Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46
|
|
- Helga Arntsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Notater nr 9: oppsummering for uke Bøkene B (læreboken): Tor Gulliksen og Arne Hole, Matematikk i Praksis, 5. utgave. K (kompendium): Amir M. Hashemi, Brukerkurs i matematikk MAT, høsten. Oppsummering uke 44 Vi betrakter kun funksjoner av to variable.. Gjennomgått: B:.,. (kun Ekstremalpunkter, s ). B:.3. Def. og Eks. på s. 37 er ikke relevante. Bruk heller notaten nederst på siden, og se Eks.. Se også K, = f x er den deriverte til f med hensyn til x mens y = f y er den deriverte til f med hensyn til y mens x beholdes konstant. Merknad. Jeg brukte forenklede notasjoner (som i K) = = f = f xx = f = f xy = f yx : Det er bare lokale ekstrempunkter (maksima, minima og sadelpunkt) som er relevante. Se bort fra Eks. 5 på s. 374.
2 B:.4. Teorem er ikke relevant. K:.-.5. B:.7. Bare gradienten er relevant. Se bort fra retningsderivert. Teorem tas ikke, men korollar fra det (notat nederst på s. 395) er relevant: Korollar. Gradienten rf (x ; y ) peker den veien der funksjonen f øker raskest ut fra punktet (x ; y ). Vi kan også legge til en annen korollar: Korollar. Minus-gradienten rf (x ; y ) peker den veien der funksjonen f avtar raskest ut fra punktet (x ; y ). B:.8. I oppgaver om maksima/minima med bibetingelser, er bare lokale ekstrempunkter relevante. Vi kan ikke t.o.m. bestemme om ekstrempunktene vi fant ved hjelp av Lagrangemetoden, er minima eller maksima. Se B:., Eks. 3, 4, 6,.3, Eks., 4, 6,.4, Eks.,.7, Eks., 3, 4,.8, Eks.. 3 Eksamensoppgaver Eksempel 3. (Eksamensoppgave --5) Funksjonen f (x; y) er de nert ved f (x; y) = x + 5y + xy + 4x + y + : a) Beregn de partielle deriverte f x og f y. Finn lokale ekstrempunkter til f. b) Finn ut om punktene du fant i deloppgave a) er maksimumspunkt, minimumspunkt eller ingen av delene (dvs. et sadelpunkt). c) Finn lokale ekstrempunkter til f under bibetingelsen g (x; y) = der g (x; y) = x y: Løsning 3. f (x; y) = x + 5y + xy + 4x + y + : a) Beregn de partielle deriverte f x og f y. Finn lokale ekstrempunkter til f. f x = 4x + y + 4; f y = x + y + : 4x + y + 4 = ; x + y + = ; x = ; y = :
3 b) Finn ut om punktene du fant i deloppgave a) er maksimumspunkt, minimumspunkt eller ingen av delene (dvs. et sadelpunkt). f xx = 4 > ; f yy = ; f xy = ; = 4 = 36 > : Lokalt minimum. c) g (x; y) = x y = : rf = rg; g = : (4x + y + 4; x + y + ) = (; ) ; g = : 4x + y + 4 = x + y + = x y = y = x 6x + x + 6 = x = 3 ; y = 3 : Eksempel 3.3 (Eksamensoppgave --5) Funksjonen f (x; y) er de nert ved f (x; y) = 4x + xy y 3 : a) Beregn de partielle deriverte f x og f y. Finn lokale ekstrempunkter til f. b) Finn ut om punktene du fant i deloppgave a) er maksimumspunkt, minimumspunkt eller ingen av delene. c) Finn lokale ekstrempunkter til f under bibetingelsen g (x; y) = der g (x; y) = xy + x : 3
4 Løsning 3.4 a) Beregn partielle deriverter f x og f y. Finn lokale ekstrempunkter til f. 4x + xy y 3 = 8x 4x + xy y 3 = x 3y : f x = ; f y = : Uttrykk y = løsninger: 4x fra den. likningen og sett til den. likning. Man får to x = 4 ; y = ; 6 [x = ; y = ] b) Finn ut om punktene du fant i deloppgave a) er maksimumspunkt, minimumspunkt eller ingen av delene. La oss beregne Hessianen 4x + xy y 3 4x + xy y 3 4x + xy y 3 = : (x; y) = f xx f yy f xy = 8 ( 6y) = 48y 4 f xx 4 ; 6 4 ; 6 = 4 > ; = 8 > ; derfor er 4 ; 6 et lokalt minimumspunkt. (; ) = 4 < ; derfor er (; ) et sadelpunkt, dvs. ingen av delene. c) Finn lokale ekstrempunkter til f under bibetingelsen g (x; y) = der g (x; y) = xy + x : 4
5 Bibetingelsen er Bruker Lagranges metode: Fra likning nr får man at eller g (x; y) = xy + x = : rf = rg g = 8x + y = (y + 4x) x 3y = x xy + x = : y + 4x = = : Hvis =, er x 3y = x og y = =) x =, dvs. ingen løsning. Derfor er y + 4x =, y = 4x =) 4x + x = =) x = =) y = : Det er derfor to ekstrempunkter ; og ;. Vi kan beregne verdien til f i punktene: f ; = 7; f ; = 9; men vi kan ikke bestemme (ved hjelp av metoder fra læreboken) hvilke av dem gir lokalt maksimum og hvilke gir lokalt minimum. Svaret er: ; gir lokalt minimum, og ; gir lokalt maksimum, selv om f ; < f ;. Eksempel 3.5 (Eksamensoppgave --3) Funksjonen f (x; y) er de nert ved f (x; y) = x 3 xy + y : a) Finn lokale ekstrempunkter til f. b) Finn ut om punktene du fant i deloppgave a) er maksimumspunkt, minimumspunkt eller ingen av delene. c) Finn lokale ekstrempunkter til f når g (x; y) = der g (x; y) = xy y : 5
6 Løsning 3.6 f (x; y) = x 3 xy + y : a) La oss nne de fem partielle deriverte x3 xy + y = x3 xy + y = x3 xy + y x3 xy + x3 xy + y = og lokale @y = : 3x y = y x = Løses ved å uttrykke x = y fra likningen nr og å sette dette til likningen nr. Løsningene er: x = 6 ; y = og [x = ; y = ]. b) Hvilke punkter vi fant i deloppgave b) er maksimumspunkt, minimumspunkt eller ingen av delene? La oss beregne diskriminanten (x; y): (x; y) = f xx f yy f xy = 6x ( ) = x f xx 6 ; 6 ; = > ; = > ; derfor er 6 ; et lokalt minimumspunkt. (; ) = < ; derfor er (; ) et sadelpunkt, dvs. ingen av delene. c) Bibetingelsen er g (x; y) = xy y = : Bruker Lagranges metode: rf = rg g = 6
7 Fra likning nr får man at eller 3x y = y y x = (x y) xy y = y x = = : Hvis =, er 3x y = y og x = =) y =, dvs. ingen løsning. Derfor er y x =, x = y =) y y = =) y = =) x = : Det er derfor to ekstrempunkter (; ) og ( ; ). Vi kan beregne verdien til f i punktene: f (; ) = 7 f ( ; ) = 9 men vi kan ikke bestemme (ved hjelp av metoder fra læreboken) hvilke av dem gir lokalt maksimum og hvilke gir lokalt minimum. Svaret er: (; ) gir lokalt minimum, og ( ; ) gir lokalt maksimum, selv om f ( ; ) < f (; ). Eksempel 3.7 (Eksamensoppgave --5 og 9--5ab) Se oppgavetekstene og løsningsforslagene på de neste sidene. 7
8
9
10
11
12
13 Oppgave 5 a) Finn ekstrempunktene til funksjonen: f (x, y) = x + y 3x y + og klassifiser de ved hjelp av f xx f yy ( f xy). Løsning: Ekstrempunkt er punkter hvor funksjonen tar sin minste eller største verdi. Slike punkter kan finnes der begge de partiellederiverte er lik null, langs randen av definisjonsområdet eller der en eller begge av de partielle deriverte ikke er definert. Siden funksjonen går mot uendelig når x og/eller y går mot uendelig kan det ikke finnes en maksimumsverdi. Funksjonen og den deriverte er definert for alle x og alle y. Finner de partiellderiverte f x = x 3 og f y = y Setter begge partiellederiverte lik null og løser ut x og y som gir at punktet (.5, 6) er funksjonens eneste ekstrempunkt. For å klassifisere punktet finner vi at Dette gir f xx = og f yy = og f xy = T = f xx f yy ( f xy) = = 4 > At T > og f xx > medfører at punktet (.5, 6) er funksjonens minimumspunktet. Kommentar: Jeg mener det er nok om de finner punktet(.5, 6) og klassifiserer det, teksten jeg har skrevet i starten av løsningsforslaget til denne deloppgaven trenger ikke være med for å få full pott. 7
14 b) Finn ekstremverdiene til f (x, y) under bibetingelsen: g(x, y) = x + y 7 = Løsning: Finner der partiellederiverte til g(x, y) f x = x og f y = y Vi ser på ligningsetter som gir f x = λg x f y = λg y g(x, y) = x 3 = λx y = λy x + y = 7 Ganger øvre likning med y og midtre med x. Begge høyresidene er da lik, og vi kan sette venstresidene lik hverandre, som gir Setter dette inn i siste ligning, som gir xy 3y = yx x y = 4x x + (4x) = 7x = 7 x = ±. Fra y = 4x får vi da at de to ekstrempunktene under bibetingelsen er (, 4) og (, 4). Med å sette inn i f (x, y) ser vi at f (, 4) = 88 er maksimumsverdien, mens f (, 4) = 4 er minimumsverdien. 8
15 4 Notater fra 9- Neste 57 sider har egen numerasjon: s. /38-9/38, s. 35/38-38/38, s. /- 36/. En liten korreksjon til s. 7/: vi må faktisk betrakte også situasjonen når x = eller y =, og vi får da re ekstrempunkter til ( = for alle disse punktene): (; ) ; ( ; ) ; (; ) ; (; ) : 8
16 Kapittel.: Grafen til en funksjon av to variable Grafisk beskrives av funksjon f (x, y) For hvert tallpar (x, y) der f (x, y) er definert, tenker vi oss tegnet inn punktet (x, y, f (x, y)). Grafen til f blir en flate i rommet som kommer frem ved å la (x, y) gjennomløpe hele definisjonsmengden D. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 / 38
17 Kapittel.: Grafen til en funksjon av to variable z = f (x, y) = x + y Z Y.5.5 X.5.5 Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 3 / 38
18 Kapittel.: Grafen til en funksjon av to variable z = f (x, y) = sin(x y) Z X.5 Y.6.8 Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 4 / 38
19 Kapittel.: Grafen til en funksjon av to variable z = f (x, y) = x y Z Y 3 4 X Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 5 / 38
20 Kapittel.: Grafen til en funksjon av to variable z = f (x, y) = x y x y 4 4 Z Y.5.5 X Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 6 / 38
21 Kapittel.: Grafen til en funksjon av to variable z = f (x, y) = x 4 + x y y 5 5 Z X.5 Y Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 7 / 38
22 Kapittel.: Grafen til en funksjon av to variable Funksjonen f (x, y) = + x y er definert for alle tallpar (x, y) slik at x + y. y Denne mengden tilsvarer alle punkter (x, y) i xy-planet som ligger på eller innenfor sirkelen med radius. D f x Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 8 / 38
23 Kapittel.: Grafen til en funksjon av to variable Funksjonen f (x, y) = + x y gir at punktene (x, y, f (x, y)) ligger på et øvre kuleskall med radius og sentrum i punktet P = (,, ). Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 9 / 38
24 Kapittel.: Grafen til en funksjon av to variable La f (x, y) = ln(xy). Vi vet at vi kan kun bruke ln-funksjonen på positive tall. Vi må derfor ha at enten (x > og y > ) eller (x < og y < ) altså er definisjonsmengden områdene hvor x og y har samme fortegn. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 / 38
25 Kapittel.: Partielle deriverte Definition La z = f (x, y) være en gitt funksjon av to variable. Hold y konstant f (x, y) er en funksjon av x Er denne funksjonen deriverbar med hensyn på x, så kaller vi den deriverte den partielle deriverte av f med hensyn på x betegnet f x. Vi har altså f x (x, y) = f x = den deriverte av f (x, y) mhp. x når y er konstant og på samme vis når x holdes konstant f y (x, y) = f y = den deriverte av f (x, y) mhp. y når x er konstant + kan utvides til mange variabler, f.eks f w (x, y, z, w, v) = f w. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 / 38
26 Kapittel.: Partielle deriverte La f (x, y) = x + xy + ln y da får vi og f x (x, y) = f x = x + y f y (x, y) = f y = x + y De partiellderiverte i punktet (, ) blir da f x (, ) = + = 4 f y (, ) = + =.5 Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 / 38
27 Kapittel.: Partielle deriverte La da får vi og og f (u, v, w) = uvw + e u + ln v + w f u(u, v, w) = f u = vw + eu f v (u, v, w) = f v = uw + v f w (u, v, w) = f w = uv w 3 Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 3 / 38
28 Kapittel.: Partielle deriverte Geometrisk tolkning av partielle deriverte f x (x, y ) er stigningstallet til tangenten til kurven som A følger i P. f y (x, y ) er stigningstallet til tangenten til kurven som B følger i P. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 4 / 38
29 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Maksimums- og minimumspunkt Ser på en funksjon f (x, y) der (x, y) gjennomløper en definisjonsmengde D f i xy-planet. Et punkt der f (x, y) har sin største verdi kalles et maksimumspunkt Et punkt der f (x, y) har sin minste verdi kalles et minimumspunkt Er punktet det ene eller det andre kalles det et ekstrempunkt Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 5 / 38
30 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Leter etter slike punkter der begge partiellderiverte er lik null, dvs der vi har horisontale tangenter. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 6 / 38
31 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Trenger ikke være bunnpunkt selv om begge partiellderiverte er lik null Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 7 / 38
32 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler En funksjons maksimum og minimum finnes enter der Begge partiellderiverte er lik null, dvs f x = f x = f y = f y = Langs randen av definisjonsområdet 3 Der en (eller begge) av de partiellderiverte ikke eksisterer. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 8 / 38
33 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Ergo behøver ikke et ekstrempunkt og ha begge partiellderiverte lik null, men Fact Dersom et ekstrempunkt (a, b) befinner seg i det indre av D f, og begge partiellderiverte eksisterer i punktet (a, b), da kan man være sikker på at f x (a, b) =, f (a, b) = y (a, b) er et stasjonært punkt Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 9 / 38
34 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Ser på funksjonen f (x, y) = x y x y, som gir partiellderiverte f x f y = xy x = x y 4y Vi leter etter punkter der begge disse er lik null, som gir xy x = x y 4y = Ser på første ligning xy = x Hvis y = må x = også. Dette gir punktet (, ). Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 / 38
35 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Vi leter etter punkter der begge disse er lik null, som gir xy = x x y = 4y Hvis x = kan vi forkorte i øverste likning og da er y =, så y = ±. Vi kan da stryke y ene i den andre ligningen (siden y = ), som gir x = 4 x = ± Dette gir de fire stasjonære punktene (, ), (, ), (, ), (, ). Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 / 38
36 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler z = f (x, y) = x y x y Stasjonære punkter: (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) 4 4 Z Y.5 Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 / 38.5 X
37 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Sammenheng første- og andrederivert - Tilfellet med én variabel Fact Anta at f (a) =, dvs den deriverte er lik null. f (a) > a er et bunnpunkt. f (a) < a er et toppunkt. f (a) = a er et vendepunkt. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 3 / 38
38 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Sammenheng første- og andrederivert - Tilfellet med én variabel La f (x) = x x, som gir f (x) = x f (.5) =.5 = som gir at den deriverte er null for x =.5. Den andrederiverte er f (x) = >. Vi har dermed et bunnpunkt for x = Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 4 / 38
39 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Trenger en test for å avgjøre om punkter hvor begge partiellderiverte er lik null er lokale minimums/maksimums-punkt, eller ingen av delene. Definition Et punkt P(a, b) kalles et lokalt maksimumspunkt for en funksjon f (x, y), hvis f (a, b) er den største verdien funksjonen har i en eller annen omeng om P (dvs. innenfor en eller annen sirkel med sentrum i P). Lokalt minimumspunkt defineres tilsvarende. Et punkt som er enten et lokalt maksimums- eller minmumspunkt kalles et lokalt ekstrempunkt. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 5 / 38
40 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Definition Om vi partiellderiverer den allerede partiellderiverte f x (x, y) med hensyn på x og y får vi nye funksjoner f xx og f xy Om vi partiellderiverer den allerede partiellderiverte f y (x, y) med hensyn på x og y får vi nye funksjoner Youngs setning gir oss at f yx og f yy f xy = f yx som sier at det ikke har noe å si om rekkefølgen vi partiellderiverer. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 6 / 38
41 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler La Vi finner de partiellederiverte f x (x, y) = 3x xy f y (x, y) = x f (x, y) = x 3 x y 3y ln y ( 6y ln y + 3y y og vi finner de partiellderiverte til f av annen orden f xx(x, y) = 6x y f yy (x, y) = 3( ln y + ) 3y y f xy (x, y) = x = f yx(x, y) ) = x 3y( ln y + ) = 6 ln y Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 7 / 38
42 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Test for lokale ekstrempunkter Theorem Anta (a, b) er et punkt hvor f x (a, b) = og f y (a, b) =. Definér r = f xx(a, b), s = f xy (a, b), t = f yy (a, b) Da er Hvis rt s > er (a, b) er lokalt maks. eller min. punkt - Hvis r < er (a, b) et maksimumspunkt. - Hvis r > er (a, b) et minimumspunkt. Hvis rt s < er (a, b) ikke et maks. eller min. punkt. 3 Hvis rt s = gir testen ingen avgjørelse. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 8 / 38
43 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler For punktet (, ) i eksemplet med f (x, y) = x y x y har vi f xx = y r = < f xy = 4xy s = f yy = x 4 t = 4 < rt s = 8 > Siden rt s > har vi enten et maksimums- eller minimumspunkt, men siden r < kan vi konkludere med at det er et maksimumspunkt. For punktet (, ). får vi r =, s = 4, t =, rt s = 3 <, så (, ) er ikke et maks. eller min. punkt. Det samme gjelder punktene (, ), (, ) og (, ). Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 9 / 38
44 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Ser på funksjonen f (x, y) = xy x 4 y Finner de partiellderiverte og setter de lik null f x = y 4x 3 = y = x 3 f = x y y = y = x Da er x = x 3, som gir løsninger x =, x =, og x =. Vi har da de tre punktene (, ), ( ) ( ),,,. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 35 / 38
45 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler Vi har For (, ) får vi f xx = f x = 4x 3 f xy = f x y = f yy = f y =. r = f xx(, ) =, s = f xy (, ) =, t = f yy (, ) = som gir rt s = 4 < (, ) er et sadelpunkt. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 36 / 38
46 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler For (, ) får vi som gir ( r = f xx, s = f xy t = f yy (, (, ) = 6 ) = rt s = 8 > ) = og siden r < er dette er lokalt maksimumspunkt. Det samme gjelder for (, ). Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 37 / 38
47 Kapittel.3: Max og min for funksjoner av to variabler f (x, y) = xy x 4 y Z Y X Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable 4. november 9 38 / 38
48 Kapittel.6: Gradientbegrepet Definition La f (x, x,..., x n ) være en funksjon av n variable. Gradienten til f består av alle partiellederiverte og betegnes med f, dvs ( f f =, f ) f,... x x x n Gradienten til f beregnet i et bestemt punkt P = (a, a,..., a n ) betegnes f (P) eller f (a, a,..., a n ) Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 /
49 Kapittel.6: Gradientbegrepet Vi har altså at gradienten til en funksjon f (x, y, z) kan skrives ( f f = x, f y, f ) z og beregnet i et punkt P(x, y, z) f (P) eller f (x, y, z) La f (x, y, z) = xy + e xz + ln y. Da er f = (y + ze xz, x + y ), xexz Velger vi P(,, 3) får vi f (P) = ( + 3e 6, 3, e 6) Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 3 /
50 Kapittel.6: Gradientbegrepet En vektor v i planet er gitt ved to tall [a, b] som beskrive lengde i henholdsvis x- og y-retning. Brukes til å beskrive retning på størrelser, f.eks en fartsvektor eller en retning som en kraft virker. y y 3 v = [, 3] v x 3 v v = [, ] v Vi kan gange en vektor med et tall, f.eks v = [, ] = [, ], Den nye vektoren har samme retning som [, ], men halve lengden. λ[a, b] har samme retning som [a, b] når λ >, og motsatt retning når λ <. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 4 /
51 Kapittel.6: Gradientbegrepet Theorem Anta f (a, b) = (, ). Da peker f (a, b) i den retningen fra punktet (a, b) der f vokser mest. La f (x, y) = x + y. Da er f = [x, y] I punktene (, ), (, ), (, ) får vi da f (, ) = [4, 4], f (, ) = [4, ], f (, ) = [, 4] Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 5 /
52 Kapittel.6: Gradientbegrepet La f (x, y) = x + y. Da er f = [x, y] 5 Z 5 Z Y 3 3 X 3 Y X Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 6 /
53 Kapittel.9: Nivåkurver og nivåflater Definition En kurve i xy-planet gitt ved likningen f (x, y) = k der k er en konstant, kalles en nivåkurve for f. La f (x, y) = e 6x y. Viser nivåkurver for k =.5,.5, Z.6.4. exp( 3x y ) k=.75 k=.5 k=.5 Z exp( 3x y ) k=.75.5 k=.5 k= Y Y X X Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 7 /
54 Kapittel.9: Nivåkurver og nivåflater La f (x, y) = e 6x y. Skal finne ligning for nivåkurve til en generell konstant k. e 6x y = k 6x y = ln k y = ln k 6x y = ln k 6x De lovlige x-verdiene blir da ln k 6x ln k x 3 Som for k =.5 gir y = ln.5 6x.7 6x for ln.5 x 6.34 Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 8 /
55 Kapittel.9: Nivåkurver og nivåflater La f (x, y) = x + y, P = (a, b). f = (x, y), f (a, b) = (a, b) = (a, b), Y 3 Y X 3 3 X Kristian Hindberg ( ) 3 4 Funksjoner i to eller flere variable II 4 8. november 9 9 /
56 Kapittel.9: Nivåkurver og nivåflater Theorem Anta f (a, b) = (, ). Da står f (a, b) vinkelrett på nivåkurven i (a, b). 4 3 La f (x, y) = x + y. Ser at gradientene (pilene) står vinkelrett på nivåkurvene Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 /
57 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Gitt en funksjon f (x, y) og en kurve C i xy-planet. Vi søker de punktene på kurven hvor funksjonen har sin største og minste verdi. Kalles ekstrempunkt til f relativt til kurven C. Anta at C har likningen g(x, y) = k, der g er en gitt funksjon og k er en gitt konstant. Kalles å maksimere/minimere f under bibetingelsen g(x, y, ) = k..5 C Z C Y X Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 /
58 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Z Z Y C C Y.5 C.5.5 X Y.5.5 X C C Y.5 C.5.5 X X C C Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 /
59 Kapittel.9: Nivåkurver og nivåflater Venstre figur: Fra punktet P går vi langs C. Går vi til venstre vil verdien til f øke, og P kan da ikke være et ekstrempunkt for f relativt til kurven C. Høyre figur: Dersom nivålinjen f = K akkurat tangerer kurven C i punktet P vil en ikke kunne gå langs C og komme til en større verdi for f. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 3 /
60 Kapittel.9: Nivåkurver og nivåflater Må altså finne et tangeringspunkt for kurven C og en nivåkurve til f. Vet at gradienten og nivåkurver står vinkelrett på hverandre. Må finne punkt P der gradienten til g er parallell med gradienten til f Dvs det finnes et tall λ slik at f (P) = λ g(p) Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 4 /
61 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Lagranges multiplikatormetode Theorem Anta (a, b) er et maksimums- eller minimumspunkt for f (x, y) under bibetingelsen g(x, y) = k. Hvis g(a, b) = ) da finnes det et tall λ slik at f (a, b) = λ g(a, b) (a, b) bestemmer vi ved å kombinere denne vektorlikningen med bibetingelsen g(a, b) = k Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 5 /
62 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Maksimum og minimum av f (x, y) = x y 4 under bibetingelsen g(x, y) = x + y =. Vi har da f = [xy 4, 4x y 3 ] og g(x, y) = x + y g = [x, y] Vi får da de to likningene xy 4 = λx 3x y 3 = λy Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 6 /
63 Kapittel.: Max og min under bibetingelser xy 4 = λx 4x y 3 = λy Ganger første likning med y og andre likning med x, som gir xy 5 = λxy 4x 3 y 3 = λxy som gir xy 5 = 4x 3 y 3 Siden maksimum blir for x = og y = kan vi forkorte, og får y = x Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 7 /
64 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Setter inn y = x i bibetingelsen, som gir x + y = x + x = 3x = og vi får x = ± /3 og y = ±/3. Alle de fire mulige punktene har funksjonsverdi 4/7, dvs at de fire punktene ( ) ± 3, 3 alle er maksimumspunkter til x y 4 relativt til sirkelen x + y =. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 8 /
65 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Z Y Y X X Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 9 /
66 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Maksimum og minimum av f (x, y) = x + y under bibetingelsen g(x, y) = x + y = Z Y Y.5.5 X X.5 Vi ser at maksimum er ca.5 for x = y.75. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 3 /
67 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Maksimum og minimum av f (x, y) = x + y under bibetingelsen g(x, y) = x + y =. Partiellderiverte blir f x f y =, =, g x = x g y = y Lagranges multiplikatormetode ( f x, f y ) = λ ( g x, g y ) gir = λx = λy x + y = Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 3 /
68 Kapittel.: Max og min under bibetingelser De to første gir x = y. Innsatt i den andre får vi x =, så x = ± = y. ( ) f, = ( ) f, = =.44 Det vil si at maksimumsverdien oppnåes under bibetingelsen i punktet (, ), og minimumsverdien oppnåes under bibetingelsen i punktet (, ). Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 3 /
69 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Eksamen februar 8 - Oppg 3 Skal finne maksimum og minimum for f (x, y) = xy 3xy under bibetingelsen g(x, y) = x y =. Finner partiellderiverte f x = y 3y f y = xy 3x g x = xy g y = x Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 33 /
70 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Lagranges multiplikatormetode ( f x, f y ) ( = λ g x, g y ) gir y 3y = λxy xy 3x = λx x y = Tredje likning gir at x = og y =, og vi kan da forkorte likning og til y 3 = λx y 3 = λx Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 34 /
71 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Setter inn likning i likning, som gir y 3 = (y 3) y = At y = medfører at x =, som gir at x = ±. Vi finner da f (, ) = 3 ( ) = f (, ) = 3 = Så (, ) er maksimumspunkt under bibetingelsen med verdi. Så (, ) er minimumspunkt under bibetingelsen med verdi -. Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 35 /
72 Kapittel.: Max og min under bibetingelser Z Y Y X X Kristian Hindberg ( ) Funksjoner i to eller flere variable II 8. november 9 36 /
Løsningsforslag for MAT-0001, desember 2009, UiT
Løsningsforslag for MAT-1, desember 29, UiT av Kristian Hindberg Oppgave 1 a) Bestem grenseverdien e x 1 x lim x x 2 e x 1 x lim x x 2 = lim x e x 1 2x e = x lim x 2 = 1 2 b) Finn det ubestemte integralet
Detaljerf =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.
MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt
Detaljer+ (y b) F y. Bruker vi det siste på likningen z = f(x, y) i punktet (a, b, f(a, b)) kan vi velge F (x, y, z) = f(x, y) z.
Vi husker fra sist Gradientvektoren F ( a) peker i den retningen u der den retningsderiverte D u F ( a) er størst, og der er D u F ( a) = u F ( a) = F ( a). Gradientvektoren er normalvektoren til (hyper)flata
Detaljery(x + y) xy(1) (x + y) 2 = x(x + y) xy(1) (x + y) 3
Løsning Øvingsoppgaver Funksjoner i ere variabler MET 1180 Matematikk April 017 Oppgave 1. (a) Vi har at f = 3 og f = +. Hessematrisen blir dermed 6 (b) Ved kvotientregelen har vi at f = f = og de andreordens
DetaljerMET Matematikk for siviløkonomer
SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET 11803 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 29.05.2019 Kl. 09:00 Innlevering: 29.05.2019 Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia,
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 10 10.6.3 La f (x, y) = x 2 y 4x 2 4y der (x, y) R 2. Finn alle
DetaljerLøsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA03,.mars 00 Oppgave Tegn figur og finn en parametrisering for skjæringskurven
DetaljerOppgave 1. e rt = 120e. = 240 e
Løsning MET 803 Matematikk Dato 5. desember 05 kl 0900-00 Oppgave. (a) Dersom vi selger eiendommen etter t år, med t > 0, så er nåverdien av salgssummen med r = 0,0. Da får vi N(t) = V (t)e rt = 0 e e
DetaljerMET Matematikk for siviløkonomer
SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET 11803 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 18.1.017 Kl. 14:00 Innlevering: 18.1.017 Kl. 19:00 For mer informasjon om formalia,
DetaljerTMA4105 Matematikk 2 Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Løsningsforslag Øving 7 10.4.7 Vi skal finne likningen til et plan gitt to punkter P = (1, 1,
Detaljerdg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
Detaljercappelendamm.no Funksjoner av to variable 7.1 FIGUR 7.1 FIGUR 7.2 FIGUR 7.3 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 7 1
7. Funksjoner av to variable Df FIGUR 7. FIGUR 7. FIGUR 7. Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 7 FIGUR 7. FIGUR 7.5 FIGUR 7.6 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel
Detaljer1 Mandag 15. februar 2010
1 Mandag 15. februar 2010 Vi begynner med et eksempel på bruk av partiell derivasjon for å gjøre såkalt lineær regresjon, eller minste kvadraters metode. Dette er en anvendelse av teorien vi har gjennomgått
DetaljerMAT feb feb feb MAT Våren 2010
Våren 2010 Mandag 15. februar 2010 Forelesning Vi begynner med et eksempel på bruk av partiell derivasjon for å gjøre såkalt lineær regresjon, eller minste kvadraters metode. Dette er en anvendelse av
DetaljerSIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag
SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver
DetaljerI et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x Y = ax + b:
OPPGAVE I et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x 7 74 546 y 48 6 45 a) Plott Y ln y mot X ln x i et rettvinklet koordinatsystem. ) Finn en lineær sammenheng mellom
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA405 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 3..9: Vi starter med å finne de kritiske punktene. De deriverte blir T x (x, y) = ( x xy)e x y T y (x, y) = ( y xy)e x y, slik at de kritiske
DetaljerSom vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk og stil variere noe fra oppgave til oppgave.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerØvelse, eksamensoppgaver MAT 1050 mars 2018
Øvelse, eksamensoppgaver MAT 5 mars 8 Oppgave. La f være funksjonen gitt ved f (x) = x 8 x, x a) Finn alle kritiske punkter for funksjonen f. f (x) = 8 x + x 8 x ( x) = (8 8 x x x ) = (4 8 x x ) = gir
Detaljer1 OPPGAVE 2 OPPGAVE. a) Hva blir kontobeløpet den 2. januar 2040? b) Hvor mye penger blir det i pengeskapet den 2. januar 2040?
OPPGAVE Den. januar 0 satte Ola Normann 00 tusen kroner på en bankkonto med faste renter 3% per år. Han planlegger å ta ut halvparten av rentebeløpet den. januar hvert år, og å legge kontantene til et
Detaljer. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.
MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f
DetaljerOppgavesettet er på 3 sider eks. forside, og inneholder 12 deloppgaver: 1abc, 2, 3, 4abc, 5ab, 6ab.
EKSAMENSOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-0001 Brukerkurs i matematikk. Dato : tirsdag 4. desember 2012. Tid : 09.00-13.00. Sted: : Åsgårdvegen 9. Tillatte hjelpemidler : Alle trykte og skrevne.
DetaljerInstitutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: Kl. 09:00 Innlevering: Kl. 14:00
SENSORVEILEDNING MET 11803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09:00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave 1 Finn
DetaljerEksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler
Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor
DetaljerOppgave 1. (a) Vi løser det lineære systemet for a = 1 ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: x A =
Løsning MET 803 Matematikk for siviløkonomer Dato 8. desember 07 kl 400-900 Oppgave. (a) Vi løser det lineære systemet for a = ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: 7 3 y = 9 6 7
DetaljerMAT feb feb feb MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Forelesning Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom de vanlige analysene vi gjør for
DetaljerOptimering av funksjoner av flere variable
Optimering av funksjoner av flere variable av Tom Lindstrøm Matematisk insitutt/cma Universitetet i Oslo Dette notatet gir en kortfattet innføring i maksimums- og minimumsproblemer for funksjoner av flere
DetaljerOppgave 1. (a) Vi løser det lineære systemet for a = 1 ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: x A =
Løsning MET 80 Matematikk for siviløkonomer Dato 0. mai 07 kl 0900-400 Oppgave. (a) Vi løser det lineære systemet for a = ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: 0 y = 4 0 4 0 z 0 Deretter
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Oppgave 1 Avgjør om grenseverdiene eksisterer:
Detaljer1 Mandag 8. februar 2010
1 Mandag 8. februar 2010 Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom de vanlige analysene vi gjør for funksjoner
Detaljern=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c)
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 204 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
DetaljerOppsummering matematikkdel ECON 2200
Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke 7. mai 2008 1 Innledning En rask oppsummering av hele kurset vil ikke kunne dekke alt vi har gjennomgått. Men alt er pensum, selv om det ikke blir
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen i MAT1050, vår 2019
Løsningsforslag til prøveeksamen i MT15, vår 19 Oppgave 1. a) Vi har sinx + y) d R cosx + y) sinx + π) + sin x siden alle fire leddene er. yπ y π dx sinx + y) dy dx cosx + π) + cos x) dx sin π + sin π)
DetaljerOppgave 1. f(2x ) = f(0,40) = 0,60 ln(1,40) + 0,40 ln(0,60) 0,0024 < 0
Løsning MET 80 Matematikk for siviløkonomer Dato 0. mai 07 kl 0900-400 Oppgave. (a) Vi lar p = 0,60 og q = 0,40, og skriver funksjonen som f() = p ln( + ) + q ln( ) for å forenkle skrivemåten. Funksjonen
DetaljerFaktor. Eksamen høst 2005 SØK 1001- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto
Faktor -en eksamensavis utgitt av Pareto Eksamen høst 005 SØK 00- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr : OBS!! Dette er en eksamensbevarelse, og ikke en fasit. Besvarelsene er uten endringer
DetaljerMatematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44. Oppgaver til seminaret 4/11
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44 Avsn. 5.5: 19, 41, 47 Avsn. 5.6: 9, 17, 47 Avsn. 5.7: 15 På settet: S.1, S.2. Oppgaver til seminaret 4/11 Oppgaver til gruppene uke 45 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn.
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)
DetaljerRepetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2,
Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, 201. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Repetisjonsoppgaver MATEMATIKK 1 REA1141 og REA1141F Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 Denne oppgaven har forholdsvis enkle derivasjoner,
DetaljerFasit til eksamen i emnet MAT102 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 21.september 2015
Fasit til eksamen i emnet MAT02 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 2.september 205 Fasit. (a) Løs ligningssystemene. i) 5x + 7y = 4 3x + 2y = ii) 3x + 4y + z = 2 2x + 3y + 3z = 7 Svar: i) x = 85/, y =
DetaljerInnlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2
Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.
DetaljerInstitutt for samfunnsøkonomi. Eksamensdato: , kl Tillatte hjelpemidler:
Institutt for samfunnsøkonomi Flervalgseksamen i: MET 2403 Matematikk Eksamensdato: 20.2.07, kl 09.00-2.00 Tillatte hjelpemidler: Innføringsark: Alle Svarark Totalt antall sider: 7 Antall vedlegg: (eksempel
DetaljerMAT feb feb mars 2010 MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 22. februar 2010 Forelesning Vi begynner med litt repetisjon fra forrige gang, med å sjekke om et vektorfelt er konservativt og dersom svaret er ja, regne ut potensialfunksjonen.
DetaljerECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger
University of Oslo / Department of Economics / Nils Framstad 9. mars 2011 ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger Revisjoner 9. mars 2011: Nye oppgavesett til 15. og 22. mars. Har benyttet sjansen
DetaljerEmnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2. mars 2018 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelsamling Emnenavn: Metodekurs 1, deleksamen i matematikk Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerEkstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema
DetaljerMET Matematikk for siviløkonomer
SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET 11803 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 0.1.018 Kl. 09:00 Innlevering: 0.1.018 Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia, se
DetaljerHøyskolen i Buskerud. fx ( ) x x 2 = x 1. c) Løs ulikheten ( x 3) ( x + 1)
Høyskolen i Buskerud Eksamen i matematikk. års grunnutdanning Mandag den. desember 00 OPPGVE. Deriver funksjonene a) f ( ) 5 + -- f ( ) 5 + -- 5 + -- b) f ( ) f ( ) ---------- ----------------------------------------
Detaljery (t) = cos t x (π) = 0 y (π) = 1. w (t) = w x (t)x (t) + w y (t)y (t)
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 013 Løsningsforslag Notasjon og merknader En vektor boken skriver som ai + bj + ck, vil vi ofte skrive som (a, b, c), og tilsvarende
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 :, 8, 12, 19, 1, (valgfritt - 9,
DetaljerLøsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2
Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
Detaljer3x ( x. x 1 x a 3 = 1 2 x2. a) Bestem rekkens kvotient og rekkens første ledd.
Oppgave 1 Løs likningen x 2 + x 6 = 0. b) Løs likningen c) Løs ulikheten x 2 + 4x 5 < 0. 3x 2 + 7 x 2 1 ) = 8. d) Løs ulikheten Oppgave 2 x 1 x 2 4 0. Deriver g x) = 3x + ln x) 3. b) Deriver h x) = e x
DetaljerEksamensoppgave i MA0002 Brukerkurs i matematikk B - LØSNING
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0002 Brukerkurs i matematikk B - LØSNING Faglig kontakt under eksamen: Frode Rønning Tlf: 95 21 81 38 Eksamensdato: 7. august 2017 Eksamenstid (fra til):
Detaljer1 Mandag 22. februar 2010
1 Mandag 22. februar 2010 Vi begynner med litt repetisjon fra forrige gang, med å sjekke om et vektorfelt er konservativt og dersom svaret er ja, regne ut potensialfunksjonen. Videre skal vi se på en variant
DetaljerEKSAMEN. Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk)
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2.6.2014 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk) Eksamenstid: kl. 09.00 til kl.
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.
DetaljerTMA4105 Matematikk 2 Vår 2008
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2008 Øving 1 Navn/kursparallell skrives her (ved gruppearbeid er det viktig at alle fyller ut): 1.
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske
DetaljerArne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til
DetaljerOppgaver om derivasjon
Oppgaver om derivasjon Oppgave 1 Gitt funksjonen g(x) = x 3 6x 48x + 13 a) Finn g (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene,
DetaljerEksamen R2, Våren 2011 Løsning
R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene
DetaljerEksamensoppgave i SØK1001 Matematikk for økonomer
Institutt for samfunnsøkonomi Eksamensoppgave i SØK1001 Matematikk for økonomer Faglig kontakt under eksamen: Hildegunn Stokke Tlf.: 97 19 94 54 Eksamensdato: 0. oktober 016 Eksamenstid (fra-til): 4 timer
DetaljerOppsummering matematikkdel
Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 8, 2009 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 8, 2009 1 / 22 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte
DetaljerEmnenavn: Metode 1 matematikk. Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 21. februar 2017 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelsamling Emnenavn: Metode 1 matematikk Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian Bekkevard Om eksamensoppgaven
DetaljerPrøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
DetaljerLøsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
DetaljerOppsummering matematikkdel
Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 6, 2010 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 6, 2010 1 / 23 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er
DetaljerThe full and long title of the presentation
The full and long title of the presentation Subtitle if you want Øistein Søvik Mai 207 Ø. Søvik Short title Mai 207 / 4 Innholdsfortegnelse Introduksjon Nyttige tips før eksamen Nyttige tips under eksamen
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Lørdag 25. Mai 29. Tid for eksamen: :5 4:5. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5
Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /5-5/5 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no May, 009 Oppgave 5.0.a Ser at f(x, y = (, 3, og g(x, y = (x, y. g(x, y = 0 hvis og bare hvis x = y = 0, og dette er ikke kompatibelt
DetaljerLøsningsforslag MAT102 Vår 2018
Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT102 Tirsdag 12 juni 2018, kl 0900-1400 Oppgavesettet har fem oppgaver Hver deloppgave
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA113 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: 5. Juni 19 Eksamenstid (fra til): 9: 13: Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:
Detaljer3x + 2y 8, 2x + 4y 8.
Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B. Eksamen 28. mai 2016 Løsningsforslag. Oppgave 1
MA000 Brukerkurs i matematikk B Eksamen 8. mai 06 Løsningsforslag Oppgave a) Viser at B = A ved å vise at AB = BA = I. Nedenfor er matrisemultiplikasjonen AB vist (du må vise at BA gir det samme). ( )
DetaljerEksamensoppgave i SØK1001 Matematikk for økonomer
Institutt for samfunnsøkonomi Eksamensoppgave i SØK1001 Matematikk for økonomer Faglig kontakt under eksamen: Hildegunn Stokke Tlf.: 97 19 94 54 Eksamensdato:. oktober 015 Eksamenstid (fra-til): 4 timer
DetaljerHøgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014
Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014 ORDINÆR EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 7 sider (inkludert
Detaljer1T eksamen høsten 2017 løsning
1T eksamen høsten 017 løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform. 105000 0,15
DetaljerFasit MAT102 juni 2016
Fasit MAT02 juni 206. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 6 A = 2 7 Svar: λ = 8 og ( ) x = y y ( ) /2, λ = 5 og ( ) x = y y ( ) for alle y 0. (b) Finn den generelle løsningen på systemet
DetaljerNotasjon i rettingen:
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 07 Notasjon i rettingen: R = Rett R = Rett, men med liten tulle)feil
DetaljerLøsningsforslag til Obligatorisk innlevering 7
Løsningsforslag til Obligatorisk innlevering 7 Oppgave a) Likningen e 2x 6e x + 5 = 0 er en annengradslikning i e x. Siden ( ) ( 5) = 5 og 5 = 6 så faktoriserer annengradsuttrykket som (e x 5)(e x ). Dette
DetaljerLøsningsforslag eksamen TMA4105 matematikk 2, 25. mai 2005
Løsningsforslag eksamen TMA5 matematikk, 5. mai 5 Oppgave Vi finner de partiellderiverte av første og annen orden av f, ) = sin : f = sin, f = cos, f =, f = cos, f = sin. Finner de kritiske punktene ved
DetaljerEKSAMEN I MA0002 Brukerkurs B i matematikk
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Achenef Tesfahun (9 84 97 5) EKSAMEN I MA2 Brukerkurs B i matematikk Lørdag 322 Tid:
DetaljerTMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016
TMA4105 Notat om skalarfelt Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 Innhold 1 Grenseverdier og kontinuitet 2 2 Derivasjon av skalarfelt 5 2.1 Partiellderivert og gradient..................................
DetaljerLøsning, Oppsummering av kapittel 10.
Ukeoppgaver, uke 36 Matematikk 3, Oppsummering av kapittel. Løsning, Oppsummering av kapittel. Oppgave a) = +, = + z og z =z +. b) f(,, z) = +, + z,z + så (f(, 3, ) = +3, 3+, +3=7, 3, 5 c ) Gradienten
Detaljer4 ( ( ( / ) 2 ( ( ( / ) 2 ( ( / 45 % + 25 ( = 4 25 % + 35 / + 35 ( = 2 25 % + 5 / 5 ( =
MA Brukerkurs i matematikk B Eksamen 8. mai 6 Løsningsforslag Oppgave a) Viser at! # $ ved å vise at #!!# ' (. Nedenfor er matrisemultiplikasjonen #! vist (du må vise at!# gir det samme). ( + + + / ( +
DetaljerTMA4100 Matematikk1 Høst 2008
TMA400 Matematikk Høst 008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 4 4..3 Vi skal finne absolutt maksimum og absolutt minimum verdiene for funksjonen
DetaljerLøsningsforslag. f(x) = 2/x + 12x
Prøve i FO929A - Matematikk Dato: august 212 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (2 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
DetaljerOppsummering matematikkdel
Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 9, 2011 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 9, 2011 1 / 25 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon
DetaljerI denne øvingen vil vi sammenlikne det teoretiske resultat med et grafisk bilde av konturlinjene til flaten. Vi tegner konturene der
Øving uke 44 Kritiske punkter Se også Mathematicakompendiet, kap 3.8 En funksjon av to variable kan ha lokale maksimal- og minimalpunkter innenfor definisjonsmengden, akkurat som funksjoner av en variabel.
DetaljerNicolai Kristen Solheim
Oppgave 1. 1a) 1, 0, 2, sin 5 4cos sin 54cos sin 8 sin cos cos 54cos 8 sin cos 5cos 4cos 8sin cos 5cos 4cos Dersom vi plotter grafen for vil vi se hvor vokser og avtar. 1 Fra grafen for ser vi følgende
DetaljerFasit eksamen i MAT102 4/6 2014
Fasit eksamen i MAT /6. (a Løs ligningssstemene. Svar: i ( x i = 3x + = 7 x + = ( 6, ii x z ii = x + z = 3x + 6 + z = +. er fri. (b Ved å bruke MATLAB-kommandoen rref på totalmatrisen til ligningssstemet
DetaljerLøsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Oppgave 1 En parametrisk linje L og et plan P (i rommet)
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2010
Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e
DetaljerEksamen R1, Va ren 2014, løsning
Eksamen R1, Va ren 014, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Deriver funksjonene a) f x lnx x Vi bruker
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
Detaljer