UNIVERSITETET I BERGEN
|
|
- Johan Didriksen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 BOKMÅL MAT - Høst 03 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Grunnkurs i Matematikk I Mandag 6. desember 03, kl. 09- Tillatte hjelpemidler: Lærebok ( Calculus - a complete course av R. A. Adams og C. Essex) og kalkulator, i samsvar med fakultetets regler. Oppgavesettet er på 3 sider (med oppgavene 9) og består av 8 deloppgaver som alle teller likt ved sensurering (eksempelvis teller oppgave (a) like mye som hele oppgave ). Les nøye gjennom oppgavesettet. Alle svar skal begrunnes, men begrunnelsene skal være korte. Det må være med nok mellomregning til at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. Oppgave (a) La w være det komplekse tallet med hovedargument π/6 og modulus w = e 8 ln. Regn ut w og skriv svaret på formen x + i y. (b) Skriv opp alle komplekse løsninger til z = på formen x + i y. (c) Skriv tallet +i i på formen x + i y. (a) Vi kan først skrive w på polarform w = e 8 ln cos π 6 + i sin π, 6 og så finne w ved å bruke de Moivres formel w = (e 8 ln ) cos π + i sin π = + i = + i. (b) Her må vi finne alle fjerde røttene av tallet. Vi skriver først på polarform = (cos π + i sin π), Prinsipalroten er da w = cos π + i sin π = + i = + i,
2 og de andre tre røttene blir w = cos π + π + i sin π + π = + i = + i, w 3 = w 3 = cos π + π + i sin π + π = cos π + 6π + i sin π + 6π = i = i, = i, i (c) Vi ganger både telleren og nevneren med det komplekse konjugerte av nevneren, og så kommer frem til svaret + i i = ( + i)( + i) ( i)( + i) = + i + i + 3i = = i + i + + i 3. Oppgave I figurene under er tegnet grafen til tre funksjoner og noe som ikke er graf til noen funksjon. Av de tre funksjonene er to inverse til hverandre. (i) (ii) (iii) (iv) Hvilke av figurene viser grafer til funksjoner? Hvilke figurer viser grafer til funksjoner som er en-til-en? Hvilke figurer viser funksjoner som er inverse til hverandre? Figur (ii) viser ikke grafen til en funksjon fordi der finnes en lodrett linje som snitter figuren på to steder. De øvrige figurene viser grafer til funksjoner som er en-til-en fordi de alle snitter vannrett linjer på høyst et sted. Figurene (i) og (iv) viser funksjoner som er inverse til hverandre, fordi den ene er speilingen av den andre om linjen y = x.
3 Oppgave 3 La f (x) være en funksjon med f () = og f () = 3. (a) Skriv opp en ligning for tangenten til f (x) i punktet (, ). (b) Skriv opp en ligning for tangenten til funksjonen g(x) = f ( ) i punktet (, ). x (c) La f (x) = 3x og la g(x) = f ( x ). Beregn g (x). Skisser grafen til funksjonen g(x) og skisser tangenten til g(x) i punktet (, ). (a) La h(x) = f (x). Ligningen for tangen til h(x) i punktet (x 0, y 0 ) gis ved For å finne h (), bruker vi formelen slik at Ligningen for tangenten blir da y = h (x 0 )(x x 0 ) + y 0. (f ) (x) = h () = (f ) () = f (f (x)), f (f ()) = f () = 3. y = 3 (x ) + = 3 x + 3. (b) Vi bruker samme formel for tangenten som i (a). Denne gangen må vi først finne g (). g (x) = f x = f ( x ) ( x ) = f ( ) x. x Ligningen blir da g () = f () = 3. y = 3 (x ) + = 3x + 5. (c) g(x) = 3 x, g (x) = 3 x, tangenten til g(x) i punktet (, ) gis ved ligningen y = 3x +5. Figur viser grafene til g(x) og dens tangent. Oppgave (a) Bekreft direkte fra ɛ-δ-definisjonen at lim x x =.
4 6 0 6 g(x) y = 3x + 5 Figur : Oppgave 3 (c). (b) Bekreft at funksjonen er deriverbar i x = 0 ved å vise at cos x for x < 0, f (x) = 3 3 ex x for x 0, 3 f (h) f (0) f (h) f (0) lim = lim. h 0+ h h 0 h (a) Vi viser at for ethvert reelt tall ɛ > 0 finnes det et tall δ > 0 (avhengig av ɛ) slik at 0 x < δ x < ε. Vi regner på det vi vil gjøre mindre enn ɛ: x = x x = ( x) x Ved å kreve 0 < δ og x < δ sikrer vi at x >, så <. Ved å kreve både x 0 < δ ɛ og 0 < δ sikrer vi at hvis x < δ, da er x = x x < ɛ = ε.
5 Derfor velger vi δ = min{, ɛ} til åvære det minste av tallene og ɛ. Regningen over viser at hvis 0 x < δ, da er < ε. x (b) La g (x) = 3 cos x, og g (x) = 3 ex 3 x. Legg merke til at g (0) = g (0) = f (0), og at g og g begge er deriverbare i x = 0 med g (0) = 3 sin 0 = 0 og g (0) = 3 e 0 3 = 0. Derfor har vi og f (h) f (0) g (h) g (0) g (h) g (0) lim = lim = lim = g (0) = 0, h 0+ h h 0+ h h 0 h f (h) f (0) g (h) g (0) g (h) g (0) lim = lim = lim = g h 0+ h h 0+ h h 0 h = 0, f (h) f (0) Vi har verifisert at lim h 0+ h f (0) = 0. = lim h 0+ f (h) f (0) h = 0, så f (x) er deriverbar i x = 0 med Oppgave 5 Figuren under viser grafene til en funksjon f (x), den deriverte f (x) til f (x) og den dobbeltderiverte f (x) til f (x). (i) (ii) (iii) Forklar hvordan du kan se hvilken av grafene som viser f (x), hvilken som viser f (x) og hvilken som viser f (x). Funksjonen (ii) har negative verdier for små positive verdier av x og kan dermed ikke være den deriverte av funksjon (i) eller funksjon (iii), fordi både (i) og (iii) er stigende når x > 0. Vi kan dermed konkludere at figuren (ii) viser grafen til f (x). Funksjonen f (x) må være positiv, fordi f (x) er stigende, som betyr at grafen til f (x) er vist på figuren (iii), og at figuren (i) viser grafen til f (x).
6 Oppgave 6 (a) La f (x) være funksjonen f (x) = 0, x = 0, sin x, x 0. Finn et tall s med s < 0, 00 slik at f (s) = og et tall t med t < 0, 00 slik at f (t) =. Forklar i ord hvorfor grensen lim x 0 f (x) ikke eksisterer. Gi et formelt bevis for dette, direkte fra definisjonen. (b) La g(x) være funksjonen g(x) = 0, x = 0, x sin(ln x ), x 0. Vis at g(x) er en kontinuerlig funksjon. (a) Vi har at sin = hvis og bare hvis = π + πn for et heltall n. s s Å finne et slik tall s med s < 0, 00, er det samme som å finne st slikt tall med Vi er altså ute etter et heltall n slik at oppfyller er Det vil si at tallet er slik at s < 0, 00 og sin(s) =. s > 000. π + πn > 000. Velger vi for eksempel n = 000 π + πn = π + 000π > 000. s = π + 000π Tilsvarende har vi at sin s = hvis og bare hvis s = 3π + πn for et heltall n. Å finne et slik tall s med s < 0, 00, er det samme som å finne st slikt tall med Vi er altså ute etter et heltall n slik at oppfyller er Det vil si at tallet er slik at s < 0, 00 og sin(s) =. 3π + πn = 3π s > π + πn > 000. Velger vi for eksempel n = 000 s = 3π + 000π + 000π > 000. Grensen lim x 0 f (x) eksisterer ikke, fordi det finnes vilkårlig små tall s med f (s) = og vilkårlig små tall s med f (s) =, og grensen kan ikke konvergere mot både og. La oss gi et formelt bevis for dette. Til ethvert tall δ > 0 kan vi finne et heltall n slik at både π + πn > δ
7 og 3π + πn > δ. (For eksempel kan vi la n være det minste positive heltall med n >.) Anta at grensen δ lim x 0 f (x) eksisterer, og lim x 0 f (x) = L. Vi viser at det ikke finnes noe tall δ > 0 slik at 0 s < δ f (s) L <. Anta motsetningsvis at en slik δ > 0 eksisterer. Velg n som ovenfor og la s = π + πn og s = 3π + πn. Da er f (s ) = og f (s ) = og vi har 0 < s < δ og 0 < s < δ. Per antagelse om δ er både f (s ) L < og f (s ) L <. Trekantsulikheten gir da at = = (f (s ) L) + (L f (s )) < f (s ) L + L f (s ) <. Dette er absurd, så antakelsen om δ kan ikke være sann for noen δ > 0. Dermed har vi vist at grensen lim x 0 f (x) ikke eksisterer. (b) Funksjonene x, sin(x), x, er kontinuerlige for alle x, og funksjonen ln x er kontinuerlig for x > 0. Derfor er funksjonen g(x) kontinuerlig i alle x 0, og vi trenger bare å sjekke kontinuiteten i x = 0, dvs. at lim x 0 g(x) = g(0) = 0. For å bevise dette, kan vi bruke skviseteoremet: x < x sin(ln x ) < x, derfor Oppgave 7 lim x = lim( x ) = 0, x 0 x 0 lim g(x) = 0. x 0 Mengden av radioaktivt stoff i en stein oppfyller initialverdiproblemet dm d t = cm, m 0 = mg, der c er en konstant og m = m(t) er massen ved tid t til det radioaktive stoffet målt i milligram (mg). Halveringstiden til det radioaktive stoffet er 0 år, så m(0 år) = 0, 5 mg. Løs initialverdiproblemet og beregn massen til det radioaktive stoffet etter 5 år. Vi vet at initialverdiproblemet dm d t = cm, m 0 = mg,
8 har en entydig løsning m(t) = e ct. For å finne konstanten c bruker vi informasjonen om halveringstiden: e 0c = 0, 5, 0c = ln, c = ln 0. Derfor er massen til det radioaktive stoffet etter 5 år lik Oppgave 8 ln 5 m(5) = e 0 = e ln = 0, 707 mg. (a) Bekreft, direkte fra definisjonen tanh x = ex e x, at funksjonen y = tanh x er en løsning til e x +e x differensialligningen d y d x = y. (b) Løs initialverdiproblemet og beregn y( ). d y d x = y, y(0) = tanh(), (a) Dette er rett frem: e x e x tanh x = e x + e x = (ex + e x ) (e x + e x ) (e x e x ) (e x e x ) (e x + e x ) = (tanh x). (b) Ligningen d y d x = y, er separabel og kan omskrives på formen d y y = d x, tanh (y) = x + c, c, y = tanh(x + c), c. Vi bruker initialbetingelsen og finner at c =, dvs. y = tanh(x + ), og y( ) = tanh(0) = 0.
9 Oppgave 9 La f (x) være en funksjon med f (0) = og f (0) = 0 slik at alle de høyere deriverte funksjoner f (n) (x) er definert på hele den reelle aksen og slik at f (x) = x f (x). (a) Beregn f (0), skriv opp det andre Taylorpolynomet P (x) for f (x) om x = 0 og finn P (). (b) Finn det fjerde Taylorpolynomet P (x) for f (x) om x = 0 og beregn P (). (c) La n og la P n (x) være det n-te Taylorpolynomet for f (x) om x = 0. Forklar hvorfor P (x) er det (n )-te Taylorpolynomet til f (x), og forklar hvordan det følger av Taylors n formel med restledd at der finnes en funksjon g(x) som er kontinuerlig i x = 0 slik at P (x) x P n n(x) = x n g(x). (a) f (0) = 0 f (0) = 0, (b) P (x) = f (0) + f (0)x + f (0) x =,! P () =. f (x) = (x f (x)) = f (x) + x f (x), f (0) = f (0) + 0 f (0) =, f (x) = (f (x) + x f (x)) = f (x) + f (x) + x f (x) = f (x) + x f (x), f (0) = 0, P (x) = + x 3 (c) n-te Taylorpolynom for f (x) om x = 0 gis ved formelen P n (x) = f (0) + f (0)x + f (0)! Vi deriverer dette uttrykket to ganger, og finner P (x) = f (0) + f (0)x + f (0) n! som er (n )-te Taylorpolynom for f (x). 6, x f (n) (0) x n. n! x f (n) (0) (n )! x n, Vi skriver Taylors formler med restledd av n-te grad for f (x) og av n -re grad for f (x): f (x) = P n (x) + f (n+) (s(x)) x n+, (n + )! hvor s(x) ligger mellom 0 og x, slik at lim x 0 s(x) = 0 (ifølge skviseteoremet).
10 slik at lim x 0 t(x) = 0. f (x) = P (x) + f (n ) (t(x)) x n, n (n )! Vi uttrykker P n (x) og P (x) fra disse formlene og får n (x) x P n n(x) = f (x) f (n ) (t(x)) x n x f (x) f (n+) (s(x)) x n+ (n )! (n + )! P hvor = f (x) x f (x) + f (n+) (s(x)) (n + )! = x n g(x) = x 3 f (n+) (s(x)) (n + )! x n+ f (n ) (t(x)) x n (n )! x 3 f (n+) (s(x)) (n + )! f (n ) (t(x)). (n )! f (n ) (t(x)) (n )! = x n g(x), Merk at f n+ (x) og f n (x) er kontinuerlige for alle x, og at funksjonene s(x) og t(x) er kontinuerlige i x = 0. Funksjonen g(x) er dermed kontinuerlig i x = 0. Georgy Ivanov og Morten Brun
EKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00
Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 7 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 15 Tid: 9: 14: Tillatte
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i Matematikk II Torsdag 4. juni 05, kl. 09:00-4:00 Bokmål Tillatte hjelpemiddel: Enkel kalkulator i samsvar
DetaljerEKSAMEN. Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke. Klasser: (div) Dato: 18. feb Eksamenstid:
. EKSAMEN EMNE: MA61 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke Klasser: (div) Dato: 18. feb. 4 Eksamenstid: 9 1 Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink. forside): 8 Antall oppgaver: 5 Antall
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 9. oktober 205 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark, formelsamling.
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 Innleveringsfrist: Mandag 26. september 2016, kl. 14, i Infosenterskranken i inngangsetasjen
DetaljerLøsningsforslag MAT102 Vår 2018
Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT102 Tirsdag 12 juni 2018, kl 0900-1400 Oppgavesettet har fem oppgaver Hver deloppgave
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA1) Bokmål Tirsdag 1. desember 11 Tid: 9: 1: (4 timer)
DetaljerOPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG
LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT - Grunnkurs i matematikk I torsdag 5.desember 20 kl. 09:00-4:00 OPPGAVE a Modulus: w = 2 + 3 2 = 2. Argument
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 00 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 6. desember 202. Tid for eksamen: 9:00 3:00. Oppgavesettet er på 8
DetaljerEKSAMEN. Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke. Klasser: (div) Dato: 3. des Eksamenstid:
. EKSAMEN EMNE: MA61 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke Klasser: (div) Dato: 3. des. 3 Eksamenstid: 9 1 Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink. forside): 7 Antall oppgaver: 6 Antall
DetaljerDeleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT1100 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 14. oktober 2016 Tid for eksamen: 13.00 15.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger del 1 Eksamensdag: Tirsdag 7. desember 2004 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesettet
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT1100 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 11. desember 2015 Tid for eksamen: 09.00 13.00. Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark,
DetaljerNotasjon i rettingen:
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 207 Notasjon i rettingen: R Rett R Rett, men med liten tulle)feil
DetaljerNotasjon i rettingen:
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 07 Notasjon i rettingen: R = Rett R = Rett, men med liten tulle)feil
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 12. desember 2003 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 7 sider.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag Onsdag 9. mai, kl. 9. 4. Bokmål Oppgave a) La R være området mellom kurvene Finn
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 1100L Programmering, modellering, og beregninger. Prøveeksamen 1 Eksamensdag: Onsdag 14. November 2014. Tid for eksamen:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i Eksamensdag: 9. april,. Tid for eksamen: : :. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus og
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Kalkulus. Eksamensdag: Fredag 9. desember 2. Tid for eksamen: 9.. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag 7. januar 2005. Tid for eksamen: 14:30 17:30. Oppgavesettet er på
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT, høsten 206 Innleveringsfrist: Mandag 2. november 206, kl. 4, i Infosenterskranken i inngangsetasjen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 1100L Programmering, modellering, og beregninger. Eksamensdag: Fredag 2. Desember 2016. Tid for eksamen: 9:00 13:00.
DetaljerTMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41/TMA415 Matematikk 4M/4N Vår 1 Løsningsforslag Øving 1 Skriv om følgende trigonometriske funksjoner til fourierrekker ved
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsningsforslag Øving 04 30 For å vise at f er en injektiv one-to-one funksjon, ser vi på den deriverte,
DetaljerEksamensoppgave i MA1101 Grunnkurs i analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1101 Grunnkurs i analyse Faglig kontakt under eksamen: Kari Hag Tlf: 48 30 19 88 Eksamensdato: 15. oktober 018 Eksamenstid (fra til): 17:30 19:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 1100L Programmering, modellering, og beregninger. Eksamensdag: Fredag 2. Desember 2016. Tid for eksamen: 9:00 13:00.
DetaljerOPPGAVE 1 NYNORSK. LØYSINGSFORSLAG Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i matematikk I onsdag 16. mai 2012 kl. 09:00-14:00. a) La z 1 = 3 3 3i, z 2 = 4 + i,
LØYSINGSFORSLAG Eksamen i MAT - Grunnkurs i matematikk I onsdag 6. mai kl. 9:-4: NYNORSK OPPGAVE a) La z = i, z = 4 + i, finn (skriv på forma a + bi): i) z z og ii) z z. : i) z z = ( i)(4 + i) = i i =
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag
5..7 EKSAMEN Løsningsforslag Emnekode: ITD5 Dato:. desember 7 Hjelpemidler: - To A-ark med valgfritt innhold på begge sider. - Formelhefte. - Kalkulator som deles ut samtidig med oppgaven. Emnenavn: Matematikk
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT1100 Kalkulus. Eksamensdag: Fredag 9. desember 011. Tid for eksamen: 09.00 1.00. Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 11L Programmering, modellering, og beregninger. Eksamensdag: Fredag 5. Desember 214. Tid for eksamen: 9: 13:. Oppgavesettet
DetaljerEKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I - LØSNING Mandag 15. desember 2014 Tid: 09:00 14:00
Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 11 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I - LØSNING Mandag. desember 214 Tid: 9: 14:
DetaljerLøsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å
DetaljerLøsningsforslag eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I høsten 2009
Løsningsforslag eksamen MAT Grunnkurs i Matematikk I høsten 9 OPPGAVE (a) Vi har w = + ( ) =. I et komplekse plan ligger w i 4. kvarant og vinkelen θ mellom tallet og en relle aksen har tan θ =, vs. at
DetaljerLøsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003
Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 003 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige eksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. Første del av eksamen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Tenkeonsdag i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Dag: Onsdag 28. november 2012. Tid for moroa: 16:00 19:00. Oppgavesettet er på 9
DetaljerEksamensoppgave i MA1102/6102 Grunnkurs i analyse II
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1102/6102 Grunnkurs i analyse II Faglig kontakt under eksamen: Magnus Landstad Tlf: Eksamensdato: 6. juni 2017 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)
DetaljerTaylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a
Taylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a P n (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (a) 2 (x a)2 + + f (n) (a) (x
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1
Løsningsforslag til prøveeksamen i MT, H- DEL. ( poeng Hva er den partiellderiverte f y sin(xy cos(xy y sin(xy x sin(xy cos(xy xy sin(xy cos(xy y sin(xy + xy sin(xy når f(x, y = y cos(xy? Riktig svar:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 11 Modellering og beregninger Eksamensdag: Mandag 1 Desember 218 Tid for eksamen: 9: 13: Oppgavesettet er på 5 sider
DetaljerLYØSINGSFORSLAG Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i matematikk I onsdag 18. mai 2011 kl. 09:00-14: i( 3 + 1) = i + i + 1
LYØSINGSFORSLAG Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i matematikk I onsdag 18. mai 011 kl. 09:00-1:00 NYNORSK OPPGAVE 1 Gitt dei komplekse tala z = 3 + i, w = 1 + i a Rekn ut (skriv på forma a + bi (i z + 3w,
DetaljerHøgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014
Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014 ORDINÆR EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 7 sider (inkludert
DetaljerOppfriskningskurs i Matematikk
Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 2 Stine M. Berge 06.07.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 06.07.19 1 / 16 Funksjoner Definisjon En funksjon f er en prosses som ett element i en
DetaljerLøsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100, H-06
Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT, H-6. ( poeng) Det komplekse tallet z har polarkoordinater r = 4, θ = π 4. Da er z lik: + i + i + i i + i Riktig svar: c) + i Begrunnelse: z = r(cos θ + i sin
DetaljerE K S A M E N : FAG: Matematikk 1 MA-154 LÆRER: MORTEN BREKKE. Klasse(r): Alle Dato: 1. des 11 Eksamenstid, fra-til: 0900-1400
UNIVERSITETET I AGDER Grimstad E K S A M E N : FAG: Matematikk MA-54 LÆRER: MORTEN BREKKE Klasse(r): Alle Dato:. des Eksamestid, fra-til: 0900-400 Eksamesoppgave består av følgede iklusive forside Atall
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag. oktober 28. Tid for eksamen: 5: 7:. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Mandag 5. desember 2011. Tid for eksamen: 9:00 13:00. Oppgavesettet er på
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 016 Separable og førsteordens lineære differensialligninger En differensialligning er separabel
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag 7. desember 27. Tid for eksamen: 9: 12:. Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Lørdag 25. Mai 29. Tid for eksamen: :5 4:5. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bokmål Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 17. desember 2007, kl. 09-14. Oppgave 1 Gitt f(x) = x + x 2 1, 1 x 1. a) Finn og
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerLøsningsforslag, Ma-2610, 18. februar 2004
Løsningsforslag, Ma-60, 8. februar 004 For sensor og kandidater.. Lineær uavhengighet Avgjør hvorvidt de følgende funksjonene er lineært uavhengige på den reelle tallinja: f(x) x g(x) 3x h(x) 5x 8x Svaralternativ
DetaljerLøsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100
Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl. 9.00-.00 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: Torsdag 10 januar 2008 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 6
DetaljerDerivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner
DetaljerMatematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013
BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )
DetaljerNOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN
NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT2 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY. Innledning og definisjoner Vi vil i dette notatet betrakte reelle funksjoner
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11
Fasit til utvalgte oppgaver MAT uka 5/-9/ Øyvind Ryan oyvindry@ifi.uio.no) November Oppgave 9.. Vi skriver 5x 5 x )x ) A x B x og ser at vi må løse likningene Ax ) Bx ) x )x ) A B 5 A B 5. A B)x A B x
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker 3 i 3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 3 i Løs likningen
DetaljerMAT jan jan feb MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i analyse II Vår 219 8.4.1 Vi skal finne lengden til kurven x = 3t 2, y = 2t 3 der t 1. Som boka beskriver på
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 15. oktober 004 Tid for eksamen: 11:00 13:00 Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998
Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 00 Kalkulus. Eksamensdag: Mandag,. desember 006. Tid for eksamen:.30 8.30. Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For
DetaljerEksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer.
Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 007 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 4 Vedlegg Tillatte hjelpemidler Sirkelskive i radianer Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36. Oppgaver til seminaret 8/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 8/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 1. oktober 2005. Tid for eksamen: 9:00 11:00. Oppgavesettet er på
DetaljerLøsningsforslag. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller like mye.
Eksamen i FO929A - Matematikk Dato: 2013 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller
DetaljerLøsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1
Løsningsforslag til Mat2 Obligatorisk Oppgave, våren 206 Oppgave Avgjør om følgende rekker er konvergente: (a) n + n n + n + Løsning: rekken lim : n n + n n + n + Vi bruker grensesammenligningstesten mhp.
DetaljerNicolai Kristen Solheim
Oppgave 1. For å kunne skrive det komplekse tallet følgende endringer foretas på uttrykket. 3 3, hvor 3 og 3 på formen, hvor og, må For å kunne skrive det komplekse tallet på polarformen, må vi først finne
DetaljerLøsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03
Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36. Oppgaver til seminaret 9/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 9/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar
DetaljerIR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer
Utsatt Eksamen 8. juni 212 Eksamenstid 4 timer IR1185 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del 2 uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare
DetaljerLøsningsforslag til Eksamen i MAT111
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Mandag 6. desember 21. Tid for eksamen: 9: 13:. Oppgavesettet er på 5 sider.
DetaljerPrøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
DetaljerHøgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 25. mai 2012
Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 25. mai 2012 EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (inkludert formelsamling).
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M100 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M00 Våren 00 Oppgave Evaluerer grensen cos( ) 0 ( sin( ) ) 0 6 0 6 5 0 sin( ) 0 sin( ) = Har brukt l Hôpitals regel (derivert teller og nevner hver for seg) i første og tredje overgang.
DetaljerKommentarer til Eksamen IM005 - V02
Kommentarer til Eksamen IM005 - V02 Følgende oppgaver er aktuelle innenfor dagens pensum: Oppgave 1a,d,e,f,h,i Oppgave 2a,b,c Oppgave 3 Oppgave 4a,c,d I Oppgavene 1f,h,i skal det stå enkel graf (simple
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 8 Oppgaver fra boken: 10.1 : 13, 14, 18 10.2 : 15, 18, 32 10.3
Detaljerx 3 x x3 x 0 3! x2 + O(x 7 ) = lim 1 = lim Denne oppgaven kan også løses ved hjelp av l Hôpitals regel, men denne må da anvendes tre ganger.
TMA400 Høst 0 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 4..4 Vi bruker Taylor-polynom til å løse denne oppgaven. Taylor-polynomet Maclaurinpolynomet til sin x om x =
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06
Løsningsforslag til eksamen i MAT, H6 DEL. poeng Hva er den partiellderiverte f z xyz cosxyz x sinyz + xyz cosyz xy cosyz x sinyz + xz cosyz cosyz xyz sinyz når fx, y, z = xz sinyz? Riktig svar b: x sinyz
DetaljerSIF5003 Matematikk 1, 6. desember 2000 Løsningsforslag
SIF53 Matematikk 1, 6. desember 2 Oppgave 1 Dreid om y aksen: iv). Dreid om x = 1: iii). Oppgave 2 Om bredden på rektanglet er 2x og høyden er y finner vi for det ukjente arealet A og den kjente omkretsen
DetaljerEKSAMEN I MA0002 Brukerkurs B i matematikk
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Achenef Tesfahun (9 84 97 5) EKSAMEN I MA2 Brukerkurs B i matematikk Lørdag 322 Tid:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 11. juni 21. Tid for eksamen: 14.3 17.3. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT111 Kalkulus
DetaljerLøysingsforslag Eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen, Hausten 2016
Løysingsforslag Eksamen MAT Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen, Hausten 26 OPPGÅVE Det komplekse talet z = 3 i tilsvarar punktet eller vektoren Rez, Imz) = 3, ) i det komplekse planet, som
DetaljerEKSAMEN. Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk)
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2.6.2014 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk) Eksamenstid: kl. 09.00 til kl.
Detaljer