+ (y b) F y. Bruker vi det siste på likningen z = f(x, y) i punktet (a, b, f(a, b)) kan vi velge F (x, y, z) = f(x, y) z.

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "+ (y b) F y. Bruker vi det siste på likningen z = f(x, y) i punktet (a, b, f(a, b)) kan vi velge F (x, y, z) = f(x, y) z."

Transkript

1 Vi husker fra sist Gradientvektoren F ( a) peker i den retningen u der den retningsderiverte D u F ( a) er størst, og der er D u F ( a) = u F ( a) = F ( a). Gradientvektoren er normalvektoren til (hyper)flata F ( x) = 0. Tangent(hyper)planet er gitt ved likningen ( x a) F ( a). Hvis F er en funksjon i 3 variabler, a = (a, b, c) og x = (x, y, z) blir dette lik (x a) F x + (y b) F y + (z c) F z = 0 Bruker vi det siste på likningen z = f(x, y) i punktet (a, b, f(a, b)) kan vi velge F (x, y, z) = f(x, y) z. Dette gir: (x a)f x (a, b) + (y b)f y (a, b) + (z f(a, b))( 1) = 0 som gir oss den gamle formelen for tangentplanet, z = f(a, b) + (x a)f x (a, b) + (y b)f y (a, b).

2 Kapittel 13.9 Lagrange-multiplikatorer Teorem : La f(x, y) og g(x, y) være differensiable funksjoner. Hvis den maksimale (eller minimale) verdien til f(x, y) blant de punktene der g(x, y) = 0 oppnås i et punkt P der g(x, y) 0, da er f(p ) = λ g(p ) for en konstant λ. Teorem , omformulert: La f(x, y) og g(x, y) være differensiable funksjoner. Hvis den maksimale (eller minimale) verdien til f(x, y) blant de punktene der g(x, y) = 0 oppnås i et punkt P, da er g(x, y) = 0 eller f(p ) = λ g(p ) for en konstant λ. Bevisskisse: Anta at g(x, y) 0 og la r(t) parameterisere punktene rundt P der g(x, y) = 0 og r(t 0 ) = P. Funksjonen F (t) = f( r(t)) har et toppunkt i t 0, så F (t) = f(p ) r (t 0 ) = 0. Siden G(t) = g( r(t)) 0 er G (t 0 ) = g(p ) r (t 0 ) = 0. De to vektorene f(p ) og g(p ) er begge ortogonale med vektoren r(t 0 ), så da må de være parallelle. Siden g(x, y) 0 finnes en λ slik at f(p ) = λ g(p ).

3 Eksempel Finn det punktet på hyperbelen xy = 1 som ligger nærmest origo. Vi minimaliserer funksjonen f(x, y) = x 2 + y 2 med begrensningen g(x, y) = xy 1 = 0. Vi ser at ( f f(x, y) = x, f ) = (2x, 2y) y og g(x, y) = ( g x, g ) = (y, x). y Vi må løse likningssystemet g(x, y) = 0, f x (x, y) = λg x (x, y), f y (x, y) = λg y (x, y). Likningsene 2x = λy og 2y = λx impliserer λxy = 2x 2 = 2y 2, som gir x = ±y. Siden xy = 1 > 0 må vi ha x = y. Innsettingen g(x, x) = x 2 1 = 0 gir oss to løsninger (x, y) = ±(1, 1), og avstanden fra disse punktene til origo er begge 2

4 Eksempel Finn det punktet på kurven y 2 (x 1) 3 = 0 som ligger nærmest origo. Vi minimaliserer funksjonen f(x, y) = x 2 + y 2 med begrensningen g(x, y) = y 2 (x 1) 3 = 0. løse likningssystemet g(x, y) = 0, f x (x, y) = λg x (x, y), f y (x, y) = λg y (x, y), det vil si y 2 (x 1) 3 = 0 2x = λ 3(x 1) 2 2y = λ 2y Den siste gir y = 0 eller λ = 1. Hvis y = 0 medfører den første likninga at x = 1, som gir 2 = 0 i den andre likninga. Hvis λ = 1 gir den andre likninga ingen løsning. Hva skjedde nå? Finnes det ikke et punkt med den minste avstanden til origo? Jo, fordi det punktet som ligger nærmest origo er (1, 0), og der er gradienten g(x, y) = 0.

5 Funksjoner i rommet Hvis vi skal finne den største eller minste verdien av funksjonen f(x, y, z) med begrensninga g(x, y, z) = 0 må vi løse likningssettet g(x, y, z) = 0 f x (x, y, z) = λg x (x, y, z) f y (x, y, z) = λg y (x, y, z) f z (x, y, z) = λg z (x, y, z) i variablene λ, x, y, z. Undersøk løsningspunktene og (eventuelt) de punktene på g(x, y, z) = 0 der g(x, y, z) = 0.

6 Eksempel. Vis at blant bokser med areal 10 kvadratmeter er den kubiske den som rommer mest. Vi trenger å finne maksimum av f(x, y, z) = xyz der g(x, y, z) = xy + xz + yz 5 = 0. Se på f = λ g, og observer at λ = 0 medfører xy = yz = xz = 0, som gir g(x, y, z) = 5. Vi får da λ = xz/(x + z) = xy/(x + y) = yz/(y + z). Hvis x 0 får vi z/(x + z) = y/(x + y) som gir y = z, mens y 0 gir x = z, så x = y = z. Hvis for eksempel x = 0 får vi yz = 0, og da må g(x, y, z) = 5. Alt dette gir er at det eneste kritiske punktet er når x = y = z = 5/3.

7 Funksjoner i rommet med to begrensninger Hvis vi skal finne den største eller minste verdien av funksjonen f(x, y, z) med begrensningene g(x, y, z) = 0 og h(x, y, z) = 0 må vi løse likningssettet g(x, y, z) = 0 h(x, y, z) = 0 f x (x, y, z) = λg x (x, y, z) + µh x (x, y, z) f y (x, y, z) = λg y (x, y, z) + µh y (x, y, z) f z (x, y, z) = λg z (x, y, z) + µh z (x, y, z) i variablene λ, µ, x, y, z. Undersøk løsningspunktene og (eventuelt) de punktene på g(x, y, z) = 0 der g(x, y, z) og h(x, y, z) er parallelle. Det er Teorem som sier at dette fungerer.

8 Vilkårlig mange variabler og betingelser Vi skal maksimere/minimere f(x 1,..., x n ) med betingelsene g 1 (x 1,..., x n ) = 0 g 2 (x 1,..., x n ) = 0 g k (x 1,..., x n ) = 0 Da må vi legge til k ukjente og de n likningene som svarer til vektorlikningen f(p ) = λ 1 g 1 (P ) + λ 2 g 2 (P ) + + λ k g k (P ).. I tillegg må vi undersøke de punktene der g 1 (P ), g 2 (P ),..., g k (P ) ikke spenner ut et rom av dimensjon k.

9 Eksempel Finn minste verdi av f(x, y, z) = x + y + z på kurven gitt av likningene x 2 + y 2 = 2 og x + z = 1. Vi har to betingelser g 1 (x, y, z) = x 2 + y 2 2 = 0 og g 2 (x, y, z) = x + z 1 = 0. Vi må finne alle (x, y, z) slik at også f(x, y, z) = λ 1 g 1 (x, y, z) + λ 2 g 2 (x, y, z), det vil si 1 = λ 1 2x + λ = λ 1 2y + λ = λ λ 2 1 Vi ser raskt at λ 2 = 1, x = 0, z = 1 og y = ± 2. Den minste verdien for f blir f(0, 2, 1) = 1 2. Hvorfor vet vi at f oppnår sin minste verdi? Svar: Siden området gitt av g 1 = 0 og g 2 = 0 er kompakt, det vil si lukket og begrenset.

10 Eksempel Funksjonen f(x, y) = 3x x 3 3xy 2 har partiell-deriverte f x (x, y) = 3 3x 2 3y 2 og f y (x, y) = 6xy. Dette gir oss fire kritiske punkter, (0, ±1) og (±1, 0). De andre-deriverte er A = f xx (x, y) = 3x, B = f xy (x, y) = 6y og C = f yy (x, y) = 6x. Kritisk punkt A B C Type (1, 0) lokalt maks ( 1, 0) lokalt min (0, 1) sadelpunkt (0, 1) sadelpunkt Eksempel: f(x, y) = x n + y n

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA405 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 3..9: Vi starter med å finne de kritiske punktene. De deriverte blir T x (x, y) = ( x xy)e x y T y (x, y) = ( y xy)e x y, slik at de kritiske

Detaljer

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Bøkene B (læreboken): Tor Gulliksen og Arne Hole, Matematikk i Praksis, 5. utgave. K (kompendium): Amir M. Hashemi, Brukerkurs i matematikk MAT, høsten. Oppsummering

Detaljer

f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.

f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >. MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA03,.mars 00 Oppgave Tegn figur og finn en parametrisering for skjæringskurven

Detaljer

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Løsningsforslag Øving 7 10.4.7 Vi skal finne likningen til et plan gitt to punkter P = (1, 1,

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 :, 8, 12, 19, 1, (valgfritt - 9,

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 10 10.6.3 La f (x, y) = x 2 y 4x 2 4y der (x, y) R 2. Finn alle

Detaljer

Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk og stil variere noe fra oppgave til oppgave.

Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk og stil variere noe fra oppgave til oppgave. NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Oppgave 1 Avgjør om grenseverdiene eksisterer:

Detaljer

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man System av likninger System av likninger er en mengde likninger med flere ukjente. I økonomiske sammenheng er disse svært vanlige ved optimering. Ofte må vi kreve deriverte lik null for å optimere. I kurset

Detaljer

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet. MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f

Detaljer

1 Mandag 15. februar 2010

1 Mandag 15. februar 2010 1 Mandag 15. februar 2010 Vi begynner med et eksempel på bruk av partiell derivasjon for å gjøre såkalt lineær regresjon, eller minste kvadraters metode. Dette er en anvendelse av teorien vi har gjennomgått

Detaljer

MAT feb feb feb MAT Våren 2010

MAT feb feb feb MAT Våren 2010 Våren 2010 Mandag 15. februar 2010 Forelesning Vi begynner med et eksempel på bruk av partiell derivasjon for å gjøre såkalt lineær regresjon, eller minste kvadraters metode. Dette er en anvendelse av

Detaljer

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Lørdag 25. Mai 29. Tid for eksamen: :5 4:5. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TMA4105 Matematikk 2 8. August 2005

LØSNINGSFORSLAG TMA4105 Matematikk 2 8. August 2005 LØSNINGSFORSLAG TMA45 Matematikk 8. August 5 Oppgave Vi introduserer funksjonen g(x, y, z) x +y z slik at flaten z x + y er gitt ved g(x, y, z). I dette tilfellet utgjør gradienten til g en normalvektor

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 10 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske

Detaljer

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c)

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c) Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 204 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Løsningsforslag for MAT-0001, desember 2009, UiT

Løsningsforslag for MAT-0001, desember 2009, UiT Løsningsforslag for MAT-1, desember 29, UiT av Kristian Hindberg Oppgave 1 a) Bestem grenseverdien e x 1 x lim x x 2 e x 1 x lim x x 2 = lim x e x 1 2x e = x lim x 2 = 1 2 b) Finn det ubestemte integralet

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til

Detaljer

MET Matematikk for siviløkonomer

MET Matematikk for siviløkonomer SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET 11803 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 18.1.017 Kl. 14:00 Innlevering: 18.1.017 Kl. 19:00 For mer informasjon om formalia,

Detaljer

Oppgave 1. e rt = 120e. = 240 e

Oppgave 1. e rt = 120e. = 240 e Løsning MET 803 Matematikk Dato 5. desember 05 kl 0900-00 Oppgave. (a) Dersom vi selger eiendommen etter t år, med t > 0, så er nåverdien av salgssummen med r = 0,0. Da får vi N(t) = V (t)e rt = 0 e e

Detaljer

Øvelse, eksamensoppgaver MAT 1050 mars 2018

Øvelse, eksamensoppgaver MAT 1050 mars 2018 Øvelse, eksamensoppgaver MAT 5 mars 8 Oppgave. La f være funksjonen gitt ved f (x) = x 8 x, x a) Finn alle kritiske punkter for funksjonen f. f (x) = 8 x + x 8 x ( x) = (8 8 x x x ) = (4 8 x x ) = gir

Detaljer

Kapittel 10: Funksjoner av flere variable

Kapittel 10: Funksjoner av flere variable 0.. Introduksjon til funksjoner av flere variable 95 Kapittel 0: Funksjoner av flere variable 0.. Introduksjon til funksjoner av flere variable. Oppgave 0..: a) Den naturlige definisjonsmengden for f(x,

Detaljer

Løsning, funksjoner av flere variable.

Løsning, funksjoner av flere variable. Ukeoppgaver, uke 3 Matematikk 3, funksjoner av flere variable 1 Løsning, funksjoner av flere variable Oppgave 1 a) = +=, b) =, =y3 d ) e ) = 3+= 3 Selv om ikke x er med kan det betraktes som funksjon av

Detaljer

Løsning IM

Løsning IM Løsning IM 6 Oppgave x + y Grensen lim er ubestemt da både teller og nevner blir Vi skal vise at grensen ( xy, ) (,) x + y ikke eksisterer og bruker rette linjer inn mot origo De enkleste linjene er koordinataksene

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAGET 5005/7 MATEMATIKK 2 1. august der k er et vilkårlig heltall. Det gir

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAGET 5005/7 MATEMATIKK 2 1. august der k er et vilkårlig heltall. Det gir LØNINGFOLAG IL EKAMEN I FAGE 55/7 MAEMAIKK. august Oppgave. (i Ja. (ii Ja. (iii Nei. Alternativt: (i Ja. (ii Ja. (iii Ja. Oppgave. curlf (x, y F i j k (x, y / x / y / z e y + ye x +x xe y + e x + Altså

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06 Løsningsforslag til eksamen i MAT, H6 DEL. poeng Hva er den partiellderiverte f z xyz cosxyz x sinyz + xyz cosyz xy cosyz x sinyz + xz cosyz cosyz xyz sinyz når fx, y, z = xz sinyz? Riktig svar b: x sinyz

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24

Detaljer

The full and long title of the presentation

The full and long title of the presentation The full and long title of the presentation Subtitle if you want Øistein Søvik Mai 207 Ø. Søvik Short title Mai 207 / 4 Innholdsfortegnelse Introduksjon Nyttige tips før eksamen Nyttige tips under eksamen

Detaljer

EKSAMEN. Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk)

EKSAMEN. Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk) EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2.6.2014 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk) Eksamenstid: kl. 09.00 til kl.

Detaljer

Randkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π.

Randkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π. Ma - Løsningsforslag til uke 17 i 7 Eks. mai 1999 oppgave 4 ylinderen x + y = 1 skjærer ut ei flate av planet z = x + 1 dvs. x + z = 1 med enhetsnormal i positiv z-retning lik n= 1 [ 1 1]. Flata blir en

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor

Detaljer

Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Fra ligningen Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag x 2 64 y2 36 1 finner vi a 64 8 og b 36 6. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a 2 + b 2 64 + 36 1 1. Dermed er fokuspunktene

Detaljer

e y + ye x +2x xe y + e x +1 0 = 0

e y + ye x +2x xe y + e x +1 0 = 0 LØNINGFORLAG TIL EKAMEN I FAGET 55/7 MATEMATIKK. august Oppgave. (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Nei. Alternativt: (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Ja. Oppgave. a) curlf (x, y) F i j k (x, y) / x / y / z e y + ye x +x xe

Detaljer

LP. Kap. 17: indrepunktsmetoder

LP. Kap. 17: indrepunktsmetoder LP. Kap. 17: indrepunktsmetoder simpleksalgoritmen går langs randen av polyedret P av tillatte løsninger et alternativ er indrepunktsmetoder de finner en vei i det indre av P fram til en optimal løsning

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Løsning til eksamen i ingeniørmatematikk

Løsning til eksamen i ingeniørmatematikk Løsning til eksamen i ingeniørmatematikk 3 78 Oppgave Vektorfeltet har komponenter og er funksjon av variable Jacobimatrisen er av type ( xy) ( xy) x y ( yx) ( yx) xy x y xy Innsatt finner vi JF ( x, y)

Detaljer

Funksjoner i flere variable

Funksjoner i flere variable Kapittel 5 Funksjoner i flere variable Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom den samme analysen vi gjør

Detaljer

y (t) = cos t x (π) = 0 y (π) = 1. w (t) = w x (t)x (t) + w y (t)y (t)

y (t) = cos t x (π) = 0 y (π) = 1. w (t) = w x (t)x (t) + w y (t)y (t) NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 013 Løsningsforslag Notasjon og merknader En vektor boken skriver som ai + bj + ck, vil vi ofte skrive som (a, b, c), og tilsvarende

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5 Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /5-5/5 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no May, 009 Oppgave 5.0.a Ser at f(x, y = (, 3, og g(x, y = (x, y. g(x, y = 0 hvis og bare hvis x = y = 0, og dette er ikke kompatibelt

Detaljer

MET Matematikk for siviløkonomer

MET Matematikk for siviløkonomer SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET 11803 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 29.05.2019 Kl. 09:00 Innlevering: 29.05.2019 Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia,

Detaljer

MAT 110A - VÅR 2001 OBLIGATORISK OPPGAVESETT

MAT 110A - VÅR 2001 OBLIGATORISK OPPGAVESETT MAT 110A - VÅR 2001 OBLIGATORISK OPPGAVESETT 3 Skriftlige besvarelser skal innleveres til den gruppelæreren på den regneøvelsen hver enkel er påmeldt til, etter nærmere avtale. Innleveringsfristen er fredag

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2, Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)

Detaljer

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1050, vår 2019

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1050, vår 2019 Løsningsforslag til prøveeksamen i MT15, vår 19 Oppgave 1. a) Vi har sinx + y) d R cosx + y) sinx + π) + sin x siden alle fire leddene er. yπ y π dx sinx + y) dy dx cosx + π) + cos x) dx sin π + sin π)

Detaljer

Eksamen IRF30014, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen IRF30014, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Eksamen IRF314, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag Ellipsen vil skal finne er på standardform x a + y b 1 der a > b for styrelinjene er vertikale linjer. Formelen for styrelinjene er x

Detaljer

Oppgave 1. (a) Vi løser det lineære systemet for a = 1 ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: x A =

Oppgave 1. (a) Vi løser det lineære systemet for a = 1 ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: x A = Løsning MET 803 Matematikk for siviløkonomer Dato 8. desember 07 kl 400-900 Oppgave. (a) Vi løser det lineære systemet for a = ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: 7 3 y = 9 6 7

Detaljer

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag Eksamen, høsten 3 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave. a) Fra ligningen x 5 + y 3 kan vi lese ut store og lille halvakse a 5 og b 3. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a b 5 3 5 9 6 4. ermed

Detaljer

2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M =

2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M = Oppgave a) Løs likningssystemet x + 3x + x 3 = x + x 3 = 0 3x + x + 3x 3 = 8 Svar: Rekkereduksjon av totalmatrisen gir 0 0 0 0 7 0 0 0 0 Det betyr at løsningen er gitt ved x +x 3 = 0, x = 7 og x 3 en fri

Detaljer

1 Mandag 8. februar 2010

1 Mandag 8. februar 2010 1 Mandag 8. februar 2010 Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom de vanlige analysene vi gjør for funksjoner

Detaljer

Eksamen i TMA4180 Optimeringsteori Løsningsforslag.

Eksamen i TMA4180 Optimeringsteori Løsningsforslag. Eksamen i TMA48 Optimeringsteori Løsningsforslag. Oppgave :. ordens betingelse for minima gir oss f(x) = [ 2x 2x 2 + 2 2x 2 2x 2 ] [ = som er oppfylt for når x 2 = x +. I dette punktet er [ ] 2 2 2 f(x)

Detaljer

Emnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard

Emnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2. mars 2018 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelsamling Emnenavn: Metodekurs 1, deleksamen i matematikk Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian Bekkevard

Detaljer

Vår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 6. 5 Exercise Exercise

Vår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 6. 5 Exercise Exercise TMA405 Matematikk 2 Vår 205 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus: A Complete

Detaljer

TMA Representasjoner. Funksjoner. Operasjoner

TMA Representasjoner. Funksjoner. Operasjoner TMA 4105 Representasjoner Funksjoner Operasjoner Funksjoner f : D R m! f(d) R n reelle funksjoner kurver flater vektorfelt Funksjoner i) f : D R n! R reell funksjon av n variabler, f(x), f(x,y) eller f(x,y,z)

Detaljer

(t) = [ 2 cos t, 2 sin t, 0] = 4. Da z = 2(1 + t) blir kurva C en helix/ei skruelinje på denne flata (se fig side 392).

(t) = [ 2 cos t, 2 sin t, 0] = 4. Da z = 2(1 + t) blir kurva C en helix/ei skruelinje på denne flata (se fig side 392). Ma - Løsningsforslag til uke 5 i 7 Eks. mai 994 oppgave Romkurva er parametrisert for t [, π] ved r (t) = [ + cos t, + sin t, + t ] Hastighets- og akselerasjonsvektorene blir v = r (t) = [ sin t, cos t,

Detaljer

1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m

1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a

Detaljer

Oblig 4-fasit 11.1: Funksjoner av flere variable

Oblig 4-fasit 11.1: Funksjoner av flere variable Oblig 4-fasit.: Funksjoner av flere variable..3 i. Vi har ingen, brøker eller andre funksjoner som krever begrensninger i hva vi kan sette inn som argumenter, så alle og y kan brukes. D f = R = {, y),

Detaljer

(Noter at studenter som innser at problemet er symmetrisk for x og y og dermed

(Noter at studenter som innser at problemet er symmetrisk for x og y og dermed Oppgave a) f (x) = (3x 2)x og f (x) = 6x 2 b) g (y) = e 3y2 y og g (y) = e 3y2 (6y 2 + ) c) F x(x, y) = (x+y)y ln(x+y) xy (x+y)(ln(x+y)) 2 Det gir, etter en del regning: og F y(x, y) = (x+y)x ln(x+y) xy

Detaljer

1 Mandag 22. februar 2010

1 Mandag 22. februar 2010 1 Mandag 22. februar 2010 Vi begynner med litt repetisjon fra forrige gang, med å sjekke om et vektorfelt er konservativt og dersom svaret er ja, regne ut potensialfunksjonen. Videre skal vi se på en variant

Detaljer

MAT feb feb mars 2010 MAT Våren 2010

MAT feb feb mars 2010 MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 22. februar 2010 Forelesning Vi begynner med litt repetisjon fra forrige gang, med å sjekke om et vektorfelt er konservativt og dersom svaret er ja, regne ut potensialfunksjonen.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: Eksamensdag: Fredag 1. april 2011 Tid for eksamen: 15.00 17.00 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen.

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. NTNU Institutt for matematiske fag SIF55 Matematikk 2 4. mai 999 Løsningsforslag Oppgavesettet har punkter, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. i alternativ (3, ii alternativ (2. 2 a For

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i Eksamensdag: 9. april,. Tid for eksamen: : :. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus og

Detaljer

MAT feb feb feb MAT Våren 2010

MAT feb feb feb MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Forelesning Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom de vanlige analysene vi gjør for

Detaljer

Optimering av funksjoner av flere variable

Optimering av funksjoner av flere variable Optimering av funksjoner av flere variable av Tom Lindstrøm Matematisk insitutt/cma Universitetet i Oslo Dette notatet gir en kortfattet innføring i maksimums- og minimumsproblemer for funksjoner av flere

Detaljer

Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse

Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA113 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: 5. Juni 19 Eksamenstid (fra til): 9: 13: Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer

Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer Kapittel 2 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer Oppgave Gitt funksjonen f(x,y,z) = x 2 y+z 2 x. Vi regner først ut de partielt deriverte med hensyn på x, y og z: f x = 2xy f +z2, = f x2,

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 014 Løsningsforslag Eksamen august Løsning: Oppgave 1 1 0 3 A 7, 3 4 1 x 10 A y 3 z På grunn

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2

EKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 3 Faglig kontakt under eksamen: Trond Digernes 7359357 Berner Larsen 73 59 35 5 Lisa Lorentzen 73 59 35 48 Vigdis Petersen

Detaljer

Løsning IM3 15.06.2011.

Løsning IM3 15.06.2011. Løsning IM 15611 1 Oppgave 1 Innsetting viser at både teller og nevner er i origo, så uttrykket er ubestemt Siden det ikke er noen umiddelbar omskriving som forenkler uttrykket satser vi på å vise at grensen

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 29/11-3/12

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 29/11-3/12 Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 9/11-3/1 Øyvind Ryan (oyvindry@ifiuiono December, 010 Oppgave 15 Oppgave 155 a 4A 3B 4 1 3 1 3 1 4 1 8 4 1 4 3 3 1 3 0 9 6 + 6 3 9 0 5 18 14 1 3 4 4 9 1 6 8 + 6

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B

Løsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning

Detaljer

Høgskoleni østfold EKSAMEN. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard

Høgskoleni østfold EKSAMEN. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Emne: Metode 1 (Deleksamen i matematikk) Dato: 23.11.15 Eksamenstid: 4 timer, kl. 9.00-13.00 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling (4 siste sider

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ide av LØNINGFOLAG EKAMEN TMA4 MATEMATIKK 2 Lørdag 4. aug 24 Oppgave Grenseverdien eksisterer ikke. For eksempel er grenseverdien

Detaljer

EKSAMEN I MA0002 Brukerkurs B i matematikk

EKSAMEN I MA0002 Brukerkurs B i matematikk Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Achenef Tesfahun (9 84 97 5) EKSAMEN I MA2 Brukerkurs B i matematikk Lørdag 322 Tid:

Detaljer

= 3 11 = = 6 4 = 1.

= 3 11 = = 6 4 = 1. MAT3000/4000 Eksamen V3 Løsningsforslag Oppgave [0 poeng] Sjekk at 3 er en kvadratisk rest i Z/(3) og finn løsningene av likningen x = 3 i Z/(3) (uten å lage en tabell for x ) Du får lov til å bruke at

Detaljer

3x ( x. x 1 x a 3 = 1 2 x2. a) Bestem rekkens kvotient og rekkens første ledd.

3x ( x. x 1 x a 3 = 1 2 x2. a) Bestem rekkens kvotient og rekkens første ledd. Oppgave 1 Løs likningen x 2 + x 6 = 0. b) Løs likningen c) Løs ulikheten x 2 + 4x 5 < 0. 3x 2 + 7 x 2 1 ) = 8. d) Løs ulikheten Oppgave 2 x 1 x 2 4 0. Deriver g x) = 3x + ln x) 3. b) Deriver h x) = e x

Detaljer

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: Kl. 09:00 Innlevering: Kl. 14:00

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: Kl. 09:00 Innlevering: Kl. 14:00 SENSORVEILEDNING MET 11803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09:00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave 1 Finn

Detaljer

1 OPPGAVE 2 OPPGAVE. a) Hva blir kontobeløpet den 2. januar 2040? b) Hvor mye penger blir det i pengeskapet den 2. januar 2040?

1 OPPGAVE 2 OPPGAVE. a) Hva blir kontobeløpet den 2. januar 2040? b) Hvor mye penger blir det i pengeskapet den 2. januar 2040? OPPGAVE Den. januar 0 satte Ola Normann 00 tusen kroner på en bankkonto med faste renter 3% per år. Han planlegger å ta ut halvparten av rentebeløpet den. januar hvert år, og å legge kontantene til et

Detaljer

PS: Noen hadde riktig kurve, men tolket oppgaven som om området R kun var delen til høyre for y-aksen, med tilsvarende areal lik. (2 θ) 2 dθ.

PS: Noen hadde riktig kurve, men tolket oppgaven som om området R kun var delen til høyre for y-aksen, med tilsvarende areal lik. (2 θ) 2 dθ. Løsningsforslag Eksamen MAT2 vår 202 med forbehold om trykkfeil Alle referanser er til læreboken, eller notatet om uniform kontinuitet. Nøyaktige referanser er med bare for å hjelpe forståelsen (og fremtidige

Detaljer

Handelshøyskolen BI Eksamen i Met Matematikk for økonomer kl til Løsninger

Handelshøyskolen BI Eksamen i Met Matematikk for økonomer kl til Løsninger Handelshøyskolen BI Eksamen i Met 91001 Matematikk for økonomer..1 00 kl 09.00 til 1.00 Løsninger OPPGAVE 0.1 Vi skal derivere disse funksjonene a) b) f( x) 3x 8 + 3x f ( x) x 8 1 + 3 x x 9 + 6x fx ( )

Detaljer

Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen

Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt v = ui + vj + wk. Divergensen til v er definert som v = u + v + w z og virvlingen er gitt ved determinanten

Detaljer

Fasit til eksamen i emnet MAT102 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 21.september 2015

Fasit til eksamen i emnet MAT102 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 21.september 2015 Fasit til eksamen i emnet MAT02 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 2.september 205 Fasit. (a) Løs ligningssystemene. i) 5x + 7y = 4 3x + 2y = ii) 3x + 4y + z = 2 2x + 3y + 3z = 7 Svar: i) x = 85/, y =

Detaljer

Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2:

Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2: Eksamen i emnet MAT/M00 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 5. desember 2003, kl. 09-3(5) LØYSINGSFORSLAG Finn dei deriverte til i) f(x) = x 2 ln x OPPGÅVE : exp(u 2 )du, x, ii) f(x) = x cos(x). i) d x 2

Detaljer

EKSAMEN I TMA4180 OPTIMERINGSTEORI

EKSAMEN I TMA4180 OPTIMERINGSTEORI Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 4 Faglig kontakt under eksamen: Marte Pernille Hatlo 7359698 / 97537854 EKSAMEN I TMA48 OPTIMERINGSTEORI Fredag 2. juni

Detaljer

Oppsummering matematikkdel

Oppsummering matematikkdel Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 9, 2011 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 9, 2011 1 / 25 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er

Detaljer

Oversigt [S] 11.7; [LA] 13

Oversigt [S] 11.7; [LA] 13 Oversigt [S] 11.7; [LA] 13 Nøgleord og begreber Lokalt maksimum og minimum Absolut maksimum og minimum Kritisk punkt Andenordenskriteriet Eksistens af absolut maksimum og minimum Køreplan for maks/min-problemer

Detaljer

Matematikk for økonomer Del 2

Matematikk for økonomer Del 2 Matematikk for økonomer Del 2 Formelark Dokument type: Formelark Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 17 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere rett til bruk av materialet. Det innebærer at

Detaljer

TMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016

TMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 TMA4105 Notat om skalarfelt Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 Innhold 1 Grenseverdier og kontinuitet 2 2 Derivasjon av skalarfelt 5 2.1 Partiellderivert og gradient..................................

Detaljer

Oppgaver i funksjonsdrøfting

Oppgaver i funksjonsdrøfting Oppgaver i funksjonsdrøfting To av oppgavene er merket med *. Det betyr at de er ekstra interessante. Oppgave 1 Gitt funksjonen f(x) = x + 4. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på

Detaljer

Alternativ II: Dersom vi ikke liker å stirre kan vi gå forsiktigere til verks. Først ser vi på komponentlikninga i x-retning

Alternativ II: Dersom vi ikke liker å stirre kan vi gå forsiktigere til verks. Først ser vi på komponentlikninga i x-retning Forelesning / 8 Finne skalarfunksjon når gradienten er kjent. Se GF kap..3.4. Ta som eksempel β = yi + xj + k. Vi vet at β = x i + j + z k og følgelig ser vi at vi må løse et system av tre likninger som

Detaljer

Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer

Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer Kapittel 2 Gradientvektoren, vektorfelt, strømlinjer, feltlinjer Oppgave Gitt funksjonen f(x,y,z) = x 2 y + z 2 x. Vi regner først ut de partielt deriverte med hensyn på x, y og z: De dobbeltderiverte

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte

Detaljer