Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1

Transkript

1 Løsningsforslag til prøveeksamen i MT, H- DEL. ( poeng Hva er den partiellderiverte f y sin(xy cos(xy y sin(xy x sin(xy cos(xy xy sin(xy cos(xy y sin(xy + xy sin(xy når f(x, y = y cos(xy? Riktig svar: cos(xy xy sin(xy. Begrunnelse: Produktregel og kjerneregel.. ( poeng I hvilken retning stiger funksjonen f(x, y, z = xz + y raskest i punktet (,,? (,, (,, (,, (6,, (,, Riktig svar: (,,. Begrunnelse: f(x, y, z = (z, y, x, så f(,, = (,,.. ( poeng Hva er den retningsderiverte f (a, r til f(x, y = x ln(xy når a = (e, og r = (,? + e e + ln ln e ln Riktig svar: + e. Begrunnelse: f(x, y = (ln(xy +, x y, så f(e, = (, e. Dermed er f (a; r = f(a r = (, e (, = + e.. ( poeng Hvis = ( ( og x = ( 7 5, så er x lik: 7 ( 6 5 ( (

2 ( Riktig svar: ( 6. Begrunnelse: Dette er bare å gange ut. 5. ( poeng realet til parallellogrammet utspent av vektorene a = ( b = er: ( Riktig svar: 7. Begrunnelse: areal = det(a, b = = ( = 7 = 7 og 6. ( poeng En pyramide har hjørner i punktene (,,, (,,, (,, og (,, 6. Volumet er: Riktig svar:. Begrunnelse: Setter vi a = (,,, b = (,,, c = (,, og d = (,, 6, er pyramiden utspent av vektorene: a d = (,,, b d = (,,, c d = (,,. Dermed er volum = 6 det(a d, b d, c d = 6 8 = ( x y 7 ( poeng Jacobi-matrisen til funksjonen F(x, y = er: e ( xy xy x e xy e xy ( xy x y e xy xye ( xy xy + x e xy + e xy

3 ( xy x xy e xy xy e ( xy x y e xy e xy. Begrunnelse: Partiellderivér og husk kjerne- ( xy x Riktig svar: y e xy xye xy regelen i nederste linje. x 8. ( poeng Når vi skal delbrøkoppspalte (x (x +x+, setter vi uttrykket lik: x + B x +x+ + x+b x + C x +x+ + x + Bx+C x +x+ x+b x + Cx+D (x +x+ x + Riktig svar: Bx+C x +x+ + x + D (x +x+ D (x +x+ Dx+E (x +x+ Bx+C x +x+ + Dx+E (x +x+. Begrunnelse: Se reglene i boken. 9. ( poeng Volumet til omdreiningslegemet vi får når vi dreier f(x = cos x, x π, om y-aksen, er: 7π π π π π π π Riktig svar: π π. Begrunnelse: Fra formelen for volumet til et omdreiningslegeme rundt y-aksen, har vi V = π π x cos x dx. Bruker vi delvis integrasjon med u = x, v = cos x, får vi u =, v = sin x og ( [ ] π π ( π V = π x sin x sin x dx = π = π π. ( poeng Funksjonen F er definert ved F (x = x cos(t dt. Da er F (x lik: cos(x 5 x cos(x x cos(x 6 x cos(x 6 x cos(x 5

4 Riktig svar: x cos(x 6. Begrunnelse: Sett G(x = x cos(t dt. Da er G (x = cos(x ifølge analysens fundamentalteorem. Siden F (x = G(x, får vi fra kjerneregelen F (x = G (x (x = cos((x (x = x cos(x 6 DEL Oppgave a ( poeng Finn den reelle og den komplekse faktoriseringen til P (z = z + 8. b ( poeng Finn konstanter, B og C slik at (x + (x x + = x + + Bx + C x x + c ( poeng Løs integralet x x x + dx Løsning: a Ligningen P (z = er ekvivalent med z = 8, og følgelig er røttene til P (z det samme som tredjerøttene til 8. Siden polarformen til 8 er 8e iπ, blir tredjerøttene ( w = e i π = cos π + i sin π = + i w = e i( π + π = e iπ = (cos π + i sin π = ( w = e i( π + π = e i 5π = cos 5π + i sin 5π = i Den komplekse faktoriseringen er dermed z + 8 = (z w (z w (z w = (z + (z i (z + i Ganger vi sammen de to siste faktorene, får vi den reelle faktoriseringen z + 8 = (z + (z z + Kommentar: Dette punktet kan også løses (enklere? ved å observere at siden - er en rot i P (z, må P (z være delelig med z+. Utfører vi polynomdivisjonen, får vi den reelle faktorisering, og ved å løse annengradsligningen z z + =,

5 får vi så den komplekse faktoriseringen. b Multipliserer vi med fellesnevner på begge sider, får vi = (x x++(bx+c(x+ = (+Bx +( +B +Cx++C som gir ligningssystemet + B = + B + C = + C = som har løsningene =, B =, C =. c Den deriverte av nevneren er x. Vi starter med å smugle dette uttrykket inn i telleren: x I = x x + dx = x 8 x x + dx = x x x + dx x x + dx I det første integralet innfører vi nevneren som ny variabel: u = x x +, du = (x dx: I = x x x + dx = u du = ln u + C = ln(x x + + C I det andre integralet fullfører vi kvadratet i nevneren: I = x x + dx = (x + dx = Setter vi nå z = x, får vi dz = dx og I = I alt har vi dermed ( dx x + z + dz = arctan z + C = arctan x + C I = I I = ln(x x + arctan x Oppgave ( poeng En speilprodusent planlegger å starte produksjonen av en ny serie. De nye speilene skal ha et areal på m og være formet som et rektangel. Speilene blir delt i tre deler av to loddrette lister (se figur. Rundt hele speilet skal det også være lister. Hvor høye må speilene være for at den totale lengden av lister skal bli så kort som mulig? + C Et speil 5

6 Løsning: Kall høyden til speilet x og lengden y. Lengden av listene er L = y+x. Siden arealet skal være m, må xy =, dvs. y = x, og setter vi dette inn i uttrykket for L, får vi L(x = x + x Derivasjon gir L (x = x +, og viser at L (x = når x =. Det er lett å sjekke at dette er et minimumspunkt, og følgelig er listlengden kortest når x =. Oppgave ( poeng I denne oppgaven er = den inverse matrisen er = Bruk dette til å finne en vektor v = 8 5 x y z Løsning: Ganger vi matrisene, ser vi at slik at v = = 7 Siden en høyreinvers også er en venstreinvers, betyr dette at 8 5 er den inverse matrisen til. Ganger vi ligningen v = med, får vi v = v = 8 5. Dermed er = 5.. Vis at fra venstre Oppgave ( poeng vgjør om det uegentlige integralet π cot x dx 6

7 konvergerer eller divergerer. Finn verdien til integralet dersom det konvergerer. Løsning: Integranden divergerer når x +, og vi har derfor at π π cot x dx = lim cot x dx a + a Observerer vi at cot x = cos x sin x, ser vi at det lønner seg å innføre u = sin x som ny variabel. Da blir du = cos x dx, og vi får: π a cot x dx = sin a du = ln ln(sin a u Når a går mot null ovenfra, går sin a også mot null ovenfra, og dermed går ln(sin a mot. Dette betyr at integralet divergerer. Det går også an å vise divergens ved å sammenligne integranden med x. Oppgave 5 ( poeng nta at f : R R er en kontinuerlig funksjon med f( =. Vis at dersom f er deriverbar i, finnes det en kontinuerlig funksjon g : R R slik at f(x = xg(x for alle x R. Løsning: Når x, må g(x = f(x x. Spørsmålet er hvordan vi skal definere g(. Skal g være kontinuerlig i, må f(x g( = lim g(x = lim x x x = lim f(x = f ( x x der vi har brukt at f( = og at f ( eksisterer. Dersom vi definerer f(x x når x g(x = f ( når x = ser vi at g er kontinuerlig for x siden f er det, og at g er kontinuerlig i ifølge regningene ovenfor. Vi ser også at f(x = xg(x for alle x. Slutt 7