Forelesning Matematikk 4N

Transkript

1 Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. september 2006

2 2 Komplekse fourier rekker (10.5) Målet med denne leksjonen er vise hvordan man skrive fourier rekkene på kompleks form vise ved et eksempel at på denne formen så kan utregninger forenkles.

3 3 Eulers Formel Eulers formel sier at e ix = cos x + i sin x der i er den imaginære enheten i = 1. Om vi setter inn x istedet for x i Eulers formel så får vi e ix = cos x i sin x

4 e ix = cos x + i sin x (1) e ix = cos x i sin x (2) Om vi adderer uttrykkene for e ix og e ix og deler på 2 så får vi cos x = 1 ( e ix + e ix) 2 Om vi subtraherer de samme utrykkene og deler på 2i så får vi sin x = 1 ( e ix e ix) 2i

5 La f(x) være en periodisk funksjon med periode 2π Betrakt fourierrekken f(x) a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) Vi vil skrive om denne ved hjelp av formelene for cos x og sin x over.

6 Vi repeterer cos x = 1 2 ( e ix + e ix) og setter inn i uttrykket sin x = 1 2i a n cos nx + b n sin nx = a n 2 ( e ix e ix) ( e inx + e inx) + b n ( e inx e inx) 2i = a n 2 einx + a n 2 e inx + b n 2i einx b n 2i e inx = 1 2 (a n ib n )e inx (a n + ib n )e inx

7 Vi har altså a n cos nx + b n sin nx = 1 2 (a n ib n )e inx (a n + ib n )e inx Vi lar c n = 1 2 (a n ib n ) c n = 1 2 (a n + ib n ) Da er a n cos nx + b n sin nx = c n e inx + c n e inx

8 Repeterer a n cos nx + b n sin nx = c n e inx + c n e inx f(x) a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) La i tillegg c 0 vare gitt ved c 0 = a 0 Vi kan nå skrive fourierrekken over som f(x) c 0 + (c n e inx + c n e inx ) Dette forenkler vi videre til f(x) n= c n e inx

9 9 Den komplekse fourierrekken Denne er så elegant at den fortjener en egen side: f(x) n= c n e inx Vi kaller denne for den komplekse fourierrekken til f(x).

10 10 Utregning av komplekse koeffisientene f(x) n= c n e inx Vi vil finne koeffisientene c n for n =..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... Disse koeffisienetene er gitt ved én formel. c n = 1 2π f(x)e inx dx

11 Vi vil bevise formelen c n = 1 2π f(x)e inx dx direkte. Bevis. Sett inn m= c me imx for f(x) i H.S.: 1 π 2π m= c m e imx e inx dx = 1 2π 1 2π m= m= c m e i(m n)x dx c m e i(m n)x dx =

12 Betrakt integralet e i(m n)x dx 1. Når m = n er integranden 1 og vi får verdien 2π 2. Når m n blir integralet 0: [ e i(m n)x 1 dx = i(m n) ei(m n)x = 1 i(m n) (ei(m n)π e i(m n)π ) = 2 sin(m n)π = 0 m n ] π

13 Vi repeterer fra 2 foiler siden: 1 π f(x)e inx dx = 1 2π 2π m= c m e i(m n)x dx Vi viste over at alle leddene i summen er null bortsett fra når m = n. 1 Vi har derfor at H.S. er c n 2π 2π = c n 1 π f(x)e inx dx = c n 2π som vi ønsket å bevise.

14 14 Periode 2L Definisjon Om perioden er 2L istedet for 2π så er den komplekse fourierrekken definert ved f(x) n= c n e inπx/l Setning Dens coeffisienter er gitt ved c n = 1 L f(x)e inπx/l dx 2L L

15 15 Eksempel Finn den komplekse fourierrekken til den periodiske funksjonen f(x) = e x ( < x < π) med periode 2π. Dvs f(x + 2π) = f(x). Løsning: Vi regner ut integralet c n = 1 f(x)e inx dx = 1 e x e inx dx 2π 2π = 1 e (1 in)x dx = 1 1 [ e x e inx] π 2π 2π 1 in = 1 1 2π 1 in (eπ e )( 1) n Vi brukte at e ±iπ = 1.

16 Vi repeterer fra forige foil Husk at sinh x er definert ved Da har vi c n = 1 1 2π 1 in (eπ e )( 1) n sinh = ex e x. 2 c n = sinh π ( 1) n π 1 in = sinh π ( 1) n (1 + in) π 1 + n 2 Så den komplekse fourierrekken til f(x) er gitt ved e x sinh π π n= ( 1) n (1 + in) 1 + n 2 e inx

17 17 Oversettelse til reelle fourierrekker Vi regnet ut de komplekse fourier koeffisientene til e x : c n = sinh π ( 1) n (1 + in) π 1 + n 2 Vi vil nå finne de reelle koeffisientene. = sinh π ( 1) n π (1 + n 2 ) + isinh π n( 1) n π (1 + n 2 ) Vi definerte c n = 1 2 (a n ib n ) så vi har og a n = 2 sinh π π ( 1) n (1 + n 2 ), b n = 2 sinh π π a 0 = c 0 = sinh π π n( 1) n (1 + n 2 )

18 18 Approksimering ved Trigonometriske Polynomer 10.7 Mål: 1. Finne beste tilnærming av periodiske funksjoner ved trigonometriske polynomer 1 1 Vil bli nærmere definert.

19 19 Tilnærming av funksjoner ved minimering av kvadratfeil Definisjon En funksjon på formen N F (x) = A 0 + (A n cos nx + B n sin nx) kalles for et trigonometrisk polynom av grad N. (For enkelthets skyld lar vi perioden til funksjonene være 2π.)

20 F (x) = A 0 + N (A n cos nx + B n sin nx) La f(x) være en periodisk funksjon med periode 2π. Hva må A 0, A 1,..., B 0,..., B N være for at F (x) skal være beste tilnærming av f(x)? Upresist spørsmål!! Vi må først ha en felles forståelse av hva som menes med beste tilnærming.

21 Definisjon La F (x) være et trigonometrisk polynom av grad N som tilnærmer den periodiske funksjonen f(x) med periode 2π.Vi definerer kvadratfeilen E ved E = (F f) 2 dx. At F (x) er beste tilnærming av f(x) betyr at F (x) minimerer kvadratfeilen E. For å kunne jobbe med E må vi forenkle. Dette starter jeg med nå:

22 Vi har at (f F ) 2 = f 2 2fF + F 2. Setter vi dette inn i utrykket for E, får vi E = f 2 dx 2 ff dx + F 2 dx.

23 E = f 2 dx 2 ff dx + F 2 dx. La f(x) ha fourier utvikling f(x) a 0 + Repeterer at F (x) er gitt ved Vi vil regne ut: F (x) = A 0 + (a n cos nx + b n sin nx) N (A n cos nx + B n sin nx) ff dx og F 2 dx

24 Vi bruker at det trigonometriske systemet 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x,..., sin nx, cos nx,... er ortogonalt.dvs at 1 sin nxdx = 0, 1 cos nxdx = 0, cos nx sin mxdx = 0, m, n N, cos nx cos mxdx = 0, m n N, sin nx sin mxdx = 0, m n N, sin 2 nxdx = π, dx = 2π. cos 2 nxdx = π og

25 Bruker vi dette kan vi regne ut integralene: ff dx = π { F 2 dx = π 2A 0 a 0 + { } N (A n a n + B n b n ) } N 2A (A 2 n + B2 n )

26 Følgelig har vi E = f 2 dx 2π { 2A 0 a 0 + } N (A n a n + B n b n ) + π { 2A } N (A 2 n + Bn) 2 Om vi setter koeffisienetene til F (x) lik koeffisientene til de første N leddene til fourierrekken til f(x): så får vi kvadratfeilen E = A 0 = a 0, A 1 = a 1,..., B N = b n, f 2 dx π { 2a } N (a 2 n + b 2 n)

27 Differansen mellom E og E er E E = π { 2(A 0 a 0 ) 2 + } N [(A n a n ) 2 + (B n b n ) 2 ] Det betyr at E E 0 og derfor er E E for alle trigonometriske polynomer av grad N. Dvs at E er minimum for kvadratfeilen og at F (x) = a 0 + N (a n cos nx + b n sin nx) er den beste tilnærmelsen til f(x).

28 Setning Den beste tilnærming av f(x)ved trigonometriske polynomer av grad N er de N første leddene av fourier rekken til f(x): F (x) = a 0 + N (a n cos nx + b n sin nx)

29 29 Besselulikheten og Parsevals teorem Siden E 0 så har vi E = f 2 dx π { } N 2a (a 2 n + b2 n ) 0 for alle N. Om vi lar N gå mot uendelig får vi { } π f 2 dx π 2a (a 2 n + b2 n ) Denne ulikheten kalles for besselulikheten.

30 30 Parsevals teorem Om det er slik at integralet på H.S. eksisterer så sier Parsevals teorem at vi har likhet: { } π f 2 dx = π 2a (a 2 n + b2 n )

31 Eksempel: La periodiske funksjonen f(x) med periode 2π være gitt ved f(x) = x, ( x π). Dens fourier rekke er gitt ved f(x) π 2 4 (cos x + 13 π 2 cos 3x + 15 ) 2 cos 5x + Vi finner f 2 dx = 2π3 3 Kvadratfeilen for den beste tilnærmingen for N = 5 blir E = 2π3 3 π ( π )