EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3"

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet i. b) Finn løsningene til ligningen z 2 + 2( + i)z = 2 + 2( 3 )i. Oppgave A-2 a) Finn alle komplekse tall z slik at z 3 = + i, og vis på en figur hvordan de ligger i det komplekse plan. b) La w være den løsningen fra a) som ligger i annen kvadrant. Finn et positivt helt tall n slik at w n er reell. Oppgave A-3 Løs ligningen λ 32 λ λ λ λ = Tegn røttene i det komplekse plan.

2 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 2 av 25 Oppgave A-4 a) Finn alle de komplekse tredjerøttene til 8i. Skriv røttene på formen a + ib der a, b R. Tegn røttene i det komplekse plan. b) Finn en løsning y av differensialligningen slik at y() = 3. xy + 3y = 3x 3/2 (x > ) Oppgave A-5 a) Finn den generelle løsningen av differensialligningen y + y = 4 cos x. b) Finn alle konstanter k slik at y = x k er løsning av x 2 y + xy y =, x >, og finn den generelle løsningen av differensialligningen. c) Finn den generelle løsningen av differensialligningen x 2 y + xy y = 2x 2 e x, x >. d) Bevegelsesligningen for en partikkel med masse m > som beveger seg langs x-aksen er gitt ved mx + 2x + x =. For hvilke m vil bevegelsen være svingende (dvs. være en underdempet svingning)? Oppgave A-6 Finn den generelle løsningen av differensialligningene a) y + y 2y = 4x 2 b) y 2y + y = ex x, x >.

3 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 3 av 25 Oppgave A-7 a) Løs differensialligningen xy + 2y = cos x, x >. b) Løs initialverdiproblemet y 2y + 5y =, y() = 3, y () =. Finn den generelle løsningen av differensialligningene c) y 2y + 5y = sin x d) y + 4y + 4y = e 2x x 2, x >. Oppgave A-8 Bevegelsen til et mekanisk system er gitt ved differensialligningen my + ky = cos ωt der m = 2 og k = 8. For hvilke ω vil løsningen y(t) ikke være begrenset når t? Oppgave A-9 Gitt differensialligningen ( ) y (a + )y + ay = e x der a er et reelt tall. a) Finn en generell løsning av ( ) for alle a. b) Løs initialverdiproblemet gitt ved ( ) og y() = y () = for a. Oppgave A- Vis at y = x k er løsning av differensiallikningen ( ) x 2 y 3xy + 3y = (x > ) for passende verdi(er) av k. Hva blir den generelle løsningen av ( )?

4 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 4 av 25 Oppgave A- a) Finn løsningen av differensiallikningen y + 4y = cos x som tilfredsstiller y() = 4/3, y () = 4 b) Finn den generelle løsningen av differensiallikningen y + a 2 y = cos x for alle reelle tall a. Oppgave A-2 Finn den generelle løsning av differensialligningene a) y + x y = ex2, x > b) y + 4y + 4y = e 2x c) y + y = sin x, < x < π Oppgave A-3 Løs initialverdiproblemet y + 4y + 5y = 5x, y() =, y () = 2. Oppgave A-4 Finn generell løsning av differensialligningen y (a + b)y + aby = for alle reelle tall a og b. Finn deretter generell løsning av differensialligningen y 2ay + a 2 y = e ax. Oppgave A-5 Gitt initialverdiproblemet y = + y sin x, y() =.

5 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 5 av 25 Bruk Eulers metode med skrittlengde. til å finne en tilnærmet verdi av løsningen for x =.5. Bruk svaret til å finne en tilnærmet verdi av integralet.5 e cos t dt. Oppgave A-6 Løs differensialligningen y + 9y = 2 cos 3x, π 6 < x < π 6. Oppgave A-7 En deriverbar funksjon f (som ikke er identisk lik null) tilfredsstiller ligningen x [f(x)] 2 = e x f(t) dt. Vis at y = f(x) tilfredsstiller differensialligningen ( ) 2yy = y 2 + e x y, og finn alle løsninger av ( ). Bestem funksjonen f. Oppgave A-8 a) Finn generell løsning av differensialligningen y x 3 + y 3 4 x2 (y 2 + ) =, x >. Bestem løsningen som oppfyller y() =. b) Finn generell løsning av differensialligningen y 3y y = x + e 2x. Oppgave A-9 a) Løs initialverdiproblemet y y =, y() =, y () = 2.

6 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 6 av 25 b) Finn den generelle løsningen av differensialligningen y y = x sin x. Oppgave A-2 Finn den generelle løsningen av differensialligningen y + 4y + 5y = 5x 2 2x. Oppgave A-2 Finn den generelle løsningen av differensialligningene: a) b) y 2y + 2y = y 2y + 2y = 2x + e x Oppgave A-22 I en by er det fire enveiskjørte gater som krysser hverandre som på figuren. 45 x x 2 x 4 52 x Figur : viser trafikkflyten i oppgave 6 Antall biler som passerer pr. time er angitt på figuren.

7 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 7 av 25 Vis at x = x x 2 x 3 x 4 tilfredsstiller et ligningssystem på formen og løs det. Hva blir x, x 2 og x 3 når x 4 = 2? Ax = b Oppgave A-23 I byen Patos blir hvert år 3% av de gifte kvinnene skilt og 2% av de ugifte blir gift. I byen er det i øyeblikket 8 gifte kvinner og 2 ugifte. Anta at det totale kvinneantallet er konstant. Ifølge lokale lover kan en kvinne kun gifte eller skille seg en gang i året. Vis hvordan antallet gifte og ugifte kvinner etter n år bestemmer antallet av gifte og ugifte kvinner etter (n + ) år. Bruk dette til å regne ut hvor mange gifte og ugifte kvinner det er etter, 2 og 3 år. Oppgave A-24 Finn en 2 2-matrise A slik at differensiallikningssystemet x = Ax har generell løsning [ ] [ ] 2 x = c e 3t + c 2 e t. Oppgave A-25 l/s 3 l/s 3 l/s l l 4 l/s Tank Tank 2 De to tankene på figuren inneholder liter hver av en oppløsning av salt i vann. Inn i Tank strømmer det rent vann med en rate av 3 liter pr. sekund. Mellom tankene og ut av Tank 2 strømmer det saltoppløsning som vist på figuren med de ratene som er angitt. I hver tank holdes saltet jevnt fordelt ved omrøring. Ved tiden t = inneholder Tank 3 g salt og Tank 2 2 g salt. Finn saltmengdene x (t) og x 2 (t) i de to tankene for alle t.

8 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 8 av 25 Oppgave A-26 Eksperimenter viser at radioaktive stoffer desintegrerer (spaltes) med en hastighet proporsjonal med mengden stoff som er til stede. Proporsjonalitetsfaktoren kaller vi desintegrasjonskonstanten. Nedenfor ser vi på en kjede av to radioaktive spaltinger. a) Anta at stoffet desintegrerer til stoffet 2 som i sin tur desintegrerer til stoffet 3. Desintegrasjonskonstantene er hhv k og k 2 der k k 2. Vis at hvis mengden av de tre stoffene ved tiden t = er A, B og C, så er mengden av stoffet 3 ved tiden t > lik ( C + B ( e k2t ) + A k 2 e kt + k ) e k 2t. k 2 k k 2 k b) La nå stoffene, 2 og 3 representere hhv uran, thorium og radium. Dersom uran har halveringstid på 2 5 år og thorium har halveringstid på 8 4 år, hvor mye radium vil vi ha etter 6 år hvis vi starter med g uran og ikke noe thorium eller radium? Oppgave A-27 La A og A 2 være to fylte vannkar hver med konstant volum V som inneholder en saltoppløsning. Mengden salt i A og A 2 ved tidspunktet t = er henholdsvis Q og Q 2. Anta at A tilføres vann med en saltkonsentrasjon C (t). La tankene være forbundet som på figuren med rater som angitt. k k A A 2 k3 k 2 La u (t) og u 2 (t) betegne saltinnholdet i karene ved tiden t. a) Begrunn hvorfor ratene må oppfylle betingelsene k = k 2, k = k + k 3, k = k 2 + k 3 og gjør rede for at u og u 2 tilfredsstiller følgende system av differensialligninger Hva blir initialbetingelsene? du dt = k V u + k k 2 u 2 + k C (t) V du 2 dt = k V u k V u 2. b) Anta først at det tilføres rent vann, og at k > k 2. Hva blir løsningen av differensialligningssystemet?

9 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 9 av 25 c) La k = 9, k 2 = 5, k = 28, V =, Q = 8, Q 2 = 9. Anta C (t) = e t. Finn løsningen av differensialligningssystemet. Oppgave A-28 a) Finn den inverse til matrisen La a være et reelt tall, og la A = M a = 2 a a a a a a.. b) Drøft hvordan rangen til M a varierer med a. c) Drøft dimensjonen til Col(M a ) og Null(M a ) for varierende a. For a =, finn en basis for Col(M a ) og Null(M a ). Oppgave A-29 Gitt matrisen A = a) Vis at [ ] T er en egenvektor for A. Hva er den tilhørende egenverdien? Finn de andre egenverdiene med tilhørende egenvektorer. b) Finn en ortogonal matrise P slik at A = P DP T der D er en diagonalmatrise. Angi D. c) Løs differensialligningssystemet x = Ax og finn en løsning med x() = [3 ] T. Oppgave A-3 a) Tegn et endimensjonalt underrom av R 2. Er mengden av vektorer [x y z] T i R 3 slik at 3x + 2y + z = et underrom av R 3? b) Vis at dersom v, v 2,, v k er parvis ortogonale vektorer i R n, og ingen av dem er nullvektoren, så er v, v 2,, v k lineært uavhengige.

10 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side av 25 Oppgave A-3 La A = [ ]. a) Finn en ortogonal matrise P med det(p ) = slik at D = P T AP blir en diagonalmatrise. Angi D. b) Ligningen 5x 2 + 6x x 2 + 5x 2 2 = 8 fremstiller et kjeglesnitt. Innfør et nytt, rotert koordinatsystem slik at kjeglesnittet ligger i standard posisjon i forhold til det nye systemet. Tegn kjeglesnittet og de nye aksene i x x 2 -planet. Hva slags kjeglesnitt har vi? Oppgave A-32 Gitt matrisen A = a) Bestem en basis for Row(A) (radrommet til A) og Col(A) (kolonnerommet til A) ved å bringe A over på echelon form. b) Finn også en basis for Null(A) (nullrommet til A). c) Bestem alle vektorer slik at ligningssystemet ikke har løsning. a b c Ax = a b c

11 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side av 25 Oppgave A-33 a) Finn en ortogonal matrise P som diagonaliserer matrisen ( ) 9 2 A =, 2 6 det vil si at der D er en diagonal matrise. P T AP = D Skriv opp D og velg P slik at den representerer en rotasjon i planet. Et kjeglesnitt er gitt ved ligningen ( ) 9x xy + 6y 2 2x + 5y =. b) Innfør et nytt koordinatsystem slik at ( ) kommer på enklest mulig (standard) form. Bestem hva slags kjeglesnitt ( ) representerer, skisser dette, og tegn også inn aksene i det nye koordinatsystemet. c) Finn generell løsning til differensialligningssystemet x = 9x + 2y y = 2x + 6y. Oppgave A-34 Gitt matrisen A = a) Finn en basis for vektorrommene Row(A) (radrommet til A) og Col(A) (kolonnerommet til A) ved å bringe matrisen over på echelon form. b) Bestem videre en basis for Null(A) (nullrommet til A.) c) Bestem uten ny regning en basis for Null(A).

12 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 2 av 25 d) For hvilke α har ligningssystemet løsninger? Ax = 2 α Oppgave A-35 Gitt matrisen A = a) Regn ut egenverdiene og egenvektorene til A. (Hint: er en egenverdi til A). b) Bestem en matrise S og en diagonalmatrise D slik at S AS = D. c) Kan en i b) finne en matrise S som er ortogonal? I såfall finn en slik. d) Finn den generelle løsningen av systemet x y = A z x y z e) Sett Regn ut P. P = f) Finn den generelle løsningen av systemet x + y + z = 4x + 4y + 4z x + z = 3x + 2y + 3z y z = y z

13 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 3 av 25 Oppgave A-36 Gitt matrisen a) Løs ligningssystemet A = Ax = ved å bringe totalmatrisen (den augmenterte matrisen) til systemet på redusert echelon form. Bestem også en basis for Null(A). b) Finn en basis for Row(A) og Col(A). Oppgave A-37 Et kjeglesnitt er gitt ved ligningen ( ) 8x 2 + 2x x 2 + 7x 2 2 = 8. Innfør et nytt, rotert koordinatsystem slik at ( ) kommer på enklest mulig (standard) form. Bestem hva slags kjeglesnitt ( ) representerer, skisser dette i x x 2 -planet, og tegn også inn aksene i det nye koordinatsystemet. Oppgave A-38 La V være underrommet i R 4 gitt ved a) Finn en basis for V. V = span{ b) Finn en 3 4 -matrise A slik at V = Null(A)., }.

14 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 4 av 25 Oppgave A-39 Gitt matrisen og likningssystemet der a, b og c er reelle konstanter. A = ( ) Ax = a) Avgjør for hvilke a, b, c likningssystemet ( ) har løsning. b) Løs ( ) når a = 4, b = 2 og c = 3. Finn en basis for Null(A) (nullrommet til A). c) Finn en basis for Row(A) (radrommet til A) og finn en basis for Col(A) (kolonne-/søylerommet) til A. d) Finn en basis for Col(A). Bruk for eksempel resultatet fra a). a b c Oppgave A-4 a) Bruk Gram-Schmidts ortogonaliseringsalgoritme til å finne en ortogonal basis for underrommet V R 4 utspent av vektorene 2 v =, v 2 =, v 3 = 3 5. b) Finn (den ortogonale) projeksjonen av b = ned på underrommet V. Oppgave A-4 La α være et reelt tall og sett α A = α. α

15 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 5 av 25 a) For hvilke verdier av α har ligningssystemet Ax = α + α ) nøyaktig én løsning? 2) uendelig mange løsninger? 3) ingen løsninger? b) Løs ligningssystemet i tilfellet 2) i a). I resten av oppgaven settes α = 2 slik at A = c) Finn egenverdiene og egenvektorene til A. d) Finn en ortogonal matrise P slik at der D er diagonal. Hva blir D? P AP = D e) La den kvadratiske formen Q(x) være gitt ved der x R 3. Vis at Q(x) for alle x R 3. f) Løs differensialligningssystemet Q(x) = x T Ax. y = 2y +y 2 y 3 y 2= y +2y 2 y 3 y 3 = y y 2 +2y 3. Oppgave A-42 La A være en n n-matrise som oppfyller matriseligningen A 2 = 2A I (I betegner identitetsmatrisen). Vis at dersom A er diagonaliserbar, så er A = I. Oppgave A-43 Gitt matrisen A = α α α α α α og vektoren b = + α α α

16 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 6 av 25 a) Bestem rangen til A for alle reelle tall α. b) For hvilke verdier av α er A invertibel? Finn A når α =. c) For hvilke verdier av α har likningssystemet Ax = b nøyaktig en løsning, mer enn en løsning, ingen løsning? Løs likningssystemet når α =. Oppgave A-44 Gitt matrisen a) Vis at A har egenverdier, og 6. b) Det oppgis at 2 og 2 A = egenvektor svarende til egenverdien 6. c) Bestem en 3 3-matrise K slik at i) K AK er en diagonal matrise ii) K = K T d) Den kvadratiske formen er egenvektorer svarende til egenverdiene og. Finn en f(x, x 2, x 3 ) = x 2 + 5x2 2 + x x x 2 + 2x 2 x 3 kan skrives som f(x) = x T Ax, x = x x 2 x 3 Innfør et nytt koordinatsystem slik at f(x) = ay 2 + by2 2 + cy2 3 der y, y 2, y 3 er koordinatene til x i det nye koordinatsystemet. Hva blir a, b, og c?

17 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 7 av 25 Oppgave A-45 [ ] 5 3 a) La A = 3 5 Finn en ortogonal matrise P med determinant lik slik at P T AP blir en diagonalmatrise. b) Ligningen 5x 2 6xy + 5y 2 2 = framstiller et kjeglesnitt K. Innfør et nytt rotert koordinatsystem slik at ligningen til K får enklest mulig form. Tegn K og de nye koordinataksene i xy-planet. Oppgave A-46 La vektorrommet V R 4 være mengden av løsninger til ligningen x + x 2 + x 3 + x 4 = Finn en basis for V og bestem dimensjonen. Oppgave A-47 Vis at ligningssystemet 5x y + z = 2x + y 2 z = a 9x + 3y + z = 2a har løsning for nøyaktig én verdi av a. Løs systemet for denne verdien av a. Oppgave A-48 La A være en invertibel matrise med egenverdi λ og tilhørende egenvektor v. Vis at da er v også en egenvektor for A. Hva er den tilhørende egenverdien? Oppgave A-49 En reell n n-matrise har egenskapen A 2 = A. Vis at determinanten til A er eller. Vis at hvis det(a) =, så er A = I (identitetsmatrisen). Må A være nullmatrisen hvis det(a) =? Begrunn svaret. Oppgave A-5 La x, y og z være lineært uavhengige vektorer i et vektorrom V. Vis at vektorene u, v og w, der u = x, v = x + y og w = x + y + z er lineært uavhengige.

18 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 8 av 25 Oppgave A-5 La A være en kvadratisk matrise som oppfyller betingelsen: A 2 3A + 2I =, hvor I er identitetsmatrisen og er nullmatrisen. Begrunn at A da er invertibel, og finn A uttrykt ved A og I. Fasit A- a) ±( 3 + i) b) 3, ( + 3) 2i A-2 a) z = 6 2 e πi/4 ; z = 6 2 e πi/2 ; z 2 = 6 2 e 9πi/2 b) n = 2 A-3 λ k = 2e i(π/5+2kπ/5), k =,, 2, 3, 4 A-4 a) ± 3 + i; 2i b) y = x x 3/2 A-5 a) y = c + c 2 cos x + c 3 sin x 2x cos x b) k = ±; y = c x + c 2 x, x > c) y = c x + c ( ) 2 2 x + x 2 e x, x > d) m > A-6 a) y = c e x + c 2 e 2x x + 2x 2 b) y = c e x + c 2 xe x + xe x ln x cos x + x sin x + C A-7 a) y =, x > x 2 b) y = 3e x cos 2x 2e x sin 2x c) y = c e x cos 2x + c 2 e x sin 2x + cos x + 2 sin x d) y = c e 2x + c 2 xe 2x e 2x ln x, x >

19 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 9 av 25 A-8 ω = ±2 A-9 a) y = b) y = A- y = C x + C 2 x 3 { c e x + c 2 xe x + 2 x2 e x, a = c e x + c 2 e ax + a xex, a ( a) 2 (eax e x ) + ( a) xex A- a) y = cos 2x + 2 sin 2x + 3 cos x A-2 a) b) a = : y = C x + C 2 cos x a = ± : y = C cos x + C 2 sin x + 2 x sin x a / {, ±} : y = C cos ax + C 2 sin ax + a 2 cos x C x + 2x ex2 b) C e 2x + C 2 xe 2x + 2 x2 e 2x c) C sin x + C 2 cos x + sin x ln(sin x) x cos x A-3 C e 2x cos x + C 2 e 2x sin x x A-4 C e ax + C 2 e bx når a b C e ax + C 2 xe ax når a = b C e ax + C 2 xe ax + 2 x2 e ax A-5.53;.27 A-6 y = C cos 3x + C 2 sin 3x ln(cos 3x) cos 3x + 2 x sin 3x 3 A-7 y = e x + Ce x/2, f(x) = e x e x/2 A-8 a) y 2 = + Ce +x 3, y = + 2e +x 3

20 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 2 av 25 b) y = C e 5x + C 2 e 2x + 3 x 7 xe 2x A-9 a) e x e x b) C e x + C 2 e x (cos x + x sin x) 2 A-2 y = C e 2x cos x + C 2 e 2x sin x + x 2 2x + A-2 a) y = e x (C cos x + C 2 sin x) b) y = e x (C cos x + C 2 sin x + ) + + x A-22 x = 33 + t Når x 4 = 2, er x = 53 x 2 = 7 + t x 2 = 37 x 3 = 2 + t x 3 = 4 x 4 = t x 4 = 2 A-23 [ Gn+ U n+ ] = [ ] [ Gn U n ] ; n 2 3 G n U n A-24 A = [ ] A-25 x (t) = e 3t/5 + 2e t/5 x 2 (t) = 2e 3t/5 + 4e t/5 A-26 b) 94.8 g A-27 a) u () = Q, u 2 () = Q 2 [ ] [ ] [ u b) = c k k k 2 u e λt + c 2 (k k 2 ) 2 k k 2 k (k k 2 ) ] e λ 2t der λ = k + k (k k 2 ), λ 2 = k k (k k 2 ) og V V Q c = 2(k k 2 ) + Q 2 2 k (k k 2 ), c Q 2 = 2(k k 2 ) Q 2 2 k (k k 2 ) c) u (t) = 8e t, u 2 (t) = 9e t

21 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 2 av 25 2 A-28 a) A = 2 2 for a = b) Rang(M a ) = 2 for a = 3 for a ± for a = c) Dim Col(M a ) = 2 for a = 3 for a ± 3 for a = Dim Null(M a ) = 2 for a = for a ± a = : Basis for Col(M a ) : {u, u 2 } der u = [,, ] T, u 2 = [,, ] T f.eks. Basis for Null(M a ) : {v, v 2 } der v = [,,, ] T, v 2 = [,,, ] T f.eks. A-29 a) λ = 9 med oppgitt egenvektor k = [,, ] T ; λ 2,3 = 3 med egenvektorer: rk 2 + sk 3 der k 2 = [,, ] T, k 3 = [,, ] T, (r, s) (, ) 2 3 b) P = D = c) x = c k e 9t + c 2 k 2 e 3t + c 3 k 3 e 3t x() = [3,, ] T hvis c =, c 2 = c 3 = A-3 a) Nei A-3 a) P = [ ] ; D = 2 b) Ellipse [ ] 2 8 A-32 a) 3 2 (f.eks) Basis radrom A: (, 3,, 2), (,,, ) (f.eks)

22 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 22 av 25 Basis søylerom A: b) Basis for Null(A): c) 5a 2b + c (f.eks) (f.eks.) A-33 a) D = b) Parabel [ ] [ ] x 4 c) = c y 3 [ ], P = c 2 e 25t [ 3 4 [ 4 ] ] (f.eks.) A-34 a) Basis Row(A): [ 2 ] T, [ 5 ] T, [ ] T (f.eks.) Basis Col(A): [ 2 3] T, [ ] T, [ ] T (f.eks) b) Basis Null(A): [ 5 ] T, [ 2 ] T (f.eks) c) Null(A) = Row(A) d) Løsning kun for α = 3 A-35 a) λ =, v = a b) S = c) S = 6 d) x y z = c e t e) P = f) Som 3 d) + b (f.eks); D = + c 2 e t, (a, b) (, ); λ = 4, v = c (f.eks) 4 + c 3 e 4t, c

23 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 23 av 25 2 A-36 a) x = 2 + s + t ; s, t R Basis for Null(A): [2,,,, ] T, [,,,, ] T (f.eks.) b) Basis for Row(A) : [2,,,, ] T, [,,,, ] T (f.eks.) Basis for Col(A) : [, 2,, 2] T, [2,, 5, 3] T, [2, 3, 4, ] T (f.eks.) A-37 Ellipse A-38 a) Basis for V : [,,, ] T, [,,, ] T (f.eks.) b) A = (f.eks.) A-39 a) a b + 2c = b) x = r + s 2 + t 2 + Basis for Null(A): [2,,,, ] T, [,, 2,, ] T, [ 3,, 2,, ] T c) Basis for Row(A): [, 2, 2, 3, ] T, [,,, 2, 2] T (f.eks.) (f.eks) e) A-4 a) b) Basis for Col(A): [ 3,, 2] T, [ 8, 2, 5] T (f.eks) 2,, 3 4 (f.eks.) (f.eks.)

24 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 24 av 25 A-4 a) ) α / {, 2} 2) α = 2 3) α = b) + t, t R c) λ =, egenvektorer r λ 4 =, egenvektorer r + s, r, (r, s) (, ) 3 2 d) P = , D = (f.eks) 2 4 f) y = c e t + c 2 e t + c 3 e 4t, c i R 2 A-43 a) α ± : rang A = 4 α = ± : rang A = 3 b) α ± : A = c) α ± : nøyaktig en løsning α = : mer enn en løsning α = : ingen løsning x = [ ] T A-44 b) [2 5 ] T 2/ 6 / 5 2/ 3 c) K = / 6 5/ 3 / 6 2/ 5 / 3 d) a, b, c blir egenverdiene fra a). A-45 a) F.eks. P = 2 [ b) 4(x ) 2 + (y ) 2 = ]

25 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 25 av 25 A-46 Basis f.eks.,,, dim V = 3 A-47 a = 2 ; x = 6 ( t), y = (t ), z = t, t R 6 A-48 λ A-5 A = 3 2 I 2 A

EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag

EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 EKSAMEN I TMA4 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP3S eller

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115

Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Vår 1 1 a) La z = x iy. Da er Re z = x og z = x y. Siden y er et reelt

Detaljer

y(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x.

y(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x. NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk eksamen 4 juni 9 Løsningsforslag 1 Innsatt for z = x + iy kan ligningen skrives x + 1 + i(y ) = x 1 + i(y + ) Ved å benytte at z = a + b for et kompleks

Detaljer

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110)

EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA) Tirsdag 3. november Tid: 9: 3: LØSNINGSFORSLAG MED KOMMENTARER Oppgave I denne oppgaven

Detaljer

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag) Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................

Detaljer

=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i.

=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Fredag. desember Oppgave a) Vi har z = i r e iθ = e i π r =,

Detaljer

Løsningsforslag MAT 120B, høsten 2001

Løsningsforslag MAT 120B, høsten 2001 Løsningsforslag MAT B, høsten Sett A = ( ) (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A ( ) λ =, e = ( λ =, e = ) (b) Finn matrisen e ta og den generelle løsningen på initialverdiproblemet Ẋ = AX, X()

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av

Detaljer

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T. Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen

Detaljer

Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til!

Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til! Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag Eksamen Emnekode: Emnenavn: MA-2 Lineær algebra Dato: Varighet:. desember 2 9. - 4. Antall sider: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

Basis, koordinatsystem og dimensjon

Basis, koordinatsystem og dimensjon Basis, koordinatsystem og dimensjon NTNU, Institutt for matematiske fag 22.-24. oktober 2013 Basis Basis for vektorrom: En endelig mengde B = {b 1, b 2,..., b n } av vektorer i et vektorrom V er en basis

Detaljer

(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3

(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk 3 våren 2009 Løsningsforslag - Øving 10 Fra Edwards & Penney, avsnitt 4.4 5 Vi bruker Algoritme 1 og 2 i EP på sidene 190 og 193 for å finne en basis

Detaljer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadraters problemer vanlig indreprodukt (prikkprod.) i IR n, egenskaper. ortogonalitet i IR n Pythagoras teorem: u og v i IR n er ortogonale hvis og bare hvis u + v 2 =

Detaljer

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015

Rang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015 Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +

Detaljer

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]

Detaljer

MA1201/MA6201 Høsten 2016

MA1201/MA6201 Høsten 2016 MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Løsningsforslag Øving Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 6. a) Stemmer. Anta

Detaljer

TMA4110 Matematikk 3 Høst 2010

TMA4110 Matematikk 3 Høst 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3 Høst 010 Løsningsforslag Øving 4 Fra Kreyszig (9. utgave) avsnitt.7 3 Vi skal løse ligningen (1) y 16y

Detaljer

EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Truls Fretland (73 55 89 87) EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER LØSNINGSFORSLAG

Detaljer

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen 7.4 Singulærverdi dekomposisjonen Singulærverdi dekomposisjon til en matrise A er en av de viktigste faktoriseringene av A (dvs. A skrives som et produkt av matriser). Den inneholder nyttig informasjon

Detaljer

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT - Lineær algebra Onsdag 5 september, 0, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5 3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne

Detaljer

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5)

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5) Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch 5, 5 og 85) Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A I kalkulus (teori av differensiallikninger) er

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Carl Fredrik Berg (975 05 585) EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

Detaljer

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner

4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner 4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: 9. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

R: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og

R: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og EGENVERDIER FOR MATRISER a Motiverende eksempel En by i USA har 0000 innbyggere som stemmer ved valget hvert år. I dag stemmer 8000 for R og 000 for D. Hvert år går 30% fra R til D og 0% fra D til R. Hva

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B

Løsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning

Detaljer

Institutt for Samfunnsøkonomi

Institutt for Samfunnsøkonomi Institutt for Samfunnsøkonomi Løsninger i: ELE 379 Matematikk valgfag Dato: 6.6., 9: 4: Tillatte hjelpemidler: Alle hjelpemidler + Eksamenskalkulator: TEXAS INSTRUMENTS BA II Plus TM Innføringsark: Ruter

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA/MA6 VÅR Oppgave. a Radredusering gir A 4 6 5 R, og siden R har to ledende variabler så får vi ranka. Siden A har re kolonner gir dimensjonsteoremet for matriser at nullitya 4

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

16 Ortogonal diagonalisering

16 Ortogonal diagonalisering Ortogonal diagonalisering Ortogonale matriser Definisjon (Def 7) En n n matrise A kalles ortogonal dersom den er invertibel og A A T Denne betingelsen er ekvivalent til at der I n er n n identitesmatrisen

Detaljer

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer: 5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen.

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.1-3.3 Oppgaver til seksjon 3.1 1. Regn ut a b når a) a = ( 1, 3, 2) b = ( 2, 1, 7) b) a = (4, 3, 1) b = ( 6, 1, 0) 2. Finn arealet til parallellogrammet utspent av a =

Detaljer

6.8 Anvendelser av indreprodukter

6.8 Anvendelser av indreprodukter 6.8 Anvendelser av indreprodukter Vektede minste kvadraters problemer Anta at vi approksimerer en vektor y = (y 1,..., y m ) R m med ŷ = (ŷ 1,..., ŷ m ) R m. Et mål for feilen vi da gjør er y ŷ, der betegner

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B

Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Oppgave 1 En parametrisk linje L og et plan P (i rommet)

Detaljer

Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser

Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser Minste kvadraters løsning, Symmetriske matriser NTNU, Institutt for matematiske fag 19. november 2013 Inkonsistent ligningsystem Anta at Ax = b er et inkonsistent ligningsystem, da er b ikke i Col(A).

Detaljer

Egenverdier for 2 2 matriser

Egenverdier for 2 2 matriser Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

EKSAMEN I MATEMATIKK 1000

EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 Oppgave 1 a) Finn den deriverte av disse funksjonene: f(x) = x 3 e 5x og g(x) = ln(tan(x)) + x 3. b) Finn de følgende ubestemte integralene: i) (x 3 + xe x2 ) dx og ii) cos 2

Detaljer

e x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2

e x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),

Detaljer

MAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012

MAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012 MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer

Detaljer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og

Detaljer

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. 4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 10 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3 Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

Obligatorisk innlevering 2 - MA 109

Obligatorisk innlevering 2 - MA 109 Obligatorisk innlevering 2 - MA 9 Skriv fullt navn og studentnummer øverst på besvarelsen. Du skal bruke sifrene fra studentnummeret i besvarelsen. Studentnummeret ditt er E. Er studentnummeret ditt da

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 1001, HØSTEN (x + 1) 2 dx = u 2 du = u 1 = (x + 1) 1 = 1 x + 1. ln x

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 1001, HØSTEN (x + 1) 2 dx = u 2 du = u 1 = (x + 1) 1 = 1 x + 1. ln x LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 00, HØSTEN 06 DEL.. Hvilken av funksjonene gir en anti-derivert for f(x) = (x + )? Løsning. Vi setter u = x +, som gir du = dx, (x + ) dx = u du = u = (x + ) = x + a) x+ b)

Detaljer

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning EKSAMEN I Matematisk analyse og vektoralgebra, FOA150 KLASSE : Alle DATO : 11. august 006 TID: : Kl. 0900-100 (4 timer) ANTALL OPPGAVER : 5 VARIGHET ANTALL

Detaljer

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som

Detaljer

6.4 Gram-Schmidt prosessen

6.4 Gram-Schmidt prosessen 6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig

Detaljer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Lineær uavhengighet og basis

Lineær uavhengighet og basis Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002 Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012

MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012 200 MAT 02 Våren 200 UiO 0-2. 200 / 48 200 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar)

Detaljer

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1 Løsningsforslag til prøveeksamen i MT, H- DEL. ( poeng Hva er den partiellderiverte f y sin(xy cos(xy y sin(xy x sin(xy cos(xy xy sin(xy cos(xy y sin(xy + xy sin(xy når f(x, y = y cos(xy? Riktig svar:

Detaljer

= 3 11 = = 6 4 = 1.

= 3 11 = = 6 4 = 1. MAT3000/4000 Eksamen V3 Løsningsforslag Oppgave [0 poeng] Sjekk at 3 er en kvadratisk rest i Z/(3) og finn løsningene av likningen x = 3 i Z/(3) (uten å lage en tabell for x ) Du får lov til å bruke at

Detaljer

Differensialligninger

Differensialligninger Oslo, 30. januar, 2009 (http://folk.uio.no/lindstro/diffoslonyprint.pdf) Vanlige ligninger og differensialligninger En vanlig (algebraisk) ligning uttrykker en sammenheng mellom det ukjente tallet x og

Detaljer

5.6 Diskrete dynamiske systemer

5.6 Diskrete dynamiske systemer 5.6 Diskrete dynamiske systemer Egenverdier/egenvektorer er viktige for å analysere systemer av typen x k+1 = A x k, k 0, der A er en kvadratisk diagonaliserbar matrise. Tenker her at x k angir systemets

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/Utsatt eksamen i: MAT1001 Matematikk 1 Eksamensdag: Torsdag 15 januar 2015 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet er på 5 sider Vedlegg:

Detaljer

Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former

Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på symmetriske matriser som har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering.

Detaljer

EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER (TMA4212)

EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER (TMA4212) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Brynjulf Owren (964) EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER

Detaljer

Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på

Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på Kap. 7 Innledning Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på Symmetriske matriser. Disse matrisene har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering. Kvadratiske

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 :, 8, 12, 19, 1, (valgfritt - 9,

Detaljer

EKSAME SOPPGAVE MAT-1004 (BOKMÅL)

EKSAME SOPPGAVE MAT-1004 (BOKMÅL) EKSAME SOPPGAVE MAT-00 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-00 Lineær algebra. Dato : Torsdag 09. juni. Tid : 09.00 -.00. Sted: : Teorifagb., hus, plan. Tillatte hjelpemidler : Godkjent kalkulator, to A ark egne notater

Detaljer

Fasit MAT102 juni 2016

Fasit MAT102 juni 2016 Fasit MAT02 juni 206. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 6 A = 2 7 Svar: λ = 8 og ( ) x = y y ( ) /2, λ = 5 og ( ) x = y y ( ) for alle y 0. (b) Finn den generelle løsningen på systemet

Detaljer

differensiallikninger-oppsummering

differensiallikninger-oppsummering Kapittel 12 differensiallikninger-oppsummering I vår verden endres størrelsene og verdiene som populasjon, vekt, lengde, posisjon, hastighet, temperatur ved tiden eller ved en annen uavhengig variabel.

Detaljer

Oppgaver til seksjon med fasit

Oppgaver til seksjon med fasit Oppgaver til seksjon.6-. med fasit Oppgaver til seksjon.6. Skriv b som en lineærkombinasjon av a og a når a = ( ( a = og b =.. Skriv b som en lineærkombinasjon av a, a og a når a = a =, a = og b = 5. (.

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 04 Løsningsforslag. Eksamen 6. mai Løsning: Oppgave a) dy dx y y y )y ) : gy), så likevektsløsningene

Detaljer

TMA4110 Matematikk 3 Haust 2011

TMA4110 Matematikk 3 Haust 2011 Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3 Haust 2011 Løysingsforslag Øving 2 Oppgåver frå læreboka, s. xliv-xlv 9 Me finn først fjørkonstanten k. Når

Detaljer

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7. MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom

Detaljer

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1 EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk

Detaljer

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14.

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14. Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 2 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 3. mai 2, kl. 9-4. Oppgave En bisverm flyr mellom to kuber, A og B, på dagtid, og hver bi blir

Detaljer

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009 TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +

Detaljer

15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt

15 Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt Hovedprinsippet for vektorrom med et indre produkt La oss minne Hovedprinsippet (Seksjon 8.): Alle (endelig dimensjonale dvs. de som har en endelig basis) vektorrom kan beskrives som R n der n dim V. Alle

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 45. Oppgaver til seminaret 11/11. Oppgaver til gruppene uke 46

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 45. Oppgaver til seminaret 11/11. Oppgaver til gruppene uke 46 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 45 Avsn. 6.1: 19, 31 Avsn. 7.9: 9, 17, 22 På settet: S.1, S.2 Oppgaver til seminaret 11/11 Oppgaver til gruppene uke 46 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn. 6.1 4, 5, 29

Detaljer

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c)

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c) Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 204 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06 Løsningsforslag til eksamen i MAT, H6 DEL. poeng Hva er den partiellderiverte f z xyz cosxyz x sinyz + xyz cosyz xy cosyz x sinyz + xz cosyz cosyz xyz sinyz når fx, y, z = xz sinyz? Riktig svar b: x sinyz

Detaljer

Løs likningssystemet ved å få totalmatrisen på redusert trappeform

Løs likningssystemet ved å få totalmatrisen på redusert trappeform Emne: IRF 10014 Matematikk 1. Lærer: Øystein Holje og Kent Ryne Grupper: Diverse. Dato: 04.1.015 Tid: 9.00 13.00. Antall oppgavesider:. Antall vedleggsider: 3, formelark. Sensurfrist: Hjelpemidler: Godkjent

Detaljer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave

Detaljer

Rom og lineæritet. Erik Bédos. Matematisk Institutt, UiO 2012.

Rom og lineæritet. Erik Bédos. Matematisk Institutt, UiO 2012. Rom og lineæritet Erik Bédos Matematisk Institutt, UiO 202. Lineær algebra er et viktig redskap i nær sagt alle grener av moderne matematikk. De fleste emnene i matematikk på masternivå bygger på en forståelse

Detaljer

10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet

10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet Radrommet kolonnerommet og nullrommet La A være en m n matrise Vi kan beskrive matrisen ved hjelp av dens rader r A r r i R n r m eller dens kolonner A [ c c c n ci R m Definisjon (se Def 7 i boka) For

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,

Detaljer

EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER (TMA4212)

EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER (TMA4212) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Bård Skaflestad (946867) EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.

Detaljer