MA forelesning

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "MA0003-8. forelesning"

Transkript

1 Implisitt derivasjon og 31. august 2009

2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2

3 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2

4 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2

5 En implisitt ligning i to variable er en ligning av to variable der den en variablen ikke kan utrykkes ved den andre. Ett eksempel er y 2 + x 2 = 1 som beskriver en sirkel. Implisitte ligninger beskriver presis som eksplisitte ligninger kurver i planet. Kan vi derivere eksplisitte ligninger og finne stigningstall til tangenter for disse kurvene? Ja!

6 En implisitt ligning i to variable er en ligning av to variable der den en variablen ikke kan utrykkes ved den andre. Ett eksempel er y 2 + x 2 = 1 som beskriver en sirkel. Implisitte ligninger beskriver presis som eksplisitte ligninger kurver i planet. Kan vi derivere eksplisitte ligninger og finne stigningstall til tangenter for disse kurvene? Ja!

7 En implisitt ligning i to variable er en ligning av to variable der den en variablen ikke kan utrykkes ved den andre. Ett eksempel er y 2 + x 2 = 1 som beskriver en sirkel. Implisitte ligninger beskriver presis som eksplisitte ligninger kurver i planet. Kan vi derivere eksplisitte ligninger og finne stigningstall til tangenter for disse kurvene? Ja!

8 En implisitt ligning i to variable er en ligning av to variable der den en variablen ikke kan utrykkes ved den andre. Ett eksempel er y 2 + x 2 = 1 som beskriver en sirkel. Implisitte ligninger beskriver presis som eksplisitte ligninger kurver i planet. Kan vi derivere eksplisitte ligninger og finne stigningstall til tangenter for disse kurvene? Ja!

9 En implisitt ligning i to variable er en ligning av to variable der den en variablen ikke kan utrykkes ved den andre. Ett eksempel er y 2 + x 2 = 1 som beskriver en sirkel. Implisitte ligninger beskriver presis som eksplisitte ligninger kurver i planet. Kan vi derivere eksplisitte ligninger og finne stigningstall til tangenter for disse kurvene? Ja!

10 En implisitt ligning i to variable er en ligning av to variable der den en variablen ikke kan utrykkes ved den andre. Ett eksempel er y 2 + x 2 = 1 som beskriver en sirkel. Implisitte ligninger beskriver presis som eksplisitte ligninger kurver i planet. Kan vi derivere eksplisitte ligninger og finne stigningstall til tangenter for disse kurvene? Ja!

11 Implisitt derivasjon Anta en implisitt ligning er gitt ved variablene x og y. Vi kan derivere ligningen m.h.p. x ved å derivere høyre og venstresiden hver for seg. I derivasjonen må vi huske på at variablen y avhenger av x. For dette trenger vi ofte kjerneregelen.

12 Implisitt derivasjon Anta en implisitt ligning er gitt ved variablene x og y. Vi kan derivere ligningen m.h.p. x ved å derivere høyre og venstresiden hver for seg. I derivasjonen må vi huske på at variablen y avhenger av x. For dette trenger vi ofte kjerneregelen.

13 Implisitt derivasjon Anta en implisitt ligning er gitt ved variablene x og y. Vi kan derivere ligningen m.h.p. x ved å derivere høyre og venstresiden hver for seg. I derivasjonen må vi huske på at variablen y avhenger av x. For dette trenger vi ofte kjerneregelen.

14 Implisitt derivasjon Anta en implisitt ligning er gitt ved variablene x og y. Vi kan derivere ligningen m.h.p. x ved å derivere høyre og venstresiden hver for seg. I derivasjonen må vi huske på at variablen y avhenger av x. For dette trenger vi ofte kjerneregelen.

15 Implisitt derivasjon Anta en implisitt ligning er gitt ved variablene x og y. Vi kan derivere ligningen m.h.p. x ved å derivere høyre og venstresiden hver for seg. I derivasjonen må vi huske på at variablen y avhenger av x. For dette trenger vi ofte kjerneregelen.

16 Implisitt derivasjon - eksempler Deriver xy = 1 Deriver x 2 + y 2 = 1 og finn et uttrykk for dy dx Deriver xy 3 4x 3 = 0 og finn et uttrykk for dy dx Finn ligningen for tangenten gjennom punktet (1, 3) på sirkelen x 2 + y 2 = 10 Finn horisontale og vertikale tangenter for 2x 2 + y 2 = 1. Hva er maksimum og minimum av x og y?

17 Implisitt derivasjon - eksempler Deriver xy = 1 Deriver x 2 + y 2 = 1 og finn et uttrykk for dy dx Deriver xy 3 4x 3 = 0 og finn et uttrykk for dy dx Finn ligningen for tangenten gjennom punktet (1, 3) på sirkelen x 2 + y 2 = 10 Finn horisontale og vertikale tangenter for 2x 2 + y 2 = 1. Hva er maksimum og minimum av x og y?

18 Implisitt derivasjon - eksempler Deriver xy = 1 Deriver x 2 + y 2 = 1 og finn et uttrykk for dy dx Deriver xy 3 4x 3 = 0 og finn et uttrykk for dy dx Finn ligningen for tangenten gjennom punktet (1, 3) på sirkelen x 2 + y 2 = 10 Finn horisontale og vertikale tangenter for 2x 2 + y 2 = 1. Hva er maksimum og minimum av x og y?

19 Implisitt derivasjon - eksempler Deriver xy = 1 Deriver x 2 + y 2 = 1 og finn et uttrykk for dy dx Deriver xy 3 4x 3 = 0 og finn et uttrykk for dy dx Finn ligningen for tangenten gjennom punktet (1, 3) på sirkelen x 2 + y 2 = 10 Finn horisontale og vertikale tangenter for 2x 2 + y 2 = 1. Hva er maksimum og minimum av x og y?

20 Implisitt derivasjon - eksempler Deriver xy = 1 Deriver x 2 + y 2 = 1 og finn et uttrykk for dy dx Deriver xy 3 4x 3 = 0 og finn et uttrykk for dy dx Finn ligningen for tangenten gjennom punktet (1, 3) på sirkelen x 2 + y 2 = 10 Finn horisontale og vertikale tangenter for 2x 2 + y 2 = 1. Hva er maksimum og minimum av x og y?

21 Implisitt derivasjon - eksempler Deriver xy = 1 Deriver x 2 + y 2 = 1 og finn et uttrykk for dy dx Deriver xy 3 4x 3 = 0 og finn et uttrykk for dy dx Finn ligningen for tangenten gjennom punktet (1, 3) på sirkelen x 2 + y 2 = 10 Finn horisontale og vertikale tangenter for 2x 2 + y 2 = 1. Hva er maksimum og minimum av x og y?

22 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2

23 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2

24 Differensialligning Implisitt derivasjon En 1.ordens differensialligning er en ligning der den den deriverte y = dy dx er gitt eksplisitt ved variablene x og y. y = G(x, y) En løsning av differensialligningen er en ligning i x og y som tilfredsstiller differensialligningen når uttrykkene for x, y og y innsettes.

25 Differensialligning Implisitt derivasjon En 1.ordens differensialligning er en ligning der den den deriverte y = dy dx er gitt eksplisitt ved variablene x og y. y = G(x, y) En løsning av differensialligningen er en ligning i x og y som tilfredsstiller differensialligningen når uttrykkene for x, y og y innsettes.

26 Differensialligning Implisitt derivasjon En 1.ordens differensialligning er en ligning der den den deriverte y = dy dx er gitt eksplisitt ved variablene x og y. y = G(x, y) En løsning av differensialligningen er en ligning i x og y som tilfredsstiller differensialligningen når uttrykkene for x, y og y innsettes.

27 Eksempler Implisitt derivasjon y = x er en løsning av y = 2x Er y = ex x en løsning av y + xy = e x? Er y 2 + x 2 = C en løsning av y = x y? Det store spørsmålet er: Hvordan finne løsninger til en gitt differensialligning?

28 Eksempler Implisitt derivasjon y = x er en løsning av y = 2x Er y = ex x en løsning av y + xy = e x? Er y 2 + x 2 = C en løsning av y = x y? Det store spørsmålet er: Hvordan finne løsninger til en gitt differensialligning?

29 Eksempler Implisitt derivasjon y = x er en løsning av y = 2x Er y = ex x en løsning av y + xy = e x? Er y 2 + x 2 = C en løsning av y = x y? Det store spørsmålet er: Hvordan finne løsninger til en gitt differensialligning?

30 Eksempler Implisitt derivasjon y = x er en løsning av y = 2x Er y = ex x en løsning av y + xy = e x? Er y 2 + x 2 = C en løsning av y = x y? Det store spørsmålet er: Hvordan finne løsninger til en gitt differensialligning?

31 Eksempler Implisitt derivasjon y = x er en løsning av y = 2x Er y = ex x en løsning av y + xy = e x? Er y 2 + x 2 = C en løsning av y = x y? Det store spørsmålet er: Hvordan finne løsninger til en gitt differensialligning?

32 Grafisk illustrasjon av diffligninger Se på diffligningen y = x y. Avsett i ethvert punkt (x, y) et lite linjesegment med stigningstall x y. Løsninger til vor diff.ligning er kurver som tangerer disse segmentene! D.v.s. konsentriske sirkler.

33 Grafisk illustrasjon av diffligninger Se på diffligningen y = x y. Avsett i ethvert punkt (x, y) et lite linjesegment med stigningstall x y. Løsninger til vor diff.ligning er kurver som tangerer disse segmentene! D.v.s. konsentriske sirkler.

34 Grafisk illustrasjon av diffligninger Se på diffligningen y = x y. Avsett i ethvert punkt (x, y) et lite linjesegment med stigningstall x y. Løsninger til vor diff.ligning er kurver som tangerer disse segmentene! D.v.s. konsentriske sirkler.

35 Grafisk illustrasjon av diffligninger Se på diffligningen y = x y. Avsett i ethvert punkt (x, y) et lite linjesegment med stigningstall x y. Løsninger til vor diff.ligning er kurver som tangerer disse segmentene! D.v.s. konsentriske sirkler.

36 Grafisk illustrasjon av diffligninger Se på diffligningen y = x y. Avsett i ethvert punkt (x, y) et lite linjesegment med stigningstall x y. Løsninger til vor diff.ligning er kurver som tangerer disse segmentene! D.v.s. konsentriske sirkler.

37 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2

38 Den enkleste form for differensialligninger er av formen y = f (x). D.v.s. y avhenger bare av x. Det er enkelt å se at enhver funksjon y = F(x) der F (x) = f (x) vil løse ligningen! Det dreier seg med andre ord om å finne en F slik at F = f. Dette kalles antiderivasjon og vi skriver: F(x) = f (x) dx

39 Den enkleste form for differensialligninger er av formen y = f (x). D.v.s. y avhenger bare av x. Det er enkelt å se at enhver funksjon y = F(x) der F (x) = f (x) vil løse ligningen! Det dreier seg med andre ord om å finne en F slik at F = f. Dette kalles antiderivasjon og vi skriver: F(x) = f (x) dx

40 Den enkleste form for differensialligninger er av formen y = f (x). D.v.s. y avhenger bare av x. Det er enkelt å se at enhver funksjon y = F(x) der F (x) = f (x) vil løse ligningen! Det dreier seg med andre ord om å finne en F slik at F = f. Dette kalles antiderivasjon og vi skriver: F(x) = f (x) dx

41 Den enkleste form for differensialligninger er av formen y = f (x). D.v.s. y avhenger bare av x. Det er enkelt å se at enhver funksjon y = F(x) der F (x) = f (x) vil løse ligningen! Det dreier seg med andre ord om å finne en F slik at F = f. Dette kalles antiderivasjon og vi skriver: F(x) = f (x) dx

42 Den enkleste form for differensialligninger er av formen y = f (x). D.v.s. y avhenger bare av x. Det er enkelt å se at enhver funksjon y = F(x) der F (x) = f (x) vil løse ligningen! Det dreier seg med andre ord om å finne en F slik at F = f. Dette kalles antiderivasjon og vi skriver: F(x) = f (x) dx

43 Den enkleste form for differensialligninger er av formen y = f (x). D.v.s. y avhenger bare av x. Det er enkelt å se at enhver funksjon y = F(x) der F (x) = f (x) vil løse ligningen! Det dreier seg med andre ord om å finne en F slik at F = f. Dette kalles antiderivasjon og vi skriver: F(x) = f (x) dx

44 Egenskaper til f (x) dx Den antideriverte er ikke entydig men avhenger av en additiv konstant! ( d dx ) f (x) dx = f (x) Alle kontinuerlige f (x) har antideriverte. Å finne antideriverte er mye vanskeligere enn å derivere - og ofte umulig.

45 Egenskaper til f (x) dx Den antideriverte er ikke entydig men avhenger av en additiv konstant! ( d dx ) f (x) dx = f (x) Alle kontinuerlige f (x) har antideriverte. Å finne antideriverte er mye vanskeligere enn å derivere - og ofte umulig.

46 Egenskaper til f (x) dx Den antideriverte er ikke entydig men avhenger av en additiv konstant! ( d dx ) f (x) dx = f (x) Alle kontinuerlige f (x) har antideriverte. Å finne antideriverte er mye vanskeligere enn å derivere - og ofte umulig.

47 Egenskaper til f (x) dx Den antideriverte er ikke entydig men avhenger av en additiv konstant! ( d dx ) f (x) dx = f (x) Alle kontinuerlige f (x) har antideriverte. Å finne antideriverte er mye vanskeligere enn å derivere - og ofte umulig.

48 Egenskaper til f (x) dx Den antideriverte er ikke entydig men avhenger av en additiv konstant! ( d dx ) f (x) dx = f (x) Alle kontinuerlige f (x) har antideriverte. Å finne antideriverte er mye vanskeligere enn å derivere - og ofte umulig.

49 Noen antideriverte Implisitt derivasjon x a dx = 1 a + 1 x a+1 + C, a 1 1 dx = ln x + C, x > 0 x e x dx = e x + C

50 Noen antideriverte Implisitt derivasjon x a dx = 1 a + 1 x a+1 + C, a 1 1 dx = ln x + C, x > 0 x e x dx = e x + C

51 Noen antideriverte Implisitt derivasjon x a dx = 1 a + 1 x a+1 + C, a 1 1 dx = ln x + C, x > 0 x e x dx = e x + C

52 Noen antideriverte Implisitt derivasjon x a dx = 1 a + 1 x a+1 + C, a 1 1 dx = ln x + C, x > 0 x e x dx = e x + C

53 Hva sier konstanten C? Ta eksemplet y = x der løsningen er y = 1 2 x 2 + C. En løsning må i alle punkt (x, y) ha en tangent med stigningstall x. Avsett i alle (x, y) et lite linjestykke med dette stigningstallet. Enhver Løsningskurve har en slik tangent i ethvert punkt. Ved å velge C plukker vi ut en bestemt av disse.

54 Hva sier konstanten C? Ta eksemplet y = x der løsningen er y = 1 2 x 2 + C. En løsning må i alle punkt (x, y) ha en tangent med stigningstall x. Avsett i alle (x, y) et lite linjestykke med dette stigningstallet. Enhver Løsningskurve har en slik tangent i ethvert punkt. Ved å velge C plukker vi ut en bestemt av disse.

55 Hva sier konstanten C? Ta eksemplet y = x der løsningen er y = 1 2 x 2 + C. En løsning må i alle punkt (x, y) ha en tangent med stigningstall x. Avsett i alle (x, y) et lite linjestykke med dette stigningstallet. Enhver Løsningskurve har en slik tangent i ethvert punkt. Ved å velge C plukker vi ut en bestemt av disse.

56 Hva sier konstanten C? Ta eksemplet y = x der løsningen er y = 1 2 x 2 + C. En løsning må i alle punkt (x, y) ha en tangent med stigningstall x. Avsett i alle (x, y) et lite linjestykke med dette stigningstallet. Enhver Løsningskurve har en slik tangent i ethvert punkt. Ved å velge C plukker vi ut en bestemt av disse.

57 Hva sier konstanten C? Ta eksemplet y = x der løsningen er y = 1 2 x 2 + C. En løsning må i alle punkt (x, y) ha en tangent med stigningstall x. Avsett i alle (x, y) et lite linjestykke med dette stigningstallet. Enhver Løsningskurve har en slik tangent i ethvert punkt. Ved å velge C plukker vi ut en bestemt av disse.

58 Hva sier konstanten C? Ta eksemplet y = x der løsningen er y = 1 2 x 2 + C. En løsning må i alle punkt (x, y) ha en tangent med stigningstall x. Avsett i alle (x, y) et lite linjestykke med dette stigningstallet. Enhver Løsningskurve har en slik tangent i ethvert punkt. Ved å velge C plukker vi ut en bestemt av disse.

59 Initialverdiproblemer Implisitt derivasjon Løsningen av y = f (x) er som diskutert ikke entydig. Løsningen f (x) dx kalles den generelle løsningen og er en klasse av funksjoner der adskiller seg bare ved en konstant. Dersom vi i tillegg til y = f (x) krever at y(c) = b for en eller annen c har vi det vi kaller et initialverdiproblem. Da er Løsningen entydig. Betingelsen y(c) = b tillater oss å bestemme C i f (x) dx Eks: Løs initialverdiproblemet y = 1 2 x og y(4) = 3.

60 Initialverdiproblemer Implisitt derivasjon Løsningen av y = f (x) er som diskutert ikke entydig. Løsningen f (x) dx kalles den generelle løsningen og er en klasse av funksjoner der adskiller seg bare ved en konstant. Dersom vi i tillegg til y = f (x) krever at y(c) = b for en eller annen c har vi det vi kaller et initialverdiproblem. Da er Løsningen entydig. Betingelsen y(c) = b tillater oss å bestemme C i f (x) dx Eks: Løs initialverdiproblemet y = 1 2 x og y(4) = 3.

61 Initialverdiproblemer Implisitt derivasjon Løsningen av y = f (x) er som diskutert ikke entydig. Løsningen f (x) dx kalles den generelle løsningen og er en klasse av funksjoner der adskiller seg bare ved en konstant. Dersom vi i tillegg til y = f (x) krever at y(c) = b for en eller annen c har vi det vi kaller et initialverdiproblem. Da er Løsningen entydig. Betingelsen y(c) = b tillater oss å bestemme C i f (x) dx Eks: Løs initialverdiproblemet y = 1 2 x og y(4) = 3.

62 Initialverdiproblemer Implisitt derivasjon Løsningen av y = f (x) er som diskutert ikke entydig. Løsningen f (x) dx kalles den generelle løsningen og er en klasse av funksjoner der adskiller seg bare ved en konstant. Dersom vi i tillegg til y = f (x) krever at y(c) = b for en eller annen c har vi det vi kaller et initialverdiproblem. Da er Løsningen entydig. Betingelsen y(c) = b tillater oss å bestemme C i f (x) dx Eks: Løs initialverdiproblemet y = 1 2 x og y(4) = 3.

63 Initialverdiproblemer Implisitt derivasjon Løsningen av y = f (x) er som diskutert ikke entydig. Løsningen f (x) dx kalles den generelle løsningen og er en klasse av funksjoner der adskiller seg bare ved en konstant. Dersom vi i tillegg til y = f (x) krever at y(c) = b for en eller annen c har vi det vi kaller et initialverdiproblem. Da er Løsningen entydig. Betingelsen y(c) = b tillater oss å bestemme C i f (x) dx Eks: Løs initialverdiproblemet y = 1 2 x og y(4) = 3.

64 Initialverdiproblemer Implisitt derivasjon Løsningen av y = f (x) er som diskutert ikke entydig. Løsningen f (x) dx kalles den generelle løsningen og er en klasse av funksjoner der adskiller seg bare ved en konstant. Dersom vi i tillegg til y = f (x) krever at y(c) = b for en eller annen c har vi det vi kaller et initialverdiproblem. Da er Løsningen entydig. Betingelsen y(c) = b tillater oss å bestemme C i f (x) dx Eks: Løs initialverdiproblemet y = 1 2 x og y(4) = 3.

65 Initialverdiproblemer Implisitt derivasjon Løsningen av y = f (x) er som diskutert ikke entydig. Løsningen f (x) dx kalles den generelle løsningen og er en klasse av funksjoner der adskiller seg bare ved en konstant. Dersom vi i tillegg til y = f (x) krever at y(c) = b for en eller annen c har vi det vi kaller et initialverdiproblem. Da er Løsningen entydig. Betingelsen y(c) = b tillater oss å bestemme C i f (x) dx Eks: Løs initialverdiproblemet y = 1 2 x og y(4) = 3.

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.

Detaljer

Den deriverte og derivasjonsregler

Den deriverte og derivasjonsregler Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner)

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Innhold. 2 Numeriske metoder Newtons metode Eulers metode Modisert Euler... 38

Innhold. 2 Numeriske metoder Newtons metode Eulers metode Modisert Euler... 38 Innhold 1 Dierensialligninger 3 1.1 Generellt om dierensialligninger.................. 3 1.2 Antiderivasjon............................ 5 1.3 Regneregler for antideriverte..................... 7 1.4 Delvis

Detaljer

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet. MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f

Detaljer

ECON2200: Oppgaver til plenumsregninger

ECON2200: Oppgaver til plenumsregninger University of Oslo / Department of Economics / Nils Framstad, denne versjonen: π-dagen ECON2200: Oppgaver til plenumsregninger 1. plenumsregning 1. feb.: derivasjon. Oppgave 1.1 der A er en konstant. Funksjonen

Detaljer

MAT mars mars mars 2010 MAT Våren 2010

MAT mars mars mars 2010 MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag Forelesning Vi har tidligere integrert funksjoner langs x-aksen, og vi har integrert funksjoner i flere variable over begrensede områder i xy-planet. I denne forelesningen skal

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 3 8.2.1 Anta at dy = y2 y) dx a) Finn likevektspunktene til

Detaljer

Differensjalligninger av førsteorden

Differensjalligninger av førsteorden Differensjalligninger av førsteorden Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 2, 2014 Forelesning (29.10.2014): kap 7.9 og 18.3 Førsteordens ordinæredifferensjalligninger Initialverdiproblem

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 10 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 10 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Antideriverte. 2 Differensiallikninger

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA400 Matematikk, høst 203 Forelesning 2 www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2 Transcendentale funksjoner I dagens forelesning skal vi se på følgende: Den naturlige logaritmen. 2 Eksponensialfunksjoner.

Detaljer

EKSAMEN I MATEMATIKK 1000

EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 Oppgave 1 a) Finn den deriverte av disse funksjonene: f(x) = x 3 e 5x og g(x) = ln(tan(x)) + x 3. b) Finn de følgende ubestemte integralene: i) (x 3 + xe x2 ) dx og ii) cos 2

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001)

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA1) Bokmål Tirsdag 1. desember 11 Tid: 9: 1: (4 timer)

Detaljer

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4 Oppsummeringsproblemer som utgangspunkt til ekstraforelesninger i uke 48 i emnet MAT111, høsten 2008 Problem 1 Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi til å vise at x 4 1 x 1 x + 1 = 4. Problem 2

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.

Detaljer

Oppsummering matematikkdel

Oppsummering matematikkdel Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 9, 2011 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 9, 2011 1 / 25 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Vi bruker det vi har lært i 6.3 om løsning av separable differensialligninger også i noen av oppgavene fra 6.1 og 6.2 for å knytte denne løsningsteknikken

Detaljer

Oppsummering matematikkdel

Oppsummering matematikkdel Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 8, 2009 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 8, 2009 1 / 22 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er

Detaljer

Notasjon i rettingen:

Notasjon i rettingen: UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 07 Notasjon i rettingen: R = Rett R = Rett, men med liten tulle)feil

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for

Detaljer

MA oppsummering så langt

MA oppsummering så langt MA1101 - oppsummering så langt Torsdag 29. september 2005 http://www.math.ntnu.no/emner/ma1101/2005h/ MA1101- oppsummering så langt p.1/21 Pensum til semesterprøven Kapittel P Kapittel 1 Kapittel 2: avsnittene

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, øst 2013 Forelesning 7 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7 Derivasjon Denne uken skal vi begynne på tema 2 om derivasjon. I dagens forelesning skal vi se på

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B

Løsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning

Detaljer

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om 1 Eksponentielt vekst: En størrelse vokser eller avtar med en fast prosent per tidsenhet. Eulers tall e: En matematisk konstant, e=2,7 1828.. ln a gir det tallet du må opphøye Eulers tall e i for å få

Detaljer

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29 MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis

Detaljer

Faktor. Eksamen høst 2005 SØK 1001- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto

Faktor. Eksamen høst 2005 SØK 1001- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto Faktor -en eksamensavis utgitt av Pareto Eksamen høst 005 SØK 00- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr : OBS!! Dette er en eksamensbevarelse, og ikke en fasit. Besvarelsene er uten endringer

Detaljer

MAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag

MAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag MAT 1001, Høsten 009 Oblig, sforslag a) En harmonisk svingning er gitt som en sum av tre delsvingninger H(x) = cos ( π x) + cos (π (x 1)) + cos (π (x )) Skriv H(x) på formen A cos (ω(x x 0 )). siden H(x)

Detaljer

Oppsummering matematikkdel

Oppsummering matematikkdel Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 5, 2014 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 5, 2014 1 / 25 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er

Detaljer

ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger

ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger University of Oslo / Department of Economics / Nils Framstad 9. mars 2011 ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger Revisjoner 9. mars 2011: Nye oppgavesett til 15. og 22. mars. Har benyttet sjansen

Detaljer

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2,

Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, 201. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Repetisjonsoppgaver MATEMATIKK 1 REA1141 og REA1141F Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 Denne oppgaven har forholdsvis enkle derivasjoner,

Detaljer

Oppsummering matematikkdel

Oppsummering matematikkdel Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 6, 2010 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 6, 2010 1 / 23 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er

Detaljer

Oppgaver om derivasjon

Oppgaver om derivasjon Oppgaver om derivasjon Oppgave 1 Gitt funksjonen g(x) = x 3 6x 48x + 13 a) Finn g (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene,

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven

TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.

Detaljer

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1)

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1) Kapittel 3 Differensiallikninger 3.1 Første ordens lineære difflikninger Definisjon 3.1 En første ordens lineær difflikning er en likning på formen y + f(x)y = g(x) (3.1) der f og g er kjente funksjoner.

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/

Løsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/ Løsningsforslag Eksamen i MA0/MA60 Grunnkurs i analyse II 7/ 008 Oppgave y = y +, y(0) = 0 a) n n y n y = n y n + y = y y n+ 0 0 0 / / / / / 5/4 / 5/8 9/8 9/8 så Eulers metode med steglengde / gir oss

Detaljer

Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at

Detaljer

MA0003-9. forelesning

MA0003-9. forelesning 17. august 2009 Outline 1 Outline 1 Regneregler for deriverte La f og g være kontinuerlige funksjoner og c 0 cf (x) dx = c f (x) dx f (x) ± g(x) dx = f (x) dx ± g(x) dx f (cx) dx = 1 c f (u) du u=cx f

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon

Detaljer

IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer Utsatt Eksamen 8. juni 212 Eksamenstid 4 timer IR1185 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del 2 uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare

Detaljer

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36 MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)

Detaljer

Oversikt over Matematikk 1

Oversikt over Matematikk 1 1 Oversikt over Matematikk 1 Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens av ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivasjon Sekantsetningen Integrasjon Differensialligninger Kurver i planet

Detaljer

Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 25. mai 2012

Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 25. mai 2012 Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 25. mai 2012 EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (inkludert formelsamling).

Detaljer

1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = 100. y(1+2 x ) = = 2 x = y. xln2 = ln 100 y. x = 1 ln2 ln. f 1 (x) = 1 ln2 ln x

1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = 100. y(1+2 x ) = = 2 x = y. xln2 = ln 100 y. x = 1 ln2 ln. f 1 (x) = 1 ln2 ln x NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere y f(x) 00 +2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y 00 +2 x y(+2 x ) 00 2 x 00 00 y y

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning

Detaljer

Oppgaver i funksjonsdrøfting

Oppgaver i funksjonsdrøfting Oppgaver i funksjonsdrøfting To av oppgavene er merket med *. Det betyr at de er ekstra interessante. Oppgave 1 Gitt funksjonen f(x) = x + 4. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på

Detaljer

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00 SENSORVEILEDNING MET 803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 9.04.05 Kl. 09:00 Innlevering: 9.04.05 Kl. 4:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave Beregn følgende

Detaljer

Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005

Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 3, onsdag 3. november 5 Del Oppgave Funksjonen f(x) er

Detaljer

1 Mandag 22. februar 2010

1 Mandag 22. februar 2010 1 Mandag 22. februar 2010 Vi begynner med litt repetisjon fra forrige gang, med å sjekke om et vektorfelt er konservativt og dersom svaret er ja, regne ut potensialfunksjonen. Videre skal vi se på en variant

Detaljer

Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul Mai Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24.

Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul Mai Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24. Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul 24. Mai 203 Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24. mai 203 EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 5 studiepoeng

Detaljer

MAT feb feb mars 2010 MAT Våren 2010

MAT feb feb mars 2010 MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 22. februar 2010 Forelesning Vi begynner med litt repetisjon fra forrige gang, med å sjekke om et vektorfelt er konservativt og dersom svaret er ja, regne ut potensialfunksjonen.

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2 TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x

Detaljer

Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet

Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet 1 Fremdriftplan I går 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet I dag 2.7 Tangenter og derivasjon 3.1 Den deriverte til en funksjon 3.2 Derivasjonsregler 3.3 Den deriverte som endringsrate

Detaljer

Oppfriskningskurs dag 2

Oppfriskningskurs dag 2 Grafer og Oppfriskningskurs dag 2 Grafer og Steffen Junge Oppfriskningskurs i matematikk 3.-8. august 2009 Grafer og Outline 1 Grafer og Outline Grafer og 1 Grafer og Grafer og Vi ser på ligninger av to

Detaljer

Heldagsprøve R2. Våren Onsdag 6. Mai Løsningsskisser - Versjon Del 1 - Uten hjelpemidler - 3 timer. Oppgave 1.

Heldagsprøve R2. Våren Onsdag 6. Mai Løsningsskisser - Versjon Del 1 - Uten hjelpemidler - 3 timer. Oppgave 1. Heldagsprøve R Våren 015 Onsdag 6. Mai 09.00-14.00 Løsningsskisser - Versjon 1.05.15 Del 1 - Uten hjelpemidler - timer Oppgave 1 Deriver funksjonene: a) fx tanx Kjerneregel: fx tanu, u x f 1 x cos u x

Detaljer

Løsningsskisser til oppgaver i Kapittel Integrerende faktor

Løsningsskisser til oppgaver i Kapittel Integrerende faktor Løsningsskisser til oppgaver i Kapittel 6.4 - Integrerende faktor Teori: Differensialligninger på formen y fx y gx (lineære i y av første orden) er ikke separable hvis ikke fx og gx er tallkonstanter.

Detaljer

Mat503: Regneøving 3 - løsningsforslag

Mat503: Regneøving 3 - løsningsforslag Mat503: Regneøving 3 - løsningsforslag Oppgave a) Oppgaven sier at Fredrik stoler på erfaringen sin med positive ele tall. Fredrik ar sannsynligvis sett at dersom an ar et elt tall k >, vil den oppgitte

Detaljer

e x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2

e x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),

Detaljer

Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014

Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014 Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014 ORDINÆR EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 7 sider (inkludert

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111 Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse

Detaljer

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Bøkene B (læreboken): Tor Gulliksen og Arne Hole, Matematikk i Praksis, 5. utgave. K (kompendium): Amir M. Hashemi, Brukerkurs i matematikk MAT, høsten. Oppsummering

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002 Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )

Detaljer

Løsning IM3 15.06.2011.

Løsning IM3 15.06.2011. Løsning IM 15611 1 Oppgave 1 Innsetting viser at både teller og nevner er i origo, så uttrykket er ubestemt Siden det ikke er noen umiddelbar omskriving som forenkler uttrykket satser vi på å vise at grensen

Detaljer

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte

Detaljer

TMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016

TMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 TMA4105 Notat om skalarfelt Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 Innhold 1 Grenseverdier og kontinuitet 2 2 Derivasjon av skalarfelt 5 2.1 Partiellderivert og gradient..................................

Detaljer

Logaritmer og eksponentialfunksjoner

Logaritmer og eksponentialfunksjoner Logaritmer og eksponentialfunksjoner Harald Hanche-Olsen og Marius Irgens 20-02-02 Dette notatet ble først laget for MA02 våren 2008. Denne versjonen er omskrevet for MA02 våren 20. Du vil oppdage at mange

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013 BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )

Detaljer

Difflikninger med løsningsforslag.

Difflikninger med løsningsforslag. Repetisjon i Matematikk : Difflikninger med løsningsforslag. Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Eksamensrepetisjon REA4 Matematikk Difflikninger med løsningsforslag. Difflikninger med løsningsforslag. Dette

Detaljer

Matematikk for økonomer Del 2

Matematikk for økonomer Del 2 Matematikk for økonomer Del 2 Formelark Dokument type: Formelark Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 17 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere rett til bruk av materialet. Det innebærer at

Detaljer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke

Detaljer

Sigbjørn Hals. Nedenfor har vi tegnet noen grafer til likningen y = C, der C varierer fra -2 til 3, med en økning på 1.

Sigbjørn Hals. Nedenfor har vi tegnet noen grafer til likningen y = C, der C varierer fra -2 til 3, med en økning på 1. Retningsdiagrammer og integralkurver Eksempel 1 Den enkleste av alle differensiallikninger er nok y' = 0. Denne har løsningen y = C fordi den deriverte av en konstant er 0. Løsningen vil altså bli flere

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsningsforslag Øving 04 30 For å vise at f er en injektiv one-to-one funksjon, ser vi på den deriverte,

Detaljer

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å

Detaljer

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Eksamen IRF314, høsten 15 i Matematikk 3 øsningsforslag I denne oppgaven er det to løsningsforslag. Ett med asymptotene som gitt i oppgaveteksten. I dette første tilfellet blir tallene litt

Detaljer

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.

Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011. 1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2, Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)

Detaljer

Oppsummering matematikkdel ECON 2200

Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke 7. mai 2008 1 Innledning En rask oppsummering av hele kurset vil ikke kunne dekke alt vi har gjennomgått. Men alt er pensum, selv om det ikke blir

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger del 1 Eksamensdag: Tirsdag 7. desember 2004 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesettet

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003 Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 003 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige eksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. Første del av eksamen

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA0001 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 2010

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA0001 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA1 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 1 Oppgave 1 Ligningen kan skrives 4 ln x 3 ln

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8 Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)

Detaljer

Differensialligninger

Differensialligninger Oslo, 30. januar, 2009 (http://folk.uio.no/lindstro/diffoslonyprint.pdf) Vanlige ligninger og differensialligninger En vanlig (algebraisk) ligning uttrykker en sammenheng mellom det ukjente tallet x og

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/Utsatt eksamen i: MAT1001 Matematikk 1 Eksamensdag: Torsdag 15 januar 2015 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet er på 5 sider Vedlegg:

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2:

Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2: Eksamen i emnet MAT/M00 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 5. desember 2003, kl. 09-3(5) LØYSINGSFORSLAG Finn dei deriverte til i) f(x) = x 2 ln x OPPGÅVE : exp(u 2 )du, x, ii) f(x) = x cos(x). i) d x 2

Detaljer