MAT mars mars mars 2010 MAT Våren 2010

Transkript

1 MAT 1012 Våren 2010

2 Mandag Forelesning Vi har tidligere integrert funksjoner langs x-aksen, og vi har integrert funksjoner i flere variable over begrensede områder i xy-planet. I denne forelesningen skal vi integrere funksjoner langs mer generelle kurver i planet. Vi skal se hvordan vi beregner verdien av et vektorfelt langs en kurve og hvordan vi integrerer opp disse verdiene for å kalkulere integralet langs hele kurven. Et av hovedresultatene for kurveintegraler sier at integralet av et konservativt vektorfelt langs en lukket kurve er null, alternativt at kurveintegraler i et konservativt felt kun avhenger av endepunktene. Vi skal se nærmere på dette resultatet.

3 Kurveintegraler Integrere vektorfelt Kjerneregelen for funksjoner i flere variable Konservative felt

4 Kurveintegraler Integrere vektorfelt Definisjon La F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) være et vektorfelt i planet og r(t) = (x(t), y(t)) en parametrisering av kurven C i det samme planet. Verdien av vektorfeltet F langs C er en funksjon i to variable gitt ved F T C = P(r(t))x (t) + Q(r(t))y (t)

5 Kurveintegraler Integrere vektorfelt Eksempel La f (x, y) være en funksjon i to variable og anta at den parametriserte kurven C gitt ved r(t) = (x(t), y(t)) beskriver en nivåkurve for funksjonen, dvs. at f ((x(t), y(t))) = c, c en konstant. Gradienten til f danner et vektorfelt f i planet. Da er verdien av vektorfeltet f langs nivåkurven C lik 0. Vi kan se dette ved å regne ut f T r (t) = f x x (t) + f y y (t) = d dt f ((x(t), y(t))) = d dt c = 0 der overgangen fra andre til tredje linje er kjerneregelen for derivasjon.

6 Kurveintegraler Integrere vektorfelt Eksempel La f (x, y) være en funksjon i to variable og anta at den parametriserte kurven C gitt ved r(t) = (x(t), y(t)) beskriver en nivåkurve for funksjonen, dvs. at f ((x(t), y(t))) = c, c en konstant. Gradienten til f danner et vektorfelt f i planet. Da er verdien av vektorfeltet f langs nivåkurven C lik 0. Alternativt kunne vi dedusert dette direkte siden vi vet at gradienten til en funksjon står normalt på nivåkurvene til funksjonen, og dermed også normalt på tangentene til nivåkurvene, og det er akkurat skalar-produktet mellom disse to vektorene vi regner ut.

7 Kurveintegraler Mellomspill Hvis vi har to (deriverbare) funksjoner f : R R 2 og g : R 2 R, der f (t) = (x(t), y(t)), så vil komposisjonen h = g f : R R være en funksjon h(t) = (g(x(t), y(t)) i en variabel. Denne funksjonen kan vi derivere ved hjelp av kjerneregelen: Teorem La h(t) være gitt som over. Da har vi h (t) = g f (t) = f x x (t) + f y y (t)

8 Kurveintegraler Mellomspill Eksempel La f (t) = (R cos t, R sin t) og g(x, y) = xy. Da har vi h(t) = g(f (t)) = R 2 cos t sin t og h (t) = R 2 sin 2 t + R 2 cos 2 t Bruker vi kjerneregelen på den samme funksjonen får vi h (t) = (y, x) ( R sin t, R cos t) = R sin t( R sin t) + R cos tr cos t siden x = R cos t, og y = R sin t.

9 Kurveintegraler Integrere vektorfelt Da har vi samlet nok bakgrunn til å kunne integrere et vektorfelt langs en kurve. Definisjon La F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) være et vektorfelt i planet og r(t) = (x(t), y(t)), a t b en parametrisering av kurven C i det samme planet. Linjeintegralet av vektorfeltet F langs C er gitt ved C F T C dt = b a (P(r(t))x (t) + Q(r(t))y (t)) dt

10 Kurveintegraler Integrere vektorfelt Eksempel La F(x, y) = ( y, x) være et vektorfelt i planet (tangentfeltet til konsentriske sirkler) og r(t) = (R cos t, R sin t), 0 t 2π, en sirkulær kurve. Linjeintegralet av vektorfeltet F langs C er gitt ved C F T C dt = = 2π 0 2π 0 ( R sin t)( R sin t) + R cos t R cos t dt R 2 (sin 2 t + cos 2 t) dt = 2πR 2

11 Kurveintegraler Integrere vektorfelt Eksempel La F(x, y) = (2y, x) være et vektorfelt i planet og r(t) = (t, 1 2 t2 ), 0 t 1. Linjeintegralet av vektorfeltet F langs C er gitt ved C F T C dt = 1 0 (t ( t)t) dt = 0

12 Kurveintegraler Integrere vektorfelt Eksempel La F(x, y) = (2y, x) være et vektorfelt i planet og r(t) = (t, 1 2 t2 ), 0 t 1. Linjeintegralet av vektorfeltet F langs C er gitt ved C F T C dt = 1 0 (t ( t)t) dt = 0 Hvorfor blir dette 0?

13 Kurveintegraler Integrere vektorfelt Eksempel La F(x, y) = (2y, x) være et vektorfelt i planet og r(t) = (t, 1 2 t2 ), 0 t 1. Linjeintegralet av vektorfeltet F langs C er gitt ved C F T C dt = 1 0 (t ( t)t) dt = 0 Hvorfor blir dette 0? Kurven er parabelen y = f (x) = 1 2 x 2. Tangentvektoren i punktet (x, y) har stigningstall f (x) = x, dvs. tangentvektorfeltet har retning (1, x). Det oppgitte vektorfeltet har retning (2y, x). Prikkproduktet av disse to retningene er (1, x) (2y, x) = 2y x 2. Men på kurven y = 1 2 x 2 er dette tallet lik 0, og vektorfeltet har derfor ingen verdi langs med kurven.

14 Kurveintegraler Konservative felt Nå har vi kommet fram til et hovedresultat i vektoranalysen. Resultatet dreier seg om kurveintegraler i konservative felt. Vi starter med en funksjon f (x, y) og ser på gardienten F = f. Dette er et konservativt felt. Vi lar C være en lukket kurve i planet, gitt ved en parametrisering r(t) = (x(t), y(t)), a t b slik at r(a) = r(b). Da har vi C F T C dt = = = b a b a b a F(r(t)) (x (t), y (t)) dt f x (r(t)) x (t) + f y (r(t)) y (t) dt d dt f (r(t)) dt = [f (r(t))]b a = f (r(a)) f (r(b)) = 0

15 Kurveintegraler Konservative felt Dermed har vi bevist følgende teorem: Teorem Kurveintegralet i et konservativt felt F, langs en lukket kurve C er 0; F T C dt = 0 C Korollar Kurveintegralet i et konservativt felt er kun avhengig av potensialets verdi i kurvens endepunkter.

16 Kurveintegraler Konservative felt Eksempel En viktig anvendelse av dette teoremet/korollaret er gravitasjonsfeltet rundt jorda.

17 Kurveintegraler Konservative felt Eksempel En viktig anvendelse av dette teoremet/korollaret er gravitasjonsfeltet rundt jorda. Dette er et konservativt felt der potensialet kun er avhengig av avstanden til jordas sentrum, dvs. høyden over havoverflaten. Kurveintegraler i et gravitasjonsfelt måler energiforbruk langs kurven. Resultatet sier da at energiforbruket ved å bevege seg fra et punkt til et annet punkt kun avhenger av differansen mellom de to punktenes høyde over havoverflaten.

18 Kurveintegraler Konservative felt Eksempel Et eksempel på et ikke-konservativt kraftfelt er feltet som over et område beskriver vindretning og -styrke.

19 Kurveintegraler Konservative felt Eksempel Et eksempel på et ikke-konservativt kraftfelt er feltet som over et område beskriver vindretning og -styrke. Vi antar at det i området befinner seg noen store steiner, fyr, trær e.l. Skal man bevege seg mot vinden, og man ønsker å bruke minst mulig krefter, prøver man å gå man mest mulig i le av steinene eller trærne, der motvinden er svakest. Energiforbruket langs en kurve i dette vindfeltet er presis kurveintegralet langs kurven, og det er som vi alle har erfart, avhengig av valg av vei, dvs. feltet er ikke konservativt.

20 Onsdag Dette er siste forelesning i denne avdelingen. Nå skal vi knytte sammen all den teorien vi har vært igjennom og formulere det i det som kalles Stokes teorem. Dette teoremet er ett av matematikkens viktigste og mest feirede resultat og har utallige anvendelse innen matematikk og naturvitenskap, ikke minst i fysikk. Resultatet har mange varianter, med ulike navn, Greens teorem og Divergensteoremet er to av dem. Vi skal ikke gå inn på bevisene for disse resultatene, men heller konsentrere oss om hvordan de kan brukes i ulike sammenhenger og forsøke å forstå hva som ligger skjult i formlene i helt konkrete anvendelser.

21 Vektoranalyse, Stokes teorem Greens teorem Stokes teorem Divergensteoremet Fysiske anvendelser

22 Vektoranalyse

23 Vektoranalyse Greens teorem Denne forelesningen dreier seg om et av matematikkens mest berømte resultater, nemlig det som kalles Stokes teorem. Stokes teorem ble først formulert av vitenskapsmannen William Thompson ( ), eller Lord Kelvin, i 1850, men har fått navn etter Sir George Gabriel Stoke ( ). Begge disse to satt dype spor etter seg innen matematikk og naturvitenskap.

24 Vektoranalyse Greens teorem Imidlertid heter den 2-dimensjonale versjonen av Stokes teorem som vi skal se på Greens teorem, oppkalt etter George Green ( ). Green formulerte dette resultatet i det oppsiktsvekkende essayet An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism fra 1828.

25 Vektoranalyse Stokes teorem

26 Vektoranalyse Stokes teorem Essayet er oppsiktsvekkende av to grunner. For det første fordi det inneholder nye og banebrytende resultater, for det andre fordi det er skrevet av en legmann. Green hadde faktisk bare ett års skolegang!

27 Vektoranalyse Greens teorem Teorem La C være en positivt orientert, lukket kurve i planet gitt ved parametriseringen r(t) = (x(t), y(t)) og la D være det området som kurven C omslutter. La f (x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) være et vektorfelt. Da har vi (P(r(t))x (t) + Q(r(t))y (t)) dt = ( Q x P ) dx dy y C D Mao. den totale sirkulasjonen til feltet over et område er lik med kurveintegralet til feltet langs randa til området. Dersom feltet er konservativt vil begge sider i likheten være 0, venstresiden fordi lukkede kurveintegral i et konservativt felt er 0, høyresiden fordi integranden er 0 for et konservativt felt.

28 Vektoranalyse Greens teorem Eksempel Betrakt det sirkulære vektorfeltet f (x, y) = ( y, x) og sirkelen r(t) = (R cos t, R sin t), 0 t 2π. Vi har tidligere sett at venstresiden er lik 2πR 2. Høyresiden kan vi også regne ut, D ( x x ( y)) dx dy = y D (1 + 1) dx dy = 2 areal(d) = 2πR 2

29 Eksempel Vi skal beregne integralet y 2 dx + 3xy dy = C C Vektoranalyse Greens teorem y 2 x (t) + 3xyy (t) dt rundt øvre halvpart av enhetssirkelen med sentrum i origo.

30 Eksempel Vi har y 2 dx + 3xy dy = C = = = D Vektoranalyse Greens teorem ( x 3xy y y 2 ) dx dy (3y 2y) dx dy = D 1 1 x x 2 y dy dx [ 1 2 y 2 ] 0 dx = 1 2 D 1 1 y dx dy (1 x 2 ) dx = 1 2 [x 1 3 x 3 ] 1 1 = 2 3

31 Vektoranalyse Greens teorem Eksempel Vi kan uttrykke arealet av et område som et kurveintegral: 1 C 2 y dx x dy = 1 D 2 ( x x ( y)) dx dy y = 1 dx dy D = areal(d)

32 Vektoranalyse Greens teorem Eksempel Vi lar kurven C være firkanten gitt av hjørnene (0, 0), (1, 0), (0, 1) og (1, 1). Vi skal beregne kurveintegralet (5 xy y 2 ) dx + (x 2 2xy) dy C Ved Greens teorem er dette ensbetydende med å regne ut dobbeltintegralet av 2x 2y + x + 2y = 3x over firkanten. D 3x dx dy = 3 areal(d) x = 3 2

33 Vektoranalyse Oppsummering Vi starter med en funksjon f (x, y) i to variable. Fra denne danner vi et vektorfelt f, gradienten til f. Dette vektrofeltet beskriver retningen som funksjonen endrer seg. Vektorfelt som er gradient av en funksjon kaller vi konservative. Testen på om et vektrofelt er en gradient er gitt ved betingelsen Q x P y = 0. Utrykket Q x P y kalles sirkulasjonen til vektorfeltet. Dermed blir kriteriet for konservativitet at feltet ikke har sirkulasjon. Integrerer vi sirkulasjonen over et lukket og begrenset område i planet sier Greens teorem at vi får det samme som når vi integrerer feltet langs med omrisskurven til området.

34 Onsdag Plenumsregning Oppgave (1) a) Vis at vektorfeltet F(x, y) = (e y, xe y ) er konservativt. b) Finn et potensial for vektorfeltet gitt i a) c) Regn ut kurveintegralet av vektorfeltet gitt i a) langs en rett linje mellom punktene ( 1, 1) og (1, 1).

35 Onsdag Plenumsregning Oppgave (1) a) Vis at vektorfeltet F(x, y) = (e y, xe y ) er konservativt. b) Finn et potensial for vektorfeltet gitt i a) c) Regn ut kurveintegralet av vektorfeltet gitt i a) langs en rett linje mellom punktene ( 1, 1) og (1, 1). Oppgave (2) Vis at vektorfeltet F(x, y) = (y, xy x) ikke er en gradient. Finn også en vei C slik at C f ds 0.

36 Onsdag Plenumsregning Oppgave (3) Et område D i (x, y)-planet er avgrenset av en kurve C gitt ved rette linjer gjennom de fire hjørnene (0, 0), (2, 0), (0, 2) og (2, 2). Beregn kurveintegralet (mot klokka) y 2 dx + x dy ved å bruke Greens teorem. C