Matematikk 1 (TMA4100)

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Matematikk 1 (TMA4100)"

Transkript

1 Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012

2 Stigningstallet i et punkt

3 Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne tangenten og stigningstallet til kurven y = f (x) i et punkt x 0.

4 Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne tangenten og stigningstallet til kurven y = f (x) i et punkt x 0.

5 Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne tangenten og stigningstallet til kurven y = f (x) i et punkt x Start med en sekant gjennom 2 punkter P og Q:

6 Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne tangenten og stigningstallet til kurven y = f (x) i et punkt x Start med en sekant gjennom 2 punkter P og Q: 2. La Q nærme seg P langs kurven og se hva som skjer med stigningstallet til sekanten.

7 Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne tangenten og stigningstallet til kurven y = f (x) i et punkt x Start med en sekant gjennom 2 punkter P og Q: 2. La Q nærme seg P langs kurven og se hva som skjer med stigningstallet til sekanten. 3. Hvis stigningstallet ser ut til å nærme seg en verdi, la denne verdien være stigningstallet til kurven.

8 Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne tangenten og stigningstallet til kurven y = f (x) i et punkt x Start med en sekant gjennom 2 punkter P og Q: 2. La Q nærme seg P langs kurven og se hva som skjer med stigningstallet til sekanten. 3. Hvis stigningstallet ser ut til å nærme seg en verdi, la denne verdien være stigningstallet til kurven. 4. Definer tangenten til kurven i P som linjen gjennom P med dette stigningstallet.

9 Stigningstallet i et punkt

10 Stigningstallet i et punkt Definisjon: Stigningstall og tangent til kurve i et punkt Stigningstallet til en kurve y = f (x) i punktet x 0 er tallet: m = lim h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) h (gitt at grensen eksisterer). Tangenten til kurven i punktet P(x 0, f (x 0 )) er den rette linjen gjennom P med stigningstall m: y = f (x 0 ) + m(x x 0 )

11 Den deriverte i et punkt

12 Den deriverte i et punkt Dersom f (x 0 + h) f (x 0 ) h har en grenseverdi når h går mot 0 gir vi denne et spesielt navn og notasjon.

13 Den deriverte i et punkt Dersom f (x 0 + h) f (x 0 ) h har en grenseverdi når h går mot 0 gir vi denne et spesielt navn og notasjon. Definisjon: Den deriverte i et punkt Den deriverte til f i x 0 skrives f (x 0 ) og har verdien dersom grensen eksisterer. f f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 ) = lim. h 0 h

14 Kjært barn har mange navn

15 Kjært barn har mange navn Følgende beskrivelser refererer til samme størrelse:

16 Kjært barn har mange navn Følgende beskrivelser refererer til samme størrelse: 1. Stigningstallet til y = f (x) i punktet x = x 0

17 Kjært barn har mange navn Følgende beskrivelser refererer til samme størrelse: 1. Stigningstallet til y = f (x) i punktet x = x 0 2. Stigningstallet til tangenten til kurven y = f (x) i punktet x = x 0

18 Kjært barn har mange navn Følgende beskrivelser refererer til samme størrelse: 1. Stigningstallet til y = f (x) i punktet x = x 0 2. Stigningstallet til tangenten til kurven y = f (x) i punktet x = x 0 3. Den momentane endringsraten til f (x) med hensyn på x i punktet x = x 0

19 Kjært barn har mange navn Følgende beskrivelser refererer til samme størrelse: 1. Stigningstallet til y = f (x) i punktet x = x 0 2. Stigningstallet til tangenten til kurven y = f (x) i punktet x = x 0 3. Den momentane endringsraten til f (x) med hensyn på x i punktet x = x 0 4. Den deriverte f (x 0 )

20 Kjært barn har mange navn Følgende beskrivelser refererer til samme størrelse: 1. Stigningstallet til y = f (x) i punktet x = x 0 2. Stigningstallet til tangenten til kurven y = f (x) i punktet x = x 0 3. Den momentane endringsraten til f (x) med hensyn på x i punktet x = x 0 4. Den deriverte f (x 0 ) 5. Grenseverdien lim h 0 f (x 0 +h) f (x 0 ) h

21 Kjært barn har mange navn Følgende beskrivelser refererer til samme størrelse: 1. Stigningstallet til y = f (x) i punktet x = x 0 2. Stigningstallet til tangenten til kurven y = f (x) i punktet x = x 0 3. Den momentane endringsraten til f (x) med hensyn på x i punktet x = x 0 4. Den deriverte f (x 0 ) 5. Grenseverdien lim h 0 f (x 0 +h) f (x 0 ) h

22 Kjært barn har mange navn Følgende beskrivelser refererer til samme størrelse: 1. Stigningstallet til y = f (x) i punktet x = x 0 2. Stigningstallet til tangenten til kurven y = f (x) i punktet x = x 0 3. Den momentane endringsraten til f (x) med hensyn på x i punktet x = x 0 4. Den deriverte f (x 0 ) 5. Grenseverdien lim h 0 f (x 0 +h) f (x 0 ) h Den deriverte er en av de to mest sentrale konseptene i kalkulus, sammen med integralet.

23 Den deriverte av en funksjon

24 Den deriverte av en funksjon Istedenfor å se på den deriverte i et punkt, betrakter vi nå den deriverte som en funksjon generert ut fra f, ved å se på grenseverdien i hvert punkt x i definisjonsmengden.

25 Den deriverte av en funksjon Istedenfor å se på den deriverte i et punkt, betrakter vi nå den deriverte som en funksjon generert ut fra f, ved å se på grenseverdien i hvert punkt x i definisjonsmengden. Definisjon: Den deriverte av en funksjon Den deriverte til f (x) med hensyn på variabelen x er funksjonen f som i x har verdien dersom grensen eksisterer. f f (x + h) f (x) (x) = lim. h 0 h

26 Den deriverte av en funksjon Istedenfor å se på den deriverte i et punkt, betrakter vi nå den deriverte som en funksjon generert ut fra f, ved å se på grenseverdien i hvert punkt x i definisjonsmengden. Definisjon: Den deriverte av en funksjon Den deriverte til f (x) med hensyn på variabelen x er funksjonen f som i x har verdien dersom grensen eksisterer. f f (x + h) f (x) (x) = lim. h 0 h Definisjonsområdet til f er alle x hvor grensen eksisterer.

27 Den deriverte av en funksjon Istedenfor å se på den deriverte i et punkt, betrakter vi nå den deriverte som en funksjon generert ut fra f, ved å se på grenseverdien i hvert punkt x i definisjonsmengden. Definisjon: Den deriverte av en funksjon Den deriverte til f (x) med hensyn på variabelen x er funksjonen f som i x har verdien dersom grensen eksisterer. f f (x + h) f (x) (x) = lim. h 0 h Definisjonsområdet til f er alle x hvor grensen eksisterer. Hvis grensen eksisterer for en x, sier vi at f er deriverbar (har en derivert) i x.

28 Den deriverte av en funksjon Istedenfor å se på den deriverte i et punkt, betrakter vi nå den deriverte som en funksjon generert ut fra f, ved å se på grenseverdien i hvert punkt x i definisjonsmengden. Definisjon: Den deriverte av en funksjon Den deriverte til f (x) med hensyn på variabelen x er funksjonen f som i x har verdien dersom grensen eksisterer. f f (x + h) f (x) (x) = lim. h 0 h Definisjonsområdet til f er alle x hvor grensen eksisterer. Hvis grensen eksisterer for en x, sier vi at f er deriverbar (har en derivert) i x. Hvis f og f har samme definisjonsområde sier vi bare at f er deriverbar.

29 Den deriverte av en funksjon Istedenfor å se på den deriverte i et punkt, betrakter vi nå den deriverte som en funksjon generert ut fra f, ved å se på grenseverdien i hvert punkt x i definisjonsmengden. Definisjon: Den deriverte av en funksjon Den deriverte til f (x) med hensyn på variabelen x er funksjonen f som i x har verdien dersom grensen eksisterer. f f (x + h) f (x) (x) = lim. h 0 h Definisjonsområdet til f er alle x hvor grensen eksisterer. Hvis grensen eksisterer for en x, sier vi at f er deriverbar (har en derivert) i x. Hvis f og f har samme definisjonsområde sier vi bare at f er deriverbar.

30 Den deriverte av en funksjon Istedenfor å se på den deriverte i et punkt, betrakter vi nå den deriverte som en funksjon generert ut fra f, ved å se på grenseverdien i hvert punkt x i definisjonsmengden. Definisjon: Den deriverte av en funksjon Den deriverte til f (x) med hensyn på variabelen x er funksjonen f som i x har verdien dersom grensen eksisterer. f f (x + h) f (x) (x) = lim. h 0 h Definisjonsområdet til f er alle x hvor grensen eksisterer. Hvis grensen eksisterer for en x, sier vi at f er deriverbar (har en derivert) i x. Hvis f og f har samme definisjonsområde sier vi bare at f er deriverbar.

31 Alternativ formel for den deriverte

32 Alternativ formel for den deriverte Ved å la z = x + h har vi h = z x og dermed følgende alternative formel for den deriverte:

33 Alternativ formel for den deriverte Ved å la z = x + h har vi h = z x og dermed følgende alternative formel for den deriverte: Definisjon: Alternativ formel for den deriverte f (x) = lim z x f (z) f (x) z x

34 Notasjon

35 Notasjon Å beregne den deriverte av en funksjon kalles derivasjon eller å derivere funksjonen.

36 Notasjon Å beregne den deriverte av en funksjon kalles derivasjon eller å derivere funksjonen. Vanlige skrivemåter for den deriverte av en funksjon y = f (x) med avhengig variabel y og uavhengig variabel x er: f (x) = y = dy dx = df dx = d dx f (x) = D(f )(x) = D xf (x).

37 Notasjon Å beregne den deriverte av en funksjon kalles derivasjon eller å derivere funksjonen. Vanlige skrivemåter for den deriverte av en funksjon y = f (x) med avhengig variabel y og uavhengig variabel x er: f (x) = y = dy dx = df dx = d dx f (x) = D(f )(x) = D xf (x). d/dx og D uttrykker at derivasjon er en operasjon på funksjonen y = f (x).

38 Notasjon Å beregne den deriverte av en funksjon kalles derivasjon eller å derivere funksjonen. Vanlige skrivemåter for den deriverte av en funksjon y = f (x) med avhengig variabel y og uavhengig variabel x er: f (x) = y = dy dx = df dx = d dx f (x) = D(f )(x) = D xf (x). d/dx og D uttrykker at derivasjon er en operasjon på funksjonen y = f (x). dy/dx bør betraktes som et symbol og ikke som en brøk.

39 Notasjon Å beregne den deriverte av en funksjon kalles derivasjon eller å derivere funksjonen. Vanlige skrivemåter for den deriverte av en funksjon y = f (x) med avhengig variabel y og uavhengig variabel x er: f (x) = y = dy dx = df dx = d dx f (x) = D(f )(x) = D xf (x). d/dx og D uttrykker at derivasjon er en operasjon på funksjonen y = f (x). dy/dx bør betraktes som et symbol og ikke som en brøk. For å uttrykke den deriverte i et punkt x = a brukes notasjonen: f (a) = dy dx = df x=a dx = d x=a dx x=a f (x).

40 Deriverbar på et interval - ensidige deriverte

41 Deriverbar på et interval - ensidige deriverte y = f (x) er deriverbar på et åpent intervall (endelig eller uendelig) hvis den har en derivert i alle punkt i intervallet.

42 Deriverbar på et interval - ensidige deriverte y = f (x) er deriverbar på et åpent intervall (endelig eller uendelig) hvis den har en derivert i alle punkt i intervallet. Hvis intervallet er lukket, [a,b], er den deriverbar på det lukkede intervallet hvis den er deriverbar på det åpne intervallet (a, b) og grensene: og f (a + h) f (a) lim h 0 + h f (b + h) f (b) lim h 0 h den høyresidige deriverte i a den venstresidige deriverte i b eksisterer.

43 Deriverbar på et interval - ensidige deriverte y = f (x) er deriverbar på et åpent intervall (endelig eller uendelig) hvis den har en derivert i alle punkt i intervallet. Hvis intervallet er lukket, [a,b], er den deriverbar på det lukkede intervallet hvis den er deriverbar på det åpne intervallet (a, b) og grensene: og f (a + h) f (a) lim h 0 + h f (b + h) f (b) lim h 0 h den høyresidige deriverte i a den venstresidige deriverte i b eksisterer. Den vanlige relasjonen mellom ensidige og tosidige grenser gir at funksjonen har en derivert i et indre punkt hvis og bare hvis de venstresidige og høyresidige deriverte eksisterer og er like.

44 Tegne graf til deriverte For å se sammenhengen mellom en funksjon f og den deriverte f kan det være en god øvelse å tegne grafen til f ut fra f : x 2

45 Tegne graf til deriverte Velger oss passende punkter og estimerer stigningstallet til funksjonen i punktene ut fra tegnede tangenter.

46 Tegne graf til deriverte Plotter våre estimerte stigningstall og knytter dem sammen med en glatt kurve.

47 Tegne graf til deriverte Plotter den faktiske deriverte (rød) sammen med vår estimerte funksjon (blå) og ser hvordan de samsvarer x

48 Deriverbarhet Følgende krav må holde for at en funksjon skal være deriverbar i x = c: 1. f (x) må være kontinuerlig i f (c)

49 Deriverbarhet Følgende krav må holde for at en funksjon skal være deriverbar i x = c: 1. f (x) må være kontinuerlig i f (c) 2. Tangenten til f (x) i x = c kan ikke være vertikal.

50 Deriverbarhet Følgende krav må holde for at en funksjon skal være deriverbar i x = c: 1. f (x) må være kontinuerlig i f (c) 2. Tangenten til f (x) i x = c kan ikke være vertikal. 3. Grafen til f (x) må være glatt uten hjørner.

51 Situasjoner hvor den deriverte ikke finnes

52 Situasjoner hvor den deriverte ikke finnes Et hjørne der de ensidige deriverte går mot forskjellige verdier.

53 Situasjoner hvor den deriverte ikke finnes

54 Situasjoner hvor den deriverte ikke finnes En "cusp" der stigningstallet til PQ går mot fra en side og fra den andre.

55 Situasjoner hvor den deriverte ikke finnes

56 Situasjoner hvor den deriverte ikke finnes Stigningstallet til PQ går mot eller fra begge sider slik at tangenten blir vertikal (her ).

57 Situasjoner hvor den deriverte ikke finnes

58 Situasjoner hvor den deriverte ikke finnes Funksjonen er diskontinuerlig (hopp i verdi).

59 Situasjoner hvor den deriverte ikke finnes

60 Situasjoner hvor den deriverte ikke finnes Funksjonen er diskontinuerlig ( reparerbar type).

61 Deriverbare funksjoner er kontinuerlige

62 Deriverbare funksjoner er kontinuerlige Teorem: Deriverbarhet impliserer kontinuitet Hvis f har en derivert i punktet c er f kontinuerlig i punktet c.

63 Deriverbare funksjoner er kontinuerlige Teorem: Deriverbarhet impliserer kontinuitet Hvis f har en derivert i punktet c er f kontinuerlig i punktet c. Merknad: Dette teoremet holder ikke andre veien. En funksjon kan være kontinuerlig i et punkt uten å ha en derivert der.

64 Skjæringssetningen for deriverte (Darboux teorem)

65 Skjæringssetningen for deriverte (Darboux teorem) Teorem: Darboux teorem Hvis a og b er to punkter på et intervall der f er deriverbar vil f ta alle verdier mellom f (a) og f (b) på (a, b).

66 Skjæringssetningen for deriverte (Darboux teorem) Teorem: Darboux teorem Hvis a og b er to punkter på et intervall der f er deriverbar vil f ta alle verdier mellom f (a) og f (b) på (a, b). Teoremet sier med andre ord at en funksjon ikke kan være den deriverte av en annen funksjon på et intervall hvis den ikke oppfyller skjæringssetningen på dette intervallet.

67 Skjæringssetningen for deriverte (Darboux teorem) Teorem: Darboux teorem Hvis a og b er to punkter på et intervall der f er deriverbar vil f ta alle verdier mellom f (a) og f (b) på (a, b). Teoremet sier med andre ord at en funksjon ikke kan være den deriverte av en annen funksjon på et intervall hvis den ikke oppfyller skjæringssetningen på dette intervallet. Eksempel:

68 Skjæringssetningen for deriverte (Darboux teorem) Teorem: Darboux teorem Hvis a og b er to punkter på et intervall der f er deriverbar vil f ta alle verdier mellom f (a) og f (b) på (a, b). Teoremet sier med andre ord at en funksjon ikke kan være den deriverte av en annen funksjon på et intervall hvis den ikke oppfyller skjæringssetningen på dette intervallet. Eksempel: Funksjonen under kan ikke være den deriverte av en funksjon på et intervall som inneholder x = 0 som et indre punkt.

69 Derivasjonsregler: Konstant funksjon

70 Derivasjonsregler: Konstant funksjon Teorem: Den deriverte av en konstant funksjon Hvis f har en konstant verdi f (x) = c så er: df dx = d (c) = 0. dx

71 Derivasjonsregler: Konstant funksjon Teorem: Den deriverte av en konstant funksjon Hvis f har en konstant verdi f (x) = c så er: Eksempel df dx = d (c) = 0. dx

72 Derivasjonsregler: Konstant funksjon Teorem: Den deriverte av en konstant funksjon Hvis f har en konstant verdi f (x) = c så er: df dx = d (c) = 0. dx Eksempel f (x) = 3 gir: df dx = d (3) = 0. dx

73 Derivasjonsregler: Potensfunksjon

74 Derivasjonsregler: Potensfunksjon Teorem: Den deriverte av en generell potensfunksjon Hvis n er et reelt tall er: d dx (x n ) = nx n 1, for alle x der potensene x n og x n 1 er definert.

75 Derivasjonsregler: Potensfunksjon Teorem: Den deriverte av en generell potensfunksjon Hvis n er et reelt tall er: d dx (x n ) = nx n 1, for alle x der potensene x n og x n 1 er definert. Eksempel

76 Derivasjonsregler: Potensfunksjon Teorem: Den deriverte av en generell potensfunksjon Hvis n er et reelt tall er: d dx (x n ) = nx n 1, for alle x der potensene x n og x n 1 er definert. Eksempel f (x) = 3 x gir: for alle x 0 df dx = d dx 3 x = d dx x 1 3 = 1 3 x 2 3,

77 Derivasjonsregler: Multiplikasjon med konstant

78 Derivasjonsregler: Multiplikasjon med konstant Teorem: Regel for multiplikasjon med konstant Hvis u er en deriverbar funksjon og c en konstant er: d dx (cu) = c d dx (u).

79 Derivasjonsregler: Multiplikasjon med konstant Teorem: Regel for multiplikasjon med konstant Hvis u er en deriverbar funksjon og c en konstant er: Eksempel d dx (cu) = c d dx (u).

80 Derivasjonsregler: Multiplikasjon med konstant Teorem: Regel for multiplikasjon med konstant Hvis u er en deriverbar funksjon og c en konstant er: Eksempel f (x) = 5x 3 gir: d dx (cu) = c d dx (u). df dx = d dx (5x 3 ) = 5 d dx x 3 = 5 3x 2 = 15x 2.

81 Derivasjonsregler: Sum av funksjoner

82 Derivasjonsregler: Sum av funksjoner Teorem: Derivasjon av sum Hvis u og v er deriverbare funksjoner i x er deres sum u+v deriverbar i x, og: d du (u + v) = dx dx + dv dx.

83 Derivasjonsregler: Sum av funksjoner Teorem: Derivasjon av sum Hvis u og v er deriverbare funksjoner i x er deres sum u+v deriverbar i x, og: d du (u + v) = dx dx + dv dx. Regelen for multiplikasjon med konstant c = 1 gir tilsvarende regel for differansen mellom to deriverbare funksjoner: d du (u v) = dx dx dv dx

84 Derivasjonsregler: Sum av funksjoner Teorem: Derivasjon av sum Hvis u og v er deriverbare funksjoner i x er deres sum u+v deriverbar i x, og: d du (u + v) = dx dx + dv dx. Regelen for multiplikasjon med konstant c = 1 gir tilsvarende regel for differansen mellom to deriverbare funksjoner: Eksempel d du (u v) = dx dx dv dx

85 Derivasjonsregler: Sum av funksjoner Teorem: Derivasjon av sum Hvis u og v er deriverbare funksjoner i x er deres sum u+v deriverbar i x, og: d du (u + v) = dx dx + dv dx. Regelen for multiplikasjon med konstant c = 1 gir tilsvarende regel for differansen mellom to deriverbare funksjoner: Eksempel d du (u v) = dx dx dv dx u(x) = 5x, v(x) = x 5 og y = u + v gir: dy dx = du dx + dv dx = 5 + 5x 4.

86 Derivasjonsregler: Den naturlige eksponentialfunksjonen

87 Derivasjonsregler: Den naturlige eksponentialfunksjonen Teorem: Den deriverte av den naturlige eksponentialfunksjonen d dx (ex ) = e x

88 Derivasjonsregler: Den naturlige eksponentialfunksjonen Teorem: Den deriverte av den naturlige eksponentialfunksjonen d dx (ex ) = e x ce x, hvor c er en vilkårlig konstant, er de eneste funksjonene som er sin egen deriverte.

89 Derivasjonsregler: Produkt av funksjoner

90 Derivasjonsregler: Produkt av funksjoner Den deriverte av et produkt av to funksjoner er ikke lik produktet av de deriverte.

91 Derivasjonsregler: Produkt av funksjoner Den deriverte av et produkt av to funksjoner er ikke lik produktet av de deriverte. Teorem: Produktregel Hvis u og v er deriverbare funksjoner i x er deres produkt uv deriverbart i x, og: d dv (uv) = u dx dx + v du dx.

92 Derivasjonsregler: Produkt av funksjoner Den deriverte av et produkt av to funksjoner er ikke lik produktet av de deriverte. Teorem: Produktregel Hvis u og v er deriverbare funksjoner i x er deres produkt uv deriverbart i x, og: d dv (uv) = u dx dx + v du dx. Eksempel

93 Derivasjonsregler: Produkt av funksjoner Den deriverte av et produkt av to funksjoner er ikke lik produktet av de deriverte. Teorem: Produktregel Hvis u og v er deriverbare funksjoner i x er deres produkt uv deriverbart i x, og: d dv (uv) = u dx dx + v du dx. Eksempel u(x) = x 2, v(x) = e x og y = uv gir: dy dx = u dv dx + v du dx = x 2 e x + e x 2x = (2x + x 2 )e x.

94 Derivasjonsregler: Kvotient av to funksjoner

95 Derivasjonsregler: Kvotient av to funksjoner Teorem: Kvotientregel Hvis u og v er deriverbare funksjoner i x og v(x) 0 er deres kvotient u/v deriverbar i x, og: d ( u ) = v du dx u dv dx dx v v 2.

96 Derivasjonsregler: Kvotient av to funksjoner Teorem: Kvotientregel Hvis u og v er deriverbare funksjoner i x og v(x) 0 er deres kvotient u/v deriverbar i x, og: Eksempel d ( u ) = v du dx u dv dx dx v v 2.

97 Derivasjonsregler: Kvotient av to funksjoner Teorem: Kvotientregel Hvis u og v er deriverbare funksjoner i x og v(x) 0 er deres kvotient u/v deriverbar i x, og: Eksempel d ( u ) = v du dx u dv dx dx v v 2. u(x) = x 3 + 4, v(x) = 4x og y = u/v gir: dy dx = v du dx u dv dx v 2 = (4x) ( 3x 2 ) (( x 3 + 4) 4) (4x) 2 = x x 2

98 Den n-te deriverte

99 Den n-te deriverte Hvis funksjonen vi finner ved å derivere er deriverbar kan vi derivere igjen og oppnå høyere ordens deriverte.

100 Den n-te deriverte Hvis funksjonen vi finner ved å derivere er deriverbar kan vi derivere igjen og oppnå høyere ordens deriverte. Vi finner den 2. deriverte ved å derivere den deriverte.

101 Den n-te deriverte Hvis funksjonen vi finner ved å derivere er deriverbar kan vi derivere igjen og oppnå høyere ordens deriverte. Vi finner den 2. deriverte ved å derivere den deriverte. Vi finner den 3. deriverte ved å derivere den 2. deriverte.

102 Den n-te deriverte Hvis funksjonen vi finner ved å derivere er deriverbar kan vi derivere igjen og oppnå høyere ordens deriverte. Vi finner den 2. deriverte ved å derivere den deriverte. Vi finner den 3. deriverte ved å derivere den 2. deriverte. Vi finner den 4. deriverte ved å derivere den 3. deriverte.

103 Den n-te deriverte Hvis funksjonen vi finner ved å derivere er deriverbar kan vi derivere igjen og oppnå høyere ordens deriverte. Vi finner den 2. deriverte ved å derivere den deriverte. Vi finner den 3. deriverte ved å derivere den 2. deriverte. Vi finner den 4. deriverte ved å derivere den 3. deriverte. etc. etc.

104 Den n-te deriverte Hvis funksjonen vi finner ved å derivere er deriverbar kan vi derivere igjen og oppnå høyere ordens deriverte. Vi finner den 2. deriverte ved å derivere den deriverte. Vi finner den 3. deriverte ved å derivere den 2. deriverte. Vi finner den 4. deriverte ved å derivere den 3. deriverte. etc. etc. Notasjon: f (x), f (x) = f (3) (x), y, y = y (3),

105 Den n-te deriverte Hvis funksjonen vi finner ved å derivere er deriverbar kan vi derivere igjen og oppnå høyere ordens deriverte. Vi finner den 2. deriverte ved å derivere den deriverte. Vi finner den 3. deriverte ved å derivere den 2. deriverte. Vi finner den 4. deriverte ved å derivere den 3. deriverte. etc. etc. Notasjon: og generelt for n f (x), f (x) = f (3) (x), y, y = y (3), f (n) (x) = d n y dx n = d n f dx n = d n dx n f (x) = Dn (f )(x) = D n x f (x) = D n y = y (n).

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte

Detaljer

Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet

Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet 1 Fremdriftplan I går 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet I dag 2.7 Tangenter og derivasjon 3.1 Den deriverte til en funksjon 3.2 Derivasjonsregler 3.3 Den deriverte som endringsrate

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, øst 2013 Forelesning 7 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7 Derivasjon Denne uken skal vi begynne på tema 2 om derivasjon. I dagens forelesning skal vi se på

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 4: Grenseverdi (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 20. august, 2012 Formell definisjon av grenseverdi Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon

Detaljer

TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven

TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning

Detaljer

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel

Detaljer

Den deriverte og derivasjonsregler

Den deriverte og derivasjonsregler Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)

Detaljer

MA oppsummering så langt

MA oppsummering så langt MA1101 - oppsummering så langt Torsdag 29. september 2005 http://www.math.ntnu.no/emner/ma1101/2005h/ MA1101- oppsummering så langt p.1/21 Pensum til semesterprøven Kapittel P Kapittel 1 Kapittel 2: avsnittene

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.

Detaljer

Oppsummering MA1101. Kristian Seip. 23. november 2017

Oppsummering MA1101. Kristian Seip. 23. november 2017 Oppsummering MA1101 Kristian Seip 23. november 2017 Forelesningen 23. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i MA1101 noen tips for eksamensperioden

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for

Detaljer

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner R1

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner R1 Funksjoner oppgaver Innhold 3.1 Funksjoner... 3. Kontinuitet, grenseverdier og asymptoter til funksjoner... 3 Grenseverdier... 3 Rasjonale funksjoner og asymptoter... 6 Kontinuitet... 8 Funksjoner med

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 2: Funksjoner (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 16. august, 2012 Eksponentialfunksjoner Eksponentialfunksjoner Definisjon: Eksponentialfunksjon En

Detaljer

arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. oktober 2011 Kapittel 6.6. Arbeid 3 Arbeid definisjon Definisjon (Arbeid

Detaljer

Notasjon i rettingen:

Notasjon i rettingen: UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 07 Notasjon i rettingen: R = Rett R = Rett, men med liten tulle)feil

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2,

Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, 201. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Repetisjonsoppgaver MATEMATIKK 1 REA1141 og REA1141F Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 Denne oppgaven har forholdsvis enkle derivasjoner,

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis

Detaljer

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom

Detaljer

Fremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier

Fremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier 1 Fremdriftplan Siste uke Kap. 1 Funksjoner 2.1-2.2 Grenseverdier I dag 2.3 Den formelle definisjonen av grenseverdi 2.4 Ensidige grenser og grenser i uendelig 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter

Detaljer

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner)

Detaljer

1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = 100. y(1+2 x ) = = 2 x = y. xln2 = ln 100 y. x = 1 ln2 ln. f 1 (x) = 1 ln2 ln x

1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = 100. y(1+2 x ) = = 2 x = y. xln2 = ln 100 y. x = 1 ln2 ln. f 1 (x) = 1 ln2 ln x NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere y f(x) 00 +2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y 00 +2 x y(+2 x ) 00 2 x 00 00 y y

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36. Oppgaver til seminaret 8/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36. Oppgaver til seminaret 8/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag : OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 8/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 5 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 5 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på grenseverdier. 1 Hvorfor

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis

Detaljer

Funksjoner. Innhold. Funksjoner R1

Funksjoner. Innhold. Funksjoner R1 Funksjoner Innhold Kompetansemål Funksjoner, R1... 3 Innledning... 4 3.1 Funksjoner... 5 3. Grenseverdier, asymptoter og kontinuerlige funksjoner... 6 Grenseverdier... 6 Rasjonale funksjoner og asymptoter...

Detaljer

TMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016

TMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 TMA4105 Notat om skalarfelt Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 Innhold 1 Grenseverdier og kontinuitet 2 2 Derivasjon av skalarfelt 5 2.1 Partiellderivert og gradient..................................

Detaljer

Flere anvendelser av derivasjon

Flere anvendelser av derivasjon Flere anvendelser av derivasjon Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 30, 2014 Forelesning 17.09.2014 Fikspunkt-iterasjon Newtons metode Metoder for å finne nullpunkter av funksjoner:

Detaljer

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter

Detaljer

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For

Detaljer

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:

Detaljer

Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Løsningsforslag, eksamen MA0/MA60 07.2.09 Oppgave La f() = e 4 2 2 8. a) Finn alle ekstremalpunktene til funksjonen

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag 5..7 EKSAMEN Løsningsforslag Emnekode: ITD5 Dato:. desember 7 Hjelpemidler: - To A-ark med valgfritt innhold på begge sider. - Formelhefte. - Kalkulator som deles ut samtidig med oppgaven. Emnenavn: Matematikk

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA400 Matematikk, høst 203 Forelesning 2 www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2 Transcendentale funksjoner I dagens forelesning skal vi se på følgende: Den naturlige logaritmen. 2 Eksponensialfunksjoner.

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

x 2 2 x 1 =±x 2 1=x 2 x 2 = y 3 x= y 3

x 2 2 x 1 =±x 2 1=x 2 x 2 = y 3 x= y 3 Obligatorisk om funksjonar og deriverte Oppgåve f 3 f = ±, =R Funksjonen f er ein parabel med botnpunkt på (,y) = (0,3) og definisjonsmengda er difor heile tallinja. Sidan f = f er funksjonen symmeterisk

Detaljer

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i analyse II Vår 219 8.4.1 Vi skal finne lengden til kurven x = 3t 2, y = 2t 3 der t 1. Som boka beskriver på

Detaljer

Kap : Derivasjon 1.

Kap : Derivasjon 1. Ukeoppgaver, uke 36, i Matematikk 0, Kap. 3.-3.4: Derivasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 36 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/ing/allmennfag/emnesider/rea042

Detaljer

Matematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag

Matematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag Matematikk 1 Oversiktsforelesning Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag November 25, 2009 LS (IMF) tma4100rep November 25, 2009 1 / 21 Matematikk 1 Hovedperson Relle funksjoner

Detaljer

Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon

Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon Marie Vaksvik Draagen, Anne Line Kjærgård og Cecilie Anine Thorsen 20. mars 2014 1 Innhold 1 Introduksjon 3 1.1 Oppgavebeskrivelse................................. 3

Detaljer

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet

Detaljer

Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at

Detaljer

Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk og stil variere noe fra oppgave til oppgave.

Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk og stil variere noe fra oppgave til oppgave. NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,

Detaljer

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36 MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)

Detaljer

Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. august 2010 Induksjon Pensumlitteratur: Notat 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger.

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer.

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer. Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 007 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 4 Vedlegg Tillatte hjelpemidler Sirkelskive i radianer Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave

Detaljer

NTNU. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 5. Avsnitt Vi vil finne dx ( cos t dt).

NTNU. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 5. Avsnitt Vi vil finne dx ( cos t dt). NTNU Instittt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 5 Avsnitt 5.4 ( + cos x)dx = dx + cos xdx = π + [sin x] π = π + (sin π sin) = π. 44 Vi vil finne d x dx ( cos t dt). Merk

Detaljer

Fremdriftplan. I går. I dag. 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner

Fremdriftplan. I går. I dag. 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner 1 Fremdriftplan I går 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner I dag 1.3 Trigonometriske funksjoner 1.4 Eksponentialfunksjoner 1.5 Omvendte funksjoner, logaritmiske funksjoner, inverse

Detaljer

Mål og innhold i Matte 1

Mål og innhold i Matte 1 Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 15. november 2013 på Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise

Detaljer

MAT jan jan feb MAT Våren 2010

MAT jan jan feb MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis

Detaljer

Mål og innhold i Matte 1

Mål og innhold i Matte 1 Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 1. november 2013 Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise hva

Detaljer

Mål og innhold i Matte 1

Mål og innhold i Matte 1 Mål og innhold i Institutt for matematiske fag på 19. oktober 2013 Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise

Detaljer

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1)

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1) Kapittel 3 Differensiallikninger 3.1 Første ordens lineære difflikninger Definisjon 3.1 En første ordens lineær difflikning er en likning på formen y + f(x)y = g(x) (3.1) der f og g er kjente funksjoner.

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 3 8.2.1 Anta at dy = y2 y) dx a) Finn likevektspunktene til

Detaljer

Matematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag

Matematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å

Detaljer

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100 Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl. 9.00-.00 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)

Detaljer

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der: Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker

Enkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker Vedlegg Enkel matematikk for økonomer I dette vedlegget går vi gjennom noen grunnleggende regneregler som brukes i boka. Del går gjennom de helt nødvendige matematikk-kunnskapene. Dette må du jobbe med

Detaljer

Løsningsforslag for MAT-0001, desember 2009, UiT

Løsningsforslag for MAT-0001, desember 2009, UiT Løsningsforslag for MAT-1, desember 29, UiT av Kristian Hindberg Oppgave 1 a) Bestem grenseverdien e x 1 x lim x x 2 e x 1 x lim x x 2 = lim x e x 1 2x e = x lim x 2 = 1 2 b) Finn det ubestemte integralet

Detaljer

Velkommen til TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP og MTPROD høsten 2010

Velkommen til TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP og MTPROD høsten 2010 Velkommen til TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 19. august 2010 2 Hvorfor skal dere studere matematikk? Det står i studiehåndboken.

Detaljer

MAT jan jan jan MAT Våren 2010

MAT jan jan jan MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive

Detaljer

ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN

ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN NOTAT OM FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Dette notatet inneholder ikke noe nytt pensum i kurset MAT112 i forhold til læreboken

Detaljer

Trasendentale funksjoner

Trasendentale funksjoner Trasendentale funksjoner Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 9, 2014 Kap. 3.1 og 3.2. Forelesning 8. September. Inverse funksjoner, definisjon og eksistens Deriverte av inverse

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39. Oppgaver til seminaret 29/9

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39. Oppgaver til seminaret 29/9 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39 Avsnitt 3.1: 9, 23, 34 Avsnitt 3.3: 48, 61 Avsnitt 3.4: 1, 2, 9 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 29/9 Oppgaver til gruppene uke 40 Løs disse først så disse Mer dybde

Detaljer

Funksjoner løsninger. Innhold. Funksjoner R1

Funksjoner løsninger. Innhold. Funksjoner R1 Funksjoner løsninger Innhold. Funksjoner.... Kontinuitet, grenseverdier og asymptoter til funksjoner... 6 Grenseverdier... 6 Rasjonale funksjoner og asymptoter... 5 Kontinuitet... 4 Funksjoner med delt

Detaljer

1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = x y(1 + 2 x ) = = 100 y y x ln 2 = ln 100 y y x = 1. 2 x = 1. f 1 (x) =

1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = x y(1 + 2 x ) = = 100 y y x ln 2 = ln 100 y y x = 1. 2 x = 1. f 1 (x) = NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten 2 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere f() +2, dvs. løse ligningen mhp.. + 2 ( + 2 ) 2 ln 2 ln ln 2 ln Vi btter om på og :

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag Onsdag 9. mai, kl. 9. 4. Bokmål Oppgave a) La R være området mellom kurvene Finn

Detaljer

Løsningsforslag til midtsemesterprøve i fag MA1101 Grunnkurs i analyse 1 Bokmål Fredag 10. oktober 2008 Kl

Løsningsforslag til midtsemesterprøve i fag MA1101 Grunnkurs i analyse 1 Bokmål Fredag 10. oktober 2008 Kl Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Faglig kontakt: Heidi Dahl Telefon: 735 98141 Løsningsforslag til midtsemesterprøve i fag MA1101 Grunnkurs i analyse

Detaljer

y (t) = cos t x (π) = 0 y (π) = 1. w (t) = w x (t)x (t) + w y (t)y (t)

y (t) = cos t x (π) = 0 y (π) = 1. w (t) = w x (t)x (t) + w y (t)y (t) NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 013 Løsningsforslag Notasjon og merknader En vektor boken skriver som ai + bj + ck, vil vi ofte skrive som (a, b, c), og tilsvarende

Detaljer

Oppgave 1. Oppgave 2

Oppgave 1. Oppgave 2 Midtveiseksamen i MET1180 1 - Matematikk for siviløkonomer 12. desember 2018 Oppgavesettet har 15 flervalgsoppgaver. Rett svar gir poeng, galt svar gir svaralternativ (E) gir 0 poeng. Bare ett svar er

Detaljer

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Bøkene B (læreboken): Tor Gulliksen og Arne Hole, Matematikk i Praksis, 5. utgave. K (kompendium): Amir M. Hashemi, Brukerkurs i matematikk MAT, høsten. Oppsummering

Detaljer

Formelsamling Kalkulus

Formelsamling Kalkulus Formelsamling Kalkulus Martin Alexander Wilhelmsen December 8, 009 En liten formelsamling for MAT00 ved UiO. Vennligst meld fra om feil til martinaw@student.matnat.uio.no. Dette dokumentet er publisert

Detaljer

e x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2

e x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44. Oppgaver til seminaret 4/11

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44. Oppgaver til seminaret 4/11 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44 Avsn. 5.5: 19, 41, 47 Avsn. 5.6: 9, 17, 47 Avsn. 5.7: 15 På settet: S.1, S.2. Oppgaver til seminaret 4/11 Oppgaver til gruppene uke 45 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn.

Detaljer

Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016

Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016 Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016 Andreas Leopold Knutsen 11. oktober 2016 Den deriverte f Newton-kvotienten f (x+h) f (x) h er stigningen til sekantlinjen gjennom punktene (x, f (x)) og (x + h, f

Detaljer

EKSEMPLER TIL ETTERTANKE MAT1100 KALKULUS

EKSEMPLER TIL ETTERTANKE MAT1100 KALKULUS EKSEMPLER TIL ETTERTANKE MAT00 KALKULUS Simon Foldvik. Oktober 207 Dette dokumentet inneholder eksempler på hvor «ting går galt» og har til hensikt å vise eksempler på hva man ikke kan konkludere. Alle

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 20 2 Stigende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis

Detaljer

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 15. februar 2010 Funksjonsrekker En rekke på formen f n (x) der f n er en funksjon, kalles en funksjonsrekke. For alle x

Detaljer

NTNU. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 12. Avsnitt Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at. 24 For x < 0 har vi at

NTNU. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 12. Avsnitt Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at. 24 For x < 0 har vi at NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 200 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),

Detaljer

R1 - K 3.8, 3.9, 4.1, 4.2, 4.3

R1 - K 3.8, 3.9, 4.1, 4.2, 4.3 R - K.8,.9, 4., 4., 4... Løsningsskissser I I et lotteri er det i alt lodd. Det er gevinst på av loddene. Lise kjøper lodd. ) Hva er sannsynligheten for at hun ikke vinner? ) Hva er sannsynligheten for

Detaljer

MAT mars mars mars 2010 MAT Våren 2010

MAT mars mars mars 2010 MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag Forelesning Vi har tidligere integrert funksjoner langs x-aksen, og vi har integrert funksjoner i flere variable over begrensede områder i xy-planet. I denne forelesningen skal

Detaljer

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Mandag 2. mars 2015 før forelesningen 10:30 Antall oppgaver: 17

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Mandag 2. mars 2015 før forelesningen 10:30 Antall oppgaver: 17 Innlevering DAFE ELFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Mandag 2. mars 205 før forelesningen 0:0 Antall oppgaver: 7 Deriver de følgende funksjonene. 2 a) f(x) = cos(2x )

Detaljer

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 14. februar 2012 Funksjonsrekker En rekke på formen fn(x) der fn er en funksjon, kalles en n=1 funksjonsrekke. For alle

Detaljer

MA1103. Partiellderivert, derivert og linearisering

MA1103. Partiellderivert, derivert og linearisering MA1103 4/2 2013 Partiellderivert, derivert og linearisering Partiellderivert i en koordinatretning: Tenk på alle de andre variablene som konstanter. f : A R n R m, a = (a 1,..., a n ) A f 1 f x 1 (a)...

Detaljer

Notasjon i rettingen:

Notasjon i rettingen: UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 207 Notasjon i rettingen: R Rett R Rett, men med liten tulle)feil

Detaljer

Differensjalligninger av førsteorden

Differensjalligninger av førsteorden Differensjalligninger av førsteorden Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 2, 2014 Forelesning (29.10.2014): kap 7.9 og 18.3 Førsteordens ordinæredifferensjalligninger Initialverdiproblem

Detaljer

R2 eksamen våren 2017 løsningsforslag

R2 eksamen våren 2017 løsningsforslag R eksamen våren 07 løsningsforslag DEL Uten hjelpemidler Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene a) f 3sin cos f 3cos sin 3cos sin b) g cos uv uv uv der u og v cos Vi bruker produktregelen for derivasjon

Detaljer

11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER

11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER 11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER FREDRIK THOMMESEN Contents 1. Funksjoner av flere variabler 1 1.1. Funksjoner av to variabler 1 1.2. Partielle deriverte med to variabler 2 1.3. Geometrisk representasjon

Detaljer

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Eksamen IRF314, høsten 15 i Matematikk 3 øsningsforslag I denne oppgaven er det to løsningsforslag. Ett med asymptotene som gitt i oppgaveteksten. I dette første tilfellet blir tallene litt

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36. Oppgaver til seminaret 9/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36. Oppgaver til seminaret 9/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag : OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 9/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar

Detaljer

= x lim n n 2 + 2n + 4

= x lim n n 2 + 2n + 4 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten

Detaljer