3.1. Ensidige grenser FIGUR 3.2. cappelendamm.no. La oss studere funksjonen f(x) = x x + 2, Hvis vi nå spør hva funksjons-

Transkript

1 3. Ensidige grenser La oss studere funksjonen f() =, Hvis vi nå spør hva funksjons- kr gr FIGUR 3. 3 FIGUR FIGUR 3.3 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3

2 3. Kontinuerlige funksjoner 3. Litt upresist kan vi si at en funksjon f er kontinuerlig = f() a b FIGUR 3. g() a c b FIGUR 3.5 a c b FIGUR 3.6 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3

3 (a) (b) c c FIGUR 3.7 a f() 3 3 FIGUR 3.8 FIGUR 3.9 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 3

4 3.3 Den deriverte til en funksjon Vi vil starte med et eksempel som de fleste har en intuitiv forståelse av, nem- s(m) 5 5 t (sek) s (meter) FIGUR 3. 5 t(s) Tidsintervall (s) 5 3,,, Forfltning (m) 5,,, Gjennomsnittshastighet (m/s) 7 6 5,,, TABELL 3. f( Δ) L f() Δ f( Δ) - f() = Δ Δ FIGUR 3. Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3

5 FIGUR Derivasjon av sammensatte funksjoner g() u u = g() f(u) = f(g()) FIGUR Implisitt derivasjon Vi skal nå bentte kjerneregelen til å foreta såkalt implisitt derivasjon. Funk- (3, ) 5 FIGUR 3. Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 5

6 3.9 Tangenten til en graf De neste avsnittene er meget sentrale da de legger grunnlag for me av det T (, f( )) FIGUR (, ) FIGUR Lokale ekstremalpunkter = f() a b c d f () positiv negativ positiv FIGUR 3.7 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 6

7 3 FIGUR 3.8 = f() f () > f () < f () > f () < f () > a b c d e f g f () positiv negativ positiv negativ positiv positiv FIGUR 3.9 f'() Min. Maks. Min. FIGUR 3. Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 7

8 8 6 FIGUR 3. f'() Min. Maks. Min. FIGUR FIGUR 3.3 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 8

9 f '() Maks KSEMPEL 5 FIGUR 3. 3 f'() f() FIGUR 3.5 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 9

10 3 3 f'() f() FIGUR FIGUR Globale ekstremalpunkter c d FIGUR 3.8 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3

11 FIGUR 3.9 FIGUR FIGUR 3.3 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3

12 3 f'() f() FIGUR f'() f() 6 FIGUR FIGUR Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3

13 f () 6 f () 6 FIGUR ( ) f'() f() FIGUR f'() f() FIGUR 3.37,5,,3,, 3 3 FIGUR 3.38 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 3

14 P P 5 P 3 P P Konkav Konveks FIGUR 3.39 Forbruk Tid t FIGUR 3. Tangenten ligger over kurven V.p. Konkav FIGUR 3. c Tangenten ligger under kurven Konveks Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3

15 P P Konkav P 3 P = f() P 5 Konveks FIGUR 3. f'() FIGUR 3.3 f''() Konkav Konveks FIGUR 3. 6 f() f'( ) 6 f''() FIGUR 3.5 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 5

16 6 f() er konkav 3 Vendepunkt f() er konveks FIGUR FIGUR f'() Maks. Min. 6 f''() Vend Vend Vend FIGUR 3.8 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 6

17 f() 3 5 FIGUR ( ) f''() Konkav Konkav Konveks FIGUR 3.5 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 7

18 3.3 Funksjonsdrøfting a = f() b c d e a D f = [a, e] Fortegnene langs kurven angir fortegnene til f '() b d e f'() = f'() a b c d e a = b : lokalt maks. = d : globalt min. = a : lokalt min. = e : globalt maks. c e f''() Konkav Konveks = f''() a b c d e [a, c konkav funksjon c, e] konveks funksjon = c vendepunkt a er lokalt minimumspunkt b er lokalt maksimumspunkt d er globalt (og lokalt) minimumspunkt e er globalt (og lokalt) maksimumspunkt FIGUR 3.5 ( ) 3 f () FIGUR 3.5 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 8

19 ( ) ( ) f ''() FIGUR FIGUR g() f() FIGUR f() g() FIGUR 3.56 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 9

20 B A a FIGUR 3.57 b 3. Grensekostnad, grenseinntekt, grenseprofitt, kostnadsoptimum K'() A() FIGUR 3.58 K() FIGUR 3.59 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3

21 A() 5 FIGUR Profittmaksimering. Vinningsoptimum 3,6 P'() P() FIGUR P'() P() 3 FIGUR 3.6 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3

22 3.6 Elastisiteter P Tilbud Tilbud P Etterspørsel P Etterspørsel P P P a) b) FIGUR pris (p 5) p Brøk FIGUR 3.6 SAMMENDRAG AV KAPITTEL 3 Δ Δ L Δ Δ FIGUR 3.65 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3

23 a = f() b c d e a D f = [a, e] Fortegnene langs kurven angir fortegnene til f '() b d e f'() = f'() a b c d e a = b : lokalt maks. = d : globalt min. = a : lokalt min. = e : globalt maks. c e f''() Konkav Konveks = f''() a b c d e [a, c konkav funksjon c, e] konveks funksjon = c vendepunkt a er lokalt minimumspunkt b er lokalt maksimumspunkt d er globalt (og lokalt) minimumspunkt e er globalt (og lokalt) maksimumspunkt FIGUR 3.66 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 3

24 OPPSUMMERENDE OPPGAVER TIL KAPITTEL 3 3 FIGUR FIGUR 3.68 FIGUR 3.69 FIGUR 3.69 FIGUR 3.7 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3

25 A 6 FIGUR 3.7 FIGUR f'() FIGUR 3.73 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 5

26 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 6