1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii)"

Transkript

1 1 MAT1 Obligatorisk innlevering 1 1 Regn ut i) ii) iii) Regn ut i) ii) iii) Regn ut i) 3 16 ii) 3 8 iii) Regn ut i) Regn ut i) 3 16 ii) 5 16 iii) ii) Regn ut i) 3 14 ii) Regn ut 1/3 3/4. iii) 3 32 iii) 1 14 i) 4 3 ii) 1 3 iii) Regn ut 3 5. i) 3 ii) 3 iii) 2 9 Regn ut e θ e 2θ. i) e θ ii) e 3θ iii) e θ 1 Regn ut a3 b 2 a b 3. i) a2 b 5 ii) a3 b 4 iii) a2 b 4 y 11 Regn ut 1 y. 1 i) 2 y 2 1 ii) iii) 2 2 y 2 y 2 12 Faktoriser 3 9. i) 3( 3) ii) 3( 2) iii) 3( 1) 13 Faktoriser i) ( 1)( + 1) ii) ( 1) 2 iii) ( + 1) 2

2 2 MAT1 Obligatorisk innlevering 1 14 Faktoriser 2 1. i) ( 1)( + 1) ii) ( + 1) 2 iii) ( 1) 2 15 Faktoriser i) ( + 1) 3 ii) ( 1) 2 ( + 1) iii) ( 2 + 1)( 1) 16 Faktoriser 2 8. i) 2( 2) ii) 2( 4) iii) 2( 8) 17 Faktoriser 2 5. i) ( 5)( + 5) ii) ( 5)( + 5) iii) ( 5)( + 5) 18 Faktoriser i) ( + 1)( 2) ii) ( 1)( + 2) iii) ( + 2)( + 1) 19 Faktoriser i) ( + 5) ii) ( + 1)( + 5) iii) ( 1)( 5) 2 Faktoriser 4 2. i) ( + 1) 4 ii) 2 ( 1)( + 1) iii) ( + 1) 2 ( 1) 2 21 Gitt f () = 2 f ( + ) f (). La g() = lim. Da er g(): i) 2 ii) 2 + iii) Det gjelder: f f ( + h) f ( ) ( ) = lim h h i) ii) 1 iii) 2 tan(π/4 + h) tan(π/4). Grensen lim er da lik: h h 23 Det gjelder: f f ( + h) f () () = lim h h i) 1 ii) 2 1 iii). Grensen lim h + h h er da lik: 24 Det gjelder: f f ( + ) f ( ) cos( π 2 ( ) = lim. Grensen lim + ) cos( π 2 ) er da lik: i) ii) 1 iii) 1 25 Deriverte til y = 2 er: i) y = 2 ii) y = 3 iii) y = 3 26 Deriverte til y = 5 2 er: i) y = 2 ii) y = 1 iii) y 1 = Deriverte til y = er: i) y = ii) y = 2( + 1) iii) y =

3 3 MAT1 Obligatorisk innlevering 1 28 Deriverte til y = er: i) y 1 = ii) y 3 = iii) y 3 = (1 2) 2 (1 2) 2 (1 2) 2 29 Deriverte til y = e er: i) y = e ( + 1) ii) y = e (1 ) iii) y = e 3 Deriverte til y = ln i) y = 1 + ln 2 er: ii) y = 1 ln 2 iii) y = 1 31 Deriverte til y = 1 3 (e3 + e 3 ) er: i) y = e 3 e 3 ii) y = e 3 + e 3 iii) y = e 3 1 e Deriverte til y = sin 1 + cos er: i) y 1 = ii) y = 1 cos iii) y = cos 1 + cos (1 + cos ) 2 sin 33 Deriverte til y = 3 ln er: i) y = 3 2 (ln + 1) ii) y = iii) 2 (3 ln + 1) 34 Grafen tilf () = 2 2 har i) Minimumspunkt i = 1 ii) Maksimumspunkt i = 1 iii) Minimumspunkt i = 1

4 4 MAT1 Obligatorisk innlevering 1 35 Grafen av kurven til y = f () er tegnet her I = 4 er f : i) ikke definert og dermed ikke kontinuerlig. ii) definert men har ikke grenseverdi og dermed ikke kontinuerlig iii) f er ikke definert og har ikke grenseverdi. π 36 Hvis f () = sin 2 (), er f lik: 4 i) ii) 1 iii) 2 37 Omkretsen til et rektangel er lik 6. En av sidelengdene er lik. Arealet kan da uttrykkes ved: i) A() = (6 ) ii) A() = 2(3 ) iii) A() = (3 ) 38 Tangentlinjen til f () = ln i punktet (e, e) er i) T() = 2 e ii) T() = 3 e iii) T() = 2 2e 39 En partikkel beveger seg langs -aksen med en hastighet som ved tiden t er gitt ved v(t) = sin(2t) + 3t + 1. Hva er partikkelens akselerasjon ved t = π 2? i) ii) 1 iii) 2 4 En ball kastes rett oppover med en starthastighet v = 19, 6 m/s. Kastet starter i en høyde 2, 5 m over bakken. Vi bruker som vanlig et koordinatsystem der -aksen er horisontal og y-aksen er vertikal og rettet oppover. Tyngdens akselerasjon er g = 9, 8 m/s 2. Ved tiden t (målt i sek.) kan høyden uttrykkes ved: h = 2, g t2 + 19, 6t. Landingstidspunkt er da: i),1237 sek. ii) 4,1237 sek iii) 2,1237 sek. 41 Horisontal posisjonen til en partikkel ved tidspunktet t (sek.) er gitt ved: (t) = 3t 2 +1+cos(t). Akselerasjonen til partikkelen ved t = π er lik: i) 7 ii) 5 iii) 6 42 Kostnadfunksjonen for å produsere enheter er gitt ved: K() = Salgsprisen pr. enhet er p = 1. Profittfunksjonen er da: i) P() = ii) P() = iii) P() =

5 5 MAT1 Obligatorisk innlevering 1 43 Kostnadfunksjonen for å produsere enheter er gitt ved: K() = Salgsprisen pr. enhet er p = 1. Produksjonantall som gir størst profitt er: i) 4 enheter ii) 5 enheter iii) 6 enheter. 44 Deriver funksjonen f () = 5. i) f () = 5 ii) f () = iii) f () = 5 + C. 45 Deriver funksjonen f () = i) f () = ii) f () = C iii) f () = 2 46 Deriver funksjonen f () = i) f () = 2 3 ii) f () = 1 3 iii) f () = Deriver funksjonen f () = 2 1,5. i) f () = 3 ii) f () = 3 iii) f () = 3, 5 48 Deriver funksjonen f () = 5. i) f () = 1 2 ii) f () = 5 2 iii) f () = Deriver funksjonen f () = e 2. i) f () = e 2 ii) f () = 2e 2 iii) f () = 5 Deriver uttrykket f () = g() h(). i) f () = g ()h () ii) f () = g ()h() iii) f () = g ()h() + g()h () 51 Deriver uttrykket f () = g() h(). i) f () = g () h () ii) f () = g ()h() g()h () h() 2 iii) f () = g () h() 52 Deriver uttrykket f () = g(h()). i) f () = g () h () ii) f () = g (h()) h () iii) f () = g (h()) 53 Deriver funksjonen f () = e sin. i) f () = e sin cos ii) f () = e sin cos iii) f () = e sin 54 Deriver funksjonen f () = e ln. i) f () = 1 ii) f () = e ln 2 iii) f () = e ln 55 Er funksjonen f () = 1 deriverbar for alle? i) Nei. ii) Ja. iii) Ja, men bare for >. 56 Deriver funksjonen f () = sin() cos(). i) f () = cos 2 sin 2 ii) f () = 1 iii) f () = cos 2 + sin 2 57 Deriver funksjonen f () = ln( 2 ). i) f () = 2 ii) f () = 1 iii) f () = 2 e Deriver funksjonen f () = sin(sin()). i) f () = cos 2 sin 2 ii) f () = cos(sin()) cos() iii) f () = 1

6 6 MAT1 Obligatorisk innlevering 1 59 Deriver funksjonen f () = ln(3). i) f () = ii) f () = iii) f () = Deriver funksjonen f () = ( + 1). i) f () = ii) f () = 2 + iii) f () = 2 61 Deriver funksjonen f () = + 1. i) f 1 () = ii) f () = iii) f () = 2 1 ( + 1) 2 ( + 1) 2 ( + 1) 2 62 Deriver funksjonen f () = e 2. i) f () = 2e 2 ii) f () = e 2 iii) f () = 2e 63 Deriver funksjonen f () =. i) f () = 1 2 1/2 ii) f () = 1 2 iii) f () = Regn ut ( + 1) d. i) C ii) 2 65 Regn ut 1/3 d C iii) 1 i) 1 3 4/3 + C ii) 3 2 2/3 + C iii) Ingen løsning 66 Regn ut ( 2 cos t) dt. i) 2 sin t + C ii) 2 sin t iii) 2 cos t + C 67 Regn ut sin(3y) d y. i) cos(3y) + C ii) 3 cos(3 y) + C iii) 1 3 cos(3y) + C 68 Regn ut 28(7 2) 5 d. i) 112(7 2) 4 + C ii) 14(7 2) 5 + C iii) (7 2) 4 + C 69 Regn ut 3 2s ds. i) s + C ii) 3 s 2 + C iii) 1 3 (3 2s)3/2 + C 7 Integralet til f () er 2 + sin + C. Hva er f ()? i) 3 + cos ii) 3 cos iii) 2 + cos 71 Finn arealet begrenset av kurven til y = 2, -aksen og y-aksen. i) 1 ii) 2 iii) 3

7 7 MAT1 Obligatorisk innlevering 1 72 Finn arealet begrenset av kurven til y = 1 2 og -aksen. i) 1 3 ii) 4 3 iii) Regn ut 1 1 i) 1 ii) 1 iii) 2 74 Regn ut π π (2 + 1) d. sin d. i) 2 ii) 1 iii) 5 75 Regn ut + 1 d. i) ln( + 1) ii) 5 ln 6 iii) Ingen løsning 76 Regn ut i) e 2 ii) 2 e d. 1 e 2 iii) 1 1 e 2 77 Hvordan kan vi regne ut arealet mellom en funksjonskurve og -aksen? i) Ved å bruke trigonometri ii) Derivere iii) Integrere Regn ut d i) Uttrykket blir uendelig stort ii) (null) iii) 1 79 Finn når i) 4 ii) 2 iii) 2 8 Finn når i) 4 ii) 8 iii) 8 81 Finn y når y i) 1 ii) π iii) 2π 82 Finn y når y π dt = 2. y dy = 8. sin d = 2. cos d = 1. i) 2π ii) π 2 iii) π Finn t når d = ln 2. t i) 1 ii) 2 iii) 3 84 En funksjon f er gitt ved f () = Finn den antideriverte G til f gitt ved G() = 1. i) ii) C iii) 2 + 1

8 8 MAT1 Obligatorisk innlevering 1 85 En funksjon f er gitt ved f () = Finn den antideriverte G til f gitt ved G() = 1. i) C ii) iii) 6 + C 86 En funksjon f er gitt ved f () = 6. Finn den antideriverte G til f gitt ved G() = 1. i) 6 + C ii) iii) Finn f () når f () = og f ( 1) = 3. i) C ii) iii) Finn f () når f () = 1 og f ( 1) = 3. i) + 4 ii) iii) + C 89 Finn f () når f () = 6 2 og f ( 1) = 3. i) C ii) iii) Finn det ubestemte integralet 1/(3 + 1)d. i) 1/ C ii) 1/3 ln + 1/3 + C iii) 1/(3 + 1) 2 + C 91 Finn det ubestemte integralet 1/(2 + 1)d i) 1/(2 + 1) 2 + C ii) 1/2 ln + 1/2 + C iii) 2/(2) 2 + C 92 Finn det ubestemte integralet 1/(4 1)d. i) 1/4 ln 1/4 + C ii) 1/4 2 + C iii) 4/(4) 2 + C 93 Funksjonen f er gitt ved f () = 2. Finn arealet A som er avgrenset av -aksen, linja =, linja = 1 og grafen til f. i) 2 ii) 1 iii) 1 94 Funksjonen f er gitt ved f () = 3. Finn arealet A som er avgrenset av -aksen, linja =, linja = 1 og grafen til f. i) 3 2 ii) 3 iii) 3/2 95 Funksjonen f er gitt ved f () = 7. Finn arealet A som er avgrenset av -aksen, linja =, linja = 1 og grafen til f. i) 7 ii) 7 iii) sin(6)d. i) 1/6 cos(6) + C ii) 6 cos(6) + C iii) cos(6) + C sin(7)d. i) cos(7) + C ii) 1/7 sin(7) + C iii) 1/7 cos(7) + C cos(8)d. i) 8 sin(8) + C ii) 1/8 sin(8) + C iii) sin(8) + C cos()d. i) sin() + C ii) cos() sin() + C iii) cos() + sin() + C

9 9 MAT1 Obligatorisk innlevering cos()d. i) 2 cos() + 2 sin() + C ii) 2 cos() 2 sin() + C iii) 2 2 sin() + C 11 sin()d. i) sin() + cos() + C ii) sin() cos() + C iii) 1/2 2 cos() + C 12 Finn fra likningen: 2 3 = 4 i) = 7 2 ii) = 1 7 iii) = Finn fra likningen: 2 + = 6 i) 1 = 2 = 2 ii) 1 = 2, 2 = 3 iii) 1 = 2, 2 = 3 14 Finn fra likningen: = i) 1 = 1, 2 = 1 ii) 1 = 1, 2 = 4 iii) 1 = 2, 2 = 4 15 Finn fra likningen: e 2+3 = 4 i) ln 2 ii) 3 2 ln 2 iii) ln 4 16 Finn fra likningen: 3e 2 6 = i) = 2 ln 3 ii) 1 3 ln 2 iii) 1 2 ln 2 17 Finn fra likningen: ln( + 4) + 3 = i) = e 3 4 ii) = e iii) e Finn fra likningen: 2 ln(/3) = 4 i) = 3e 2 ii) 4e 3 iii) 3e 2 19 Finn fra likningen: 2 6 = 9 i) 1 = 2 = 3 ii) 1 = 3, 2 = 3 iii) 1 = 3, 2 = 11 Finn fra likningen: 7, , 78 = 13, 12 i) = 2, 5 ii) 1, 16 iii) 1, Finn fra likningen: = 2 i) 1 = 1, 2 = 2 ii) = 1 iii) 1 = 2, 2 = Gitt ligningen =, hvilket utsagn er da riktig: i) er en løsning ii) er ikke løsning iii) 5 er en løsning 113 Gitt ligningen + 1 =, hvilket utsagn er da riktig: i) 1 er en løsning ii) det fins ikke noen løsninger iii) 1 er den eneste løsningen 114 Når vi løser ligningen 3 2 =, så vil: i), 2 og 2 utgjøre alle løsningene ii) bare 2 og 2 være løsning iii) bare 2 og være løsning. 115 Kurvene y = e 2 og y = 4 har ett skjæringspunkt, og det ligger i 2. kvadrant. Ligningen e 2 = 4 har da: i) en positiv løsning ii) bare en løsning (og den er negativ) iii) ingen løsninger

10 1 MAT1 Obligatorisk innlevering Løser du (2 4) 2 =, så får du: i) 1 = 2 og 2 = 2 ii) ingen løsninger iii) bare en løsning: = Løser du ( + 2)(2 4) 2 =, så får du: i) 1 = 2 og 2 = 2 ii) ingen løsninger iii) bare en løsning: = Ligningen = har: i) ingen løsninger ii) bare som løsning iii) alle tall som ikke er negative som løsninger 119 Løser du 18 5 = 36 11, så får du: i) = ln 2 2 ii) = iii) = ln 2 ln(5/11) ln 5 ln 11 ln(5 11) 12 Tallet er løsning av 2 ln 13 = 15 dersom i) = 1/e, ii) = e iii) = 2e 121 Løser du 2(ln ) 2 5 ln + 7 =, så får du: i) 1 = 14/4, 2 = 1 ii) ingen løsninger iii) 1 = e 3,5, 2 = e Løser du (ln ) 2 ln 6 =, så får du: i) 1 = 1/e 2, 2 = e 3 ii) ingen løsninger, iii) bare en løsning: = e Løser du 3 ln = 1, så får du: i) ingen løsninger ii) = 3 e, iii) = e Løser du 3 ln( ) = 3, så får du: i) ingen løsninger ii) = e iii) = ln(2e) 125 Løser du 2 sin = 3 og krever at [, 2π], så får du at: i) løsningen er sin 1 (3/2) ii) det ikke er noen løsninger iii) løsningen er π/3 126 Løser du 2 sin = 3 og krever at [, 2π], så får du at: i) 1 = π/3, 2 = 2π/3 ii) det finnes ikke noen løsninger iii) det er bare en løsning, = π/ Ligningen 4 = har ingen løsning fordi: 4 i) du kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall ii) A betegner alltid et ikke-negativt tall for A iii) telleren under rottegnet kan være både pluss og minus 128 Løs ligningen ln(5 4) = 2 ln. Svaret blir da: i) 1 = 1, 2 = 4 ii) 1 = 2, 2 = 4 iii) 1 = 2, 2 = Løs ligningen ln( + 6) = 2 ln. Svaret blir da: i) 1 = 2, 2 = 3 ii) = 3 iii) ingen løsninger

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon

Detaljer

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der: Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA0001 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 2010

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA0001 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA1 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 1 Oppgave 1 Ligningen kan skrives 4 ln x 3 ln

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8 Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)

Detaljer

Løsningsforslag, Øving 10 MA0001 Brukerkurs i Matematikk A

Løsningsforslag, Øving 10 MA0001 Brukerkurs i Matematikk A Løsningsforslag, Øving MA Brukerkurs i Matematikk A Læreboka s. 9-95 8. Anta at en endring i biomasse B(t) vei, t [, ], følger ligningen for t. d B(t) = cos ( ) πt 6 (a) Tegn grafen til d B(t) som funksjon

Detaljer

Nicolai Kristen Solheim

Nicolai Kristen Solheim Oppgave 1. 1a) 1, 0, 2, sin 5 4cos sin 54cos sin 8 sin cos cos 54cos 8 sin cos 5cos 4cos 8sin cos 5cos 4cos Dersom vi plotter grafen for vil vi se hvor vokser og avtar. 1 Fra grafen for ser vi følgende

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03

Løsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03 Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT, høsten 206 Innleveringsfrist: Mandag 2. november 206, kl. 4, i Infosenterskranken i inngangsetasjen

Detaljer

I et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x Y = ax + b:

I et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x Y = ax + b: OPPGAVE I et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x 7 74 546 y 48 6 45 a) Plott Y ln y mot X ln x i et rettvinklet koordinatsystem. ) Finn en lineær sammenheng mellom

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.1-3.3 Oppgaver til seksjon 3.1 1. Regn ut a b når a) a = ( 1, 3, 2) b = ( 2, 1, 7) b) a = (4, 3, 1) b = ( 6, 1, 0) 2. Finn arealet til parallellogrammet utspent av a =

Detaljer

Funksjoner (kapittel 1)

Funksjoner (kapittel 1) Ukeoppgaver, uke 34 og 35, i Matematikk 0, Funksjoner og grenser. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 34 og 35 Funksjoner (kapittel ) Oppgave Figuren til øyre viser

Detaljer

Den deriverte og derivasjonsregler

Den deriverte og derivasjonsregler Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)

Detaljer

Plan. I dag. Neste uke

Plan. I dag. Neste uke Plan I dag Referansegruppe... Ta opp igjen kurvelengde Areal bestemt av en kurve En annen måte å beskrive punkt i planet Kurver med denne beskrivelsen Tangenter, kurvelengde og areal Neste uke Kjeglesnitt

Detaljer

Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar med fakultetet sine regler Oppgave 1. 2 x

Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar med fakultetet sine regler Oppgave 1. 2 x UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Brukerkurs i matematikk Mandag 4. desember 9, kl. 9-4 BOKMÅL Tillatte hjelpemidler: Lærebok og kalkulator i samsvar

Detaljer

Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål

Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål Eksamen 05.12.2007 AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister Nynorsk/Bokmål Oppgave 1 a) Deriver funksjonen: f x 2 ( ) = cos( x + 1) b) Løs likningen og oppgi svaret

Detaljer

Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet

Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet 1 Fremdriftplan I går 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet I dag 2.7 Tangenter og derivasjon 3.1 Den deriverte til en funksjon 3.2 Derivasjonsregler 3.3 Den deriverte som endringsrate

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk MX Elever 7. juni 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.

Detaljer

EKSAMEN. Ingeniør- og Fleksibel ingeniørutdanning.

EKSAMEN. Ingeniør- og Fleksibel ingeniørutdanning. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Matematikk. EMNENUMMER: REA42/REA42F EKSAMENSDATO: Mandag 9. august 2 KLASSE: Ingeniør- og Fleksibel ingeniørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGANSVARLIG: Hans Petter Hornæs

Detaljer

Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul Mai Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24.

Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul Mai Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24. Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul 24. Mai 203 Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24. mai 203 EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 5 studiepoeng

Detaljer

Matematikk 3MX AA6524 og AA6526 Elever og privatister 8. desember 2003

Matematikk 3MX AA6524 og AA6526 Elever og privatister 8. desember 2003 E K S A M E N LÆRINGSSENTERET Matematikk 3MX AA6524 og AA6526 Elever og privatister Bokmål 8. desember 2003 Videregående kurs II Studieretning for allmenne, økonomiske og administrative fag Les opplysningene

Detaljer

Ubestemt integrasjon.

Ubestemt integrasjon. Ukeoppgaver, uke 4, i Matematikk 0, Ubestemt integrasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 4 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea04

Detaljer

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t

Detaljer

Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 25. mai 2012

Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 25. mai 2012 Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 25. mai 2012 EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (inkludert formelsamling).

Detaljer

Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. september 2011 Kapittel 4.7. Newtons metode 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av

Detaljer

dy ycos 2 y = dx. Ved å integrere på begge sider av likhetstegnet får man ved å substituere u = y,du = dy dy ycos 2 y = 2du cos 2 u = x.

dy ycos 2 y = dx. Ved å integrere på begge sider av likhetstegnet får man ved å substituere u = y,du = dy dy ycos 2 y = 2du cos 2 u = x. NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten 2 Løsningsforslg - Øving 7 Avsnitt 6.5 ) En hr t y = e, så 2y +y = 2e +e = e. b) En hr t y = e 2 e (/2), så 2y +y = 2e e (/2) +e +e (/2) = e. c) En hr

Detaljer

Oppgavesettet er på 3 sider eks. forside, og inneholder 12 deloppgaver: 1abc, 2, 3, 4abc, 5ab, 6ab.

Oppgavesettet er på 3 sider eks. forside, og inneholder 12 deloppgaver: 1abc, 2, 3, 4abc, 5ab, 6ab. EKSAMENSOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-0001 Brukerkurs i matematikk. Dato : tirsdag 4. desember 2012. Tid : 09.00-13.00. Sted: : Åsgårdvegen 9. Tillatte hjelpemidler : Alle trykte og skrevne.

Detaljer

Løsningsforslag. Innlevering i FO929A - Matematikk Obligatorisk innlevering nr. 8 Innleveringsfrist 15. april 2011 kl Antall oppgaver: 4

Løsningsforslag. Innlevering i FO929A - Matematikk Obligatorisk innlevering nr. 8 Innleveringsfrist 15. april 2011 kl Antall oppgaver: 4 Innlevering i FO99A - Matematikk Obligatorisk innlevering nr. 8 Innleveringsfrist 5. aril kl. 5. Antall ogaver: 4 Løsningsforslag Ogave Beregn disse ubestemte integralene a 5 cos3t dt 5 3 sin3t + C 5 sin3t

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

R2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k

R2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k R kapittel Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka. a f( ) = 7 + sin, D f = R Når sin =, har f( ) sin største verdi. sin = for = + k f( ) maks = 7+ = 8 Toppunktene på grafen til f er, Z k +,8 k. Når

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 10 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 10 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Antideriverte. 2 Differensiallikninger

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Løsningsforslag, eksamen MA0/MA60 07.2.09 Oppgave La f() = e 4 2 2 8. a) Finn alle ekstremalpunktene til funksjonen

Detaljer

TFY4106 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til øving 4. m 1 gl = 1 2 m 1v 2 1. = v 1 = 2gL

TFY4106 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til øving 4. m 1 gl = 1 2 m 1v 2 1. = v 1 = 2gL TFY46 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til øving 4. Oppgave. a) Hastigheten v til kule like før kollisjonen finnes lettest ved å bruke energibevarelse: Riktig svar: C. m gl = 2 m v 2

Detaljer

Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT1100, høsten 2014

Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT1100, høsten 2014 Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT, høsten 4 DEL Oppgave. 3 poeng Hvis f, y = ye y, er f y lik: A y 3 e y B y e y C e y ye y D e y y e y E e y ye y Riktig svar: D e y y e y Oppgave.

Detaljer

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1 Oppgave 1 Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 Løsningsskisser DEL 1 I et koordinatsystem med origo O 0,0 har vi gitt punktene A 1,3, B 3,2 og C t,5. 1. Bestem t slik at AB AC. 2. Bestem t slik at AB AC. 3. Bestem

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/

Løsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/ Løsningsforslag Eksamen i MA0/MA60 Grunnkurs i analyse II 7/ 008 Oppgave y = y +, y(0) = 0 a) n n y n y = n y n + y = y y n+ 0 0 0 / / / / / 5/4 / 5/8 9/8 9/8 så Eulers metode med steglengde / gir oss

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor

Detaljer

Korreksjoner til fasit, 2. utgave

Korreksjoner til fasit, 2. utgave Korreksjoner til fasit,. utgave Kapittel. Oppgave.. a): / Oppgave.. e):.887, 0.58 Oppgave..9: sin00πt). + ) x Oppgave.7.5 c): ln for 0 < x. x Oppgave.8.0: Uttrykket for a + b) 7 skal være a + b) 7 = a

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002 Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44. Oppgaver til seminaret 4/11

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44. Oppgaver til seminaret 4/11 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44 Avsn. 5.5: 19, 41, 47 Avsn. 5.6: 9, 17, 47 Avsn. 5.7: 15 På settet: S.1, S.2. Oppgaver til seminaret 4/11 Oppgaver til gruppene uke 45 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn.

Detaljer

Løsningsforslag for MAT-0001, desember 2009, UiT

Løsningsforslag for MAT-0001, desember 2009, UiT Løsningsforslag for MAT-1, desember 29, UiT av Kristian Hindberg Oppgave 1 a) Bestem grenseverdien e x 1 x lim x x 2 e x 1 x lim x x 2 = lim x e x 1 2x e = x lim x 2 = 1 2 b) Finn det ubestemte integralet

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 5 1.3.5: Vi ønsker å finne de første ordens deriverte til funksjonen f definert ved f(, y) arctan(y/). Først finner vi den deriverte med ensyn på, ved å betrakte

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M100 Våren 2002

Løsningsforslag Eksamen M100 Våren 2002 Løsningsforslag Eksamen M00 Våren 00 Oppgave Evaluerer grensen cos( ) 0 ( sin( ) ) 0 6 0 6 5 0 sin( ) 0 sin( ) = Har brukt l Hôpitals regel (derivert teller og nevner hver for seg) i første og tredje overgang.

Detaljer

Fasit, Separable differensiallikninger.

Fasit, Separable differensiallikninger. Ukeoppgaver, uke 46, i Matematikk 0, Separable differensiallikninger. 3 Fasit, Separable differensiallikninger. a ) Denne er ferdig på formenf(y)y = g(x) medf(y) =3y 2 og g(x) =2x: 3y 2 dy dx =2x 3y2 dy

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 38. Oppgaver til gruppene uke 39

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 38. Oppgaver til gruppene uke 39 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 38 Oppgaver til seminaret 22/9 (Tall i blått angir utgave 6, tall i rødt angir utgave 7.) Avsn. 2.7: 15(11), 21(31)(27) Avsn. 2.8: 5, 17(2.8.13)(2.6.13) Avsn. 2.10: 12, 29, 39

Detaljer

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk vår 9 Løsningsforslag til eksamen.5.9 Gitt f(, y) = + +y. a) Vi regner ut f = f y = + + y ( + + y ) = + + y

Detaljer

Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014

Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014 Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014 ORDINÆR EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 7 sider (inkludert

Detaljer

EKSAMEN. Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- men (6stp.).

EKSAMEN. Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- men (6stp.). KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: F74A EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- KLASSE: men 6stp.). TID: kl. 9. 4.. FAGLÆRER:

Detaljer

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1 EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å

Detaljer

IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer Utsatt Eksamen 8. juni 212 Eksamenstid 4 timer IR1185 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del 2 uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare

Detaljer

TMA4100 Matematikk1 Høst 2008

TMA4100 Matematikk1 Høst 2008 TMA400 Matematikk Høst 008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 4 4..3 Vi skal finne absolutt maksimum og absolutt minimum verdiene for funksjonen

Detaljer

E K S A M E N. Matematikk 3MX LÆRINGSSENTERET. Elevar / Elever. AA juni 2004

E K S A M E N. Matematikk 3MX LÆRINGSSENTERET. Elevar / Elever. AA juni 2004 E K S A M E N LÆRINGSSENTERET Matematikk 3MX Elevar / Elever AA654 7. juni 004 Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II Studieretning for allmenne, økonomiske og administrative fag Oppgåva ligg føre

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2012

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2012 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 202 Løsningsforslag til teknostartøving a) Denisjonsmengden til f() = 3 er D f (, ), som gir at V f (,

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning)

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: REA4 EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 9. oktober 205 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark, formelsamling.

Detaljer

Innlevering i matematikk Obligatorisk innlevering nr. 4 Innleveringsfrist: 21. januar 2010 kl Antall oppgaver: 4.

Innlevering i matematikk Obligatorisk innlevering nr. 4 Innleveringsfrist: 21. januar 2010 kl Antall oppgaver: 4. Innlevering i matematikk Obligatorisk innlevering nr. 4 Innleveringsfrist: 1. januar 1 kl. 14. Antall oppgaver: 4 Løsningsforslag Oppgave 1 a = [3, 1, ], b = [, 4, 7] og c = [ 4, 1, ]. a) a = 3 + ( 1)

Detaljer

a) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det.

a) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det. Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave

Detaljer

Integralregning. ) dx KATEGORI Antiderivert. 1.2 Ubestemt integral

Integralregning. ) dx KATEGORI Antiderivert. 1.2 Ubestemt integral Integralregning KATEGORI. Antiderivert Oppgave. En bil passerer et målepunkt ved tidspunktet t =. Bilen har da arten m/s. Etter t sekunder har bilen arten v(t) =,t + Finn arten etter ) s ) s b) Vis at

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38. Oppgaver til gruppene uke 39

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38. Oppgaver til gruppene uke 39 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38 Oppgaver til seminaret 23/9 (Tall i blått angir utgave 6, tall i rødt angir utgave 7.) Avsn. 2.7: 15(11), 21(31)(27) Avsn. 2.8: 5, 17(2.8.13)(2.6.13) Avsn. 2.10: 12, 29, 39

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i Matematikk II Torsdag 4. juni 05, kl. 09:00-4:00 Bokmål Tillatte hjelpemiddel: Enkel kalkulator i samsvar

Detaljer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke

Detaljer

Løysingsforslag Eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen, Hausten 2016

Løysingsforslag Eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen, Hausten 2016 Løysingsforslag Eksamen MAT Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen, Hausten 26 OPPGÅVE Det komplekse talet z = 3 i tilsvarar punktet eller vektoren Rez, Imz) = 3, ) i det komplekse planet, som

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1 Løsningsforslag til prøveeksamen i MT, H- DEL. ( poeng Hva er den partiellderiverte f y sin(xy cos(xy y sin(xy x sin(xy cos(xy xy sin(xy cos(xy y sin(xy + xy sin(xy når f(x, y = y cos(xy? Riktig svar:

Detaljer

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100, H-06

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100, H-06 Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT, H-6. ( poeng) Det komplekse tallet z har polarkoordinater r = 4, θ = π 4. Da er z lik: + i + i + i i + i Riktig svar: c) + i Begrunnelse: z = r(cos θ + i sin

Detaljer

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning R1 Eksamen, høsten 009 Løsning R1 Eksamen høsten 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 3 a) Deriver funksjonen f( x) 5e x f( x) 5e 3 15e 3 x 3x b) Deriver funksjonen gx x 3 ln x x x g( x) 3x ln x x 3 x 3ln 1 3 c)

Detaljer

y = x y, y 2 x 2 = c,

y = x y, y 2 x 2 = c, TMA415 Matematikk Vår 17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

x 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124

x 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving 4 Avsnitt 47 3 La f(x) = x 4 +x 3 med f (x) = 4x 3 +1 Med x 0 = 1 får ein med Newtons metode at Med x 0 = 1 får

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Kap : Derivasjon 1.

Kap : Derivasjon 1. Ukeoppgaver, uke 36, i Matematikk 0, Kap. 3.-3.4: Derivasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 36 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/ing/allmennfag/emnesider/rea042

Detaljer

MAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430

MAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430 MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT1110, 13/6-07

Løsningsforslag til eksamen i MAT1110, 13/6-07 Løsningsforslag til eksamen i MAT, 3/6-7 Oppgaveteksten er gjengitt i kursiv Oppgave : a) Finn de stasjonære (kritiske) punktene til f(x, ) = x + 4x Løsning: Finner først de partiellderiverte: (x, ) x

Detaljer

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100 Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl. 9.00-.00 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første

Detaljer

Grunnleggende notasjon ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ℤ =, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,

Grunnleggende notasjon ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ℤ =, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, Grunnleggende notasjon ℕ,, 3, 4, 5, 6, ℤ, 3,,, 0,,, 3, ℝ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 ℚ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑎𝑠𝑗𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑎 𝑎, ℤ, 0 Induksjonsprinsippet Anta at for hver 𝑛 ℕ har vi gitt et utsagn 𝑃. Anta videre at vi vet at følgende

Detaljer

Løsningsforslag. f(x) = 2/x + 12x

Løsningsforslag. f(x) = 2/x + 12x Prøve i FO929A - Matematikk Dato: august 212 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (2 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

EKSAMEN I TFY4145 OG FY1001 MEKANISK FYSIKK

EKSAMEN I TFY4145 OG FY1001 MEKANISK FYSIKK NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK LØSNINGSFORSLAG (5 sider): EKSAMEN I TFY445 OG FY00 MEKANISK FYSIKK Fredag 8. desember 2009 kl. 0900-00 Oppgave. Tolv flervalgsspørsmål

Detaljer

Del ) Bestem x-verdien til eventuelle punkter der funksjonen ikke er kontinuerlig. Begrunn svaret ditt.

Del ) Bestem x-verdien til eventuelle punkter der funksjonen ikke er kontinuerlig. Begrunn svaret ditt. Del1 Oppgave 1 a) Deriver funksjonen f ( ) 5e b) Deriver funksjonen g ( ) ln(2 ) 2 c) Likningen 2 10 2 10 0 hartreløsninger.visat1 1erenløsningogfinn detoandre. d) Skrivsåenkeltsommulig lg ab 2 lg 1 ab

Detaljer

SIF5003 Matematikk 1, 5. desember 2001 Løsningsforslag

SIF5003 Matematikk 1, 5. desember 2001 Løsningsforslag SIF5003 Matematikk, 5. desember 200 Oppgave For den første grensen får vi et /-uttrykk, og bruker L Hôpitals regel markert ved =) : lim 0 + ln ln sin 0 + cos sin 0 + cos sin ) =. For den andre får vi et

Detaljer

Løsningsforslag til Øving 6 Høst 2016

Løsningsforslag til Øving 6 Høst 2016 TEP4105: Fluidmekanikk Løsningsforslag til Øving 6 Høst 016 Oppgave 3.13 Skal finne utløpshastigheten fra røret i eksempel 3. når vi tar hensyn til friksjon Hvis vi antar at røret er m langt er friksjonen

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

EKSAMEN. Hans Petter Hornæs og Britt Rystad

EKSAMEN. Hans Petter Hornæs og Britt Rystad KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk. FAGNUMMER: F74A EKSAMENSDATO: Mandag. august 2 SENSURFRIST:. september 2 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 4.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs og

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Fredag 11. mars 2016 Antall oppgaver: Løsningsforslag

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Fredag 11. mars 2016 Antall oppgaver: Løsningsforslag Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Fredag 11. mars 2016 Antall oppgaver: 10 + 1 Løsningsforslag 1 Hvilken av de to funksjonene vist i guren er den deriverte

Detaljer

. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sin θ = 3

. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sin θ = 3 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 00 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 3.7 99 Vi deriverer to ganger: = A cos (ln ) B sin (ln ) = A cos (ln ) A sin (ln ) + B sin (ln ) B cos (ln

Detaljer

Vår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 2. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag

Vår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 2. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA415 Matematikk 2 Vår 217 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 11.1.9: Den aktuelle kurven er gitt ved r(t) (3 cos t, 4 cos t, 5 sin t).

Detaljer

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4 Oppsummeringsproblemer som utgangspunkt til ekstraforelesninger i uke 48 i emnet MAT111, høsten 2008 Problem 1 Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi til å vise at x 4 1 x 1 x + 1 = 4. Problem 2

Detaljer

Fasit MAT102 juni 2016

Fasit MAT102 juni 2016 Fasit MAT02 juni 206. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 6 A = 2 7 Svar: λ = 8 og ( ) x = y y ( ) /2, λ = 5 og ( ) x = y y ( ) for alle y 0. (b) Finn den generelle løsningen på systemet

Detaljer

OPPGAVE 1 NYNORSK. LØYSINGSFORSLAG Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i matematikk I onsdag 16. mai 2012 kl. 09:00-14:00. a) La z 1 = 3 3 3i, z 2 = 4 + i,

OPPGAVE 1 NYNORSK. LØYSINGSFORSLAG Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i matematikk I onsdag 16. mai 2012 kl. 09:00-14:00. a) La z 1 = 3 3 3i, z 2 = 4 + i, LØYSINGSFORSLAG Eksamen i MAT - Grunnkurs i matematikk I onsdag 6. mai kl. 9:-4: NYNORSK OPPGAVE a) La z = i, z = 4 + i, finn (skriv på forma a + bi): i) z z og ii) z z. : i) z z = ( i)(4 + i) = i i =

Detaljer

Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at

Detaljer

Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave Desember 2007

Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave Desember 2007 Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave Desember 007 REA30 Matematikk R Programfag Nynorsk/Bokmål Del Oppgave a) Deriver funksjonene ) ln ) g x f x x x 3e x b) Bestem følgende grenseverdi, dersom den eksisterer:

Detaljer

Kinematikk i to og tre dimensjoner

Kinematikk i to og tre dimensjoner Kinematikk i to og tre dimensjoner 4.2.216 Innleveringsfrist oblig 1: Tirsdag, 9.eb. kl.18 Innlevering kun via: https://devilry.ifi.uio.no/ Devilry åpnes snart. YS-MEK 111 4.2.216 1 v [m/s] [m] Eksempel:

Detaljer

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka E Bruker formelen cos 36 cos( 8 ) E sin 8 v og sin8 5 cos v sin sin8 5 5 6 5 5 8 5 5 8 6 5 8 6 5 8 8 3 5 5 5 a f ( ) sin 5 cos f ( ) 5cos

Detaljer

Ma-1410: Analyse, Obligatorisk øvelse 2, høsten 2001.

Ma-1410: Analyse, Obligatorisk øvelse 2, høsten 2001. Ma-40: Analyse, Obligatorisk øvelse, høsten 00 Ma-40: Analyse, Obligatorisk øvelse, høsten 00. Beskjeder: Frist for innlevering: Lørdag 3. november. (Annet tidspunkt kan avtales.) Besvarelsene leveres

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 30. september 2010 2 Fremdriftplan I går 5.5 Ubestemte integraler og substitusjon

Detaljer