EKSAMEN Løsningsforslag

Transkript

1 5..7 EKSAMEN Løsningsforslag Emnekode: ITD5 Dato:. desember 7 Hjelpemidler: - To A-ark med valgfritt innhold på begge sider. - Formelhefte. - Kalkulator som deles ut samtidig med oppgaven. Emnenavn: Matematikk første deleksamen Eksamenstid: 9.. Faglærer: Christian F Heide Om eksamensoppgaven og poengberegning: Oppgavesettet består av 6 sider inklusiv denne forsiden og et vedlegg på én side. Kontroller at oppgavesettet er komplett. Oppgavesettet består av oppgaver. Ved sensur vil alle oppgaver telle like mye. Der det er mulig skal du: vise utregninger og hvordan du kommer fram til svarene begrunne dine svar Sensurfrist:. januar 8 Karakterene er tilgjengelige for studenter på Studentweb senest virkedager etter oppgitt sensurfrist.

2 Oppgave Gitt to komplekse tall z i e og w i e a Hva er realdelen og imaginærdelen til tallet z? For å finne dette, må vi konvertere tallet til rektangulær form, altså skrive tallet på formen z a bi Da er og a r cos cos b r sin sin Vi kan altså skrive z som Følgelig er z a bi i b Finn z w Re z og Im z. Skriv svaret på eksponentialform. z w e i i i i e e 6e 6 i e Oppgave Avgjør om funksjonen f er kontinuerlig for = når den er gitt ved f for for Kravet for at f skal være kontinuerlig for =, er at f f f Her er f 8 f 8 ITD5 Matematikk, første deleksamen, desember 7 løsningsforslag Side av

3 og f 8 Vi ser at kriteriet er oppfylt, og vi kan konkludere med at f er kontinuerlig for = Oppgave Gitt en kontinuerlig funksjon f som er definert på intervallet D, ukjent, men vi kjenner grafen til funksjonens deriverte, altså grafen til vist i figuren nedenfor. y f f. Funksjonen er. Denne grafen er f f a Lag en skisse av funksjonen f basert på figuren over. Anta at f. I intervallet, har funksjonen en derivert som er konstant og lik. Det betyr at den i dette intervallet er avtagende med stigningstall. I intervallet, øker den deriverte jevnt fra til. Det betyr at fra til vil funksjonen synke med avtagende hastighet. I vil den ha sitt minimum siden den deriverte der er, for deretter stige med økende hastighet fram til. Fra til vil så stigningstallet være på, og funksjonen vil i dette intervallet synke med jevn hastighet. Dette gir en graf som se omtrent slik ut vist med blå farge: ITD5 Matematikk, første deleksamen, desember 7 løsningsforslag Side av

4 y f f b Lag en skisse av den andrederiverte. Den andrederiverte angir stigningen til den deriverte. I intervallet, stiger ikke den deriverte, og den andrederiverte er derfor. I intervallet, har den deriverte en konstant stigning, med stigningskoeffisient lik. Den andrederiverte er derfor i dette intervallet. Fra til er den deriverte igjen konstant, og den andrederiverte er derfor. Den andrederiverte vil derfor se ut slik vist i blå farge: y f ITD5 Matematikk, første deleksamen, desember 7 løsningsforslag Side av

5 ITD5 Matematikk, første deleksamen, desember 7 løsningsforslag Side 5 av Oppgave Bestem følgende grenseverdi dersom den eksisterer: cos Her ser vi at når =, vil telleren i brøken bli cos cos og nevneren blir Vi har følgelig et ubestemt uttrykk av typen. Vi kan da bruke l Hôpitals regel: sin cos sin Vi ser at når vi setter inn = i dette uttrykket, blir telleren sin sin mens nevneren blir Vi får altså igjen et -uttrykk, og vi kan derfor på nytt bruke l Hôpitals regel: cos sin sin cos sin cos sin

6 Oppgave 5 En trigonometrisk funksjon som ikke brukes så ofte, er cotangens. Den er definert ved cos cot sin sin a Bruk definisjonen gitt over til å vise at den deriverte av cot er cot cot Vi kan da bruke regelen for derivasjon av en brøk sammen med definisjonen over. Regelen for derivasjon av et brøkuttrykk er u uv uv v v Vi får cot cos cos sin cos sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos sin sin cos sin Dette er et korrekt svar, men normalt sett vil vi massere uttrykket litt, slik at vi får det på en mer presentabel form. Det er flere muligheter. Den enkleste formen får vi dersom vi benytter oss av at telleren sin cos er lik, og skriver svaret som sin Vi er imidlertid bedt om å få uttrykket på en bestemt form. Dette ordner vi ved først å dele opp brøken i to, og får sin sin cos sin Det første leddet er siden teller og nevner er like. Det andre leddet kan vi omforme cos ved å bruke at cot. Vi får da den ønskede formen sin cot ITD5 Matematikk, første deleksamen, desember 7 løsningsforslag Side 6 av

7 b Den inverse funksjonen til cotangens, kalles arcuscotangens og skrives eller. cot y f arc cot Det er kjent at dersom en funksjon har en invers funksjon, f y, vil den deriverte av den inverse funksjonen være lik den inverse av den deriverte av funksjonen, altså at df y dy df d Bruk dette sammen med resultatet i spørsmål a til å finne den deriverte av arc cot. Hvis vi nå benevner y f cot, så vet vi fra spørsmål a at df cot d Den inverse funksjonen til Da vet vi at f cot, er f y arc cot y. df y dy cot cot df d Vi setter så inn at Vi får da arc cot y slik at vi får uttrykt df y dy ved y istedenfor ved. df y dy cot cot arc cot y Siden cotangens og arcuscotangens er inverse funksjoner, blir cot arc cot y lik y. Dette gir df y dy y Bytter vi så navn på den frie variabelen fra y til, får vi arc cot ITD5 Matematikk, første deleksamen, desember 7 løsningsforslag Side 7 av

8 Oppgave 6 Gitt ligningen sin a Benytt skjæringssetningen til å vise at denne ligningen har minst én løsning i intervallet [.5, ]. Vi omskriver først ligningen slik: sin Kaller vi nå venstre side f, altså at f sin blir det å finne løsningen på ligningen det samme som å finne hvor f. f.5 Siden f er en kontinuerlig funksjon sier skjæringssetningen at dersom har forskjellig fortegn, vil det finnes minst en -verdi i intervallet [.5, ] hvor f =, altså en løsning av ligningen. Vi sjekker om dette er tilfelle: f og f.5 sin.5.5 sin f sin sin.56. Vi ser at fortegnet til funksjonsverdiene i de to endepunktene er ulike. Følgelig finnes det et tall c i intervallet [.5, ] slik at f c, altså en løsning av ligningen. b Det kan vises at ligningen har nøyaktig én løsning i intervallet [.5, ]. Benytt Newtons metode med to iterasjoner til å finne en tilnærmet verdi for denne løsningen. Benytt startverdien. Newtons metode kan beskrives ved følgende rekursjonsformel: Her er n n f n f n f cos cos cos Dette gir og f sin f cos ITD5 Matematikk, første deleksamen, desember 7 løsningsforslag Side 8 av

9 f sin f cos Oppgave 7 En kurve i planet er definert ved følgende ligning: y sin y, a Vis at punktet ligger på kurven. Vi kan vise at punktet ligger på kurven ved å sjekke at venstre side blir lik høyre side når vi setter og inn i ligningen. Venstre side blir da y sin som vi ser er lik høyre side. b Finn ligningen for tangenten til kurven i dette punktet. For å finne ligningen til tangenten, må vi finne tangentens stigningstall i punktet. Denne finner vi ved å derivere uttrykket. Siden det ikke er mulig å skrive y som en eksplisitt funksjon av, må vi gjøre en implisitt derivasjon: y y cos y y Vi flytter så alt som ikke inneholder y over på høyre side: y cos y y y Vi trekker ut y som felles faktor på venstre side: y cos y y Så deler vi begge sider på uttrykket i parentesen, og får y y cos y Vi bruker så dette uttrykket til å finne stigningstallet i punktet, : y, cos Ved hjelp av den såkalt ettpunktsformelen kan vi nå finne ligningen til tangenten i punktet,. Ettpunktsformelen lyder: ITD5 Matematikk, første deleksamen, desember 7 løsningsforslag Side 9 av

10 y y a, y er et kjent punkt på linja, altså, som vi altså har funnet at er. Dette gir i vårt tilfelle. a er linjas stigningstall, y Ganger vi ut parentesen, får vi y som gir y Oppgave 8 Det kan vises at en rett, sirkulær kjegle med høyde h og vinkel mellom aksen og sidekanten se figur har volumet V h, h tan V a Finn V h og V V, altså de h partiellderiverte av volumfunksjonen med hensyn på henholdsvis h og. V h h, h tan h tan V h, h tan tan h tan tan cos h tan den deriverte av tan kan skrives både som tan og som cos. ITD5 Matematikk, første deleksamen, desember 7 løsningsforslag Side av

11 b For å beregne volumet til en slik kjegle, måler du høyden. Du finner at høyden er m, men klarer ikke å måle den helt nøyaktig. Du estimerer unøyaktigheten i denne målingen til h.m. Videre måler du vinkelen og finner unøyaktigheten i denne målingen til.5 radianer., og estimerer Bruk lineær approksimasjon til å finne en tilnærmet verdi for den feilen du kan få i volumet,, på grunn av unøyaktighetene i målingene. V Lineær approksimasjon for en funksjon av to variable f, y, er gitt ved f a h, b k f a, b f a, b h f a, b k For vår funksjon blir dette og altså V h h h, V h, V h, h V h, V h h, V h, V h, h V h, V h Setter vi så inn de partiellderiverte fra spørsmål a og tallene gitt i oppgaven, får vi V V h h, V h, h tan h h tan tan tan. tan tan Her er høyden målt i meter, og svaret er derfor i kubikkmeter. Altså y V.9 m Oppgave 9 Løs følgende integral: sin e d ITD5 Matematikk, første deleksamen, desember 7 løsningsforslag Side av

12 Denne kan vi integrere direkte: sin e d d d ln d sin d cos e e d C ln cos e C Oppgave Løs følgende integral: e d Her kan vi benytte delvis integrasjon. Regelen for delvis integrasjon kan skrives slik: u v d uv uv d Vi velger som gir u e og e v u og v Integralet blir da e d e e d e e d Det integralet vi da får, e d, kan vi løse ved å benytte delvis integrasjon en gang til. Vi velger nå som gir Integralet blir da u e og v u e og v e d e e d e e d e e C ITD5 Matematikk, første deleksamen, desember 7 løsningsforslag Side av

13 Løsningen blir følgelig e d e e d e e e C e e e C Vi kaller C for C og får da: e e e C Så ganger vi ut parentesen, forenkler og trekker e e e e e e C e e utenfor parentes: C e C Oppgave Løs følgende integral: d Vi kan sjekke om nevneren har reelle røtter slik at vi kan gjøre en delbrøkoppspalting: Vi ser at nevneren ikke har reelle røtter. Vi må derfor forsøke å omforme nevneren slik at vi kan bruke formelen d arctan C Vi omformer nevneren slik Integralet ser da slik ut: ITD5 Matematikk, første deleksamen, desember 7 løsningsforslag Side av

14 ITD5 Matematikk, første deleksamen, desember 7 løsningsforslag Side av d d 9 9 Vi gjør så substitusjonen u som gir d du og følgelig d du Vi får da C u du u du u d arctan C arctan