MA forelesning
|
|
|
- Astrid Rønning
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Implisitt derivasjon og 31. august 2009
2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2
3 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2
4 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2
5 En implisitt ligning i to variable er en ligning av to variable der den en variablen ikke kan utrykkes ved den andre. Ett eksempel er y 2 + x 2 = 1 som beskriver en sirkel. Implisitte ligninger beskriver presis som eksplisitte ligninger kurver i planet. Kan vi derivere eksplisitte ligninger og finne stigningstall til tangenter for disse kurvene? Ja!
6 En implisitt ligning i to variable er en ligning av to variable der den en variablen ikke kan utrykkes ved den andre. Ett eksempel er y 2 + x 2 = 1 som beskriver en sirkel. Implisitte ligninger beskriver presis som eksplisitte ligninger kurver i planet. Kan vi derivere eksplisitte ligninger og finne stigningstall til tangenter for disse kurvene? Ja!
7 En implisitt ligning i to variable er en ligning av to variable der den en variablen ikke kan utrykkes ved den andre. Ett eksempel er y 2 + x 2 = 1 som beskriver en sirkel. Implisitte ligninger beskriver presis som eksplisitte ligninger kurver i planet. Kan vi derivere eksplisitte ligninger og finne stigningstall til tangenter for disse kurvene? Ja!
8 En implisitt ligning i to variable er en ligning av to variable der den en variablen ikke kan utrykkes ved den andre. Ett eksempel er y 2 + x 2 = 1 som beskriver en sirkel. Implisitte ligninger beskriver presis som eksplisitte ligninger kurver i planet. Kan vi derivere eksplisitte ligninger og finne stigningstall til tangenter for disse kurvene? Ja!
9 En implisitt ligning i to variable er en ligning av to variable der den en variablen ikke kan utrykkes ved den andre. Ett eksempel er y 2 + x 2 = 1 som beskriver en sirkel. Implisitte ligninger beskriver presis som eksplisitte ligninger kurver i planet. Kan vi derivere eksplisitte ligninger og finne stigningstall til tangenter for disse kurvene? Ja!
10 En implisitt ligning i to variable er en ligning av to variable der den en variablen ikke kan utrykkes ved den andre. Ett eksempel er y 2 + x 2 = 1 som beskriver en sirkel. Implisitte ligninger beskriver presis som eksplisitte ligninger kurver i planet. Kan vi derivere eksplisitte ligninger og finne stigningstall til tangenter for disse kurvene? Ja!
11 Implisitt derivasjon Anta en implisitt ligning er gitt ved variablene x og y. Vi kan derivere ligningen m.h.p. x ved å derivere høyre og venstresiden hver for seg. I derivasjonen må vi huske på at variablen y avhenger av x. For dette trenger vi ofte kjerneregelen.
12 Implisitt derivasjon Anta en implisitt ligning er gitt ved variablene x og y. Vi kan derivere ligningen m.h.p. x ved å derivere høyre og venstresiden hver for seg. I derivasjonen må vi huske på at variablen y avhenger av x. For dette trenger vi ofte kjerneregelen.
13 Implisitt derivasjon Anta en implisitt ligning er gitt ved variablene x og y. Vi kan derivere ligningen m.h.p. x ved å derivere høyre og venstresiden hver for seg. I derivasjonen må vi huske på at variablen y avhenger av x. For dette trenger vi ofte kjerneregelen.
14 Implisitt derivasjon Anta en implisitt ligning er gitt ved variablene x og y. Vi kan derivere ligningen m.h.p. x ved å derivere høyre og venstresiden hver for seg. I derivasjonen må vi huske på at variablen y avhenger av x. For dette trenger vi ofte kjerneregelen.
15 Implisitt derivasjon Anta en implisitt ligning er gitt ved variablene x og y. Vi kan derivere ligningen m.h.p. x ved å derivere høyre og venstresiden hver for seg. I derivasjonen må vi huske på at variablen y avhenger av x. For dette trenger vi ofte kjerneregelen.
16 Implisitt derivasjon - eksempler Deriver xy = 1 Deriver x 2 + y 2 = 1 og finn et uttrykk for dy dx Deriver xy 3 4x 3 = 0 og finn et uttrykk for dy dx Finn ligningen for tangenten gjennom punktet (1, 3) på sirkelen x 2 + y 2 = 10 Finn horisontale og vertikale tangenter for 2x 2 + y 2 = 1. Hva er maksimum og minimum av x og y?
17 Implisitt derivasjon - eksempler Deriver xy = 1 Deriver x 2 + y 2 = 1 og finn et uttrykk for dy dx Deriver xy 3 4x 3 = 0 og finn et uttrykk for dy dx Finn ligningen for tangenten gjennom punktet (1, 3) på sirkelen x 2 + y 2 = 10 Finn horisontale og vertikale tangenter for 2x 2 + y 2 = 1. Hva er maksimum og minimum av x og y?
18 Implisitt derivasjon - eksempler Deriver xy = 1 Deriver x 2 + y 2 = 1 og finn et uttrykk for dy dx Deriver xy 3 4x 3 = 0 og finn et uttrykk for dy dx Finn ligningen for tangenten gjennom punktet (1, 3) på sirkelen x 2 + y 2 = 10 Finn horisontale og vertikale tangenter for 2x 2 + y 2 = 1. Hva er maksimum og minimum av x og y?
19 Implisitt derivasjon - eksempler Deriver xy = 1 Deriver x 2 + y 2 = 1 og finn et uttrykk for dy dx Deriver xy 3 4x 3 = 0 og finn et uttrykk for dy dx Finn ligningen for tangenten gjennom punktet (1, 3) på sirkelen x 2 + y 2 = 10 Finn horisontale og vertikale tangenter for 2x 2 + y 2 = 1. Hva er maksimum og minimum av x og y?
20 Implisitt derivasjon - eksempler Deriver xy = 1 Deriver x 2 + y 2 = 1 og finn et uttrykk for dy dx Deriver xy 3 4x 3 = 0 og finn et uttrykk for dy dx Finn ligningen for tangenten gjennom punktet (1, 3) på sirkelen x 2 + y 2 = 10 Finn horisontale og vertikale tangenter for 2x 2 + y 2 = 1. Hva er maksimum og minimum av x og y?
21 Implisitt derivasjon - eksempler Deriver xy = 1 Deriver x 2 + y 2 = 1 og finn et uttrykk for dy dx Deriver xy 3 4x 3 = 0 og finn et uttrykk for dy dx Finn ligningen for tangenten gjennom punktet (1, 3) på sirkelen x 2 + y 2 = 10 Finn horisontale og vertikale tangenter for 2x 2 + y 2 = 1. Hva er maksimum og minimum av x og y?
22 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2
23 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2
24 Differensialligning Implisitt derivasjon En 1.ordens differensialligning er en ligning der den den deriverte y = dy dx er gitt eksplisitt ved variablene x og y. y = G(x, y) En løsning av differensialligningen er en ligning i x og y som tilfredsstiller differensialligningen når uttrykkene for x, y og y innsettes.
25 Differensialligning Implisitt derivasjon En 1.ordens differensialligning er en ligning der den den deriverte y = dy dx er gitt eksplisitt ved variablene x og y. y = G(x, y) En løsning av differensialligningen er en ligning i x og y som tilfredsstiller differensialligningen når uttrykkene for x, y og y innsettes.
26 Differensialligning Implisitt derivasjon En 1.ordens differensialligning er en ligning der den den deriverte y = dy dx er gitt eksplisitt ved variablene x og y. y = G(x, y) En løsning av differensialligningen er en ligning i x og y som tilfredsstiller differensialligningen når uttrykkene for x, y og y innsettes.
27 Eksempler Implisitt derivasjon y = x er en løsning av y = 2x Er y = ex x en løsning av y + xy = e x? Er y 2 + x 2 = C en løsning av y = x y? Det store spørsmålet er: Hvordan finne løsninger til en gitt differensialligning?
28 Eksempler Implisitt derivasjon y = x er en løsning av y = 2x Er y = ex x en løsning av y + xy = e x? Er y 2 + x 2 = C en løsning av y = x y? Det store spørsmålet er: Hvordan finne løsninger til en gitt differensialligning?
29 Eksempler Implisitt derivasjon y = x er en løsning av y = 2x Er y = ex x en løsning av y + xy = e x? Er y 2 + x 2 = C en løsning av y = x y? Det store spørsmålet er: Hvordan finne løsninger til en gitt differensialligning?
30 Eksempler Implisitt derivasjon y = x er en løsning av y = 2x Er y = ex x en løsning av y + xy = e x? Er y 2 + x 2 = C en løsning av y = x y? Det store spørsmålet er: Hvordan finne løsninger til en gitt differensialligning?
31 Eksempler Implisitt derivasjon y = x er en løsning av y = 2x Er y = ex x en løsning av y + xy = e x? Er y 2 + x 2 = C en løsning av y = x y? Det store spørsmålet er: Hvordan finne løsninger til en gitt differensialligning?
32 Grafisk illustrasjon av diffligninger Se på diffligningen y = x y. Avsett i ethvert punkt (x, y) et lite linjesegment med stigningstall x y. Løsninger til vor diff.ligning er kurver som tangerer disse segmentene! D.v.s. konsentriske sirkler.
33 Grafisk illustrasjon av diffligninger Se på diffligningen y = x y. Avsett i ethvert punkt (x, y) et lite linjesegment med stigningstall x y. Løsninger til vor diff.ligning er kurver som tangerer disse segmentene! D.v.s. konsentriske sirkler.
34 Grafisk illustrasjon av diffligninger Se på diffligningen y = x y. Avsett i ethvert punkt (x, y) et lite linjesegment med stigningstall x y. Løsninger til vor diff.ligning er kurver som tangerer disse segmentene! D.v.s. konsentriske sirkler.
35 Grafisk illustrasjon av diffligninger Se på diffligningen y = x y. Avsett i ethvert punkt (x, y) et lite linjesegment med stigningstall x y. Løsninger til vor diff.ligning er kurver som tangerer disse segmentene! D.v.s. konsentriske sirkler.
36 Grafisk illustrasjon av diffligninger Se på diffligningen y = x y. Avsett i ethvert punkt (x, y) et lite linjesegment med stigningstall x y. Løsninger til vor diff.ligning er kurver som tangerer disse segmentene! D.v.s. konsentriske sirkler.
37 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2
38 Den enkleste form for differensialligninger er av formen y = f (x). D.v.s. y avhenger bare av x. Det er enkelt å se at enhver funksjon y = F(x) der F (x) = f (x) vil løse ligningen! Det dreier seg med andre ord om å finne en F slik at F = f. Dette kalles antiderivasjon og vi skriver: F(x) = f (x) dx
39 Den enkleste form for differensialligninger er av formen y = f (x). D.v.s. y avhenger bare av x. Det er enkelt å se at enhver funksjon y = F(x) der F (x) = f (x) vil løse ligningen! Det dreier seg med andre ord om å finne en F slik at F = f. Dette kalles antiderivasjon og vi skriver: F(x) = f (x) dx
40 Den enkleste form for differensialligninger er av formen y = f (x). D.v.s. y avhenger bare av x. Det er enkelt å se at enhver funksjon y = F(x) der F (x) = f (x) vil løse ligningen! Det dreier seg med andre ord om å finne en F slik at F = f. Dette kalles antiderivasjon og vi skriver: F(x) = f (x) dx
41 Den enkleste form for differensialligninger er av formen y = f (x). D.v.s. y avhenger bare av x. Det er enkelt å se at enhver funksjon y = F(x) der F (x) = f (x) vil løse ligningen! Det dreier seg med andre ord om å finne en F slik at F = f. Dette kalles antiderivasjon og vi skriver: F(x) = f (x) dx
42 Den enkleste form for differensialligninger er av formen y = f (x). D.v.s. y avhenger bare av x. Det er enkelt å se at enhver funksjon y = F(x) der F (x) = f (x) vil løse ligningen! Det dreier seg med andre ord om å finne en F slik at F = f. Dette kalles antiderivasjon og vi skriver: F(x) = f (x) dx
43 Den enkleste form for differensialligninger er av formen y = f (x). D.v.s. y avhenger bare av x. Det er enkelt å se at enhver funksjon y = F(x) der F (x) = f (x) vil løse ligningen! Det dreier seg med andre ord om å finne en F slik at F = f. Dette kalles antiderivasjon og vi skriver: F(x) = f (x) dx
44 Egenskaper til f (x) dx Den antideriverte er ikke entydig men avhenger av en additiv konstant! ( d dx ) f (x) dx = f (x) Alle kontinuerlige f (x) har antideriverte. Å finne antideriverte er mye vanskeligere enn å derivere - og ofte umulig.
45 Egenskaper til f (x) dx Den antideriverte er ikke entydig men avhenger av en additiv konstant! ( d dx ) f (x) dx = f (x) Alle kontinuerlige f (x) har antideriverte. Å finne antideriverte er mye vanskeligere enn å derivere - og ofte umulig.
46 Egenskaper til f (x) dx Den antideriverte er ikke entydig men avhenger av en additiv konstant! ( d dx ) f (x) dx = f (x) Alle kontinuerlige f (x) har antideriverte. Å finne antideriverte er mye vanskeligere enn å derivere - og ofte umulig.
47 Egenskaper til f (x) dx Den antideriverte er ikke entydig men avhenger av en additiv konstant! ( d dx ) f (x) dx = f (x) Alle kontinuerlige f (x) har antideriverte. Å finne antideriverte er mye vanskeligere enn å derivere - og ofte umulig.
48 Egenskaper til f (x) dx Den antideriverte er ikke entydig men avhenger av en additiv konstant! ( d dx ) f (x) dx = f (x) Alle kontinuerlige f (x) har antideriverte. Å finne antideriverte er mye vanskeligere enn å derivere - og ofte umulig.
49 Noen antideriverte Implisitt derivasjon x a dx = 1 a + 1 x a+1 + C, a 1 1 dx = ln x + C, x > 0 x e x dx = e x + C
50 Noen antideriverte Implisitt derivasjon x a dx = 1 a + 1 x a+1 + C, a 1 1 dx = ln x + C, x > 0 x e x dx = e x + C
51 Noen antideriverte Implisitt derivasjon x a dx = 1 a + 1 x a+1 + C, a 1 1 dx = ln x + C, x > 0 x e x dx = e x + C
52 Noen antideriverte Implisitt derivasjon x a dx = 1 a + 1 x a+1 + C, a 1 1 dx = ln x + C, x > 0 x e x dx = e x + C
53 Hva sier konstanten C? Ta eksemplet y = x der løsningen er y = 1 2 x 2 + C. En løsning må i alle punkt (x, y) ha en tangent med stigningstall x. Avsett i alle (x, y) et lite linjestykke med dette stigningstallet. Enhver Løsningskurve har en slik tangent i ethvert punkt. Ved å velge C plukker vi ut en bestemt av disse.
54 Hva sier konstanten C? Ta eksemplet y = x der løsningen er y = 1 2 x 2 + C. En løsning må i alle punkt (x, y) ha en tangent med stigningstall x. Avsett i alle (x, y) et lite linjestykke med dette stigningstallet. Enhver Løsningskurve har en slik tangent i ethvert punkt. Ved å velge C plukker vi ut en bestemt av disse.
55 Hva sier konstanten C? Ta eksemplet y = x der løsningen er y = 1 2 x 2 + C. En løsning må i alle punkt (x, y) ha en tangent med stigningstall x. Avsett i alle (x, y) et lite linjestykke med dette stigningstallet. Enhver Løsningskurve har en slik tangent i ethvert punkt. Ved å velge C plukker vi ut en bestemt av disse.
56 Hva sier konstanten C? Ta eksemplet y = x der løsningen er y = 1 2 x 2 + C. En løsning må i alle punkt (x, y) ha en tangent med stigningstall x. Avsett i alle (x, y) et lite linjestykke med dette stigningstallet. Enhver Løsningskurve har en slik tangent i ethvert punkt. Ved å velge C plukker vi ut en bestemt av disse.
57 Hva sier konstanten C? Ta eksemplet y = x der løsningen er y = 1 2 x 2 + C. En løsning må i alle punkt (x, y) ha en tangent med stigningstall x. Avsett i alle (x, y) et lite linjestykke med dette stigningstallet. Enhver Løsningskurve har en slik tangent i ethvert punkt. Ved å velge C plukker vi ut en bestemt av disse.
58 Hva sier konstanten C? Ta eksemplet y = x der løsningen er y = 1 2 x 2 + C. En løsning må i alle punkt (x, y) ha en tangent med stigningstall x. Avsett i alle (x, y) et lite linjestykke med dette stigningstallet. Enhver Løsningskurve har en slik tangent i ethvert punkt. Ved å velge C plukker vi ut en bestemt av disse.
59 Initialverdiproblemer Implisitt derivasjon Løsningen av y = f (x) er som diskutert ikke entydig. Løsningen f (x) dx kalles den generelle løsningen og er en klasse av funksjoner der adskiller seg bare ved en konstant. Dersom vi i tillegg til y = f (x) krever at y(c) = b for en eller annen c har vi det vi kaller et initialverdiproblem. Da er Løsningen entydig. Betingelsen y(c) = b tillater oss å bestemme C i f (x) dx Eks: Løs initialverdiproblemet y = 1 2 x og y(4) = 3.
60 Initialverdiproblemer Implisitt derivasjon Løsningen av y = f (x) er som diskutert ikke entydig. Løsningen f (x) dx kalles den generelle løsningen og er en klasse av funksjoner der adskiller seg bare ved en konstant. Dersom vi i tillegg til y = f (x) krever at y(c) = b for en eller annen c har vi det vi kaller et initialverdiproblem. Da er Løsningen entydig. Betingelsen y(c) = b tillater oss å bestemme C i f (x) dx Eks: Løs initialverdiproblemet y = 1 2 x og y(4) = 3.
61 Initialverdiproblemer Implisitt derivasjon Løsningen av y = f (x) er som diskutert ikke entydig. Løsningen f (x) dx kalles den generelle løsningen og er en klasse av funksjoner der adskiller seg bare ved en konstant. Dersom vi i tillegg til y = f (x) krever at y(c) = b for en eller annen c har vi det vi kaller et initialverdiproblem. Da er Løsningen entydig. Betingelsen y(c) = b tillater oss å bestemme C i f (x) dx Eks: Løs initialverdiproblemet y = 1 2 x og y(4) = 3.
62 Initialverdiproblemer Implisitt derivasjon Løsningen av y = f (x) er som diskutert ikke entydig. Løsningen f (x) dx kalles den generelle løsningen og er en klasse av funksjoner der adskiller seg bare ved en konstant. Dersom vi i tillegg til y = f (x) krever at y(c) = b for en eller annen c har vi det vi kaller et initialverdiproblem. Da er Løsningen entydig. Betingelsen y(c) = b tillater oss å bestemme C i f (x) dx Eks: Løs initialverdiproblemet y = 1 2 x og y(4) = 3.
63 Initialverdiproblemer Implisitt derivasjon Løsningen av y = f (x) er som diskutert ikke entydig. Løsningen f (x) dx kalles den generelle løsningen og er en klasse av funksjoner der adskiller seg bare ved en konstant. Dersom vi i tillegg til y = f (x) krever at y(c) = b for en eller annen c har vi det vi kaller et initialverdiproblem. Da er Løsningen entydig. Betingelsen y(c) = b tillater oss å bestemme C i f (x) dx Eks: Løs initialverdiproblemet y = 1 2 x og y(4) = 3.
64 Initialverdiproblemer Implisitt derivasjon Løsningen av y = f (x) er som diskutert ikke entydig. Løsningen f (x) dx kalles den generelle løsningen og er en klasse av funksjoner der adskiller seg bare ved en konstant. Dersom vi i tillegg til y = f (x) krever at y(c) = b for en eller annen c har vi det vi kaller et initialverdiproblem. Da er Løsningen entydig. Betingelsen y(c) = b tillater oss å bestemme C i f (x) dx Eks: Løs initialverdiproblemet y = 1 2 x og y(4) = 3.
65 Initialverdiproblemer Implisitt derivasjon Løsningen av y = f (x) er som diskutert ikke entydig. Løsningen f (x) dx kalles den generelle løsningen og er en klasse av funksjoner der adskiller seg bare ved en konstant. Dersom vi i tillegg til y = f (x) krever at y(c) = b for en eller annen c har vi det vi kaller et initialverdiproblem. Da er Løsningen entydig. Betingelsen y(c) = b tillater oss å bestemme C i f (x) dx Eks: Løs initialverdiproblemet y = 1 2 x og y(4) = 3.
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er
Oppsummering MA1101. Kristian Seip. 23. november 2017
Oppsummering MA1101 Kristian Seip 23. november 2017 Forelesningen 23. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i MA1101 noen tips for eksamensperioden
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.
Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner)
Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2
Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
Den deriverte og derivasjonsregler
Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)
. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.
MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner
Differensjalligninger av førsteorden
Differensjalligninger av førsteorden Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 2, 2014 Forelesning (29.10.2014): kap 7.9 og 18.3 Førsteordens ordinæredifferensjalligninger Initialverdiproblem
ECON2200: Oppgaver til plenumsregninger
University of Oslo / Department of Economics / Nils Framstad, denne versjonen: π-dagen ECON2200: Oppgaver til plenumsregninger 1. plenumsregning 1. feb.: derivasjon. Oppgave 1.1 der A er en konstant. Funksjonen
Innhold. 2 Numeriske metoder Newtons metode Eulers metode Modisert Euler... 38
Innhold 1 Dierensialligninger 3 1.1 Generellt om dierensialligninger.................. 3 1.2 Antiderivasjon............................ 5 1.3 Regneregler for antideriverte..................... 7 1.4 Delvis
Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning
Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende
Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk og stil variere noe fra oppgave til oppgave.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger
Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Vi bruker det vi har lært i 6.3 om løsning av separable differensialligninger også i noen av oppgavene fra 6.1 og 6.2 for å knytte denne løsningsteknikken
MAT mars mars mars 2010 MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag Forelesning Vi har tidligere integrert funksjoner langs x-aksen, og vi har integrert funksjoner i flere variable over begrensede områder i xy-planet. I denne forelesningen skal
Matematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 3 8.2.1 Anta at dy = y2 y) dx a) Finn likevektspunktene til
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA400 Matematikk, høst 203 Forelesning 2 www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2 Transcendentale funksjoner I dagens forelesning skal vi se på følgende: Den naturlige logaritmen. 2 Eksponensialfunksjoner.
Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for
Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4
Oppsummeringsproblemer som utgangspunkt til ekstraforelesninger i uke 48 i emnet MAT111, høsten 2008 Problem 1 Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi til å vise at x 4 1 x 1 x + 1 = 4. Problem 2
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 10 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 10 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Antideriverte. 2 Differensiallikninger
NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29
MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt
EKSAMEN I MATEMATIKK 1000
EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 Oppgave 1 a) Finn den deriverte av disse funksjonene: f(x) = x 3 e 5x og g(x) = ln(tan(x)) + x 3. b) Finn de følgende ubestemte integralene: i) (x 3 + xe x2 ) dx og ii) cos 2
MA0003-9. forelesning
17. august 2009 Outline 1 Outline 1 Regneregler for deriverte La f og g være kontinuerlige funksjoner og c 0 cf (x) dx = c f (x) dx f (x) ± g(x) dx = f (x) dx ± g(x) dx f (cx) dx = 1 c f (u) du u=cx f
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, øst 2013 Forelesning 7 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7 Derivasjon Denne uken skal vi begynne på tema 2 om derivasjon. I dagens forelesning skal vi se på
Notasjon i rettingen:
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 07 Notasjon i rettingen: R = Rett R = Rett, men med liten tulle)feil
MA oppsummering så langt
MA1101 - oppsummering så langt Torsdag 29. september 2005 http://www.math.ntnu.no/emner/ma1101/2005h/ MA1101- oppsummering så langt p.1/21 Pensum til semesterprøven Kapittel P Kapittel 1 Kapittel 2: avsnittene
Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA1) Bokmål Tirsdag 1. desember 11 Tid: 9: 1: (4 timer)
MAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag
MAT 1001, Høsten 009 Oblig, sforslag a) En harmonisk svingning er gitt som en sum av tre delsvingninger H(x) = cos ( π x) + cos (π (x 1)) + cos (π (x )) Skriv H(x) på formen A cos (ω(x x 0 )). siden H(x)
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode
Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.
Oppsummering matematikkdel
Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 9, 2011 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 9, 2011 1 / 25 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er
Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
Faktor. Eksamen høst 2005 SØK 1001- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto
Faktor -en eksamensavis utgitt av Pareto Eksamen høst 005 SØK 00- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr : OBS!! Dette er en eksamensbevarelse, og ikke en fasit. Besvarelsene er uten endringer
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
Oppsummering matematikkdel
Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 8, 2009 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 8, 2009 1 / 22 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er
ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger
University of Oslo / Department of Economics / Nils Framstad 9. mars 2011 ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger Revisjoner 9. mars 2011: Nye oppgavesett til 15. og 22. mars. Har benyttet sjansen
MAT1100 - Grublegruppen Uke 36
MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)
Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2,
Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, 201. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Repetisjonsoppgaver MATEMATIKK 1 REA1141 og REA1141F Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 Denne oppgaven har forholdsvis enkle derivasjoner,
Løsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning
TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven
TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015
Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8
Oppsummering matematikkdel
Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 5, 2014 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 5, 2014 1 / 25 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er
Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at
LØSNING, KOMMENTAR & STATISTIKK
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Faglig kontakt under eksamen: Steffen Junge (73 59 7 73 / 94 6 27 27) Eksamen i Brukerkurs i Matematikk for Informatikere
Matematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon
SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag
SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver
Oppsummering matematikkdel
Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 6, 2010 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 6, 2010 1 / 23 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er
Oppgaver om derivasjon
Oppgaver om derivasjon Oppgave 1 Gitt funksjonen g(x) = x 3 6x 48x + 13 a) Finn g (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene,
TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2
TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x
1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = 100. y(1+2 x ) = = 2 x = y. xln2 = ln 100 y. x = 1 ln2 ln. f 1 (x) = 1 ln2 ln x
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere y f(x) 00 +2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y 00 +2 x y(+2 x ) 00 2 x 00 00 y y
Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00
SENSORVEILEDNING MET 803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 9.04.05 Kl. 09:00 Innlevering: 9.04.05 Kl. 4:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave Beregn følgende
Løsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/
Løsningsforslag Eksamen i MA0/MA60 Grunnkurs i analyse II 7/ 008 Oppgave y = y +, y(0) = 0 a) n n y n y = n y n + y = y y n+ 0 0 0 / / / / / 5/4 / 5/8 9/8 9/8 så Eulers metode med steglengde / gir oss
Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 25. mai 2012
Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 25. mai 2012 EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (inkludert formelsamling).
3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1)
Kapittel 3 Differensiallikninger 3.1 Første ordens lineære difflikninger Definisjon 3.1 En første ordens lineær difflikning er en likning på formen y + f(x)y = g(x) (3.1) der f og g er kjente funksjoner.
Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet
1 Fremdriftplan I går 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet I dag 2.7 Tangenter og derivasjon 3.1 Den deriverte til en funksjon 3.2 Derivasjonsregler 3.3 Den deriverte som endringsrate
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA0002, VÅR 09
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA000, VÅR 09 Oppgave a) (0%) Løs initialverdiproblemet gitt ved differensialligningen med
Oppfriskningskurs dag 2
Grafer og Oppfriskningskurs dag 2 Grafer og Steffen Junge Oppfriskningskurs i matematikk 3.-8. august 2009 Grafer og Outline 1 Grafer og Outline Grafer og 1 Grafer og Grafer og Vi ser på ligninger av to
IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer
Utsatt Eksamen 8. juni 212 Eksamenstid 4 timer IR1185 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del 2 uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare
Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul Mai Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24.
Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul 24. Mai 203 Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24. mai 203 EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 5 studiepoeng
Oversikt over Matematikk 1
1 Oversikt over Matematikk 1 Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens av ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivasjon Sekantsetningen Integrasjon Differensialligninger Kurver i planet
(Noter at studenter som innser at problemet er symmetrisk for x og y og dermed
Oppgave a) f (x) = (3x 2)x og f (x) = 6x 2 b) g (y) = e 3y2 y og g (y) = e 3y2 (6y 2 + ) c) F x(x, y) = (x+y)y ln(x+y) xy (x+y)(ln(x+y)) 2 Det gir, etter en del regning: og F y(x, y) = (x+y)x ln(x+y) xy
Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013
BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )
MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 016 Separable og førsteordens lineære differensialligninger En differensialligning er separabel
Løsning IM3 15.06.2011.
Løsning IM 15611 1 Oppgave 1 Innsetting viser at både teller og nevner er i origo, så uttrykket er ubestemt Siden det ikke er noen umiddelbar omskriving som forenkler uttrykket satser vi på å vise at grensen
Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014
Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014 ORDINÆR EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 7 sider (inkludert
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning
Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 3, onsdag 3. november 5 Del Oppgave Funksjonen f(x) er
Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)
Løsningsforslag til Eksamen i MAT111
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse
Oppgave 1. Oppgave 2
Midtveiseksamen i MET1180 1 - Matematikk for siviløkonomer 12. desember 2018 Oppgavesettet har 15 flervalgsoppgaver. Rett svar gir poeng, galt svar gir svaralternativ (E) gir 0 poeng. Bare ett svar er
1 Mandag 22. februar 2010
1 Mandag 22. februar 2010 Vi begynner med litt repetisjon fra forrige gang, med å sjekke om et vektorfelt er konservativt og dersom svaret er ja, regne ut potensialfunksjonen. Videre skal vi se på en variant
Oppgaver i funksjonsdrøfting
Oppgaver i funksjonsdrøfting To av oppgavene er merket med *. Det betyr at de er ekstra interessante. Oppgave 1 Gitt funksjonen f(x) = x + 4. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på
MAT feb feb mars 2010 MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 22. februar 2010 Forelesning Vi begynner med litt repetisjon fra forrige gang, med å sjekke om et vektorfelt er konservativt og dersom svaret er ja, regne ut potensialfunksjonen.
Eksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2:
Eksamen i emnet MAT/M00 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 5. desember 2003, kl. 09-3(5) LØYSINGSFORSLAG Finn dei deriverte til i) f(x) = x 2 ln x OPPGÅVE : exp(u 2 )du, x, ii) f(x) = x cos(x). i) d x 2
Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte
Krasjkurs MAT101 og MAT111
Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten
Løsningsskisser til oppgaver i Kapittel Integrerende faktor
Løsningsskisser til oppgaver i Kapittel 6.4 - Integrerende faktor Teori: Differensialligninger på formen y fx y gx (lineære i y av første orden) er ikke separable hvis ikke fx og gx er tallkonstanter.
Mat503: Regneøving 3 - løsningsforslag
Mat503: Regneøving 3 - løsningsforslag Oppgave a) Oppgaven sier at Fredrik stoler på erfaringen sin med positive ele tall. Fredrik ar sannsynligvis sett at dersom an ar et elt tall k >, vil den oppgitte
Heldagsprøve R2. Våren Onsdag 6. Mai Løsningsskisser - Versjon Del 1 - Uten hjelpemidler - 3 timer. Oppgave 1.
Heldagsprøve R Våren 015 Onsdag 6. Mai 09.00-14.00 Løsningsskisser - Versjon 1.05.15 Del 1 - Uten hjelpemidler - timer Oppgave 1 Deriver funksjonene: a) fx tanx Kjerneregel: fx tanu, u x f 1 x cos u x
Sigbjørn Hals. Nedenfor har vi tegnet noen grafer til likningen y = C, der C varierer fra -2 til 3, med en økning på 1.
Retningsdiagrammer og integralkurver Eksempel 1 Den enkleste av alle differensiallikninger er nok y' = 0. Denne har løsningen y = C fordi den deriverte av en konstant er 0. Løsningen vil altså bli flere
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 Innleveringsfrist: Mandag 26. september 2016, kl. 14, i Infosenterskranken i inngangsetasjen
Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å
e x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),
Matematikk for økonomer Del 2
Matematikk for økonomer Del 2 Formelark Dokument type: Formelark Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 17 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere rett til bruk av materialet. Det innebærer at
TMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016
TMA4105 Notat om skalarfelt Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 Innhold 1 Grenseverdier og kontinuitet 2 2 Derivasjon av skalarfelt 5 2.1 Partiellderivert og gradient..................................
Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46
Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Bøkene B (læreboken): Tor Gulliksen og Arne Hole, Matematikk i Praksis, 5. utgave. K (kompendium): Amir M. Hashemi, Brukerkurs i matematikk MAT, høsten. Oppsummering
Logaritmer og eksponentialfunksjoner
Logaritmer og eksponentialfunksjoner Harald Hanche-Olsen og Marius Irgens 20-02-02 Dette notatet ble først laget for MA02 våren 2008. Denne versjonen er omskrevet for MA02 våren 20. Du vil oppdage at mange
Forord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.
1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset
LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA0001 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA1 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 1 Oppgave 1 Ligningen kan skrives 4 ln x 3 ln
Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)
NTNU. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 12. Avsnitt Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at. 24 For x < 0 har vi at
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 200 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),
Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003
Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 003 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige eksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. Første del av eksamen
y (t) = cos t x (π) = 0 y (π) = 1. w (t) = w x (t)x (t) + w y (t)y (t)
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 013 Løsningsforslag Notasjon og merknader En vektor boken skriver som ai + bj + ck, vil vi ofte skrive som (a, b, c), og tilsvarende
Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )
OPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG
LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT - Grunnkurs i matematikk I torsdag 5.desember 20 kl. 09:00-4:00 OPPGAVE a Modulus: w = 2 + 3 2 = 2. Argument
BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8
Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)