Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: Kl. 09:00 Innlevering: Kl. 14:00

Transkript

1 SENSORVEILEDNING MET 803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: Kl. 09:00 Innlevering: Kl. 4:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven.

2 Oppgave Beregn følgende integraler a. ( x 3 + x )dx b. x 3 +x+ x+ dx c. 3x + x 3 +x e x 3 +x dx d. xe 4x dx e. Bestem arealet begrenset av grafen til f(x) = ln x og linjene y = = og x =. a. ( + )dx = x 3 x x 3 + )dx = x x + ln x = ( ) + ln ln = ln ( 3) = ln b. x 3 +x+ x+ dx = (x x+ x+ )dx = 3 x3 x +x ln x+ +K c. Vi beregner 3x + x 3 +x e x 3 +x dx ved substitusjon. Vi setter u = x3 + x og får dx = x 3 +x du. Integralet blir da: e u du = e u + 3x + K = e x 3 +x + K d. xe 4x dx = x 4 e4x 4 e. Figur: e 4x dx = x 4 e4x 4 4 e4x = 4x e 4x + K A = (ln x + )dx = x ln x x + x = ln ln( ) = ln +. e e e e e (Husk at ln xdx = x ln x x + K (Delvis integrasjon)).

3 Oppgave La h(x, y) = x + y 3x y. a. Finn stasjonære punkter. b. Klassifiser punktene du fant i a. c. La området D være gitt ved 0 x og 0 y. Finn globale maksimums- og minimumspunkter når h er definert på D. d. La l være tangentlinja til nivåkurven x +y 3x y = 0 i (, ). Hvor skjærer tangentlinja l x-aksen? a. Stasjonære punkter: I. h x = x xy = 0 gir x( 3y ) = 0 II. h y = 4y x y = 0 gir y( 3x ) = 0 Vi ser at x = 0 impliserer y = 0 (fra likning II). Det betyr at (0, 0) er et stasjonært punkt. x 0 gir y = ± 3 y 0 gir x = ± Vi får fem stasjonære punkter: ( 3 (, 3 3 ) (, 3 ), (, ) og (0, 0)., 3 ), 3 b. A = y C = 4 x B = xy For alle punktene utenom (0, 0) er AC = 0 siden y = 3 og x = 3. Det betyr at AC B < 0 (siden B = xy 0). Altså fire sadelpunkter. For (0, 0) er det omvendt. B = 0 og AC = 4 > 0. Det gir lokalt minimum (A > 0). c. Siden vi har kun et stasjonært punkt på det indre av området og det er et sadelpunkt, har vi ingen kandidater til globale maks- eller minpunkter på det indre. Hjørnene: (0, 0) gir h(0, 0) = = 0 (, 0) gir h(, 0) = = 3

4 (0, ) gir h(0, ) = = (, ) gir h(, ) = + 3 = 0 Vi må sjekke sidekantene: x = 0 gir h(0, y) = y og h (0, y) = 4y og h (0, y) = 0 gir y = 0 som er et hjørne. Ingen nye kandidater. x = gir h(, y) = y og h (, y) = y og h (, y) = 0 gir y = 0 som er et hjørne. Ingen nye kandidater. y = 0 gir h(x, 0) = x og h (x, 0) = x og h (x, 0) = 0 gir x = 0 som er et hjørne. Ingen nye kandidater. y = gir h(x, ) = x og h (x, ) = 4x og h (x, ) = 0 gir x = 0 som er et hjørne. Ingen nye kandidater. Altså: (0, ) gir globalt maks med maksimumsverdi (0, 0) og (, ) globalt min med minimumsverdi 0. d. Tangentlinja er gitt ved y = a(x ) hvor a = h x h y x( 3y ) = ( 3 ) = =. y( 3x ) ( 3 ) Altså får vi y = (x ). Skjæring med x-aksen: Vi setter inn y = 0 og får = x +. Det gir x = 3. Tangentlinja skjærer x-aksen i ( 3, 0). = Oppgave 3 a. Finn summen, S(n), av de n første leddene til rekka x x x 3 x b. For hvilke x konvergerer rekka (m.a.o. at lim n S(n) eksisterer.)? Bestem summen i dette tilfellet. c. Finnes det en x slik at den uendelige summen er lik 8? Hvis ja, finn den tilhørende x-verdien. Hvis nei, begrunn hvorfor dette ikke 4

5 er mulig. a. Vi bruker formelen S(n) = a k n k og får S(n) = x ( x 5 )n ( x 5 ) = x ( x 5 )n + x 5 = 5x ( x 5 )n 5+x. b. Rekka konvergerer for x <. Det vil si 5 < x < 5. Summen 5 er 5x. 5+x c. Vi må løse 5x = 8. Vi får 5x = 8(5 + x). Vi får 3x = x Altså er x = 40 siden denne x verdien ligger i konvergensintervallet, er denne løsningskandidaten ok. Svar: x = Oppgave 4 En bedrift har kostnadsfunksjon K(x) = ln(x + x + ). a. For hvilke x er grensekostnaden lik? b. For hvilke x er grensekostnaden maksimal? a. K (x) = x+ x +x+ = gir x + = x + x +. Vi får x = 0. Det vil si at grensekostnaden er lik for x = 0. b. Vi deriverer K (x) = x+ x +x+ og får K (x) = (x +x+) (x+) ) (x +x+) = x +4x+4 4x 8x 4 (x +x+) = x 4x (x +x+). Den deriverte til grensekostnaden er lik null når x 4x = x(x + ) = 0. Husk at kun x-verdier større enn lik null har mening.siden K (x) < 0 for alle x ikke negative x, er x = 0 et globalt maksimum. Grensekostnaden er maksimal for x = 0. Oppgave 5 5

6 a. Regn ut determinanten a 0 0 a For hvilke verdier av a er determinanten null? b. Betrakt likningsystemet ax + x 3 = a ax + x 3 = a x + x + x 3 = a For hvilke verdier av a har likningsystemet en entydig løsning? Finnes det verdier av a hvor likningssystemet har ingen løsning? [ ] [ ] 0 c. La A = og B =. Regn ut AB BA. 0 3 d. Løs likningen (AB BA)X = (AB BA) A a 0 a. 0 a = a a + 0 a = a(a ) a = a a Siden a a = a(a ), er determinanten null for a = 0 og a =. b. Fra a. vet vi at likningssystemet har presis en løsning når a er forskjellig 0 og. Vi må undersøke disse verdiene spesielt. a= gir (på matriseform): a 0 a 0 a a = 0 0 a Vi erstatter linje med linje -linje3: 0 0 Vi erstatter linje med linje+linje og får:

7 Likningssystemet har uendelig mange løsninger for a =. Tilfellet a = 0 har også uendelig mange løsninger. Her vet vi at vi vil får en rekke med bare nuller, siden siste søyle har bare nuller. Derfor finnes det ingen verdi av a hvor likningsystemet har ingen løsning. [ ] [ ] 0 c. La A = og B =. 0 3 [ ] [ ] [ ] 0 5 AB = = [ ] [ ] [ ] 0 BA = = [ ] [ ] [ ] 5 0 AB BA = = d. (AB BA)X = (AB BA) A gir X = (AB BA) A. [ ] [ ] 0 0 Siden inversen til er blir 0 0 [ ] [ ] [ 0 X = 0 ] [ ] [ ] 0 A = 3 = Oppgave Renate Marie har nyttefunksjon U(x, y) = x 3 y 3 5, hvor x er kilo pizza og y er kilo taco. Kiloprisen for pizza er 50 kroner, og kiloprisen for taco er a kroner. Hun handler for 80 kroner. Finn antall kilo pizza og taco hun kjøper (som funksjon av a). Vi får lagrangefunksjonen: 7

8 L = x 3 y 3 5 λ(50x + ay). I. L x = 3 x 3 y 3 5 λ50 = 0 II. L y = 3 5 x 3 y 5 λa = 0 Det gir: I. 3 x 3 y 3 5 = λ50 II. 3 5 x 3 y 5 I/II gir 3 5 = λa Altså y = 90 a x. y = 50 3 x a Vi setter inn i budsjettbetingelsen: 50x + ay = 80 og får 50x ax = 80. Det gir 40x = 80. Altså x = og y = x = 90 = a a a 80 Renate Marie kjøper kilo pizza og 80 kilo taco. a a 8