Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
|
|
- Vidar Arnesen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. september 2011
2 Kapittel 4.7. Newtons metode
3 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av x 3 3x 1 = 0 er ikke særlig brukelig
4 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av x 3 3x 1 = 0 er ikke særlig brukelig og heller ikke forståelig.
5 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av x 3 3x 1 = 0 er ikke særlig brukelig og heller ikke forståelig. x 1 = 1 2 x 2 = 1 4 x 3 = i i i i i i i i 3 ( 1 2 ( i i i i 3 ) )
6 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av x 3 3x 1 = 0 er ikke særlig brukelig og heller ikke forståelig. x 1 = 1 2 x 2 = 1 4 x 3 = i i i i i i i i 3 ( 1 2 ( i i i i 3 ) )
7 4 Newtons metode Newtons metode er en iterativ metode for å løse likninger på formen f(x) = 0 Eksempel: x 3 3x 1 =
8 5 Tilnærmings skjema (Newtons metode) Vi velger å finne tilnærmet løsning av f(x) = 0: 1 Først gjetter vi på en løsning x 1
9 5 Tilnærmings skjema (Newtons metode) Vi velger å finne tilnærmet løsning av f(x) = 0: 1 Først gjetter vi på en løsning x 1 2 Så finner vi lineariseringen av f(x) i x = x 1 : L(x) = f(x 1 ) + f (x 1 )(x x 1 )
10 5 Tilnærmings skjema (Newtons metode) Vi velger å finne tilnærmet løsning av f(x) = 0: 1 Først gjetter vi på en løsning x 1 2 Så finner vi lineariseringen av f(x) i x = x 1 : L(x) = f(x 1 ) + f (x 1 )(x x 1 ) 3 Vi løser L(x) = 0 og kaller løsningen x 2 : x 2 = x 1 f(x 1) f (x 1 )
11 5 Tilnærmings skjema (Newtons metode) Vi velger å finne tilnærmet løsning av f(x) = 0: 1 Først gjetter vi på en løsning x 1 2 Så finner vi lineariseringen av f(x) i x = x 1 : L(x) = f(x 1 ) + f (x 1 )(x x 1 ) 3 Vi løser L(x) = 0 og kaller løsningen x 2 : x 2 = x 1 f(x 1) f (x 1 ) 4 Vi fortsetter med punkt 2 og 3 inntil vi er fornøyde.
12 6 Newtons iterasjonsformel Newtons iterasjonsformel for å løse f(x) = 0 er gitt ved x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Newtons iterasjons-prosess er
13 6 Newtons iterasjonsformel Newtons iterasjonsformel for å løse f(x) = 0 er gitt ved x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Newtons iterasjons-prosess er 1 Velg x 1 x 1
14 6 Newtons iterasjonsformel Newtons iterasjonsformel for å løse f(x) = 0 er gitt ved x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Newtons iterasjons-prosess er 1 Velg x 1 2 x 2 = x 1 f(x 1) f (x 1 ) x 2 x 1
15 6 Newtons iterasjonsformel Newtons iterasjonsformel for å løse f(x) = 0 er gitt ved x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Newtons iterasjons-prosess er 1 Velg x 1 2 x 2 = x 1 f(x 1) f (x 1 ) 3 x 3 = x 2 f(x 2) f (x 2 ) x 3 x 2 x 1
16 6 Newtons iterasjonsformel Newtons iterasjonsformel for å løse f(x) = 0 er gitt ved x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Newtons iterasjons-prosess er 1 Velg x 1 2 x 2 = x 1 f(x 1) f (x 1 ) 3 x 3 = x 2 f(x 2) f (x 2 ) 4 x 4 = x 3 f(x 3) f (x 3 ) x 4 x 3 x 2 x 1
17 6 Newtons iterasjonsformel Newtons iterasjonsformel for å løse f(x) = 0 er gitt ved x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Newtons iterasjons-prosess er 1 Velg x 1 2 x 2 = x 1 f(x 1) f (x 1 ) 3 x 3 = x 2 f(x 2) f (x 2 ) 4 x 4 = x 3 f(x 3) f (x 3 ) 5 x 5 = x 4 f(x 4) f (x 4 ) x 4 x 3 x 2 x 1
18 6 Newtons iterasjonsformel Newtons iterasjonsformel for å løse f(x) = 0 er gitt ved x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Newtons iterasjons-prosess er 1 Velg x 1 2 x 2 = x 1 f(x 1) f (x 1 ) 3 x 3 = x 2 f(x 2) f (x 2 ) 4 x 4 = x 3 f(x 3) f (x 3 ) 5 x 5 = x 4 f(x 4) f (x 4 ) x 4 x 3 x 2 x 1 6.
19 7 Det gyldene snitt Eksempel Det gyldene snitt φ er den største løsningen av x 2 x 1 = 0 Bruk newtons metode for å finne φ.
20 7 Det gyldene snitt Eksempel Det gyldene snitt φ er den største løsningen av x 2 x 1 = 0 Bruk newtons metode for å finne φ. Newtons iterasjnsformel: x n+1 = x n x 2 n x n 1 2x n 1 = x 2 n + 1 2x n 1
21 7 Det gyldene snitt Eksempel Det gyldene snitt φ er den største løsningen av x 2 x 1 = 0 Bruk newtons metode for å finne φ. Newtons iterasjnsformel: x n+1 = x n x n 2 x n 1 2x n 1 Gjetter x 1 = 2. = x 2 n + 1 2x n 1
22 7 Det gyldene snitt Eksempel Det gyldene snitt φ er den største løsningen av x 2 x 1 = 0 Bruk newtons metode for å finne φ. Newtons iterasjnsformel: x n+1 = x n x n 2 x n 1 2x n 1 Gjetter x 1 = 2. x 2 = x x 1 1 = 1, = x 2 n + 1 2x n 1
23 7 Det gyldene snitt Eksempel Det gyldene snitt φ er den største løsningen av x 2 x 1 = 0 Bruk newtons metode for å finne φ. Newtons iterasjnsformel: x n+1 = x n x n 2 x n 1 2x n 1 Gjetter x 1 = 2. x 2 = x x 1 1 = 1, x 3 = x x 2 1 = 1, = x 2 n + 1 2x n 1
24 7 Det gyldene snitt Eksempel Det gyldene snitt φ er den største løsningen av x 2 x 1 = 0 Bruk newtons metode for å finne φ. Newtons iterasjnsformel: x n+1 = x n x n 2 x n 1 2x n 1 Gjetter x 1 = 2. x 2 = x x 1 1 = 1, x 3 = x x 2 1 = 1, x 4 = x x 3 1 = 1, = x 2 n + 1 2x n 1
25 7 Det gyldene snitt Eksempel Det gyldene snitt φ er den største løsningen av x 2 x 1 = 0 Bruk newtons metode for å finne φ. Newtons iterasjnsformel: x n+1 = x n x n 2 x n 1 2x n 1 Gjetter x 1 = 2. x 2 = x x 1 1 = 1, x 3 = x x 2 1 = 1, x 4 = x x 3 1 = 1, x 5 = x x 4 1 = 1, = x 2 n + 1 2x n 1
26 7 Det gyldene snitt Eksempel Det gyldene snitt φ er den største løsningen av x 2 x 1 = 0 Bruk newtons metode for å finne φ. Newtons iterasjnsformel: x n+1 = x n x n 2 x n 1 2x n 1 Gjetter x 1 = 2. x 2 = x x 1 1 = 1, x 3 = x x 2 1 = 1, x 4 = x x 3 1 = 1, x 5 = x x 4 1 = 1, x 6 = x x 5 1 = 1, = x 2 n + 1 2x n 1
27 Kapittel 4.8. Antideriverte
28 9 Antideriverte Definisjon (Antiderivert) Funksjonen F(x) kalles for en antiderivert av f(x) på intervallet I hvis F (x) = f(x) for alle x i intervallet I.
29 9 Antideriverte Definisjon (Antiderivert) Funksjonen F(x) kalles for en antiderivert av f(x) på intervallet I hvis F (x) = f(x) for alle x i intervallet I. Teorem Hvis F(x) er en antiderivert av f(x) på intervallet I så vil alle antideriverte av f(x) på intervallet I være F(x) + C
30 10 Tabell over noen antideriverte Funkjson f(x) Antiderivert F(x) 1 0. f(k x) k F(k x) + C 1. x n 1 n+1 x n+1, n 1 + C 2. cos x sin x + C 3. sin x cos x + C 4. 1/cos 2 x tan x + C 5. 1/x ln x + C, x 0 6. e x e x + C 7. 1/ 1 x 2 sin 1 x + C, x < /(1 + x 2 ) tan 1 x + C 9. 1/( x x 2 1) sec 1 x + C, x > 1
31 11 Linearitet Regel (Linearitet) Funkjson f(x) Antiderivert F(x) 1. Konstant multippel k f(x) k F(x) + C 2. Sum f(x) ± g(x) F(x) ± G(x) + C
32 11 Linearitet Regel (Linearitet) Funkjson f(x) Antiderivert F(x) 1. Konstant multippel k f(x) k F(x) + C 2. Sum f(x) ± g(x) F(x) ± G(x) + C Eksempel Finn den antideriverte til f(x) = 3e 2x 1 2 cos x
33 12 Eksempel på løsning av enkel differensiallikning Problem Finn y = f(x) slik at dy dx = x 2, y(0) = 1.
34 13 Antideriverte og differensiallikninger Setning Hver løsning definert på et intervall I av differensiallikningen dy = f(x) er en antiderivert av f(x). dx Dvs y = F(x) + C er generell løsning av y = f(x). Eksempel
35 13 Antideriverte og differensiallikninger Setning Hver løsning definert på et intervall I av differensiallikningen dy = f(x) er en antiderivert av f(x). dx Dvs y = F(x) + C er generell løsning av y = f(x). Eksempel y = sin 1 x + C, x < 1 utgjør alle løsningene av differensiallikningen dy dx = 1 1 x 2
36 14 Anvendelse Problem Ca 50 meter fra bakken står Galileo Galilei i det skjeve tårn i Pisa og slipper to kanonkuler. De treffer bakken samtidig, men etter hvor mange sekunder?
37 15 Anvendelse Løsning Problem Ca 50 meter fra bakken står Galileo Galilei i det skjeve tårn i Pisa og slipper to kanonkuler. De treffer bakken samtidig, men etter hvor mange sekunder? Tyngdens akselerasjon er g = 9,81 m/s 2.
38 15 Anvendelse Løsning Problem Ca 50 meter fra bakken står Galileo Galilei i det skjeve tårn i Pisa og slipper to kanonkuler. De treffer bakken samtidig, men etter hvor mange sekunder? Tyngdens akselerasjon er g = 9,81 m/s 2. Den deriverte av farten er v = g.
39 15 Anvendelse Løsning Problem Ca 50 meter fra bakken står Galileo Galilei i det skjeve tårn i Pisa og slipper to kanonkuler. De treffer bakken samtidig, men etter hvor mange sekunder? Tyngdens akselerasjon er g = 9,81 m/s 2. Den deriverte av farten er v = g. v(t) er en antiderivert av v (t) = g: v = g t + C, v(0) = 0 gir C = 0.
40 15 Anvendelse Løsning Problem Ca 50 meter fra bakken står Galileo Galilei i det skjeve tårn i Pisa og slipper to kanonkuler. De treffer bakken samtidig, men etter hvor mange sekunder? Tyngdens akselerasjon er g = 9,81 m/s 2. Den deriverte av farten er v = g. v(t) er en antiderivert av v (t) = g: v = g t + C, v(0) = 0 gir C = 0. Fart er den deriverte av strekning: v(t) = s (t).
41 15 Anvendelse Løsning Problem Ca 50 meter fra bakken står Galileo Galilei i det skjeve tårn i Pisa og slipper to kanonkuler. De treffer bakken samtidig, men etter hvor mange sekunder? Tyngdens akselerasjon er g = 9,81 m/s 2. Den deriverte av farten er v = g. v(t) er en antiderivert av v (t) = g: v = g t + C, v(0) = 0 gir C = 0. Fart er den deriverte av strekning: v(t) = s (t). s(t) er en antiderivert av s (t) = v(t): s = 1 2 g t2 + C, s(0) = 0 gir C = 0.
42 15 Anvendelse Løsning Problem Ca 50 meter fra bakken står Galileo Galilei i det skjeve tårn i Pisa og slipper to kanonkuler. De treffer bakken samtidig, men etter hvor mange sekunder? Tyngdens akselerasjon er g = 9,81 m/s 2. Den deriverte av farten er v = g. v(t) er en antiderivert av v (t) = g: v = g t + C, v(0) = 0 gir C = 0. Fart er den deriverte av strekning: v(t) = s (t). s(t) er en antiderivert av s (t) = v(t): s = 1 2 g t2 + C, s(0) = 0 gir C = 0. Den inverse av s(t) = 1 2 g t2 er t(s) = 2s g.
43 15 Anvendelse Løsning Problem Tyngdens akselerasjon er g = 9,81 m/s 2. Den deriverte av farten er v = g. v(t) er en antiderivert av v (t) = g: v = g t + C, v(0) = 0 gir C = 0. Fart er den deriverte av strekning: v(t) = s (t). s(t) er en antiderivert av s (t) = v(t): s = 1 2 g t2 + C, s(0) = 0 gir C = 0. Den inverse av s(t) = 1 2 g t2 er t(s) = 2s g. Regner ut t(50) = ,81 Ca 50 meter fra bakken står Galileo Galilei i det skjeve tårn i Pisa og slipper to kanonkuler. De treffer bakken samtidig, men etter hvor mange sekunder? 3,2 sekunder.
44 16 Ubestemt integral Definisjon La F(x) være den antideriverte av f(x). Da kaller vi også F(x) for det ubestemte integralet av f(x): F(x) = f(x) dx Notasjonen F(x) = f(x) dx består av integraltegn, integrand og integrasjonsvariabel.
45 16 Ubestemt integral Definisjon La F(x) være den antideriverte av f(x). Da kaller vi også F(x) for det ubestemte integralet av f(x): F(x) = f(x) dx Notasjonen F(x) = f(x) dx består av integraltegn, integrand og integrasjonsvariabel.
46 16 Ubestemt integral Definisjon La F(x) være den antideriverte av f(x). Da kaller vi også F(x) for det ubestemte integralet av f(x): F(x) = f(x) dx Notasjonen F(x) = f(x) dx består av integraltegn, integrand og integrasjonsvariabel.
47 16 Ubestemt integral Definisjon La F(x) være den antideriverte av f(x). Da kaller vi også F(x) for det ubestemte integralet av f(x): F(x) = f(x) dx Notasjonen F(x) = f(x) d x består av integraltegn, integrand og integrasjonsvariabel.
48 17 Eksempler på ubestemt integral Eksempel e x dx =? (x 2 x + 1) dx =? ( ) 1 x + cos x dx =?
49 Kapittel 5.1. Estimering med endelige summer
50 19 Arealtilnærming Problem Vi ønsker å finne arealet til et område
51 19 Arealtilnærming Problem Vi ønsker å finne arealet til et område. Vi kan finne arealet til området ved å dele området inn i små firkanter og telle opp firkantene
52 19 Arealtilnærming Problem Vi ønsker å finne arealet til et område. Vi kan finne arealet til området ved å dele området inn i små firkanter og telle opp firkantene
53 19 Arealtilnærming Problem Vi ønsker å finne arealet til et område. Vi kan finne arealet til området ved å dele området inn i små firkanter og telle opp firkantene Nøyaktigheten avhenger av antall firkanter.
54 20 Areal Arealet av et rektangel med bredde b og høyde h er lik A = b h. h b
55 20 Areal Arealet av et rektangel med bredde b og høyde h er lik A = b h. h b
56 20 Areal Arealet av et rektangel med bredde b og høyde h er lik A = b h. h Arealet er lik 4 2 = 8. b
57 21 Arealer av sammensatte områder. Setning Arealet av ikke-overlappende sammensatte områder er lik summen av arealet av hvert av områdene. A 1 A 2 A = A 1 + A 2
58 22 Eksempel Finn arealet av 10 firkanter hver med bredde 1 og der høyden er 1, 2, 3, etc:
59 22 Eksempel Finn arealet av 10 firkanter hver med bredde 1 og der høyden er 1, 2, 3, etc: Arealet er
60 22 Eksempel Finn arealet av 10 firkanter hver med bredde 1 og der høyden er 1, 2, 3, etc: Arealet er = 55.
61 Problem Finn arealet av området under en kurve y y = f(x) a b x
62 Problem Finn arealet av området under en kurve y y = f(x) a b x
63 Problem Finn arealet av området under en kurve y y = f(x) a b x
64 Problem Finn arealet av området under en kurve y y = f(x) a x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b x Areal 8 i=1 b a 8 f(x i ) Samplingspunkter
65 Problem Finn arealet av området under en kurve y y = f(x) a b x Areal 16 i=1 b a 16 f(x i )
66 Problem Finn arealet av området under en kurve y y = f(x) a b x Areal 32 i=1 b a 32 f(x i )
67 Problem Finn arealet av området under en kurve y y = f(x) a b x Areal 64 i=1 b a 64 f(x i )
68 24 Tilbakelagt strekning - problemer Problem Strekning = fart tid Vi ønsker å estimere tilbakelagt strekning når vi kjenner farten ved noen tidspunkter. Tid, s Fart, m/s t 1 = 0 v 1 = 2,4 2,0 2,6 3,0 3,5 5,0 4,6 6,0 5,3 8,0 5,
69 24 Tilbakelagt strekning - problemer Problem Strekning = fart tid Vi ønsker å estimere tilbakelagt strekning når vi kjenner farten ved noen tidspunkter. Tid, s Fart, m/s t 1 = 0 v 1 = 2,4 2,0 2,6 3,0 3,5 5,0 4,6 6,0 5,3 8,0 5, t 1 t 2 t 3 t 4 t
70 24 Tilbakelagt strekning - problemer Problem Strekning = fart tid Vi ønsker å estimere tilbakelagt strekning når vi kjenner farten ved noen tidspunkter. Tid, s Fart, m/s t 1 = 0 v 1 = 2,4 2,0 2,6 3,0 3,5 5,0 4,6 6,0 5,3 8,0 5, t 1 t 2 t 3 t 4 t
71 24 Tilbakelagt strekning - problemer Problem Strekning = fart tid Vi ønsker å estimere tilbakelagt strekning når vi kjenner farten ved noen tidspunkter. Tid, s Fart, m/s t 1 = 0 v 1 = 2,4 2,0 2,6 3,0 3,5 5,0 4,6 6,0 5,3 8,0 5, t 1 t 2 t 3 t 4 t
72 Tilbakelagt strekning beregnet ved å bruke venstre endepunkt regel 5 i=1 v i t i = 2, , , , ,3 2 = 29,6. Tilbakelagt strekning beregnet ved å bruke høyre endepunkt regel 5 i=1 v i+1 t i = 2, , , , ,1 2 = 33,3.
73 Tilbakelagt strekning beregnet ved å bruke venstre endepunkt regel 5 i=1 v i t i = 2, , , , ,3 2 = 29,6. Tilbakelagt strekning beregnet ved å bruke høyre endepunkt regel 5 i=1 v i+1 t i = 2, , , , ,1 2 = 33,3.
74 Kapittel 5.2. Sigma-notasjonen og Riemannsummer
75 28 Summenotasjon Definisjon Med n i=1 a i mener vi summen a 1 + a 2 + a a n 1 + a n
76 28 Summenotasjon Definisjon Med n i=1 a i mener vi summen a 1 + a 2 + a a n 1 + a n Eksempel For eksempel er 10 i=1 i
77 28 Summenotasjon Definisjon Med n i=1 a i mener vi summen a 1 + a 2 + a a n 1 + a n Eksempel For eksempel er 10 i=1 i = = 55
78 29 Summenotasjon Vi trenger ikke la i starte med 1
79 29 Summenotasjon Vi trenger ikke la i starte med 1 Eksempel For eksempel er 10 i 2 i=5
80 29 Summenotasjon Vi trenger ikke la i starte med 1 Eksempel For eksempel er 10 i=5 i 2 = = 355
81 30 Regneregler for summer 1 n n (a k ± b k ) = a k ± n k=1 k=1 k=1 b k
82 30 Regneregler for summer 1 2 n n (a k ± b k ) = a k ± k=1 n c a k = c n k=1 k=1 k=1 a k n k=1 b k
83 30 Regneregler for summer n n (a k ± b k ) = a k ± k=1 n c a k = c k=1 n c = n c k=1 n k=1 k=1 a k n k=1 b k
84 Definisjon ( Riemann -sum) La f(x) være en funksjon definert på [a, b] a b
85 Definisjon ( Riemann -sum) La f(x) være en funksjon definert på [a, b] [a, b] oppdelt i n intervaller av lengde x = b a n. a x b
86 Definisjon ( Riemann -sum) La f(x) være en funksjon definert på [a, b] [a, b] oppdelt i n intervaller av lengde x = b a n. Ett samplingspunkt i hvert delintervall: x 1, x 2, x 3,...,x n a x b
87 Definisjon ( Riemann -sum) La f(x) være en funksjon definert på [a, b] [a, b] oppdelt i n intervaller av lengde x = b a n. Ett samplingspunkt i hvert delintervall: x 1, x 2, x 3,...,x n a x Summen R n = kalles for en Riemann-sum. n i=1 f(x i ) x b
88 Kapittel 5.3. Bestemt integral
89 Definisjon (Bestemt Integral) La f(x) være en funksjon definert på [a, b]
90 Definisjon (Bestemt Integral) La f(x) være en funksjon definert på [a, b] og la R n = n i=1 f(x i ) x
91 Definisjon (Bestemt Integral) La f(x) være en funksjon definert på [a, b] og la R n = n i=1 f(x i ) x Da er integralet av f(x) på intervallet [a, b] b a f(x) dx = lim n R n
92 34 Direkte utregning av integralet Eksempel Finn det bestemte integralet b a c dx
93 Eksempel Finn det bestemte integralet n Du vil få bruk for k = k=1 2 0 n(n + 1) 2 x dx
94 36 Direkte utregning av integralet Eksempel Finn det bestemte integralet n Du vil få bruk for k 2 = k=1 1 0 x 2 dx n(n + 1)(2n + 1) 6
95 37 Midtpunktsregelen. Midtpunktsregelen er en metode for å estimere et bestemt integral. b a f(x) dx n f( x i ) x i=1 x i er midtpunktet til [x i 1, x i ].
96 37 Midtpunktsregelen. Midtpunktsregelen er en metode for å estimere et bestemt integral. b a f(x) dx n f( x i ) x i=1 x i er midtpunktet til [x i 1, x i ]. Eksempel (Midtpunktsregelen med n = 4) Bruk midtpunktsregelen med n = 4 til å estimere x dx.
97 37 Midtpunktsregelen. Midtpunktsregelen er en metode for å estimere et bestemt integral. b a f(x) dx n f( x i ) x i=1 x i er midtpunktet til [x i 1, x i ]. Eksempel (Midtpunktsregelen med n = 4) Bruk midtpunktsregelen med n = 4 til å estimere x dx. Løsning: x 1 = 9/8, x 2 = 11/8, x 3 = 13/8, x 4 = 15/8 og x = x dx x 1 x + x 2 x + x 3 x + x 4 x = = 0,
98 38 Egenskaper til bestemt integral Setning 1 b a c dx = c (b a). når c er en konstant
99 38 Egenskaper til bestemt integral Setning 1 2 b a c dx = c (b a). når c er en konstant b a (f(x) ± g(x)) dx = b a f(x) dx ± b a g(x) dx
100 38 Egenskaper til bestemt integral Setning b a c dx = c (b a). når c er en konstant b a (f(x) ± g(x)) dx = b a f(x) dx ± b a g(x) dx b a c f(x) dx = c b a f(x) dx, når c er konstant.
101 38 Egenskaper til bestemt integral Setning b a c dx = c (b a). når c er en konstant b a (f(x) ± g(x)) dx = b a f(x) dx ± b a g(x) dx b a c f(x) dx = c b a f(x) dx, når c er konstant. c a f(x) dx + b c f(x) dx = b a f(x) dx
102 39 Definisjoner Definisjon a b b f(x) dx = a a a f(x) dx = 0 f(x) dx
103 40 Sammenliknings-egenskaper Setning 1 Hvis f(x) 0 på [a, b] så er b a f(x) dx 0.
104 40 Sammenliknings-egenskaper Setning 1 Hvis f(x) 0 på [a, b] så er b a f(x) dx 0. 2 Hvis f(x) g(x) på [a, b] så er b a f(x) dx b a g(x) dx.
105 40 Sammenliknings-egenskaper Setning 1 Hvis f(x) 0 på [a, b] så er b a f(x) dx 0. 2 Hvis f(x) g(x) på [a, b] så er b a f(x) dx b a g(x) dx. 3 Hvis m f(x) M på [a, b] så er. m(b a) b a f(x) dx M(b a)
Kapittel 4.7. Newtons metode. Kapittel 4.8.
Ekskt løsning Newtons metode - Integrsjon Forelesning i Mtemtikk TMA00 Hns Jko Rivertz Institutt for mtemtiske fg 0. septemer 0 Kpittel.7. Newtons metode Den ekskte løsningen v x x = 0er ikke særlig rukelig
DetaljerDerivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner
Detaljerx 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 n x 1 n x 2 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 2012 Løsningsforslag - Øving 4 Avsnitt 47 3 La f(x) = x 4 +x 3 med f (x) = 4x 3 +1 Med x 0 = 1 får ein med Newtons metode at Med x 0 = 1 får
Detaljerx 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving 4 Avsnitt 47 3 La f(x) = x 4 +x 3 med f (x) = 4x 3 +1 Med x 0 = 1 får ein med Newtons metode at Med x 0 = 1 får
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 10 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 10 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Antideriverte. 2 Differensiallikninger
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker 3 i 3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 3 i Løs likningen
DetaljerFørste og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 13. september 2011 Kapittel 4.3. Monotone funksjoner og førstederivasjons-testen
Detaljerarbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. oktober 2011 Kapittel 6.6. Arbeid 3 Arbeid definisjon Definisjon (Arbeid
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 4 Løsningsforslag Øving 5.7.4 Vi observerer at både y = cos πx 4 og y = x er like funksjoner. Det vil si
DetaljerKonvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.6. Alternerende rekker Absolutt og betinget konvergens 3 Alternerende rekker
DetaljerDerivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner)
DetaljerIntegrasjon Fundamentalteoremet Substitusjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Integrsjon Fundmentlteoremet Substitusjon Forelesning i Mtemtikk 1 TMA4100 Hns Jkob Rivertz Institutt for mtemtiske fg 23. september 2011 2 Mtemtisk induksjon Alle elefnter er ros! Vil bevise P n Alle
DetaljerMAT jan jan jan MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive
DetaljerAreal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 27. september 20 Kapittel 5.6. Substitusjon og arealet mellom kurver 3 Areal mellom kurver Problem
DetaljerLøsningsforslag. Prøve i Matematikk 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 29. mai 2017 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Oppgave 1 Gitt matrisene.
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 29. mai 27 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 B = [ 2 3 4 ] og C = Regn ut, om mulig, summene A + B, A + B T og A +
DetaljerTMA4100 Matematikk1 Høst 2009
TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet
DetaljerKonvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.3. Integrasjonstesten 3 Ikke-avtagende delsummer Husker at n-te delsum av
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For
DetaljerTMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven
TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.
Detaljerx n+1 = x n f(x n) f (x n ) = x n x2 n 3
TMA4 Høst 26 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 4.2.8 Vi setter f(x) = x 2 3. Da blir f (x) = 2x, og iterasjonen blir f (x n ) = x n x2 n 3 2x n () Siden vi har
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA0001 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA1 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 1 Oppgave 1 Ligningen kan skrives 4 ln x 3 ln
DetaljerNTNU. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 5. Avsnitt Vi vil finne dx ( cos t dt).
NTNU Instittt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 5 Avsnitt 5.4 ( + cos x)dx = dx + cos xdx = π + [sin x] π = π + (sin π sin) = π. 44 Vi vil finne d x dx ( cos t dt). Merk
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs i analyse II Vår 4 Løsningsforslag Øving 9 7.3.b Med f() = tan +, så er f () = cos () på intervallet ( π/, π/).
Detaljerx 3 x x3 x 0 3! x2 + O(x 7 ) = lim 1 = lim Denne oppgaven kan også løses ved hjelp av l Hôpitals regel, men denne må da anvendes tre ganger.
TMA400 Høst 0 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 4..4 Vi bruker Taylor-polynom til å løse denne oppgaven. Taylor-polynomet Maclaurinpolynomet til sin x om x =
DetaljerKontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte
DetaljerEkstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i analyse II Vår 219 8.4.1 Vi skal finne lengden til kurven x = 3t 2, y = 2t 3 der t 1. Som boka beskriver på
DetaljerDerivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode
Detaljerdg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerNTNU Institutt for matematiske fag. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 8. Oppgave 1. Oppgave 2
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 8 Oppgave b. Vi har at f() > og f(π/) π /6
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT, høsten 206 Innleveringsfrist: Mandag 2. november 206, kl. 4, i Infosenterskranken i inngangsetasjen
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk 2008
Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-
Detaljer1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = 100. y(1+2 x ) = = 2 x = y. xln2 = ln 100 y. x = 1 ln2 ln. f 1 (x) = 1 ln2 ln x
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere y f(x) 00 +2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y 00 +2 x y(+2 x ) 00 2 x 00 00 y y
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning
DetaljerAlle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
DetaljerVolum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Volum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 4. oktober 011 Kapittel 6.. Volum ved sylindriske skall 3 Skall-metoden z = g(x) 1 1 1 1 3 1 1 3 z
DetaljerFigur 1: Volumet vi er ute etter ligger innenfor de blå linjene. Planet som de røde linjene ligger i deler volumet opp i to pyramider.
TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Esse alculus: A omplete ourse. 5 Eercise 14.1.6
DetaljerBYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8
Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)
Detaljer9 + 4 (kan bli endringer)
Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Onsdag 29. april 25 Antall oppgaver: 9 + 4 (kan bli endringer) Finn de ubestemte integralene a) 2x 3 4/x dx b) c) 2 5
DetaljerIR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer
Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke
DetaljerFunksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2010
Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 200 2 Funksjon som en maskin x Funksjon f f(x) 3 Definisjon- og verdimengde x f(x) 4 Funksjon som en
DetaljerHøgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul Mai Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24.
Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul 24. Mai 203 Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24. mai 203 EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 5 studiepoeng
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA400 Matematikk, høst 203 Forelesning 2 www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2 Transcendentale funksjoner I dagens forelesning skal vi se på følgende: Den naturlige logaritmen. 2 Eksponensialfunksjoner.
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA Matematikk Høst Løsningsforslag Øving Review Exercise 6, side 86 Vi lar fx sin x. Taylor-polynomet av grad 6 til f om x
DetaljerLøsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2
DetaljerForelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. september 2006 2 Den høyrederiverte og venstrederiverte Definisjon Den høyrederiverte til en funksjon f(x) i punktet x er
Detaljer= x lim n n 2 + 2n + 4
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten
DetaljerAlle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
DetaljerNTNU. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 12. Avsnitt Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at. 24 For x < 0 har vi at
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 200 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),
DetaljerAreal - difflikninger - arbeid Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Areal - difflikninger - arbeid Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 7. oktober 2011 Kapittel 6.4. Areal til omdreiningslegemer 3 Overflate-areal av en rotasjonsflate
DetaljerEmnenavn: Eksamenstid: Faglærer: Christian F Heide
EKSAMEN Emnekode: ITD15013 Emnenavn: Matematikk 1 første deleksamen Dato: 13. desember 017 Hjelpemidler: Eksamenstid: 09.00 1.00 Faglærer: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider. Formelhefte. Kalkulator
Detaljer1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii)
1 MAT1 Obligatorisk innlevering 1 1 Regn ut 3 7 + 1 2. i) 13 14 ii) 11 14 iii) 9 14 2 Regn ut 8 9 + 3 4. i) 57 36 ii) 59 36 iii) 61 36 3 Regn ut 1 4 + 1 8. i) 3 16 ii) 3 8 iii) 5 8 4 Regn ut 1 8 + 1 16.
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 2. september 2010 2 Fremdriftplan I går 3.6 Implisitt derivasjon 3.7 Derivasjon
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)
DetaljerMAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430
MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.
DetaljerAndre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. august 2010 Induksjon Pensumlitteratur: Notat 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger.
DetaljerFunksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2011
Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 20 2 Stigende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag
5..7 EKSAMEN Løsningsforslag Emnekode: ITD5 Dato:. desember 7 Hjelpemidler: - To A-ark med valgfritt innhold på begge sider. - Formelhefte. - Kalkulator som deles ut samtidig med oppgaven. Emnenavn: Matematikk
DetaljerEksamensoppgave i MA1102/6102 Grunnkurs i analyse II
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1102/6102 Grunnkurs i analyse II Faglig kontakt under eksamen: Magnus Landstad Tlf: Eksamensdato: 6. juni 2017 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerMatematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag
Matematikk 1 Oversiktsforelesning Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag November 25, 2009 LS (IMF) tma4100rep November 25, 2009 1 / 21 Matematikk 1 Hovedperson Relle funksjoner
DetaljerEKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1
EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk
DetaljerLøsningforslag, Øving 9 MA0001 Brukerkurs i Matematikk A
Løsningforslag, Øving 9 MA Brukerkurs i Matematikk A Læreboka s. 7-74 9. Finn /, dersom y(x) er gitt ved ue 4u du Løsning: Vi bruker fundamentalteoremet (del ): = d [ ] ue 4u du = xe 4x. Bruk Leibniz s
DetaljerEksamen REA3024 Matematikk R2
Eksamen 03.1.009 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bokmål Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 17. desember 2007, kl. 09-14. Oppgave 1 Gitt f(x) = x + x 2 1, 1 x 1. a) Finn og
DetaljerFunksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011
Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden
DetaljerUtsatt eksamen i Matematikk 1000 MAFE ELFE KJFE 1000 Dato: 2. mars 2017 Løsningsforslag.
Utsatt eksamen i Matematikk 1 MAFE ELFE KJFE 1 Dato: 2. mars 217 Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene 1 2 1 3 A = 2 1, B = 7, C = 2 4 1 2 3 [ ] 1 2 1, v = 1 1 4 [ ] 5 1 og w =. 1 6 a) Regn ut følgende
Detaljer1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = x y(1 + 2 x ) = = 100 y y x ln 2 = ln 100 y y x = 1. 2 x = 1. f 1 (x) =
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten 2 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere f() +2, dvs. løse ligningen mhp.. + 2 ( + 2 ) 2 ln 2 ln ln 2 ln Vi btter om på og :
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
DetaljerHøgskolen i Oslo og Akershus. = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) e 2x + x 2 ( e 2x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x
Oppgåve a) i) ii) f(x) x e x f (x) ( x ) e x + x ( e x) xe x + x e x (x) xe x + x e x xe x ( + x) g(x) ln(sin x) + x g (x) sin x (sin x) + x cos x sin x + x tan x + x b) i) ( x + ) dx x x dx+ x dx x +
DetaljerMatematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon
DetaljerGrenser III - rasjonale funskjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Grenser III - rasjonale funskjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 24. august 2010 2 Grenselover for x ± L = lim f(x) M = lim g(x) 1. lim (f(x) ± g(x))
Detaljer1 Mandag 1. februar 2010
Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette
DetaljerOppsummering MA1101. Kristian Seip. 23. november 2017
Oppsummering MA1101 Kristian Seip 23. november 2017 Forelesningen 23. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i MA1101 noen tips for eksamensperioden
DetaljerLøsningsforslag, Øving 10 MA0001 Brukerkurs i Matematikk A
Løsningsforslag, Øving MA Brukerkurs i Matematikk A Læreboka s. 9-95 8. Anta at en endring i biomasse B(t) vei, t [, ], følger ligningen for t. d B(t) = cos ( ) πt 6 (a) Tegn grafen til d B(t) som funksjon
DetaljerIntegraler. John Rognes. 15. mars 2011
15. mars 2011 forener geometrisk målbare områder Ω og skalarfelt f : Ω R definert på disse områdene. Vi danner produktet f (Ω) Ω av verdien f (Ω) av funksjonen og størrelsen Ω av området. Mer presist deler
DetaljerKapittel 4: Differensiallikninger
4.. Innledning og objekter i bevegelse. 57 Kapittel 4: Differensiallikninger 4.. Innledning og objekter i bevegelse. Oppgave 4..: (NY.) a) Vi har slik at venstre side er lik y + xy = xe x + x y(x) = e
DetaljerIntegrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 21. oktober 2011 Kapittel 7.4. Delbrøksoppspalting og Integrasjon av rasjonale funksjoner 3 Integrasjon av
DetaljerLYØSINGSFORSLAG Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i matematikk I onsdag 18. mai 2011 kl. 09:00-14: i( 3 + 1) = i + i + 1
LYØSINGSFORSLAG Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i matematikk I onsdag 18. mai 011 kl. 09:00-1:00 NYNORSK OPPGAVE 1 Gitt dei komplekse tala z = 3 + i, w = 1 + i a Rekn ut (skriv på forma a + bi (i z + 3w,
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, øst 2013 Forelesning 7 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7 Derivasjon Denne uken skal vi begynne på tema 2 om derivasjon. I dagens forelesning skal vi se på
Detaljere x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.
DetaljerI = (x 2 2x)e kx dx. U dv = UV V du. = x 1 1. k ekx x 1 ) = x k ekx 2x dx. = x2 k ekx 2 k. k ekx 2 k I 2. k ekx 2 k 1
TMA4 Høst 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 6..4 Vi skal evaluere det ubestemte integralet I = ( e k. Vi starter med å dele opp integralet
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: Torsdag 10 januar 2008 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 6
DetaljerForelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. september 2006 2 Komplekse fourier rekker (10.5) Målet med denne leksjonen er vise hvordan man skrive fourier rekkene på kompleks
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 24 Løsningsforslag Øving 9 4.3.4 Vi bruker Taylor-polynom til å løse denne oppgaven. Taylor-polynomet (Maclaurinpolynomet)
DetaljerVelkommen til eksamenskurs i matematikk 1
Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:
DetaljerFlere anvendelser av derivasjon
Flere anvendelser av derivasjon Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 30, 2014 Forelesning 17.09.2014 Fikspunkt-iterasjon Newtons metode Metoder for å finne nullpunkter av funksjoner:
DetaljerDet matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Del 2. Numeriske metoder
Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Del 2 Numeriske metoder Numeriske metoder Idé: Bruk regnekraft i stedet for hjernekraft - der det er hensiktsmessig Finn tilnærmede resultater - 3,14 i stedet
DetaljerDifferensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning
Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning
Detaljera) Ved numerisk metode er det løst en differensiallikning av et objekt som faller mot jorden. Da, kan vi vi finne en tilnærming av akselerasjonen.
Oppgave 1 a) Ved numerisk metode er det løst en differensiallikning av et objekt som faller mot jorden. Da verdier av er kjent gjennom resultater i form av,, kan vi vi finne en tilnærming av akselerasjonen.
DetaljerKapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon
Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag Onsdag 9. mai, kl. 9. 4. Bokmål Oppgave a) La R være området mellom kurvene Finn
DetaljerIR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer
Utsatt Eksamen 8. juni 212 Eksamenstid 4 timer IR1185 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del 2 uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare
DetaljerLøsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 016 Løsningsforslag Øving 1 Kapittel 7.1: Substitusjon Teorem 1. Hvis u = g() så er f(g())g
DetaljerForkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning
Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende
Detaljer