Den deriverte og derivasjonsregler

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Den deriverte og derivasjonsregler"

Transkript

1 Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014

2 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1)

3 Sekant til en funksjon gjennom to punkter f(c+h) 15 f(x) 10 5 f(c) c c+h

4 Sekant til en funksjon gjennom to punkter f(c+h) 15 f(x) 10 5 f(c) c c+h stigninstallet: f (c + h) f (c) h

5 Sekant til en funksjon gjennom to punkter f(c+h) 15 f(x) 10 5 f(c) c c+h stigninstallet: f (c + h) f (c) h Send det røde punktet mot det blå punktet:

6 Sekant til en funksjon gjennom to punkter f(c+h) 15 f(x) 10 5 f(c) c c+h stigninstallet: f (c + h) f (c) h Send det røde punktet mot det blå punktet: h 0

7 Jo næermere blir det røde punktet til det blå punktet f(x) 10 f(x)

8 Jo næermere blir det røde punktet til det blå punktet f(x) 10 f(x) jo nærmere blir senkanten til tangenten.

9 ... nærmer seg tangenten i det blå punktet f(x) Stigninstallet til tangenten i det blå punktet c kan defineres ved bruk av en grense for det røde punktet som går mot det blå punktet og er f (c + h) f (c) lim h 0 h

10 Tangenten og normalen til f i punktet c f (c+h) f (c) Hvis grensen eksisterer og er lik m = lim h 0 h stigninstallet til tangenten. da m er

11 Tangenten og normalen til f i punktet c f (c+h) f (c) Hvis grensen eksisterer og er lik m = lim h 0 h da m er stigninstallet til tangenten. Normalen til f i punktet c er linja som er ortogonal til tangenten: f(c) c 5 0 5

12 Tangenten og normalen til f i punktet c f (c+h) f (c) Hvis grensen eksisterer og er lik m = lim h 0 h da m er stigninstallet til tangenten. Normalen til f i punktet c er linja som er ortogonal til tangenten: f(c) c stignningstallet til normalen= 1 m

13 Tangenten og normalen til f i punktet c f (c+h) f (c) Hvis grensen eksisterer og er lik m = lim h 0 h da m er stigninstallet til tangenten. Normalen til f i punktet c er linja som er ortogonal til tangenten: f(c) c stignningstallet til normalen= 1 m Eksempel 7 side 99. Eksempler 2 side 97, 3 og 4 side 98.

14 Den deriverte kap 2.2 Den deriverte av en funksjon f er en annen funksjon f som i punktet x er gitt av f (x) = lim h 0 f (x + h) f (x) h for alle x der grensen eksisterer. Hvis f eksisterer sier man at f er deriverbar.

15 Den deriverte kap 2.2 Den deriverte av en funksjon f er en annen funksjon f som i punktet x er gitt av f (x) = lim h 0 f (x + h) f (x) h for alle x der grensen eksisterer. Hvis f eksisterer sier man at f er deriverbar. Nå noen eksempler på tavla: eks. 1 side 102, eks. 3 side 103.

16 Hvis f er deriverbar i x da er f kontinuerlig i x Bevis: hvis f er deriverbar i x da eksisterer (endelig) da har vi f (x + h) f (x) lim = f (x) h 0 h f (x + h) f (x) lim (f (x + h) f (x)) = lim h = f (x) 0 = 0. h 0 h 0 h Dette er det samme som lim f (x + h) = f (x) h 0 som er det samme som å si at f er kontinuerlig i x.

17 Den deriverte er en lineær operasjon kap. 2.3 La f og g være to deriverbare funksjoner, da for hver par av reelle tall α og β d (α f (x) + β g(x)) = dx

18 Den deriverte er en lineær operasjon kap. 2.3 La f og g være to deriverbare funksjoner, da for hver par av reelle tall α og β d dx (α f (x) + β g(x)) = d = α dx f (x) + β d dx g(x).

19 Den deriverte er en lineær operasjon kap. 2.3 La f og g være to deriverbare funksjoner, da for hver par av reelle tall α og β d dx (α f (x) + β g(x)) = d = α dx f (x) + β d dx g(x). Example La f (x) = sin(x) + x 3 og g(x) = 3 sin(x), finn d dx f (x) + 1 d 3 dx g(x)

20 Den deriverte er en lineær operasjon kap. 2.3 La f og g være to deriverbare funksjoner, da for hver par av reelle tall α og β d dx (α f (x) + β g(x)) = d = α dx f (x) + β d dx g(x). Example La f (x) = sin(x) + x 3 og g(x) = 3 sin(x), finn d dx f (x) + 1 d 3 dx g(x) = = d dx x 3 = 3x 2

21 Den dreiverte av produktet av to funksjoner La f og g være to deriverbare funksjoner. d (f (x) g(x)) = dx

22 Den dreiverte av produktet av to funksjoner La f og g være to deriverbare funksjoner. d dx (f (x) g(x)) = = ( d dx f (x)) g(x) + f (x) ( d dx g(x)). Med bevis.

23 Den dreiverte av kvotienten av to funksjoner La f og g være to deriverbare funksjoner og g(x) 0 d dx ( f (x) g(x) ) =

24 Den dreiverte av kvotienten av to funksjoner La f og g være to deriverbare funksjoner og g(x) 0 d dx ( f (x) g(x) ) = = ( d dx f (x)) g(x) f (x) ( d dx g(x)) g(x) 2.

25 Kjærneregel kap 2.4 La g være en funksjon definert på et intervall av R med verdier i R og f definert på R. Vi ser på komposisjonen av g med f

26 Kjærneregel kap 2.4 La g være en funksjon definert på et intervall av R med verdier i R og f definert på R. Vi ser på komposisjonen av g med f (først anvend g, så anvend f ): det vil si (f g) (x) = f (g(x)) g = g(x), f = f (u), (f g) (x) = f (u) u=g(x). Kjærnereleg gir den deriverte av f g

27 Kjærneregel kap 2.4 La g være en funksjon definert på et intervall av R med verdier i R og f definert på R. Vi ser på komposisjonen av g med f (først anvend g, så anvend f ): det vil si (f g) (x) = f (g(x)) g = g(x), f = f (u), (f g) (x) = f (u) u=g(x). Kjærnereleg gir den deriverte av f g d (f g) (x) = dx = d du f (u) u=g(x) d dx g(x)

28 Kjærneregel kap 2.4 eksempel 2 side 117: d x dx

29 Kjærneregel kap 2.4 eksempel 2 side 117: d x dx eksempel 3 (b) side 117 d dt t2 1

30 Kjærneregel kap 2.4 eksempel 2 side 117: d x dx eksempel 3 (b) side 117 d dt t2 1 oppgave : finn den deriverte av funskjonen nedenfor ved bruk av den deriverte f d dx [f ( 2 3 x )]

31 De deriverte av trigonometriske funksjoner kap 2.5 Anta 0 θ 2 π, θ i radianer. Funksjonene sin(θ) og cos(θ) er kontinuerlige for alle θ.

32 De deriverte av trigonometriske funksjoner kap 2.5 Anta 0 θ 2 π, θ i radianer. Funksjonene sin(θ) og cos(θ) er kontinuerlige for alle θ. Spesielt er de kontinuerlige i 0 lim sin(θ) = sin(0) = 0, lim θ 0 cos(θ) = cos(0) = 1. θ 0

33 De deriverte av trigonometriske funksjoner kap 2.5 Anta 0 θ 2 π, θ i radianer. Funksjonene sin(θ) og cos(θ) er kontinuerlige for alle θ. Spesielt er de kontinuerlige i 0 lim sin(θ) = sin(0) = 0, lim θ 0 cos(θ) = cos(0) = 1. θ 0 Teorem 8 (side 121). La θ være gitt i radianer da sin(θ) lim = 1. θ 0 θ

34 De deriverte av trigonometriske funksjoner kap 2.5 Anta 0 θ 2 π, θ i radianer. Funksjonene sin(θ) og cos(θ) er kontinuerlige for alle θ. Spesielt er de kontinuerlige i 0 lim sin(θ) = sin(0) = 0, lim θ 0 cos(θ) = cos(0) = 1. θ 0 Teorem 8 (side 121). La θ være gitt i radianer da Eksempel 1 side 122: sin(θ) lim = 1. θ 0 θ cos(h) 1 lim = 0. h 0 h

35 De deriverte av trigonometriske funksjoner kap 2.5 Anta 0 θ 2 π, θ i radianer. Funksjonene sin(θ) og cos(θ) er kontinuerlige for alle θ. Spesielt er de kontinuerlige i 0 lim sin(θ) = sin(0) = 0, lim θ 0 cos(θ) = cos(0) = 1. θ 0 Teorem 8 (side 121). La θ være gitt i radianer da Eksempel 1 side 122: sin(θ) lim = 1. θ 0 θ cos(h) 1 lim = 0. h 0 h Ved bruk av disse grenser kan vi bevise (Teorem 9 og 10): d d sin(x) = cos(x), dx cos(x) = sin(x). dx

36 Teorem 8 (side 121). La θ være gitt i radianer da sin(θ) lim = 1. θ 0 θ

37 Teorem 8 (side 121). La θ være gitt i radianer da lim θ 0 sin(θ) θ = Arealen til sektoren er: θ 2

38 Teorem 8 (side 121). La θ være gitt i radianer da lim θ 0 sin(θ) θ = Arealen til den røde trekant er sin(θ) 2

39 Teorem 8 (side 121). La θ være gitt i radianer da lim θ 0 sin(θ) θ = Arealen til den røde trekant er sin(θ) 2 mindre enn arealen til sektoren. < θ 2

40 Teorem 8 (side 121). La θ være gitt i radianer da lim θ 0 sin(θ) θ =

41 Teorem 8 (side 121). La θ være gitt i radianer da lim θ 0 sin(θ) θ = Arealen til den grønne trekanten er sin(θ) 2 cos(θ)

42 Teorem 8 (side 121). La θ være gitt i radianer da lim θ 0 sin(θ) θ = Arealen til den grønne trekanten er sin(θ) 2 sin(θ) 2 cos(θ) < θ 2 < sin(θ) 2 cos(θ).

43 Teorem 8 (side 121). La θ være gitt i radianer da lim θ 0 sin(θ) θ = Arealen til den grønne trekanten er sin(θ) 2 sin(θ) 2 cos(θ) < θ 2 < sin(θ) 2 cos(θ). Her bruker man Squeeze Theorem for grenser og finner lim θ 0 + sin(θ) θ = 1.

44 Beviset til Teorem 8 fortsetter ved å bruke at sin(θ) θ = sin( θ) θ sin(θ) θ er en like funksjon (speilvendt med hensyn på y-aksen). Slik at man kommer ettervert fram til sin(θ) sin(θ) lim = lim = 1 θ 0 + θ θ 0 θ

45 Deriverte av høyere orden kap 2.6 d dx f (x) = f (x),

46 Deriverte av høyere orden kap 2.6 d dx f (x) = f (x), d 2 dx 2 f (x) =

47 Deriverte av høyere orden kap 2.6 d dx f (x) = f (x), d 2 dx 2 f (x) = d dx ( d dx f (x))

48 Deriverte av høyere orden kap 2.6 d dx f (x) = f (x), d 2 dx 2 f (x) = d dx ( d dx f (x)) = f (x).

49 Deriverte av høyere orden kap 2.6 d dx f (x) = f (x), d 2 dx 2 f (x) = d dx ( d dx f (x)) = f (x). d dx (x 2 + 3x + 2) = 2x + 3,

50 Deriverte av høyere orden kap 2.6 d dx f (x) = f (x), d 2 dx 2 f (x) = d dx ( d dx f (x)) = f (x). d dx (x 2 + 3x + 2) = 2x + 3, d 2 dx 2 (x 2 + 3x + 2) = d (2x + 3) = 2, dx

51 Deriverte av høyere orden kap 2.6 d dx f (x) = f (x), d 2 dx 2 f (x) = d dx ( d dx f (x)) = f (x). d dx (x 2 + 3x + 2) = 2x + 3, d 2 dx 2 (x 2 + 3x + 2) = d 3 dx 3 (x 2 + 3x + 2) = d (2x + 3) = 2, dx d dx 2 = 0. Brukes til Taylor rekke og Taylor polynomer.

52 Posisjon, hasighet og akselerasjon kap 2.6 Betrakt en objekt som beveges seg langs x-aksen: x(t) v(t) = d dt x(t) posisjon er en funksjon av tid t hasighet (endring i posisjon) a(t) = d2 dt 2 x(t) = d dt v(t) Example akselerasjon (endring i hasighet) Rettlinjet bevegelse med konstant hasighet: a(t) = 0, v(t) = v 0, x(t) = v 0 t + x 0

53 Posisjon, hasighet og akselerasjon kap 2.6 Betrakt en objekt som beveges seg langs x-aksen: x(t) v(t) = d dt x(t) posisjon er en funksjon av tid t hasighet (endring i posisjon) a(t) = d2 dt 2 x(t) = d dt v(t) Example akselerasjon (endring i hasighet) Rettlinjet bevegelse med konstant hasighet: a(t) = 0, v(t) = v 0, x(t) = v 0 t + x 0 Rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon: a(t) = a 0, v(t) = a 0 t + v 0, x(t) = 1 2 a 0 t 2 + v 0 t + x 0

54 Induksjon bevis Induksjon er en oppskrift for å bevise utsang som er sanne for alle naturlige tall n N. Oppskriften verifiser at utsangen er sann for n = 1; bevis at hvis utsangen er sann for n = k da må det være sann også for n = k + 1; konkluder at da er utsangen sann for alle n N.

55 Induksjon bevis Induksjon er en oppskrift for å bevise utsang som er sanne for alle naturlige tall n N. Oppskriften verifiser at utsangen er sann for n = 1; bevis at hvis utsangen er sann for n = k da må det være sann også for n = k + 1; konkluder at da er utsangen sann for alle n N. Example Bevis at n i = i=1 n (n + 1), n N. 2 En rigorøs forklaring om at indusksjonsbeviset stemmer, bruker Peanos aksiomene for de naturlige tall N. Peanos aksiomene definerer de aritmetiske egenskapene av de naturlige tall.

56 Oppgave Example Finn konstanter k og q slik at f (x) = { x 2 + kx + q, x < 0, sin(x), x 0, er kontinuerlig, deriverbar med kontinuerlig deriverte i x = 0. Kontinuitet: i x = 0 betyr at lim x 0 + f (x) = lim x 0 f (x), lim x 0 f (x) = lim sin(x) = sin(0) = x 0 lim f (x) = lim x 0 x 0 (x 2 + kx + q) = q, da for å oppnå kontinuitet må vi kreve at q = 0

57 Oppgave Example Finn konstanter k og q slik at f (x) = { x 2 + kx + q, x < 0, sin(x), x 0, er kontinuerlig, deriverbar med kontinuerlig deriverte i x = 0. Kontinuitet: q = 0. f (0+h) f (0) f (0+h) f (0) Deriverbarhet : i x = 0 betyr at lim h 0 + = lim h h 0, h f (0 + h) f (0) sin(0 + h) sin(0) sin(h) lim = lim = lim = 1 h 0 + h h 0 + h h 0 + h f (0 + h) f (0) h 2 + k h lim = lim = lim h 0 h h 0 h = k h 0 da for å oppnå deriverbarhet må vi kreve 1 = k. Kontinuitet av den deriverte: f 2x + 1, x < 0, (x) = { For kontinuitet da cos(x), x 0. må lim h 0 + f (x) = lim h 0 f (x), for oss dette betyr at 1 = lim h 0 + cos(x) = lim h 0 2x + 1 = 1 slik at f er kontinuerlig i x = 0.

58 Oppsumering av resultater fra oppgaven f (x) = { x 2 + x, x < 0, sin(x), x 0, f (x) = { 2x + 1, x < 0, cos(x), x f (x) blå, f (x) rød

59 Forelesning : kap 2.7 og 2.9 Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x) Relativt endring, endring relativt til en storrelse, endringsrate. Kritiske punkter f (x 0 ) = 0. Implisitt derivasjon.

60 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x). La f være deriverbar og y = f (x) hvordan endrer seg f (x) når vi endrer x til x + x antatt x er liten?

61 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x). La f være deriverbar og y = f (x) hvordan endrer seg f (x) når vi endrer x til x + x antatt x er liten?

62 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x). La f være deriverbar og y = f (x) hvordan endrer seg f (x) når vi endrer x til x + x antatt x er liten? Tangenten i x

63 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x). Hvordan endrer seg f (x) når vi endrer x til x + x antatt x er liten? Vi vil se hvordan f (x) endrer seg mellom det blå punktet og det røde punktet.

64 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x). Hvordan endrer seg f (x) når vi endrer x til x + x antatt x er liten? Vi vil se hvordan f (x) endrer seg mellom det blå punktet og det røde punktet. Og vi skal bruke den deriverte i den blå punktet (x).

65 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x) Den virkelige endringen i y er y = f (x + x) f (x).

66 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x) Den virkelige endringen i y er y = f (x + x) f (x)

67 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x) y = f (x + x) f (x)

68 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x) y = f (x + x) f (x) men siden x er liten og f f (x+h) f (x) (x) = lim h 0 h y = y x x da har vi at

69 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x) y = f (x + x) f (x) men siden x er liten og f f (x+h) f (x) (x) = lim h 0 h y = y x x f (x) x. da har vi at

70 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x) Approksimasjon av y = f (x + x) f (x) siden x er liten og f f (x+h) f (x) (x) = lim h 0 h y f (x) x. da har vi at

71 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x) y = x y x y = x stignigstallet til sekanten

72 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x) y = x y x y = x stignigstallet til sekanten y x stignigstallet til tangenten.

73 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x). Oppgave 1 kap 2.7 Finn en tilnærmelse av hvor mye y = 1 x endrer seg når x vokser fra 2 til 2.01.

74 Kap Approksimasjon av små endringer i f (x) ved hjelp av f (x). Oppgave 1 kap 2.7 Finn en tilnærmelse av hvor mye y = 1 x endrer seg når x vokser fra 2 til Svar: f (x) = 1 x, f (x) = 1 x 2 vi har x = (2.01 2) = 0.01 y = y x x f (x) x = 1 x = x=2 da 1 x = = x=2.01 2

75 Kap Den deriverte som endringsrate. Relativt endring endring relativt til en storrelse, prosent endring. Av sirka hvilken prosent vokser arealen til en sirkel hvis radius vokser 2%?

76 Kap Den deriverte som endringsrate. Relativt endring endring relativt til en storrelse, prosent endring. Av sirka hvilken prosent vokser arealen til en sirkel hvis radius vokser 2%? 4%. Snitt endriengsrate av f (x) på et intervall fra a til a + h er (eksempel snitthastighet) f (a + h) f (a) h (instantant) endringsrate av f med hensyn på x ved x = a er den deriverte: f (a + h) f (a) lim h 0 h (eksempel hastighet)

77 Kap Kritiske punkter. Hvis f (x 0 ) = 0 i x 0 da kaller vi x 0 et kritiskpunkt av f f(x) derivative of f(x) Maksimum og minimum punkter kan oppstå der hvor vi har de kritiske punkter.

78 Kap Kritiske punkter. Hvis vi ser bort fra endepunktene av et intervall og punktene der f (x) ikke er definert, er det nødvendig men ikke tilstrkkelig at f (x 0 ) = 0 for at f har en maksimum eller en minimum i x 0. f(x) derivative of f(x)

79 Kap Implisitt derivasjon. Vi er vant med at y = f (x),

80 Kap Implisitt derivasjon. Vi er vant med at y = f (x), men noen ganger er funksjonen gitt implisistt det vil si gjennom en ligning F (x, y) = 0,

81 Kap Implisitt derivasjon. Vi er vant med at y = f (x), men noen ganger er funksjonen gitt implisistt det vil si gjennom en ligning F (x, y) = 0, hvordan finner vi dy dx da?

82 Kap Implisitt derivasjon. Hvis y = y(x) er gitt implisitt ved ligningen F (x, y) = 0, Example y 2 = x x 2 + y 2 = 25 y sin(x) = x 3 + cos(y) hvordan finner vi dy dx da?

83 Kap Implisitt derivasjon. Eksempel 5, kap De er gitt konstantene a og b. Vis at kurvene x 2 y 2 = a, x y = b skjærer hverandre på rette vinkler.

84 Kap Implisitt derivasjon. Eksempel 5, kap De er gitt konstantene a og b. Vis at kurvene x 2 y 2 = a, x y = b skjærer hverandre på rette vinkler. Løsning: Vi må vise at i de punktene der kurvene skjærer hverandre er stigningtallet til den ene kurven lik minus 1 delt med stigningtallet til den andre kurven. Vi først finner stigningtallene ved hjelp av den deriverte (og implissitt derivasjon): derivasjon av første kurve 2x 2y dy dx = 0, dy dx = x y derivasjon av andre kurve y + x dy dx = 0 dy dx = y x

85 eksempel 5 fortsetter Hvis (x 0, y 0 ) er et skjæringspunkt, da har tangenten i et slik punkt for den første kurven stigningstallet dy dx x=x 0 = x 0 y 0 = m og tangenten til den andre kurven i samme punktet har stigningstallet dy dx = y 0 = 1 x=x 0 x 0 m. Det vil si at de to linjene er ortogonale med hverandre.

86 Forelesning , kap 2.8 og Sekantsetningen/middelverdisetningen 2 Voksende og avtagende funksjoner 3 Antideriverte (ubestemte integraler) 4 Differensialligninger Idag kan dere få hjelp til den første skrifliginnleveringen i R9 etter forelesning kl 16-17

87 Teorem 11, kap Sekantsetningen/middelverdisetningen. La f være kontinuerlig på intervallet [a, b] (lukket) og deriverbar på intervallet (a, b) (åpent).

88 Teorem 11, kap Sekantsetningen/middelverdisetningen. La f være kontinuerlig på intervallet [a, b] (lukket) og deriverbar på intervallet (a, b) (åpent) a b

89 Teorem 11, kap Sekantsetningen/middelverdisetningen. La f være kontinuerlig på intervallet [a, b] (lukket) og deriverbar på intervallet (a, b) (åpent). Stigningstallet til linje mellom (a, f (a)) og (b, f (b)) er f (b) f (a) b a a b

90 Teorem 11, kap Sekantsetningen/middelverdisetningen. La f være kontinuerlig på intervallet [a, b] (lukket) og deriverbar på intervallet (a, b) (åpent). Stigningstallet til linje mellom (a, f (a)) og (b, f (b)) er f (b) f (a) b a vi tegner copier av denne linje parallelt oppover i grafen for å se om vi finne en parallel linje som er tangent med grafen av f a b

91 Teorem 11, kap Sekantsetningen/middelverdisetningen. La f være kontinuerlig på intervallet [a, b] (lukket) og deriverbar på intervallet (a, b) (åpent). Stigningstallet til linje mellom (a, f (a)) og (b, f (b)) er f (b) f (a) b a vi tegner copier av denne linje parallelt oppover i grafen for å se om vi finne en parallel linje som er også tangent med grafen av f a b

92 Teorem 11, kap Sekantsetningen/middelverdisetningen. La f være kontinuerlig på intervallet [a, b] (lukket) og deriverbar på intervallet (a, b) (åpent). Da finnes det et punkt c (a, b) slik at f (b) f (a) b a = f (c) a c b

93 Teorem 12, kap Voksende og avtagende funksjoner. La J være et åpent intervall og la I være intervallet som innholde alle punkter i J samt ett eller begge endepunktene. La f være kontinuerlig på I og deriverbær på J da Hvis f (x) > 0 for alle x i J, da er f voksende i I. Hvis f (x) < 0 for alle x i J, da er f avtagende i I.

94 Teorem 12, kap Voksende og avtagende funksjoner. La J være et åpent intervall og la I være intervallet som innholde alle punkter i J samt ett eller begge endepunktene. La f være kontinuerlig på I og deriverbær på J da Hvis f (x) > 0 for alle x i J, da er f voksende i I. Hvis f (x) < 0 for alle x i J, da er f avtagende i I. Hvis f (x) 0 for alle x i J, da er f ikke avtagende i I. Hvis f (x) 0 for alle x i J, da er f ikke voksende i I. Bevis Ved bruk av middelverdisetning.

95 Kap Antideriverte. Den antideriverte av en funksjon f på et intervall I er en annen funksjon F som er slik at F (x) = f (x), for alle x I.

96 Kap Antideriverte. Den antideriverte av en funksjon f på et intervall I er en annen funksjon F som er slik at F (x) = f (x), for alle x I. Eksempler F (x) = x er antideriverte av f (x) = 1 (på et vilkårlig intervall av R)

97 Kap Antideriverte. Den antideriverte av en funksjon f på et intervall I er en annen funksjon F som er slik at F (x) = f (x), for alle x I. Eksempler F (x) = x er antideriverte av f (x) = 1 (på et vilkårlig intervall av R) G(x) = 1 2 x 2 er antideriverte av g(x) = x (på et vilkårlig intervall av R)

98 Kap Antideriverte. Den antideriverte av en funksjon f på et intervall I er en annen funksjon F som er slik at F (x) = f (x), for alle x I. Eksempler F (x) = x er antideriverte av f (x) = 1 (på et vilkårlig intervall av R) G(x) = 1 2 x 2 er antideriverte av g(x) = x (på et vilkårlig intervall av R) R(x) = cos(x) er den antideriverte av r(x) = sin(x) (på et vilkårlig intervall av R)

99 Kap Antideriverte. Den antideriverte av en funksjon f på et intervall I er en annen funksjon F som er slik at F (x) = f (x), for alle x I. Eksempler F (x) = x er antideriverte av f (x) = 1 (på et vilkårlig intervall av R) G(x) = 1 2 x 2 er antideriverte av g(x) = x (på et vilkårlig intervall av R) R(x) = cos(x) er den antideriverte av r(x) = sin(x) (på et vilkårlig intervall av R) F (x) = 1 x er antideriverte av f (x) = ln(x) på alle intervaller av R +.

100 Kap Ubestemte integraler. Det ubestemte integral av en funksjon f på et intervall I er f (x) dx = F (x) + C, på I, der F (x) = f (x), for alle x I. Ekesmpel 3 kap Finn f (x) som har som deriverte f (x) = 6x 2 1 for alle x reelle tall og slik at f (2) = 10.

101 Kap Differensialligninger, initialverdiproblem. En differensialligning er en ligning som innholder en eller flere deriverte av en ukjent funksjon. dy(x) dx = 3x 2 1

102 Kap Differensialligninger, initialverdiproblem. En differensialligning er en ligning som innholder en eller flere deriverte av en ukjent funksjon. dy(x) dx = 3x 2 1 Løsningen til differensialligningen er en hver funksjon som tilfredstiller differensialligningen på et intervall. y(x) = x 3 x + C for alle konstanter C. Eksempel 5 Vis at for alle konstanter A og B er løsning til y = Ax 3 + B/x x 2 y xy 3y = 0.

103 Initialverdiproblem IVP Et initialverdiproblem består av en differensialligning bestemte verdier for løsningen (og eventuelt de deriverte) i et punkt (initial punkt) slik at det går an å bestemme alle konstanter i løsningen av differensialligning.

104 Initialverdiproblem IVP Et initialverdiproblem består av en differensialligning bestemte verdier for løsningen (og eventuelt de deriverte) i et punkt (initial punkt) slik at det går an å bestemme alle konstanter i løsningen av differensialligning. Eksempel 6 Finn løsning til IVP x 2 y xy 3y = 0 y(1) = 2 y (1) = 6

Differensjalligninger av førsteorden

Differensjalligninger av førsteorden Differensjalligninger av førsteorden Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 2, 2014 Forelesning (29.10.2014): kap 7.9 og 18.3 Førsteordens ordinæredifferensjalligninger Initialverdiproblem

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.

Detaljer

Flere anvendelser av derivasjon

Flere anvendelser av derivasjon Flere anvendelser av derivasjon Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 30, 2014 Forelesning 17.09.2014 Fikspunkt-iterasjon Newtons metode Metoder for å finne nullpunkter av funksjoner:

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 10 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 10 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Antideriverte. 2 Differensiallikninger

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, øst 2013 Forelesning 7 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7 Derivasjon Denne uken skal vi begynne på tema 2 om derivasjon. I dagens forelesning skal vi se på

Detaljer

Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet

Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet 1 Fremdriftplan I går 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet I dag 2.7 Tangenter og derivasjon 3.1 Den deriverte til en funksjon 3.2 Derivasjonsregler 3.3 Den deriverte som endringsrate

Detaljer

TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven

TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.

Detaljer

Trasendentale funksjoner

Trasendentale funksjoner Trasendentale funksjoner Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 9, 2014 Kap. 3.1 og 3.2. Forelesning 8. September. Inverse funksjoner, definisjon og eksistens Deriverte av inverse

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8 Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)

Detaljer

MA oppsummering så langt

MA oppsummering så langt MA1101 - oppsummering så langt Torsdag 29. september 2005 http://www.math.ntnu.no/emner/ma1101/2005h/ MA1101- oppsummering så langt p.1/21 Pensum til semesterprøven Kapittel P Kapittel 1 Kapittel 2: avsnittene

Detaljer

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte

Detaljer

Løsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7

Løsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7 Løsningsforslag eksamen i TMA4 Matematikk 2. desember 23. Side av 7 Oppgave Løs initialverdiproblemet y (2/x)y, y() 2. Løsning: y (2/x)y er en førsteordens lineær differensialligning. Vi finner en løsning

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA400 Matematikk, høst 203 Forelesning 2 www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2 Transcendentale funksjoner I dagens forelesning skal vi se på følgende: Den naturlige logaritmen. 2 Eksponensialfunksjoner.

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel

Detaljer

EKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00 Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 7 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 15 Tid: 9: 14: Tillatte

Detaljer

MA0003-8. forelesning

MA0003-8. forelesning Implisitt derivasjon og 31. august 2009 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013 BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )

Detaljer

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom

Detaljer

Matematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag

Matematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag Matematikk 1 Oversiktsforelesning Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag November 25, 2009 LS (IMF) tma4100rep November 25, 2009 1 / 21 Matematikk 1 Hovedperson Relle funksjoner

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis

Detaljer

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der: Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn

Detaljer

TMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016

TMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 TMA4105 Notat om skalarfelt Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 Innhold 1 Grenseverdier og kontinuitet 2 2 Derivasjon av skalarfelt 5 2.1 Partiellderivert og gradient..................................

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Fremdriftplan. I går. I dag. 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner

Fremdriftplan. I går. I dag. 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner 1 Fremdriftplan I går 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner I dag 1.3 Trigonometriske funksjoner 1.4 Eksponentialfunksjoner 1.5 Omvendte funksjoner, logaritmiske funksjoner, inverse

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

MAT jan jan jan MAT Våren 2010

MAT jan jan jan MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive

Detaljer

1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii)

1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii) 1 MAT1 Obligatorisk innlevering 1 1 Regn ut 3 7 + 1 2. i) 13 14 ii) 11 14 iii) 9 14 2 Regn ut 8 9 + 3 4. i) 57 36 ii) 59 36 iii) 61 36 3 Regn ut 1 4 + 1 8. i) 3 16 ii) 3 8 iii) 5 8 4 Regn ut 1 8 + 1 16.

Detaljer

Repitisjon av Diverse Emner

Repitisjon av Diverse Emner NTNU December 15, 2012 Oversikt 1 2 3 4 5 Å substituere x med en trigonometrisk funksjon, gjør det mulig å evaluere integral av typen I = dx a 2 +x 2 I = dx a 2 +x 2 I = dx a 2 x 2 der a er en positiv

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.

Detaljer

Institutionen för Matematik, KTH

Institutionen för Matematik, KTH Institutionen för Matematik, KTH Lösningsforslag till tentamen, 200-2-7, kl. 8.00-.00. 5B04, Envariabel. Uppgift. Den karakteristiske ligningen r 2 r + 2 0 kan omskrives som (r )(r 2) 0. Den generelle

Detaljer

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4 Oppsummeringsproblemer som utgangspunkt til ekstraforelesninger i uke 48 i emnet MAT111, høsten 2008 Problem 1 Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi til å vise at x 4 1 x 1 x + 1 = 4. Problem 2

Detaljer

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Prøve i Matte 1 BYFE DAFE 1 Dato: 3. mars 216 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 Gitt matrisene A = [ 8 3 6 2 ] [ og

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111 Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. 1 (x 2 + 1) 1/2 + x 1 2 (x2 + 1) 1/2 (x 2 + 1) = x 2x 2 x = = 3 ln x sin x

Høgskolen i Oslo og Akershus. 1 (x 2 + 1) 1/2 + x 1 2 (x2 + 1) 1/2 (x 2 + 1) = x 2x 2 x = = 3 ln x sin x Løysingsforslag til eksamen i matematikk, mai 4 Oppgåve a) i) ii) f(x) x x + x(x + ) / ( f (x) x (x + ) / + x (x + ) /) g(x) ln x sin x x (x + ) / + x (x + ) / (x + ) x + + x x x + x + + x x + x + x +

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker 3 i 3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 3 i Løs likningen

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 4: Grenseverdi (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 20. august, 2012 Formell definisjon av grenseverdi Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er

Detaljer

EKSAMEN I MATEMATIKK 1000

EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 Oppgave 1 a) Finn den deriverte av disse funksjonene: f(x) = x 3 e 5x og g(x) = ln(tan(x)) + x 3. b) Finn de følgende ubestemte integralene: i) (x 3 + xe x2 ) dx og ii) cos 2

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2 TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x

Detaljer

Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998 Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim

Detaljer

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner)

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT, høsten 206 Innleveringsfrist: Mandag 2. november 206, kl. 4, i Infosenterskranken i inngangsetasjen

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 12. desember 2003 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 7 sider.

Detaljer

Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

Løsningsforslag eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I høsten 2009

Løsningsforslag eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I høsten 2009 Løsningsforslag eksamen MAT Grunnkurs i Matematikk I høsten 9 OPPGAVE (a) Vi har w = + ( ) =. I et komplekse plan ligger w i 4. kvarant og vinkelen θ mellom tallet og en relle aksen har tan θ =, vs. at

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.

Detaljer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke

Detaljer

Løsningsforslag. f(x) = 2/x + 12x

Løsningsforslag. f(x) = 2/x + 12x Prøve i FO929A - Matematikk Dato: august 212 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (2 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag Onsdag 9. mai, kl. 9. 4. Bokmål Oppgave a) La R være området mellom kurvene Finn

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i fag MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I Høst 2008

Løsningsforslag til eksamen i fag MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I Høst 2008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 9 Løsningsforslag til eksamen i fag MA111/MA611 Grunnkurs i analyse I Høst 2 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved

Detaljer

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36 MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.4-3.6 Oppgaver til seksjon 3.4 1. Anta at f(x, y) = x 2 y 3 og r(t) = t 2 i + 3t j. Regn ut g (t) når g(t) = f(r(t)). 2. Anta at f(x, y) = x 2 e xy2 og r(t) = sin t i+cos

Detaljer

Fasit til eksamen i emnet MAT102 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 21.september 2015

Fasit til eksamen i emnet MAT102 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 21.september 2015 Fasit til eksamen i emnet MAT02 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 2.september 205 Fasit. (a) Løs ligningssystemene. i) 5x + 7y = 4 3x + 2y = ii) 3x + 4y + z = 2 2x + 3y + 3z = 7 Svar: i) x = 85/, y =

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 18/ MA1102

Løsningsforslag eksamen 18/ MA1102 Løsningsforslag eksamen 8/5 009 MA0. Dette er en alternerende rekke, der leddene i størrelse går monotont mot null, så alternerenderekketesten gir oss konvergens. (Vi kan også vise konvergens ved å vise

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3 Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Fredag 11. mars 2016 Antall oppgaver: Løsningsforslag

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Fredag 11. mars 2016 Antall oppgaver: Løsningsforslag Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Fredag 11. mars 2016 Antall oppgaver: 10 + 1 Løsningsforslag 1 Hvilken av de to funksjonene vist i guren er den deriverte

Detaljer

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet

Detaljer

Randkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π.

Randkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π. Ma - Løsningsforslag til uke 17 i 7 Eks. mai 1999 oppgave 4 ylinderen x + y = 1 skjærer ut ei flate av planet z = x + 1 dvs. x + z = 1 med enhetsnormal i positiv z-retning lik n= 1 [ 1 1]. Flata blir en

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39. Oppgaver til seminaret 29/9

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39. Oppgaver til seminaret 29/9 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39 Avsnitt 3.1: 9, 23, 34 Avsnitt 3.3: 48, 61 Avsnitt 3.4: 1, 2, 9 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 29/9 Oppgaver til gruppene uke 40 Løs disse først så disse Mer dybde

Detaljer

IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer Utsatt Eksamen 8. juni 212 Eksamenstid 4 timer IR1185 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del 2 uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001)

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA1) Bokmål Tirsdag 1. desember 11 Tid: 9: 1: (4 timer)

Detaljer

9 + 4 (kan bli endringer)

9 + 4 (kan bli endringer) Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Onsdag 29. april 25 Antall oppgaver: 9 + 4 (kan bli endringer) Finn de ubestemte integralene a) 2x 3 4/x dx b) c) 2 5

Detaljer

Vi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3.

Vi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3. TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

x 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124

x 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving 4 Avsnitt 47 3 La f(x) = x 4 +x 3 med f (x) = 4x 3 +1 Med x 0 = 1 får ein med Newtons metode at Med x 0 = 1 får

Detaljer

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 10

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 10 Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 0 I kapittel 0 får du trening i å løse ulike typer differensialligninger, og her får du bruk for integrasjonsteknikkene du lærte i forrige kapittel. Men

Detaljer

MAT jan jan feb MAT Våren 2010

MAT jan jan feb MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis

Detaljer

Oversikt over Matematikk 1

Oversikt over Matematikk 1 1 Oversikt over Matematikk 1 Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens av ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivasjon Sekantsetningen Integrasjon Differensialligninger Kurver i planet

Detaljer

LYØSINGSFORSLAG Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i matematikk I onsdag 18. mai 2011 kl. 09:00-14: i( 3 + 1) = i + i + 1

LYØSINGSFORSLAG Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i matematikk I onsdag 18. mai 2011 kl. 09:00-14: i( 3 + 1) = i + i + 1 LYØSINGSFORSLAG Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i matematikk I onsdag 18. mai 011 kl. 09:00-1:00 NYNORSK OPPGAVE 1 Gitt dei komplekse tala z = 3 + i, w = 1 + i a Rekn ut (skriv på forma a + bi (i z + 3w,

Detaljer

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet. MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 2. september 2010 2 Fremdriftplan I går 3.6 Implisitt derivasjon 3.7 Derivasjon

Detaljer

Notasjon i rettingen:

Notasjon i rettingen: UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 07 Notasjon i rettingen: R = Rett R = Rett, men med liten tulle)feil

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 Innleveringsfrist: Mandag 26. september 2016, kl. 14, i Infosenterskranken i inngangsetasjen

Detaljer

Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 13. september 2011 Kapittel 4.3. Monotone funksjoner og førstederivasjons-testen

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 20 2 Stigende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis

Detaljer

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29 MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt

Detaljer

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1)

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1) Kapittel 3 Differensiallikninger 3.1 Første ordens lineære difflikninger Definisjon 3.1 En første ordens lineær difflikning er en likning på formen y + f(x)y = g(x) (3.1) der f og g er kjente funksjoner.

Detaljer

Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at

Detaljer

Fremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier

Fremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier 1 Fremdriftplan Siste uke Kap. 1 Funksjoner 2.1-2.2 Grenseverdier I dag 2.3 Den formelle definisjonen av grenseverdi 2.4 Ensidige grenser og grenser i uendelig 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/

Løsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/ Løsningsforslag Eksamen i MA0/MA60 Grunnkurs i analyse II 7/ 008 Oppgave y = y +, y(0) = 0 a) n n y n y = n y n + y = y y n+ 0 0 0 / / / / / 5/4 / 5/8 9/8 9/8 så Eulers metode med steglengde / gir oss

Detaljer

y = x y, y 2 x 2 = c,

y = x y, y 2 x 2 = c, TMA415 Matematikk Vår 17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

a) f(x) = 3 cos(2x 1) + 12 LF: Vi benytter (lineær) kjerneregel og får f (x) = (sin(7x + 1)) (sin( x) + x) sin(7x + 1)(sin( x) + x) ( sin(x) + x) 2 =

a) f(x) = 3 cos(2x 1) + 12 LF: Vi benytter (lineær) kjerneregel og får f (x) = (sin(7x + 1)) (sin( x) + x) sin(7x + 1)(sin( x) + x) ( sin(x) + x) 2 = Innlevering ELFE KJFE MAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Mandag 12. oktober 2015 før forelesningen 12:30 Antall oppgaver: 7 + 3 Løsningsforslag 1 Deriver de følgende

Detaljer

TMA4105 Matematikk2 Vår 2008

TMA4105 Matematikk2 Vår 2008 TMA4105 Matematikk2 Vår 2008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 5 11.4.1 Vi ser på kurven i xy-planet gitt ved r(t) ti + (ln(cos t))j π/2

Detaljer

= x lim n n 2 + 2n + 4

= x lim n n 2 + 2n + 4 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten

Detaljer

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009 TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +

Detaljer