OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36. Oppgaver til seminaret 8/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :

Transkript

1 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 8/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag : Seminar 1 Rask variant, Aud. B, Allégaten 66, der oppgavene gjennomgås på 1 time (og andre time brukes på gjennomgang av oppgavene under Mer dybde fra oppgavesettet uken før); Seminar 2 Sakte variant, Aud. A, Allégaten 66, der oppgavene gjennomgås på 2 timer. Oppgaver til gruppene uke 37 (Blått tall i parentes viser til utgave 6 av læreboken.) Løs disse først så disse Mer dybde Avsnitt , 18, 19, 30, 31 Avsnitt Avsnitt Avsnitt (15), 48(46) 51(49) Avsnitt , 46, 54 På settet G.1, G.2, G.3, G.4, G.5 G.6, G.7, G.8, G.9 Oppgavene under Mer dybde vil behandles i 2. time av det raske seminaret 15/9. ( ) Det kun gis én oppgave fra 2.1, men flere av oppgavene fra 2.2 og 2.3 omhandler temaene fra 2.1 (tangenter og normaler). ( ) Oppgaven G.9 er nok spesielt krevende. Husk også orakeltjenesten som går hver fredag etter seminarene i Lunsjrommet 4A9f (Realfagbygget 4. etasje). Obligatoriske oppgaver Oppgavene 5, 6 og 7 i Obligatorisk innlevering 1(innleveringsfrist mandag 18/09). 1

2 2 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36 OPPGAVE S.1 (Eksamen UiO) Vi ser på et reellt polynom P (x) = x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n a 1 x + a 0 der graden n er et partall. Vis at lim x P (x) = og lim x P (x) =. Vis deretter at det finnes et tall K slik at p(x) > K for alle x R. OPPGAVE G.1 (Eksamen NTNU) Bestem ligningen for den tangenten til kurven y = 5 + 2x x 3 som har størst stigningstall. OPPGAVE G.2 (Eksamen UiB-H10-Oppg. 1) OPPGAVE G.3 (Eksamen NTNU) (a) Avgjør om grenseverdien (1 x) 2/3 lim x 1 x 1 eksisterer. (b) Funksjonen f : R R er gitt ved (1 x) 2/3. Avgjør om f er derivérbar i x = 1 og finn den deriverte f der denne eksisterer. (PS: Notasjonen f : D R betyr at f har definisjonsmengde (= domain D) og tar verdier i R.)

3 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36 3 OPPGAVE G.4 (Eksamen NTNU) En fjellklatrer starter fra bakken kl. 6 og nr toppen kl. 15. Neste dag starter hun nedklatringen kl. 6 og er nede kl. 15. Vis at det finnes et klokkeslett der hun er like høyt oppe begge dager. Gjelder konklusjonen også dersom nedstigningen starter på et senere tidspunkt? OPPGAVE G.5 (Eksamen UiB-V13-Oppg. 10) La f være en funksjon som er dobbelt deriverbar, dvs. f er deriverbar og f er deriverbar. Funksjonen f har nøyaktig to kritiske punkt, disse er x = 1 og x = 3. Den deriverte av f er positiv for x = 2. Vis at f (x) er positiv for alle x (1, 3). PS: Til denne oppgaven trenger vi definisjonen av kritisk punkt, som kommer senere i kurset (se 2.7, 2.8 og 4.4 i læreboken): x er et kritisk punkt for f hvis f (x) = 0. (Altså er de kritiske punktene til en funksjon det samme som nullpunktene til den deriverte av funksjonen.) OPPGAVE G.6 (Eksamen UiO) Ole påstår at dersom du slår en sirkel på et kart, vil det på denne sirkelen alltid være to diametralt motsatte punkter som har samme høyde over havet. Berit mener at dette umulig kan være riktig, og at hun har et moteksempel. Lag en liten historie der Ole og Berit begrunner sine synspunkter. Historien skal ende med at begge to innser at den andres argumenter har gitt dem en bedre forståelse av problemet. OPPGAVE G.7 (En funksjon som er diskontinuerlig overalt!) La f : R R være funksjonen definert ved 1, x rasjonal; 0, x irrasjonal. Rasjonale og irrasjonale tall ligger tett på tallinjen, dvs. at i ethvert intervall, uansett hvor lite det er, vil det finnes både rasjonale og irrasjonale tall. Vis at f er diskontinuerlig i alle punkter. Forsøk først å argumentere intuitivt. Forsøk deretter med et formelt bevis. En enkel modifisering av beviset viser for øvrig også at lim x a f(x) ikke eksisterer i noe punkt. Funksjonen f(x) blir kalt Dirichlets funksjon, etter den tyske matematikeren Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( ), som regnes som faren til det formelle funksjonsbegrepet.

4 4 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36 OPPGAVE G.8 Vurdér om funksjonen f : R R er (i) kontinuerlig i 0; (ii) derivérbar i 0. (a) 1, x rasjonal; 0, x irrasjonal (b) (c) x, x rasjonal; 0, x irrasjonal x 2, x rasjonal; 0, x irrasjonal Nedenunder ser du grafene til f(x) i (b) (til venstre) og (c) (til høyre):

5 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36 5 OPPGAVE G.9 (En funksjon som er kontinuerlig i alle irrasjonale tall og diskontinuerlig i alle rasjonale tall!) Denne oppgaven er krevende, men den er med fordi funksjonen er en meget kjent funksjon innefor matematikken og gir et fint eksempel på en funksjon der vi må bruke den formelle definisjonen av grenseverdi for å avgjøre kontinuiteten og der vår intuisjon ikke er nok! Les gjennom oppgaven, forsøk gjerne å løse den, men ikke bekymre dere om dere ikke får den til! :-) La g : (0, 1) R være funksjonen gitt ved 1/q, om x = p/q er en fullt forkortet heltallsbrøk; g(x) = 0, x irrasjonal. Vis at lim x a g(x) = 0 for alle punkter a og dermed at g(x) er kontinuerlig i alle irrasjonale tall og diskontinuerlig i alle rasjonale tall i definisjonsmengden. Funksjonen D(x) blir kalt Thomaes funksjon, etter matematikeren Johannes Karl Thomae, men kalles også popcorn-funksjonen, eller (mer romantisk) Stars over Babylon. Nedendunder ser dere grafen. Fasit/hint på neste side

6 6 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36 Fasit og hint til oppgavene For fasit/løsningsforslag til gamle eksamensoppgaver fra UiB, se vevsiden Oppgave G.1. y = 2x + 5 (Hint: den størst der y = 2 3x 2 er størst, som er i x = 0.) Oppgave G.3. (a) Eksisterer ikke. (b) f 2 (x) =, x 0. 3(1 x) 1/3 Oppgave G.4. Hint: Definér to funksjoner f og g som angir høyden til klatreren ved tiden t på oppturen og nedturen, henholdsvis. Bruk skjæringssetningen på f(t) g(t). Oppgave G.7. Hint: Anta at f er kontinuerlig i et punkt a og skriv ned hva dette betyr med definisjonen av kontinuitet og ɛ δ definisjonen av en grense. Bruk så det faktum at for enhver δ > 0, så vil det i intervallet (a δ, a + δ) finnes både rasjonale og irrasjonale tall, dvs. x er både med 0 og 1, til å vise at det ikke kan finnes noen δ som oppfyller kravene i definisjonen hvis ɛ 1. Oppgave G.8. (a) verken kontinuerlig eller derivérbar i 0. (b) Kontinuerlig, ikke derivérbar i 0. (c) både kontinuerlig og derivérbar i 0. (Hint: bruk definisjonene av kontinuitet og derivérbarhet. Skviseteoremet er også til hjelp.) Oppgave G.9. Hint: Samme som i Oppgave G.6. Bruk i tillegg at for enhver gitt ɛ > 0, finnes det kun endelig mange (fullt forkortede) rasjonale tall p (0, 1) som q ( tilfredsstiller at f p q ) = 1 < ɛ. q LYKKE TIL! Andreas Leopold Knutsen