TMA4120 Matematikk 4K Høst 2015

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41 Matematikk 4K Høst 15 Chapter 6.7 Systemer av ODE. Vi bruker L t} 1 s, L e at f(t } F (s a 6.7:9 Løs IVP. y 1 y 1 + y, y 1 ( 1, y y 1 + 3y, y (. sy 1 y 1 ( Y 1 + Y sy y ( Y 1 + 3Y, (1 sy 1 + Y 1 Y 1 + (3 sy. Dette er et lineært ligningssystem med løsning Vi transformerer tilbake, og får Y 1 s 3 (s 1 s 1 (s 1 Y (s. y 1 e t te t y te t. 1. september 15 Side 1 av 1

2 Chapter 11.1 Fourier-rekken til f er gitt ved a + (a n cos nx + b n sin nx der a 1 a n 1 b n 1 f(x dx f(x cos nx dx f(x sin nx dx. 11.1: La n > være gitt. Finn fundamentalperioden til f(x cos nx. Vi må finne det minste positive tallet p slik at f(x + p f(x for alle x. Vi har at f (x + p cos (n (x + p cos(nx + np Ettersom cos har fundamentalperiode, er dette lik cos nx hvis og bare hvis np k for en k Z. Dvs. p k n. Det minste positive tallet på denne formen er p n. På samme måte finner vi at fundamentalperioden til sin nx er p n. For cos x k og sin x k setter vi n k og finner at p n k. For cos nx k og sin nx k setter vi m k og finner at p m k/n. 11.1:15 Finn Fourier-rekken til f(x x, < x <, f(x + f(x. Vi bruker at integralet av en periodisk funksjon med periode p over et intervall med lengde p er uhavhengig av hvor intervallet ligger: 1. september 15 Side av 1

3 Bevis. La f være periodisk med periode p. La a R. Da er a+p a f(x dx p a f(x dx + a+p p f(x dx. Gjør substitusjonen y x p i det siste integralet. Dette gir dy dx, x p y og x a + p y a, og dermed er a+p a f(x dx p a p a p f(x dx + f(x dx + f(x dx. a a f(y + p dy f(y dy Husk også at produktet av to funksjoner med periode p, igjen er en funksjon med periode p. a x3 f(x dx x dx a n 1 f(x cos nx dx 1 x cos nx dx ( 1 x sin nx x sin nx dx n n ( x cos nx + 1 cos nx dx n n ( n + 1 n sin nx 4 n 4 n. 1. september 15 Side 3 av 1

4 b n 1 1 ( 1 ( 1 f(x sin nx dx 4 n 4 n + 4 n. x sin nx dx x cos nx + n n ( x sin nx n + n 1 n ( + 1 n cos nx x cos nx dx sin nx dx Dette gir Fourier-rekken a + (a n cos nx + b n sin nx 4 ( cos nx sin nx n n 11.1:17 Finn Fourier-rekken til x +, < x <, f(x x +, < x <, f(x + f(x. a 1 f(x dx 1, a n 1 f(x cos nx dx 1 ( (x + cos nx dx + sub: y x i det første integralet gir a n ( x + cos nx dx ( x sin nx + 1 n n ( + 1n ( cos nx + n ( cos 1 n + 4 n, n odde,, n jevn. (opplagt ut ifra tegningen. ( x + cos nx dx sin nx dx + sin nx cos nx 1. september 15 Side 4 av 1

5 b n 1 f(x sin nx dx 1 ( (x + sin nx dx + sub: y x i det første integralet gir b n. Dette gir Fourier-rekken a + (a n cos nx + b n sin nx + 4 ( x + sin nx dx cos(n 1x (n :1 Finn Fourier-rekken til x, < x <, f(x x +, < x <, f(x + f(x. a 1 f(x dx, a n 1 f(x cos nx dx 1 ( sub: y x i det første integralet gir a n. ( x cos nx dx + b n 1 f(x sin nx dx 1 ( ( x sin nx dx + sub: y x i det første integralet gir (opplagt ut ifra tegningen. ( x + cos nx dx ( x + sin nx dx b n ( x + sin nx dx ( x cos nx + 1 cos nx dx + sin nx n n ( cos 1 n n sin nx n cos nx ( n cos n (cos 1 n. 1. september 15 Side 5 av 1

6 Dette gir Fourier-rekken a + (a n cos nx + b n sin nx sin nx n. Chapter :1 Avgjør om følgende funksjoner er odde eller jevne. e x, e x, x 3 cos nx, x tan x, sinh x cosh x. Vi kan observere følgende: Hvis f er både odde og jevn, så er f(x for alle x. Bevis: La x R. Da er f(x f( x f(x der den første likheten følger av at f er jevn og den andre likheten følger av at f er odde. Dermed er f(x. a f(x e x er hverken odde eller jevn fordi f.eks. f( 1 e 1 1 e e e f(1 f(1. b f(x e x jevn fordi f( x e x e x f(x. f er ikke odde fordi f ikke er konstant lik. c f(x x 3 cos nx er odde fordi f( x ( x 3 cos( nx x 3 cos nx f(x. f er ikke jevn fordi f ikke er konstant lik. d f(x x tan x er odde fordi tan x er odde og f( x ( x tan(x x tan x f(x. 1. september 15 Side 6 av 1

7 e f(x sinh x cosh x er hverken odde eller jevn fordi f(x sinh x cosh x ex e x e x. ex + e x 11.:6 Avgjør om produktet av en odde og en jevn funksjon er odde eller jevn. Produktet av en odde og en jevn funksjon er en odde funksjon. Bevis. La f være en odde funksjon og la g være en jevn funksjon. Definer funksjonen h som produktet h(x f(xg(x. Vi må vise at h( x h(x for alle x. La x R da er h( x f( xg( x f(xg( x f(xg(x h(x. 11.:1 Avgjør om funksjonen x 4, 4 < x <, g(x x + 4, < x < 4, g(x + 8 g(x. er odde eller jevn. Finn Fourier-rekken. (se figur s.491 Av figuren s.491 er det åpenbart at g er odde. Et algebraisk bevis er som følger: 1. september 15 Side 7 av 1

8 La x R og skriv x 8q + r slik at q er et heltall og 4 < r 4 er resten etter divisjon av x med 8. Da er g( x g( r 8q g( r ( r 4, 4 < r < ( r + 4, < r < 4 r 4, < r < 4 r + 4, 4 < r < r 4, 4 < r < r + 4, < r < 4 g(r g(r + 8q g(x. I oppgave 11.1:1 fant vi at funksjonen x, < x <, f(x x +, < x <, f(x + f(x hadde Fourier-rekke Vi ser at sin nx n. ( f 4 x 4 x, < 4 x <, 4 x +, < 4 x <, x 4, 4 < x <, 4 x + 4, < x < 4, 4 g(x. Dermed er g(x 4 f ( 4 x med Fourier-rekke 8 sin ( 4 x. n 11.:17 Avgjør om funksjonen x + 1, 1 < x <, g(x x + 1, < x < 1, g(x + g(x. er odde eller jevn. Finn Fourier-rekken. (se figur s september 15 Side 8 av 1

9 Av figuren s.491 er det åpenbart at g er jevn. Et algebraisk bevis kan gjøres som i oppgave I oppgave 11.1:17 fant vi at funksjonen x +, < x <, f(x f(x + f(x x +, < x <, hadde Fourier-rekke Vi ser at + 4 cos(n 1x (n 1. f (x x x +, < x <, +, < x <, x + 1, 1 < x <, x + 1, < x < 1, g(x. Dermed er g(x 1 f(x med Fourier-rekke cos(n 1x (n :4 Finn og a cosinus-fourier-rekken b sinus-fourier-rekken til funksjonen f : [, 4] R gitt ved f(x Tegn de to periodiske utvidelsene., < x <, 1, < x < 4. a Vi utvider f til en jevn periodisk funksjon på R med periode L 8. Cosinus-Fourierrekken til f er da f(x a + a n cos L x der a 1 L 1 4 L 4 f(x dx f(x dx 1 4 1/. 1. september 15 Side 9 av 1

10 og a n L L 4 f(x cos L x dx 1 cos 4 x dx sin 4 x ( sin sin sin, n mod,, n mod 4 1,, n mod 4 3. Dermed er f(x a + 1/ + a n cos L x ( (4n 3 (4n 3 cos 4 ( (4n 1 (4n 1 cos 4 x x b Vi utvider f til en odde periodisk funksjon på R med periode L 8. Sinus-Fourier-rekken til f er da f(x b n sin L x der b n L L 4 f(x sin L x dx 1 sin 4 x dx cos 4 x ( cos cos, n mod 4,, n mod 1,, n mod september 15 Side 1 av 1

11 Dermed er f(x b n sin L x ( (n 1 (n 1 sin x 4 4 (4n sin 4 ( (4n x. 11.:9 Finn a cosinus-fourier-rekken og b sinus-fourier-rekken til funksjonen f : [, ] R gitt ved f(x sin x. Tegn de to periodiske utvidelsene. a Vi utvider f til en jevn periodisk funksjon på R med periode L. Cosinus-Fourierrekken til f er da f(x a + a n cos L x der a 1 L L 1 1 f(x dx sin x dx cos x 1. september 15 Side 11 av 1

12 og a n L L f(x cos L x dx sin x cos nx dx 1 ( sin(1 + nx dx + sin(1 nx dx, (se s.a5 (11 1 ( n cos(1 + nx n cos(1 nx, n 1 ( ( 1 n ( 1n n 1 n 1 ( 1n+1 1 n, n odde, 4 (1 n, n jevn. Vi ser at denne formelen også holder for n 1. Dermed er f(x a a n cos L x 1 cos nx. 1 (n b Den odde utvidelsen til f er helt enkelt sin x med sinus-fourier-rekke f(x b n sin L x sin x. 1. september 15 Side 1 av 1