Gunnar Staff Institutt for Matematiske fag Norges Teknologiske Naturvitenskapelige Universitet N 7491 Trondheim

Transkript

1 måter å integrere på Gunnar Staff Institutt for Matematiske fag Norges Teknologiske Naturvitenskapelige Universitet N 749 Trondheim --9 Sammendrag Dette notatet er laget på initiativ fra Overstudass SIF57. Det prøver å illustrere endel av de mest brukte integrasjonsteknikkene, og gi eksempler på bruken. Tilbakemeldinger mottas gjerne. Dette er IKKE en del av pensum i SIF57. Snarere et supplement støtteliteratur) til de som ønsker å friske opp integrasjonsreglene. Diverse. Rottmann Rottmann vil være tillatt på eksamen. Det anbefales at man bruker litt tid til åfå en liten oversikt over hva som finnes der, og hvordan man bruker det. Husk at alt som står i Rottmann kan brukes på eksamen uten annen begrunnelse enn henvisning til formelsamlingen. Eks. Løs integralet arcsin d. Det er et integral som de fleste vil vegre seg for åprøveå løse. Men i Rottmann s 46 formel 44 finner vi at arcsin d arcsin + 4 arcsin ) C.. Odde og jevne funksjoner Å vite litt om odde og jevne funksjoner kan spare oss for mye arbeid. Vi definerer odde og jevne funksjoner som jevn f f ) odde f) f )

2 DIVERSE Figure : Jevn funksjon Figure : Odde funksjon Se Fig. for eksempel på jevnfunksjon,ogfig.foreksempelpå odde funksjon. Vi vet at hvis vi integrerer en odde funksjon over et område symetrisk om origo, vil integralet bli null. Dette sees enklest ved at man ser på Fig. og legger merke til at arealet i intervallet [ a, ] under grafen er lik arealet i intervallet [,a]. Hvis vi gjør det samme for en jevn funksjon vil vi få ganger integralet over intervallet [,a]. Det matematiske beviset utelater vi her. a { for f) odde f)d a a f)d for f) jevn Vi prøver at par eksempler for å se hvordan det virker i praksis. Eks. Løs integralet π π sin d Vi ser at sin er odde funksjon fordi sin ) sin ). M.a.o blir integralet null. Eks. Løs integralet π π cos d Vi ser at cos er jevn funksjon fordi cos ) cos ). M.a.o blir integralet π π cos d π cos d [sin ] π

3 DELVIS INTEGRASJON Eks.4 Løs integralet π π sin cos d Vi vet fra Eks. at sin er odde funksjon, og vi vet fra Eks. at cos er en jevn funksjon. Jevn funksjon multiplisert med odde blir odde. M.a.o blir integralet lik null. Delvis integrasjon Delvis integrasjon bruker vi når vi er istand til å dele opp integralet vårt i to. h)d f)g)d, der h) f)g) Formelen for delvis integrasjon står i Rottmann formel 4 side. f )g)d f)g) f)g )d Hele poenget her er åvelgef ) ogg) s.a f)g )d blir lettere åløse. Å se hvordan man skal velge f ) ogg) krever ofte litt trening. La oss se på noen eksempler. Eks. Løs integralet sin d Vi starter med å plukke ut f og g. Vi ser at hvis vi deriverer vil den bli en konstant. Det benytter vi oss av og velger f cos f sin g g Dette gir oss sin d cos ) cos ) d g f f g g f cos +sin sin cos, som er et enkelt integral åløse. Vi prøver med et litt vanskeligere problem. Eks. Løs integralet e e d Dette ser litt vankeligere ut, fordi her har vi ledd å velge mellom. e e e og vi har igjen to klare kandidater til f og g. Vi løser det ved åseat f e f e g g

4 DELVIS INTEGRASJON 4 Etter at vi har identifisert f og g er det bare å sette inn i formelen og regne ut det siste integralet. e } {{} d e g f f e d g g f e e d e e ). 4 Hvagjørvihvisviikkegreierå gjøre det siste integralet løselig ved å bruke delvis integrasjon gang? La oss se på eteksempel. Eks. Løs integralet e d Vi starter med å identifisere f og g som f e f e g g Vi setter så inn og får g e ) e d f g f e + e d. g e ) d f Vi ser at det siste integralet fremdeles ikke er løsbart, men vi har redusert potensen til -en. Det vi någjørerå utføre delvis integrasjon igjen på det siste integralet e d for å bli kvitt -leddet fullstendig. f e f e g g e e d ) e ) d e e e + ) g f g f Vi setter så dette inn i vårt opprinnelige integral og får e d e + e d e + e + ) ) e + + ). M.a.o må vi av og til utføre delvis integrasjon flere ganger for å kunne løse integralet, evt kombinere det med andre teknikker. Finnes det integral der vi ikke greier å redusere problemet?? Eks.4 Løs integralet e sin d

5 DELVIS INTEGRASJON 5 Vi ser at vi reduserer størrelsen på hverkene eller sin ved å derivere. Men vi prøver alikevel. f e f g sin g cos e sin d e sin e cos d Her kan det se ut som om vi ikke kommer noen vei. e cos d er ikke noe lettere å løse enn det opprinnelige integralet. Men vi prøver en gang til allikevel f e g cos f e g sin Vi får nå at e cos d e cos + e sin d. Integralet på høyre side er det samme som vi startet med. Vi substituerer så dette inn i forrige likning og får e sin d e sin 4 e cos 9 e sin d. 4 Vi løser nå for e sin d og får e sin d 4 4 e sin cos)+c e sin d e sin cos)+c Vi ser at vi greide å løse problemet selv om vi ikke reduserte problemet i vanlig forstand! Hva skal vi gjøre hvis vi har et bestemt integral istedenfor et ubestemt m.a.o et integral med øvre og nedre grensen)? Formelen blir som følger. b b f )g)d [f)g)] b a f)g )d a a Eks.5 Løs det bestemte integralet arcsin d. Dette illustrerer et nytt poeng i valg av f og g, nemlig f f d g arcsin g fra Rottmann side arcsin d [ arcsin ] [ d arcsin + ] π + π Det ubestemte integralet arcsin d. kunne også vært løst v.h.a Rottmann formel 8 side 45. Integralet d løses enklest ved substitusjonemetoden, se eks.

6 INTEGRASJON VED SUBSTITUSJONSMETODEN 6 Integrasjon ved substitusjonsmetoden Integrasjon ved substitusjonsmetoden er et variabelskifte vi gjør for å ende opp med et penere integral. Metoden står som formel 5 i Rottmann side. Det vanskelige her er å se hva men skal substituere med, m.a.o hva man setter til gu), eller på en mer intuitiv måte, u g ). f)d fgu)) d d gu)du, der gu) Dette kan se litt komplisert ut, så vi prøver med et eksempel. Eks. Løs integralet d Vi setter u og får d u u u, du du, d d. du u u) u) + C ) + C + C Eks. Løs integralet + ln )5 d Her har vi mulige løsninger, nemlig u, u ln krever at vi deler opp integralet i ) og u +ln. Vimå bli kvitt enten leddet, eller + ln ln hvis vi velger å dele opp integralet). Vi prøver med u +ln. u +ln, du d d d + ln ) d du Vi substituerer nå inn og får + ln ) d u5 du u 5 du 6 u6 + C. u Vi substituerer nå tilbake og får 6 u6 + C 6 + ln )6 + C, u+ln hvilket er svaret!! Eks. Løs integralet sin +4)d

7 4 SINUS OG COSINUS TRIKSING 7 Sinus er på en form vi ikke er vant til, og vi substituerer med Vi setter inn og får u +4, du d, d du. sin +4)d sin udu cos u + C cos +4)+C 4 Sinus og Cosinus triksing Å kunne trikse med sinus og cosinus er essensielt for å kunne løse endel integral. Her følger en rask oversikt over de viktigste knepene. 4. Halvvinkel til sinus og cosinus I Rottmann side 4 står addisjonsteoremene for sinus og cosinus. Ved å kombinere disse kan man komme frem til sin θ cos θ), ) cos θ + cos θ). ) Dette er viktige sammenhenger som kan brukes ved integrasjon. I Rottmann side 85-> står det flere nyttige sinus/cosinus triks. Eks 4. Løs integralet sin d Vi bruker likn og får sin d cos 6)d 6 ) sin 6 + C 6 sin 6)+C. 4. Trigonometrisk substitusjon Trigonometrisk substitusjon er et kraftfullt hjelpemiddel ved integral der vi finner ledd som a u ) /,a u ) / og /a + u ). Vi kan systematisere det i en tabell. Vi prøver med et eksempel. Integralet inneholder Substitusjonen Bruk av identitet a u u a sin θ sin θ cos θ a + u u a tan θ +tan θ sec θ u a u a sec θ sec θ tan θ

8 4 SINUS OG COSINUS TRIKSING 8 Eks 4. Løs integralet d, hvor <. Her er a ogu, så vi substituerer med sinθ, d cosθdθ. sin d θ cos θ sin θ sin θdθ sin θ cos θ ) dθ cos θ cos θ + C. Vi vet at cos θ sin θ ), noe vi bruker når vi substituerer tilbake og får d ) + C. Eks 4. Løs integralet a u du, u <a. Dette passer glimrende med første situasjon i tabellen vår, og vi setter u a sin θ og du a cos θdθ og får a u du a a sin θa cos θ)dθ a cos θdθ cos θ +cos θ) a a θ + ) sin θ + C sin θsin θ cos θ + cos θ)) dθ a θ +sinθ cos θ)+c. Den først substitusjonen får vi fra likning. Den andre substitusjonen får vi fra Rottmann side 87 som sier sin θ sinθcos θ. Denne identiteten bruker vi ved tilbakesubstitusjonen og får sin θ u a, og cos θ a u a. Dette gir oss a u du a sin u a + u ) a u + C u a a a a u + a sin u a + C. Eks 4.4 Løs integralet 4 +9) d. Vi kjenner igjen situasjon fra tabellen vår med u og a. Detgirossmedu a tan θ følgende substitusjoner. tanθ, tan θ, d sec θdθ.

9 4 SINUS OG COSINUS TRIKSING 9 Vi setter inn og får 4 +9) d sec θ 9tan θ +9 ) dθ sec θ 9 sec θ) dθ sec θ dθ cos θdθ θ +sinθcos θ)+c 8 Integrasjonen er den samme som vi gjorde i Eks 4.. Vi vet at θ tan ) og finner ved å lage Figat 4 +9 θ tanθ Figure : Trigonometrisk fremstilling av θ tan sin θ Vi substituerer tilbake med dette og får 4 +9) d , cos θ [ ) tan + 8 tan ) ) + C. ) ] + C 4 +9 Eks 4.5 Løs integralet 5 d, > 5. Vi har nå det siste tilfellet i tabellen vår. Vi substituerer med secθ, d 5secθtan θdθ, ogfår 5 5 sec θ ) 5 tan θ. Siden >5 impliserer det at <<π/, slik at tan θ>. 5 5tanθ d 5 sec θ tan θ)dθ 5secθ sec 5 tan θdθ 5 θ ) dθ 5tanθ 5θ + C 5 5sec ) + C. 5 LYKKE TIL!!