LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING 11, TMA4105, V2008. x = r cos θ, y = r sin θ, z = 2r for 0 θ 2π, 2 2r 6. i j k. 5 r dr dθ = 8

Transkript

1 LØNINGFORLAG TIL ØVING, TMA45, V8 Oppgave Parametrisering: x = r cos θ, y = r sin θ, z = r for θ π, r 6. r(r, θ) = r cos θ, r sin θ, r. N = r r r θ = cos θ sin θ = r cos θ, r sin θ, r. r sin θ r cos θ N = 4r cos θ + 4r sin θ + r = 5r = 5 r. Areal: dσ = θ= 3 r= 5 r dr dθ = 8 5 π. Oppgave Flaten er gitt ved r(r, θ) = r cos θ, r sin θ, r for r, θ π. Punktet P er r(, π 4 ) =,,. r r (, π 4 ) = cos θ, sin θ, (,π/4) = /, /, r θ (, π 4 ) = r sin θ, r cos θ, (,π/4) =,, r r (, π 4 ) r θ (, π 4 ) = Ligning for tangentplanet: Ligning for : =,,.,, x, y, z = x + y + + z 4 = z = (x + y). x + y = r cos θ + r sin θ = r = z.

2 For bilde: se side A-6 i læreboken. Oppgave 4.5.3: a) Når punktet (f(u), g(u)) i xy-planet roteres om x-aksen, danner det en sirkel med sentrum i punktet (f(u), ) og radius g(u). et vil si, sirkelen x = f(u), y + x = g(u). Når u gjennomløper intervallet [a, b], vil disse sirklene beskrive en rotasjonsflate om x-aksen. Vi vil parametrisere denne flaten. Vi velger å bruke den u-en vi allerede har som den ene parameteren. iden cos v + sin v =, velger vi den andre parametren vår v slik at y = g(u) cos v, z = g(u) sin v. et gir følgende parametrisering av rotasjonsflaten: x = f(u), y = g(u) cos v, z = g(u) sin v for a u b og v π. b) Kurven x = y kan for eksempel parametriseres ved x = u, y = u for u. Rotasjonsflaten får derved en parametrisering x = u, y = u cos v, z = u sin v for u, v π. Oppgave 4.5.4: y Vi velger å bruke x og y som parametre ved parametriseringen av flaten x y z =. et gir: y = 3x x = x, y = y, z = x y for (x, y) R. N = r x r y = x = x,,. R x N = x + + = + x. Arealet av flaten: A = N dx dy R

3 et vil si, 3 A = x= 3x + x dy dx = + x 3x dx y= x= ubstitusjon u = + x gir du = x dx, så A = 6 u= u / 3 du [ u 3/ = 3/ 3 ] 6 = 6 3/ 3/ = 6 6. Oppgave 4.5.4: Vi velger å ta utgangspunkt i kulekoordinater når vi parametriserer flaten. Her er ρ = hele tiden, så parametrene vi velger er ϕ og θ slik at: x = sin ϕ cos θ, y = sin ϕ sin θ, z = cos ϕ for θ π og ϕ π. et gir 4 N = r ϕ r θ = cos ϕ cos θ cos ϕ sin θ sin ϕ sin ϕ sin θ sin ϕ cos θ Arealet av flaten: A = θ= π/4 ϕ= = sin ϕ cos θ, sin ϕ sin θ, cos ϕ sin ϕ. N = 4 sin 4 ϕ cos θ + 4 sin 4 ϕ sin θ + 4 cos ϕ sin ϕ = 4 sin 4 ϕ + 4 cos ϕ sin ϕ = 4 sin ϕ. sin ϕ dϕ dθ = θ= [ cos ϕ ] π/4 dθ = ( ) dθ = ( )π. Oppgave 4.6.3: Flaten er gitt ved z = x + y for z. Vi velger å bruke r og θ (basert på sylinderkoordinater) som parametre. et gir: : x = r cos θ, y = r sin θ, z = r for r, θ π. N = r r r θ = cos θ sin θ = r cos θ, r sin θ, r. r sin θ r cos θ

4 4 enne normalvektoren peker riktig vei i forhold til oppgaveteksten. erfor er fluksen Φ = F n dσ = F N dr dθ der slik at Φ = F N = r cos θ, r sin θ, r r cos θ, r sin θ, r = r + r 3 (r + r 3 )dr dθ = [ r 3 θ= 3 + r4 4 r= ] dθ = ı ( ) dθ = 73π 4 6. Oppgave : Flaten er gitt ved z = 4 y for x og z 4. Vi velger å bruke x og y som parametre. et gir: : x = x, y = y, z = 4 y for x, y. N = r x r y = =, y,. y enne normalvektoren peker riktig vei i forhold til oppgaveteksten. Videre er F N = x, x, 3z, y, = xy 3z = xy + 3y. erfor er fluksen (xy + 3y )dy dx = x= y= [ xy y + y 3 ] y= dx = 3. Oppgave : Arealet av hele kuleflaten er 4πa. Arealet av den delen,, som ligger i første oktant er 4πa /8 = πa /. er vi på i kulekoordinater, er den gitt ved ρ = a for θ π/, ϕ π/. ymmetri gjør at tyngdepunktet må ligge i et punkt (ρ, π, π ). et vil si, i et punkt 4 4 (z, z, z) i kartesiske koordinater, der z dσ z = πa / = a cos ϕ dσ. πa

5 Parametrisering av : 5 x = a sin ϕ cos θ, y = a sin ϕ sin θ, z = a cos ϕ gir på samme måte som i oppgave 4.5. at N = a sin ϕ. erved er z = pi/ πa = a π π/ ϕ= θ= π/ π ϕ= a 3 cos ϕ sin ϕ dθ dϕ a sin ϕ dϕ = Tyngdepunktet er derfor ( a /, a /, a /). [ cos ϕ ] π/ = a. Oppgave Ved tokes teorem gjelder I = curl F n dσ = F T ds = F dr C der C er skjæringskurven mellom og xy-planet i positiv omløpsretning. Kurven C er gitt ved Parametrisering av C: z =, 4x + 9y = 36. x = 3 cos θ, y = sin θ, z = for θ π. Integralet blir derfor I = = y, x, (x + y 4 ) 3/ sin e xyz 3 sin θ, cos θ, dθ ( 3y sin θ + x cos θ)dθ = ( 6 sin θ + 8 cos 3 θ)dθ = 6 π + 8 = 6π. Oppgave 4.7.: Ved tokes teorem følger at dette integralet er lik F dr for enhver slik flate.

6 Oppgave 4.7.9a: 6 F(x, y, z) = x, y, z = (x + y + z ) = f(x, y, z). Ved tokes teorem gjelder at F dr = ( F) n dσ = ( f) n dσ = n dσ =. Oppgave 4.8.7: F n dσ = div F dv = ( + x )dv = Vi bytter til sylinderkoordinater: r F n dσ = (r cos θ )r dr dθ = = θ= r= [ r 5 5 z= cos θ r4 4 ] dθ = x +y 4 θ= r= x +y z= (x )dv. (r 4 cos θ r 3 )dr dθ ( ) 3 5 cos θ 4 dθ = 8π. Oppgave 4.8.: kjæringskurven mellom planet y + z = 4 og xy-planet er linjen y = 4 som tangerer ellipsen 4x +y = 6. erfor står på xy-planet med bunn 4x +y 6, vertikale vegger, og tak z = 4 y. F n dσ = div F dv = (z x z)dv = x dv. ymmetrien viser at dette integralet blir null. Oppgave 4.8.: Vi har div F(x, y, z) = + =, slik at den totale fluksen ut av hele boksen er null. Fluksen ut av bunnen er Bunn F ( k)da = ( + 3)dA = 3. Bunn Fluksen ut av siden i xz-planet er F ( j)da = da =.

7 Fluksen ut av siden i yz-planet er F ( i)da = da =. 7 erfor er fluksen ut av toppen lik ( 3) = 3. Oppgave 4.8.5: ivergensteoremet sier at F n dσ = div F dv = som er volumet av. ( + + )dv = dv