MET Matematikk for siviløkonomer

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "MET Matematikk for siviløkonomer"

Transkript

1 SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: Kl. 09:00 Innlevering: Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven.

2 Løsning MET Matematikk for siviløkonomer Dato 0. desember 018 kl Oppgave 1. (a) Vi løser det lineære systemet for a = 1 ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: y = z Deretter nner vi en trappeform ved å bruke elementære radoperasjoner: Vi ser at systemet har en entydig løsning, og vi nner løsningen ved baklengs substitusjon. Siste likning gir 5z = 5, eller z = 1, andre likning gir y + ( 1) =, eller y = 0, og første likning gir ( 1) = 1, eller =. Dermed er løsningen (,y,z) = (,0, 1). (b) Vi regner ut determinanten til A, og velger å utvikle A langs tredje kolonne: a 1 a A = 1 3 a 3 0 = a(3 a) 3(3a a) = 3a a 6a = a 3a = a(a + 3) Dermed er A = 0 hvis a = 0 eller a = 3/. (c) Vi vet fra teori at det lineære systemet har én løsning hvis A = 0, og ingen eller uendelig mange løsninger hvis A = 0. I dette tilfellet er A = 0 for a = 0 eller a = 3/ fra (b). For a = 0 undersøker vi antall løsninger ved å bruke Gauss-eliminasjon: Det viser at det er en fri variabel, og uendelig mange løsninger når a = 0. For a = 3/ bruker vi tilsvarende framgangsmåte: 3/ 1 3/ / 3/ 1 3/ 1 3/ 3 0 9/ 3/ 3 0 9/ 0 6 9/ 7/4 Det lineære systemet har ingen løsninger når a = 3/ siden neste steg gir 1 3 3/ 0 6 9/ 7/ /8 Dermed har det lineære systemet uendelig mange løsninger kun for a = 0. (d) Når a = 1, er matrisen A gitt ved A = A 3A = Dette gir at A 3A = =

3 Oppgave. (a) Vi løser dette integralet ved å bruke at 1/ = : 1 d = d = C = 1 + C (b) Vi løser integralet ved delvis integrasjon, der vi tenker på 1/ = som en faktor. Vi velger u = 1/ og v = 1 ln, som gir u = 1/ fra forrige oppgave, og v = 1/. Delvis integrasjon gir dermed 1 ln d = (1 ln ) d = u v d = u v = 1 (1 ln ) 1 d = 1 + ln u v d C = ln (c) Vi løser integralet ved substitusjonen u = 1, som gir du = d/( ), og dermed e 1 e u d = ( ) du = e u du = e u + C = e 1 + C + C Oppgave 3. (a) Vi regner ut den deriverte til funksjonen f() = e1 = eu ved å først bruke brøkregelen, og så kjerneregelen med kjerne u = 1 og u = 1/( ). Dette gir at f () = (eu u ) e u 1/( ) = eu ( ) e u 1 = e1 ( 1) Vi har forenklet brøkuttrykket ved å multiplisere med i teller og nevner. (b) Vi tar utgangspunkt i det faktoriserte uttrykket for f () som vi fant i (a). Vi ser at når > 0, så er nevner positiv, faktoren e u er positiv, og 1 er negativ. Derfor er f () < 0 for > 0, og det betyr at f er avtagende i hele denisjonsområdet. Vi kunne alternativt lage et fortegnsskjema for f () for å se at f () < 0 for > 0. (c) Når 0 + har vi at telleren e 1 e 1 = e og nevneren 0 +. Dermed har vi at lim f() = lim e 1 = Når har vi at telleren e 1 = e/e 0 og nevneren. Dermed har vi at lim f() = lim e 1 = 0 (d) En grov skisse med grafen til f, med området R mellom grafen til f og -aksen markert, er vist nedenfor. Arealet av det markerte området er gitt ved [ ] A(R) = f() d = e 1 + C [ e ] = lim 1 b 0 b 0 Her har vi brukt det ubestemte integralet vi fant i Oppgave (c). Dette gir A(R) = lim e 1 b + e 1 0 = e b 0 3

4 y Oppgave 4. (a) Vi nner de partiellderiverte til f(,y) = 1+ +y + y og løser så førsteordensbetingelsene for å nne de stasjonære punktene til f : f = + y = (1 + y ) = 0 f y = y + y = y(1 + ) = 0 Siden 1 + y 1 og for alle,y, gir dette at = y = 0, og de stasjonære punktene er (,y) = (0,0). (b) Vi nner Hesse-matrisen ved å regne ut de andreordens partiellderiverte til f, og får at ( ) + y 4y H(f) = 4y + Vi bruker andrederivert-testen for å klassisere det stasjonære punktet (0,0), og regner ut ( ) ( ) A B 0 H(f)(0,0) = = B C 0 Siden determinanten til denne matrisen er AC B = 4 > 0 og koesientene A = og C = på diagonalen er positive, er (0,0) et lokalt minimum for f. (c) Vi fant i (a) og (b) at f kun har ett stasjonært punkt (0,0), som er et lokalt minimumspunkt. Dermed har f ikke noe globalt maksimum, og (0,0) er eneste kandidat til globalt minimum. Siden f(0,0) = 1 og f(,y) = y + y 1 for alle (,y), er (0,0) et globalt minimum for f med minimumsverdi f min = f(0,0) = 1. (d) Vi bruker Lagranges metode for å nne kandidater for maksimum, og ser derfor på Lagrangefunksjonen L(,y; λ) = + y + y λ( + y ) Vi skriver ned Lagrange-betingelsene FOC+C (førsteordensbetingelser og bibetingelse): Vi skriver de to første likningene som L = + y λ = 0 L y = y + y λ 4y = 0 + y = 5 (1 + y λ) = 0 = 0 eller 1 + y = λ y(1 + λ) = 0 y = 0 eller 1 + = λ Vi ser dermed at det er re muligheter: (a) Hvis = y = 0, så gir det en motsigelse i bibetingelsen +y = 5. Ingen kandidatpunkter i dette tilfellet. 4

5 (b) Hvis = 0 og 1 + = λ, så er λ = 1/ og bibetingelsen gir y = 5, eller y = ± 5/. Disse kandidatpunktene har f = 5/. (c) Hvis y = 0 og 1 + y = λ, så er λ = 1 og bibetingelsen gir = 5, eller = ± 5. Disse kandidatpunktene har f = 5. (d) Hvis 1 + y = λ og 1 + = λ, så er 1 + = (1 + y ) ved eliminasjon av λ. Dette gir = 1 + y, og bibetingelsen gir da + y = 1 + y + y = 5 4y = 4 Dette gir y = 1, eller y = ±1, og = 3, eller = ± 3. Dessuten er λ = 1 + y =. Vi får kandidatpunktene (,y; λ) = (± 3, ±1; ) med f = = 7. Siden bibetingelsen + y = 5 er en ellipse med halvakser a = 5 og b = 5/, er mengden av tillatte punkter begrenset. Dermed har vi et maksimum i Lagrange-problemet. Det er ingen tillatte punkter med degenerer bibetingelse, siden g(,y) = +y har g = og g y = 4y, og g = g y = 0 kun holder i punktet (0,0), som ikke er tillatt (det ligger ikke på ellipsen). Dermed er f ma = 7, siden kandidatpunktene (,y; λ) = (± 3, ±1; ) har f = 7 og er kandidatpuntene med størst verdi. 5

MET Matematikk for siviløkonomer

MET Matematikk for siviløkonomer SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET 11803 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 29.05.2019 Kl. 09:00 Innlevering: 29.05.2019 Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia,

Detaljer

Oppgave 1. (a) Vi løser det lineære systemet for a = 1 ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: x A =

Oppgave 1. (a) Vi løser det lineære systemet for a = 1 ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: x A = Løsning MET 803 Matematikk for siviløkonomer Dato 8. desember 07 kl 400-900 Oppgave. (a) Vi løser det lineære systemet for a = ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: 7 3 y = 9 6 7

Detaljer

MET Matematikk for siviløkonomer

MET Matematikk for siviløkonomer SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET 11803 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 18.1.017 Kl. 14:00 Innlevering: 18.1.017 Kl. 19:00 For mer informasjon om formalia,

Detaljer

Oppgave 1. f(2x ) = f(0,40) = 0,60 ln(1,40) + 0,40 ln(0,60) 0,0024 < 0

Oppgave 1. f(2x ) = f(0,40) = 0,60 ln(1,40) + 0,40 ln(0,60) 0,0024 < 0 Løsning MET 80 Matematikk for siviløkonomer Dato 0. mai 07 kl 0900-400 Oppgave. (a) Vi lar p = 0,60 og q = 0,40, og skriver funksjonen som f() = p ln( + ) + q ln( ) for å forenkle skrivemåten. Funksjonen

Detaljer

MET Matematikk for siviløkonomer

MET Matematikk for siviløkonomer SENSORVEILEDNING - Fagoppgave MET 1186 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 18.1.19 Kl. 9: Innlevering: 5.1.19 Kl. 1: For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven.

Detaljer

y(x + y) xy(1) (x + y) 2 = x(x + y) xy(1) (x + y) 3

y(x + y) xy(1) (x + y) 2 = x(x + y) xy(1) (x + y) 3 Løsning Øvingsoppgaver Funksjoner i ere variabler MET 1180 Matematikk April 017 Oppgave 1. (a) Vi har at f = 3 og f = +. Hessematrisen blir dermed 6 (b) Ved kvotientregelen har vi at f = f = og de andreordens

Detaljer

Oppgave 1. (a) Vi løser det lineære systemet for a = 1 ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: x A =

Oppgave 1. (a) Vi løser det lineære systemet for a = 1 ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: x A = Løsning MET 80 Matematikk for siviløkonomer Dato 0. mai 07 kl 0900-400 Oppgave. (a) Vi løser det lineære systemet for a = ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: 0 y = 4 0 4 0 z 0 Deretter

Detaljer

Oppgave 1. e rt = 120e. = 240 e

Oppgave 1. e rt = 120e. = 240 e Løsning MET 803 Matematikk Dato 5. desember 05 kl 0900-00 Oppgave. (a) Dersom vi selger eiendommen etter t år, med t > 0, så er nåverdien av salgssummen med r = 0,0. Da får vi N(t) = V (t)e rt = 0 e e

Detaljer

Oppgave P. = 2/x + C 6 P. + C 6 P. d) 12(1 x) 5 dx = 12u 5 1/( 1) du = 2u 6 + C = 2(1 x) 6 + C 6 P. Oppgave P.

Oppgave P. = 2/x + C 6 P. + C 6 P. d) 12(1 x) 5 dx = 12u 5 1/( 1) du = 2u 6 + C = 2(1 x) 6 + C 6 P. Oppgave P. Løsning MET 86 Matematikk for siviløkonomer Innleveringsfrist 5. mars 9 kl Vi benytter maksimal score 6p på hver deloppgave og 44p totalt, og grensen for å bestå er ca 86p. Du kan selv fylle ut tabellen

Detaljer

Løsning MET Matematikk Dato 03. juni 2016 kl

Løsning MET Matematikk Dato 03. juni 2016 kl Løsning MET 803 Matematikk Dato 03. jni 206 kl 0900-400 Oppgave. (a) Vi løser det lineære sstemet for s 8 ved Gass-eliminasjon: 6 3 3 3 6 3 3 2 2 0 5 3 3 3 6 z 5 0 0 0 z 0 Vi ser at z er en fri variabel,

Detaljer

MET Matematikk for siviløkonomer

MET Matematikk for siviløkonomer SENSORVEILEDNING - Fagoppgave MET 804 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 28.02.209 Kl. 09:00 Innlevering: 07.03.209 Kl. 2:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven.

Detaljer

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: Kl. 09:00 Innlevering: Kl. 14:00

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: Kl. 09:00 Innlevering: Kl. 14:00 SENSORVEILEDNING MET 11803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09:00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave 1 Finn

Detaljer

Løsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 3719 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar Oppgave 1. (A) Vi leser av at

Løsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 3719 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar Oppgave 1. (A) Vi leser av at Løsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 379 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar 05 Oppgave. (A) Vi leser av at A = 3 5, B = ( 0 5 ), C = 0 5 9 og har dermed at π x = Ax + BT =

Detaljer

ELE Matematikk valgfag

ELE Matematikk valgfag SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen ELE 3711 Matematikk valgfag Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 11.06.018 Kl. 0:00 Innlevering: 11.06.018 Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven.

Detaljer

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00 SENSORVEILEDNING MET 803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 9.04.05 Kl. 09:00 Innlevering: 9.04.05 Kl. 4:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave Beregn følgende

Detaljer

Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005

Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 3, onsdag 3. november 5 Del Oppgave Funksjonen f(x) er

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Lørdag 25. Mai 29. Tid for eksamen: :5 4:5. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte

Detaljer

Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(

Detaljer

Høyskolen i Buskerud. fx ( ) x x 2 = x 1. c) Løs ulikheten ( x 3) ( x + 1)

Høyskolen i Buskerud. fx ( ) x x 2 = x 1. c) Løs ulikheten ( x 3) ( x + 1) Høyskolen i Buskerud Eksamen i matematikk. års grunnutdanning Mandag den. desember 00 OPPGVE. Deriver funksjonene a) f ( ) 5 + -- f ( ) 5 + -- 5 + -- b) f ( ) f ( ) ---------- ----------------------------------------

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Bøkene B (læreboken): Tor Gulliksen og Arne Hole, Matematikk i Praksis, 5. utgave. K (kompendium): Amir M. Hashemi, Brukerkurs i matematikk MAT, høsten. Oppsummering

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B. Eksamen 28. mai 2016 Løsningsforslag. Oppgave 1

MA0002 Brukerkurs i matematikk B. Eksamen 28. mai 2016 Løsningsforslag. Oppgave 1 MA000 Brukerkurs i matematikk B Eksamen 8. mai 06 Løsningsforslag Oppgave a) Viser at B = A ved å vise at AB = BA = I. Nedenfor er matrisemultiplikasjonen AB vist (du må vise at BA gir det samme). ( )

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag 5..7 EKSAMEN Løsningsforslag Emnekode: ITD5 Dato:. desember 7 Hjelpemidler: - To A-ark med valgfritt innhold på begge sider. - Formelhefte. - Kalkulator som deles ut samtidig med oppgaven. Emnenavn: Matematikk

Detaljer

Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2,

Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, 201. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Repetisjonsoppgaver MATEMATIKK 1 REA1141 og REA1141F Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 Denne oppgaven har forholdsvis enkle derivasjoner,

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c)

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c) Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 204 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Faktor. Eksamen høst 2005 SØK 1001- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto

Faktor. Eksamen høst 2005 SØK 1001- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto Faktor -en eksamensavis utgitt av Pareto Eksamen høst 005 SØK 00- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr : OBS!! Dette er en eksamensbevarelse, og ikke en fasit. Besvarelsene er uten endringer

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

EKSAMEN. Ingeniør- og Fleksibel ingeniørutdanning.

EKSAMEN. Ingeniør- og Fleksibel ingeniørutdanning. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Matematikk. EMNENUMMER: REA42/REA42F EKSAMENSDATO: Mandag 9. august 2 KLASSE: Ingeniør- og Fleksibel ingeniørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGANSVARLIG: Hans Petter Hornæs

Detaljer

1 OPPGAVE 2 OPPGAVE. a) Hva blir kontobeløpet den 2. januar 2040? b) Hvor mye penger blir det i pengeskapet den 2. januar 2040?

1 OPPGAVE 2 OPPGAVE. a) Hva blir kontobeløpet den 2. januar 2040? b) Hvor mye penger blir det i pengeskapet den 2. januar 2040? OPPGAVE Den. januar 0 satte Ola Normann 00 tusen kroner på en bankkonto med faste renter 3% per år. Han planlegger å ta ut halvparten av rentebeløpet den. januar hvert år, og å legge kontantene til et

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

Eksamen i ELE Matematikk valgfag Torsdag 18. mai Oppgave 1

Eksamen i ELE Matematikk valgfag Torsdag 18. mai Oppgave 1 Eksamen i ELE79 - Matematikk valgfag Torsdag 8. mai 07 LØSNINGFORSLAG Oppgave (a) Den utvidede matrisen til likningssystemet er 6 Gausseliminasjon: ganger rad I legges til rad II: 0 0 Rad I trekkes fra

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07 Løsningsforslag til eksamen i MAT H7 DEL. (3 poeng Hva er den partiellderiverte f y når f(x, y, z = xeyz? xze yz e yz xe yz e yz + xze yz e yz + xze yz + xye yz Riktig svar: a xze yz Begrunnelse: Deriver

Detaljer

Fasit MAT102 juni 2016

Fasit MAT102 juni 2016 Fasit MAT02 juni 206. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 6 A = 2 7 Svar: λ = 8 og ( ) x = y y ( ) /2, λ = 5 og ( ) x = y y ( ) for alle y 0. (b) Finn den generelle løsningen på systemet

Detaljer

Handelshøyskolen BI Eksamen i Met Matematikk for økonomer kl til Løsninger

Handelshøyskolen BI Eksamen i Met Matematikk for økonomer kl til Løsninger Handelshøyskolen BI Eksamen i Met 91001 Matematikk for økonomer..1 00 kl 09.00 til 1.00 Løsninger OPPGAVE 0.1 Vi skal derivere disse funksjonene a) b) f( x) 3x 8 + 3x f ( x) x 8 1 + 3 x x 9 + 6x fx ( )

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002 Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5 Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /5-5/5 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no May, 009 Oppgave 5.0.a Ser at f(x, y = (, 3, og g(x, y = (x, y. g(x, y = 0 hvis og bare hvis x = y = 0, og dette er ikke kompatibelt

Detaljer

Oppsummering matematikkdel

Oppsummering matematikkdel Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 6, 2010 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 6, 2010 1 / 23 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er

Detaljer

4 ( ( ( / ) 2 ( ( ( / ) 2 ( ( / 45 % + 25 ( = 4 25 % + 35 / + 35 ( = 2 25 % + 5 / 5 ( =

4 ( ( ( / ) 2 ( ( ( / ) 2 ( ( / 45 % + 25 ( = 4 25 % + 35 / + 35 ( = 2 25 % + 5 / 5 ( = MA Brukerkurs i matematikk B Eksamen 8. mai 6 Løsningsforslag Oppgave a) Viser at! # $ ved å vise at #!!# ' (. Nedenfor er matrisemultiplikasjonen #! vist (du må vise at!# gir det samme). ( + + + / ( +

Detaljer

Innlevering i matematikk Obligatorisk innlevering nr. 4 Innleveringsfrist: 21. januar 2010 kl Antall oppgaver: 4.

Innlevering i matematikk Obligatorisk innlevering nr. 4 Innleveringsfrist: 21. januar 2010 kl Antall oppgaver: 4. Innlevering i matematikk Obligatorisk innlevering nr. 4 Innleveringsfrist: 1. januar 1 kl. 14. Antall oppgaver: 4 Løsningsforslag Oppgave 1 a = [3, 1, ], b = [, 4, 7] og c = [ 4, 1, ]. a) a = 3 + ( 1)

Detaljer

Matematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag

Matematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon

Detaljer

Fasit til eksamen i emnet MAT102 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 21.september 2015

Fasit til eksamen i emnet MAT102 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 21.september 2015 Fasit til eksamen i emnet MAT02 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 2.september 205 Fasit. (a) Løs ligningssystemene. i) 5x + 7y = 4 3x + 2y = ii) 3x + 4y + z = 2 2x + 3y + 3z = 7 Svar: i) x = 85/, y =

Detaljer

Oppsummering matematikkdel

Oppsummering matematikkdel Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 8, 2009 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 8, 2009 1 / 22 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er

Detaljer

Oppsummering matematikkdel

Oppsummering matematikkdel Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 9, 2011 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 9, 2011 1 / 25 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er

Detaljer

Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014

Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014 Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014 ORDINÆR EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 7 sider (inkludert

Detaljer

Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN

Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN Emnekode: MA 40 Emnenavn: Analyse Dato: 9. desember 999 Varighet: 09.00-5.00 Antall sider inklusivt forside: Tillatte hjelpemidler: Merknader: 2 Alle, også

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 016 Løsningsforslag Øving 1 Kapittel 7.1: Substitusjon Teorem 1. Hvis u = g() så er f(g())g

Detaljer

Nicolai Kristen Solheim

Nicolai Kristen Solheim Oppgave 1. 1a) 1, 0, 2, sin 5 4cos sin 54cos sin 8 sin cos cos 54cos 8 sin cos 5cos 4cos 8sin cos 5cos 4cos Dersom vi plotter grafen for vil vi se hvor vokser og avtar. 1 Fra grafen for ser vi følgende

Detaljer

Prøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag

Prøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan

Detaljer

Oppgavesettet er på 3 sider eks. forside, og inneholder 12 deloppgaver: 1abc, 2, 3, 4abc, 5ab, 6ab.

Oppgavesettet er på 3 sider eks. forside, og inneholder 12 deloppgaver: 1abc, 2, 3, 4abc, 5ab, 6ab. EKSAMENSOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-0001 Brukerkurs i matematikk. Dato : tirsdag 4. desember 2012. Tid : 09.00-13.00. Sted: : Åsgårdvegen 9. Tillatte hjelpemidler : Alle trykte og skrevne.

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA405 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 3..9: Vi starter med å finne de kritiske punktene. De deriverte blir T x (x, y) = ( x xy)e x y T y (x, y) = ( y xy)e x y, slik at de kritiske

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M100 Våren 2002

Løsningsforslag Eksamen M100 Våren 2002 Løsningsforslag Eksamen M00 Våren 00 Oppgave Evaluerer grensen cos( ) 0 ( sin( ) ) 0 6 0 6 5 0 sin( ) 0 sin( ) = Har brukt l Hôpitals regel (derivert teller og nevner hver for seg) i første og tredje overgang.

Detaljer

Institutt for Samfunnsøkonomi

Institutt for Samfunnsøkonomi Institutt for Samfunnsøkonomi Løsninger i: ELE 379 Matematikk valgfag Dato: 6.6., 9: 4: Tillatte hjelpemidler: Alle hjelpemidler + Eksamenskalkulator: TEXAS INSTRUMENTS BA II Plus TM Innføringsark: Ruter

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03

Løsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03 Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(

Detaljer

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Prøve i Matte 1 BYFE DAFE 1 Dato: 3. mars 216 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 Gitt matrisene A = [ 8 3 6 2 ] [ og

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato. desember 6 Tidspunkt 9. -. Antall oppgaver Vedlegg Tillatte hjelpemidler Ingen Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave Vi løser likningene ved

Detaljer

f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.

f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >. MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11 Fasit til utvalgte oppgaver MAT uka 5/-9/ Øyvind Ryan oyvindry@ifi.uio.no) November Oppgave 9.. Vi skriver 5x 5 x )x ) A x B x og ser at vi må løse likningene Ax ) Bx ) x )x ) A B 5 A B 5. A B)x A B x

Detaljer

1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = 2 1 A =

1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = 2 1 A = Fasit MAT102 juni 2017 Oppgave 1 1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 1 2 A = 2 1 Løsning: Egenverdiene er røttene til det karakteristiske polynom gitt ved determinanten av matrisen (

Detaljer

Oppsummering matematikkdel ECON 2200

Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke 7. mai 2008 1 Innledning En rask oppsummering av hele kurset vil ikke kunne dekke alt vi har gjennomgått. Men alt er pensum, selv om det ikke blir

Detaljer

I et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x Y = ax + b:

I et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x Y = ax + b: OPPGAVE I et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x 7 74 546 y 48 6 45 a) Plott Y ln y mot X ln x i et rettvinklet koordinatsystem. ) Finn en lineær sammenheng mellom

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)

Detaljer

Institutt for samfunnsøkonomi. Eksamensdato: , kl Tillatte hjelpemidler:

Institutt for samfunnsøkonomi. Eksamensdato: , kl Tillatte hjelpemidler: Institutt for samfunnsøkonomi Flervalgseksamen i: MET 2403 Matematikk Eksamensdato: 20.2.07, kl 09.00-2.00 Tillatte hjelpemidler: Innføringsark: Alle Svarark Totalt antall sider: 7 Antall vedlegg: (eksempel

Detaljer

Oppgaveløsninger for "Matematikk for økonomer - kort og godt".

Oppgaveløsninger for Matematikk for økonomer - kort og godt. Oppgaveløsninger for "Matematikk for økonomer - kort og godt". Kapittel 1 Oppgave 1.1 a) (x 2 9x 12)(3 3x) =3x 2 27x 36 3x 3 +27x 2 +36x = 3x 3 +30x 2 +9x 36. b) (2x y) 2 +2(x+y)(x y)+(x+4y) 2 =4x 2 4xy+y

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8 Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)

Detaljer

Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006

Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006 Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 006 Oppgave I hele oppgaven bruker vi I = 0 0 0 0. 0 0 a) Matrisen A har størrelse og B har størrelse slik at matriseproduktet A B er en

Detaljer

Høgskolen i Bodø Matematikk for økonomer 16. desember 2000 Løsninger

Høgskolen i Bodø Matematikk for økonomer 16. desember 2000 Løsninger Høgskolen i Bodø Matematikk for økonomer 6. desember 2 Løsninger OPPGAVE. a) Deriver funksjonen f( x) x 8 + 2x 4 + 7x 4 + 7 f ( x) 4x 8 + 4x 2 + + 28x 3 + 28x 3 8x 4 8x 6 b) Deriver funksjonen f( x) 7x

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bokmål Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 17. desember 2007, kl. 09-14. Oppgave 1 Gitt f(x) = x + x 2 1, 1 x 1. a) Finn og

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsningsforslag Øving 04 30 For å vise at f er en injektiv one-to-one funksjon, ser vi på den deriverte,

Detaljer

Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Oppgave 4

Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Oppgave 4 Kontrollprøve 1 i MET1180 1 - Matematikk for siviløkonomer 9.-16. oktober 2018 LØSNINGSFORSLG Oppgave 1 (a) Vi setter u = x 20 og får andregradslikningen u 2 20u = 21. Vi fullfører kvadratet: (u 10) 2

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2012

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2012 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 202 Løsningsforslag til teknostartøving a) Denisjonsmengden til f() = 3 er D f (, ), som gir at V f (,

Detaljer

MAT feb feb feb MAT Våren 2010

MAT feb feb feb MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Forelesning Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom de vanlige analysene vi gjør for

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Løsningsforslag for MAT-0001, desember 2009, UiT

Løsningsforslag for MAT-0001, desember 2009, UiT Løsningsforslag for MAT-1, desember 29, UiT av Kristian Hindberg Oppgave 1 a) Bestem grenseverdien e x 1 x lim x x 2 e x 1 x lim x x 2 = lim x e x 1 2x e = x lim x 2 = 1 2 b) Finn det ubestemte integralet

Detaljer

ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger

ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger University of Oslo / Department of Economics / Nils Framstad 9. mars 2011 ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger Revisjoner 9. mars 2011: Nye oppgavesett til 15. og 22. mars. Har benyttet sjansen

Detaljer

Deriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker.

Deriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker. Heldagsprøve i matematikk, 1. desember 006 Forkurs for Ingeniørutdanningen ved HiO, 006/07 Antall oppgaver: Antall timer: 5 timer fra klokken 0900 til klokken 100. Hjelpemidler: Kalkulator og Formelsamling

Detaljer

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1 EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk

Detaljer

Hjelpemidler på del 2 Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Hjelpemidler på del 2 Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 11. juni 21. Tid for eksamen: 14.3 17.3. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT111 Kalkulus

Detaljer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Lsningsforslag ved Klara Hveberg Lsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 8 I kapittel 8 er integrasjon og integrasjonsteknikker det store tema

Lsningsforslag ved Klara Hveberg Lsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 8 I kapittel 8 er integrasjon og integrasjonsteknikker det store tema Lsningsforslag til utvalgte ogaver i kaittel 8 I kaittel 8 er integrasjon og integrasjonsteknikker det store temaet, og her er det mange regneogaver som gir deg anledning til a trene inn disse teknikkene.

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44. Oppgaver til seminaret 4/11

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44. Oppgaver til seminaret 4/11 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 44 Avsn. 5.5: 19, 41, 47 Avsn. 5.6: 9, 17, 47 Avsn. 5.7: 15 På settet: S.1, S.2. Oppgaver til seminaret 4/11 Oppgaver til gruppene uke 45 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn.

Detaljer

Løsningsforslag MAT102 Vår 2018

Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT102 Tirsdag 12 juni 2018, kl 0900-1400 Oppgavesettet har fem oppgaver Hver deloppgave

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA mai 2006

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA mai 2006 Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-3. mai 2006 eksamensoppgaver.org September 21, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Oppsummering matematikkdel

Oppsummering matematikkdel Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 5, 2014 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 5, 2014 1 / 25 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er

Detaljer

EKSAMEN. Hans Petter Hornæs og Britt Rystad

EKSAMEN. Hans Petter Hornæs og Britt Rystad KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk. FAGNUMMER: F74A EKSAMENSDATO: Mandag. august 2 SENSURFRIST:. september 2 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 4.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs og

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag 7 desember EKSAMEN Løsningsorslag Emnekode: ITD5 Dato: 6 desember Hjelpemidler: Emne: Matematikk ørste deleksamen Eksamenstid: 9 Faglærer: To A-ark med valgritt innhold på begge sider Formelhete Kalkulator

Detaljer

Eivind Eriksen. Matematikk for økonomi og finans

Eivind Eriksen. Matematikk for økonomi og finans Eivind Eriksen Matematikk for økonomi og finans # CAPPELEN DAMM AS 2016 ISBN 978-82-02-47417-1 1. utgave, 1. opplag 2016 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 24 Løsningsforslag Øving 9 4.3.4 Vi bruker Taylor-polynom til å løse denne oppgaven. Taylor-polynomet (Maclaurinpolynomet)

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. e 2x + x 2 ( e 2x) = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x

Høgskolen i Oslo og Akershus. e 2x + x 2 ( e 2x) = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x Oppgåve a) i) f(x) x e x f (x) ( x ) e x + x ( e x) xe x + x e x (x) xe x + x e x xe x ( + x) ii) g(x) ln(sin x) + x g (x) sin x (sin x) + x cos x sin x + x tan x + x b) i) Sidan både teljar og nemnar

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Matematikk for økonomer Del 2

Matematikk for økonomer Del 2 Matematikk for økonomer Del 2 Formelark Dokument type: Formelark Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 17 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere rett til bruk av materialet. Det innebærer at

Detaljer

(Noter at studenter som innser at problemet er symmetrisk for x og y og dermed

(Noter at studenter som innser at problemet er symmetrisk for x og y og dermed Oppgave a) f (x) = (3x 2)x og f (x) = 6x 2 b) g (y) = e 3y2 y og g (y) = e 3y2 (6y 2 + ) c) F x(x, y) = (x+y)y ln(x+y) xy (x+y)(ln(x+y)) 2 Det gir, etter en del regning: og F y(x, y) = (x+y)x ln(x+y) xy

Detaljer