Matematikk for økonomer Del 2
|
|
- Ole-Martin Rønningen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematikk for økonomer Del 2 Formelark Dokument type: Formelark Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 17 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere rett til bruk av materialet. Det innebærer at materialet ikke under noen omstendigheter benyttes til videresalg eller gis bort til andre brukere uten samtykke fra Studiekvartalet.
2 Kapittel 1 Derivasjon Nr. Formel Derivert/løsning (1) Konstant f (x) = K f (x) = 0 f (x) = 3 f (x) = 0 (2) Potenser f (x) = x n f (x) = n x n-1 f (x) = nx n-1 Tall eksempler: f (x) = x 3 f (x) = 3 x 3 1 f (x) = 3x 2 f (x) = -2x -3 f (x) = -3 (-2)x -3-1 f (x) = 6x -4 (3) Kjerneregel f (x) = g(x) n f (x) = n g(x) n-1 g (x) f (x) = (3x 2 3x) 2 f (x) = 2 (3x 2 3x) 2-1 (6x 3) f (x) = 2(3x 2 3x)(6x 3) (4) Produkt f (x) = g(x) h(x) f (x) = g (x) h(x) + g(x) h (x) f (x) = (3x 2 6)(2x 4) f (x) = 2 3x 2-1 (2x-4) + (3x 2 6)2 f (x) = 6x(2x-4) + (3x 2-6)2 f (x) = 12x 2 24x + 6x 2 12 f (x) = 18x 2 24x 12 (5) Kvotient f (x) = () () () f (x) = () f (x) = f (x) = () f (x) = () " f (x) = () 2
3 (6) Logaritme f (x) = ln x f (x) = (7) Logaritme f (x) = ln3x f (x) = ln g(x) f (x) = 3 f (x) = () g (x) f (x) = ln(2x 2 + 1) f (x) = ( ) 4x => f (x) = ( ) (8) Eksponential f (x) = e x f (x) = e x f (x) = e x (9) Eksponential f (x) = e g(x) f (x) = e g(x) g (x) f (x) = e 2x f (x) = e 2x 2 f (x) = 2e 2x (10) Kvadratrot f (x) = x f (x) = f (x) = 2x + x f (x) = f (x) = () => f (x) = 3
4 Kapittel 2 2. Grads ligninger Funksjoner ved 1. Gradslikninger Flytte tallene på ene siden av likhetstegnet og x-verdiene på andre siden. Når vi flytter ett ledd fra ene siden til andre siden av likhetstegnet så skifter vi fortegnet. Dersom vi har brøk i likningen => Multipliserer vi nevneren til brøken med alle ledd for å fjerne nevneren. Flere brøk med ulike nevner => Finne fellesnevner, og deretter multiplisere det med alle ledd og fjerner nevnerne. Tillate funksjoner: Vi kan multiplisere og dividere likningene. Finnes tre typer 2. Grads likninger 1. Likninger som inneholder x 2 og konstantledd: Eksempel: x 2-25 = 0 Samme funksjoner som 1. Gradslikninger. (x-verdiene på ene siden og tallene på andre siden av likhetstegnet) Løser likningen ved hjelp av kvadratrots regler 2. Likninger som inneholder x 2 og x: Eksempel: x 2 + x = 0 Sørge for å sette leddene lik 0. Løser likningen ved hjelp av faktoriseringsregler 3. Likninger som inneholder x 2, x og konstantledd: Eksempel: x 2 + x + 10 = 0 Sørge for å sette leddene lik 0. Løser likningen ved hjelp av ABC - Formel 4
5 ABC Formel x = b ± b2 4ac 2a 5
6 Kapittel 3 Eksponential- og logaritmelikninger Nr. Formel Løse Formel Oppgave eksempel Regel 1 lna x x lna 10 x = 6 ln ln10 x = ln6 x ln10 = ln 6 : ln10 ln10 x xln10 x = " "" x = 0,778 Regel 2 ln(a b) lna + lnb ln(5 2 x ) ln(10 10) ln10 + ln10 ln5 + ln2 x ln5 + xln2 Regel 3 ln( ) lna lnb 5 3 x = 7 :5 = ln( " " ) ln10 ln10 3 x = ln3 x = ln( 7 5 ) ln3 x ln3 = ln7 ln5 "# " = "# "# " :ln3 x = 0,31 Regel 4 e ln(a) a lnx 3 = 9 3lnx = 9 :3 lnx = 3 =>e e ln10 10 e lnx = e 3 x = e 3 Huskeregler: e 0 = 1, e 1 = e, e 2 = e 2, osv. 6
7 Kapittel 4 Integraler Nr. Formel Løse formel Formel 1 ax dx a xn+1 + C 3x = 3 x + C = x 3 + C Formel 2 ( 1 x )dx ln x + C 1 x + 6 dx 1 ( x + a )dx ln (x + a) + C = ln [x + 6] + C = ln(x + 6) + C Formel 3 (e ) dx e x + C e dx (e " )dx 1 a e" + C = e + C = + C Formel 4 (lnx) dx xln x x + C Formel 5 (Bestemte integraler) f x dx f (b) f (a) 7
8 Kapittel 5 Ulikheter Finnes to typer ulikheter 1. Førstegrads ulikheter Eksempel: 2x > 4 Delvis pensum. NB Burde kunne reglene. 2. Andregrads ulikheter Eksempel: 2x x = 25 Rekkefølge for å løse en 2. Gradsulikhet: 1. Flytte leddene til venstre 2. Faktorisere (Bruk ABC-formel for å finne x-verdiene) 3. Sette x verdiene i fortegnskjema 4. Skrive notasjon Hovedregler i ulikheter som er forskjellig fra likninger 1. Bruker ulikheter for å finne når uttrykket er større eller mindre enn 0. Eksempel: x(x a) > 0 => (Når er uttrykket større enn null altså når er den positiv) x(x a) < 0 => (Når er uttrykket mindre enn null altså når er den negativ) 2. Når vi ganger eller deler uttrykket med ett negativ/minus tall snur vi ulikheten Eksempel: 2x + 3 < 4x + 9 -x > -3 (Ganger med (-1) for å fjerne minus) -2x < 6 (Deler på -2) x < 3 (Snur ulikheten) > x > -3 (Snur ulikheten) 8
9 3. Beholder nevneren. (Vi fjerner ikke nevner i ulikheter som vi gjør i ligninger). Dersom vi har flere ulike nevnere => Finner fellesnevner => Faktoriser. Eksempel: Se kurs video for gjennomgang av eksemplet. 4. Forstå notasjon x > 1 (x er større enn 1) x < 1 (x er mindre enn 1) x > -1 (x er større enn -1, altså x kan være alle tall større enn -1 => -0,9, -0,8, x < -1 (x er mindre enn -1, altså x kan være alle tall mindre enn -1 => -1,1, 1,2, 5. Fortegnsskjema (Eksempel) <-> <+> x-linje (x 2) (x + 2) x x ( x - 2) (x - 2) e x 9
10 Kapittel 6 Ligningssystemer Likningssett Likningssett er samling av to eller flere likninger med to eller flere ukjente. Løsningsmetoder Multiplikasjonsmetode/Addisjonsmetode: Denne metoden går ut på å summere likningene slik vi kan få ett av ukjentene til å forsvinne. Når nødvendig så multipliserer vi likningene med ett tall, slik det blir enklere å fjerne ett av ukjente. Innsettingsmetoden: Denne metoden går ut på å erstatte ett av ukjentene med utrykket som inneholder ett av ukjente fra den andre likningen. 10
11 Kapittel 7 Funksjoner Lineærfunksjon y = ax + b Formel for å finne ligningen til lineær funksjon: Når stigningstallet a og ett punkt (x 1, y 1 ) er kjent: y y 1 = a(x x 1 ) Når to punkter (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) er kjent: y y 1 (x x 1 ) Annengradsfunksjon: f(x) = ax 2 + bx + c Formel for å finne nullpunktene til annengradsfunksjon: x = b ± b 4ac 2a Tredjegradsfunksjon: f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d Formel for å finne nullpunktene til tredjegradsfunksjon: - Minst ett nullpunkt må være kjent. Dersom x = x 1 er kjent nullpunkt, så finner vi resterende nullpunktene ved å dele f (x) med x x 1. (Bruk reglene til polynomdivisjon). 11
12 Rasjonelle funksjoner: f (x) = " " Horisontale (vannrett) asymptoten: y = Vertikale asymptoten: x = Avtagende og voksende Når er funksjonen avtagende og når voksende: 1. Deriverer funksjonen av 1. Orden. 2. Faktoriser, deretter finn nullpunktene. 3. Tegn fortegnsskjema. 4. Avtagende = Negativ linjen i fortegnslinjen Voksende = Positiv linjen i fortegnslinjen. Konkav og konveks 1. Derivere funksjonen av 2. Orden. 2. Faktoriser, deretter finn nullpunktene. 3. Tegn fortegnsskjema. 4. Konkav = Negativ linjen i fortegnsskjema Konveks = Positiv linjen i fortegnsskjema Vendepunkter 1. Derivere funksjonen av 2. Orden. 2. Faktoriser, deretter finn nullpunktene. 3. Tegn fortegnsskjema. 4. Vendepunkt = Der funksjonen vender. 12
13 Kapittel 8 Rekker K Fast innskudd eller uttak (fast beløp du setter inn i sparekonto hvert år, eller fast tilbakebetalings, nedbetalings, utbetalings beløp) r Renter i desimalform n Dager, måneder og år (Antall perioder) An Sluttverdi av annuitet K0 Nåverdi t Tid Nr. Annuitet Formel Senarioer 1 Sluttverdi av annuitet rett etter siste innbetaling: A n = K 1 + r n 1 r - Hvor mye er oppspart beløp rett etter - Hvor mye skal årlig sparebeløpet være rett etter 2 Sluttverdi av annuitet ett år etter siste innbetaling: A n = K(1 + r) 1 + r n 1 r - Hvor mye er oppspart beløp rett før 3 Nåverdi av annuitet når første tilbakebetaling skjer ett år etter K 0 = K 1 + r n r n r - Hva er restgjeld rett etter - Hvilken alternativ bør velges låneopptak: (Første betaling / utbetaling om 1 år) 4 K 0 = K + K 1 + r n r n r - Hva er restgjeld rett før - Hvilken alternativ bør velges (Mottar / Betaler ett beløp i forskudd først) 13
14 5 1 K 0 = K 1 + r 1 + r n r n r Hvilken alternativ bør velges (Første betaling / utbetaling om 2 år) 6 Faste årlig tilbakebetaling når første tilbakebetaling skjer ett år K = K r n r 1 + r n 1 Hvor mye er årlige faste tilbakebetalinger / innbetalinger / etter låneopptak: nedbetalinger / utbetalinger 7 Renter på den første K 0 r Hvor mye er renter ved første tilbakebetalingen: tilbakebetaling / innbetaling / nedbetaling / utbetaling 8 Renter på den siste tilbakebetalingen: K 1 + r r Hvor mye er renter ved siste tilbakebetaling / innbetaling / nedbetaling / utbetaling 9 Avdrag i den første tilbakebetaling: K K 0 r Hvor mye er avdrag ved første tilbakebetaling / innbetaling / nedbetaling / utbetaling 10 Avdrag i den siste tilbakebetalingen: K K 1 + r r Hvor mye er avdrag ved siste tilbakebetaling / innbetaling / nedbetaling / utbetaling 11 Investeringen forrentes med årlig diskret forretning: K t = K 0 ( 1 + r) t Forrentes med årlig diskret forretning 12 Investeringen forrentes med kontinuerlige forretning: K t = K 0 e rt Forrentes med kontinuerlig forretning 14
15 Kapittel 9 Funksjoner med flere variabler Stasjonærpunktene (1) Partiell deriverer funksjonen med hensyn på x, deretter med hensyn på y. (2) Setter opp likningssett. (3) Løser likningssettet med hensyn på x og y. Maksimums- minimums- og sadelpunkt Formel for maksimums- minimums- og sadelpunkt: AC B 2 Formel for beregning av verdiene som tilhører formelen (AC B 2 ): A = f xx (x 0, y 0 ) B = f xy (x 0, y 0 ) C = f yy (x 0, y 0 ) Avgjøre om punktene vi har funnet er maksimums- minimums- eller sadelpunkt: ð AC B 2 < 0 (Altså mindre enn 0) => Punktene er sadelpunkt. ð AC B 2 > 0 (Altså større enn 0) => Punktene er enten minimums- eller maksimumspunkt: => A < 0 (Punktene er lokalt maksimumspunkt) => A > 0 (Punktene er lokalt minimumspunkt) 15
16 Kapittel 10 Lineær funksjoner Formel for beregning av x, y og z ved bruk av Cramers regel: x =, y =, z = Ligningssystemet med 2 ukjente: a1x + a2y = b1 Determinant A = a a a a Determinant B = a3x + a4y = b2 Formel for beregning determinant A når vi har ligningssett med 2 ukjente: b b Determinant A = a a a a = a1 a4 a2 a3 Formel for beregning determinant B1 når vi har ligningssett med 2 ukjente: B1 = b a b a = b1 a4 a2 b2 Formel for beregning determinant B2 når vi har ligningssett med 2 ukjente: B2 = a b a b = a1 b2 b1 a3 Ligningssystemet med 3 ukjente: a1x + a2y + a3z = b1 a4x + a5y + a6z = b2 Determinant A = a a a a a a Determinant B = a a a b b b a7x + a8y + a9z = b3 16
17 Formel for beregning av determinant A når vi har ligningssett med 3 ukjente 𝑎 Determinant A = ð a1 𝑎 a 2 + a 3 ð a1(a5 a9 a6 a8) a2(a4 a9 a6 a7) + a3(a4 a8 a5 a7) Formel for beregning av determinant B1 når vi har ligningssett med 3 ukjente: B1 = ð b1 𝑎 a2 𝑏 + a3 ð b1(a5 a9 a6 a8) a2(b2 a9 a6 b3) + a3(b2 a8 a5 b3) Formel for beregning av determinant B2 når vi har ligningssett med 3 ukjente: B 2 = ð a1 b1 𝑎 + a 3 ð a1(b2 a9 a6 b3) b1(a4 a9 a6 a7) + a3(a4 b3 b2 a7) Formel for beregning av determinant B3 når vi har ligningssett med 3 ukjente: B 3 = ð a1 𝑎 a2 𝑎 + b1 ð a1(a5 b3 b2 a8) a2(a4 b3 b2 a7) + b1(52 b3 b2 a8) 17
Matematikk for økonomer Del 2
Matematikk for økonomer Del 2 Oppgavedokument Antall oppgaver: 75 svar Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 15 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere Kapittel 1 Derivasjon 1. f (x) = 2x 2
DetaljerEmnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2. mars 2018 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelsamling Emnenavn: Metodekurs 1, deleksamen i matematikk Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
DetaljerMET Matematikk for siviløkonomer
SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET 11803 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 29.05.2019 Kl. 09:00 Innlevering: 29.05.2019 Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia,
DetaljerEmnenavn: Metode 1 matematikk. Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 21. februar 2017 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelsamling Emnenavn: Metode 1 matematikk Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian Bekkevard Om eksamensoppgaven
DetaljerEksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag
Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato. desember 6 Tidspunkt 9. -. Antall oppgaver Vedlegg Tillatte hjelpemidler Ingen Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave Vi løser likningene ved
DetaljerEKSAMEN. Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk)
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2.6.2014 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk) Eksamenstid: kl. 09.00 til kl.
DetaljerHeldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
DetaljerEmnenavn: Eksamenstid: Faglærer: Hans Kristian Bekkevard. består av 8 sider inklusiv denne forsiden og vedlagt formelsamling.
e. Høgskoleni Østfold ). EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: SFB10711 Metode 1 matematikk deleksamen Dato: Eksamenstid: 3. juni 2016 4 timer Hjelpemidler: Kalkulator og vedlagt formelsamling Faglærer: Hans Kristian
DetaljerDeriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker.
Heldagsprøve i matematikk, 1. desember 006 Forkurs for Ingeniørutdanningen ved HiO, 006/07 Antall oppgaver: Antall timer: 5 timer fra klokken 0900 til klokken 100. Hjelpemidler: Kalkulator og Formelsamling
DetaljerOppgaveløsninger for "Matematikk for økonomer - kort og godt".
Oppgaveløsninger for "Matematikk for økonomer - kort og godt". Kapittel 1 Oppgave 1.1 a) (x 2 9x 12)(3 3x) =3x 2 27x 36 3x 3 +27x 2 +36x = 3x 3 +30x 2 +9x 36. b) (2x y) 2 +2(x+y)(x y)+(x+4y) 2 =4x 2 4xy+y
DetaljerOppgave 1. e rt = 120e. = 240 e
Løsning MET 803 Matematikk Dato 5. desember 05 kl 0900-00 Oppgave. (a) Dersom vi selger eiendommen etter t år, med t > 0, så er nåverdien av salgssummen med r = 0,0. Da får vi N(t) = V (t)e rt = 0 e e
DetaljerMatematikk R1 Forslag til besvarelse
Matematikk R1 Forslag til besvarelse NITH 4. mars 014 Oppgave 1 a) Regn ut p x) når px) = x 3 3x + 6x 1. p x) = x 3 ) 3x ) + 6x) 0 = 3x ) 3x) + 6 1 = 6x 6x + 6 b) Regn ut p x) når px) = ax + bx + c. Her
DetaljerLøsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å
DetaljerLøsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(
DetaljerMET Matematikk for siviløkonomer
SENSORVEILEDNING - Fagoppgave MET 1186 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 18.1.19 Kl. 9: Innlevering: 5.1.19 Kl. 1: For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven.
DetaljerForord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.
1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset
DetaljerOppgave 1. Oppgave 2
Midtveiseksamen i MET1180 1 - Matematikk for siviløkonomer 12. desember 2018 Oppgavesettet har 15 flervalgsoppgaver. Rett svar gir poeng, galt svar gir svaralternativ (E) gir 0 poeng. Bare ett svar er
DetaljerQED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus
QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Kalkulus Kapittel 1 Oppgave 1. a) en funksjon b) en funksjon c) ikke en funksjon d) ikke en funksjon Oppgave 2. a) 12,1 b) 4 c)
DetaljerI et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x Y = ax + b:
OPPGAVE I et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x 7 74 546 y 48 6 45 a) Plott Y ln y mot X ln x i et rettvinklet koordinatsystem. ) Finn en lineær sammenheng mellom
DetaljerLøsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 3, onsdag 3. november 5 Del Oppgave Funksjonen f(x) er
DetaljerInnlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 2017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8
Innlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8 1 Deriver følgende funksjoner a) ( x) b) (3 5x) 6 c) x x + 3 d) x ln
DetaljerSammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009
Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A
DetaljerLøsningsforslag matematikk S1 V14
Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2
DetaljerKompendium til MATH001 - Forkurs i matematikk
Kompendium til MATH001 - Forkurs i matematikk Høst 017, NMBU Kine Josefine Aurland-Bredesen, e-post: kine.josefine.aurland-bredesen@nmbu.no f (x) = 1 x Kompendiumet gir en rask gjennomgang av grunnleggende
DetaljerRepetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2,
Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, 201. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Repetisjonsoppgaver MATEMATIKK 1 REA1141 og REA1141F Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 Denne oppgaven har forholdsvis enkle derivasjoner,
Detaljera) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det.
Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave
DetaljerForkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning
Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen
DetaljerLøsningsforslag. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller like mye.
Eksamen i FO929A - Matematikk Dato: 2013 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller
DetaljerTMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven
TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN. Metode 1 (Deleksamen i matematikk)
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Emne: Metode 1 (Deleksamen i matematikk) Dato: 02.12.2013 Eksamenstid: kl 0900 til kl 1300 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling Faglærer: Hans Kristian
DetaljerHandelshøyskolen BI Eksamen i Met Matematikk for økonomer kl til Løsninger
Handelshøyskolen BI Eksamen i Met 91001 Matematikk for økonomer..1 00 kl 09.00 til 1.00 Løsninger OPPGAVE 0.1 Vi skal derivere disse funksjonene a) b) f( x) 3x 8 + 3x f ( x) x 8 1 + 3 x x 9 + 6x fx ( )
DetaljerLøsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2
Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk 2008
Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )
DetaljerOppsummering matematikkdel ECON 2200
Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke 7. mai 2008 1 Innledning En rask oppsummering av hele kurset vil ikke kunne dekke alt vi har gjennomgått. Men alt er pensum, selv om det ikke blir
DetaljerHøyskolen i Buskerud. fx ( ) x x 2 = x 1. c) Løs ulikheten ( x 3) ( x + 1)
Høyskolen i Buskerud Eksamen i matematikk. års grunnutdanning Mandag den. desember 00 OPPGVE. Deriver funksjonene a) f ( ) 5 + -- f ( ) 5 + -- 5 + -- b) f ( ) f ( ) ---------- ----------------------------------------
DetaljerSammendrag R1. 26. januar 2011
Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander
DetaljerFunksjoner og andregradsuttrykk
88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter
Detaljer(Noter at studenter som innser at problemet er symmetrisk for x og y og dermed
Oppgave a) f (x) = (3x 2)x og f (x) = 6x 2 b) g (y) = e 3y2 y og g (y) = e 3y2 (6y 2 + ) c) F x(x, y) = (x+y)y ln(x+y) xy (x+y)(ln(x+y)) 2 Det gir, etter en del regning: og F y(x, y) = (x+y)x ln(x+y) xy
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Emne: Metode 1 (Deleksamen i matematikk) Dato: 23.11.15 Eksamenstid: 4 timer, kl. 9.00-13.00 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling (4 siste sider
DetaljerFunksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner
Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den
DetaljerOppgavesettet er på 3 sider eks. forside, og inneholder 12 deloppgaver: 1abc, 2, 3, 4abc, 5ab, 6ab.
EKSAMENSOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-0001 Brukerkurs i matematikk. Dato : tirsdag 4. desember 2012. Tid : 09.00-13.00. Sted: : Åsgårdvegen 9. Tillatte hjelpemidler : Alle trykte og skrevne.
DetaljerHøgskolen i Bodø Matematikk for økonomer 16. desember 2000 Løsninger
Høgskolen i Bodø Matematikk for økonomer 6. desember 2 Løsninger OPPGAVE. a) Deriver funksjonen f( x) x 8 + 2x 4 + 7x 4 + 7 f ( x) 4x 8 + 4x 2 + + 28x 3 + 28x 3 8x 4 8x 6 b) Deriver funksjonen f( x) 7x
DetaljerOppsummering matematikkdel
Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 8, 2009 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 8, 2009 1 / 22 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017
Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 215 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 217 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 3 + 2x. Formelen vi må bruke er (x n ) =
DetaljerPrøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
DetaljerNy og bedre versjon 2018 MAT100. Matematikk. Kompendium 2018, del 2. Per Kristian Rekdal og Bård-Inge Pettersen
Ny og bedre versjon 2018 MAT100 Matematikk Kompendium 2018, del 2 Per Kristian Rekdal og Bård-Inge Pettersen Figur 1: Matematikk er viktig. 2 Innhold 1 Grunnleggende emner 6 1.1 Tall og tallsystemer...................................
DetaljerOppsummering matematikkdel
Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 9, 2011 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 9, 2011 1 / 25 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode
DetaljerOppsummering matematikkdel
Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 6, 2010 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 6, 2010 1 / 23 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er
DetaljerUniversitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag EKSAMEN
Bokmål Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag EKSAMEN Emnekode: MA-5 og MA-38 Emnenavn: Matematikk med anvendelse i økonomi Dato: 2. desember 20 Varighet: 09.00-3.00 Antall sider: 3 +
DetaljerS2 eksamen våren 2018 løsningsforslag
S eksamen våren 08 løsningsforslag DEL Uten hjelpemidler Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene f x =
DetaljerOppsummering matematikkdel
Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 5, 2014 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 5, 2014 1 / 25 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, våren 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 29. januar 2017
Løsningsforslag Eksamen S, våren 016 Laget av Tommy Odland Dato: 9. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = e x. Den generelle regelen er at (e ax ) = ae ax, i vårt tilfelle
DetaljerR1 eksamen høsten 2015 løsning
R1 eksamen høsten 15 løsning Løsninger laget av Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1
Løsningsforslag til prøveeksamen i MT, H- DEL. ( poeng Hva er den partiellderiverte f y sin(xy cos(xy y sin(xy x sin(xy cos(xy xy sin(xy cos(xy y sin(xy + xy sin(xy når f(x, y = y cos(xy? Riktig svar:
DetaljerHeldagsprøve R2. Våren Onsdag 6. Mai Løsningsskisser - Versjon Del 1 - Uten hjelpemidler - 3 timer. Oppgave 1.
Heldagsprøve R Våren 015 Onsdag 6. Mai 09.00-14.00 Løsningsskisser - Versjon 1.05.15 Del 1 - Uten hjelpemidler - timer Oppgave 1 Deriver funksjonene: a) fx tanx Kjerneregel: fx tanu, u x f 1 x cos u x
DetaljerSammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra
Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:
DetaljerKompendium h-2013. MAT100 Matematikk. Formelsamling. Per Kristian Rekdal
Kompendium h-2013 MAT100 Matematikk Formelsamling Per Kristian Rekdal Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT100 Matematikk ved Høgskolen i Molde, 2013. Formelsamlingen er ment å brukes når man løser
Detaljer3x ( x. x 1 x a 3 = 1 2 x2. a) Bestem rekkens kvotient og rekkens første ledd.
Oppgave 1 Løs likningen x 2 + x 6 = 0. b) Løs likningen c) Løs ulikheten x 2 + 4x 5 < 0. 3x 2 + 7 x 2 1 ) = 8. d) Løs ulikheten Oppgave 2 x 1 x 2 4 0. Deriver g x) = 3x + ln x) 3. b) Deriver h x) = e x
DetaljerInstitutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00
SENSORVEILEDNING MET 803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 9.04.05 Kl. 09:00 Innlevering: 9.04.05 Kl. 4:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave Beregn følgende
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017
Løsningsforslag Eksamen S, våren 17 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 5. mai 17 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x /x = x x 1. Den eneste regelen vi trenger her er (kx n )
DetaljerLøsningsforslag til Obligatorisk innlevering 7
Løsningsforslag til Obligatorisk innlevering 7 Oppgave a) Likningen e 2x 6e x + 5 = 0 er en annengradslikning i e x. Siden ( ) ( 5) = 5 og 5 = 6 så faktoriserer annengradsuttrykket som (e x 5)(e x ). Dette
DetaljerEksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator
Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2009
Eksamen REA0 R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonene ) f x x 4 4 8 f x x x x x ) g x x
DetaljerKAPITTEL 1 - ALGEBRA. 1. Regnerekkefølger og regneregler. Legg først merke til at: Legg spesielt merke til at :
KAPITTEL - ALGEBRA. Regnerekkefølger og regneregler Legg først merke til at: 2( ) = 2 ( ) = 6, ab = a b = b a = ba og a a = a 2 Legg spesielt merke til at : a 2 = a a, ( a) 2 = ( a) ( a) = a 2 og ( a)
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5
Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /5-5/5 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no May, 009 Oppgave 5.0.a Ser at f(x, y = (, 3, og g(x, y = (x, y. g(x, y = 0 hvis og bare hvis x = y = 0, og dette er ikke kompatibelt
DetaljerEksamen i MAT1100 H14: Løsningsforslag
Eksamen i MAT H4: Løsningsforslag Oppgave. ( poeng) Dersom f(x, y) x sin(xy ), er f y lik: A) sin(xy ) + xy cos(xy ) B) x cos(xy ) C) x y cos(xy ) D) sin(xy ) + x y cos(xy ) E) cos(xy ) Riktig svar: C):
DetaljerNicolai Kristen Solheim
Oppgave 1. 1a) 1, 0, 2, sin 5 4cos sin 54cos sin 8 sin cos cos 54cos 8 sin cos 5cos 4cos 8sin cos 5cos 4cos Dersom vi plotter grafen for vil vi se hvor vokser og avtar. 1 Fra grafen for ser vi følgende
DetaljerMAT100. Matematikk FORMELSAMLING Per Kristian Rekdal
MAT100 Matematikk FORMELSAMLING 2017 Per Kristian Rekdal Figur 1: Matematikk er viktig. 2 Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT100 Matematikk ved Høgskolen i Molde, 2017. Formelsamlingen er ment
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.
DetaljerInstitutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: Kl. 09:00 Innlevering: Kl. 14:00
SENSORVEILEDNING MET 11803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09:00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave 1 Finn
DetaljerINNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER
INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017
Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx
DetaljerForkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning
Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende
DetaljerKompendium H MAT100 Matematikk. Del 2 av 2. Per Kristian Rekdal
Kompendium H-2016 MAT100 Matematikk Del 2 av 2 Per Kristian Rekdal Figur 1: Matematikk er viktig. 2 Innhold 1 Grunnleggende emner 19 1.1 Tall og tallsystemer................................... 20 1.2 Algebraiske
DetaljerMatematikk for økonomi og samfunnsfag
Harald Bjørnestad Ulf Henning Olsson Svein Søyland Frank Tolcsiner Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave Innhold Forord... 11 Kapittel 1 Grunnleggende emner 1.1 Tall og tallsystemer... 13 1.2
DetaljerOppfriskningskurs Sommer 2019
Oppfriskningskurs Sommer 2019 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Oppgave 9 fra Øving 2 a) Er funksjonen f(x) = en-til-en? Hvorfor/hvorfor ikke? { 1 x hvis 0 x
DetaljerMET Matematikk for siviløkonomer
SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET 11803 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 18.1.017 Kl. 14:00 Innlevering: 18.1.017 Kl. 19:00 For mer informasjon om formalia,
Detaljerwxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue
wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11
Fasit til utvalgte oppgaver MAT uka 5/-9/ Øyvind Ryan oyvindry@ifi.uio.no) November Oppgave 9.. Vi skriver 5x 5 x )x ) A x B x og ser at vi må løse likningene Ax ) Bx ) x )x ) A B 5 A B 5. A B)x A B x
DetaljerOppgaver om derivasjon
Oppgaver om derivasjon Oppgave 1 Gitt funksjonen g(x) = x 3 6x 48x + 13 a) Finn g (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene,
DetaljerEksempeloppgave 1T, Høsten 2009
Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne
DetaljerBYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8
Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)
DetaljerEksamen S2 va ren 2015 løsning
Eksamen S va ren 05 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene. a) x f x e x f x e e x b) gx x x x x x
DetaljerHva man må kunne i kapittel 2 - Algebra
Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Teknikker og type-eksempler Faktorisering Se også eget notat om faktorisering på nettsidene mine. Faktorisering brukes til å: Finne fellesnevner i rasjonale uttrykk.
DetaljerFaktor. Eksamen høst 2005 SØK 1001- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto
Faktor -en eksamensavis utgitt av Pareto Eksamen høst 005 SØK 00- Innføring i matematikk for økonomer Besvarelse nr : OBS!! Dette er en eksamensbevarelse, og ikke en fasit. Besvarelsene er uten endringer
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.
DetaljerDeleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at
DetaljerEKSAMEN. V3: Tall og algebra, funksjoner 2 ( trinn)
EKSAMEN Emnekode: LSV3MAT Emne: V3: Tall og algebra, funksjoner (5.-0. trinn) Dato: 3. desember 08 Eksamenstid: kl. 09.00 til kl. 5.00 Hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk vindu Vedlagt formelark Faglærere:
DetaljerFormelsamling H MAT100 Matematikk. Per Kristian Rekdal
Formelsamling H-2016 MAT100 Matematikk Per Kristian Rekdal 2 Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT100 Matematikk ved Høgskolen i Molde, 2016. Formelsamlingen er ment å brukes når man løser innleveringsoppgavene
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Brukerkurs i matematikk B Vår 7 Kapittel 7.3: Rasjonale funksjoner og delbrøkoppspaltning 7.3:3 Bruk polynomdivisjon for
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2013
Eksamen REA30 R1, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Formlene for arealet A av en sirkel og volumet
DetaljerECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger
University of Oslo / Department of Economics / Nils Framstad 9. mars 2011 ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger Revisjoner 9. mars 2011: Nye oppgavesett til 15. og 22. mars. Har benyttet sjansen
DetaljerEksamen REA3028 S2, Høsten 2012
Eksamen REA308 S, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Deriver funksjonene 3x x a) gx 3 3x x 3x
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07
Løsningsforslag til eksamen i MAT H7 DEL. (3 poeng Hva er den partiellderiverte f y når f(x, y, z = xeyz? xze yz e yz xe yz e yz + xze yz e yz + xze yz + xye yz Riktig svar: a xze yz Begrunnelse: Deriver
DetaljerLøsningsforslag midtveiseksamen Mat 1100
Løsningsforslag midtveiseksamen Mat 00 Høsten 202 Oppgave : Riktig svaralternativ er C Vi får r = 2 2 +( 2 3) 2 = 4+4 3= 6 = 4. Videre ser vi (tegn figur) at argumentet til z vil være 60 mer enn 80, dvs.
DetaljerEksamen S2 va ren 2016 løsning
Eksamen S va ren 016 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene x a) f x e f x e b) gx x x 3 x 4 1 x
Detaljer