Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Transkript

1 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011

2 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker

3 3 i

4 3 i Løs likningen x = 0

5 3 i Løs likningen x = 0 Løsningene er x = ±i

6 3 i Løs likningen x = 0 Løsningene er x = ±i i = 1

7 4 Eulers identitet e 1 x = cos x + 1 sin x e i x = cos x + i sin x e i π = 1

8 5 Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem) 1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a

9 5 Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem) 1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a 2 Da gjelder at f(x) = P n (x) + R n (x).

10 5 Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem) 1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a 2 Da gjelder at f(x) = P n (x) + R n (x). P n (x) er taylorpolynom for f og restleddet er gitt ved der c ligger mellom a og x. R n (x) = f (n+1) (c) (x a)n+1 (n + 1)!

11 5 Taylors teorem (og praksis) Teorem (Taylors teorem) 1 En funksjon f har alle ordens deriverte i et intervall I som inneholder a 2 Da gjelder at f(x) = P n (x) + R n (x). P n (x) er taylorpolynom for f og restleddet er gitt ved der c ligger mellom a og x. f(x) = f(a) + f (a)(a b) + f (a) 2! R n (x) = f (n+1) (c) (x a)n+1 (n + 1)! (a b) f (n) (a) (a b) n + R n (x) n!

12 6 Bevis av Taylors teorem Anvend rolles teorem. Oppgave 1 (vanskelig): Bevis Taylors teorem uten å se i boka.

13 6 Bevis av Taylors teorem Anvend rolles teorem. Oppgave 1 (vanskelig): Bevis Taylors teorem uten å se i boka. Oppgave 2 (lettere): Finn ideen i beviset av Taylors teorem (ved å se i boka).

14 6 Bevis av Taylors teorem Anvend rolles teorem. Oppgave 1 (vanskelig): Bevis Taylors teorem uten å se i boka. Oppgave 2 (lettere): Finn ideen i beviset av Taylors teorem (ved å se i boka). Oppgave 3 (triviell): Finn en unskyldning til ikke å forstå teoremet.

15 Kapittel Binomialrekker

16 8 Binomial rekker Definisjon (Binomialrekke) Maclaurinrekken til (1 + x) m kalles for en binomial-rekke

17 8 Binomial rekker Definisjon (Binomialrekke) Maclaurinrekken til (1 + x) m kalles for en binomial-rekke 1 + m x + m(m 1) x 2 m(m 1)(m 2) + x 3 + 2! 3! m(m 1) (m n + 1) + x n + n!

18 9 Binomial rekker Definisjon (Binomial koeffisienter) ( m 1) ( m = m, = 2) ( m(m 1) m,..., = 2! n) m(m 1) (m n + 1). n!

19 9 Binomial rekker Definisjon (Binomial koeffisienter) ( m 1) ( m = m, = 2) Definisjon (Binomialrekke) Binomial rekken til (1 + x) m er ( m(m 1) m,..., = 2! n) 1 + k=1 ( ) m x k. k m(m 1) (m n + 1). n!

20 10 Eksempler Binomialrekken til er Binomialrekken til er

21 10 Eksempler Binomialrekken til er (1 + x) 1? Binomialrekken til er

22 10 Eksempler Binomialrekken til (1 + x) 1? er 1 x + x 2 x 3 + x 4 x 5 + Binomialrekken til er

23 10 Eksempler Binomialrekken til (1 + x) 1? er 1 x + x 2 x 3 + x 4 x 5 + Binomialrekken til x? er

24 10 Eksempler Binomialrekken til (1 + x) 1? er 1 x + x 2 x 3 + x 4 x 5 + Binomialrekken til x? er x 1 9 x x x 4 +

25 Kapittel Løsninger, retningsfelt og Picards teorem

26 12 Generelle førsteordens differensiallikninger Definisjon En likning som kan skrives på formen dy dx = f(x, y) kalles en første-ordens differensiallikning. Eksempel er alle eksempler på førsteordens differensiallikninger

27 12 Generelle førsteordens differensiallikninger Definisjon En likning som kan skrives på formen dy dx = f(x, y) kalles en første-ordens differensiallikning. Eksempel 1 y + y = 0 er alle eksempler på førsteordens differensiallikninger

28 12 Generelle førsteordens differensiallikninger Definisjon En likning som kan skrives på formen dy dx = f(x, y) kalles en første-ordens differensiallikning. Eksempel 1 y + y = 0 2 d dx y = y + sin x er alle eksempler på førsteordens differensiallikninger

29 12 Generelle førsteordens differensiallikninger Definisjon En likning som kan skrives på formen dy dx = f(x, y) kalles en første-ordens differensiallikning. Eksempel 1 y + y = 0 2 d dx y = y + sin x 3 x dy dx = y 2 er alle eksempler på førsteordens differensiallikninger

30 13 Løsning av differensiallikning Definisjon En deriverbar funksjon y(x) som er definert på et intervall I kalles for en løsning av y = f(x, y) hvis for alle verdier av x I y (x) = f(x, y(x))

31 14 Løsning av differensiallikning Eksempel Funksjonen y(x) = e x 1 2 cos x 1 2 sin x er løsning til likningen d dx y = y + sin x

32 15 Generell løsning Definisjon (Generell løsning) En generell løsning er familien av alle løsninger Eksempel Vis at funksjonen y(x) = c x, der c er en vilkårlig konstant, er løsninger til liknigen y = y/x, x > 0.

33 16 Første-ordens initialverdiproblem Definisjon Differensialikningen y = f(x, y) kombinert ved startverdibetingelsen y(x 0 ) = y 0 kalles for et første-ordens initialverdiproblem. Eksempel Vis at y(x) = 2e x x 1 er løsning av initialverdiproblemet y = y + x, y(0) = 1.

34 17 Retningsvektorfelt for y = y sin x