I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden Delvis integrasjon må brukes to ganger.

Transkript

1 Ukeoppgaver, uke 45, i Matematikk, Delvis integrasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk Ukeoppgaver uke 45 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden Delvis integrasjon. Oppgave Bruk (blant annet delvis integrasjon, det vil si formelen fg dx = fg f gdxtil åregne ut a b c d e x cos(x dx. x e x dx. x 3 e x dx. ln(x dx arcsin(x dx Delvis integrasjon må brukes to ganger. Både delvis integrasjon og substitusjonen u = x måbrukes. Hint: Bruk delvis integrasjon på ln(x. Hint: Bruk delvis integrasjon på arcsin(x. f x ln(x dx. Oppgave Finn volumet av det omdreiningslegemet som framkommer når følgende flatestykker roteres om y aksen: a Flatestykket avgrenset av x aksen og grafen til funksjonen gitt ved f(x = sin(πx, mellom x =ogx =. Flatestykket avgrenset av x aksen, linja gitt ved x = og grafen til funksjonen gitt ved f(x = arctan(x Hint: Når man skal integrere en rasjonal funksjon der telleren har like høy eller høyere grad enn nevneren må man begynne med en omskrivning som en sum av et polynom og en rasjonal funksjon der telleren har grad lavere enn nevneren. Oppgave 3 Regn ut følgende uegentlige integraler: a b λe λt dt (λ > er en konstant. λte λt dt (λ > er en konstant.

2 Ukeoppgaver, uke 45, i Matematikk, Delvis integrasjon. c d 8 +x dx 3 dx x Oppgave 4 a Bruk delbrøksoppspaltning til å skrive x = x påformen A x + B x + Regn ut det ubestemte integralet x dx c Regn ut det ubestemte integralet cos(x dx Hint: Multipliser teller og nevner med cos(x og substituer med u =sin(x. Litt mer om delbrøksoppspaltning i de to siste oppgavene- det er kanskje ikke det første du bør prioritere hvis du strever med integrasjonsteknikken. Oppgave 5 La L være grafen til funksjonen f gitt ved f(x = (x +. a LaF være flatestykket avgrenset av L, koordinataksene og den vertikale linja gitt ved x =. Regn ut volumet av det legemet som framkommer når dette roteres om y aksen. b LaF være det ubegrensede flatestykket avgrenset av L og koordinataksene, der x. Regn ut volumet av det legemet vi får når F roterer om y aksen. Oppgave 6 Finn gjennomsnittsverdien y til funksjonen gitt ved f(x =/ 3x +4på intervallet [, 4]. Fra middelverdisetningen vet vi at det finnes et tall c i intervallet [, 4] slik at f(c =y. Regn ut et tall c som oppfyller dette.

3 Ukeoppgaver, uke 45, i Matematikk, Delvis integrasjon. 3 Oppgave 7 -Eksamensoppgave 6, desember a Et flatestykke F i første kvadrant avgrenset av y aksen, kurven gitt ved likningen y = x 3 og linja gitt ved y = h, derh er en positiv konstant. Et legeme T framkommer når F roterer om y aksen. Vis at omdreiningslegemet T har volum V gitt ved V = 3π 5 h 3 h Et glass har innside formet som legemet T fra forrige deloppgave (enheter i centimeter. Det fylles mineralvann i dette glasset, med en hastighet påπ kubikkcentimeter i sekundet. Hvorrasktøkerdybdenh i det øyeblikk h = 8 centimeter? Det kreves ikke at benevninger er med i utregningene. Oppgave 8 - Delbrøksoppspalting med gjentatte førstegradsledd i nevneren. Hvis det er en gjentatt førstegradsfaktor i nevneren må bidraget fra denne spaltes ut som i følgende eksempel P (x (x 3 Q(x = A (x + B 3 (x + C + bidraget fra Q(x x Bruk dette til å regne ut integralet 3x 3x + dx x 3 x Oppgave 9 - Delbrøksoppspalting med irredusible andregradsledd i nevneren. Et andregradspolynom som ikke har reelle røtter kan heller ikke faktoriseres som to reelle førstegradsledd. Disse kalles irredusible. Her skal vi se litt på hvordan de behandles a Integrer x +3 x + dx ved å spalte opp integranden som x x x +. Det første løses ved å substituere med nevneren, det andre ved hjelp av arctan. b Integrer 4x +3 (x + +4 dx ved å spalte opp integranden som 4x (x + +4 = 4x +8 (x (x I det første leddet er konstantleddet i telleren tilpasset slik at telleren er en konstant multiplisert med den deriverte av telleren, og da kan dette integreres ved å substituere med nevneren.

4 4 Ukeoppgaver, uke 45, i Matematikk, Delvis integrasjon. Det andre leddet kan integreres ved hjelp av arctan etter å ha substituert med u = x + = x + slik at u = (x + 4 (x + =4u Gjennomfør dette. c Integrer 7x +5x +4 x 3 +4x +8x dx ved først å delbrøkoppspalte integranden til formen A x + Bx + C x +4x +8 og deretter omforme siste ledd til formen fra forrige deloppgave...9, Hans Petter Hornæs

5 Ukeoppgaver, uke 45, i Matematikk, Delvis integrasjon. 5 Fasit, Delvis integrasjon. Oppgave a Delvis integrasjon f d(xg(x dx = f(xg(x f(x g(x dx med f(x =x og g(x =cos(x. Da blir f(x =ogg(x =sin(x slik at...= x sin(x sin(x dx = x sin(x+cos(x+c b Velg (først f(x =x og g(x = e x. Da blir f (x =x og g(x =e x : x e x dx = x e x xe x dx.på det siste integralet brukes igjen delvis integrasjon, med f(x =x og g(x = e x. Da blir f (x =ogg(x =e x : ( = x e x xe x e x dx = x e x xe x +e x + C =(x x +e x + C c På grunn av at det er x,ikkebarex ieksponentenmå substitusjon brukes. Det kan ofte være en god ide å begynne med substitusjonen. Setter u = x, som gir du/dx =x xdx = du. Vi har også x3 = x x = ux,der den siste faktoren x inngår i du:. e x x xdx= e u u du = ue u du Bruker så delvis integrasjon med f(u =u, så f (u =, og g (u =e u så g(u =e u : = ( ue u e u du = (ueu e u +C = eu (u + C Gjeninsetter så tilsluttu = x : = ex (x + C d f =ln(x, så f =/x og g =så g = x:...= x ln(x xdx= x ln(x x dx = x ln(x x + C. e g =arcsin(x, så g =/ x og g =så g = x: x...= x arcsin(x dx x Det siste integralet løses med substitusjonen u = x, du = xdx, du = xdx:...= x arcsin(x dzu = x arcsin(x+ u / du = x arcsin(x+ u u/ +C = x arcsin(x+ x + C

6 6 Ukeoppgaver, uke 45, i Matematikk, Delvis integrasjon. f Bruker delvis integrasjon med f =ln(x ogf =x, så g = x og g = x :...= [ x ln(x ] x x dx = [ x ln(x ] xdx= [ x ln(x ] [ ] x = ( ln ( =4ln( 3 = ln(6 3 Oppgave Bruker formelen V =π b xy dx, somfåes ved sylinderskallmetoden: a a V =π x sin(πx dx =π ( π π cos(π + π [sin(πx] ( [ ] x π cos(πx + π cos(πx dx = ( =π π ( + ( π = Flatestykket avgrenset av x aksen, linja gitt ved x = og grafen til funksjonen gitt ved f(x = arctan(x V =π x arctan(x dx =π ( [ ] x arctan(x x x + dx Vi har at x /(x +=(x + /(x += /(x +,så x x + dx = x + dx =[x arctan(x] ( V =π arctan( ( π ( arctan( =π 4 = π π Oppgave 3 a Substituer med u = λt, som gir du = λdt. Vifår nedre grense λ = og samme prinsipp kan brukes i øvre grense som dermed blir λ = : λe λt dt = e u du = [ e u ] = lim u eu + e =+= (siden e x går assymptotisk mot x aksen når x, eller alternativt e t =/e t / =når t,ogdermedu Samme substitusjon som i forrige deloppgave gir et integral som løses ved delvis integrajon: ue u du = ( [ ue u ] e u du λ λ

7 Ukeoppgaver, uke 45, i Matematikk, Delvis integrasjon. 7 Det siste integralet kjenner vi igjen fra a oppgaven, med verdi -. Nedre grense i første ledd er e =,såvistår igjen med å sette inn. Dette er et ubestemt uttrykk av ( -form, som vi gjør om til en brøk for å kunne bruke L Hopital regel: lim u ueu = lim u u ( e = L Hopital = lim u u siden nevneren går mot uendelig (når u vil jo u. Setter da inn leddene vi har funnet i siste uttrykk for integralet:...= λ ( = λ = e u c d 8 +x dx = [ arctan(x] = lim x x /3 dx = arctan(x =π/ [ ] 8 3 x/3 = 3 ( lim x x/3 = 3 =6 Oppgave 4 a Ordner først formelen med de ubestemte koefffisientene på felles brøkstrek: A x + B x + = A(x ++B(x (x (x + = (A + Bx +(A B x Nå er nevnerne like, så funksjonene blir like om vi setter tellerne like (for alle x, det vil si (A + Bx +(A B (A + Bx +(A B x +(. Det blir de hvis (og bare hvis koeffisientene er like både i førstegrads- og konstantleddet, dvs. A + B =oga B = Dette kan f.eks. løses ved å sette B = A fra første likning inn i andre likning: A ( A = A = A = B = A = ( = En alternativ og ofte raksere måte å bestemme A og B påeratsidena(x ++B(x = er like for alle x er de det spesielt for to valgte x. Det lureste valget er da de to x verdiene som gjør x +=ogx =: x =:A +B = A = A = /. x = : A +B ( = B = B = /. En fare med dette er at det virker og gir en feil løsning hvis mønsteret med de ubestemte koeffisientene er satt opp feil. Den første varianten vil i så fall gi at likningssystemet ikke har noen (entydig løsning. Det vil si at x = x + x +

8 8 Ukeoppgaver, uke 45, i Matematikk, Delvis integrasjon. b x dx = x + x + dx = x dx + x + dx Integralene løses med substitusjonene u = x ogv = x +,meddu = dv = dx: = u du + v v = ln u + ln v + C = (ln x + ln x +C = ln x + x + C c Følger hintene,og omformer nevneren via sin (x +cos (x = cos (x = sin (x: cos(x cos(x dx = cos (x dx = cos(x sin (x dx Setter u = sin(x ogdermeddu = cos(x dx som finnes i integranden: = u du = ln u + u ln sin(x+ sin(x Integralet er det samme som i forrige deloppgave (med navnebytte på den frie variabelen. Oppgave 5 a Ved sylinderskallmetoden har vi volumformelen V = b a funksjonen og disse avgrensningene gir πxy dx, som med denne V = (x + πxdx Substituerer med u = x +, som gir du =xdx, og med grenser u = +=og u = +=: V = π u du = π u du = π [ u ] ( = π = π Den eneste forskjellen fra forrige deloppgave er at øvre grense endres til uendelig så vi får et uegentlig integral. Siden u = x +går mot uendelig når x gjør det får vi også uendelig i øvre grense etter substitusjonen. V = πx (x + dx = π [ du = lim u π ] s ( = π lim s u s s ( = π(+ = π

9 Ukeoppgaver, uke 45, i Matematikk, Delvis integrasjon. 9 Oppgave 6 y = 4 4 3x +4 dx Integralet løses ves substitusjonen u =3x+4, som gir dx = du,øvregrenseu =3 4+4 = 6 3 og nedre grense u = = 4 (det fører faktisk også framå substituere med hele rotuttrykket i nevneren: y = u 3 du = u / du = [ u ] / 6 ( = =4 4 For å finne en c slik at f(c =y = 4 løser vi likningen f(x =4: 3x +4 =4 3x +4=3 3x +4=9 x =5/3 Siden likningen er kvadrert trengs en sjekk om at dette ikke er falsk løsning, ved innsetting i opprinnelig likning. Alternativt kan vi si at dette er eneste mulige løsning, og vi vet at det finnes løsning (fra middelverdisetningen. Oppgave 7 a Grensen for flatestykket i x retningen er x 3 = h x = 3 h. Ved bruk av sylinderskallmetoden finner vi følgende formel for omdreiningslegemet, der y = h er øvre og y = x 3 er nedre avgrensning: som utregnes til V = 3 h πx(y y dx = 3 h πx ( h x 3 dx 3 h [ h V =π hx x 4 dx =π x ] 3 h ( 5 x5 =π h 3 h 3 h 5 5 For å forenkle uttrykket er det hensiktsmessig ågå over til brøkpotenser: ( V =π hh/3 ( 5 h5/3 =π h5/3 5 h5/3 = 3 5 πh5/3 = 3π 5 h 3 h Dybdeøkningen det spørres etter er den deriverte av dybden m.h.p. tiden, dh. dt Volumøkning med hensyn på tiden er dv, og denne er oppgitt til π. dt Ved kjerneregelen kan vi sette opp dv dt = dv dh dh dt ( Vi finner dv ved å derivere det oppgitte volumuttrykket V (h = 3π h 3 h dh 5 = 3π 5 h5/3 med hensyn på h: dv ( dh = 3 πh/3 = π h

10 Ukeoppgaver, uke 45, i Matematikk, Delvis integrasjon. Siden 3 8=erdermed dv = π dh =4π når h = 8. Setter dette sammen med den oppgitte dv inn i formel : dt π =4π dr dt dr dt = π 4π = 5 (dvs..5 centimeter i sekundet Oppgave 8 Nevneren er x 3 x = x (x, så det gjentatte førstegradsleddet er x. A x + B x + C x = A(x + Bx(x + Cx x (x 3x 3x + x 3 x Koeffisientene A, B og C må velges slik at A(x + Bx(x + Cx =3x 3x +for alle x. Jeg bruker her den raske (men uttrygge måten å regne ut koeffisientene på, ved å sette inn tre x verdier. x =ogx = er opplagte valg, x = er kanskje den enkleste å velge som tredje verdi: x =:A( + B ( + C =3 3 + A = A = x =:A( + B ( + C =3 3 + C = Setter også inna = ogc =, som vi har funnet, når B skal bestemmes: x =: ( +B ( + = B +4 = 7 B =. En typisk feil er å glemme leddet B/x. Vi ville likevel funnet verdier for A og C på denne måten, men det ville ikke gitt riktig delbrøksoppspalting. Bruker vi metoden med å regne sammen venstresiden og sammenlikne de tre koeffisientene i de to andregradspolynomene ville feilen blitt oppdaget, likningssystemet ville vært selvmotsigende. +3x 3x + dx = x 3 x x + x + x dx De to siste leddene blir ln, som i oppgave 4, mens det første leddet er x som integreres ved potensregelen: = x +ln x +ln x + C = x +ln x (x + C Oppgave 9 a x x x + dx = xdx x x dx =ln(x arctan(x+c I første integral er det substituert med u = x +, som gir du =xdx som finnes i telleren. Prinsippet generelt for enkle irredusible andregradsledd i nevneren er å forenkle integralene til disse typene b 4x +3 (x + +4 dx = 4x +8 (x (x + +4 dx.

11 Ukeoppgaver, uke 45, i Matematikk, Delvis integrasjon. I første integral substituerer vi med nevneren: u =(x + +4 med u =(x + = x +4så du =(x +4dx du =(4x +8du: 4x +8 (x + +4 dx = u du =ln u =ln( (x + +4 I andre integral bruker vi u = x+ slik at u = (x 4 + 4u =(x +. Da er u =/ så du = dx dx =du: 5 5 (x + +4 dx = 5 du = 5 4u +4 +u du = 5 arctan(u+c = 5 arctan 4(u + du = ( x + + C Ved å summere disse integralene får vi 4x +3 (x + +4 dx =ln( (x ( x + arctan + C c A x + Bx + C x +4x +8 = A(x +4x +8+(Bx + Cx x(x +4x +8 Innsetting av x =gir8a =4 A =3. 7x +5x +4 x 3 +4x +8x Innsetting av x =(oga = 3 gir 3(+4+8+(B +C =7+5+4 B +C =7. Innsetting av x = (oga =3gir3( 4+8+( B + C( = B C =. Jeg tar ikke med løsningen av disse, men du ser ved innsetting at B =4ogC =3 stemmer. Andregradspolynomet x +4x +8 i nevneren må omformes ved metoden utfylling av kvadratet, som baserer seg på å bruke. kvadratsetning, (x + a = x +ax + a baklengs. De to første leddene passer med nevneren hvis vi velger a =, slik at a = 4 som vi adderer og subtraherer: x +4x +8=x +4x =x +4x +4+4=(x + +4 Dermed er delbrøksoppspaltingen 7x +5x +4 x 3 +4x +8x = 3 4x +3 + x (x + +4 Detførsteleddeterlettå integrere til 3 ln x, mens det siste leddet er b oppgaven, så 7x +5x +4 x 3 +4x +8x dx =3ln x +ln( (x ( x + arctan + C

12 Ukeoppgaver, uke 45, i Matematikk, Delvis integrasjon. Denne integrasjonen jo litt strevsomt, selv om teknikken er ganske rutinepreget. Det kreves en del nøyaktighet, spesielt hvis ikke tallene som her er tilpasset for å gi enkle heltall som koeffisienter. I praksis bruker jeg dataverktøy (Maple for å utføre slike integraler bortsett fra når jeg, som her, skal vise metoden for studenter. Du får nok ikke så vriene integraler til eksamen i Matematikk. Jeg har tatt det med da selve delbrøksoppspaltingen (med et litt annet siktemål enn å regne ut et integral av rasjonale funksjoner av denne typen er viktig i anvendelser i for eksempel reguleringsteknikk og signalbehandling. Du vil nok se mere til dette i Matematikk. Hans Petter Hornæs