Repitisjon av Diverse Emner

Transkript

1 NTNU December 15, 2012

2 Oversikt

3 Å substituere x med en trigonometrisk funksjon, gjør det mulig å evaluere integral av typen I = dx a 2 +x 2 I = dx a 2 +x 2 I = dx a 2 x 2 der a er en positiv konstant.

4 I = dx a 2 +x 2 Her er det ingen begrensninger på integrasjonsintervallet (fordi integranden er definért for alle x). SUB: x = a tan θ Merk: For alle x finnes en, og bare en π 2 < θ < π 2 x = a tan θ slik at

5 I = dx a 2 +x 2 SUB: x = a tan θ dx = a(1 + tan 2 θ)dθ = 1 a (a2 + a 2 tan 2 θ)dθ = 1 a (a2 + x 2 )dθ dx I = a 2 + x 2 1 a = (a2 + x 2 )dθ a 2 + x 2 = 1 dθ a = θ a + C = 1 a arctan(x/a) + C

6 I = dx a2 +x 2 Her er det ingen begrensninger på integrasjonsintervallet (fordi integranden er definért for alle x). Der er, også her, mulig å bruke x = a tan θ, men det er enklere å gjøre substitusjonen SUB: x = a sinh θ Merk: For alle x finnes en, og bare en < θ < slik at x = a sinh θ

7 I = dx a2 +x 2 SUB: x = a sinh θ dx = a cosh θdθ = a 1 + sinh 2 θdθ = a 2 + a 2 sinh 2 θdθ = a 2 + x 2 dθ I = = dx a 2 + x 2 dθ = θ + C = sinh 1 (x/a) + C 1 = ln(x + x 2 + a 2 ) + C 2

8 I = dx a2 x 2 Her er det begrensninger på integrasjonsintervallet (fordi integranden er definért bare for x < a). SUB: x = a sin θ Merk: For alle x < a finnes en, og bare en π 2 < θ < π 2 x = a sin θ slik at

9 I = dx a2 x 2 SUB: x = a sin θ dx = a cos θdθ = a 1 sin 2 θdθ = a 2 a 2 sin 2 θdθ = a 2 x 2 dθ I = = dx a 2 x 2 dθ = θ + C = arcsin(x/a) + C

10 Oppsummering dx a 2 +x 2 SUB: x = a tan θ dx a 2 +x 2 SUB: x = a sinh θ dx a 2 x 2 SUB: x = a sin θ dx x 2 a 2 =? = 1 a arctan(x/a) + C = ln(x + x 2 + a 2 ) + C = arcsin(x/a) + C

11 Tegn figur Finn alle sammenhengene mellom de aktuelle variablene Kjerneregelen Bruk Leibnizs notasjon

12 Eksempel: V = 4 3 πr 3 dv dt = k er oppgitt. Finn dr dt når r = r 0. dv dt = dv dr dr dt. dr dv /dt = dt dv /dr dr dv /dt dt = r=r0 dv /dr = r=r0 k 4πr 2 0

13 Vi har lært å løse to typer differensialligninger eksakt: Separable Førsteordens Lineære

14 Separable dy dx = f (x)g(y), y(x 0) = y 0 der f og g er kjente funksjoner og x 0 og y 0 er gitte tall. Integrering av de like differensialene dy g(y) = f (x)dx vil gi løsningen y(x) implisitt dy g(y) = f (x)dx. Bruk initsialbetingelsen for å finne integrasjonskonstanten.

15 Førsteordens Lineære y (x) + p(x)y = q(x), y(x 0 ) = y 0 der p og q er kjente funksjoner og x 0 og y 0 er gitte tall. To ting du behøver å huske Finn en funksjon w(x) slik at w (x) = p(x) Regn ut d ( dx y(x)e w(x) )

16 y (x) + p(x)y = q(x), y(x 0 ) = y 0 w (x) = p(x) d dx (yew ) = y e w + ye w w = (y + py)e w = qe w ye w = qe w dx Bruk initsialbetingelsen for å finne integrasjonskonstanten: ( x ) y(x) = e w(x) q(u)e w(u) du + y 0 e w(0). x 0

17 Et induksjonsbevis er et bevis som benytter en metode som er spesielt nyttig når man vil bevise sammenhenger som inkluderer heltall. Vi ønsker å bevise at påstanden P(n) er sann for alle n = 1, 2, 3,... Vis at P(1) er sann Anta at P(k) er sann for en vilkårlig k 1 Vis at P(k + 1) er sann. Ved induksjon er da P(n) sann for alle n N.

18 Feilestimat vha. Taylors Formel La f være en funksjon som kan skrives som en Taylorrekke om a: f (n) (a) f (x) = (x a) n, x ( R + a, R + a) n! La n=0 P N (x) = N n=0 f (n) (a) (x a) n. n! R c N (x) = f (N+1) (c) (N + 1)! (x a)(n+1). Teorem: For alle N finnes en c mellom x og a slik at f (x) = P N (x) + R c N (x).

19 f (x) = P N (x) + R c N (x) Problem: Finn Taylorpolynomet P N (x) som tilnærmer f (x) når x I med en feil mindre enn ɛ. Finn R c N, som bare avhenger av N og c, slik at Rc N (x) Rc N for alle x I. f.eks R c N = max x I R c N (x) Finn R N, som bare avhenger av N, slik at R c N R N for alle c I. f.eks R N = max c I R c N Finn (den minste) N slik at R N < ɛ. (tabell) For, med denne Nen, kan vi med sikkerhet si at f (x) P N (x) = R c N (x) Rc N R N < ɛ.