UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag

Transkript

1 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag Onsdag 9. mai, kl Bokmål Oppgave a) La R være området mellom kurvene Finn arealet til R. y = x, y = 4 x x b) For alle c >, vis at x ln x dx = c 3 ) c 9 3 c3 ln c. Du skal vise utregningen, ikke bare slå opp i permen i læreboken. c) Løs det uekte integralet x ln x dx, eller vis at det divergerer. Hvis integralet divergerer mot eller, skal du også oppgi dette.

2 Svar: Oppgave a) Området ligger mellom linjene x = og x = det vil si at y = x og y = 4 x krysser i punktene, ) og, )). Arealet er derfor b) c) A = 4 x x ) dx = x ) dx = 4 = 4 x ) 3 x3 = 4 = ) =. 3 3 Her har vi brukt at x er en jevn funksjon. c x ln x dx = 3 x3 ln x x dx c 3 [ c dv = x dx U = ln x V = 3 x3 du = x dx ] x ) dx ) 3 3 = 3 3 ln 3 c3 ln c 3 3 x3 = c 3 c3 ln c 9 c3 ). x ln x dx = lim c + c x ln x dx = lim c 3 ) ) c c3 ln c = 9 lim c 3 ) c + 3 lim c 3 ln c ) = c + 9 ) 3 = 9. Her har vi bruk at lim c + c 3 ln c = som følger av kap 3.4 Teorem 5d) eller ved å bruke l Hôpital.

3 3 Oppgave a) Løs grenseverdien cos x lim x x, eller vis at den ikke eksisterer. Hvis grenseverdien går mot eller, skal du også skrive dette. b) Bruk sekantsetningen Mean Value Theorem) til å vise at hvis x >, da er ) tan x < x. c) Bruk ) til å løse grenseverdien lim x + tan x) lnx), eller vis at den ikke eksisterer. Hvis grenseverdien går mot eller, skal du også skrive dette. d) Bruk den formelle definisjonen ɛ-δ definisjonen ) til å vise at lim x x x =. Svar: Oppgave cos a) lim x x er av type [ ] x og d x ) =. Vi kan derfor bruke dx l Hôpitals første regel. cos x lim x x l Hôpital = lim x x = lim =. x x b) Hvis x > og fx) = tan x, vet vi fra sekantsetningen at det finnes en c, x), slik at tan x x = tan x tan x = fx) f) x Dermed er tan x < x. c) Siden < tan x < x når x, ), og at lim ln x = lim x ln x =, x + x + = f c) = + c <. vet vi fra Klem-teoremet The Squeeze Theorem) at lim x + tan x ln x =. Vi vet at lim x + x ln x = fra kap 3.4 Teorem 5d) eller ved å bruke l Hôpital.

4 4 d) Velg δ = min{, ɛ}. Siden x < δ, vet vi at x <, < x <, < x + < 3, > >, <. x+ 3 x+ Vi bruker dette og finner at x x = x ) x ) x ) = x + x x ) = = x ) x )x + ) = x x + < x < δ ɛ < ɛ. x x + x

5 5 Oppgave 3 a) I denne deloppgaven kommer z og w alltid til å stå for de komplekse tallene z = i og w = 4 i. i) Regn ut dvs. skriv på formen a + ib): z 4z + w og w. ii) Skriv z 6 på formen a + ib. b) Finn alle z C som er en løsning på ligningen c) Løs integralet z 3 = 8. x x dx. Løsningen i oppgave b) kan være til hjelp når du skal faktorisere nevneren. a) i) Svar: Oppgave 3 4z + w = 4 + i) + 4 i = 4 + 4i + 4 i = 3i, z w = i 4 i = i)4 + i) 4 i)4 + i) = = 4 4i i i = 3 + 5i 7 7. ii) Vi vet at z = og Argz) = 3π. Da vet vi at 4 Dermed er z 6 = 8 z 6 = z 6 = ) 6 = 3 = 8, argz) = 6 argz) = 9π = 4π π. cos 9π ) + i sin 9π )) = 8i. b) Vi vet at 8 = 8, Arg 8) = π.

6 6 Dermed vil alle løsninger z oppfylle z = 3 8 =. De er z = cos π 3 + i sin π ) ) 3 = 3 + i = + i 3, π z = cos 3 + π 3 ) = cos π + i sin π) =, π + i sin 3 + π 3 )) π z 3 = cos 3 + π ) 3 = cos 5π + i sin 5π ) c) Fra b) og faktorteoremet, vet vi at π + i sin 3 + π )) 3 = i 3. x = x + )x i 3)x + i 3) = x + )x + i 3)x i 3)x + + 3) = x + )x x + 4). Alternativt kan vi bruke at er en rot og bruke polynomdivisjon for å faktorisere. Uansett, så finner vi x x = x x + )x x + 4) = A x + + Bx + C x x + 4 = Ax x + 4) + Bxx + ) + Cx + ) x + )x x + 4) = A + B)x + A + B + C)x + 4A + C. x + )x x + 4) Vi må derfor løse A + B =, A + B + C =, 4A + C =. Disse har løsning A = 3, B = 3, C = 3. Vi vet dermed at x x = 3 x + + x 3 3 x x + 4 = 3 x x x x + 4.

7 7 Vi regner ut integralet x x dx = dx 3 x + + x 3 x x + 4 dx. [ ] u = x x + 4 u) = 4 du = x = x ) u) = 3 3 = 3 ln x + + du 6 4 u = 3 ln3) ln)) + 6 ln u 3 = 3 ln ln 3 4 = 6 ln 3 + ln ) 3 4 = 6 ln 4 + ln ) = ln 4 ) = ln = ln

8 8 a) La fx) = x Oppgave 4 e t dt, Finn f x) og forklar hvorfor f er invertibel. x, ). b) Gi et eksempel på en funksjon g som ikke er invertibel, men likevel har g x) > for alle x i definisjonsmengden til g. a) x Svar: Oppgave 4 f x) = d e t dt = e x ) x = xe x4 >, dx for alle x, ). Siden fx) er definert på et sammenhengende intervall og er voksende der, er fx) en-til-en og har derfor en invers. b) For eksempel gx) = x. Da har vi at x men g) = g ) =. g x) = + x >,

9 9 Oppgave 5 En gruppe biologer har lenge jobbet med å få rense en innsjø som har vært ødelagt av forurensing. De er nå ferdig med med selve rensingen, og ønsker å gjenninnføre gjeddebestanden i innsjøen. De setter ut gjedder i innsjøen. La antall gjedder i innsjøen ved tiden t være gitt med yt). Biologene vet at veksten av antall gjedder i innsjøen, er bestemt av differentsialligningen dy dt = y y K hvor K > er en konstant. Tiden t er målt i år, og t = representerer tidspunktet hvor de setter ut de gjeddene. a) Finn yt) gitt ved t og K. Merk at ), y y K ) = y + K y. b) Forskerne antar at bestanden med tiden vil stabilisere seg på gjedder. Bruk dette til å finne K. Gjedde Svar: Oppgave 5 a) Vi har konstante løsninger, y = og y = K. Ellers har vi dy dy y y ) = y + dy K y K = ln y ln K y = ln y K y = t + c. Dermed er Løser vi dette, få vi y K y = Cet, C = ±e c. yt) = KCet + Ce t.

10 Setter vi C =, får vi den konstante løsningen y =. Dermed får vi at alle løsningene er ) yt) = KCet + Ce, C R, t og yt) = K. La oss nå bruke betingelsen y) =. Vi har kun en konstant løsning hvis K =. Hvis K, finner vi at y) = = KC + C, C = K. Setter vi dette inn i ), får vi yt) = K Ket + K et = Ket K + e t = Ke t K + e t ). b) Hvis yt) =, vil selvfølgelig også lim t yt) =, så dermed vet vi at K. Vi regner ut grenseverdien for de andre løsningene lim yt) = lim t t Ke t K + e t ) = lim t K Ke t + e t ) = K = K. Derfor vet vi at K =. Den endelige formen for yt) er yt) = e t + e t ) = e t 5 + e t ) = et 49 + e t.

11 La x gx) = 5 Oppgave 6 ), x [3, 5]. + x Funksjonen gx) oppfyller kravene til fikspunktteoremet du trenger ikke vise dette). Vis at er et fikspunkt til gx). Bruk fikspunktiterasjon for å finne en tilnærming til ved å velge x = 5 og gjennomføre 3 iterasjoner. g ) = 5 Svar: Oppgave 6 ) + = 5 + ) = 5 = =, altså et fikspunkt. Vi gjør 3 iterasjoner. x = 5, x = g5) = 7, x = g 7) = 89 3, 7857), 8 x 3 = g 89) = 576 3, 63)

12 La Oppgave 7 fx) = x ) x. a) Hva er definisjonsmenden til fx)? Begrunn uten regning at fx) har et absolutt maksimum og et absolutt minimum. b) Finn ut på hvilket) intervall fx) vokser, og på hvilket) intervall fx) avtar. Finn absolutt maksimum og absolutt minimum til fx). Svar: Oppgave 7 a) fx) er kun definert på det lukkede intervallet [, ], siden det er bare der at x. fx) er også kontinuerlig, siden x, x og x er kontinuerlig, og komposisjoner og multiplikasjoner av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlige. Funksjoner som er kontinuerlige og definert på lukkede intervall har et absolutt maksimum og et absolutt minimum fra Maks-Min teoremet. b) f x) = x Vi tegner opp fortegnslinje x )x = x + x + x x, ), ) = x )x + ). x x x + + x f x) + fx) min f avtar på [, ] og vokser på [, ]. Absolutt minimum er derfor f ) = Absolutt maksimum er f ) = f) =..

13 3 Oppgave 8 La fx) =. Bruk induksjon til å vise at +x) 3) f n) x) = )n n + )! + x) n+, n =,, 3,... Svar: Oppgave 8 Vi gjennomfører et vanlig induksjonsbevis i) f x) = = )! så formelen gjelder for n =. +x) 3 +x) + ii) Anta at formelen 3) gjelder for n = k. Da vet vi at f k+) x) = d dx f k) x) = d ) k k + )! = ) k k + )! d dx + x) k+ dx + x) k+ = ) k k + ) k + )! + x) = )k+ k + )! k+3 + x) k+3 = )k+ k + ) + )! + x) k+)+. Altså vil da formelen også gjelde for n = k +. Fra i) og ii) og induksjon vet vi at for alle n N. f n) x) = )n n + )! + x) n+,