MA1103. Partiellderivert, derivert og linearisering

Transkript

1 MA1103 4/ Partiellderivert, derivert og linearisering Partiellderivert i en koordinatretning: Tenk på alle de andre variablene som konstanter. f : A R n R m, a = (a 1,..., a n ) A f 1 f x 1 (a)... 1 x n (a) T = Df (a) =.. f m f x 1 (a)... m x n (a) L(x) = f (a) + T(x a) f : A R 2 R Gradienten til f i (a, b): f (a, b) = L(x, y) = f (a, b) + f x (a, b)(x a) + f y ( f f x (a, b), ) y (a, b) (a, b)(y b)

2 Deriverbarhet og tangentplan f deriverbar i a f (x) L(x) lim x a x a = 0 f : A R 2 R og (a, b) i A Grafen til lineariseringen av f i (a, b) kalles tangentplanet til f i (a, b). z = L(x, y) i en variabel Filosofi fra MA1101: Tangenter er veldig fine. Litt mer presist Hvis en kurve har en tangent i et punkt, så ligner kurven veldig på tangenten, hvis du bare zoomer inn nok. Oversatt til derivasjon Hvis en funksjon er deriverbar i et punkt, så ligner grafen til funksjonen veldig på grafen til lineariseringen i det punktet, om du bare ser på et lite nok område rundt punktet. Anvendelse Hvis vi kan finne lineariseringen L(x) til f (x) i a, så kan vi bruke L(x) som en god erstatning for f (x) hvis x a.

3 i flere variable Anta f : R n R m er deriverbar i a. (Det er det samme som å anta at grafen til f har et tangentrom i a.) Fordelen med lineariseringer De er enkle å arbeide med! L(x) = f (a) + T(x a) L(x) = f (a) + f (a) (x a) f (x) L(x) er om deriverbarhet f : A R n R m f deriverbar i a A medfører at f er kontinuerlig i a. f : A R n R m Anta at alle de partiellderiverte (til alle komponentfunksjonene) til f, f i x j, eksisterer og er kontinuerlige i en omegn om a A. Da er f deriverbar i a.

4 En vei i R n er en funksjon (avbildning) c : [a, b] R n. Grafen til veien c, C, kalles en kurve, og c kalles en parametrisering av kurven C. Tangenter til? Legg merke til at veier har en bakenforliggende hastighet. Fart og hastighetsvektor c : [a, b] R n. To forskjellige tidspunkt gir to punkt på kurven Dette gir en endring i posisjon Denne endringen kan beskrives som en vektor Anta c er deriverbar Da sier vi at kurven/veien er deriverbar, og vi har en hastighet(vektor) ved tid t definert ved c (t) = lim h 0 c(t + h) c(t) h Vi kaller lengden til denne vektoren for fart s = v(t) = c (t) Hvis t over er et endepunkt tolker vi grensen som ensidig.

5 Tangenter til c : [a, b] R n. c(t) et punkt på kurven. Hvis c (t) eksisterer og ikke er 0, så er c (t) en tangentvektor til kurven/veien i c(t). Hvis c (t) = 0 så kan vi prøve en annen parametrisering av kurven for å finne en tangentvektor. en til c i t 0 [a, b] er tangentlinja til kurven/veien i dette punktet (hvis c (t) 0). l(t) = L(t) = c(t 0 ) + Dc(a)(t t 0 ) = c(t 0 ) + (t t 0 )c (t 0 ) Regneregler f : A R n R m g : A R n R m, begge deriverbare i a A c en konstant Dcf (a) = cdf (a) D(f + g)(a) = Df (a) + Dg(a) Når m = 1: D (fg) (a) = g(a)df (a) + f (a)dg(a) ( ) f g(a)df (a) f (a)dg(a) Når m = 1: D (a) = g g 2 (a)

6 Kjerneregelen U R n åpen V R m åpen g : U R n R m g : V R m R p g(u) V (dermed er f g = f (g) definert) x 0 U og y 0 = g(x 0 ) V g deriverbar i x 0 f deriverbar i y 0 Da er f g = f (g) deriverbar i x 0 og D(f g)(x 0 ) = Df (y 0 )Dg(x 0 ) Når du ser hva denne sier, er det kanskje like lett å bare huske at dette er samme ideen som kjerneregelen i en variabel. Retningsderiverte? Hvordan endrer en funksjon seg hvis vi går i andre retninger enn i koordinatretningene? I hvilke retninger endrer en funksjon seg raskest? Vi har diskutert at svaret på spørsmålet over burde ha en sammenheng med hvordan nivåmengder ser ut (f.eks. hvor tett nivå står). Kan vi gjøre dette mer presist? Informasjonen vi trenger for å svare på disse spørsmålene ligger gjemt i gradienten til funksjonen.