt ved BNP = privat konsum + private investeringer
DetaljerDerivasjonen som grenseverdi
Gitt graf. Start/stopp. Fra sekant til tangent. Veien til formelen for den deriverte til funksjon f i et punkt Animasjonens jem: ttp://ome.ia.no/~cornelib/animasjon/ matematikk/mate-online-at/ablgrenz/
DetaljerSteinar Holden, september Fasit til oppgave i tilknytning til Keynes-modell i Excel. Bruk ark 3, konsekvensanalyse
Fasit til oppgave i tilknytning til Keynes-modell i Excel Bruk ark 3, konsekvensanalyse Steinar Holden, september 2009 For enkelhets skyld skriver jeg ut hele resultattabellen, ikke bare de som det spørres
DetaljerAnalysedrypp III: ɛ-δ og alt det der
Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der Mange strever med ɛ-δ-argumenter. Det er flere grunner til dette: Noen har problemer med å forstå den underliggende tankegangen, mens andre sliter med de grunnleggende
DetaljerTempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra
Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette
DetaljerØkonomisk aktivitet på kort sikt 1. Innhold. Forelesningsnotat 5, januar 2015
Forelesningsnotat 5, januar 205 Økonomisk aktivitet på kort sikt Innhold Økonomisk aktivitet på kort sikt... Keynes-modell med eksogene realinvesteringer...5 Finanspolitikk... 2 Keynes-modell med endogene
DetaljerSom vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk og stil variere noe fra oppgave til oppgave.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerSammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009
Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A
DetaljerKapittel 2. Algebra. Mål for Kapittel 2, Algebra. Kompetansemål. Mål for opplæringen er at eleven skal kunne
Kapittel. Algebra Mål for Kapittel, Algebra. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten digitale verktøy, presentere resultatene
DetaljerFasit - Oppgaveseminar 1
Fasit - Oppgaveseminar Oppgave Betrakt konsumfunksjonen = z + (Y-T) - 2 r 0 < 0 Her er Y bruttonasjonalproduktet, privat konsum, T nettoskattebeløpet (dvs skatter og avgifter fra private til det
DetaljerEcon 1310 Oppgaveverksted nr 3, 23. oktober Oppgave 1 Ta utgangspunkt i en modell for en lukket økonomi,
Econ 3 Oppgaveverksted nr 3, 23. oktober 22 Oppgave Ta utgangspunkt i en modell for en lukket økonomi, () YC I G, (2) C = c + c(y- T) c >, < c , < b 2
DetaljerFunksjoner (kapittel 1)
Ukeoppgaver, uke 34 og 35, i Matematikk 0, Funksjoner og grenser. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 34 og 35 Funksjoner (kapittel ) Oppgave Figuren til øyre viser
DetaljerVekstrater og eksponentiell vekst ECON 2915 Vekst og næringsstruktur
Vekstrater og eksponentiell vekst ECON 2915 Vekst og næringsstruktur KÅRE BÆVRE Høsten 2005 1 Vekstrater og eksponensiell vekst 1.1 Vekstrater i iskret ti Vekstraten til en størrelse Y angir hvor stor
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maple
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maple Innhold 1 Om Maple 4 1.1 Tillegg til Maple................................ 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................
DetaljerDenne følgen har N+1 ledd. En generell uendelig følge kan settes opp slik:
Følger En følge (eng: sequence) er en oppramsing av tall. Hvert tall i oppramsingen har et nummer eller en posisjon som er bestemt av hvor i følgen tallet står. Det første tallet har vanligvis posisjonen
Detaljer9 Potenser. Logaritmer
9 Potenser. Logaritmer 9.1 Potenser Regneregler 2 3 ¼ 2 2 2 Vi kaller 2 3 for en potens. 2 kaller vi for potensens grunntall og 3 for eksponenten. En potens er per definisjon produktet av like store tall.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 1. oktober 2005. Tid for eksamen: 9:00 11:00. Oppgavesettet er på
DetaljerRegning med tall og bokstaver
Regning med tall og bokstaver M L N r du har lest dette kapitlet, skal du kunne ^ bruke reglene for br kregning ^ trekke sammen, faktorisere og forenkle bokstavuttrykk ^ regne med potenser ^ l se likninger
DetaljerINEC1800 ØKONOMI, FINANS OG REGNSKAP EINAR BELSOM
INEC1800 ØKONOMI, FINANS OG REGNSKAP EINAR BELSOM HØST 2017 FORELESNINGSNOTAT 3 Etterspørselselastisitet og marginalinntekt* Dette notatet beskriver etterspørselselastisitet. Det vil si relative endring
DetaljerLineære likningssystemer og matriser
Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger
DetaljerKapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon
Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel
DetaljerSAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 10A og 10B
SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 10A og 10B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 10A Kapittel A GEOMETRI Oversikt over vinkelkonstruksjoner 90 45 60 30 120 135 67 1 2 75 Den pytagoreiske læresetningen I en rettvinklet
DetaljerForelesningsnotater ECON 2910 VEKST OG UTVIKLING, HØST Repetisjon av hovedpunkter i neoklassisk vekstteori
4. november 2004 Forelesningsnotater ECON 2910 VEKS OG UVIKING, HØS 2004 9. Repetisjon av hovedpunkter i neoklassisk vekstteori Vi starter med Solow-modellen med teknisk fremgang. Fra tidligere forelesninger
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07
Løsningsforslag til eksamen i MAT H7 DEL. (3 poeng Hva er den partiellderiverte f y når f(x, y, z = xeyz? xze yz e yz xe yz e yz + xze yz e yz + xze yz + xye yz Riktig svar: a xze yz Begrunnelse: Deriver
Detaljer