Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT1100, høsten 2014

Transkript

1 Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT, høsten 4 DEL Oppgave. 3 poeng Hvis f, y = ye y, er f y lik: A y 3 e y B y e y C e y ye y D e y y e y E e y ye y Riktig svar: D e y y e y Oppgave. 3 poeng Hvis f, y = y +y 3, så er den dobbeltderiverte f y lik: A B + 3y C D y + 3y E Riktig svar: A Oppgave 3. 3 poeng Hvis f, y = arctany, så er den retningsderiverte f a; r, der a =, og r =,, lik: A 3 B 7 C D E 5 Riktig svar: A 3 Oppgave 4. 3 poeng Den rette linjen gjennom punktene,,, og,,, 3 har parametriseringen: A rt = t, + t, t, + 3t B rt = t, t, + t, 3t C rt = t,,, + t

2 D rt = t,,, + 3t E rt =, + t, t, 3 + t Riktig svar: C rt = t,,, + t Oppgave 5. 3 poeng Hvis en trekant er utspent av vektorene, 3, og,,, så er arealet: A 5 B 3 C 7 D 3 E 5 Riktig svar: E 5 Oppgave 6. 3 poeng Den deriverte til f = arcsin er lik: A B C D + E sin Riktig svar: C Oppgave 7. 3 poeng Dersom A = BA lik: 3 8 A B 3 3 og B = C dimensjonene stemmer ikke, så produktet er udefinert. 3 4, så er 3 D E 6 8 3

3 Riktig svar: E Oppgave 8. 3 poeng Når du skal delbrøkoppspalte P må du først: A finne konstanter A, B, C slik at P B finne konstanter A, B, C slik at P C polynomdividere D finne konstanter A, B, C, D slik at P Q = Q = A + + B+C ++ Q = A + + B+C ++ Q = E finne konstanter A, B, C slik at P Q = Riktig svar: C polynomdividere Oppgave 9. 3 poeng Hvis f = A + + B + + C+D ++ A + + B C t +9 dt, så er f lik: , A 5 B 4 3 C 3 D 4 3 E 4 5 Riktig svar: E 4 5 Oppgave. 3 poeng Det uegentlige integralet A divergerer B er lik π C er lik ln 8 D er lik ln E er lik lnln Riktig svar: A divergerer ln d DEL Oppgave. poeng Finn grenseverdien lim ln + a der a er et reelt tall. 3

4 Løsning: lim ln + a = lim Oppgave. poeng Funksjonen ln + a L H = lim + a a = a f, y = arctan y er definert for. Regn ut gradienten f, y. I hvilken retning vokser funksjonen raskest i punktet a =, y? I hvilke retninger er den retningsderiverte lik i dette punktet? Løsning: Siden og er f = + y y = y + y f y = + y f, y = = + y y, + y Dette betyr at funksjonen vokser raskest i retningen y, normalt på stedsvektoren a =, y. Stigningen er null i retninger normalt på gradienten, dvs. i retningene ±, y. Oppgave 3. poeng Finn en -matrise M slik at 4 M = og M = 3 y Løsning: Hvis vi setter M = u v 4 3 = M = M, får vi ligningene = = + y u + v y u v Løser vi ligningene + y = 4 og y =, får vi = 3, y =, og løser vi ligningene u + v =, u v = 3, får vi u =, v =. Dermed er 3 M = 4

5 Oppgave 4. poeng Vis at funksjonen f = er injektiv og har en omvendt funksjon g. Finn g 4. Løsningsforslag: Siden f = 3 + > for alle, er funksjonen strengt voksende og dermed injektiv. Følgelig har den en omvendt funksjon g. Vi ser at f = 4, og dermed er g 4 = f = Oppgave 5. poeng Området under grafen til funksjonen f = arctan,, dreies om y-aksen. Finn volumet til omdreiningslegemet. Løsningsforslag: Ifølge formelen for volumet til et omdreiningslegeme om y-aksen er V = π arctan d. Bruker vi delvis integrasjon med u = arctan, v =, får vi u = + og v =. Dermed er [ ] arctan d = arctan + d = π d + + d = π 8 + π 8 = π 4 Dette betyr at V = π arctan d = π π Oppgave 6. poeng Figuren viser et trapes innskrevet i en sirkel med radius. Grunnlinjen til trapeset er diameter i sirkelen. Hva er det største arealet trapeset kan ha? Løsningsforslag: Lar vi være som i figuren nedenfor, blir høyden i trapeset h = og lengden av topplinjen blir b =. Siden grunnlinjen er a =, blir dermed arealet A = a + b h = + = + Derivasjon gir A = + + 5

6 = + = + Løser vi annengradsligningen + =, får vi = og =. Den negative løsningen må forkastes, og vi ser f.eks. ved å bruke fortegnsskjema at = gir et maksimumspunkt for funksjonen A. Det maksimale arealet er dermed A = + 4 = Oppgave 7. poeng I denne oppgaven er a og b to reelle tall, a < b, og f : a, b R er en deriverbar funksjon. Vis at dersom den deriverte f er begrenset, så er f det også. Løsningsforslag: Siden f er begrenset, finnes det et tall M slik at f M for alle a, b. Velg et punkt d i a, b det mest naturlige valget er kanskje midtpunktet d = a+b, men det spiller ingen rolle hvilket punkt vi velger. For enhver a, b, finnes det ifølge middelverdisetningen et punkt c mellom d og slik at f fd = f c d Dermed er f = fd + f c d fd + f c d fd + Mb a Dette viser at fd + Mb a er en øvre skranke for f på a, b, og følgelig er f begrenset. Slutt 6