MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016"

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 06 Anbefalte øvingsoppgaver fra boken: 9.3 : 53, 6, 64, 7, 75. Det er bare oppgaven under som skal leveres inn, ikke oppgavene fra boken. Leslie-matrisen se side 459 i boka) for den årlige utviklingen av en populasjon er gitt ved /4 5/4 L / /4 0 der antall individer i de tre årsklassene ved t 0 er 00 n0) Det endelige målet med denne oppgaven er å avgjøre om den samlede bestanden vil dø ut, konvergere mot et stabilt nivå eller vokse mot uendelig. De følgende deloppgavene vil lede deg mot svaret: a) Forklar betydningen av hvert av de positive elementene i L og beregn n), dvs. finn ut hvor mange det er av hvert årstrinn om år. b) Vis at populasjonen etter t år t heltall) er gitt ved nt) L t n0). c) Finn egenverdiene λ, λ og λ 3 til L. Hint: En av egenverdiene er et heltall) d) Finn egenvektorene u, u og u 3 til L og skalér dem slik at alle komponentene er heltall. e) La a, a og a 3 være tre tall og la t N. Vis at L t a u + a u + a 3 u 3 ) a λ t u + a λ t u + a 3 λ t u 3. f) Skriv n0) som en lineærkombinasjon av egenvektorene til L. Dvs. finn 3 tall a, a og a 3 slik at n0) a u + a u + a 3 u 3. g) Avgjør om bestanden vil dø ut, konvergere mot et stabilt nivå eller vokse mot uendelig. Dvs. finn lim t nt). 6. februar 06 Side av 0

2 Løsning: a) Populasjonen består av tre årskull: 0-åringer, -åringer og -åringer. Den første raden i L forteller at hver 0-åring får i gjennomsnitt /4 avkom per år, hver -åring får i gjennomsnitt 5/4 avkom og hver -åring får i gjennomsnitt avkom per år. Tallene under diagonalen forteller at 50% av 0-åringene overlever til de er år og at 5% av -åringene overlever til de er år. Om år er fordelingen gitt ved /4 5/ n) Ln0) / / Altså, etter år er det 50 0-åringer, 00 -åringer og ingen -åringer. Løsning: b) Ettersom n) Ln0) n) Ln) LLn0)) L n0) osv, så er nt) Lnt ) LL t n0) L t n0). Løsning: c) Egenverdiene til L er løsningene av ligningen 0 detl λi) /4 λ 5/4 / λ 0 0 /4 λ / λ 0 /4 λ /4 λ 5/4 / λ, 4 λ 4 λ) λ) 5 4 ) utvikler langs 3. kolonne λ λ λ λ 3 λ 5λ Hvis et heltall er en rot til et polynom med heltallskoeffisienter, så er roten en faktor av konstantleddet. Vi finner i dette tilfellet fort ut at λ er en løsning av ligningen. Altså er λ ) en faktor i 8λ 3 λ 5λ, og ved polynomdivisjon finner vi at 8λ 3 λ 5λ λ )8λ + 6λ + ). 6. februar 06 Side av 0

3 Røttene i den andre faktoren er gitt ved andregradsformelen til å være -/ og -/4. Dermed har vi funnet tre distinkte egenverdier: λ, λ 4, λ 3. Løsning: d) Vi må finne u, u og u 3 slik at Lu i λ i u i, i,, 3. Eller ekvivalent, L λ i I)u i 0. Først finner vi u u, v, w) T som har tilhørende egenverdi λ /: 0 L + ) I u 3/4 5/4 u / / 0 v 0 /4 / w Dette er et ligningssystem som kan løses ved standard radreduksjon, men vi kan være litt smarte og løse dette på en mer direkte måte. Fra rad 3, ser vi at v/4 w/ eller v w. Vi vet også at matrisen er singulær, så løsningen har minst én fri variabel. Hvis vi velger den frie variabelen til å være w t R, så har vi at v t og fra rad får vi u/ v/. Dvs u v t. Altså, for alle t R, så er u t en løsning av ligningen og dermed en egenvektor av L. t gir en passende skalering, og vi har funnet den første egenvektoren u. De to siste egenvektorene finner man med samme fremgangsmåte, og resultatet er 8 u, u 3 4. Løsning: e) På samme måte som i b) ser vi at og La u + a u + a 3 u 3 ) a Lu + a Lu + a 3 Lu 3 a λ u + a λ u + a 3 λ u 3 L a u + a u + a 3 u 3 ) La λ u + a λ u + a 3 λ u 3 ) a λ Lu + a λ Lu + a 3 λ Lu 3 a λ u + a λ u + a 3λ u 3 6. februar 06 Side 3 av 0

4 osv. Dvs for alle t N. L t a u + a u + a 3 u 3 ) a λ t u + a λ t u + a 3 λ t u 3 Løsning: f) La U være 3x3-matrisen der kolonnene er egenvektorene til L: 8 U u u u 3 ) 4. Oppgaven kan nå formuleres som: Finn a a, a, a 3 ) T slik at Ua n0). gang ut venstre side for å se at dette stemmer.) Ettersom L har tre forskjellige egenverdier, så sier et teorem i boken at egenvektorene er lineært uavhengig. Dermed er U inverterbar og det finnes da nøyaktig én a som løser ligningen. Ligningen løses enklest med vanlig radreduksjon, og løsningen er a 0, 40, 0) T. Dvs n0) Ua Løsning: g) Vi fant i oppgave f) at n0) 40u + 0u 3 der u,, ) T og u 3 8, 4, ) T er egenvektorer til L med tilhørende egenverdier henholdsvis λ /4 og λ 3. Fra b) og e) har vi nt) L t n0) L t 40u + 0u 3 ) 40λ t u + 0λ t 3u 3 40 t u + 0 4) t u 3 Dermed er 40 )t 4 t u + 0u 3. ) lim nt) lim 40 )t t t 4 t u + 0u 3 0u + 0u u februar 06 Side 4 av 0

5 Bestanden vil altså stabiliseres med en fordeling på 60 0-åringer, 80 -åringer og 0 - åringer. Merknader: Spørsmålet om stabilitet kunne ha blitt besvart allerede i oppgave c). Det er egenvektoren med den tilhørende egenverdien med størst absoluttverdi som bestemmer utviklingen i det lange løp. Hvis denne verdien er større enn, vil bestanden vokse mot uendelig. Hvis den er mindre enn, vil bestanden dø ut. Eller, som i dette tilfellet, hvis verdien er, vil bestanden konvergere mot en fordeling proposjonal med egenvektoren. Merk også at startverdien, n0), har ingen innvirkning på stabiliteten. 9.3:53 Finn egenvektorer og egenverdier til matrisen A ) 4. 3 Løsning: Den karakteristske ligningen er 0 deta λi) 4 λ 3 λ 4 λ) λ) 3) λ + 3λ + λ + )λ + ), så egenverdiene er Finner egenvektoren v : λ, λ. 0 A λ I)v ) ) 3 u 3 v 0 3u + v. La v t. Da er u 3t og for alle t R, er ) u t v ) /3 en løsning av ligningssettet og dermed en egenvektor til A. Med t 3 får vi egenvektoren ) v februar 06 Side 5 av 0

6 Finner egenvektoren v : Dvs. for alle t R, er 0 A λ I)v ) ) u 3 3 v ) ) u + v 3 3 u v. ) ) u t v en løsning av ligningssettet og dermed en egenvektor til A. Med t får vi egenvektoren ) v. 9.3:6 Finn egenverdiene til matrisen A ) a c. 0 b Løsning: Egenverdiene er løsningene til ligningen Dvs. 0 deta λi) a λ c 0 b λ a λ)b λ) c 0 a λ)b λ). λ a, λ b som er elementene på diagonalen til A. Dette er fordi A er øvre triangulær. 9.3:64 La A ) 3. Avgjør om den reelle delen av begge egenverdiene er negativ uten å beregne dem. Løsning: Vi har bevist et teorem som sier at den reelle delen av egenverdiene til en x-matrise er negative hvis og bare hvis tr A < 0 og det A > februar 06 Side 6 av 0

7 Vi beregner at tr A + < 0 og det A 3 ) > 0. Altså er den reelle delen av begge egenverdiene negativ. 9.3:7 La Beregn A ) 0. 3 ) A 5 0 uten å bruke kalkulator. Løsning: Vi ønsker å skrive, 0) T som en lineærkombinasjon av egenvektorene u og u til A. Ettersom A er nedre triangulær, leser vi av egenverdiene til A på diagonalen: Vi finner u : λ, λ. 0 A + I)u ) ) 0 0 u 3 v 0 3u + v. La v t. Da er u 3t og for alle t R, er ) ) u /3 t v en løsning av ligningssettet og dermed en egenvektor til A. Med t 3 får vi egenvektoren ) u. 3 Finner egenvektoren u : 0 A I)u ) ) 0 u 3 0 v ) ) 0 u + v 3 0 u 0. Dvs. for alle t R, er ) ) u 0 t v 6. februar 06 Side 7 av 0

8 en løsning av ligningssettet og dermed en egenvektor til A. Med t får vi egenvektoren ) 0 u. Vi ønsker nå å finne to tall a og a slik at ) ) ) 0 a 0 u + a u a + a 3. Vi ser at a må være og det følger da at 0 3) + a. Altså at a 3: ) ) ) 0 u 0 + 3u Det følger nå at ) A 5 A 5 u 0 + 3u ) A 5 u + 3A 5 u λ 5 u + 3λ 5 u ) 5 u u u + 3u ) ) ) :75 Anta at L ) er en Leslie-matrise for en populasjon med to årsklasser. a) Finn egenverdiene. b) Gi en biologisk forklaring på den største egenverdien. c) Finn den stabile aldersfordelingen. med dette menes ikke at den totale bestanden nødvendigvis konvergerer, men at den prosentvise fordelingen av hver årsklasse i forhold til den totale bestanden konvergerer.) Løsning: a) Finner egenverdiene: 0 detl λi) λ λ λ) λ). λ λ. 6. februar 06 Side 8 av 0

9 som gir Dvs. λ + 5 og λ 5. λ ± 5. Løsning: b) Det er egenvektoren som korresponderer til den egenverdien med størst absoluttverdi som bestemmer utviklingen på sikt. λ er grenseverdien av vekstraten når t. Løsning: c) Vi finner v. )u 4v. 5 0 L λ I)v ) u v Hvis vi lar u t, så er ) ) u t v 5 4 en løsning av ligningssettet og dermed en egenvektor til L. Med t 4 får vi egenvektoren ) 4 v 5. For en startverdi skrevet som en lineærkombinasjon av egenvektorene n0) a v + a v dette er mulig fordi egenverdiene er forskjellige og dermed er egenvektorene lineært uavhengige), har vi nå at de framtidige populasjonsnivåene er nt) L t n0) L t a v + a v ) a L t v + a L t v a λ t v + a λ t v. Vi ønsker nå å finne den stabile andelen av hver årsklasse i forhold til den totale størrelsen på bestanden. Vi skriver ) nt) nt) mt) der nt) og mt) henholdsvis er antall 0-åringer og -åringer ved tiden t. La også ) ) u u v og v v v 6. februar 06 Side 9 av 0

10 slik at nt) ) nt) mt) Det totale antallet individer ved tiden t er nå a λ t u + a λ t u a λ t v + a λ t v ). nt) + mt) a λ t u + a λ t u + a λ t v + a λ t v a λ t u + v ) + a λ t u + v ) og andelen av 0-åringer i forhold til antallet individer ved tiden t er nt) nt) + mt) a λ t u + a λ t u a λ t u + v ) + a λ t u + v ) a u + a λ λ ) t u a u + v ) + a λ λ ) t u + v ) der vi i siste linje delte på λ t i teller og nevner. Ettersom λ + 5 > 5 λ λ, vil λ lim t λ ) t 0 og dermed vil andelen av 0-åringer i forhold til antallet individer nærme seg tallet lim t nt) nt) + mt) lim t a u + a λ λ ) t u a u + v ) + a λ λ ) t u + v ) u u + v forutsatt at a 0. På samme måte finner vi at andelen -åringer i forhold til antallet individer nærmer seg tallet ) mt) lim t nt) + mt) lim nt) t nt) + mt) Merk at vi ikke hadde behov for å vite n0) for å komme frem til dette resultatet. Vi trengte også bare å beregne den ene egenvektoren; den som tilsvarte den største egenverdien. 6. februar 06 Side 0 av 0

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Brukerkurs i matematikk B Vår Løsningsforslag Øving 6 9..7 Anta at en populasjon er delt inn i tre aldersklasser, og at %

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Brukerkurs i matematikk B Vår Løsningsforslag Øving Oppgaver fra boken: :, 9,,, 5, 9, 5, 67 Det er oppgavene i boldface som

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 04 Løsningsforslag. Eksamen 6. mai Løsning: Oppgave a) dy dx y y y )y ) : gy), så likevektsløsningene

Detaljer

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B

Løsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B. Eksamen 28. mai 2016 Løsningsforslag. Oppgave 1

MA0002 Brukerkurs i matematikk B. Eksamen 28. mai 2016 Løsningsforslag. Oppgave 1 MA000 Brukerkurs i matematikk B Eksamen 8. mai 06 Løsningsforslag Oppgave a) Viser at B = A ved å vise at AB = BA = I. Nedenfor er matrisemultiplikasjonen AB vist (du må vise at BA gir det samme). ( )

Detaljer

Egenverdier og egenvektorer

Egenverdier og egenvektorer Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Løsningsforslag Øving 3 apittel 8.2: Likevektspunkter og deres stabilitet La oss si

Detaljer

7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018

7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018 7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Brukerkurs i matematikk B Vår 7 Kapittel 7.3: Rasjonale funksjoner og delbrøkoppspaltning 7.3:3 Bruk polynomdivisjon for

Detaljer

Diagonalizering. En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1

Diagonalizering. En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1 Diagonalizering En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med en diagonalmatrise D. A = PDP 1 1 Diagonalizering En n n matrise A sies å være diagonaliserbar hvis den er similær med

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4115 Matematikk 3

Eksamensoppgave i TMA4115 Matematikk 3 Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA45 Matematikk 3 Faglig kontakt under eksamen: Aslak Bakke Buan a, Morten Andreas Nome b, Tjerand Silde c Tlf: a mobil Aslak, b mobil Morten, c mobil Tjerand

Detaljer

4 ( ( ( / ) 2 ( ( ( / ) 2 ( ( / 45 % + 25 ( = 4 25 % + 35 / + 35 ( = 2 25 % + 5 / 5 ( =

4 ( ( ( / ) 2 ( ( ( / ) 2 ( ( / 45 % + 25 ( = 4 25 % + 35 / + 35 ( = 2 25 % + 5 / 5 ( = MA Brukerkurs i matematikk B Eksamen 8. mai 6 Løsningsforslag Oppgave a) Viser at! # $ ved å vise at #!!# ' (. Nedenfor er matrisemultiplikasjonen #! vist (du må vise at!# gir det samme). ( + + + / ( +

Detaljer

MA1201/MA6201 Høsten 2016

MA1201/MA6201 Høsten 2016 MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Løsningsforslag Øving Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 6. a) Stemmer. Anta

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Lørdag 25. Mai 29. Tid for eksamen: :5 4:5. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:

Detaljer

TMA4122/TMA4130 Matematikk 4M/4N Høsten 2010

TMA4122/TMA4130 Matematikk 4M/4N Høsten 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4122/TMA410 Matematikk 4M/4N Høsten 2010 1 Oppgave: Løs følgende ligningssystemer ved hjelp av Gauss-eliminasjon med delvis

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009.

Løsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 Løsningsforslag til eksamen i MA/MA6 Lineær algebra med anvendelser høsten 9 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5)

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5) Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch 5, 5 og 85) Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A I kalkulus (teori av differensiallikninger) er

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 10 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 13/4-16/4

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 13/4-16/4 Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /4-6/4 Øyvind Ryan oyvindry@i.uio.no April, 00 Oppgave 4.8. a Bytt om første og andre rad. b Legg til ganger rad til rad. c Bytt om første og andre rad. d Legg til

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 5 desember 2016 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg:

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5 3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne

Detaljer

R: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og

R: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og EGENVERDIER FOR MATRISER a Motiverende eksempel En by i USA har 0000 innbyggere som stemmer ved valget hvert år. I dag stemmer 8000 for R og 000 for D. Hvert år går 30% fra R til D og 0% fra D til R. Hva

Detaljer

1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = 2 1 A =

1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = 2 1 A = Fasit MAT102 juni 2017 Oppgave 1 1. Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 1 2 A = 2 1 Løsning: Egenverdiene er røttene til det karakteristiske polynom gitt ved determinanten av matrisen (

Detaljer

Løsningsforslag MAT102 Vår 2018

Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT102 Tirsdag 12 juni 2018, kl 0900-1400 Oppgavesettet har fem oppgaver Hver deloppgave

Detaljer

TMA4110 Matematikk 3 Haust 2011

TMA4110 Matematikk 3 Haust 2011 Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag TMA40 Matematikk 3 Haust 0 Løysingsforslag Øving Oppgåver frå læreboka kap 5, s 7-73 5 Eigenrommet som svarar til λ = 5 er det

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 016 Separable og førsteordens lineære differensialligninger En differensialligning er separabel

Detaljer

=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i.

=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Fredag. desember Oppgave a) Vi har z = i r e iθ = e i π r =,

Detaljer

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som

Detaljer

Egenverdier for 2 2 matriser

Egenverdier for 2 2 matriser Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 3 8.2.1 Anta at dy = y2 y) dx a) Finn likevektspunktene til

Detaljer

LØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF august 2001

LØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF august 2001 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSSKISSE TIL EKSAMEN I FAG SIF500 0. august 00 Oppgave 5 +6 ( 4 +6)0 dvs. at vi har en rot 0 og 4 røtter av

Detaljer

Løsningsforslag øving 7

Løsningsforslag øving 7 Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 016 Løsningsforslag Øving 1 Kapittel 7.1: Substitusjon Teorem 1. Hvis u = g() så er f(g())g

Detaljer

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430 MAT Vår Oblig Innleveringsfrist: Fredag 9februar kl 43 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7 etg i Niels Henrik Abels hus innen fristen Oppgaven vil

Detaljer

MA2501, Vårsemestre 2019, Numeriske metoder for lineære systemer

MA2501, Vårsemestre 2019, Numeriske metoder for lineære systemer MA5 Vårsemestre 9 Numeriske metoder for lineære systemer Introduksjon Vi vil approksimere løsningen av lineære systemet av n ligningene og n ukjente: a x + a x + + a n x n b a x + a x + + a n x n b ()

Detaljer

Oppgaver til seksjon med fasit

Oppgaver til seksjon med fasit Oppgaver til seksjon.6-. med fasit Oppgaver til seksjon.6. Skriv b som en lineærkombinasjon av a og a når a = ( ( a = og b =.. Skriv b som en lineærkombinasjon av a, a og a når a = a =, a = og b = 5. (.

Detaljer

EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag

EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 EKSAMEN I TMA4 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP3S eller

Detaljer

LO510D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 2005

LO510D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 2005 TF Høgskolen i Sør Trøndelag Avdeling for informatikk og e læring LO5D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 5 Løsningsforslag Eksamen a) Setter α = og β = i ligningssystemet og gausseliminerer totalmatrisen til

Detaljer

EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110)

EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA) Tirsdag 3. november Tid: 9: 3: LØSNINGSFORSLAG MED KOMMENTARER Oppgave I denne oppgaven

Detaljer

Fasit MAT102 juni 2016

Fasit MAT102 juni 2016 Fasit MAT02 juni 206. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 6 A = 2 7 Svar: λ = 8 og ( ) x = y y ( ) /2, λ = 5 og ( ) x = y y ( ) for alle y 0. (b) Finn den generelle løsningen på systemet

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B

Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Oppgave 1 En parametrisk linje L og et plan P (i rommet)

Detaljer

y(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x.

y(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x. NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk eksamen 4 juni 9 Løsningsforslag 1 Innsatt for z = x + iy kan ligningen skrives x + 1 + i(y ) = x 1 + i(y + ) Ved å benytte at z = a + b for et kompleks

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Lineær algebra Eksamensdag: Mandag,. desember 7. Tid for eksamen: 4. 8.. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

TMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0

TMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0 TMA4 Eksamen høsten 28 EKSEMPEL Løsning Side av 8 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 2 Dette gir likningene og 2 2 4 2 6 7 2. x 7x 4 = x 2 + 2x

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Truls Fretland (73 55 89 87) EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER LØSNINGSFORSLAG

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus

Detaljer

Eksamensoppgave i MA0002 Brukerkurs i matematikk B - LØSNING

Eksamensoppgave i MA0002 Brukerkurs i matematikk B - LØSNING Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0002 Brukerkurs i matematikk B - LØSNING Faglig kontakt under eksamen: Frode Rønning Tlf: 95 21 81 38 Eksamensdato: 7. august 2017 Eksamenstid (fra til):

Detaljer

Eksamensoppgave i MA2501 Numeriske metoder

Eksamensoppgave i MA2501 Numeriske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA50 Numeriske metoder Faglig kontakt under eksamen: Trond Kvamsdal Tlf: 9305870 Eksamensdato: 3. mai 08 Eksamenstid (fra til): 09:00 3:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001)

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA1) Bokmål Tirsdag 1. desember 11 Tid: 9: 1: (4 timer)

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

TMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:

TMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 0 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 0. desember 0 Tid for eksamen: 4.30 8.30. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T. Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen

Detaljer

TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2018

TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4140 Diskret Matematikk Høst 018 Seksjon 81 11 a) Oppgaven spør etter antall måter man kan gå opp n trappetrinn dersom man

Detaljer

Tidligere eksamensoppgaver

Tidligere eksamensoppgaver Tillegg B Tidligere eksamensoppgaver Her følger et kronologisk utvalg av tidligere ekamensoppgaver innenfor temaet lineær algebra gitt i tilsvarende kurs som MAT1001 ved UiO. Utvalget er gjort med hensyn

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115

Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Vår 1 1 a) La z = x iy. Da er Re z = x og z = x y. Siden y er et reelt

Detaljer

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag) Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6

Detaljer

EKSAMEN I NUMERISK LINEÆR ALGEBRA (TMA4205)

EKSAMEN I NUMERISK LINEÆR ALGEBRA (TMA4205) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Kontakt under eksamen Navn: Bawfeh Kingsley Kometa kontor: 7359975, mobil: 936 24 483) Sensur: 06.0.20 EKSAMEN I NUMERISK

Detaljer

TMA4115 Matematikk 3 Vår 2017

TMA4115 Matematikk 3 Vår 2017 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk Vår 2017 Obligatoriske oppgaver Lay, avsnitt 1.6 5. Bor-sulfid reagerer voldsomt med vann for å danne borsyre

Detaljer

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. 4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet

Detaljer

Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006

Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006 Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 006 Oppgave I hele oppgaven bruker vi I = 0 0 0 0. 0 0 a) Matrisen A har størrelse og B har størrelse slik at matriseproduktet A B er en

Detaljer

EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag

EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator

Detaljer

Eksamensoppgave i MA1201 Lineær algebra og geometri

Eksamensoppgave i MA1201 Lineær algebra og geometri Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1201 Lineær algebra og geometri Faglig kontakt under eksamen: Steffen Oppermann Tlf: 9189 7712 Eksamensdato: 05.10.2016 Eksamenstid (fra til): 08:15 09:45

Detaljer

Øving 12, ST1301 A: B:

Øving 12, ST1301 A: B: Øving 12, ST1301 Oppgave 1 En to-utvalgs t-test forutsetter at observasjonene i hvert utvalg X 1 ; X 2 ; : : : ; X n og Y 1 ; Y 2 ; : : : ; Y m er uavhengige normalfordelte variable. Hvis testen oppfører

Detaljer

Løsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 3719 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar Oppgave 1. (A) Vi leser av at

Løsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 3719 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar Oppgave 1. (A) Vi leser av at Løsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 379 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar 05 Oppgave. (A) Vi leser av at A = 3 5, B = ( 0 5 ), C = 0 5 9 og har dermed at π x = Ax + BT =

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. V.008. Løsningsforslag til eksamen i emnet MAT131 - Differensialligninger I 8. mai 008 kl. 0900-1400 Vi har ligningen der α er

Detaljer

2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M =

2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M = Oppgave a) Løs likningssystemet x + 3x + x 3 = x + x 3 = 0 3x + x + 3x 3 = 8 Svar: Rekkereduksjon av totalmatrisen gir 0 0 0 0 7 0 0 0 0 Det betyr at løsningen er gitt ved x +x 3 = 0, x = 7 og x 3 en fri

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/Utsatt eksamen i: MAT1001 Matematikk 1 Eksamensdag: Torsdag 15 januar 2015 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet er på 5 sider Vedlegg:

Detaljer

Diagonalisering. Kapittel 10

Diagonalisering. Kapittel 10 Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel

Detaljer

6 Determinanter TMA4110 høsten 2018

6 Determinanter TMA4110 høsten 2018 6 Determinanter TMA4110 høsten 2018 En matrise inneholder mange tall og dermed mye informasjon så mye at det kan være litt overveldende Vi kan kondensere ned all informasjonen i en kvadratisk matrise til

Detaljer

Fasit til eksamen i emnet MAT102 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 21.september 2015

Fasit til eksamen i emnet MAT102 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 21.september 2015 Fasit til eksamen i emnet MAT02 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 2.september 205 Fasit. (a) Løs ligningssystemene. i) 5x + 7y = 4 3x + 2y = ii) 3x + 4y + z = 2 2x + 3y + 3z = 7 Svar: i) x = 85/, y =

Detaljer

EKSAMEN I MA0002 Brukerkurs B i matematikk

EKSAMEN I MA0002 Brukerkurs B i matematikk Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Achenef Tesfahun (9 84 97 5) EKSAMEN I MA2 Brukerkurs B i matematikk Lørdag 322 Tid:

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser våren 2009.

Løsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser våren 2009. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i MA22/MA622 Lineær algebra med anvendelser våren 29 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet

Detaljer

Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005

Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 3, onsdag 3. november 5 Del Oppgave Funksjonen f(x) er

Detaljer

MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012

MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012 200 MAT 02 Våren 200 UiO 0-2. 200 / 48 200 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar)

Detaljer

5.8 Iterative estimater på egenverdier

5.8 Iterative estimater på egenverdier 5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Løsningsforslag MAT102 - v Jon Eivind Vatne

Løsningsforslag MAT102 - v Jon Eivind Vatne Løsningsforslag MAT02 - v203 - Jon Eivind Vatne. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = ( ) 4 2. 3 Svar: Fra den karakteristiske ligningen A λi 2 = λ 2 + 3λ + 2 = 0 får vi egenverdiene

Detaljer

EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Carl Fredrik Berg (975 05 585) EKSAMEN I MA1202 OG MA6202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03

Løsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03 Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 10 10.6.3 La f (x, y) = x 2 y 4x 2 4y der (x, y) R 2. Finn alle

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA0002, VÅR 09

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA0002, VÅR 09 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA000, VÅR 09 Oppgave a) (0%) Løs initialverdiproblemet gitt ved differensialligningen med

Detaljer

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs i analyse II Vår 4 Løsningsforslag Øving 9 7.3.b Med f() = tan +, så er f () = cos () på intervallet ( π/, π/).

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: 9. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

Vektorligninger. Kapittel 3. Vektorregning

Vektorligninger. Kapittel 3. Vektorregning Kapittel Vektorligninger I denne uken skal vi bruke enkel vektorregning til å analysere lineære ligningssystemer. Vi skal ha et spesielt fokus på R, for det går an å visualisere; klarer man det, går det

Detaljer

Løsningsforslag MAT 120B, høsten 2001

Løsningsforslag MAT 120B, høsten 2001 Løsningsforslag MAT B, høsten Sett A = ( ) (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A ( ) λ =, e = ( λ =, e = ) (b) Finn matrisen e ta og den generelle løsningen på initialverdiproblemet Ẋ = AX, X()

Detaljer

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9 MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) September 2008 Oppgaver fra 5.1 Denisjon av egenverdier, egenvektorer, egenrom. Teorem 1 s. 306: Egenverdiene til en triangulær

Detaljer

MA1201/MA6201 Høsten 2016

MA1201/MA6201 Høsten 2016 MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Med forebehold om feil Hvis du finner en, ta kontakt med Karin Kapittel 4 8 Vi benevner matrisen vi skal frem til

Detaljer

Dynamiske systemer. Kapittel Diskrete dynamiske systemer

Dynamiske systemer. Kapittel Diskrete dynamiske systemer I _ j j * Kapittel Dynamiske systemer Mange fenomener innen naturvitenskap kan beskrives med det som i matematisk teori kalles et dynamisk system Felles for alle dynamiske systemer er at vi betrakter et

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

Matriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon

Matriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper

Detaljer