Lsningsforslag ved Klara Hveberg Lsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 8 I kapittel 8 er integrasjon og integrasjonsteknikker det store tema

Transkript

1 Lsningsforslag til utvalgte ogaver i kaittel 8 I kaittel 8 er integrasjon og integrasjonsteknikker det store temaet, og her er det mange regneogaver som gir deg anledning til a trene inn disse teknikkene. Det er fa teoriregede ogaver denne gang, men legg merke til analysens fundamentalteorem i seksjon 8., og ogave 8..5, 8..6 og 8.. som illustrerer bruk av fundamentalteoremet. Ogave 8.. La f : [; ]! R vre funksjonen f (), og la f; 6 5 ; 5 ; 8 5 ; 9 5 ; g vre en artisjon. Den vre traesummen er da () og den nedre traesummen er :6 N () :66 Ogave 8.. Vi skal beregne verdien av integralene. b) e + e e e h e i e (e6 e ) e8 e d) + + () h i arctan (arctan arctan ) ( ) 8 5

2 e) Ved substitusjonen u, du, far vi 9 ( ) du i harcsin u u arcsin arcsin arcsin Ogave 8..5 a) Vi skal nne den deriverte til f () e t dt Iflge analysens fundamentalteorem (8..) blir den deriverte lik integranden innsatt vre grense i integralet, det vil si f () e Ogave 8..6 a) Anta at f er kontinuerlig og at g er deriverbar. Vi denerer g() G() f (t)dt: a og skal nne G (). Her er vre grense i integralet en funksjon av, sa vi ma bruke kjerneregelen. La Da er u F (u) f (t)dt a G() F (g()) og kjerneregelen gir da G () F (g()) g () f (g())g () hvor vi har benyttet at F (u) f (u) iflge analysens fundamentalteorem. b) Vi deriverer de ogitte funksjonene ved hjel av formelen fra unkt a) ovenfor. 5

3 i) D ii) D iii) D sin te t dt e t dt sin sin e sin cos sin sin e e e dt D t sin sin dt t cos cos cos Ogave 8.. Vi skal nne grenseverdiene. a) lim! R e t L'H^o e lim! b) lim! R e t L'H^o e lim! Ogave 8.. Vi skal lse de ubestemte integralene. a) ln j + j + C + b) ( + cos ) + sin + C + sin + C c) + + ( ) arctan( ) + C f) Ved substitusjonen u, du, far vi q u du arcsin u + C arcsin + C 5

4 Ogave 8.. Vi skal lse de ubestemte integralene. a) Ved substitusjonen u arcsin, du r arcsin u du, far vi u + C (arcsin ) + C c) Ved substitusjonen u, du ( + ), far vi ( + ( ) ) du arctan u + C + u arctan + C d) Vi starter med a slitte o integralet i to deler Her er det andre integralet i summen ovenfor lett a beregne: arcsin + C Det frste integralet kan vi lse veda bruke substitusjonen u, du, som gir du u + C + C u I alt far vi da arcsin + C Ogave 8.6. Vi skal nne arealet avgrenset av de ogitte kurvene. a) y, -aksen og linjen. Grafen skjrer -aksen i. Arealet er derfor gitt ved A (5 5 ) 5 5

5 c) y sin, -aksen og linjene og. Grafen ligger under -aksen i intervallet [ ; ]. Arealet er derfor A sin cos cos cos f) y +, y og y-aksen. Det eneste skjringsunktet mellom grafene y og y er for (tegn gur!). Vi nner arealet som dierensen mellom arealet under y og arealet under y : A + arctan arctan (arctan ) Ogave 8.6. Vi skal beregne arealet av det skraverte omradet mellom grafene til cos og sin a guren (se gur i Kalkulus). Skjringsunktene mellom grafene som avgrenser omradet er gitt ved cos sin () + k; k Skjringsunktene vi er a jakt etter far vi for k og for k, det vil si og. I det aktuelle omradet ligger grafen til cos hele tiden over grafen til sin, sa vi far det skte arealet ved a integrere cos sin mellom de to skjringsunktene. Arealet blir derfor A + (cos sin ) h i sin + cos ( ) Ogave Vi skal nne volumet til omdreiningslegemet som fremkommer nar vi dreier grafen om -aksen. 5

6 c) y + mellom og. Volumet er gitt ved V y arctan arctan + arctan d) y sin mellom 6 og. Volumet er gitt ved V 6 sin cot 6 e) y + mellom og. Volumet er gitt ved V + h ln j + j i + (ln ln ) ln Ogave 8.6. Vi skal nne volumet til omdreiningslegemet som fremkommer nar vi dreier grafen om y-aksen. a) y mellom og. V y() h i ( ) 8 d) y 9 mellom og. Ved a bruke substitusjonen u 9, du, nner vi V 5 h u i du u 5 ( 5) 55 9 u du

7 e) y sin( ) mellom og. Ved a bruke substitusjonen u, du, nner vi V sin( ) sin(u) du h i cos u (cos cos ) Ogave a) Omradet avgrenset av y og y dreies om -aksen (tegn gur!). Vi skal nne volumet av omdreiningslegemet (bruker setning 8.6. i Kalkulus). V h 5 5 i ( ) 5 5 ( ) b) Omradet dreies isteden om y-aksen. Vi skal nne volumet av omdreiningslegemet (bruker setning i Kalkulus). Ogave 8.6. V ( ) h i ( ) 6 a) Buelengden av grafen til funksjonen f () + fra til er gitt ved L + f () + h i b) Buelengden av grafen til funksjonen f () cosh fra til er gitt ved b L + f () + sinh cosh a sinh sinh sinh (e + )(e ) e 56