0.1 Kort introduksjon til komplekse tall

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "0.1 Kort introduksjon til komplekse tall"

Transkript

1 Enkel introduksjon til matnyttig matematikk Vi vil i denne innledningen introdusere litt matematikk som kan være til nytte i kurset. I noen tilfeller vil vi bare skrive opp uttrykk uten å komme inn på detaljerte utledninger. Dette gjelder spesielt enkelte kompliserte integraler, som vi også kan nne frem til på egen hånd ved å slå opp i matematiske formelsamlinger. Vi starter med en introduksjon av komplekse tall. 0. Kort introduksjon til komplekse tall Siden kvantefysikken er formulert ved bruk av komplekse tall, skal vi her gi en kort innføring i bruken av slike tall. Den imaginære størrelsen i er denert som kvadratroten av, eller som Dette gir uten videre at i = p i = Det komplekse tallet z kan skrives som z = x + iy. Den kompleks konjugerte av et kompleks tall fremkommer ved å erstatte alle forekomstene av det imaginære tallet i med i. Den kompleks konjugerte av z skrives som z og er gitt ved z = x iy. Tallverdien av z er denert som jzj = p zz = p (x + iy) (x iy) = p x + y Argand-diagrammet Det komplekse tallet z = x + iy kan representeres som a) punktet P (x; y) i xy-planet eller som b) vektoren OP! fra origo til punktet P. (Se gur nedenfor). I begge tilfeller kalles x-aksen for den reelle aksen, mens y-aksen kalles imaginæraksen. Denne representasjonen kalles et Argand-diagram. Figur : Argand-diagram

2 og Uttrykt i polarkoordinater (r; ) har vi at x = r cos og y = r sin z = r (cos + i sin ) der polarvinkelen er argumentet til z. Vi ser at lengden r på vektoren! OP er gitt ved r = p x + y = p zz = jzj Det komplekse tallet uttrykt ved en eksponensialfunksjon Fra algebraen vet vi at e x = + x + x + + n! xn + setter vi inn x = i, nner vi e i = i x! + 4! 4 6! ! 3 + 5! 5 7! 7 + der vi har ordnet de reelle og de imaginære leddene hver for seg. Vi kjenner igjen de to parantesene som cosinus- og sinus-seriene, slik at vi kan skrive e i = cos + i sin som er kjent som Eulers formel. Det komplekse tallet z kan derved skrives som Som et eksempel ser vi at Andre eksempler Fra Eulers formel ser vi umiddelbart at z = x + iy = r (cos + i sin ) = re i jzj = zz = r e i e i = r cos = ei + e i og sin = i e i e i Fra e i = cos + i sin = e i e i = (cos + i sin ) = cos sin + i ( sin cos )

3 nner vi ved å sammenligne de reelle og de imaginære delene at Generellt kan vi skrive at cos = cos sin og sin = sin cos e in = cos n + i sin n = (cos + i sin ) n der n er et vilkårlig positivt heltall. Vi kan også enkelt nne uttrykk for sin + sin og cos + cos : Vi starter med e i + e i = cos + cos + i (sin + sin ) Venstresiden kan skrives som e i + e i = e i= e i= e i= e i= + e i= e i= e i= e i= i( )= = e i= e i= e i( )= + e = e i(+)= ( ) cos der vi har brukt ligning 0.. Siden e i(+)= ( + ) ( + ) = cos + i sin nner vi ved å sammenligne de reelle og de imaginære delene med ligning 0. at og cos + cos = cos ( ) cos ( + ) ( ) ( + ) sin + sin = cos sin Disse uttrykkene får vi bruk for senere i kurset. Som nevnt er kvantefysikken vanligvis formulert ved hjelp av komplekse funksjoner. Om Z(x; t) er en slik funksjon (i dette tilfellet en funksjon av de reelle variablene x og t), betyr dette ikke annet enn at vi generelt kan skrive jz (x; t)j = X (x; t) + iy (x; t) der X (x; t) og Y (x; t) er to reelle funksjoner av x og t. På samme måte som ovenfor er Hyperbolsk sinus og cosinus sinh = e Når er meget stor, kan vi tilnærmet skrive Når er meget liten, kan vi tilnærmet skrive jz (x; t)j = X (x; t) + Y (x; t) e og cosh = e + e sinh cosh e = sinh og cosh 3

4 0. Noen elementer fra statistikk Fra statistikken henter vi to nyttige størrelser, middelverdi og standardavvik. For N målinger x i av en variabel x i en kontinuerlig fordeling er middelverdien gitt ved NX x = N i= x i Standardavviket, som er et mål på usikkerhet eller feilanslag er gitt ved v NP u t (x i x) i= x(= x ) = N Ofte er sannsynlighetsfordelinger beskrevet ved den såkalte gaussfordelingen som er gitt ved! (x a) f (x) = C exp b der a, b og C er konstanter. For en sannsynlighetsfordeling kreves det at R + f(x)dx =. Vi sier at funksjonen er normert, og konstanten C kalles da ofte en normaliseringskonstant. Denne kan nnes til C = = ( p b). Middelverdien for N målinger av størrelsen x med denne fordelingen vil gå mot x = a når N!, og standardavviket vil gå mot = b. Middelverdien kan beregnes fra og standardavviket fra x = Z + xf(x)dx = a s Z + = x f(x)dx = b Dette kan skjekkes fra standard formelsamlinger. 0.3 Fouriertransformasjoner Innledning Fouriers teorem sier at enhver periodisk funksjon f (x) med bølgelengde 0 (bølgetall k 0 = = 0 ) kan skrives som en uendelig sum f (x) = a 0 + X [a n cos (nk 0 x) + b n sin (nk 0 x)] n= Legg merke til at når for eksempel x = 0, så er k 0 x =, som betyr at fasen (k 0 x) varierer fra 0 til når x går fra 0 til 0. Koefsientene a m og b m kan nnes ved å multiplisere begge sider av ligningen med henholdsvis cos (mk 0 x) og sin (mk 0 x) og integrere over en bølgelengde. 4

5 Integralene forsvinner når n 6= m og for alle de blandete produktene cos (nk 0 x) sin (mk 0 x) slik at vi forholdsvis enkelt nner at a m = 0 Z 0 0 f (x) cos (mk 0 x) dx og b m = 0 Z 0 0 f (x) sin (mk 0 x) dx Ofte kan man få en ganske god tilnærming til funksjonen etter noen få ledd. Vi anbefaler å prøve ved hjelp av Maple eller en grask lommekalkulator å representere en periodisk steppfunksjon som starter med verdien f (x) = for 0 < x < 0 = og f (x) = for 0 = < t < 0. Vi nner at " f(x) = 4 # X (n + ) sin [(n + ) k 0x] n=0 Resultatet er vist på guren under for ett, to, tre, re og ni ledd.vi ser at vi kommer nærmere Figur : Representasjon av en steppfunksjon ved hjelp av fourierserier. og nærmere den ønskete steppfunksjonen når vi tar med ere ledd. Fouriers teorem. Fouriers teorem kan brukes dersom vi istedet for en periodisk funksjon med bølgetallene nk 0 som i ligning 0.3 har et kontinuerlig spektrum av bølgetall k. Vi legger merke til at uttrykket e ikx kan skrives e ikx = cos (kx) + i sin (kx), der vi har brukt Eulers formel. Fouriers teorem sier at om vi kjenner den kontinuerlige fordelingen f e (k) av bølgetallene så kan den kontinuerlige fordelingen i posisjon f(x) representeres av f(x) = p Z + Fordelingen e f (k) kalles ofte spektralinholdet. 5 ef (k) e ikx dk

6 Dersom f (x) er kjent, kan spektralinnholdet nnes fra ef(k) = p Z + f (x) e ikx dx Disse uttrykkene kalles fouriertransformasjoner, og den første betegnes som den inverse fouriertransformasjonen (k! x), mens den andre betegnes som fouriertransformasjonen (x! k). Disse transformasjonene er meget nyttige når vi skal beskrive kvantemekaniske partikkelbølger. Eksempel. Overgang fra diskontinuerlig til kontimuerlig spektralinnhold. Vi ser igjen på guren. Den første kurven er en enkel sinusbølge f(x) = sin (k 0 x) med bølgetall k 0. Den andre kurven har den samme fundamentale bølgelengden, men har i tillegg en bølge med bølgetallet 3k 0 og tredjedelen av amplityden. Den tredje kurven består av tre bølger med bølgetall k 0, 3k 0 og 5k 0, osv. Disse kurvene kan representeres ved hjelp av grafene a, b og c i guren 3, som viser bølgene representert ved sine spektralinnhold. Figur 3: Tre bølger fra gur representert ved sine spektralinnhold. Vi ser nå på bølger som har spektralinnhold som vist i første del av gur 4. De tilhørende bølgene er vist på samme guren. Vi ser at vi har fått frem noe som likner på bølgepakker, men legg merke til at når vi går fra (a) med tre bølgetall til (b) med ere mellomliggende bølgetall, går de resulterende bølgepakkene fra hverandre. Når vi går over til et kontiuerlig spektralinnhold, får vi uendelig avstand mellom pakkene. Vi skal i kurset vise at en kvantemekanisk partikkel kan representeres som en bølgepuls med lokalisering i et område uttrykt f.eks. med en sannsynlighetsfordeling f (x) av den kontinuerlige variable x, og med spektralinnhold gitt av fordelingen e f(k). Det er derfor meget nærliggende å tenke seg at en partikkelbølge må svare til en bølge med kontinuerlig spektralinnhold f(k). Vi kommer tilbake til dette i kapittel. 6

7 Figur 4: To bølger med samme fundamentale bølgelengde, men med forskjellige spektralinnhold 7

Enkel introduksjon til kvantemekanikken

Enkel introduksjon til kvantemekanikken Kapittel Enkel introduksjon til kvantemekanikken. Kort oppsummering. Elektromagnetiske bølger med bølgelengde og frekvens f opptrer også som partikler eller fotoner med energi E = hf, der h er Plancks

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36 MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 3. Sindre Rannem Bilden,Gruppe 4

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 3. Sindre Rannem Bilden,Gruppe 4 FYS40 Kvantefysikk, Oblig 3 Sindre Rannem Bilden,Gruppe 4. februar 05 Obliger i FYS40 merkes med navn og gruppenummer! Dette oppgavesettet sveiper innom siste rest av Del I av pensum, med tre oppgaver

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m

1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a

Detaljer

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge Avdeling for lærerutdanning Lineær algebra for allmennlærerutdanningen Inger Christin Borge 2006 Innhold Notasjon iii 1 Lineære ligningssystemer 1 1.1 Lineære ligninger......................... 1 1.2 Løsningsmengde

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2006. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2006. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA656 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 006 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikkeksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA mai 2006

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA mai 2006 Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-3. mai 2006 eksamensoppgaver.org September 21, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål

Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål Eksamen 05.12.2007 AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister Nynorsk/Bokmål Oppgave 1 a) Deriver funksjonen: f x 2 ( ) = cos( x + 1) b) Løs likningen og oppgi svaret

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Komplekse tall: definisjon og regneregler

Komplekse tall: definisjon og regneregler Komplekse tall: definisjon og regneregler Eugenia Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag 22. august 2011 Komplekse tall fra Wikipedia Et komplekst tall er tall på formen x + iy, der x og y er

Detaljer

Fakta om fouriertransformasjonen

Fakta om fouriertransformasjonen Fakta om fouriertransformasjonen TMA413/TMA415, V13 Notasjon Fouriertransformasjonen til funksjonen f er F[f](ω) = ˆf(ω) = 1 Den inverse fouriertransformasjonen er F 1 [g](x) = 1 f(x)e iωx dx g(ω)e iωx

Detaljer

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner)

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654/AA656 Matematikk 3MX Elever/Privatister - 7. desember 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis,

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8 Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)

Detaljer

1 Stokastisk variabel

1 Stokastisk variabel FY1/TFY415 Innføring i kvantefysikk - Notat om sannsynlegheit 1 1 Stokastisk variabel Før vi byrjar på oppgåvene gjev vi ein liten briefing om stokastiske variable, middelverdiar, usikkerheiter osb. Ein

Detaljer

0, 12. 1) Sett opp ei uendelig rekke som viser hvor stor del av bløtkaka som er spist av gjestene. Hva slags rekke er dette?

0, 12. 1) Sett opp ei uendelig rekke som viser hvor stor del av bløtkaka som er spist av gjestene. Hva slags rekke er dette? OPPGAVE 1 a) Deriver funksjonen f( x) = 5x tanx b) Deriver funksjonen ( ) 3 g( x) = x + cosx c) Bestem integralet (sin x cos x) dx d) Løs ligningen ved regning π,4,6cos x = 1,8, 1 4 x e) I et selskap blir

Detaljer

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor eksamensoppgaver.org 5 oppgave1 a.i.1) 2 10 x = 700 10 x = 700 2 x lg(10) = lg(350) x = lg(350) a.i.2) Vibrukerfortegnsskjema 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor x 1, 5 a.ii.1)

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA656 16.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for eksamen i matematikke 3MX er gratis, og

Detaljer

Prøve i R2 Integrasjonsmetoder

Prøve i R2 Integrasjonsmetoder Del 1 Hjelpemidler: ingen 1 Oppgave 1 Prøve i R Integrasjonsmetoder Caspar W. Hatlevik 19. oktober 1 Finn de ubestemte integralene og regn ut det bestemte integralet a. x + x + 1dx b. e 4x + x dx c. 1

Detaljer

x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved

x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved NTNU Institutt for matematiske fag TMA35 Matematikk D eksamen 20. desember 200 Løsningsforslag Oppgaven kan, for eksempel, løses ved hjelp av Lagrange-interpolasjon eller Newtons interpolasjonsformel.

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX 3. juni 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk 3MX 3. juni 005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 8. desember eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 8. desember eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA656 Matematikk 3MX - 8. desember 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Vår 2015

Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Vår 2015 Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Vår 2015 Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Mandag 27. mai 2015 kl.

Detaljer

eksamensoppgaver.org 4 2e x = 7 e x = 7 2 ln e x = ln 2 x = ln 7 ln 2 ln x 2 ln x = 2 2 ln x ln x = 2 ln x = 2 x = e 2

eksamensoppgaver.org 4 2e x = 7 e x = 7 2 ln e x = ln 2 x = ln 7 ln 2 ln x 2 ln x = 2 2 ln x ln x = 2 ln x = 2 x = e 2 eksamensoppgaver.org 4 oppgave a..i) e x = 7 e x = 7 ( ) 7 ln e x = ln x = ln 7 ln a..ii) ln x ln x = ln x ln x = ln x = x = e a..i) cos x =.8 x [, 6 ] x = arccos(.8) x 6.9 x 6 6.9 x 6.9 x. a..ii) Løserdennemedabc-formelen

Detaljer

eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir

eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir eksamensoppgaver.org 4 oppgave1 a.i) Viharulikheten 2x 4 x + 5 > 0 2(x 2) x + 5 > 0 Sådaserviatløsningenpådenneulikhetenblir x, 5 2, eksamensoppgaver.org 5 a.ii) Vi har ulikheten og ordner den. 10 x 2

Detaljer

Løsningsforslag. Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen til de rekkene som konvergerer. a) 2 2n /3 n

Løsningsforslag. Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen til de rekkene som konvergerer. a) 2 2n /3 n Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Tirsdag. februar 203 kl. 0:30 Antall oppgaver: 9 Løsningsforslag Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen

Detaljer

TMA4135 Matematikk 4D Høst 2014

TMA4135 Matematikk 4D Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA435 Matematikk 4D Høst 04 Eksamen. desember 04 Integralet er en konvolusjon, så vi har Laplace-transformasjon gir yt) y cos)t)

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

E K S A M E N. Matematikk 3MX LÆRINGSSENTERET. Elevar / Elever. AA juni 2004

E K S A M E N. Matematikk 3MX LÆRINGSSENTERET. Elevar / Elever. AA juni 2004 E K S A M E N LÆRINGSSENTERET Matematikk 3MX Elevar / Elever AA654 7. juni 004 Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II Studieretning for allmenne, økonomiske og administrative fag Oppgåva ligg føre

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

Areal - difflikninger - arbeid Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Areal - difflikninger - arbeid Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Areal - difflikninger - arbeid Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 7. oktober 2011 Kapittel 6.4. Areal til omdreiningslegemer 3 Overflate-areal av en rotasjonsflate

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

MAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag

MAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag MAT 1001, Høsten 009 Oblig, sforslag a) En harmonisk svingning er gitt som en sum av tre delsvingninger H(x) = cos ( π x) + cos (π (x 1)) + cos (π (x )) Skriv H(x) på formen A cos (ω(x x 0 )). siden H(x)

Detaljer

Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet

Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet 1 Fremdriftplan I går 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet I dag 2.7 Tangenter og derivasjon 3.1 Den deriverte til en funksjon 3.2 Derivasjonsregler 3.3 Den deriverte som endringsrate

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07 Løsningsforslag til eksamen i MAT H7 DEL. (3 poeng Hva er den partiellderiverte f y når f(x, y, z = xeyz? xze yz e yz xe yz e yz + xze yz e yz + xze yz + xye yz Riktig svar: a xze yz Begrunnelse: Deriver

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor

Detaljer

with plots plot sin x, x =KPi..Pi Pi 3 eval tan eval cos K1 1 > evalf sin 3 2 K 2 $Pi

with plots plot sin x, x =KPi..Pi Pi 3 eval tan eval cos K1 1 > evalf sin 3 2 K 2 $Pi with plots Maple har en rekke innebygde funksjoner. Kommandoen plot brukes til å tegne grafen til en funksjon, og kommandoene eval og evalf brukes til å beregne funksjonsverdier for en funskjon. Den første

Detaljer

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 3. Løsningsforslag

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 3. Løsningsforslag Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 3 Løsningsforslag Oppgave 1 Flo og fjære a) >> x=0:.1:24; >> y=3.2*sin(pi/6*(x-3)); Disse linjene burde vel være forståelige nå. >> plot(x,y,'linewidth',3)

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals

Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Hva er matematikktillegget for Word?... 2 Nedlasting og installasjon av matematikktillegget for Word...

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 2006. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 2006. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654/AA656 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 6 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det

Detaljer

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5.

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5. Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 3. desember 01 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (0 deloppgaver) Antall sider: Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

n-te røtter av komplekse tall

n-te røtter av komplekse tall . 29. august 2011 Eksponentialform Forrige gang så vi at e iθ = cos θ + i sin θ Dette kan vi bruke til å gjøre polarfremstillingen av komplekse tall mer kompakt: z = a + ib = r(cos θ + i sin θ) = re iθ

Detaljer

Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i S1 er gratis, og det er

Detaljer

Analyse og metodikk i Calculus 1

Analyse og metodikk i Calculus 1 Analyse og metodikk i Calculus 1 Fredrik Göthner og Raymi Eldby Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 3. desember 01 1 Innhold Forord 3 1 Vurdering av grafer og funksjoner 4 1.1 Hva er en funksjon?.........................

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Litt oppsummering undervegs Løsningsforslag

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Litt oppsummering undervegs Løsningsforslag Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon Litt oppsummering undervegs Løsningsforslag Oppgave 1 Et skjæringspunkt f(x) = x e x g(x) = 1 arctan x. a) Vi kan lage plottet slik i kommando-vinduet:

Detaljer

EKSAMEN. Hans Petter Hornæs og Britt Rystad

EKSAMEN. Hans Petter Hornæs og Britt Rystad KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk. FAGNUMMER: F74A EKSAMENSDATO: Mandag. august 2 SENSURFRIST:. september 2 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 4.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs og

Detaljer

K Andre Ordens Differensialligninger

K Andre Ordens Differensialligninger K 6.6 - Andre Ordens Differensialligninger Innhold: H-P Ulven, 03.04.09 Terminologi Utvikling av regel for løsning av y ay by 0 (Tilfelle: y Ce r 1x De r x ) Utvikling av regel for løsning av y ay by 0

Detaljer

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:

Detaljer

Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator.

Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator. Oppgave 1 a) Ei ideell fjær har fjærkonstant k = 2.60 10 3 [N/m]. Finn hvilken kraft en må bruke for å trykke sammen denne fjæra 0.15 [m]. Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd

Detaljer

Kalkulus 1. Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger.

Kalkulus 1. Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger. Kalkulus 1 Grenser Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger. Vi sier at funksjonen f(x) har en grense f(a)

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4120 MATEMATIKK 4K H-03 Del B: Kompleks analyse Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 5. juni 3 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4 MATEMATIKK 4K H-3 Del B: Kompleks analyse Oppgave B- a) Finn de singulære punktene

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i AA6516 Matematikk 2MX - 4. desember eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i AA6516 Matematikk 2MX - 4. desember eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i AA6516 Matematikk 2MX - 4. desember 2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det

Detaljer

= x lim n n 2 + 2n + 4

= x lim n n 2 + 2n + 4 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten

Detaljer

Den deriverte og derivasjonsregler

Den deriverte og derivasjonsregler Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)

Detaljer

Medisinsk statistikk Del I høsten 2009:

Medisinsk statistikk Del I høsten 2009: Medisinsk statistikk Del I høsten 2009: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Pål Romundstad Beregning av sannsynlighet i en binomisk forsøksrekke generelt Sannsynligheten for at suksess intreffer X

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007 Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007 eksamensoppgaver.org September 17, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2 TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x

Detaljer

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100 Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl. 9.00-.00 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første

Detaljer

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall.

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall. MAT 100a - LAB 3 I denne øvelsen skal vi bruke Maple til å illustrere noen anvendelser av derivasjon, først og fremst Newtons metode til å løse likninger og lokalisering av min. og max. punkter. Vi skal

Detaljer

Statisk magnetfelt. Kristian Reed a, Erlend S. Syrdalen a

Statisk magnetfelt. Kristian Reed a, Erlend S. Syrdalen a Statisk magnetfelt Kristian Reed a, Erlend S. Syrdalen a a Institutt for fysikk, Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet, N-791 Trondheim, Norway. Sammendrag I det følgende eksperimentet ble en

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA Matematikk Høst Løsningsforslag Øving Review Exercise 6, side 86 Vi lar fx sin x. Taylor-polynomet av grad 6 til f om x

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning)

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: REA4 EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL

Detaljer

Mandag 04.09.06. Institutt for fysikk, NTNU TFY4160/FY1002: Bølgefysikk Høsten 2006, uke 36

Mandag 04.09.06. Institutt for fysikk, NTNU TFY4160/FY1002: Bølgefysikk Høsten 2006, uke 36 Institutt for fsikk, NTNU TFY4160/FY1002: Bølgefsikk Høsten 2006, uke 36 Mandag 04.09.06 Del II: BØLGER Innledning Bølger er forplantning av svingninger. Når en bølge forplanter seg i et materielt medium,

Detaljer

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Vi bruker det vi har lært i 6.3 om løsning av separable differensialligninger også i noen av oppgavene fra 6.1 og 6.2 for å knytte denne løsningsteknikken

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. i=1

Høgskolen i Oslo og Akershus. i=1 Innlevering i BYFE/EMFE 1000 Oppgavesett 2 Innleveringsfrist: 19. oktober klokka 14:00 Antall oppgaver: 2 Løsningsforslag Oppgave 1 a) Skriptet starter med å la Sum være 0, så blir det for hver iterasjon

Detaljer

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Eksamen IRF314, høsten 15 i Matematikk 3 øsningsforslag I denne oppgaven er det to løsningsforslag. Ett med asymptotene som gitt i oppgaveteksten. I dette første tilfellet blir tallene litt

Detaljer

Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, HP 30S

Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, HP 30S DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1)

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1) Kapittel 3 Differensiallikninger 3.1 Første ordens lineære difflikninger Definisjon 3.1 En første ordens lineær difflikning er en likning på formen y + f(x)y = g(x) (3.1) der f og g er kjente funksjoner.

Detaljer

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning EKSAMEN I Matematisk analyse og vektoralgebra, FOA150 KLASSE : Alle DATO : 11. august 006 TID: : Kl. 0900-100 (4 timer) ANTALL OPPGAVER : 5 VARIGHET ANTALL

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingeoppgaver i numerikk leksjon 1 Å komme i gang

Matematikk 1000. Øvingeoppgaver i numerikk leksjon 1 Å komme i gang Matematikk 1000 Øvingeoppgaver i numerikk leksjon 1 Å komme i gang I denne øvinga skal vi bli litt kjent med MATLAB. Vi skal ikkje gjøre noen avanserte ting i dette oppgavesettet bare få et visst innblikk

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i AA6526 Matematikk 3MX - 5. desember 2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i AA6526 Matematikk 3MX - 5. desember 2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i AA6526 Matematikk 3MX - 5. desember 2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikkeksamen i 3MX er gratis, og det er

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007 Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA022 - Desember 200 eksamensoppgaver.org October 2, 2008 eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksempeloppgave i R1

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner

Detaljer

Formelsamling Kalkulus

Formelsamling Kalkulus Formelsamling Kalkulus Martin Alexander Wilhelmsen December 8, 009 En liten formelsamling for MAT00 ved UiO. Vennligst meld fra om feil til martinaw@student.matnat.uio.no. Dette dokumentet er publisert

Detaljer

UNIVERSITETET I AGDER

UNIVERSITETET I AGDER UNIVERSITETET I AGDER INSTITUTT FOR MATEMATISKE FAG EKSAMEN MA-100 Kalkulus 1. Fredag. desember 011, kl. 09-14 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk vindu og uten minne for tekst. Inntil fire

Detaljer

Løsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7

Løsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7 Løsningsforslag eksamen i TMA4 Matematikk 2. desember 23. Side av 7 Oppgave Løs initialverdiproblemet y (2/x)y, y() 2. Løsning: y (2/x)y er en førsteordens lineær differensialligning. Vi finner en løsning

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6. Løsningsforslag

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6. Løsningsforslag Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag Oppgave 1 Funksjoner og tangenter 2.1: 15 a) Vi plotter grafen med et rutenett: > x=-3:.1:3; > y=x.^2; > plot(x,y) > grid on > axis([-2

Detaljer

For en tid siden ble jeg konfrontert med følgende problemstilling:

For en tid siden ble jeg konfrontert med følgende problemstilling: Normat 55:, 3 7 (7) 3 Bøker på bøker En bokorms øvelse i stabling Ivar Farup Høgskolen i Gjøvik Postboks 9 N 8 Gjøvik ivar.farup@hig.no Innledning For en tid siden ble jeg konfrontert med følgende problemstilling:

Detaljer

NTNU Institutt for matematiske fag. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 8. Oppgave 1. Oppgave 2

NTNU Institutt for matematiske fag. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 8. Oppgave 1. Oppgave 2 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 8 Oppgave b. Vi har at f() > og f(π/) π /6

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne

Detaljer

Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at

Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF 4.1: La X være

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 4: Grenseverdi (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 20. august, 2012 Formell definisjon av grenseverdi Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer