EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet i. b) Finn løsningene til ligningen z 2 + 2( + i)z = 2 + 2( 3 )i. Oppgave A-2 a) Finn alle komplekse tall z slik at z 3 = + i, og vis på en figur hvordan de ligger i det komplekse plan. b) La w være den løsningen fra a) som ligger i annen kvadrant. Finn et positivt helt tall n slik at w n er reell. Oppgave A-3 Løs ligningen λ 32 λ λ λ λ = Tegn røttene i det komplekse plan.

2 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 2 av 25 Oppgave A-4 a) Finn alle de komplekse tredjerøttene til 8i. Skriv røttene på formen a + ib der a, b R. Tegn røttene i det komplekse plan. b) Finn en løsning y av differensialligningen slik at y() = 3. xy + 3y = 3x 3/2 (x > ) Oppgave A-5 a) Finn den generelle løsningen av differensialligningen y + y = 4 cos x. b) Finn alle konstanter k slik at y = x k er løsning av x 2 y + xy y =, x >, og finn den generelle løsningen av differensialligningen. c) Finn den generelle løsningen av differensialligningen x 2 y + xy y = 2x 2 e x, x >. d) Bevegelsesligningen for en partikkel med masse m > som beveger seg langs x-aksen er gitt ved mx + 2x + x =. For hvilke m vil bevegelsen være svingende (dvs. være en underdempet svingning)? Oppgave A-6 Finn den generelle løsningen av differensialligningene a) y + y 2y = 4x 2 b) y 2y + y = ex x, x >.

3 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 3 av 25 Oppgave A-7 a) Løs differensialligningen xy + 2y = cos x, x >. b) Løs initialverdiproblemet y 2y + 5y =, y() = 3, y () =. Finn den generelle løsningen av differensialligningene c) y 2y + 5y = sin x d) y + 4y + 4y = e 2x x 2, x >. Oppgave A-8 Bevegelsen til et mekanisk system er gitt ved differensialligningen my + ky = cos ωt der m = 2 og k = 8. For hvilke ω vil løsningen y(t) ikke være begrenset når t? Oppgave A-9 Gitt differensialligningen ( ) y (a + )y + ay = e x der a er et reelt tall. a) Finn en generell løsning av ( ) for alle a. b) Løs initialverdiproblemet gitt ved ( ) og y() = y () = for a. Oppgave A- Vis at y = x k er løsning av differensiallikningen ( ) x 2 y 3xy + 3y = (x > ) for passende verdi(er) av k. Hva blir den generelle løsningen av ( )?

4 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 4 av 25 Oppgave A- a) Finn løsningen av differensiallikningen y + 4y = cos x som tilfredsstiller y() = 4/3, y () = 4 b) Finn den generelle løsningen av differensiallikningen y + a 2 y = cos x for alle reelle tall a. Oppgave A-2 Finn den generelle løsning av differensialligningene a) y + x y = ex2, x > b) y + 4y + 4y = e 2x c) y + y = sin x, < x < π Oppgave A-3 Løs initialverdiproblemet y + 4y + 5y = 5x, y() =, y () = 2. Oppgave A-4 Finn generell løsning av differensialligningen y (a + b)y + aby = for alle reelle tall a og b. Finn deretter generell løsning av differensialligningen y 2ay + a 2 y = e ax. Oppgave A-5 Gitt initialverdiproblemet y = + y sin x, y() =.

5 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 5 av 25 Bruk Eulers metode med skrittlengde. til å finne en tilnærmet verdi av løsningen for x =.5. Bruk svaret til å finne en tilnærmet verdi av integralet.5 e cos t dt. Oppgave A-6 Løs differensialligningen y + 9y = 2 cos 3x, π 6 < x < π 6. Oppgave A-7 En deriverbar funksjon f (som ikke er identisk lik null) tilfredsstiller ligningen x [f(x)] 2 = e x f(t) dt. Vis at y = f(x) tilfredsstiller differensialligningen ( ) 2yy = y 2 + e x y, og finn alle løsninger av ( ). Bestem funksjonen f. Oppgave A-8 a) Finn generell løsning av differensialligningen y x 3 + y 3 4 x2 (y 2 + ) =, x >. Bestem løsningen som oppfyller y() =. b) Finn generell løsning av differensialligningen y 3y y = x + e 2x. Oppgave A-9 a) Løs initialverdiproblemet y y =, y() =, y () = 2.

6 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 6 av 25 b) Finn den generelle løsningen av differensialligningen y y = x sin x. Oppgave A-2 Finn den generelle løsningen av differensialligningen y + 4y + 5y = 5x 2 2x. Oppgave A-2 Finn den generelle løsningen av differensialligningene: a) b) y 2y + 2y = y 2y + 2y = 2x + e x Oppgave A-22 I en by er det fire enveiskjørte gater som krysser hverandre som på figuren. 45 x x 2 x 4 52 x Figur : viser trafikkflyten i oppgave 6 Antall biler som passerer pr. time er angitt på figuren.

7 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 7 av 25 Vis at x = x x 2 x 3 x 4 tilfredsstiller et ligningssystem på formen og løs det. Hva blir x, x 2 og x 3 når x 4 = 2? Ax = b Oppgave A-23 I byen Patos blir hvert år 3% av de gifte kvinnene skilt og 2% av de ugifte blir gift. I byen er det i øyeblikket 8 gifte kvinner og 2 ugifte. Anta at det totale kvinneantallet er konstant. Ifølge lokale lover kan en kvinne kun gifte eller skille seg en gang i året. Vis hvordan antallet gifte og ugifte kvinner etter n år bestemmer antallet av gifte og ugifte kvinner etter (n + ) år. Bruk dette til å regne ut hvor mange gifte og ugifte kvinner det er etter, 2 og 3 år. Oppgave A-24 Finn en 2 2-matrise A slik at differensiallikningssystemet x = Ax har generell løsning [ ] [ ] 2 x = c e 3t + c 2 e t. Oppgave A-25 l/s 3 l/s 3 l/s l l 4 l/s Tank Tank 2 De to tankene på figuren inneholder liter hver av en oppløsning av salt i vann. Inn i Tank strømmer det rent vann med en rate av 3 liter pr. sekund. Mellom tankene og ut av Tank 2 strømmer det saltoppløsning som vist på figuren med de ratene som er angitt. I hver tank holdes saltet jevnt fordelt ved omrøring. Ved tiden t = inneholder Tank 3 g salt og Tank 2 2 g salt. Finn saltmengdene x (t) og x 2 (t) i de to tankene for alle t.

8 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 8 av 25 Oppgave A-26 Eksperimenter viser at radioaktive stoffer desintegrerer (spaltes) med en hastighet proporsjonal med mengden stoff som er til stede. Proporsjonalitetsfaktoren kaller vi desintegrasjonskonstanten. Nedenfor ser vi på en kjede av to radioaktive spaltinger. a) Anta at stoffet desintegrerer til stoffet 2 som i sin tur desintegrerer til stoffet 3. Desintegrasjonskonstantene er hhv k og k 2 der k k 2. Vis at hvis mengden av de tre stoffene ved tiden t = er A, B og C, så er mengden av stoffet 3 ved tiden t > lik ( C + B ( e k2t ) + A k 2 e kt + k ) e k 2t. k 2 k k 2 k b) La nå stoffene, 2 og 3 representere hhv uran, thorium og radium. Dersom uran har halveringstid på 2 5 år og thorium har halveringstid på 8 4 år, hvor mye radium vil vi ha etter 6 år hvis vi starter med g uran og ikke noe thorium eller radium? Oppgave A-27 La A og A 2 være to fylte vannkar hver med konstant volum V som inneholder en saltoppløsning. Mengden salt i A og A 2 ved tidspunktet t = er henholdsvis Q og Q 2. Anta at A tilføres vann med en saltkonsentrasjon C (t). La tankene være forbundet som på figuren med rater som angitt. k k A A 2 k3 k 2 La u (t) og u 2 (t) betegne saltinnholdet i karene ved tiden t. a) Begrunn hvorfor ratene må oppfylle betingelsene k = k 2, k = k + k 3, k = k 2 + k 3 og gjør rede for at u og u 2 tilfredsstiller følgende system av differensialligninger Hva blir initialbetingelsene? du dt = k V u + k k 2 u 2 + k C (t) V du 2 dt = k V u k V u 2. b) Anta først at det tilføres rent vann, og at k > k 2. Hva blir løsningen av differensialligningssystemet?

9 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 9 av 25 c) La k = 9, k 2 = 5, k = 28, V =, Q = 8, Q 2 = 9. Anta C (t) = e t. Finn løsningen av differensialligningssystemet. Oppgave A-28 a) Finn den inverse til matrisen La a være et reelt tall, og la A = M a = 2 a a a a a a.. b) Drøft hvordan rangen til M a varierer med a. c) Drøft dimensjonen til Col(M a ) og Null(M a ) for varierende a. For a =, finn en basis for Col(M a ) og Null(M a ). Oppgave A-29 Gitt matrisen A = a) Vis at [ ] T er en egenvektor for A. Hva er den tilhørende egenverdien? Finn de andre egenverdiene med tilhørende egenvektorer. b) Finn en ortogonal matrise P slik at A = P DP T der D er en diagonalmatrise. Angi D. c) Løs differensialligningssystemet x = Ax og finn en løsning med x() = [3 ] T. Oppgave A-3 a) Tegn et endimensjonalt underrom av R 2. Er mengden av vektorer [x y z] T i R 3 slik at 3x + 2y + z = et underrom av R 3? b) Vis at dersom v, v 2,, v k er parvis ortogonale vektorer i R n, og ingen av dem er nullvektoren, så er v, v 2,, v k lineært uavhengige.

10 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side av 25 Oppgave A-3 La A = [ ]. a) Finn en ortogonal matrise P med det(p ) = slik at D = P T AP blir en diagonalmatrise. Angi D. b) Ligningen 5x 2 + 6x x 2 + 5x 2 2 = 8 fremstiller et kjeglesnitt. Innfør et nytt, rotert koordinatsystem slik at kjeglesnittet ligger i standard posisjon i forhold til det nye systemet. Tegn kjeglesnittet og de nye aksene i x x 2 -planet. Hva slags kjeglesnitt har vi? Oppgave A-32 Gitt matrisen A = a) Bestem en basis for Row(A) (radrommet til A) og Col(A) (kolonnerommet til A) ved å bringe A over på echelon form. b) Finn også en basis for Null(A) (nullrommet til A). c) Bestem alle vektorer slik at ligningssystemet ikke har løsning. a b c Ax = a b c

11 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side av 25 Oppgave A-33 a) Finn en ortogonal matrise P som diagonaliserer matrisen ( ) 9 2 A =, 2 6 det vil si at der D er en diagonal matrise. P T AP = D Skriv opp D og velg P slik at den representerer en rotasjon i planet. Et kjeglesnitt er gitt ved ligningen ( ) 9x xy + 6y 2 2x + 5y =. b) Innfør et nytt koordinatsystem slik at ( ) kommer på enklest mulig (standard) form. Bestem hva slags kjeglesnitt ( ) representerer, skisser dette, og tegn også inn aksene i det nye koordinatsystemet. c) Finn generell løsning til differensialligningssystemet x = 9x + 2y y = 2x + 6y. Oppgave A-34 Gitt matrisen A = a) Finn en basis for vektorrommene Row(A) (radrommet til A) og Col(A) (kolonnerommet til A) ved å bringe matrisen over på echelon form. b) Bestem videre en basis for Null(A) (nullrommet til A.) c) Bestem uten ny regning en basis for Null(A).

12 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 2 av 25 d) For hvilke α har ligningssystemet løsninger? Ax = 2 α Oppgave A-35 Gitt matrisen A = a) Regn ut egenverdiene og egenvektorene til A. (Hint: er en egenverdi til A). b) Bestem en matrise S og en diagonalmatrise D slik at S AS = D. c) Kan en i b) finne en matrise S som er ortogonal? I såfall finn en slik. d) Finn den generelle løsningen av systemet x y = A z x y z e) Sett Regn ut P. P = f) Finn den generelle løsningen av systemet x + y + z = 4x + 4y + 4z x + z = 3x + 2y + 3z y z = y z

13 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 3 av 25 Oppgave A-36 Gitt matrisen a) Løs ligningssystemet A = Ax = ved å bringe totalmatrisen (den augmenterte matrisen) til systemet på redusert echelon form. Bestem også en basis for Null(A). b) Finn en basis for Row(A) og Col(A). Oppgave A-37 Et kjeglesnitt er gitt ved ligningen ( ) 8x 2 + 2x x 2 + 7x 2 2 = 8. Innfør et nytt, rotert koordinatsystem slik at ( ) kommer på enklest mulig (standard) form. Bestem hva slags kjeglesnitt ( ) representerer, skisser dette i x x 2 -planet, og tegn også inn aksene i det nye koordinatsystemet. Oppgave A-38 La V være underrommet i R 4 gitt ved a) Finn en basis for V. V = span{ b) Finn en 3 4 -matrise A slik at V = Null(A)., }.

14 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 4 av 25 Oppgave A-39 Gitt matrisen og likningssystemet der a, b og c er reelle konstanter. A = ( ) Ax = a) Avgjør for hvilke a, b, c likningssystemet ( ) har løsning. b) Løs ( ) når a = 4, b = 2 og c = 3. Finn en basis for Null(A) (nullrommet til A). c) Finn en basis for Row(A) (radrommet til A) og finn en basis for Col(A) (kolonne-/søylerommet) til A. d) Finn en basis for Col(A). Bruk for eksempel resultatet fra a). a b c Oppgave A-4 a) Bruk Gram-Schmidts ortogonaliseringsalgoritme til å finne en ortogonal basis for underrommet V R 4 utspent av vektorene 2 v =, v 2 =, v 3 = 3 5. b) Finn (den ortogonale) projeksjonen av b = ned på underrommet V. Oppgave A-4 La α være et reelt tall og sett α A = α. α

15 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 5 av 25 a) For hvilke verdier av α har ligningssystemet Ax = α + α ) nøyaktig én løsning? 2) uendelig mange løsninger? 3) ingen løsninger? b) Løs ligningssystemet i tilfellet 2) i a). I resten av oppgaven settes α = 2 slik at A = c) Finn egenverdiene og egenvektorene til A. d) Finn en ortogonal matrise P slik at der D er diagonal. Hva blir D? P AP = D e) La den kvadratiske formen Q(x) være gitt ved der x R 3. Vis at Q(x) for alle x R 3. f) Løs differensialligningssystemet Q(x) = x T Ax. y = 2y +y 2 y 3 y 2= y +2y 2 y 3 y 3 = y y 2 +2y 3. Oppgave A-42 La A være en n n-matrise som oppfyller matriseligningen A 2 = 2A I (I betegner identitetsmatrisen). Vis at dersom A er diagonaliserbar, så er A = I. Oppgave A-43 Gitt matrisen A = α α α α α α og vektoren b = + α α α

16 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 6 av 25 a) Bestem rangen til A for alle reelle tall α. b) For hvilke verdier av α er A invertibel? Finn A når α =. c) For hvilke verdier av α har likningssystemet Ax = b nøyaktig en løsning, mer enn en løsning, ingen løsning? Løs likningssystemet når α =. Oppgave A-44 Gitt matrisen a) Vis at A har egenverdier, og 6. b) Det oppgis at 2 og 2 A = egenvektor svarende til egenverdien 6. c) Bestem en 3 3-matrise K slik at i) K AK er en diagonal matrise ii) K = K T d) Den kvadratiske formen er egenvektorer svarende til egenverdiene og. Finn en f(x, x 2, x 3 ) = x 2 + 5x2 2 + x x x 2 + 2x 2 x 3 kan skrives som f(x) = x T Ax, x = x x 2 x 3 Innfør et nytt koordinatsystem slik at f(x) = ay 2 + by2 2 + cy2 3 der y, y 2, y 3 er koordinatene til x i det nye koordinatsystemet. Hva blir a, b, og c?

17 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 7 av 25 Oppgave A-45 [ ] 5 3 a) La A = 3 5 Finn en ortogonal matrise P med determinant lik slik at P T AP blir en diagonalmatrise. b) Ligningen 5x 2 6xy + 5y 2 2 = framstiller et kjeglesnitt K. Innfør et nytt rotert koordinatsystem slik at ligningen til K får enklest mulig form. Tegn K og de nye koordinataksene i xy-planet. Oppgave A-46 La vektorrommet V R 4 være mengden av løsninger til ligningen x + x 2 + x 3 + x 4 = Finn en basis for V og bestem dimensjonen. Oppgave A-47 Vis at ligningssystemet 5x y + z = 2x + y 2 z = a 9x + 3y + z = 2a har løsning for nøyaktig én verdi av a. Løs systemet for denne verdien av a. Oppgave A-48 La A være en invertibel matrise med egenverdi λ og tilhørende egenvektor v. Vis at da er v også en egenvektor for A. Hva er den tilhørende egenverdien? Oppgave A-49 En reell n n-matrise har egenskapen A 2 = A. Vis at determinanten til A er eller. Vis at hvis det(a) =, så er A = I (identitetsmatrisen). Må A være nullmatrisen hvis det(a) =? Begrunn svaret. Oppgave A-5 La x, y og z være lineært uavhengige vektorer i et vektorrom V. Vis at vektorene u, v og w, der u = x, v = x + y og w = x + y + z er lineært uavhengige.

18 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 8 av 25 Oppgave A-5 La A være en kvadratisk matrise som oppfyller betingelsen: A 2 3A + 2I =, hvor I er identitetsmatrisen og er nullmatrisen. Begrunn at A da er invertibel, og finn A uttrykt ved A og I. Fasit A- a) ±( 3 + i) b) 3, ( + 3) 2i A-2 a) z = 6 2 e πi/4 ; z = 6 2 e πi/2 ; z 2 = 6 2 e 9πi/2 b) n = 2 A-3 λ k = 2e i(π/5+2kπ/5), k =,, 2, 3, 4 A-4 a) ± 3 + i; 2i b) y = x x 3/2 A-5 a) y = c + c 2 cos x + c 3 sin x 2x cos x b) k = ±; y = c x + c 2 x, x > c) y = c x + c ( ) 2 2 x + x 2 e x, x > d) m > A-6 a) y = c e x + c 2 e 2x x + 2x 2 b) y = c e x + c 2 xe x + xe x ln x cos x + x sin x + C A-7 a) y =, x > x 2 b) y = 3e x cos 2x 2e x sin 2x c) y = c e x cos 2x + c 2 e x sin 2x + cos x + 2 sin x d) y = c e 2x + c 2 xe 2x e 2x ln x, x >

19 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 9 av 25 A-8 ω = ±2 A-9 a) y = b) y = A- y = C x + C 2 x 3 { c e x + c 2 xe x + 2 x2 e x, a = c e x + c 2 e ax + a xex, a ( a) 2 (eax e x ) + ( a) xex A- a) y = cos 2x + 2 sin 2x + 3 cos x A-2 a) b) a = : y = C x + C 2 cos x a = ± : y = C cos x + C 2 sin x + 2 x sin x a / {, ±} : y = C cos ax + C 2 sin ax + a 2 cos x C x + 2x ex2 b) C e 2x + C 2 xe 2x + 2 x2 e 2x c) C sin x + C 2 cos x + sin x ln(sin x) x cos x A-3 C e 2x cos x + C 2 e 2x sin x x A-4 C e ax + C 2 e bx når a b C e ax + C 2 xe ax når a = b C e ax + C 2 xe ax + 2 x2 e ax A-5.53;.27 A-6 y = C cos 3x + C 2 sin 3x ln(cos 3x) cos 3x + 2 x sin 3x 3 A-7 y = e x + Ce x/2, f(x) = e x e x/2 A-8 a) y 2 = + Ce +x 3, y = + 2e +x 3

20 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 2 av 25 b) y = C e 5x + C 2 e 2x + 3 x 7 xe 2x A-9 a) e x e x b) C e x + C 2 e x (cos x + x sin x) 2 A-2 y = C e 2x cos x + C 2 e 2x sin x + x 2 2x + A-2 a) y = e x (C cos x + C 2 sin x) b) y = e x (C cos x + C 2 sin x + ) + + x A-22 x = 33 + t Når x 4 = 2, er x = 53 x 2 = 7 + t x 2 = 37 x 3 = 2 + t x 3 = 4 x 4 = t x 4 = 2 A-23 [ Gn+ U n+ ] = [ ] [ Gn U n ] ; n 2 3 G n U n A-24 A = [ ] A-25 x (t) = e 3t/5 + 2e t/5 x 2 (t) = 2e 3t/5 + 4e t/5 A-26 b) 94.8 g A-27 a) u () = Q, u 2 () = Q 2 [ ] [ ] [ u b) = c k k k 2 u e λt + c 2 (k k 2 ) 2 k k 2 k (k k 2 ) ] e λ 2t der λ = k + k (k k 2 ), λ 2 = k k (k k 2 ) og V V Q c = 2(k k 2 ) + Q 2 2 k (k k 2 ), c Q 2 = 2(k k 2 ) Q 2 2 k (k k 2 ) c) u (t) = 8e t, u 2 (t) = 9e t

21 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 2 av 25 2 A-28 a) A = 2 2 for a = b) Rang(M a ) = 2 for a = 3 for a ± for a = c) Dim Col(M a ) = 2 for a = 3 for a ± 3 for a = Dim Null(M a ) = 2 for a = for a ± a = : Basis for Col(M a ) : {u, u 2 } der u = [,, ] T, u 2 = [,, ] T f.eks. Basis for Null(M a ) : {v, v 2 } der v = [,,, ] T, v 2 = [,,, ] T f.eks. A-29 a) λ = 9 med oppgitt egenvektor k = [,, ] T ; λ 2,3 = 3 med egenvektorer: rk 2 + sk 3 der k 2 = [,, ] T, k 3 = [,, ] T, (r, s) (, ) 2 3 b) P = D = c) x = c k e 9t + c 2 k 2 e 3t + c 3 k 3 e 3t x() = [3,, ] T hvis c =, c 2 = c 3 = A-3 a) Nei A-3 a) P = [ ] ; D = 2 b) Ellipse [ ] 2 8 A-32 a) 3 2 (f.eks) Basis radrom A: (, 3,, 2), (,,, ) (f.eks)

22 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 22 av 25 Basis søylerom A: b) Basis for Null(A): c) 5a 2b + c (f.eks) (f.eks.) A-33 a) D = b) Parabel [ ] [ ] x 4 c) = c y 3 [ ], P = c 2 e 25t [ 3 4 [ 4 ] ] (f.eks.) A-34 a) Basis Row(A): [ 2 ] T, [ 5 ] T, [ ] T (f.eks.) Basis Col(A): [ 2 3] T, [ ] T, [ ] T (f.eks) b) Basis Null(A): [ 5 ] T, [ 2 ] T (f.eks) c) Null(A) = Row(A) d) Løsning kun for α = 3 A-35 a) λ =, v = a b) S = c) S = 6 d) x y z = c e t e) P = f) Som 3 d) + b (f.eks); D = + c 2 e t, (a, b) (, ); λ = 4, v = c (f.eks) 4 + c 3 e 4t, c

23 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 23 av 25 2 A-36 a) x = 2 + s + t ; s, t R Basis for Null(A): [2,,,, ] T, [,,,, ] T (f.eks.) b) Basis for Row(A) : [2,,,, ] T, [,,,, ] T (f.eks.) Basis for Col(A) : [, 2,, 2] T, [2,, 5, 3] T, [2, 3, 4, ] T (f.eks.) A-37 Ellipse A-38 a) Basis for V : [,,, ] T, [,,, ] T (f.eks.) b) A = (f.eks.) A-39 a) a b + 2c = b) x = r + s 2 + t 2 + Basis for Null(A): [2,,,, ] T, [,, 2,, ] T, [ 3,, 2,, ] T c) Basis for Row(A): [, 2, 2, 3, ] T, [,,, 2, 2] T (f.eks.) (f.eks) e) A-4 a) b) Basis for Col(A): [ 3,, 2] T, [ 8, 2, 5] T (f.eks) 2,, 3 4 (f.eks.) (f.eks.)

24 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 24 av 25 A-4 a) ) α / {, 2} 2) α = 2 3) α = b) + t, t R c) λ =, egenvektorer r λ 4 =, egenvektorer r + s, r, (r, s) (, ) 3 2 d) P = , D = (f.eks) 2 4 f) y = c e t + c 2 e t + c 3 e 4t, c i R 2 A-43 a) α ± : rang A = 4 α = ± : rang A = 3 b) α ± : A = c) α ± : nøyaktig en løsning α = : mer enn en løsning α = : ingen løsning x = [ ] T A-44 b) [2 5 ] T 2/ 6 / 5 2/ 3 c) K = / 6 5/ 3 / 6 2/ 5 / 3 d) a, b, c blir egenverdiene fra a). A-45 a) F.eks. P = 2 [ b) 4(x ) 2 + (y ) 2 = ]

25 TMA4/TMA45 Matematikk 3 Side 25 av 25 A-46 Basis f.eks.,,, dim V = 3 A-47 a = 2 ; x = 6 ( t), y = (t ), z = t, t R 6 A-48 λ A-5 A = 3 2 I 2 A