Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46"

Transkript

1 Notater nr 9: oppsummering for uke Bøkene B (læreboken): Tor Gulliksen og Arne Hole, Matematikk i Praksis, 5. utgave. K (kompendium): Amir M. Hashemi, Brukerkurs i matematikk MAT, høsten. Oppsummering uke 44 Vi betrakter kun funksjoner av to variable.. Gjennomgått: B:.,. (kun Ekstremalpunkter, s ). B:.3. Def. og Eks. på s. 37 er ikke relevante. Bruk heller notaten nederst på siden, og se Eks.. Se også K, = f x er den deriverte til f med hensyn til x mens y = f y er den deriverte til f med hensyn til y mens x beholdes konstant. Merknad. Jeg brukte forenklede notasjoner (som i K) = = f = f xx = f f = f xy = f yx f : Det er bare lokale ekstrempunkter (maksima, minima og sadelpunkt) som er relevante. Se bort fra Eks. 5 på s. 374.

2 B:.4. Teorem er ikke relevant. K:.-.5. B:.7. Bare gradienten er relevant. Se bort fra retningsderivert. Teorem tas ikke, men korollar fra det (notat nederst på s. 395) er relevant: Korollar. Gradienten rf (x ; y ) peker den veien der funksjonen f øker raskest ut fra punktet (x ; y ). Vi kan også legge til en annen korollar: Korollar. Minus-gradienten rf (x ; y ) peker den veien der funksjonen f avtar raskest ut fra punktet (x ; y ). B:.8. I oppgaver om maksima/minima med bibetingelser, er bare lokale ekstrempunkter relevante. Vi kan ikke t.o.m. bestemme om ekstrempunktene vi fant ved hjelp av Lagrangemetoden, er minima eller maksima. Se B:., Eks. 3, 4, 6,.3, Eks., 4, 6,.4, Eks.,.7, Eks., 3, 4,.8, Eks.. 3 Eksamensoppgaver Eksempel 3. (Eksamensoppgave --5) Funksjonen f (x; y) er de nert ved f (x; y) = x + 5y + xy + 4x + y + : a) Beregn de partielle deriverte f x og f y. Finn lokale ekstrempunkter til f. b) Finn ut om punktene du fant i deloppgave a) er maksimumspunkt, minimumspunkt eller ingen av delene (dvs. et sadelpunkt). c) Finn lokale ekstrempunkter til f under bibetingelsen g (x; y) = der g (x; y) = x y: Løsning 3. f (x; y) = x + 5y + xy + 4x + y + : a) Beregn de partielle deriverte f x og f y. Finn lokale ekstrempunkter til f. f x = 4x + y + 4; f y = x + y + : 4x + y + 4 = ; x + y + = ; x = ; y = :

3 b) Finn ut om punktene du fant i deloppgave a) er maksimumspunkt, minimumspunkt eller ingen av delene (dvs. et sadelpunkt). f xx = 4 > ; f yy = ; f xy = ; = 4 = 36 > : Lokalt minimum. c) g (x; y) = x y = : rf = rg; g = : (4x + y + 4; x + y + ) = (; ) ; g = : 4x + y + 4 = x + y + = x y = y = x 6x + x + 6 = x = 3 ; y = 3 : Eksempel 3.3 (Eksamensoppgave --5) Funksjonen f (x; y) er de nert ved f (x; y) = 4x + xy y 3 : a) Beregn de partielle deriverte f x og f y. Finn lokale ekstrempunkter til f. b) Finn ut om punktene du fant i deloppgave a) er maksimumspunkt, minimumspunkt eller ingen av delene. c) Finn lokale ekstrempunkter til f under bibetingelsen g (x; y) = der g (x; y) = xy + x : 3

4 Løsning 3.4 a) Beregn partielle deriverter f x og f y. Finn lokale ekstrempunkter til f. 4x + xy y 3 = 8x 4x + xy y 3 = x 3y : f x = ; f y = : Uttrykk y = løsninger: 4x fra den. likningen og sett til den. likning. Man får to x = 4 ; y = ; 6 [x = ; y = ] b) Finn ut om punktene du fant i deloppgave a) er maksimumspunkt, minimumspunkt eller ingen av delene. La oss beregne Hessianen 4x + xy y 3 4x + xy y 3 = 4x + xy y 3 = : (x; y) = f xx f yy f xy = 8 ( 6y) = 48y 4 f xx 4 ; 6 4 ; 6 = 4 > ; = 8 > ; derfor er 4 ; 6 et lokalt minimumspunkt. (; ) = 4 < ; derfor er (; ) et sadelpunkt, dvs. ingen av delene. c) Finn lokale ekstrempunkter til f under bibetingelsen g (x; y) = der g (x; y) = xy + x : 4

5 Bibetingelsen er Bruker Lagranges metode: Fra likning nr får man at eller g (x; y) = xy + x = : rf = rg g = 8x + y = (y + 4x) x 3y = x xy + x = : y + 4x = = : Hvis =, er x 3y = x og y = =) x =, dvs. ingen løsning. Derfor er y + 4x =, y = 4x =) 4x + x = =) x = =) y = : Det er derfor to ekstrempunkter ; og ;. Vi kan beregne verdien til f i punktene: f ; = 7; f ; = 9; men vi kan ikke bestemme (ved hjelp av metoder fra læreboken) hvilke av dem gir lokalt maksimum og hvilke gir lokalt minimum. Svaret er: ; gir lokalt minimum, og ; gir lokalt maksimum, selv om f ; < f ;. Eksempel 3.5 (Eksamensoppgave --3) Funksjonen f (x; y) er de nert ved f (x; y) = x 3 xy + y : a) Finn lokale ekstrempunkter til f. b) Finn ut om punktene du fant i deloppgave a) er maksimumspunkt, minimumspunkt eller ingen av delene. c) Finn lokale ekstrempunkter til f når g (x; y) = der g (x; y) = xy y : 5

6 Løsning 3.6 f (x; y) = x 3 xy + y : a) La oss nne de fem partielle deriverte x3 xy + y = x3 xy + y = y x3 xy + y = x3 xy + y x3 xy + y = og lokale @y = : 3x y = y x = Løses ved å uttrykke x = y fra likningen nr og å sette dette til likningen nr. Løsningene er: x = 6 ; y = og [x = ; y = ]. b) Hvilke punkter vi fant i deloppgave b) er maksimumspunkt, minimumspunkt eller ingen av delene? La oss beregne diskriminanten (x; y): (x; y) = f xx f yy f xy = 6x ( ) = x f xx 6 ; 6 ; = > ; = > ; derfor er 6 ; et lokalt minimumspunkt. (; ) = < ; derfor er (; ) et sadelpunkt, dvs. ingen av delene. c) Bibetingelsen er g (x; y) = xy y = : Bruker Lagranges metode: rf = rg g = 6

7 Fra likning nr får man at eller 3x y = y y x = (x y) xy y = y x = = : Hvis =, er 3x y = y og x = =) y =, dvs. ingen løsning. Derfor er y x =, x = y =) y y = =) y = =) x = : Det er derfor to ekstrempunkter (; ) og ( ; ). Vi kan beregne verdien til f i punktene: f (; ) = 7 f ( ; ) = 9 men vi kan ikke bestemme (ved hjelp av metoder fra læreboken) hvilke av dem gir lokalt maksimum og hvilke gir lokalt minimum. Svaret er: (; ) gir lokalt minimum, og ( ; ) gir lokalt maksimum, selv om f ( ; ) < f (; ). Eksempel 3.7 (Eksamensoppgave --5 og 9--5ab) Se oppgavetekstene og løsningsforslagene på de neste sidene. 7

8

9

10

11

12

13 Oppgave 5 a) Finn ekstrempunktene til funksjonen: f (x, y) = x + y 3x y + og klassifiser de ved hjelp av f xx f yy ( f xy). Løsning: Ekstrempunkt er punkter hvor funksjonen tar sin minste eller største verdi. Slike punkter kan finnes der begge de partiellederiverte er lik null, langs randen av definisjonsområdet eller der en eller begge av de partielle deriverte ikke er definert. Siden funksjonen går mot uendelig når x og/eller y går mot uendelig kan det ikke finnes en maksimumsverdi. Funksjonen og den deriverte er definert for alle x og alle y. Finner de partiellderiverte f x = x 3 og f y = y Setter begge partiellederiverte lik null og løser ut x og y som gir at punktet (.5, 6) er funksjonens eneste ekstrempunkt. For å klassifisere punktet finner vi at Dette gir f xx = og f yy = og f xy = T = f xx f yy ( f xy) = = 4 > At T > og f xx > medfører at punktet (.5, 6) er funksjonens minimumspunktet. Kommentar: Jeg mener det er nok om de finner punktet(.5, 6) og klassifiserer det, teksten jeg har skrevet i starten av løsningsforslaget til denne deloppgaven trenger ikke være med for å få full pott. 7

14 b) Finn ekstremverdiene til f (x, y) under bibetingelsen: g(x, y) = x + y 7 = Løsning: Finner der partiellederiverte til g(x, y) f x = x og f y = y Vi ser på ligningsetter som gir f x = λg x f y = λg y g(x, y) = x 3 = λx y = λy x + y = 7 Ganger øvre likning med y og midtre med x. Begge høyresidene er da lik, og vi kan sette venstresidene lik hverandre, som gir Setter dette inn i siste ligning, som gir xy 3y = yx x y = 4x x + (4x) = 7x = 7 x = ±. Fra y = 4x får vi da at de to ekstrempunktene under bibetingelsen er (, 4) og (, 4). Med å sette inn i f (x, y) ser vi at f (, 4) = 88 er maksimumsverdien, mens f (, 4) = 4 er minimumsverdien. 8

15 4 Notater fra 9- Neste 57 sider har egen numerasjon: s. /38-9/38, s. 35/38-38/38, s. /- 36/. En liten korreksjon til s. 7/: vi må faktisk betrakte også situasjonen når x = eller y =, og vi får da re ekstrempunkter til ( = for alle disse punktene): (; ) ; ( ; ) ; (; ) ; (; ) : 8

16 Kapittel.: Grafen til en funksjon av to variable Grafisk beskrives av funksjon f (x, y) For hvert tallpar (x, y) der f (x, y) er definert, tenker vi oss tegnet inn punktet (x, y, f (x, y)). Grafen til f blir en flate i rommet som kommer frem ved å la (x, y) gjennomløpe hele definisjonsmengden D. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 / 38

17 Kapittel.: Grafen til en funksjon av to variable z = f (x, y) = x + y Z Y.5.5 X.5.5 Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 3 / 38

18 Kapittel.: Grafen til en funksjon av to variable z = f (x, y) = sin(x y) Z X.5 Y.6.8 Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 4 / 38

19 Kapittel.: Grafen til en funksjon av to variable z = f (x, y) = x y Z Y 3 4 X Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 5 / 38

20 Kapittel.: Grafen til en funksjon av to variable z = f (x, y) = x y x y 4 4 Z Y.5.5 X Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 6 / 38

21 Kapittel.: Grafen til en funksjon av to variable z = f (x, y) = x 4 + x y y 5 5 Z X.5 Y Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 7 / 38

22 Kapittel.: Grafen til en funksjon av to variable Funksjonen f (x, y) = + x y er definert for alle tallpar (x, y) slik at x + y. y Denne mengden tilsvarer alle punkter (x, y) i xy-planet som ligger på eller innenfor sirkelen med radius. D f x Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 8 / 38

23 Kapittel.: Grafen til en funksjon av to variable Funksjonen f (x, y) = + x y gir at punktene (x, y, f (x, y)) ligger på et øvre kuleskall med radius og sentrum i punktet P = (,, ). Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 9 / 38

24 Kapittel.: Grafen til en funksjon av to variable La f (x, y) = ln(xy). Vi vet at vi kan kun bruke ln-funksjonen på positive tall. Vi må derfor ha at enten (x > og y > ) eller (x < og y < ) altså er definisjonsmengden områdene hvor x og y har samme fortegn. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 / 38

25 Kapittel.: Partielle deriverte Definition La z = f (x, y) være en gitt funksjon av to variable. Hold y konstant f (x, y) er en funksjon av x Er denne funksjonen deriverbar med hensyn på x, så kaller vi den deriverte den partielle deriverte av f med hensyn på x betegnet f x. Vi har altså f x (x, y) = f x = den deriverte av f (x, y) mhp. x når y er konstant og på samme vis når x holdes konstant f y (x, y) = f y = den deriverte av f (x, y) mhp. y når x er konstant + kan utvides til mange variabler, f.eks f w (x, y, z, w, v) = f w. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 / 38

26 Kapittel.: Partielle deriverte La f (x, y) = x + xy + ln y da får vi og f x (x, y) = f x = x + y f y (x, y) = f y = x + y De partiellderiverte i punktet (, ) blir da f x (, ) = + = 4 f y (, ) = + =.5 Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 / 38

27 Kapittel.: Partielle deriverte La da får vi og og f (u, v, w) = uvw + e u + ln v + w f u(u, v, w) = f u = vw + eu f v (u, v, w) = f v = uw + v f w (u, v, w) = f w = uv w 3 Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 3 / 38

28 Kapittel.: Partielle deriverte Geometrisk tolkning av partielle deriverte f x (x, y ) er stigningstallet til tangenten til kurven som A følger i P. f y (x, y ) er stigningstallet til tangenten til kurven som B følger i P. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 4 / 38

29 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Maksimums- og minimumspunkt Ser på en funksjon f (x, y) der (x, y) gjennomløper en definisjonsmengde D f i xy-planet. Et punkt der f (x, y) har sin største verdi kalles et maksimumspunkt Et punkt der f (x, y) har sin minste verdi kalles et minimumspunkt Er punktet det ene eller det andre kalles det et ekstrempunkt Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 5 / 38

30 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Leter etter slike punkter der begge partiellderiverte er lik null, dvs der vi har horisontale tangenter. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 6 / 38

31 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Trenger ikke være bunnpunkt selv om begge partiellderiverte er lik null Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 7 / 38

32 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler En funksjons maksimum og minimum finnes enter der Begge partiellderiverte er lik null, dvs f x = f x = f y = f y = Langs randen av definisjonsområdet 3 Der en (eller begge) av de partiellderiverte ikke eksisterer. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 8 / 38

33 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Ergo behøver ikke et ekstrempunkt og ha begge partiellderiverte lik null, men Fact Dersom et ekstrempunkt (a, b) befinner seg i det indre av D f, og begge partiellderiverte eksisterer i punktet (a, b), da kan man være sikker på at f x (a, b) =, f (a, b) = y (a, b) er et stasjonært punkt Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 9 / 38

34 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Ser på funksjonen f (x, y) = x y x y, som gir partiellderiverte f x f y = xy x = x y 4y Vi leter etter punkter der begge disse er lik null, som gir xy x = x y 4y = Ser på første ligning xy = x Hvis y = må x = også. Dette gir punktet (, ). Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 / 38

35 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Vi leter etter punkter der begge disse er lik null, som gir xy = x x y = 4y Hvis x = kan vi forkorte i øverste likning og da er y =, så y = ±. Vi kan da stryke y ene i den andre ligningen (siden y = ), som gir x = 4 x = ± Dette gir de fire stasjonære punktene (, ), (, ), (, ), (, ). Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 / 38

36 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler z = f (x, y) = x y x y Stasjonære punkter: (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) 4 4 Z Y.5 Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 / 38.5 X

37 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Sammenheng første- og andrederivert - Tilfellet med én variabel Fact Anta at f (a) =, dvs den deriverte er lik null. f (a) > a er et bunnpunkt. f (a) < a er et toppunkt. f (a) = a er et vendepunkt. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 3 / 38

38 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Sammenheng første- og andrederivert - Tilfellet med én variabel La f (x) = x x, som gir f (x) = x f (.5) =.5 = som gir at den deriverte er null for x =.5. Den andrederiverte er f (x) = >. Vi har dermed et bunnpunkt for x = Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 4 / 38

39 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Trenger en test for å avgjøre om punkter hvor begge partiellderiverte er lik null er lokale minimums/maksimums-punkt, eller ingen av delene. Definition Et punkt P(a, b) kalles et lokalt maksimumspunkt for en funksjon f (x, y), hvis f (a, b) er den største verdien funksjonen har i en eller annen omeng om P (dvs. innenfor en eller annen sirkel med sentrum i P). Lokalt minimumspunkt defineres tilsvarende. Et punkt som er enten et lokalt maksimums- eller minmumspunkt kalles et lokalt ekstrempunkt. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 5 / 38

40 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Definition Om vi partiellderiverer den allerede partiellderiverte f x (x, y) med hensyn på x og y får vi nye funksjoner f xx og f xy Om vi partiellderiverer den allerede partiellderiverte f y (x, y) med hensyn på x og y får vi nye funksjoner Youngs setning gir oss at f yx og f yy f xy = f yx som sier at det ikke har noe å si om rekkefølgen vi partiellderiverer. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 6 / 38

41 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler La Vi finner de partiellederiverte f x (x, y) = 3x xy f y (x, y) = x f (x, y) = x 3 x y 3y ln y ( 6y ln y + 3y y og vi finner de partiellderiverte til f av annen orden f xx(x, y) = 6x y f yy (x, y) = 3( ln y + ) 3y y f xy (x, y) = x = f yx(x, y) ) = x 3y( ln y + ) = 6 ln y Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 7 / 38

42 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Test for lokale ekstrempunkter Theorem Anta (a, b) er et punkt hvor f x (a, b) = og f y (a, b) =. Definér r = f xx(a, b), s = f xy (a, b), t = f yy (a, b) Da er Hvis rt s > er (a, b) er lokalt maks. eller min. punkt - Hvis r < er (a, b) et maksimumspunkt. - Hvis r > er (a, b) et minimumspunkt. Hvis rt s < er (a, b) ikke et maks. eller min. punkt. 3 Hvis rt s = gir testen ingen avgjørelse. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 8 / 38

43 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler For punktet (, ) i eksemplet med f (x, y) = x y x y har vi f xx = y r = < f xy = 4xy s = f yy = x 4 t = 4 < rt s = 8 > Siden rt s > har vi enten et maksimums- eller minimumspunkt, men siden r < kan vi konkludere med at det er et maksimumspunkt. For punktet (, ). får vi r =, s = 4, t =, rt s = 3 <, så (, ) er ikke et maks. eller min. punkt. Det samme gjelder punktene (, ), (, ) og (, ). Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 9 / 38

44 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Ser på funksjonen f (x, y) = xy x 4 y Finner de partiellderiverte og setter de lik null f x = y 4x 3 = y = x 3 f = x y y = y = x Da er x = x 3, som gir løsninger x =, x =, og x =. Vi har da de tre punktene (, ), ( ) ( ),,,. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 35 / 38

45 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Vi har For (, ) får vi f xx = f x = 4x 3 f xy = f x y = f yy = f y =. r = f xx(, ) =, s = f xy (, ) =, t = f yy (, ) = som gir rt s = 4 < (, ) er et sadelpunkt. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 36 / 38

46 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler For (, ) får vi som gir ( r = f xx, s = f xy t = f yy (, (, ) = 6 ) = rt s = 8 > ) = og siden r < er dette er lokalt maksimumspunkt. Det samme gjelder for (, ). Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 37 / 38

47 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler f (x, y) = xy x 4 y Z Y X Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 38 / 38

48 Kapittel.6: Gradientbegrepet Definition La f (x, x,..., x n ) være en funksjon av n variable. Gradienten til f består av alle partiellederiverte og betegnes med f, dvs ( f f =, f ) f,... x x x n Gradienten til f beregnet i et bestemt punkt P = (a, a,..., a n ) betegnes f (P) eller f (a, a,..., a n ) Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 /

49 Kapittel.6: Gradientbegrepet Vi har altså at gradienten til en funksjon f (x, y, z) kan skrives ( f f = x, f y, f ) z og beregnet i et punkt P(x, y, z) f (P) eller f (x, y, z) La f (x, y, z) = xy + e xz + ln y. Da er f = (y + ze xz, x + y ), xexz Velger vi P(,, 3) får vi f (P) = ( + 3e 6, 3, e 6) Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 3 /

50 Kapittel.6: Gradientbegrepet En vektor v i planet er gitt ved to tall [a, b] som beskrive lengde i henholdsvis x- og y-retning. Brukes til å beskrive retning på størrelser, f.eks en fartsvektor eller en retning som en kraft virker. y y 3 v = [, 3] v x 3 v v = [, ] v Vi kan gange en vektor med et tall, f.eks v = [, ] = [, ], Den nye vektoren har samme retning som [, ], men halve lengden. λ[a, b] har samme retning som [a, b] når λ >, og motsatt retning når λ <. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 4 /

51 Kapittel.6: Gradientbegrepet Theorem Anta f (a, b) = (, ). Da peker f (a, b) i den retningen fra punktet (a, b) der f vokser mest. La f (x, y) = x + y. Da er f = [x, y] I punktene (, ), (, ), (, ) får vi da f (, ) = [4, 4], f (, ) = [4, ], f (, ) = [, 4] Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 5 /

52 Kapittel.6: Gradientbegrepet La f (x, y) = x + y. Da er f = [x, y] 5 Z 5 Z Y 3 3 X 3 Y X Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 6 /

53 Kapittel.9: Nivåkurver og nivåflater Definition En kurve i xy-planet gitt ved likningen f (x, y) = k der k er en konstant, kalles en nivåkurve for f. La f (x, y) = e 6x y. Viser nivåkurver for k =.5,.5, Z.6.4. exp( 3x y ) k=.75 k=.5 k=.5 Z exp( 3x y ) k=.75.5 k=.5 k= Y Y X X Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 7 /

54 Kapittel.9: Nivåkurver og nivåflater La f (x, y) = e 6x y. Skal finne ligning for nivåkurve til en generell konstant k. e 6x y = k 6x y = ln k y = ln k 6x y = ln k 6x De lovlige x-verdiene blir da ln k 6x ln k x 3 Som for k =.5 gir y = ln.5 6x.7 6x for ln.5 x 6.34 Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 8 /

55 Kapittel.9: Nivåkurver og nivåflater La f (x, y) = x + y, P = (a, b). f = (x, y), f (a, b) = (a, b) = (a, b), Y 3 Y X 3 3 X Kristian Hindberg ( ) 3 4 Funksjoner i to eller flere variable II 4 8. november 9 9 /

56 Kapittel.9: Nivåkurver og nivåflater Theorem Anta f (a, b) = (, ). Da står f (a, b) vinkelrett på nivåkurven i (a, b). 4 3 La f (x, y) = x + y. Ser at gradientene (pilene) står vinkelrett på nivåkurvene Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 /

57 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Gitt en funksjon f (x, y) og en kurve C i xy-planet. Vi søker de punktene på kurven hvor funksjonen har sin største og minste verdi. Kalles ekstrempunkt til f relativt til kurven C. Anta at C har likningen g(x, y) = k, der g er en gitt funksjon og k er en gitt konstant. Kalles å maksimere/minimere f under bibetingelsen g(x, y, ) = k..5 C Z C Y X Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 /

58 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Z Z Y C C Y.5 C.5.5 X Y.5.5 X C C Y.5 C.5.5 X X C C Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 /

59 Kapittel.9: Nivåkurver og nivåflater Venstre figur: Fra punktet P går vi langs C. Går vi til venstre vil verdien til f øke, og P kan da ikke være et ekstrempunkt for f relativt til kurven C. Høyre figur: Dersom nivålinjen f = K akkurat tangerer kurven C i punktet P vil en ikke kunne gå langs C og komme til en større verdi for f. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 3 /

60 Kapittel.9: Nivåkurver og nivåflater Må altså finne et tangeringspunkt for kurven C og en nivåkurve til f. Vet at gradienten og nivåkurver står vinkelrett på hverandre. Må finne punkt P der gradienten til g er parallell med gradienten til f Dvs det finnes et tall λ slik at f (P) = λ g(p) Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 4 /

61 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Lagranges multiplikatormetode Theorem Anta (a, b) er et maksimums- eller minimumspunkt for f (x, y) under bibetingelsen g(x, y) = k. Hvis g(a, b) = ) da finnes det et tall λ slik at f (a, b) = λ g(a, b) (a, b) bestemmer vi ved å kombinere denne vektorlikningen med bibetingelsen g(a, b) = k Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 5 /

62 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Maksimum og minimum av f (x, y) = x y 4 under bibetingelsen g(x, y) = x + y =. Vi har da f = [xy 4, 4x y 3 ] og g(x, y) = x + y g = [x, y] Vi får da de to likningene xy 4 = λx 3x y 3 = λy Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 6 /

63 Kapittel.: Max og min under bibetingelser xy 4 = λx 4x y 3 = λy Ganger første likning med y og andre likning med x, som gir xy 5 = λxy 4x 3 y 3 = λxy som gir xy 5 = 4x 3 y 3 Siden maksimum blir for x = og y = kan vi forkorte, og får y = x Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 7 /

64 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Setter inn y = x i bibetingelsen, som gir x + y = x + x = 3x = og vi får x = ± /3 og y = ±/3. Alle de fire mulige punktene har funksjonsverdi 4/7, dvs at de fire punktene ( ) ± 3, 3 alle er maksimumspunkter til x y 4 relativt til sirkelen x + y =. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 8 /

65 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Z Y Y X X Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 9 /

66 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Maksimum og minimum av f (x, y) = x + y under bibetingelsen g(x, y) = x + y = Z Y Y.5.5 X X.5 Vi ser at maksimum er ca.5 for x = y.75. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 3 /

67 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Maksimum og minimum av f (x, y) = x + y under bibetingelsen g(x, y) = x + y =. Partiellderiverte blir f x f y =, =, g x = x g y = y Lagranges multiplikatormetode ( f x, f y ) = λ ( g x, g y ) gir = λx = λy x + y = Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 3 /

68 Kapittel.: Max og min under bibetingelser De to første gir x = y. Innsatt i den andre får vi x =, så x = ± = y. ( ) f, = ( ) f, = =.44 Det vil si at maksimumsverdien oppnåes under bibetingelsen i punktet (, ), og minimumsverdien oppnåes under bibetingelsen i punktet (, ). Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 3 /

69 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Eksamen februar 8 - Oppg 3 Skal finne maksimum og minimum for f (x, y) = xy 3xy under bibetingelsen g(x, y) = x y =. Finner partiellderiverte f x = y 3y f y = xy 3x g x = xy g y = x Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 33 /

70 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Lagranges multiplikatormetode ( f x, f y ) ( = λ g x, g y ) gir y 3y = λxy xy 3x = λx x y = Tredje likning gir at x = og y =, og vi kan da forkorte likning og til y 3 = λx y 3 = λx Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 34 /

71 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Setter inn likning i likning, som gir y 3 = (y 3) y = At y = medfører at x =, som gir at x = ±. Vi finner da f (, ) = 3 ( ) = f (, ) = 3 = Så (, ) er maksimumspunkt under bibetingelsen med verdi. Så (, ) er minimumspunkt under bibetingelsen med verdi -. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 35 /

72 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Z Y Y X X Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 36 /

Løsningsforslag for MAT-0001, desember 2009, UiT

Løsningsforslag for MAT-0001, desember 2009, UiT Løsningsforslag for MAT-1, desember 29, UiT av Kristian Hindberg Oppgave 1 a) Bestem grenseverdien e x 1 x lim x x 2 e x 1 x lim x x 2 = lim x e x 1 2x e = x lim x 2 = 1 2 b) Finn det ubestemte integralet

Detaljer

f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.

f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >. MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt

Detaljer

+ (y b) F y. Bruker vi det siste på likningen z = f(x, y) i punktet (a, b, f(a, b)) kan vi velge F (x, y, z) = f(x, y) z.

+ (y b) F y. Bruker vi det siste på likningen z = f(x, y) i punktet (a, b, f(a, b)) kan vi velge F (x, y, z) = f(x, y) z. Vi husker fra sist Gradientvektoren F ( a) peker i den retningen u der den retningsderiverte D u F ( a) er størst, og der er D u F ( a) = u F ( a) = F ( a). Gradientvektoren er normalvektoren til (hyper)flata

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA03,.mars 00 Oppgave Tegn figur og finn en parametrisering for skjæringskurven

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 10 10.6.3 La f (x, y) = x 2 y 4x 2 4y der (x, y) R 2. Finn alle

Detaljer

Oppgave 1. e rt = 120e. = 240 e

Oppgave 1. e rt = 120e. = 240 e Løsning MET 803 Matematikk Dato 5. desember 05 kl 0900-00 Oppgave. (a) Dersom vi selger eiendommen etter t år, med t > 0, så er nåverdien av salgssummen med r = 0,0. Da får vi N(t) = V (t)e rt = 0 e e

Detaljer

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Løsningsforslag Øving 7 10.4.7 Vi skal finne likningen til et plan gitt to punkter P = (1, 1,

Detaljer

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,

Detaljer

1 Mandag 15. februar 2010

1 Mandag 15. februar 2010 1 Mandag 15. februar 2010 Vi begynner med et eksempel på bruk av partiell derivasjon for å gjøre såkalt lineær regresjon, eller minste kvadraters metode. Dette er en anvendelse av teorien vi har gjennomgått

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor

Detaljer

1 OPPGAVE 2 OPPGAVE. a) Hva blir kontobeløpet den 2. januar 2040? b) Hvor mye penger blir det i pengeskapet den 2. januar 2040?

1 OPPGAVE 2 OPPGAVE. a) Hva blir kontobeløpet den 2. januar 2040? b) Hvor mye penger blir det i pengeskapet den 2. januar 2040? OPPGAVE Den. januar 0 satte Ola Normann 00 tusen kroner på en bankkonto med faste renter 3% per år. Han planlegger å ta ut halvparten av rentebeløpet den. januar hvert år, og å legge kontantene til et

Detaljer

I et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x Y = ax + b:

I et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x Y = ax + b: OPPGAVE I et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x 7 74 546 y 48 6 45 a) Plott Y ln y mot X ln x i et rettvinklet koordinatsystem. ) Finn en lineær sammenheng mellom

Detaljer

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA405 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 3..9: Vi starter med å finne de kritiske punktene. De deriverte blir T x (x, y) = ( x xy)e x y T y (x, y) = ( y xy)e x y, slik at de kritiske

Detaljer

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet. MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f

Detaljer

Oppgavesettet er på 3 sider eks. forside, og inneholder 12 deloppgaver: 1abc, 2, 3, 4abc, 5ab, 6ab.

Oppgavesettet er på 3 sider eks. forside, og inneholder 12 deloppgaver: 1abc, 2, 3, 4abc, 5ab, 6ab. EKSAMENSOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-0001 Brukerkurs i matematikk. Dato : tirsdag 4. desember 2012. Tid : 09.00-13.00. Sted: : Åsgårdvegen 9. Tillatte hjelpemidler : Alle trykte og skrevne.

Detaljer

Optimering av funksjoner av flere variable

Optimering av funksjoner av flere variable Optimering av funksjoner av flere variable av Tom Lindstrøm Matematisk insitutt/cma Universitetet i Oslo Dette notatet gir en kortfattet innføring i maksimums- og minimumsproblemer for funksjoner av flere

Detaljer

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: Kl. 09:00 Innlevering: Kl. 14:00

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: Kl. 09:00 Innlevering: Kl. 14:00 SENSORVEILEDNING MET 11803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09:00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave 1 Finn

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Oppgave 1 Avgjør om grenseverdiene eksisterer:

Detaljer

MAT feb feb feb MAT Våren 2010

MAT feb feb feb MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Forelesning Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom de vanlige analysene vi gjør for

Detaljer

Oppgave 1. (a) Vi løser det lineære systemet for a = 1 ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: x A =

Oppgave 1. (a) Vi løser det lineære systemet for a = 1 ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: x A = Løsning MET 80 Matematikk for siviløkonomer Dato 0. mai 07 kl 0900-400 Oppgave. (a) Vi løser det lineære systemet for a = ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: 0 y = 4 0 4 0 z 0 Deretter

Detaljer

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c)

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c) Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 204 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Oppsummering matematikkdel ECON 2200

Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke 7. mai 2008 1 Innledning En rask oppsummering av hele kurset vil ikke kunne dekke alt vi har gjennomgått. Men alt er pensum, selv om det ikke blir

Detaljer

Faktor. Eksamen høst 2005 SØK 1001- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto

Faktor. Eksamen høst 2005 SØK 1001- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto Faktor -en eksamensavis utgitt av Pareto Eksamen høst 005 SØK 00- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr : OBS!! Dette er en eksamensbevarelse, og ikke en fasit. Besvarelsene er uten endringer

Detaljer

1 Mandag 8. februar 2010

1 Mandag 8. februar 2010 1 Mandag 8. februar 2010 Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom de vanlige analysene vi gjør for funksjoner

Detaljer

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om 1 Eksponentielt vekst: En størrelse vokser eller avtar med en fast prosent per tidsenhet. Eulers tall e: En matematisk konstant, e=2,7 1828.. ln a gir det tallet du må opphøye Eulers tall e i for å få

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2, Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.

Detaljer

Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2,

Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, 201. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Repetisjonsoppgaver MATEMATIKK 1 REA1141 og REA1141F Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 Denne oppgaven har forholdsvis enkle derivasjoner,

Detaljer

Fasit til eksamen i emnet MAT102 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 21.september 2015

Fasit til eksamen i emnet MAT102 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 21.september 2015 Fasit til eksamen i emnet MAT02 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 2.september 205 Fasit. (a) Løs ligningssystemene. i) 5x + 7y = 4 3x + 2y = ii) 3x + 4y + z = 2 2x + 3y + 3z = 7 Svar: i) x = 85/, y =

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44. Oppgaver til seminaret 4/11

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44. Oppgaver til seminaret 4/11 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44 Avsn. 5.5: 19, 41, 47 Avsn. 5.6: 9, 17, 47 Avsn. 5.7: 15 På settet: S.1, S.2. Oppgaver til seminaret 4/11 Oppgaver til gruppene uke 45 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn.

Detaljer

ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger

ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger University of Oslo / Department of Economics / Nils Framstad 9. mars 2011 ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger Revisjoner 9. mars 2011: Nye oppgavesett til 15. og 22. mars. Har benyttet sjansen

Detaljer

MAT feb feb mars 2010 MAT Våren 2010

MAT feb feb mars 2010 MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 22. februar 2010 Forelesning Vi begynner med litt repetisjon fra forrige gang, med å sjekke om et vektorfelt er konservativt og dersom svaret er ja, regne ut potensialfunksjonen.

Detaljer

Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema

Detaljer

Institutt for samfunnsøkonomi. Eksamensdato: , kl Tillatte hjelpemidler:

Institutt for samfunnsøkonomi. Eksamensdato: , kl Tillatte hjelpemidler: Institutt for samfunnsøkonomi Flervalgseksamen i: MET 2403 Matematikk Eksamensdato: 20.2.07, kl 09.00-2.00 Tillatte hjelpemidler: Innføringsark: Alle Svarark Totalt antall sider: 7 Antall vedlegg: (eksempel

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 :, 8, 12, 19, 1, (valgfritt - 9,

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

1 Mandag 22. februar 2010

1 Mandag 22. februar 2010 1 Mandag 22. februar 2010 Vi begynner med litt repetisjon fra forrige gang, med å sjekke om et vektorfelt er konservativt og dersom svaret er ja, regne ut potensialfunksjonen. Videre skal vi se på en variant

Detaljer

Eksamensoppgave i MA0002 Brukerkurs i matematikk B - LØSNING

Eksamensoppgave i MA0002 Brukerkurs i matematikk B - LØSNING Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0002 Brukerkurs i matematikk B - LØSNING Faglig kontakt under eksamen: Frode Rønning Tlf: 95 21 81 38 Eksamensdato: 7. august 2017 Eksamenstid (fra til):

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Eksamensoppgave i SØK1001 Matematikk for økonomer

Eksamensoppgave i SØK1001 Matematikk for økonomer Institutt for samfunnsøkonomi Eksamensoppgave i SØK1001 Matematikk for økonomer Faglig kontakt under eksamen: Hildegunn Stokke Tlf.: 97 19 94 54 Eksamensdato: 0. oktober 016 Eksamenstid (fra-til): 4 timer

Detaljer

Oppgaver om derivasjon

Oppgaver om derivasjon Oppgaver om derivasjon Oppgave 1 Gitt funksjonen g(x) = x 3 6x 48x + 13 a) Finn g (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene,

Detaljer

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2008

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2008 Øving 1 Navn/kursparallell skrives her (ved gruppearbeid er det viktig at alle fyller ut): 1.

Detaljer

Oppsummering matematikkdel

Oppsummering matematikkdel Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 8, 2009 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 8, 2009 1 / 22 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

The full and long title of the presentation

The full and long title of the presentation The full and long title of the presentation Subtitle if you want Øistein Søvik Mai 207 Ø. Søvik Short title Mai 207 / 4 Innholdsfortegnelse Introduksjon Nyttige tips før eksamen Nyttige tips under eksamen

Detaljer

Oppsummering matematikkdel

Oppsummering matematikkdel Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 6, 2010 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 6, 2010 1 / 23 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5 Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /5-5/5 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no May, 009 Oppgave 5.0.a Ser at f(x, y = (, 3, og g(x, y = (x, y. g(x, y = 0 hvis og bare hvis x = y = 0, og dette er ikke kompatibelt

Detaljer

3x + 2y 8, 2x + 4y 8.

3x + 2y 8, 2x + 4y 8. Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar

Detaljer

Eksamensoppgave i SØK1001 Matematikk for økonomer

Eksamensoppgave i SØK1001 Matematikk for økonomer Institutt for samfunnsøkonomi Eksamensoppgave i SØK1001 Matematikk for økonomer Faglig kontakt under eksamen: Hildegunn Stokke Tlf.: 97 19 94 54 Eksamensdato:. oktober 015 Eksamenstid (fra-til): 4 timer

Detaljer

Fasit MAT102 juni 2016

Fasit MAT102 juni 2016 Fasit MAT02 juni 206. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 6 A = 2 7 Svar: λ = 8 og ( ) x = y y ( ) /2, λ = 5 og ( ) x = y y ( ) for alle y 0. (b) Finn den generelle løsningen på systemet

Detaljer

Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014

Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014 Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014 ORDINÆR EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 7 sider (inkludert

Detaljer

Løsningsforslag til Obligatorisk innlevering 7

Løsningsforslag til Obligatorisk innlevering 7 Løsningsforslag til Obligatorisk innlevering 7 Oppgave a) Likningen e 2x 6e x + 5 = 0 er en annengradslikning i e x. Siden ( ) ( 5) = 5 og 5 = 6 så faktoriserer annengradsuttrykket som (e x 5)(e x ). Dette

Detaljer

Løsningsforslag eksamen TMA4105 matematikk 2, 25. mai 2005

Løsningsforslag eksamen TMA4105 matematikk 2, 25. mai 2005 Løsningsforslag eksamen TMA5 matematikk, 5. mai 5 Oppgave Vi finner de partiellderiverte av første og annen orden av f, ) = sin : f = sin, f = cos, f =, f = cos, f = sin. Finner de kritiske punktene ved

Detaljer

TMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016

TMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 TMA4105 Notat om skalarfelt Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 Innhold 1 Grenseverdier og kontinuitet 2 2 Derivasjon av skalarfelt 5 2.1 Partiellderivert og gradient..................................

Detaljer

4 ( ( ( / ) 2 ( ( ( / ) 2 ( ( / 45 % + 25 ( = 4 25 % + 35 / + 35 ( = 2 25 % + 5 / 5 ( =

4 ( ( ( / ) 2 ( ( ( / ) 2 ( ( / 45 % + 25 ( = 4 25 % + 35 / + 35 ( = 2 25 % + 5 / 5 ( = MA Brukerkurs i matematikk B Eksamen 8. mai 6 Løsningsforslag Oppgave a) Viser at! # $ ved å vise at #!!# ' (. Nedenfor er matrisemultiplikasjonen #! vist (du må vise at!# gir det samme). ( + + + / ( +

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon

Detaljer

Notasjon i rettingen:

Notasjon i rettingen: UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 07 Notasjon i rettingen: R = Rett R = Rett, men med liten tulle)feil

Detaljer

Nicolai Kristen Solheim

Nicolai Kristen Solheim Oppgave 1. 1a) 1, 0, 2, sin 5 4cos sin 54cos sin 8 sin cos cos 54cos 8 sin cos 5cos 4cos 8sin cos 5cos 4cos Dersom vi plotter grafen for vil vi se hvor vokser og avtar. 1 Fra grafen for ser vi følgende

Detaljer

TMA4100 Matematikk1 Høst 2008

TMA4100 Matematikk1 Høst 2008 TMA400 Matematikk Høst 008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 4 4..3 Vi skal finne absolutt maksimum og absolutt minimum verdiene for funksjonen

Detaljer

Løsningsforslag. f(x) = 2/x + 12x

Løsningsforslag. f(x) = 2/x + 12x Prøve i FO929A - Matematikk Dato: august 212 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (2 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Oppsummering matematikkdel

Oppsummering matematikkdel Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 9, 2011 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 9, 2011 1 / 25 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B

Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Oppgave 1 En parametrisk linje L og et plan P (i rommet)

Detaljer

I denne øvingen vil vi sammenlikne det teoretiske resultat med et grafisk bilde av konturlinjene til flaten. Vi tegner konturene der

I denne øvingen vil vi sammenlikne det teoretiske resultat med et grafisk bilde av konturlinjene til flaten. Vi tegner konturene der Øving uke 44 Kritiske punkter Se også Mathematicakompendiet, kap 3.8 En funksjon av to variable kan ha lokale maksimal- og minimalpunkter innenfor definisjonsmengden, akkurat som funksjoner av en variabel.

Detaljer

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget, Tom Lindstrøm Tilleggskapitler til Kalkulus 3. utgave Universitetsforlaget, Oslo 3. utgave Universitetsforlaget AS 006 1. utgave 1995. utgave 1996 ISBN-13: 978-8-15-00977-3 ISBN-10: 8-15-00977-8 Materialet

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010 Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Løsning, Oppsummering av kapittel 10.

Løsning, Oppsummering av kapittel 10. Ukeoppgaver, uke 36 Matematikk 3, Oppsummering av kapittel. Løsning, Oppsummering av kapittel. Oppgave a) = +, = + z og z =z +. b) f(,, z) = +, + z,z + så (f(, 3, ) = +3, 3+, +3=7, 3, 5 c ) Gradienten

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B

Løsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning

Detaljer

Fasit eksamen i MAT102 4/6 2014

Fasit eksamen i MAT102 4/6 2014 Fasit eksamen i MAT /6. (a Løs ligningssstemene. Svar: i ( x i = 3x + = 7 x + = ( 6, ii x z ii = x + z = 3x + 6 + z = +. er fri. (b Ved å bruke MATLAB-kommandoen rref på totalmatrisen til ligningssstemet

Detaljer

Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 13. september 2011 Kapittel 4.3. Monotone funksjoner og førstederivasjons-testen

Detaljer

EKSAME SOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL)

EKSAME SOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL) EKSAME SOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-0001 Brukerkurs i matematikk. Dato : Tirsdag 21. februar 2012. Tid : 09.00-13.00. Sted: : Adm. bygget, B154. Tillatte hjelpemidler : Alle trykte og skrevne.

Detaljer

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Eksamen IRF314, høsten 15 i Matematikk 3 øsningsforslag I denne oppgaven er det to løsningsforslag. Ett med asymptotene som gitt i oppgaveteksten. I dette første tilfellet blir tallene litt

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)

Detaljer

Oppgaver i funksjonsdrøfting

Oppgaver i funksjonsdrøfting Oppgaver i funksjonsdrøfting To av oppgavene er merket med *. Det betyr at de er ekstra interessante. Oppgave 1 Gitt funksjonen f(x) = x + 4. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på

Detaljer

Oppsummering matematikkdel

Oppsummering matematikkdel Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 5, 2014 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 5, 2014 1 / 25 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Hjelpemidler på del 2 Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Hjelpemidler på del 2 Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å

Detaljer

Bokmål. Eksamensinformasjon

Bokmål. Eksamensinformasjon Eksamen 27052010 REA022 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på del 1: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer: Del

Detaljer

Eksamen i MAT1100 H14: Løsningsforslag

Eksamen i MAT1100 H14: Løsningsforslag Eksamen i MAT H4: Løsningsforslag Oppgave. ( poeng) Dersom f(x, y) x sin(xy ), er f y lik: A) sin(xy ) + xy cos(xy ) B) x cos(xy ) C) x y cos(xy ) D) sin(xy ) + x y cos(xy ) E) cos(xy ) Riktig svar: C):

Detaljer

Løsning, funksjoner av flere variable.

Løsning, funksjoner av flere variable. Ukeoppgaver, uke 3 Matematikk 3, funksjoner av flere variable 1 Løsning, funksjoner av flere variable Oppgave 1 a) = +=, b) =, =y3 d ) e ) = 3+= 3 Selv om ikke x er med kan det betraktes som funksjon av

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 3 8.2.1 Anta at dy = y2 y) dx a) Finn likevektspunktene til

Detaljer

1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m

1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a

Detaljer

11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER

11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER 11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER FREDRIK THOMMESEN Contents 1. Funksjoner av flere variabler 1 1.1. Funksjoner av to variabler 1 1.2. Partielle deriverte med to variabler 2 1.3. Geometrisk representasjon

Detaljer

Flere anvendelser av derivasjon

Flere anvendelser av derivasjon Flere anvendelser av derivasjon Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 30, 2014 Forelesning 17.09.2014 Fikspunkt-iterasjon Newtons metode Metoder for å finne nullpunkter av funksjoner:

Detaljer

Funksjoner i flere variable

Funksjoner i flere variable Kapittel 5 Funksjoner i flere variable Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom den samme analysen vi gjør

Detaljer

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005 Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 10 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998 Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim

Detaljer

MAT jan jan jan MAT Våren 2010

MAT jan jan jan MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Fra ligningen Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag x 2 64 y2 36 1 finner vi a 64 8 og b 36 6. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a 2 + b 2 64 + 36 1 1. Dermed er fokuspunktene

Detaljer

Oppgaveløsninger for "Matematikk for økonomer - kort og godt".

Oppgaveløsninger for Matematikk for økonomer - kort og godt. Oppgaveløsninger for "Matematikk for økonomer - kort og godt". Kapittel 1 Oppgave 1.1 a) (x 2 9x 12)(3 3x) =3x 2 27x 36 3x 3 +27x 2 +36x = 3x 3 +30x 2 +9x 36. b) (2x y) 2 +2(x+y)(x y)+(x+4y) 2 =4x 2 4xy+y

Detaljer