MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 016 Separable og førsteordens lineære differensialligninger En differensialligning er separabel hvis den kan skrives på formen y x) = fy)gx). 0.1) En differensialligning er førsteordens lineær hvis den kan skrives på formen y x) + px)yx) = qx). 0.) Strategi for å løse separable differensialligninger. Ettersom = y x) = fy)gx), har vi formelt at = gx). Variablene er separert og integrering gir F y) := fy) = gx) =: Gx) 1 der F y) er en antiderivert til fy) og Gx) er en antiderivert til gx). Invertér funksjonen F. Dvs. løs ligningen F y) = Gx) med hensyn på y. Dette vil gi den generelle løsningen til 0.1): yx) := F 1 Gx)). fy) Strategi for å løse førsteordens lineære differensialligninger. Gjør følgende: 1. Finn en antiderivert, µx), til px).. Derivér uttrykket yx)e µx) med hensyn på x. Dette vil gi d yx)e µx)) = y e µ + ye µ µ = y e µ + ye µ p = y + py)e µ = qe µ.. februar 016 Side 1 av 8

2 Altså er yx)e µx) = qx)e µx), eller yx) = e µx) qx)e µx). 1 Løs differensialligningen y = 3 a) som en førsteordens lineær differensialligning. b) som en separabel differensialligning. c) Finn den unike løsningen til differensialligningen som har en graf som går igjennom punktet x, y) = 0, 1). Løsning: a) Vi ser at differensialligningen står på standardformen y + py = q der px) = og qx) = 3. Vi setter µx) = x slik at µ = p og beregner d yeµ ) = d ye x ) = y e x + ye x ) = y y)e x = 3e x. Dermed er ye x = 3e x = 3 e x + C og vi deler med e x på begge sider og finner at generell løsning er yx) = Ce x 3. b) Differensialligningen kan omskrives til så = 3 + y, 3 + y =.. februar 016 Side av 8

3 Vi integrerer og finner at x + C 1 = = 1, SUB: u = 3 + y, du = 3 + y du u = 1 ln u = 1 ln 3 + y. ln 3 + y = x + C, 3 + y = e x+c, 3 + y = C 3 e x der C 3 = ±e C. Altså er yx) = Ce x 3 som er den samme klassen av funksjoner som vi fant i oppgave a). c) Vi skal altså løse initialverdiproblemet IVP) y = 3, y0) = 1. Generell løsning er yx) = Ce x 3, så når x = 0 er Dvs. C = 1/ og løsningen blir da 1 = y0) = Ce 0 3 = C 3. yx) = ex 3. Løs initialverdiproblemet + y cos x = xe sin x, yπ) = 0. Løsning: Dette er en førsteordens lineær differensialligning der px) = cos x og qx) = xe sin x. Vi setter µx) = sin x og finner at d ye sin x ) = y e sin x + ye sin x cos x = y + y cos x)e sin x = xe sin x e sin x = x.. februar 016 Side 3 av 8

4 Så ye sin x = x = x + C. INIT: 0 = yπ)e sin π = π + C C = π og vi har at løsningen er yx) = x π )e sin x. 3 Finn den generelle løsningen til differensialligningen dn dt + N t = 1 t. Løsning: Igjen er ligningen førsteordens og lineær med pt) = /t og qt) = 1/t. Vi setter µt) = ln t = ln t og finner at d Ne ln t) = d dt dt Nt ) = N t + Nt = N + N t = 1 t t = 1. ) t Så Nt = dt og den generelle løsningen er dermed gitt ved = t + C Nt) = 1 t + C t. 4 Finn en funksjon y slik at og y 1) = 1/. xy x) = yx) + x 3 Løsning: Initialbetingelsen er gitt ved x = 1 så hvis vi antar at x < 0, kan vi dele på x og skrive differensialligningen på standard form y y x = x. februar 016 Side 4 av 8

5 der px) = 1/x og qx) = x. En antiderivert til p er µx) = ln x = ln x), fordi x < 0 = ln 1 ). x Dermed er d ye ln x) ) 1 = d y ) x = y x y = x y y ) 1 x x og INIT: 1 = y 1) 1 Dermed oppfyller funksjonen betingelsene i oppgaven. y x = = x 1 x = x. x = 1 x + C. = C C = 1. yx) = 1 x3 x Kapittel 8.: Likevektspunkter og deres stabilitet La oss si vi har en differensialligning på formen = gy) 0.3) der g er en gitt funksjon. Hva kan man si om egenskapene til løsningene av 0.3) uten å løse differensialligningen? Det er klart at hvis g har et nullpunkt i ŷ, dvs. gŷ) = 0, så vil den konstante funksjonen yx) ŷ 0.4) være en løsning av 0.3) begge sider i 0.3) er alltid lik null). Vi sier da at funksjonen 0.4) er en likevektsløsning av 0.3). Det er også klart at grafen til en løsning av 0.3) vil stige hvis g er positiv og grafen vil synke hvis g er negativ. En viktig egenskap til likevektsløsningene er deres stabilitet. Dette avgjøres ikke av likevektsløsningen selv, men av løsninger med en graf som starter nær ŷ: Anta at vi er gitt. februar 016 Side 5 av 8

6 en initialbetingelse yx 0 ) = y 0 der y 0 er et tall nær likevektspunktet ŷ. Vi sier at ŷ er en stabil likevektsløsning hvis løsningen til initialverdiproblemet vil fortsette å nærme seg ŷ. Vi sier at ŷ er en ustabilt likevektsløsning hvis løsningen fjerner seg fra ŷ. Følgende teorem gjør det enkelt å kategorisere et likevektsløsninger. Teorem 1. En likevektsløsning ŷ til differensialligningen 0.3) er stabilt hvis g ŷ) < 0. En likevektsløsning er ustabilt hvis g ŷ) > 0. 8.: Anta at = 4 y)5 y). a) Finn likevektsløsningene til denne differensialligningen. b) Tegn grafen til som en funksjon av y og bruk grafen til å drøfte stabiliteten til likevektsløsningene. c) Beregn egenverdiene se def. i boken) til hver likevektsløsning og avgjør stabiliteten til likevektsløsningene. Løsning: a) Vi har at = gy) der gy) = 4 y)5 y). Vi finner likevektsløsningene der gy) = 0, dvs. y 1 x) 4 og y x) 5. Litt om notasjon: Vi skriver ofte yx) 4 istedet for yx) = 4 når vi ønsker å presisere at funksjonen y er definert til å være den konstante funksjonen yx) = 4 for alle x. Uttrykket yx) = 4 kan misforstås som en ligning i x. Jeg vil ikke være konsekvent med dette.) b) Som vi ser av figur 1, har g nullpunkter i y 1 = 4 og y = 5. Hvis y < 4 så er g positiv og y g y 1 = 4 y = 5 y Figur 1: Grafen av g har to nullpunkter stige og gå mot 4. Hvis 4 < y < 5 så er g negativ og y vil synke og, igjen, gå mot 4. Altså, y 1 x) = 4 er en stabil likevektsløsning.. februar 016 Side 6 av 8

7 Hvis y > 5 så er g positiv og y vil stige å gå bort fra 5. Altså, y x) = 5 er en ustabil likevektsløsning. c) Vi finner egenverdiene til likevektsløsningene: Vi har at gy) = 4 y)5 y) = y 9y+0, så g y) = y 9. Dette gir at og λ 1 = g y 1 ) = y 1 9 = 1 < 0 λ = g y ) = y 9 = 1 > 0 som bekrefter at y 1 x) = 4 er en stabil likevektsløsning og at y x) = 5 er en ustabil likevektsløsning. 8.:6 Anta at Nt) er størrelsen av en populasjon ved tiden t. N tilfredsstiller differensialligningen dn dt = N 1 N ) 9N =: gn). 0.5) N a) Tegn grafen til g. b) Finn likevektsløsningene til 0.5). c) Bestem stabiliteten til likevektsløsningene. Løsning: a) Vi tegner grafen vha. MATLAB: g N Figur : Grafen til g b) Ifølge figur, ser det ut til at 0.5) har likevektsløsninger y 1 x) = 0, y x) = 5 og y 3 x) =. februar 016 Side 7 av 8

8 40. Vi kan bekrefte det ved regning: gn) = N 1 N 50 = N = N ) 1 N N 5 + N ) 5 + N N) N5 + N) N) = NN 45N + 00) N) NN 5)N 40) = N) og dermed er gn) = 0 N = 0, N = 5 eller N = 40. c) Ifølge figur og samme analyse som i oppgave 8.: b), ser det ut til at y 1 og y 3 er stabile, mens y er ustabil. Også dét kan bekreftes ved regning: så g N) = 1 N N) 9N 5 + N) = 1 N N) g 0) = 1 45/5 = 4/5 < 0. g 5) = 1 5/5 45/10 = 7/0 > 0. g 40) = 1 40/5 45/45 = 8/45 < 0.. februar 016 Side 8 av 8