UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: Formelsamling Godkjent kalkulator Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene Settet består av deloppgaver som alle teller 6 poeng Du må begrunne alle svar, og du må vise nok mellomregninger til at man lett kan følge argumentene dine Oppgave La A være matrisen A ( ) /5 3/5 4/5 /5 a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A Svar: Den karakteristiske likningen blir det(λi A) (λ /5)(λ /5) /5 λ 3 5 λ λ 3 5 λ 5 slik at egenverdiene blir 3 5 λ ± ± 7 5 det vil si λ /5, λ Vi har at ( ) 4/5 3/5 5 I A 4/5 3/5 3 ± 7, ( ) 3/4 Komponentene i en egenvektor for λ /5 må dermed ( oppfylle ) x 3y/4 3y/4 En generell slik må derfor være på formen Setter vi y ( ) 3 y 4 få vi spesielt egenvektoren 4 (Fortsettes på side )

2 Eksamen i MAT, Onsdag 9 mai 9 Side Vi har at I A ( ) 3/5 3/5 4/5 4/5 ( ) Komponentene i en egenvektor for λ ( ) må dermed oppfylle x y En y generell slik må derfor være på formen Setter vi y får vi spesielt y ( ) egenvektoren ( ) 3 b) Skriv vektoren x som en sum av egenvektorer, og regn ut 4 grenseverdien lim( n ) A n x ( ) 3 Svar: Sett v og v 4 Disse danner en basis av egenvektorer ( ) 3 for R For å skrive x som en lineær kombinasjon av disse 4 radreduserer vi ( ) slik at x 3v + v Vi får dermed ( ) ( ) /3 / /3 8 ( ) ( ) /3 3, lim n An x lim n An (3v + v ) lim n (3( /5)n v + v ) ( ) v Oppgave a) Finn volumet avgrenset av paraboloidene z 4 x y og z +x +y Svar: Skjæringen mellom de to paraboloidene finner vi ved å løse 4 x y + x + y Dette gir x + y, slik at sirkelen om origo med radius er skjæringen mellom dem Det er videre klart at paraboloiden z 4 x y ligger øverst innenfor det avgrensede området (dette kan verifiseres ved å sette inn x y ), slik at høyden på det avgrensede området er 4 x y ( + x + y ) x y Volumet blir derfor V D ( x y ) dx dy, der D {(x, y) R : x + y } I polarkoordinater blir integralet π [ ] ( r )rdr dθ π π [ r r4 ] dθ dθ π (Fortsettes på side 3)

3 Eksamen i MAT, Onsdag 9 mai 9 Side 3 b) Regn ut linjeintegralet ( C x 3 x3 xy ) dy der C er enhetssirkelen x + y orientert mot klokka Svar: Med P (x, y) og Q(x, y) x 3 x3 xy får vi først at P y og Q x x y Bruker vi Greens teorem får vi at (x 3 ) ( Q x3 xy dy C D x P ) dx dy y ( x y ) dx dy D ( x y ) dx dy D π π, det vi brukte svaret fra a) Dette kan også vises direkte ved regning: Med parametriseringen r(t) (cos t, sin t) får vi C (x 3 ) x3 xy dy π π π π π π π ( cos t ) 3 cos3 t cos t sin t cos tdt ( ) 3 cos t sin t cos tdt cos 4 tdt ( + cos(t)) dt ( + cos t + cos (t))dt ( + cos t + ( + cos(4t)) ) dt ( + /)dt π/ Oppgave 3 La A være matrisen 5 A a) Regn ut den reduserte trappeformen til A, og skriv ned tre søyler fra A som er lineært uavhengige (Fortsettes på side 4)

4 Eksamen i MAT, Onsdag 9 mai 9 Side 4 Svar: Radreduksjon gir II 4I,III 4I,IV I II IV III+II IV III I II slik at søyle,, og 4 er pivotsøyler Søyle,, og 4 i A er derfor lineært uavhengige b) Finn en basis for R 4, der de tre lineært uavhengige søylene du kom fram til i a) inngår Svar: Vi erstatter den tredje søylen i den reduserte trappeformen til A med en vektor som er lineært uavhengig fra de andre, og gjør de inverse (Fortsettes på side 5)

5 Eksamen i MAT, Onsdag 9 mai 9 Side 5 radoperasjonene over i motsatt rekkefølge: I+II IV +III III II II IV II+4I,III+4I,IV +I Vi kan derfor utvide de tre søylene fra A som vi fant i a) med (,,, ) for å få en basis for R 4 Oppgave 4 Hva blir konvergensområdet for rekken S(x) (x ) n+ n n? Finn også et uttrykk for S(x) der rekken konvergerer Svar: Forholdstesten gir at a n+ /a n (x ) n/(n+) x, slik at rekken konvergerer absolutt i (, ) For x får vi rekka n n, og for x får vi rekka n n Begge disse divergerer, slik at konvergensområdet blir (, ) For å regne ut summen av rekka kan vi først dele med x på begge sider: S(x) x n (x ) n n Deriverer vi begge sider får vi at ( ) S(x) (x ) n x n (x ) (x ) Integrasjon gir så at S(x) x ln (x ) + C Setter vi inn x ser vi at C Vi får dermed at S(x) (x ) ln (x ) (x ) ln ( (x ) ) (Fortsettes på side 6)

6 Eksamen i MAT, Onsdag 9 mai 9 Side 6 Oppgave 5 I denne oppgaven skal vi se på funksjonen f(x, y) x e x + (3y 6y)e x + a) Finn de stasjonære punktene til f Svar: Vi har at ( (x f + x + 3y 6y)e x ) (6y 6)e x Setter vi dette lik følger det fra den andre likningen at y Setter vi dette inn i den første likningen får vi at x + x 3, som gir at x eller x 3 Dermed blir de stasjonære punktene (, ) og ( 3, ) b) Avgjør om de stasjonære punktene er sadelpunkter, lokale minimumspunkter, eller lokale maksimumspunkter Svar: Hessematrisen til f er ( (x + x + 3y 6y + x + )e x (6y 6)e x ) (6y 6)e x 6e x ( (x + 4x + 3y 6y + )e x (6y 6)e x ) (6y 6)e x 6e x ( ) 4 For punktet (, ) blir Hessematrisen e, som har egenverdiene 4e og 6 6e Derfor er (, ) et lokalt minimumspunkt ( ) 4 For punktet ( 3, ) blir Hessematrisen e 3, som har egenverdiene 6 4e 3 og 6e 3 Siden disse har motsatt fortegn er ( 3, ) et sadelpunkt c) Bruk Lagrange s multiplikatormetode til å vise at lokale ekstremalpunkter for f under betingelsen y 3 x må være skjæringspunkter mellom linjen y 3 x og ellipsen (x+) + (y 3) 4 (4/ 3) Forklar videre hvorfor f må ha et globalt minimum under denne betingelsen (du trenger ikke skrive opp selve minimumspunktet) Har f et globalt maksimum under den samme betingelsen? Hint: Verifiser at f(, ) <, og at lim x f(x, 3 x), lim x f(x, 3 x) Dette kan brukes til å vise at f må ha et globalt minimum under den gitte betingelsen Svar: Vi setter g(x, y) x + y 3 Fra læreboka følger det at, i et lokalt ekstremalpunkt for f under betingelsen g(x, y), så er enten g, eller f λ g Siden g (, ) får vi ingen kandidater fra førstnevnte Lokale ekstremalpunkter må derfor tilfredsstille f λ g, som kan skrives (x + x + 3y 6y)e x λ (6y 6)e x λ Eliminerer vi λ får vi at x + x + 3y 6y (6y 6), som kan skrives som x + x + 3y 8y Fullfører vi kvadratene får vi at (x + ) + 3(y 3) 6, som er ellipsen gitt i oppgaven Dette beviser at lokale ekstrmalpunkter under den gitte betingelsen er skjæringspunkter mellom linjen og ellipsen (Fortsettes på side 7)

7 Eksamen i MAT, Onsdag 9 mai 9 Side 7 Vi har at g(, ), og f(, ) e 3e + e <, slik at f antar verdier mindre enn under den gitte betingelsen Når x vil x e x Videre vil da også y 3 x, og da vil (3y 6y)e x også Det følger at lim x f(x, 3 x) Det følger at f ikke ha noe globalt maksimum under den gitte betingelsen Når x så vil e x gå raskere mot enn potenser av x, slik at lim x f(x, 3 x) Det følger at det finnes et intervall [ K, K] slik at f(x, 3 x) > ɛ > f(, ) utenfor dette intervallet Siden f(x, 3 x) har et globalt minimum på intervallet [ K, K], så følger at dette også er et globalt minimum for f under den gitte betingelsen Man kan bruke samme argument som over til å vise at (, ) også er et globalt minimum for f, uten noen betingelse Siden (, ) ligger på linjen, så må det også være globalt minimum for f, med den gitte betingelsen Lykke til!