Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011

Transkript

1 Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011

2 Kapittel 3.3. Enringsrate

3 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er posisjonene til et legeme langs f.eks. x-aksen er: Hastigheten: v(t) = s (t). Akselerasjonen: a(t) = v (t) = s (t). Rykket: j(t) = a (t) = s (t).

4 Kapittel 3.4. Derivasjon av trigonometriske funksjoner

5 5 Den eriverte av trigonometriske funksjoner (sin x) = cos x x (cos x) = sin x x x (tan x) = sec2 x (sec x) = sec x tan x x x (cot x) = csc2 x (csc x) = csc x cot x x

6 Kapittel 3.5. Kjerneregelen

7 7 Ieen bak kjerneregelen Den eriverte av g(f(x))? x g(f(x))

8 7 Ieen bak kjerneregelen Den eriverte av g(f(x))? g(f(z)) g(f(x)) g(f(x)) = lim = x z x z x

9 7 Ieen bak kjerneregelen Den eriverte av g(f(x))? g(f(z)) g(f(x)) g(f(x)) = lim = x z x z x ([ g(f(z)) g(f(x)) ][ f(z) f(x) ] lim z x [ f(z) f(x) ] (z x) ) =

10 7 Ieen bak kjerneregelen Den eriverte av g(f(x))? g(f(z)) g(f(x)) g(f(x)) = lim = x z x z x ([ g(f(z)) g(f(x)) ][ f(z) f(x) ] lim z x [ f(z) f(x) ] (z x) ) = g(f(z)) g(f(x)) f(z) f(x) lim lim z x f(z) f(x) z x z x

11 7 Ieen bak kjerneregelen Den eriverte av g(f(x))? g(f(z)) g(f(x)) g(f(x)) = lim = x z x z x ([ g(f(z)) g(f(x)) ][ f(z) f(x) ] lim z x [ f(z) f(x) ] (z x) ) = g(f(z)) g(f(x)) f(z) f(x) lim lim = g (f(x))f (x) z x f(z) f(x) z x z x

12 8 Derivasjon av sammensatte funksjoner Hva er en eriverte av g(f(x))? Kjerneregelen x g(f(x)) = g (f(x))f (x)

13 8 Derivasjon av sammensatte funksjoner Hva er en eriverte av g(f(x))? Kjerneregelen x g(f(x)) = g (f(x))f (x) Når u = g(y) og y = f(x): u x = u y y x

14 9 Repetert kjerneregel Problem Finn en eriverte til cos x 2.

15 9 Repetert kjerneregel Problem Finn en eriverte til cos x 2. Løsning vi må bruke kjerneregelen flere ganger

16 9 Repetert kjerneregel Problem Finn en eriverte til cos x 2. Løsning vi må bruke kjerneregelen flere ganger Teorem ( x h g ( f(x) )) = h ( g ( f(x) )) g ( f(x) ) f (x).

17 10 Deriverte av potenser av en funksjon Følgene er kun en anvenelse av kjerneregelen Setning x (f(x))n = n (f(x)) n 1 f (x)

18 10 Deriverte av potenser av en funksjon Følgene er kun en anvenelse av kjerneregelen Setning x (f(x))n = n (f(x)) n 1 f (x) Eksempel Finn en eriverte av sin 3 x.

19 10 Deriverte av potenser av en funksjon Følgene er kun en anvenelse av kjerneregelen Setning x (f(x))n = n (f(x)) n 1 f (x) Eksempel Finn en eriverte av sin 3 x. Løsning: 3 sin 2 x cos x.

20 11 Parametrisert kurve En parametrisert kurve er bestemt av likninger på formen x = f(t), y = g(t)

21 11 Parametrisert kurve En parametrisert kurve er bestemt av likninger på formen Eksempel x = f(t), y = g(t) x = cos 5t, y = sin 3t 1 x = cos t, y = sin t

22 12 Stigningstallet til en parametrisert kurve Setning Stigningstallet til en parametrisert kurve (x(t), y(t)) for t = t 0 er gitt ve m = y/t x/t

23 13 Eksempel Eksempel Finn for hvilke t at tangenten til x = cos 3 t, y = sin 3 t har stigningsgra

24 13 Eksempel Eksempel Finn for hvilke t at tangenten til x = cos 3 t, y = sin 3 t har stigningsgra 1. Løsning m = y/t x/t = 3 cos2 t sin t 3 sin 2 t cos t = 1 tan x

25 13 Eksempel Eksempel Finn for hvilke t at tangenten til x = cos 3 t, y = sin 3 t har stigningsgra 1. Løsning m = y/t x/t = 3 cos2 t sin t = 3 sin 2 t cos t 1 tan x. Dvs stigningsgraen er 1 når t = π 4 + kπ, k=0,

26 14 Om å finne 2 y/x 2 til parametrisert kurve Setning La y = y x a er 2 y x 2 = (y )/t. x/t

27 Kapittel 3.6. Implisitte funksjoner

28 16 Implisitt efinerte funksjoner Fra får vi to funksjoner en av e er x 2 + y 2 = 1 (1) y(x) = Vi sier (1) efinerer (2) implisitt. 1 x 2. (2)

29 17 Implisitt erivasjon Kunsten å finne en eriverte av en implisitt funksjon. 1 Deriver V.S. og H.S av en implisitte likningen m/hensyn på x, mens y betraktes som en funksjon av x. 2 Husk å bruke kjerneregelen. 3 Løs likningen for y/x. Eksempel

30 17 Implisitt erivasjon Kunsten å finne en eriverte av en implisitt funksjon. 1 Deriver V.S. og H.S av en implisitte likningen m/hensyn på x, mens y betraktes som en funksjon av x. 2 Husk å bruke kjerneregelen. 3 Løs likningen for y/x. Eksempel Finn tangenten til y 3 2x = 0 i punktet (1, 1).

31 17 Implisitt erivasjon Kunsten å finne en eriverte av en implisitt funksjon. 1 Deriver V.S. og H.S av en implisitte likningen m/hensyn på x, mens y betraktes som en funksjon av x. 2 Husk å bruke kjerneregelen. 3 Løs likningen for y/x. Eksempel Finn tangenten til y 3 2x = 0 i punktet (1, 1). Deriverer likningen 3y 2 y x 4x = 0.

32 17 Implisitt erivasjon Kunsten å finne en eriverte av en implisitt funksjon. 1 Deriver V.S. og H.S av en implisitte likningen m/hensyn på x, mens y betraktes som en funksjon av x. 2 Husk å bruke kjerneregelen. 3 Løs likningen for y/x. Eksempel Finn tangenten til y 3 2x = 0 i punktet (1, 1). Deriverer likningen 3y 2 y x 4x = 0. Løser for en eriverte: y x = 4x. 3y 2

33 17 Implisitt erivasjon Kunsten å finne en eriverte av en implisitt funksjon. 1 Deriver V.S. og H.S av en implisitte likningen m/hensyn på x, mens y betraktes som en funksjon av x. 2 Husk å bruke kjerneregelen. 3 Løs likningen for y/x. Eksempel Finn tangenten til y 3 2x = 0 i punktet (1, 1). Deriverer likningen 3y 2 y x 4x = 0. Løser for en eriverte: y x = 4x. (=4/3 når (x, y) = (1, 1)) 3y 2

34 17 Implisitt erivasjon Kunsten å finne en eriverte av en implisitt funksjon. 1 Deriver V.S. og H.S av en implisitte likningen m/hensyn på x, mens y betraktes som en funksjon av x. 2 Husk å bruke kjerneregelen. 3 Løs likningen for y/x. Eksempel Finn tangenten til y 3 2x = 0 i punktet (1, 1). Deriverer likningen 3y 2 y x 4x = 0. Løser for en eriverte: y x = 4x. (=4/3 når (x, y) = (1, 1)) 3y 2 Tangenten er erfor gitt ve y 1 = 4 3 (x 1)

35 18 Graf fra eksempelet

36 19 Implisitt erivasjon av høyere oren Finn 2 y/x 2 når x 3 + y 3 9xy = 0.

37 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner

38 21 Derivasjon av inverse til eriverbare funksjoner Setning Den eriverte av f 1 er x f 1 (x) = 1 ) f (f 1 (x) Ieer bak formelen: Kjerneregel, efinisjon av invers og implisitt erivasjon. Hva skjer når vi eriverer f(f 1 (x)) = x?

39 22 Den eriverte av en naturlige logaritmen Anvenelse av erivert av invers. Husk at ln x og e x er hveranres inverser. Husk x ex = e x x ln x = 1 x

40 23 Derivasjon av a x og log a x Vi har følgene erivasjonsregler x ax = a x ln a x log a x = 1 x ln a

41 24 Logaritmisk erivasjon Setning Den eriverte av f(x) g(x) er f(x) g(x) x (g(x) ln f(x)) Ieen bak er ientiteten ln a b = b ln a og implisitt erivasjon.

42 25 e som en grense Vi har at grensen lim x 0 (1 + x)1/x = e Dette følger av at en eriverte av ln x når x = 1 er lik 1/1 = 1. lim (1 + x 0 x)1/x = e lim x 0 ln((1+x) 1/x ) fori = e lim x 0 ln(1+x) 0 x = e lim x 0 ln(1+x) ln 1 x = e 1 = e ln(1 + x) ln 1 lim = en eriverte til ln x i x = 1 x 0 x