2 π[r(x)] 2 dx = u 2 du = π 1 ] 2 = π u 1. V = π. V = π [R(x)] 2 [r(x)] 2 dx = π (x + 3) 2 (x 2 + 1) 2 dx = 117π 5.

Transkript

1 NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten 2 Løsningsforslg - Øving 6 Avsnitt 6. 7 Ved å bruke disk-metoden får mn t volumet er π[r(x)] 2 dx 3 Ved å bruke disk-metoden får mn t volumet er L u y 2 +. En får du π[r(x)] 2 π(x 2 ) 2 dx 32π 5. ( ) 2 y π y 2 + 2y. Ved å substituere får en [ π u 2 du π ] 2 π u 2. 2y π (y 2 + ) 2 3 Kurvene y x + 3 og y x 2 + skjærer hverndre i x 2 og x, og x 2 + < x + 3 for x (, 2). Indre rdius til legemet er dermed gitt ved r(x) x 2 + og ytre rdius ved R(x) x + 3. Ved å bruke wsher-metoden får mn t volumet er π [R(x)] 2 [r(x)] 2 dx π (x + 3) 2 (x 2 + ) 2 dx 7π ) Ved å bruke disk-metoden får mn t volumet er π b ( h [ ] h 2 b b x + h)2 dx π 3b 2 x3 h2 b x2 + h 2 x h2 bπ 3. b) Ved å bruke disk-metoden får mn t volumet er Avsnitt 6.2 π h ( b [ ] b 2 h h y + b)2 π 3h 2 y3 b2 h y2 + b 2 y b2 hπ 3. f(x) for x [, 2]. Ved å bruke sylinderskll-metoden med rdius x og høyde + x2 får mn t volumet er lik 2πx( + x2 x + x3 dx 6π. lfov6. oktober 2 Side

2 TMA Mtemtikk høsten 2 32 Kurvene y 2x x 2 og y x skjærer hverndre i x og x, og 2x x 2 > x for x (, ). ) Ved å bruke sylinderskll-metoden med rdius x og høyde 2x x 2 x x x 2 får mn t volumet er lik [ ] x 2π x(x x x π 6. b) Ved å bruke sylinderskll-metoden med rdius x og høyde 2x x 2 x x x 2 får mn t volumet er lik [ ] x 2π ( x)(x x x3 3 + x π Merk t mn ikke kn bruke disk-metoden. Vi kn bruke wsher-metoden med indre rdius r(y) og ytre rdius R(y) slik t { ( y) / når y [, ] y /2 når y [, ] π 2 [( y) / ] 2 + π 2 (y /2 ) 2 π ( y) /2 + π y, eller vi kn bruke sylinderskll-metoden med rdius x og høyde x 2 ( x ) x 2 + x slik t 2π x (x 2 + x x 3 + x 5 dx. 3 Ved å bruke sylinderskll-metoden med rdius x og høyde e x2 blir uttrykket for volumet 2π xe x2 dx. Ved å bruke Teorem 6 på side 36 i bok med u g(x) x 2 og du dx g (x) 2x blir verdien v integrlet lik Avsnitt 6.3 π g() g() e u du π [ e u] ( π ). e 2 L x f(t) cos t og y g(t) t + sin t. D er f (t) sin t og g (t) + cos t. Både f (t) og g (t) er kontinuerlige og forskjellige fr på (, π). Fr definisjonen på side i bok er lengden til kurven gitt ved lfov6. oktober 2 Side 2

3 TMA Mtemtikk høsten 2 ( sin t) 2 + ( + cos t) 2 dt cos t dt 2 + cos t dt sin 2 t cos t + cos 2 t dt Ved å bruke de trigonometriske identitetene (3) og (5) på side 26 i bok (med θ t/2) får mn 2 cos 2 t 2 + t sin2 2 + t cos2 2 t sin2 2 dt 2 cos t dt. 2 8 L x f(t) e t cos t og y g(t) e t sin t. D er f (t) e t (cos t sin t) og g (t) e t (cos t + sin t). Både f (t) og g (t) er kontinuerlige og ikke smtidig lik på (, π). Fr definisjonen på side i bok er lengden til kurven gitt ved e 2t (cos t sin t) 2 + e 2t (cos t + sin t) 2 dt e t cos 2 t 2 cos t sin t + sin 2 t + cos 2 t + 2 cos t sin t + sin 2 t dt 2e t dt 2(e π ). 3 L f(θ) (θ sin θ) og g(t) ( cos θ). D er f (θ) ( cos θ) og g (θ) sin θ. Både f og g er kontinuerlige og f er forskjellig fr på (, 2π). Fr definisjonen på side i bok er lengden til cycloiden gitt ved π 2 π 2 ( cos θ) sin 2 θ dθ π cos θ dθ. 2 cos θ + cos 2 θ + sin 2 θ dθ Ved å bruke de trigonometriske identitetene (3) og (5) på side 26 i bok får mn 2π 2 cos 2 θ 2 + θ sin2 2 θ cos2 2 + θ π sin2 2 dθ 2 sin θ dθ ) L x f(t) cos 2t og y g(t) sin 2t. D er f (t) 2 sin 2t og g (t) 2 cos 2t. Både f og g er kontinuerlige og ikke smtidig lik på [, π/2]. Fr definisjonen på side i bok er lengden til kurven gitt ved /2 π. ( 2 sin 2t) 2 + (2 cos 2t) 2 dt 2 /2 sin 2 2t + cos 2 2t dt 2 /2 dt lfov6. oktober 2 Side 3

4 TMA Mtemtikk høsten 2 b) L x f(t) sin πt og y g(t) cos πt. D er f (t) π cos πt og g (t) π sin πt. Både f og g er kontinuerlige og ikke smtidig lik på [ /2, /2]. Fr definisjonen på side i bok er lengden til kurven gitt ved π. Avsnitt 6. /2 /2 (π cos πt) 2 + ( π sin πt) 2 dt π /2 /2 3 y x3 er kontinuerlig deriverbr for x 2, og side 6 i bok får mn følgende uttrykk for overflten: S 2π x 3 + /2 cos 2 πt + sin 2 πt dt π dt /2 dx x2 3 ( ) x 2 2 dx 2π 3. Ved å bruke definisjonen på x 3 + x dx. Ved å bruke Teorem 6 på side 36 i bok med u + x integrlet lik og du dx x3 blir verdien v 5/ [ ] u 25/ S 2π du 2π 6 u3/2 8π Ved å bruke definisjonen på side 6 i bok med y r 2 x 2 og følgende uttrykk for relet v overflten: S 2π 2πr r 2 x 2 + r 2 x 2 dx 2πrh. r 2 x2 ( x r 2 x 2 ) 2 dx 2π Observer t relet v overflten S 2πrh er uvhengig v. dx x r 2 x 2 får mn r r 2 x 2 2 x 2 r 2 x 2 + x2 r 2 x 2 dx 2 Ved å bruke formelen på side 7 i bok med x R 2 y 2 og dx y R 2 y 2 følgende uttrykk for relet v overflten ( er y-verdien til det nederste plnet): får mn S 2π 2πR ( ) 2 R 2 y 2 y + 2π R 2 y 2 R 2 y 2 2πRh. R 2 y2 R R 2 y 2 2 y 2 R 2 y 2 + y2 R 2 y 2 Ved å bruke formelen på side 8 i bok med x ht, y rt, dx dt følgende uttrykk for relet v overflten: h og dt r får mn S 2π rt h 2 + r 2 dt πr h 2 + r 2. lfov6. oktober 2 Side

5 TMA Mtemtikk høsten 2 Vi sjekker resulttet med den geometriske formelen: Arelet πr(skrå høyde): Arelet πr r 2 + h 2 S. lfov6. oktober 2 Side 5