Oversikt over Matematikk 1

Transkript

1 1 Oversikt over Matematikk 1 Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens av ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivasjon Sekantsetningen Integrasjon Differensialligninger Kurver i planet Rekker

2 2 Elementære funksjoner Algebraiske funksjoner Potenser, polynomer, røtter, rasjonale funksjoner Eksponensial- og logaritmefunksjoner exp x = y ln y = x; a x =exp(xln a) Trigonometriske og omvendte trigonometriske funksjoner sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan Hyperbolske og omvendte hyperbolske funksjoner sinh x = ex e x, cosh x = ex + e x 2 2, tanh x = sinh x cosh x = ex e x e x + e x, og småkompliserte formler for arcsinh, arccosh og arctanh.

3 3 Derivasjon Sekantsetningen for en z mellom a og b. f (z) = f(b) f(a) b a Monotonitet vs fortegnet på den deriverte Omvendte funksjoner Eksistens Derivasjon

4 4 Derivasjon anvendelser Kurvedrøfting Stigende / voksende Konkavitet / konveksitet Vendepunkter Optimalisering: Å finne minimum og maksimum Sjekk kritiske punkter (der f =0eller f ikke eksisterer) og endepunkter for definisjonsintervallet. Implisitt derivasjon Relaterte rater for eksempel x 4 + y 4 =1= dy dx = x3 y 3 for eksempel x 4 + y 4 =1= dy dt = x3 y dx 3 dt

5 5 Derivasjon flere anvendelser L Hôpitals regel 0 0,, 0,, 1, 0 0, 0 : Fordeførsteto: f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x) Men ikke glem å sjekke betingelsene (0/0 eller / )! Newtons metode for åløsef(x) =0 x n+1 = x n f(x n) f (x n )

6 6 Integrasjon Riemannsummer b a f(x) dx = lim P 0 n f(x i ) x i i=1 Antiderivert Fundamentalsetningen: d x f(t) dt = f(x), dx a b a F (x) dx = F (b) F (a)

7 7 Integrasjon (forts) Integrasjonsmetoder Delvis integrasjon udv = uv vdu (produktregelen i revers) Substitusjon Sett inn u = g(x), du = g (x) dx formelt i integralet. Delbrøkoppspalting 1 (x 1)(x +1) 3 (x 2 +2) = A x 1 + B x +1 + C (x +1) + D 2 (x +1) +Ex + F 3 x 2 +2 Spesielle triks Mange, se spesielt E&P avsnitt 9.4 for trigonometriske integraler. Tabelloppslag kombinert med metodene over

8 8 Integrasjon (forts) Uekte eller uegentlige integral b f(x) dx = lim f(x) dx, a b a og tilsvarende om f(x) ± i et endepunkt.

9 9 Integrasjon (forts) Anvendelser Buelengde ds = (dx) 2 +(dy) 2 Areal da = ydx Volum: Cavalieris prinsipp dv = A(x) dx Arbeid og mange andre fysiske anvendelser dw = Fdx Akkumulert formue og mange andre økonomiske størrelser

10 10 Integrasjon (forts) Numerisk integrasjon Trapesregelen b a f(x) dx b a ( f(x0 )+2f(x 1 )+2f(x 2 )+ +2f(x n 1 )+f(x n ) ) 2n Midtpunktregelen Simpsons metode b a f(x) dx b a 2n n ( xi + x ) i 1 f 2 i=1 b a f(x) dx b a ( f(x0 )+4f(x 1 )+2f(x 2 )+ +2f(x n 1 )+f(x n ) ) 3n (vektene er 1, 4, 2, 4, 2, 4,...,4, 2, 4, 1, ogn må være et liketall)

11 11 Integrasjon (forts) Feilestimater i numerisk integrasjon Trapesregelen Midtpunktregelen Simpsons metode ET n K 2(b a) 3 12n 2 EM n K 2(b a) 3 24n 2 ES n K 4(b a) 5 180n 4 Her er K k en øvre skranke for f (k) over [a, b]: Se for øvrig Rottmann! f (k) (x) K k for alle x [a, b].

12 12 Differensialligninger Separable: Generell løsning: g(y) dy dx = f(x) g(y) dy = f(x) dx Entydig løsning for initialverdiproblemet (gitt y(x 0 )=y 0 ): y y 0 g(η) dη = x x 0 f(ξ) dξ (Neida, vi har ikke forelest denne formelen, og det forventes ikke at dere skal kunne den.) I praksis er det som regel greiere å finne integrasjonskonstanten fra den generelle løsningen ved å sette inn for initialbetingelsen.

13 13 Kurver i planet Polarkoordinater x = r cos θ r 2 = x 2 + y 2 y = r sin θ tan θ = y/x Den siste ligningen er bare nesten nok til å gi riktig θ dumåsjekke hvilken kvadrant (x, y) befinner seg i, og eventuelt justere θ ved å legge til eller trekke fra π. Parametrisering x = f(t), y = g(t), t I Glatt kurve: f og g eksisterer og er kontinuerlige, og er aldri null samtidig.

14 14 Kurver i planet (forts) Integralformler Buelengde Arealformler Areal mellom en kurve og origo: ds = (dx) 2 +(dy) r 2 dθ Areal av rotasjonsflate Volum av rotasjonslegeme Skivemetoden(Cavalieris prinsipp igjen) Sylinderskallmetoden De ovenstående utledes stort sett av tilsvarende formler for kurver gitt i vanlige x, y-koordinater, ved å sette inn dx = x dt og dy = y dt. Men pass på fortegnet, og at ikke noe areal dekkes mer enn en gang (eller overhode ikke) her ligger mange farer på lur!

15 15 Rekker Følger og konvergens a k = lim k=1 n a k n k=1 Regneregler Linearitet (a k + b k )= a k + b k, k=1 k=1 k=1 ca k = c k=1 k=1 a k Skifte av summasjonsvariabel, for eksempel a n 1 b n = a 0 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 3 = a n b n+1 n=1

16 16 Rekker (forts) Spesielle rekker Geometrisk rekke x n = 1 1 x p-rekke, konvergent presis når p>1: n=1 1 n p Harmonisk rekke (p = 1), divergent n=1 1 n =

17 17 Rekker (forts) Konvergenstester n-teleddstesten Om a n konvergerer så må a n 0 Alternerende rekke Om a n 1 a n 0 for alle n og a n 0 så konvergerer ( 1) n a n. Viktig poeng for rekker med positive ledd: Om a n > 0 for alle n såerenten a n konvergent eller a n =. Integraltesten Om a n = f(n), f(x) > 0 for alle x og f er avtagende såer a n < n=1 1 f(x) dx < Sammenligningstesten Om 0 a n b n og b n <, er a n <

18 18 Rekker (forts) Konvergenstester (forts) Grensesammenligningstesten Om a n > 0 og b n > 0 og a n 0 < lim <, n b n såer a n og b n enten begge konvergente eller begge divergente. Forholdstesten Om a n > 0 for alle n og a n+1 L = lim n a n eksisterer, gjelder: Om L<1 er a n konvergent, oml>1 er a n divergent, oml =1kan alt skje. Rottesten Som forholdstesten, med L = lim n a1/n n

19 19 Rekker (forts) Absolutt og betinget konvergens Betrakt en rekke. n=1 Rekken er absolutt konvergent om a n <. n=1 En absolutt konvergent rekke er konvergent. Den er betinget konvergent om den er konvergent men ikke absolutt konvergent.

20 20 Rekker (forts) Integraltesten, (grense-)sammenligningstesten, forholdstesten og rottesten virker i utgangspunktet på rekker med positive ledd. Ta absoluttverdien av leddene, så tester de absolutt konvergens for generelle rekker. For eksempel: a n+1 L = lim n a n kan brukes til å teste for absolutt konvergens.

21 21 Taylors formel f(x) = n k=0 f (k) (a) (x a) k + f (n+1) (z) (x a)n+1 k! (n +1)! }{{} R n (x) hvor z er mellom a og x. R n (x) kalles restleddet. Hvis R n (x) 0 når n, konvergerer Taylorrekken: f(x) = f (n) (a) (x a) n n! Taylorrekken for a =0kalles Maclaurinrekken. Noen berømte Maclaurinrekker: exp x = x n n!, cos x = ( 1) n x 2n, sin x = (2n)! ( 1) n x 2n+1 (2n +1)!

22 22 Potensrekker a n (x c) n Det meste av tiden holder vi oss til tilfellet c =0: a n x n En slik rekke har en konvergensradius R: Rekken konvergerer absolutt for x <R, Rekken divergerer for x >R, Alt kan skje for x = ±R. R kan godt være 0 eller. Bestemmes som regel enklest ved hjelp av forholdstesten.

23 23 Potensrekker (forts) Potensrekker kan deriveres og integreres leddvis: f(x) = a n x n = x 0 f (x) = f(t) dt = na n x n 1 n=1 a n n +1 xn+1 Konvergensradien er uendret ved disse operasjonene. Dette kan brukes til å finne summen av ukjente rekker, for eksempel n=1 x n x n! n = 0 n=1 t n 1 n! dt = x 0 1 t n=1 t n x n! dt = e t 1 dt 0 t (Vi klarer riktignok ikke regne ut det siste integralet, men dette gir likevel litt innsikt.)

24 24 Potensrekker (forts) Andre regneregler for potensrekker Lineariteten arves fra generelle rekker: ca n x n = c a n x n, (a n + b n )x n = a n x n + a n x n. Multiplikasjonsregelen sitter litt dypere: ( ) ( ) ( n a n x n a n x n = a k b n k )x n. k=0 Til slutt: Denne oversikten er selvfølgelig alt for kort til åvære fullstendig. Spesielt savnes kanskje teknikker for å stille opp et problem matematisk ut fra en språklig beskrivelse (såkalte uoppstilte problemer), men slikt krever erfaring, og er vanskelig å oppsummere.