Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100"

Transkript

1 Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. september 2011

2 Kapittel 4.7. Newtons metode

3 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av x 3 3x 1 = 0 er ikke særlig brukelig

4 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av x 3 3x 1 = 0 er ikke særlig brukelig og heller ikke forståelig.

5 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av x 3 3x 1 = 0 er ikke særlig brukelig og heller ikke forståelig. x 1 = 1 2 x 2 = 1 4 x 3 = i i i i i i i i 3 ( 1 2 ( i i i i 3 ) )

6 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av x 3 3x 1 = 0 er ikke særlig brukelig og heller ikke forståelig. x 1 = 1 2 x 2 = 1 4 x 3 = i i i i i i i i 3 ( 1 2 ( i i i i 3 ) )

7 4 Newtons metode Newtons metode er en iterativ metode for å løse likninger på formen f(x) = 0 Eksempel: x 3 3x 1 =

8 5 Tilnærmings skjema (Newtons metode) Vi velger å finne tilnærmet løsning av f(x) = 0: 1 Først gjetter vi på en løsning x 1

9 5 Tilnærmings skjema (Newtons metode) Vi velger å finne tilnærmet løsning av f(x) = 0: 1 Først gjetter vi på en løsning x 1 2 Så finner vi lineariseringen av f(x) i x = x 1 : L(x) = f(x 1 ) + f (x 1 )(x x 1 )

10 5 Tilnærmings skjema (Newtons metode) Vi velger å finne tilnærmet løsning av f(x) = 0: 1 Først gjetter vi på en løsning x 1 2 Så finner vi lineariseringen av f(x) i x = x 1 : L(x) = f(x 1 ) + f (x 1 )(x x 1 ) 3 Vi løser L(x) = 0 og kaller løsningen x 2 : x 2 = x 1 f(x 1) f (x 1 )

11 5 Tilnærmings skjema (Newtons metode) Vi velger å finne tilnærmet løsning av f(x) = 0: 1 Først gjetter vi på en løsning x 1 2 Så finner vi lineariseringen av f(x) i x = x 1 : L(x) = f(x 1 ) + f (x 1 )(x x 1 ) 3 Vi løser L(x) = 0 og kaller løsningen x 2 : x 2 = x 1 f(x 1) f (x 1 ) 4 Vi fortsetter med punkt 2 og 3 inntil vi er fornøyde.

12 6 Newtons iterasjonsformel Newtons iterasjonsformel for å løse f(x) = 0 er gitt ved x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Newtons iterasjons-prosess er

13 6 Newtons iterasjonsformel Newtons iterasjonsformel for å løse f(x) = 0 er gitt ved x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Newtons iterasjons-prosess er 1 Velg x 1 x 1

14 6 Newtons iterasjonsformel Newtons iterasjonsformel for å løse f(x) = 0 er gitt ved x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Newtons iterasjons-prosess er 1 Velg x 1 2 x 2 = x 1 f(x 1) f (x 1 ) x 2 x 1

15 6 Newtons iterasjonsformel Newtons iterasjonsformel for å løse f(x) = 0 er gitt ved x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Newtons iterasjons-prosess er 1 Velg x 1 2 x 2 = x 1 f(x 1) f (x 1 ) 3 x 3 = x 2 f(x 2) f (x 2 ) x 3 x 2 x 1

16 6 Newtons iterasjonsformel Newtons iterasjonsformel for å løse f(x) = 0 er gitt ved x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Newtons iterasjons-prosess er 1 Velg x 1 2 x 2 = x 1 f(x 1) f (x 1 ) 3 x 3 = x 2 f(x 2) f (x 2 ) 4 x 4 = x 3 f(x 3) f (x 3 ) x 4 x 3 x 2 x 1

17 6 Newtons iterasjonsformel Newtons iterasjonsformel for å løse f(x) = 0 er gitt ved x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Newtons iterasjons-prosess er 1 Velg x 1 2 x 2 = x 1 f(x 1) f (x 1 ) 3 x 3 = x 2 f(x 2) f (x 2 ) 4 x 4 = x 3 f(x 3) f (x 3 ) 5 x 5 = x 4 f(x 4) f (x 4 ) x 4 x 3 x 2 x 1

18 6 Newtons iterasjonsformel Newtons iterasjonsformel for å løse f(x) = 0 er gitt ved x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Newtons iterasjons-prosess er 1 Velg x 1 2 x 2 = x 1 f(x 1) f (x 1 ) 3 x 3 = x 2 f(x 2) f (x 2 ) 4 x 4 = x 3 f(x 3) f (x 3 ) 5 x 5 = x 4 f(x 4) f (x 4 ) x 4 x 3 x 2 x 1 6.

19 7 Det gyldene snitt Eksempel Det gyldene snitt φ er den største løsningen av x 2 x 1 = 0 Bruk newtons metode for å finne φ.

20 7 Det gyldene snitt Eksempel Det gyldene snitt φ er den største løsningen av x 2 x 1 = 0 Bruk newtons metode for å finne φ. Newtons iterasjnsformel: x n+1 = x n x 2 n x n 1 2x n 1 = x 2 n + 1 2x n 1

21 7 Det gyldene snitt Eksempel Det gyldene snitt φ er den største løsningen av x 2 x 1 = 0 Bruk newtons metode for å finne φ. Newtons iterasjnsformel: x n+1 = x n x n 2 x n 1 2x n 1 Gjetter x 1 = 2. = x 2 n + 1 2x n 1

22 7 Det gyldene snitt Eksempel Det gyldene snitt φ er den største løsningen av x 2 x 1 = 0 Bruk newtons metode for å finne φ. Newtons iterasjnsformel: x n+1 = x n x n 2 x n 1 2x n 1 Gjetter x 1 = 2. x 2 = x x 1 1 = 1, = x 2 n + 1 2x n 1

23 7 Det gyldene snitt Eksempel Det gyldene snitt φ er den største løsningen av x 2 x 1 = 0 Bruk newtons metode for å finne φ. Newtons iterasjnsformel: x n+1 = x n x n 2 x n 1 2x n 1 Gjetter x 1 = 2. x 2 = x x 1 1 = 1, x 3 = x x 2 1 = 1, = x 2 n + 1 2x n 1

24 7 Det gyldene snitt Eksempel Det gyldene snitt φ er den største løsningen av x 2 x 1 = 0 Bruk newtons metode for å finne φ. Newtons iterasjnsformel: x n+1 = x n x n 2 x n 1 2x n 1 Gjetter x 1 = 2. x 2 = x x 1 1 = 1, x 3 = x x 2 1 = 1, x 4 = x x 3 1 = 1, = x 2 n + 1 2x n 1

25 7 Det gyldene snitt Eksempel Det gyldene snitt φ er den største løsningen av x 2 x 1 = 0 Bruk newtons metode for å finne φ. Newtons iterasjnsformel: x n+1 = x n x n 2 x n 1 2x n 1 Gjetter x 1 = 2. x 2 = x x 1 1 = 1, x 3 = x x 2 1 = 1, x 4 = x x 3 1 = 1, x 5 = x x 4 1 = 1, = x 2 n + 1 2x n 1

26 7 Det gyldene snitt Eksempel Det gyldene snitt φ er den største løsningen av x 2 x 1 = 0 Bruk newtons metode for å finne φ. Newtons iterasjnsformel: x n+1 = x n x n 2 x n 1 2x n 1 Gjetter x 1 = 2. x 2 = x x 1 1 = 1, x 3 = x x 2 1 = 1, x 4 = x x 3 1 = 1, x 5 = x x 4 1 = 1, x 6 = x x 5 1 = 1, = x 2 n + 1 2x n 1

27 Kapittel 4.8. Antideriverte

28 9 Antideriverte Definisjon (Antiderivert) Funksjonen F(x) kalles for en antiderivert av f(x) på intervallet I hvis F (x) = f(x) for alle x i intervallet I.

29 9 Antideriverte Definisjon (Antiderivert) Funksjonen F(x) kalles for en antiderivert av f(x) på intervallet I hvis F (x) = f(x) for alle x i intervallet I. Teorem Hvis F(x) er en antiderivert av f(x) på intervallet I så vil alle antideriverte av f(x) på intervallet I være F(x) + C

30 10 Tabell over noen antideriverte Funkjson f(x) Antiderivert F(x) 1 0. f(k x) k F(k x) + C 1. x n 1 n+1 x n+1, n 1 + C 2. cos x sin x + C 3. sin x cos x + C 4. 1/cos 2 x tan x + C 5. 1/x ln x + C, x 0 6. e x e x + C 7. 1/ 1 x 2 sin 1 x + C, x < /(1 + x 2 ) tan 1 x + C 9. 1/( x x 2 1) sec 1 x + C, x > 1

31 11 Linearitet Regel (Linearitet) Funkjson f(x) Antiderivert F(x) 1. Konstant multippel k f(x) k F(x) + C 2. Sum f(x) ± g(x) F(x) ± G(x) + C

32 11 Linearitet Regel (Linearitet) Funkjson f(x) Antiderivert F(x) 1. Konstant multippel k f(x) k F(x) + C 2. Sum f(x) ± g(x) F(x) ± G(x) + C Eksempel Finn den antideriverte til f(x) = 3e 2x 1 2 cos x

33 12 Eksempel på løsning av enkel differensiallikning Problem Finn y = f(x) slik at dy dx = x 2, y(0) = 1.

34 13 Antideriverte og differensiallikninger Setning Hver løsning definert på et intervall I av differensiallikningen dy = f(x) er en antiderivert av f(x). dx Dvs y = F(x) + C er generell løsning av y = f(x). Eksempel

35 13 Antideriverte og differensiallikninger Setning Hver løsning definert på et intervall I av differensiallikningen dy = f(x) er en antiderivert av f(x). dx Dvs y = F(x) + C er generell løsning av y = f(x). Eksempel y = sin 1 x + C, x < 1 utgjør alle løsningene av differensiallikningen dy dx = 1 1 x 2

36 14 Anvendelse Problem Ca 50 meter fra bakken står Galileo Galilei i det skjeve tårn i Pisa og slipper to kanonkuler. De treffer bakken samtidig, men etter hvor mange sekunder?

37 15 Anvendelse Løsning Problem Ca 50 meter fra bakken står Galileo Galilei i det skjeve tårn i Pisa og slipper to kanonkuler. De treffer bakken samtidig, men etter hvor mange sekunder? Tyngdens akselerasjon er g = 9,81 m/s 2.

38 15 Anvendelse Løsning Problem Ca 50 meter fra bakken står Galileo Galilei i det skjeve tårn i Pisa og slipper to kanonkuler. De treffer bakken samtidig, men etter hvor mange sekunder? Tyngdens akselerasjon er g = 9,81 m/s 2. Den deriverte av farten er v = g.

39 15 Anvendelse Løsning Problem Ca 50 meter fra bakken står Galileo Galilei i det skjeve tårn i Pisa og slipper to kanonkuler. De treffer bakken samtidig, men etter hvor mange sekunder? Tyngdens akselerasjon er g = 9,81 m/s 2. Den deriverte av farten er v = g. v(t) er en antiderivert av v (t) = g: v = g t + C, v(0) = 0 gir C = 0.

40 15 Anvendelse Løsning Problem Ca 50 meter fra bakken står Galileo Galilei i det skjeve tårn i Pisa og slipper to kanonkuler. De treffer bakken samtidig, men etter hvor mange sekunder? Tyngdens akselerasjon er g = 9,81 m/s 2. Den deriverte av farten er v = g. v(t) er en antiderivert av v (t) = g: v = g t + C, v(0) = 0 gir C = 0. Fart er den deriverte av strekning: v(t) = s (t).

41 15 Anvendelse Løsning Problem Ca 50 meter fra bakken står Galileo Galilei i det skjeve tårn i Pisa og slipper to kanonkuler. De treffer bakken samtidig, men etter hvor mange sekunder? Tyngdens akselerasjon er g = 9,81 m/s 2. Den deriverte av farten er v = g. v(t) er en antiderivert av v (t) = g: v = g t + C, v(0) = 0 gir C = 0. Fart er den deriverte av strekning: v(t) = s (t). s(t) er en antiderivert av s (t) = v(t): s = 1 2 g t2 + C, s(0) = 0 gir C = 0.

42 15 Anvendelse Løsning Problem Ca 50 meter fra bakken står Galileo Galilei i det skjeve tårn i Pisa og slipper to kanonkuler. De treffer bakken samtidig, men etter hvor mange sekunder? Tyngdens akselerasjon er g = 9,81 m/s 2. Den deriverte av farten er v = g. v(t) er en antiderivert av v (t) = g: v = g t + C, v(0) = 0 gir C = 0. Fart er den deriverte av strekning: v(t) = s (t). s(t) er en antiderivert av s (t) = v(t): s = 1 2 g t2 + C, s(0) = 0 gir C = 0. Den inverse av s(t) = 1 2 g t2 er t(s) = 2s g.

43 15 Anvendelse Løsning Problem Tyngdens akselerasjon er g = 9,81 m/s 2. Den deriverte av farten er v = g. v(t) er en antiderivert av v (t) = g: v = g t + C, v(0) = 0 gir C = 0. Fart er den deriverte av strekning: v(t) = s (t). s(t) er en antiderivert av s (t) = v(t): s = 1 2 g t2 + C, s(0) = 0 gir C = 0. Den inverse av s(t) = 1 2 g t2 er t(s) = 2s g. Regner ut t(50) = ,81 Ca 50 meter fra bakken står Galileo Galilei i det skjeve tårn i Pisa og slipper to kanonkuler. De treffer bakken samtidig, men etter hvor mange sekunder? 3,2 sekunder.

44 16 Ubestemt integral Definisjon La F(x) være den antideriverte av f(x). Da kaller vi også F(x) for det ubestemte integralet av f(x): F(x) = f(x) dx Notasjonen F(x) = f(x) dx består av integraltegn, integrand og integrasjonsvariabel.

45 16 Ubestemt integral Definisjon La F(x) være den antideriverte av f(x). Da kaller vi også F(x) for det ubestemte integralet av f(x): F(x) = f(x) dx Notasjonen F(x) = f(x) dx består av integraltegn, integrand og integrasjonsvariabel.

46 16 Ubestemt integral Definisjon La F(x) være den antideriverte av f(x). Da kaller vi også F(x) for det ubestemte integralet av f(x): F(x) = f(x) dx Notasjonen F(x) = f(x) dx består av integraltegn, integrand og integrasjonsvariabel.

47 16 Ubestemt integral Definisjon La F(x) være den antideriverte av f(x). Da kaller vi også F(x) for det ubestemte integralet av f(x): F(x) = f(x) dx Notasjonen F(x) = f(x) d x består av integraltegn, integrand og integrasjonsvariabel.

48 17 Eksempler på ubestemt integral Eksempel e x dx =? (x 2 x + 1) dx =? ( ) 1 x + cos x dx =?

49 Kapittel 5.1. Estimering med endelige summer

50 19 Arealtilnærming Problem Vi ønsker å finne arealet til et område

51 19 Arealtilnærming Problem Vi ønsker å finne arealet til et område. Vi kan finne arealet til området ved å dele området inn i små firkanter og telle opp firkantene

52 19 Arealtilnærming Problem Vi ønsker å finne arealet til et område. Vi kan finne arealet til området ved å dele området inn i små firkanter og telle opp firkantene

53 19 Arealtilnærming Problem Vi ønsker å finne arealet til et område. Vi kan finne arealet til området ved å dele området inn i små firkanter og telle opp firkantene Nøyaktigheten avhenger av antall firkanter.

54 20 Areal Arealet av et rektangel med bredde b og høyde h er lik A = b h. h b

55 20 Areal Arealet av et rektangel med bredde b og høyde h er lik A = b h. h b

56 20 Areal Arealet av et rektangel med bredde b og høyde h er lik A = b h. h Arealet er lik 4 2 = 8. b

57 21 Arealer av sammensatte områder. Setning Arealet av ikke-overlappende sammensatte områder er lik summen av arealet av hvert av områdene. A 1 A 2 A = A 1 + A 2

58 22 Eksempel Finn arealet av 10 firkanter hver med bredde 1 og der høyden er 1, 2, 3, etc:

59 22 Eksempel Finn arealet av 10 firkanter hver med bredde 1 og der høyden er 1, 2, 3, etc: Arealet er

60 22 Eksempel Finn arealet av 10 firkanter hver med bredde 1 og der høyden er 1, 2, 3, etc: Arealet er = 55.

61 Problem Finn arealet av området under en kurve y y = f(x) a b x

62 Problem Finn arealet av området under en kurve y y = f(x) a b x

63 Problem Finn arealet av området under en kurve y y = f(x) a b x

64 Problem Finn arealet av området under en kurve y y = f(x) a x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b x Areal 8 i=1 b a 8 f(x i ) Samplingspunkter

65 Problem Finn arealet av området under en kurve y y = f(x) a b x Areal 16 i=1 b a 16 f(x i )

66 Problem Finn arealet av området under en kurve y y = f(x) a b x Areal 32 i=1 b a 32 f(x i )

67 Problem Finn arealet av området under en kurve y y = f(x) a b x Areal 64 i=1 b a 64 f(x i )

68 24 Tilbakelagt strekning - problemer Problem Strekning = fart tid Vi ønsker å estimere tilbakelagt strekning når vi kjenner farten ved noen tidspunkter. Tid, s Fart, m/s t 1 = 0 v 1 = 2,4 2,0 2,6 3,0 3,5 5,0 4,6 6,0 5,3 8,0 5,

69 24 Tilbakelagt strekning - problemer Problem Strekning = fart tid Vi ønsker å estimere tilbakelagt strekning når vi kjenner farten ved noen tidspunkter. Tid, s Fart, m/s t 1 = 0 v 1 = 2,4 2,0 2,6 3,0 3,5 5,0 4,6 6,0 5,3 8,0 5, t 1 t 2 t 3 t 4 t

70 24 Tilbakelagt strekning - problemer Problem Strekning = fart tid Vi ønsker å estimere tilbakelagt strekning når vi kjenner farten ved noen tidspunkter. Tid, s Fart, m/s t 1 = 0 v 1 = 2,4 2,0 2,6 3,0 3,5 5,0 4,6 6,0 5,3 8,0 5, t 1 t 2 t 3 t 4 t

71 24 Tilbakelagt strekning - problemer Problem Strekning = fart tid Vi ønsker å estimere tilbakelagt strekning når vi kjenner farten ved noen tidspunkter. Tid, s Fart, m/s t 1 = 0 v 1 = 2,4 2,0 2,6 3,0 3,5 5,0 4,6 6,0 5,3 8,0 5, t 1 t 2 t 3 t 4 t

72 Tilbakelagt strekning beregnet ved å bruke venstre endepunkt regel 5 i=1 v i t i = 2, , , , ,3 2 = 29,6. Tilbakelagt strekning beregnet ved å bruke høyre endepunkt regel 5 i=1 v i+1 t i = 2, , , , ,1 2 = 33,3.

73 Tilbakelagt strekning beregnet ved å bruke venstre endepunkt regel 5 i=1 v i t i = 2, , , , ,3 2 = 29,6. Tilbakelagt strekning beregnet ved å bruke høyre endepunkt regel 5 i=1 v i+1 t i = 2, , , , ,1 2 = 33,3.

74 Kapittel 5.2. Sigma-notasjonen og Riemannsummer

75 28 Summenotasjon Definisjon Med n i=1 a i mener vi summen a 1 + a 2 + a a n 1 + a n

76 28 Summenotasjon Definisjon Med n i=1 a i mener vi summen a 1 + a 2 + a a n 1 + a n Eksempel For eksempel er 10 i=1 i

77 28 Summenotasjon Definisjon Med n i=1 a i mener vi summen a 1 + a 2 + a a n 1 + a n Eksempel For eksempel er 10 i=1 i = = 55

78 29 Summenotasjon Vi trenger ikke la i starte med 1

79 29 Summenotasjon Vi trenger ikke la i starte med 1 Eksempel For eksempel er 10 i 2 i=5

80 29 Summenotasjon Vi trenger ikke la i starte med 1 Eksempel For eksempel er 10 i=5 i 2 = = 355

81 30 Regneregler for summer 1 n n (a k ± b k ) = a k ± n k=1 k=1 k=1 b k

82 30 Regneregler for summer 1 2 n n (a k ± b k ) = a k ± k=1 n c a k = c n k=1 k=1 k=1 a k n k=1 b k

83 30 Regneregler for summer n n (a k ± b k ) = a k ± k=1 n c a k = c k=1 n c = n c k=1 n k=1 k=1 a k n k=1 b k

84 Definisjon ( Riemann -sum) La f(x) være en funksjon definert på [a, b] a b

85 Definisjon ( Riemann -sum) La f(x) være en funksjon definert på [a, b] [a, b] oppdelt i n intervaller av lengde x = b a n. a x b

86 Definisjon ( Riemann -sum) La f(x) være en funksjon definert på [a, b] [a, b] oppdelt i n intervaller av lengde x = b a n. Ett samplingspunkt i hvert delintervall: x 1, x 2, x 3,...,x n a x b

87 Definisjon ( Riemann -sum) La f(x) være en funksjon definert på [a, b] [a, b] oppdelt i n intervaller av lengde x = b a n. Ett samplingspunkt i hvert delintervall: x 1, x 2, x 3,...,x n a x Summen R n = kalles for en Riemann-sum. n i=1 f(x i ) x b

88 Kapittel 5.3. Bestemt integral

89 Definisjon (Bestemt Integral) La f(x) være en funksjon definert på [a, b]

90 Definisjon (Bestemt Integral) La f(x) være en funksjon definert på [a, b] og la R n = n i=1 f(x i ) x

91 Definisjon (Bestemt Integral) La f(x) være en funksjon definert på [a, b] og la R n = n i=1 f(x i ) x Da er integralet av f(x) på intervallet [a, b] b a f(x) dx = lim n R n

92 34 Direkte utregning av integralet Eksempel Finn det bestemte integralet b a c dx

93 Eksempel Finn det bestemte integralet n Du vil få bruk for k = k=1 2 0 n(n + 1) 2 x dx

94 36 Direkte utregning av integralet Eksempel Finn det bestemte integralet n Du vil få bruk for k 2 = k=1 1 0 x 2 dx n(n + 1)(2n + 1) 6

95 37 Midtpunktsregelen. Midtpunktsregelen er en metode for å estimere et bestemt integral. b a f(x) dx n f( x i ) x i=1 x i er midtpunktet til [x i 1, x i ].

96 37 Midtpunktsregelen. Midtpunktsregelen er en metode for å estimere et bestemt integral. b a f(x) dx n f( x i ) x i=1 x i er midtpunktet til [x i 1, x i ]. Eksempel (Midtpunktsregelen med n = 4) Bruk midtpunktsregelen med n = 4 til å estimere x dx.

97 37 Midtpunktsregelen. Midtpunktsregelen er en metode for å estimere et bestemt integral. b a f(x) dx n f( x i ) x i=1 x i er midtpunktet til [x i 1, x i ]. Eksempel (Midtpunktsregelen med n = 4) Bruk midtpunktsregelen med n = 4 til å estimere x dx. Løsning: x 1 = 9/8, x 2 = 11/8, x 3 = 13/8, x 4 = 15/8 og x = x dx x 1 x + x 2 x + x 3 x + x 4 x = = 0,

98 38 Egenskaper til bestemt integral Setning 1 b a c dx = c (b a). når c er en konstant

99 38 Egenskaper til bestemt integral Setning 1 2 b a c dx = c (b a). når c er en konstant b a (f(x) ± g(x)) dx = b a f(x) dx ± b a g(x) dx

100 38 Egenskaper til bestemt integral Setning b a c dx = c (b a). når c er en konstant b a (f(x) ± g(x)) dx = b a f(x) dx ± b a g(x) dx b a c f(x) dx = c b a f(x) dx, når c er konstant.

101 38 Egenskaper til bestemt integral Setning b a c dx = c (b a). når c er en konstant b a (f(x) ± g(x)) dx = b a f(x) dx ± b a g(x) dx b a c f(x) dx = c b a f(x) dx, når c er konstant. c a f(x) dx + b c f(x) dx = b a f(x) dx

102 39 Definisjoner Definisjon a b b f(x) dx = a a a f(x) dx = 0 f(x) dx

103 40 Sammenliknings-egenskaper Setning 1 Hvis f(x) 0 på [a, b] så er b a f(x) dx 0.

104 40 Sammenliknings-egenskaper Setning 1 Hvis f(x) 0 på [a, b] så er b a f(x) dx 0. 2 Hvis f(x) g(x) på [a, b] så er b a f(x) dx b a g(x) dx.

105 40 Sammenliknings-egenskaper Setning 1 Hvis f(x) 0 på [a, b] så er b a f(x) dx 0. 2 Hvis f(x) g(x) på [a, b] så er b a f(x) dx b a g(x) dx. 3 Hvis m f(x) M på [a, b] så er. m(b a) b a f(x) dx M(b a)

Kapittel 4.7. Newtons metode. Kapittel 4.8.

Kapittel 4.7. Newtons metode. Kapittel 4.8. Ekskt løsning Newtons metode - Integrsjon Forelesning i Mtemtikk TMA00 Hns Jko Rivertz Institutt for mtemtiske fg 0. septemer 0 Kpittel.7. Newtons metode Den ekskte løsningen v x x = 0er ikke særlig rukelig

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner

Detaljer

x 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124

x 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving 4 Avsnitt 47 3 La f(x) = x 4 +x 3 med f (x) = 4x 3 +1 Med x 0 = 1 får ein med Newtons metode at Med x 0 = 1 får

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 10 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 10 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Antideriverte. 2 Differensiallikninger

Detaljer

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker 3 i 3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 3 i Løs likningen

Detaljer

arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. oktober 2011 Kapittel 6.6. Arbeid 3 Arbeid definisjon Definisjon (Arbeid

Detaljer

Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 13. september 2011 Kapittel 4.3. Monotone funksjoner og førstederivasjons-testen

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 4 Løsningsforslag Øving 5.7.4 Vi observerer at både y = cos πx 4 og y = x er like funksjoner. Det vil si

Detaljer

Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.6. Alternerende rekker Absolutt og betinget konvergens 3 Alternerende rekker

Detaljer

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner)

Detaljer

Integrasjon Fundamentalteoremet Substitusjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Integrasjon Fundamentalteoremet Substitusjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Integrsjon Fundmentlteoremet Substitusjon Forelesning i Mtemtikk 1 TMA4100 Hns Jkob Rivertz Institutt for mtemtiske fg 23. september 2011 2 Mtemtisk induksjon Alle elefnter er ros! Vil bevise P n Alle

Detaljer

MAT jan jan jan MAT Våren 2010

MAT jan jan jan MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive

Detaljer

Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 27. september 20 Kapittel 5.6. Substitusjon og arealet mellom kurver 3 Areal mellom kurver Problem

Detaljer

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009 TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +

Detaljer

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet

Detaljer

Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.3. Integrasjonstesten 3 Ikke-avtagende delsummer Husker at n-te delsum av

Detaljer

TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven

TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA0001 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 2010

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA0001 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA1 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 1 Oppgave 1 Ligningen kan skrives 4 ln x 3 ln

Detaljer

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs i analyse II Vår 4 Løsningsforslag Øving 9 7.3.b Med f() = tan +, så er f () = cos () på intervallet ( π/, π/).

Detaljer

Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema

Detaljer

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er

Detaljer

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.

Detaljer

NTNU Institutt for matematiske fag. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 8. Oppgave 1. Oppgave 2

NTNU Institutt for matematiske fag. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 8. Oppgave 1. Oppgave 2 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 8 Oppgave b. Vi har at f() > og f(π/) π /6

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT, høsten 206 Innleveringsfrist: Mandag 2. november 206, kl. 4, i Infosenterskranken i inngangsetasjen

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

Volum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Volum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Volum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 4. oktober 011 Kapittel 6.. Volum ved sylindriske skall 3 Skall-metoden z = g(x) 1 1 1 1 3 1 1 3 z

Detaljer

1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = 100. y(1+2 x ) = = 2 x = y. xln2 = ln 100 y. x = 1 ln2 ln. f 1 (x) = 1 ln2 ln x

1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = 100. y(1+2 x ) = = 2 x = y. xln2 = ln 100 y. x = 1 ln2 ln. f 1 (x) = 1 ln2 ln x NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere y f(x) 00 +2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y 00 +2 x y(+2 x ) 00 2 x 00 00 y y

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8 Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)

Detaljer

9 + 4 (kan bli endringer)

9 + 4 (kan bli endringer) Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Onsdag 29. april 25 Antall oppgaver: 9 + 4 (kan bli endringer) Finn de ubestemte integralene a) 2x 3 4/x dx b) c) 2 5

Detaljer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2010

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2010 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 200 2 Funksjon som en maskin x Funksjon f f(x) 3 Definisjon- og verdimengde x f(x) 4 Funksjon som en

Detaljer

Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul Mai Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24.

Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul Mai Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24. Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul 24. Mai 203 Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24. mai 203 EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 5 studiepoeng

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA Matematikk Høst Løsningsforslag Øving Review Exercise 6, side 86 Vi lar fx sin x. Taylor-polynomet av grad 6 til f om x

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3 Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA400 Matematikk, høst 203 Forelesning 2 www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2 Transcendentale funksjoner I dagens forelesning skal vi se på følgende: Den naturlige logaritmen. 2 Eksponensialfunksjoner.

Detaljer

= x lim n n 2 + 2n + 4

= x lim n n 2 + 2n + 4 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten

Detaljer

Forelesning Matematikk 4N

Forelesning Matematikk 4N Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. september 2006 2 Den høyrederiverte og venstrederiverte Definisjon Den høyrederiverte til en funksjon f(x) i punktet x er

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

Matematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag

Matematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag Matematikk 1 Oversiktsforelesning Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag November 25, 2009 LS (IMF) tma4100rep November 25, 2009 1 / 21 Matematikk 1 Hovedperson Relle funksjoner

Detaljer

Areal - difflikninger - arbeid Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Areal - difflikninger - arbeid Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Areal - difflikninger - arbeid Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 7. oktober 2011 Kapittel 6.4. Areal til omdreiningslegemer 3 Overflate-areal av en rotasjonsflate

Detaljer

1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii)

1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii) 1 MAT1 Obligatorisk innlevering 1 1 Regn ut 3 7 + 1 2. i) 13 14 ii) 11 14 iii) 9 14 2 Regn ut 8 9 + 3 4. i) 57 36 ii) 59 36 iii) 61 36 3 Regn ut 1 4 + 1 8. i) 3 16 ii) 3 8 iii) 5 8 4 Regn ut 1 8 + 1 16.

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 2. september 2010 2 Fremdriftplan I går 3.6 Implisitt derivasjon 3.7 Derivasjon

Detaljer

Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. august 2010 Induksjon Pensumlitteratur: Notat 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger.

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)

Detaljer

MAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430

MAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430 MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bokmål Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 17. desember 2007, kl. 09-14. Oppgave 1 Gitt f(x) = x + x 2 1, 1 x 1. a) Finn og

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 20 2 Stigende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis

Detaljer

Eksamen REA3024 Matematikk R2

Eksamen REA3024 Matematikk R2 Eksamen 03.1.009 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:

Detaljer

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1 EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) e 2x + x 2 ( e 2x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x

Høgskolen i Oslo og Akershus. = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) e 2x + x 2 ( e 2x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x Oppgåve a) i) ii) f(x) x e x f (x) ( x ) e x + x ( e x) xe x + x e x (x) xe x + x e x xe x ( + x) g(x) ln(sin x) + x g (x) sin x (sin x) + x cos x sin x + x tan x + x b) i) ( x + ) dx x x dx+ x dx x +

Detaljer

1 Mandag 1. februar 2010

1 Mandag 1. februar 2010 Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon

Detaljer

Grenser III - rasjonale funskjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Grenser III - rasjonale funskjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Grenser III - rasjonale funskjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 24. august 2010 2 Grenselover for x ± L = lim f(x) M = lim g(x) 1. lim (f(x) ± g(x))

Detaljer

Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 21. oktober 2011 Kapittel 7.4. Delbrøksoppspalting og Integrasjon av rasjonale funksjoner 3 Integrasjon av

Detaljer

Integraler. John Rognes. 15. mars 2011

Integraler. John Rognes. 15. mars 2011 15. mars 2011 forener geometrisk målbare områder Ω og skalarfelt f : Ω R definert på disse områdene. Vi danner produktet f (Ω) Ω av verdien f (Ω) av funksjonen og størrelsen Ω av området. Mer presist deler

Detaljer

Løsningsforslag, Øving 10 MA0001 Brukerkurs i Matematikk A

Løsningsforslag, Øving 10 MA0001 Brukerkurs i Matematikk A Løsningsforslag, Øving MA Brukerkurs i Matematikk A Læreboka s. 9-95 8. Anta at en endring i biomasse B(t) vei, t [, ], følger ligningen for t. d B(t) = cos ( ) πt 6 (a) Tegn grafen til d B(t) som funksjon

Detaljer

LYØSINGSFORSLAG Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i matematikk I onsdag 18. mai 2011 kl. 09:00-14: i( 3 + 1) = i + i + 1

LYØSINGSFORSLAG Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i matematikk I onsdag 18. mai 2011 kl. 09:00-14: i( 3 + 1) = i + i + 1 LYØSINGSFORSLAG Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i matematikk I onsdag 18. mai 011 kl. 09:00-1:00 NYNORSK OPPGAVE 1 Gitt dei komplekse tala z = 3 + i, w = 1 + i a Rekn ut (skriv på forma a + bi (i z + 3w,

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, øst 2013 Forelesning 7 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7 Derivasjon Denne uken skal vi begynne på tema 2 om derivasjon. I dagens forelesning skal vi se på

Detaljer

e x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2

e x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.

Detaljer

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:

Detaljer

I = (x 2 2x)e kx dx. U dv = UV V du. = x 1 1. k ekx x 1 ) = x k ekx 2x dx. = x2 k ekx 2 k. k ekx 2 k I 2. k ekx 2 k 1

I = (x 2 2x)e kx dx. U dv = UV V du. = x 1 1. k ekx x 1 ) = x k ekx 2x dx. = x2 k ekx 2 k. k ekx 2 k I 2. k ekx 2 k 1 TMA4 Høst 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 6..4 Vi skal evaluere det ubestemte integralet I = ( e k. Vi starter med å dele opp integralet

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: Torsdag 10 januar 2008 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 6

Detaljer

Forelesning Matematikk 4N

Forelesning Matematikk 4N Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. september 2006 2 Komplekse fourier rekker (10.5) Målet med denne leksjonen er vise hvordan man skrive fourier rekkene på kompleks

Detaljer

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning

Detaljer

Flere anvendelser av derivasjon

Flere anvendelser av derivasjon Flere anvendelser av derivasjon Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 30, 2014 Forelesning 17.09.2014 Fikspunkt-iterasjon Newtons metode Metoder for å finne nullpunkter av funksjoner:

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 24 Løsningsforslag Øving 9 4.3.4 Vi bruker Taylor-polynom til å løse denne oppgaven. Taylor-polynomet (Maclaurinpolynomet)

Detaljer

a) Ved numerisk metode er det løst en differensiallikning av et objekt som faller mot jorden. Da, kan vi vi finne en tilnærming av akselerasjonen.

a) Ved numerisk metode er det løst en differensiallikning av et objekt som faller mot jorden. Da, kan vi vi finne en tilnærming av akselerasjonen. Oppgave 1 a) Ved numerisk metode er det løst en differensiallikning av et objekt som faller mot jorden. Da verdier av er kjent gjennom resultater i form av,, kan vi vi finne en tilnærming av akselerasjonen.

Detaljer

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag Onsdag 9. mai, kl. 9. 4. Bokmål Oppgave a) La R være området mellom kurvene Finn

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 016 Løsningsforslag Øving 1 Kapittel 7.1: Substitusjon Teorem 1. Hvis u = g() så er f(g())g

Detaljer

MAT jan jan feb MAT Våren 2010

MAT jan jan feb MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis

Detaljer

Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(

Detaljer

Løsningsforslag eksamen R2

Løsningsforslag eksamen R2 Løsningsforslag eksamen R Vår 010 Oppgave 1 a) f (x) = x cos(3x) f (x) = x cos(3x) + x ( sin(3x) 3) = x cos(3x) 3x sin(3x) b) 1. Bruker delvis integrasjon med u = 5x og v = 1 ex slik at u = 5 og v = e

Detaljer

IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer Utsatt Eksamen 8. juni 212 Eksamenstid 4 timer IR1185 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del 2 uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for

Detaljer

Stigende og avtagende funksjoner Definisjon. Horisontal og vertikal forskyvning. Trigonometriske funksjoner

Stigende og avtagende funksjoner Definisjon. Horisontal og vertikal forskyvning. Trigonometriske funksjoner Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA00 Hans Jako Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 0 Stigende og avtagende funksjoner En funksjon f kalles stigende på intervallet I vis f (x ) < f (x )

Detaljer

Matematikk 1000. Eksamensaktuelle numerikk-oppgåver

Matematikk 1000. Eksamensaktuelle numerikk-oppgåver Matematikk 1000 Eksamensaktuelle numerikk-oppgåver Som kj er numeriske metodar ein sentral del av dette kurset. Dette vil også sette preg på eksamen. Men vi kjem ikkje til å bruke datamaskin på sjølve

Detaljer

y = x y, y 2 x 2 = c,

y = x y, y 2 x 2 = c, TMA415 Matematikk Vår 17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013 BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )

Detaljer

Del 1. 3) Øker eller minker den momentane veksthastigheten når x = 1? ( )

Del 1. 3) Øker eller minker den momentane veksthastigheten når x = 1? ( ) Del Oppgave a) Deriver funksjonen f( x) = x cos( x) b) Deriver funksjonen ( ) ( 4 x f x = e + ) c) Gitt funksjonen f( x) = x 4x + x+ ) Ligger grafen over eller under x-aksen når x =? ) Stiger eller synker

Detaljer

Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksamen 30..00 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Framgangsmåte: 5 timer: Del skal leveres inn etter timer. Del skal

Detaljer

(t) = [ 2 cos t, 2 sin t, 0] = 4. Da z = 2(1 + t) blir kurva C en helix/ei skruelinje på denne flata (se fig side 392).

(t) = [ 2 cos t, 2 sin t, 0] = 4. Da z = 2(1 + t) blir kurva C en helix/ei skruelinje på denne flata (se fig side 392). Ma - Løsningsforslag til uke 5 i 7 Eks. mai 994 oppgave Romkurva er parametrisert for t [, π] ved r (t) = [ + cos t, + sin t, + t ] Hastighets- og akselerasjonsvektorene blir v = r (t) = [ sin t, cos t,

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111 Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse

Detaljer

Matematikk 1000, 2012/2013. Eksamensaktuelle numerikk-oppgåver

Matematikk 1000, 2012/2013. Eksamensaktuelle numerikk-oppgåver Matematikk 1, 1/13 Eksamensaktuelle numerikk-oppgåver Oppgåve 1 Skript-jeopardy a) Vi ser at skriptet inneheld ei for-løkke der variabelen n tar verdiane 1,,..., 1. For kvar gong blir n 3 lagt til variabelen

Detaljer

Eksamensoppgave i MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG

Eksamensoppgave i MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA/MA6 Grunnkurs i analyse I. LØSNINGSFORSLAG Faglig kontakt under eksamen: John Erik Fornæss /Kari Hag Tlf: 464944/483988 Eksamensdato: 8. desember 5 Eksamenstid

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA656 16.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for eksamen i matematikke 3MX er gratis, og

Detaljer

Den deriverte og derivasjonsregler

Den deriverte og derivasjonsregler Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)

Detaljer