Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
|
|
- Roald Didriksen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010
2 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte
3 Grenser og kontinuitet Kapittel Kontinuitet
4 4 Kontinuerlig i et punkt Definisjon (Kontinuitet i et indre punkt) Hvis lim x c f(x) = f(c) så sier vi at f(x) er kontinuerlig i punktet c. Eksempel 1 1 f(x) = x er kontinuerlig i alle punkter: lim x = c x c
5 Definisjon (Kontinuitet i endepunkt) La en funksjon være definert på [a, b] Hvis lim x a + f(x) = f(a) er f(x) kontinuerlig i det venstre endepunktet a. Hvis lim x b f(x) = f(b) er f(x) kontinuerlig i det venstre endepunktet b. Eksempel 1
6 6 Diskontinuiteter Definisjon Et punkt c kalles en diskontinuitetspunkt til f(x) hvis f(x) ikke er kontinuerlig i c. Eksempel 1 1 1
7 7 Kontinuitetstest Definisjon En funksjon er kontinuerlig i c hvis og bare hvis du kan svare ja på alle tre spørsmål: 1. Eksisterer f(c)? (Er c med i definisjonsmengden til f ) 2. Eksisterer lim x c f(x) 3. Er lim x c f(x) = f(c)
8 7 Kontinuitetstest Definisjon En funksjon er kontinuerlig i c hvis og bare hvis du kan svare ja på alle tre spørsmål: 1. Eksisterer f(c)? (Er c med i definisjonsmengden til f ) 2. Eksisterer lim x c f(x) 3. Er lim x c f(x) = f(c)
9 7 Kontinuitetstest Definisjon En funksjon er kontinuerlig i c hvis og bare hvis du kan svare ja på alle tre spørsmål: 1. Eksisterer f(c)? (Er c med i definisjonsmengden til f ) 2. Eksisterer lim x c f(x) 3. Er lim x c f(x) = f(c)
10 7 Kontinuitetstest Definisjon En funksjon er kontinuerlig i c hvis og bare hvis du kan svare ja på alle tre spørsmål: 1. Eksisterer f(c)? (Er c med i definisjonsmengden til f ) 2. Eksisterer lim x c f(x) 3. Er lim x c f(x) = f(c)
11 8 Største heltallsfunksjon Eksempel Største heltallfunksjon er definert ved det største heltall mindre eller lik x f(x) = x
12 9 Typer diskontinuiteter Grafene under er 1) kontinuerlig i x = 0, 2) og 3) reparerbar diskontinuerlig i x = 0, 4) har diskontinuitets hopp i x = 0, 5) uendelig diskontinuerlig i x = 0 og 6) oskillerende diskontinuerlig i x = 0 1) 2) 3) 4) 5) 6)
13 9 Typer diskontinuiteter Grafene under er 1) kontinuerlig i x = 0, 2) og 3) reparerbar diskontinuerlig i x = 0, 4) har diskontinuitets hopp i x = 0, 5) uendelig diskontinuerlig i x = 0 og 6) oskillerende diskontinuerlig i x = 0 1) 2) 3) 4) 5) 6)
14 9 Typer diskontinuiteter Grafene under er 1) kontinuerlig i x = 0, 2) og 3) reparerbar diskontinuerlig i x = 0, 4) har diskontinuitets hopp i x = 0, 5) uendelig diskontinuerlig i x = 0 og 6) oskillerende diskontinuerlig i x = 0 1) 2) 3) 4) 5) 6)
15 9 Typer diskontinuiteter Grafene under er 1) kontinuerlig i x = 0, 2) og 3) reparerbar diskontinuerlig i x = 0, 4) har diskontinuitets hopp i x = 0, 5) uendelig diskontinuerlig i x = 0 og 6) oskillerende diskontinuerlig i x = 0 1) 2) 3) 4) 5) 6)
16 9 Typer diskontinuiteter Grafene under er 1) kontinuerlig i x = 0, 2) og 3) reparerbar diskontinuerlig i x = 0, 4) har diskontinuitets hopp i x = 0, 5) uendelig diskontinuerlig i x = 0 og 6) oskillerende diskontinuerlig i x = 0 1) 2) 3) 4) 5) 6)
17 9 Typer diskontinuiteter Grafene under er 1) kontinuerlig i x = 0, 2) og 3) reparerbar diskontinuerlig i x = 0, 4) har diskontinuitets hopp i x = 0, 5) uendelig diskontinuerlig i x = 0 og 6) oskillerende diskontinuerlig i x = 0 1) 2) 3) 4) 5) 6)
18 10 Kontinuerlige funksjoner Definisjon En funksjon er kontinuerlig på et intervall hvis og bare hvis den er kontinuerlig i hvert punkt i intervallet. En funksjon er kontinuerlig hvis og bare hvis den er kontinuerlig i hvert punkt i definisjonsområdet. Eksempel Funksjonene og er kontinuerlige f(x) = 1 f(x) = x
19 11 Setning om kontinuitet Hvis f(x) og g(x) er kontinuerlige, så er følgende funksjoner kontinuerlige 1. f ± g 2. fg 3. f/g 4. f r/s Eksempel Følgende funksjoner er kontinuerlige f(x) = 1/x, p(x) = x 3 + 2x 2 + x 1, f(x) = x2 1 x 2 +1, f(x) = 3 x.
20 12 Setning om inverse funksjoner Inverse funksjoner av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlige Eksempel Den inverse av f(x) = x 3, f 1 (x) = 3 x er kontinuerlig y 1 x
21 13 Setning om sammensatte funksjoner Teorem Om f(x) er kontinuerlig i c og g(x) er kontinuerlig i f(c) så er (g f)(x) = g(f(x)) kontinuerlig i c. Eksempel er kontinuerlig 1 1 x 2
22 14 Grensen av sammensatte funksjoner Teorem Om lim x c f(x) = c og g(x) er kontinuerlig i b så gjelder ( ) lim g(f(x)) = g(b) = g lim f(x) x c x c Eksempel lim x 0 sin x x = lim x 0 sin x x = 1 = 1
23 15 Kontinuerlig utvidelse En funksjon som har diskontinuitet i c, men der lim x c f(x) = L eksisterer, kan vi kontinuerlig utvide funksjonen ved å definere f(c) = L. 1 Eksempel f(x) = x 2 sin 1/x er ikke kontinuerlig i x = 0. Men vi kan kontinuerlig utvide funksjonen ved å definere f(0) = 0. 1 Med å utvide en funksjon mener vi å gjøre definisjonsområdet større.
24 16 Skjæringssetningen Teorem Hvis 1. funksjonen f(x) er kontinuelig på det lukkede intervallet [a, b] og 2. y 0 ligger mellom f(a) og f(b) så finnes et punkt c i [a, b] slik at f(c) = y 0 f(a) y 0 f(b) a c b
25 Grenser og kontinuitet Kapittel Tangenter og den deriverte til en funksjon
26 18 Gjensyn med momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a))
27 18 Gjensyn med momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a)) Eksempel: f(x) = x 2 y = x 2
28 18 Gjensyn med momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a)) Eksempel: f(x) = x 2 Sekanten igjennom P(1, 1) og Q(1 + h, 1 + 2h + h 2 ) y = x 2 P Q
29 18 Gjensyn med momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a)) y = x 2 2h + h 2 Eksempel: f(x) = x 2 Sekanten igjennom P(1, 1) og Q(1 + h, 1 + 2h + h 2 ) 2h + h2 Har stigningstall = 2 + h. h Q P h h
30 18 Gjensyn med momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a)) y = x 2 2h + h 2 Eksempel: f(x) = x 2 Sekanten igjennom P(1, 1) og Q(1 + h, 1 + 2h + h 2 ) 2h + h2 Har stigningstall = 2 + h. h f(1+h) f(1) Tangentens stigningstall er lim h 0 h = 2 P h h
31 19 Stigningstallet i et punkt Definisjon Stigningstallet til kurven y = f(x) i punktet x 0 er gitt ved m = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Tangentlinjen til y = f(x) igjennom punktet P(x 0, f(x 0 )) er linjen igjennom P med stigningsgrad m: y f(x 0 ) = m(x x 0 )
32 20 Den deriverte i et punkt Definisjon Den deriverte til f(x) i x = x 0 er gitt ved f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h
33 21 Den derivertes mange ansikter Følgende 5 ideer går ut på det samme: 1. Stigningstallet til y = f(x) i x = x Stigningstallet til tangenten til kurven y = f(x) igjennom punktet (x 0, f(x 0 )) 3. Den momentane endringsraten til f i x 0 4. Den derivere f (x 0 ) 5. Grensen lim h 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h
34 21 Den derivertes mange ansikter Følgende 5 ideer går ut på det samme: 1. Stigningstallet til y = f(x) i x = x Stigningstallet til tangenten til kurven y = f(x) igjennom punktet (x 0, f(x 0 )) 3. Den momentane endringsraten til f i x 0 4. Den derivere f (x 0 ) 5. Grensen lim h 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h
35 21 Den derivertes mange ansikter Følgende 5 ideer går ut på det samme: 1. Stigningstallet til y = f(x) i x = x Stigningstallet til tangenten til kurven y = f(x) igjennom punktet (x 0, f(x 0 )) 3. Den momentane endringsraten til f i x 0 4. Den derivere f (x 0 ) 5. Grensen lim h 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h
36 21 Den derivertes mange ansikter Følgende 5 ideer går ut på det samme: 1. Stigningstallet til y = f(x) i x = x Stigningstallet til tangenten til kurven y = f(x) igjennom punktet (x 0, f(x 0 )) 3. Den momentane endringsraten til f i x 0 4. Den derivere f (x 0 ) 5. Grensen lim h 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h
37 21 Den derivertes mange ansikter Følgende 5 ideer går ut på det samme: 1. Stigningstallet til y = f(x) i x = x Stigningstallet til tangenten til kurven y = f(x) igjennom punktet (x 0, f(x 0 )) 3. Den momentane endringsraten til f i x 0 4. Den derivere f (x 0 ) 5. Grensen lim h 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h
38 Derivasjon Kapittel Den deriverte av en funksjon
39 23 Den deriverte av en funksjon Definisjon Den deriverte til f(x) er funksjonen f (x) gitt ved f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h Alternativt: f (x) = lim z x f(z) f(x) z x
40 24 Beregning av derivert fra definisjonen Den deriverte av f(x) = x 2 Den deriverte av f(x) = 3 x
41 24 Beregning av derivert fra definisjonen Den deriverte av f(x) = x 2 f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h Den deriverte av f(x) = 3 x
42 24 Beregning av derivert fra definisjonen Den deriverte av f(x) = x 2 f f(x + h) f(x) x 2 + 2xh + h 2 x (x) = lim = lim 2 h 0 h h 0 h Den deriverte av f(x) = 3 x
43 24 Beregning av derivert fra definisjonen Den deriverte av f(x) = x 2 f f(x + h) f(x) x 2 + 2xh + h 2 x (x) = lim = lim 2 h 0 h h 0 h Den deriverte av f(x) = 3 x = lim h 0 2xh + h 2 h = 2x.
44 24 Beregning av derivert fra definisjonen Den deriverte av f(x) = x 2 f f(x + h) f(x) x 2 + 2xh + h 2 x (x) = lim = lim 2 h 0 h h 0 h Den deriverte av f(x) = 3 x 3 z f 3 x (x) = lim z x z x = lim h 0 2xh + h 2 h = 2x.
45 24 Beregning av derivert fra definisjonen Den deriverte av f(x) = x 2 f f(x + h) f(x) x 2 + 2xh + h 2 x (x) = lim = lim 2 h 0 h h 0 h = lim h 0 2xh + h 2 h = 2x. Den deriverte av f(x) = 3 x 3 z f 3 x 3 z 3 x (x) = lim = lim z x z x z x ( 3 z 3 x)( 3 z xz + 3 x 2 )
46 24 Beregning av derivert fra definisjonen Den deriverte av f(x) = x 2 f f(x + h) f(x) x 2 + 2xh + h 2 x (x) = lim = lim 2 h 0 h h 0 h = lim h 0 2xh + h 2 h = 2x. Den deriverte av f(x) = 3 x 3 z f 3 x 3 z 3 x (x) = lim = lim z x z x z x ( 3 z 3 x)( 3 z xz + 3 x 2 ) = x 2
47 25 Notasjon Den deriverte av y = f(x) har mange notasjoner (skrivemåter): f (x) = d dx f(x) = y = dy dx = df dx = D(f)(x) I det matematiske dataverktøyet Maple TM skriver man > diff(f(x),x);
48 26 Tegne grafen til f (x) Å tegne grafen til f (x) på bakgrunn av grafen til f(x) er en nyttig øvelse. Prøv deg på f(x) = sin x
49 27 Deriverbarhet For at en funksjon skal være deriverbar i x = c må følgende være tilfredstillt. 1. f(x) må være kontinuerlig i x = c. 2. Tangenten til f(x) i x = c kan ikke være vertikal. 3. Grafen til f(x) må være glatt og uten hjørner.
50 28 Darboux Teorem Hvis f(x) er deriverbar på et intervall. Og a og b er punkter på intervallet, samt at m ligger mellom f (a) og f (b) så finnes et punkt c mellom a og b slik at f (c) = m.
51 Derivasjon Kapittel Derivasjonsregler for Polynomer, Eksponensialfunksjoner, produkter og kvotienter
52 30 Den deriverte av konstant-funksjonen La c være en konstant. den deriverte av f(x) = c er gitt ved f (x) = c = d dx (c) = 0
53 31 Den deriverte av en potens d dx (x n ) = n x n 1 PS: n kan være et vilkårlig reelt tall. For eksempel: d dx ( 3 x) = d dx (x 1/3 ) = 1 3x 2/3
54 32 Den deriverte av konstant ganger en funksjon d dx (k f(x)) = k d dx (f(x))
55 33 Den deriverte av en sum d dx (f(x) + g(x)) = d dx (f(x)) + d dx (g(x))
56 34 Den deriverte av eksponensialfunksjonen d dx (ex ) = e x
57 35 Den deriverte av et produkt d df (f(x)g(x)) = dx dx g(x) + f(x) dg dx
58 36 Den deriverte av et kvotient df dg d f(x) dx g(x) = dx g(x) f(x) dx g(x) 2
59 37 Den n-te deriverte Vi finner den 2. deriverte ved å derivere den deriverte Vi finner den 3. deriverte ved å derivere den 2. deriverte Vi finner den 4. deriverte ved å derivere den 3. deriverte etc. etc. Notasjon (skrivemåte): f (x), f (x) = f (3) (x), f (n) (x) = dn dx f(x) = n dn f dx (x) = dn y n dx = y (n). n
Matematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, øst 2013 Forelesning 7 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7 Derivasjon Denne uken skal vi begynne på tema 2 om derivasjon. I dagens forelesning skal vi se på
DetaljerAndre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. august 2010 Induksjon Pensumlitteratur: Notat 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger.
DetaljerFremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet
1 Fremdriftplan I går 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet I dag 2.7 Tangenter og derivasjon 3.1 Den deriverte til en funksjon 3.2 Derivasjonsregler 3.3 Den deriverte som endringsrate
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon
DetaljerMatematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon
DetaljerFunksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2011
Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 20 2 Stigende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis
DetaljerDerivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner
DetaljerDerivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner)
DetaljerEkstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema
DetaljerMA oppsummering så langt
MA1101 - oppsummering så langt Torsdag 29. september 2005 http://www.math.ntnu.no/emner/ma1101/2005h/ MA1101- oppsummering så langt p.1/21 Pensum til semesterprøven Kapittel P Kapittel 1 Kapittel 2: avsnittene
DetaljerTMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven
TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.
DetaljerStigende og avtagende funksjoner Definisjon. Horisontal og vertikal forskyvning. Trigonometriske funksjoner
Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA00 Hans Jako Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 0 Stigende og avtagende funksjoner En funksjon f kalles stigende på intervallet I vis f (x ) < f (x )
Detaljerarbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. oktober 2011 Kapittel 6.6. Arbeid 3 Arbeid definisjon Definisjon (Arbeid
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2012
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 202 Løsningsforslag til teknostartøving a) Denisjonsmengden til f() = 3 er D f (, ), som gir at V f (,
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet
DetaljerFunksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011
Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden
DetaljerNotasjon i rettingen:
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 07 Notasjon i rettingen: R = Rett R = Rett, men med liten tulle)feil
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For
DetaljerGrenser III - rasjonale funskjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Grenser III - rasjonale funskjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 24. august 2010 2 Grenselover for x ± L = lim f(x) M = lim g(x) 1. lim (f(x) ± g(x))
DetaljerDen deriverte og derivasjonsregler
Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)
DetaljerFørste og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 13. september 2011 Kapittel 4.3. Monotone funksjoner og førstederivasjons-testen
DetaljerDerivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker 3 i 3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 3 i Løs likningen
DetaljerOppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09
Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter
DetaljerLøsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å
DetaljerAreal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Areal mellom kurver Volum Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 27. september 20 Kapittel 5.6. Substitusjon og arealet mellom kurver 3 Areal mellom kurver Problem
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36. Oppgaver til seminaret 8/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :
OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 8/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA400 Matematikk, høst 203 Forelesning 2 www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2 Transcendentale funksjoner I dagens forelesning skal vi se på følgende: Den naturlige logaritmen. 2 Eksponensialfunksjoner.
DetaljerEn (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).
Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom
DetaljerDAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Mandag 2. mars 2015 før forelesningen 10:30 Antall oppgaver: 17
Innlevering DAFE ELFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Mandag 2. mars 205 før forelesningen 0:0 Antall oppgaver: 7 Deriver de følgende funksjonene. 2 a) f(x) = cos(2x )
DetaljerNewtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. september 2011 Kapittel 4.7. Newtons metode 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av
DetaljerEKSEMPLER TIL ETTERTANKE MAT1100 KALKULUS
EKSEMPLER TIL ETTERTANKE MAT00 KALKULUS Simon Foldvik. Oktober 207 Dette dokumentet inneholder eksempler på hvor «ting går galt» og har til hensikt å vise eksempler på hva man ikke kan konkludere. Alle
DetaljerSom vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk og stil variere noe fra oppgave til oppgave.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
Detaljer1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = 100. y(1+2 x ) = = 2 x = y. xln2 = ln 100 y. x = 1 ln2 ln. f 1 (x) = 1 ln2 ln x
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere y f(x) 00 +2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y 00 +2 x y(+2 x ) 00 2 x 00 00 y y
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 5 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 5 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på grenseverdier. 1 Hvorfor
DetaljerOppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:
Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn
Detaljery (t) = cos t x (π) = 0 y (π) = 1. w (t) = w x (t)x (t) + w y (t)y (t)
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 013 Løsningsforslag Notasjon og merknader En vektor boken skriver som ai + bj + ck, vil vi ofte skrive som (a, b, c), og tilsvarende
DetaljerDeleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36. Oppgaver til seminaret 9/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 9/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar
DetaljerFlere anvendelser av derivasjon
Flere anvendelser av derivasjon Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 30, 2014 Forelesning 17.09.2014 Fikspunkt-iterasjon Newtons metode Metoder for å finne nullpunkter av funksjoner:
DetaljerMA1103. Partiellderivert, derivert og linearisering
MA1103 4/2 2013 Partiellderivert, derivert og linearisering Partiellderivert i en koordinatretning: Tenk på alle de andre variablene som konstanter. f : A R n R m, a = (a 1,..., a n ) A f 1 f x 1 (a)...
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i analyse II Vår 219 8.4.1 Vi skal finne lengden til kurven x = 3t 2, y = 2t 3 der t 1. Som boka beskriver på
Detaljer1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = x y(1 + 2 x ) = = 100 y y x ln 2 = ln 100 y y x = 1. 2 x = 1. f 1 (x) =
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten 2 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere f() +2, dvs. løse ligningen mhp.. + 2 ( + 2 ) 2 ln 2 ln ln 2 ln Vi btter om på og :
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
DetaljerVolum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Volum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 4. oktober 011 Kapittel 6.. Volum ved sylindriske skall 3 Skall-metoden z = g(x) 1 1 1 1 3 1 1 3 z
DetaljerOppsummering MA1101. Kristian Seip. 23. november 2017
Oppsummering MA1101 Kristian Seip 23. november 2017 Forelesningen 23. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i MA1101 noen tips for eksamensperioden
DetaljerANDREAS LEOPOLD KNUTSEN
NOTAT OM FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Dette notatet inneholder ikke noe nytt pensum i kurset MAT112 i forhold til læreboken
DetaljerOppfriskningskurs i Matematikk
Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 2 Stine M. Berge 06.07.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 06.07.19 1 / 16 Funksjoner Definisjon En funksjon f er en prosses som ett element i en
DetaljerFunksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016
Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016 Andreas Leopold Knutsen 11. oktober 2016 Den deriverte f Newton-kvotienten f (x+h) f (x) h er stigningen til sekantlinjen gjennom punktene (x, f (x)) og (x + h, f
DetaljerVelkommen til eksamenskurs i matematikk 1
Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:
DetaljerKonvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.6. Alternerende rekker Absolutt og betinget konvergens 3 Alternerende rekker
DetaljerKontinuitet og grenseverdier
Kontinuitet og grenseverdier Avdeling for lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold 5. januar 2009 1 Innledning Kontinuitetsbegrepet For å motivere og innlede til kontinuitetsbegrep skal vi først undersøke
DetaljerIntegrasjon Fundamentalteoremet Substitusjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Integrsjon Fundmentlteoremet Substitusjon Forelesning i Mtemtikk 1 TMA4100 Hns Jkob Rivertz Institutt for mtemtiske fg 23. september 2011 2 Mtemtisk induksjon Alle elefnter er ros! Vil bevise P n Alle
DetaljerMatematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 4: Grenseverdi (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 20. august, 2012 Formell definisjon av grenseverdi Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon
DetaljerRepetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2,
Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, 201. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Repetisjonsoppgaver MATEMATIKK 1 REA1141 og REA1141F Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 Denne oppgaven har forholdsvis enkle derivasjoner,
DetaljerLøsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 3, onsdag 3. november 5 Del Oppgave Funksjonen f(x) er
DetaljerLøsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5 I kapittel 5 har mange av oppgavene et mer teoretisk preg enn du er vant til fra skolematematikken, og jeg har derfor lagt vekt på å lage løsningsforslag
DetaljerNotasjon i rettingen:
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 207 Notasjon i rettingen: R Rett R Rett, men med liten tulle)feil
Detaljer= x lim n n 2 + 2n + 4
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten
DetaljerForelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. september 2006 2 Den høyrederiverte og venstrederiverte Definisjon Den høyrederiverte til en funksjon f(x) i punktet x er
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode
DetaljerTMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016
TMA4105 Notat om skalarfelt Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 Innhold 1 Grenseverdier og kontinuitet 2 2 Derivasjon av skalarfelt 5 2.1 Partiellderivert og gradient..................................
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
DetaljerNTNU. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 5. Avsnitt Vi vil finne dx ( cos t dt).
NTNU Instittt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 5 Avsnitt 5.4 ( + cos x)dx = dx + cos xdx = π + [sin x] π = π + (sin π sin) = π. 44 Vi vil finne d x dx ( cos t dt). Merk
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)
DetaljerLogaritmer og eksponentialfunksjoner
Logaritmer og eksponentialfunksjoner Harald Hanche-Olsen og Marius Irgens 20-02-02 Dette notatet ble først laget for MA02 våren 2008. Denne versjonen er omskrevet for MA02 våren 20. Du vil oppdage at mange
DetaljerFunksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner R1
Funksjoner oppgaver Innhold 3.1 Funksjoner... 3. Kontinuitet, grenseverdier og asymptoter til funksjoner... 3 Grenseverdier... 3 Rasjonale funksjoner og asymptoter... 6 Kontinuitet... 8 Funksjoner med
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 10 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 10 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Antideriverte. 2 Differensiallikninger
DetaljerMål og innhold i Matte 1
Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 15. november 2013 på Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise
DetaljerFunksjonsdrøfting MAT111, høsten 2017
Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2017 Andreas Leopold Knutsen 11. Oktober 2017 Strengt voksende funksjon (Def. 6 i Ÿ2.8) f er strengt voksende på intervallet I dersom x 1 < x 2 i I = f (x 1 ) < f (x 2
DetaljerMål og innhold i Matte 1
Mål og innhold i Institutt for matematiske fag på 19. oktober 2013 Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 Innleveringsfrist: Mandag 26. september 2016, kl. 14, i Infosenterskranken i inngangsetasjen
DetaljerKonvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.3. Integrasjonstesten 3 Ikke-avtagende delsummer Husker at n-te delsum av
DetaljerMål og innhold i Matte 1
Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 1. november 2013 Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise hva
DetaljerFunksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2010
Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 200 2 Funksjon som en maskin x Funksjon f f(x) 3 Definisjon- og verdimengde x f(x) 4 Funksjon som en
DetaljerOppgave 1. Oppgave 2
Midtveiseksamen i MET1180 1 - Matematikk for siviløkonomer 12. desember 2018 Oppgavesettet har 15 flervalgsoppgaver. Rett svar gir poeng, galt svar gir svaralternativ (E) gir 0 poeng. Bare ett svar er
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA Matematikk Høst Løsningsforslag Øving Review Exercise 6, side 86 Vi lar fx sin x. Taylor-polynomet av grad 6 til f om x
DetaljerDifferensiallikninger Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Differensiallikninger Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. november 2011 Kapittel 15.1. Retningsfelt og Picards teorem 3 Retningsvektorfelt for y = y
DetaljerTrasendentale funksjoner
Trasendentale funksjoner Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 9, 2014 Kap. 3.1 og 3.2. Forelesning 8. September. Inverse funksjoner, definisjon og eksistens Deriverte av inverse
DetaljerMAT1100 - Grublegruppen Uke 36
MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk Dag 2
Oppfriskningskurs i matematikk Dag 2 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Tirsdag 7. august 2018 Beskjeder Rombytte: EL5 i dag og i morgen. F1 igjen på torsdag. Skal fikse fasit (til tallsvar) på
DetaljerAreal - difflikninger - arbeid Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Areal - difflikninger - arbeid Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 7. oktober 2011 Kapittel 6.4. Areal til omdreiningslegemer 3 Overflate-areal av en rotasjonsflate
DetaljerKapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon
Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel
DetaljerFormelsamling Kalkulus
Formelsamling Kalkulus Martin Alexander Wilhelmsen December 8, 009 En liten formelsamling for MAT00 ved UiO. Vennligst meld fra om feil til martinaw@student.matnat.uio.no. Dette dokumentet er publisert
DetaljerVelkommen til TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP og MTPROD høsten 2010
Velkommen til TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 19. august 2010 2 Hvorfor skal dere studere matematikk? Det står i studiehåndboken.
DetaljerMAT jan jan feb MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Løsningsforslag, eksamen MA0/MA60 07.2.09 Oppgave La f() = e 4 2 2 8. a) Finn alle ekstremalpunktene til funksjonen
DetaljerMAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall.
MAT 100a - LAB 3 I denne øvelsen skal vi bruke Maple til å illustrere noen anvendelser av derivasjon, først og fremst Newtons metode til å løse likninger og lokalisering av min. og max. punkter. Vi skal
DetaljerLøsningsforslag til midtsemesterprøve i fag MA1101 Grunnkurs i analyse 1 Bokmål Fredag 10. oktober 2008 Kl
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Faglig kontakt: Heidi Dahl Telefon: 735 98141 Løsningsforslag til midtsemesterprøve i fag MA1101 Grunnkurs i analyse
DetaljerMatematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag
Matematikk 1 Oversiktsforelesning Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag November 25, 2009 LS (IMF) tma4100rep November 25, 2009 1 / 21 Matematikk 1 Hovedperson Relle funksjoner
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsningsforslag Øving 04 30 For å vise at f er en injektiv one-to-one funksjon, ser vi på den deriverte,
DetaljerMA0003-8. forelesning
Implisitt derivasjon og 31. august 2009 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2
DetaljerNOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN
NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT2 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY. Innledning og definisjoner Vi vil i dette notatet betrakte reelle funksjoner
DetaljerMAT jan jan jan MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive
DetaljerEksamensoppgave i MA1101 Grunnkurs i analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1101 Grunnkurs i analyse Faglig kontakt under eksamen: Kari Hag Tlf: 48 30 19 88 Eksamensdato: 15. oktober 018 Eksamenstid (fra til): 17:30 19:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerNotater nr 9: oppsummering for uke 45-46
Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Bøkene B (læreboken): Tor Gulliksen og Arne Hole, Matematikk i Praksis, 5. utgave. K (kompendium): Amir M. Hashemi, Brukerkurs i matematikk MAT, høsten. Oppsummering
Detaljer