Matematikk 1 (TMA4100)

Transkript

1 Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012

2 Den deriverte som momentan endringsrate

3 Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon fra tidligere:

4 Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon fra tidligere: Hvis vi tolker størrelsen f (x + h) f (x) h som en gjennomsnittlig endringsrate i intervallet fra x til x + h gir grenseverdien når h 0 oss ett uttrykk for den momentane endringsraten til f i punktet x.

5 Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon fra tidligere: Hvis vi tolker størrelsen f (x + h) f (x) h som en gjennomsnittlig endringsrate i intervallet fra x til x + h gir grenseverdien når h 0 oss ett uttrykk for den momentane endringsraten til f i punktet x. Definisjon: Momentan endringsrate Den momentane endringraten til f med hensyn på x i punktet x 0 er den deriverte gitt at grensen eksisterer. f f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 ) = lim, h 0 h

6 Den deriverte som momentan endringsrate

7 Den deriverte som momentan endringsrate Uttrykket "momentan endringsrate" brukes selv om den uavhengige variabelen x ikke representerer tid.

8 Den deriverte som momentan endringsrate Uttrykket "momentan endringsrate" brukes selv om den uavhengige variabelen x ikke representerer tid. Konvensjon at "endringsrate" refererer til den momentane endringsraten med mindre noe annet spesifiseres.

9 Bevegelse langs rett linje Anta at posisjonen til et objekt langs en akse, s, er gitt som funksjon av tiden t: s = f (t)

10 Bevegelse langs rett linje Anta at posisjonen til et objekt langs en akse, s, er gitt som funksjon av tiden t: s = f (t) Da er:

11 Bevegelse langs rett linje Anta at posisjonen til et objekt langs en akse, s, er gitt som funksjon av tiden t: s = f (t) Da er: Endring i posisjon på tidsintervallet t til t + t: s = f (t + t) f (t).

12 Bevegelse langs rett linje Anta at posisjonen til et objekt langs en akse, s, er gitt som funksjon av tiden t: s = f (t) Da er: Endring i posisjon på tidsintervallet t til t + t: s = f (t + t) f (t). Gjennomsnittshastigheten på dette tidsintervallet: v av = s f (t+ t) f (t) t = t.

13 Bevegelse langs rett linje Hastigheten i et tidspunkt t er gitt ved å se på grenseverdien når t 0:

14 Bevegelse langs rett linje Hastigheten i et tidspunkt t er gitt ved å se på grenseverdien når t 0: Definisjon: (Momentan)hastighet Hastighet (momentanhastighet) er den deriverte av posisjon med hensyn på tid. Hvis posisjonen til et objekt ved tiden t er gitt ved s = f (t) er hastigheten ved tiden t: v(t) = ds dt = lim f (t + t) f (t) t 0 t

15 Bevegelse langs rett linje Hastigheten i et tidspunkt t er gitt ved å se på grenseverdien når t 0: Definisjon: (Momentan)hastighet Hastighet (momentanhastighet) er den deriverte av posisjon med hensyn på tid. Hvis posisjonen til et objekt ved tiden t er gitt ved s = f (t) er hastigheten ved tiden t: Definisjon: Fart v(t) = ds dt = lim f (t + t) f (t) t 0 t Fart er absoluttverdien av hastighet: fart = v(t) = ds dt

16 Bevegelse langs rett linje

17 Bevegelse langs rett linje Definisjon: Akselerasjon Akselerasjon er den deriverte av hastighet med hensyn på tid. Hvis posisjonen til et objekt ved tiden t er gitt ved s = f (t) er akselerasjonen ved tiden t: a(t) = dv dt = d 2 s dt 2.

18 Bevegelse langs rett linje Definisjon: Akselerasjon Akselerasjon er den deriverte av hastighet med hensyn på tid. Hvis posisjonen til et objekt ved tiden t er gitt ved s = f (t) er akselerasjonen ved tiden t: Definisjon: Rykk a(t) = dv dt = d 2 s dt 2. Rykk er den deriverte av akselerasjon med hensyn på tid. Hvis posisjonen til et objekt ved tiden t er gitt ved s = f (t) er rykket ved tiden t: j(t) = da dt = d 3 s dt 3.

19 Bevegelse langs rett linje

20 Eksempel: Fritt fall Bevegelse langs rett linje

21 Bevegelse langs rett linje Eksempel: Fritt fall Anta s = f (t) = 1 2 gt2 med g = 9.8m/s 2. Da er:

22 Bevegelse langs rett linje Eksempel: Fritt fall Anta s = f (t) = 1 2 gt2 med g = 9.8m/s 2. Da er:

23 Bevegelse langs rett linje Eksempel: Fritt fall Anta s = f (t) = 1 2 gt2 med g = 9.8m/s 2. Da er: v(t) = ds dt = gt, a(t) = dv dt = g, j(t) = da dt = 0.

24 Deriverte innen økonomi

25 Deriverte innen økonomi La c(x) angi kostnaden ved å produsere x enheter.

26 Deriverte innen økonomi La c(x) angi kostnaden ved å produsere x enheter. Gjennomsnittlig kostnad per enhet ved å produsere h ekstra enheter: c(x+h) c(x) h

27 Deriverte innen økonomi La c(x) angi kostnaden ved å produsere x enheter. Gjennomsnittlig kostnad per enhet ved å produsere h ekstra enheter: c(x+h) c(x) h Marginalkostnaden er endringsraten for produksjonskostnaden med hensyn på produksjonsnivået dc dx = lim h 0 c(x + h) c(x). h

28 Deriverte innen økonomi La c(x) angi kostnaden ved å produsere x enheter. Gjennomsnittlig kostnad per enhet ved å produsere h ekstra enheter: c(x+h) c(x) h Marginalkostnaden er endringsraten for produksjonskostnaden med hensyn på produksjonsnivået dc dx = lim c(x + h) c(x). h 0 h Marginalkostnaden er i enkelte sammenhenger løst definert som kostnaden ved å produsere en ekstra enhet c x = c(x+1) c(x) 1.

29 Deriverte innen økonomi La c(x) angi kostnaden ved å produsere x enheter. Gjennomsnittlig kostnad per enhet ved å produsere h ekstra enheter: c(x+h) c(x) h Marginalkostnaden er endringsraten for produksjonskostnaden med hensyn på produksjonsnivået dc dx = lim c(x + h) c(x). h 0 h Marginalkostnaden er i enkelte sammenhenger løst definert som kostnaden ved å produsere en ekstra enhet c x = c(x+1) c(x) 1. Denne marginalkostnaden kan approksimeres av grenseverdien dc dx hvis stigningstallet til grafen til c ligner en lineær funksjon i området fra x til x + 1.

30 Deriverte innen økonomi La c(x) angi kostnaden ved å produsere x enheter. Gjennomsnittlig kostnad per enhet ved å produsere h ekstra enheter: c(x+h) c(x) h Marginalkostnaden er endringsraten for produksjonskostnaden med hensyn på produksjonsnivået dc dx = lim c(x + h) c(x). h 0 h Marginalkostnaden er i enkelte sammenhenger løst definert som kostnaden ved å produsere en ekstra enhet c x = c(x+1) c(x) 1. Denne marginalkostnaden kan approksimeres av grenseverdien dc dx hvis stigningstallet til grafen til c ligner en lineær funksjon i området fra x til x + 1. Approksimasjonen fungerer best for store verdier av x.

31 Deriverte innen økonomi La c(x) angi kostnaden ved å produsere x enheter. Gjennomsnittlig kostnad per enhet ved å produsere h ekstra enheter: c(x+h) c(x) h Marginalkostnaden er endringsraten for produksjonskostnaden med hensyn på produksjonsnivået dc dx = lim c(x + h) c(x). h 0 h Marginalkostnaden er i enkelte sammenhenger løst definert som kostnaden ved å produsere en ekstra enhet c x = c(x+1) c(x) 1. Denne marginalkostnaden kan approksimeres av grenseverdien dc dx hvis stigningstallet til grafen til c ligner en lineær funksjon i området fra x til x + 1. Approksimasjonen fungerer best for store verdier av x. Den totale kostnadsfunksjonen c(x) er ofte et kubisk polynom, αx 3 + βx 2 + γx 1 + δ, der δ er faste kostnader og resten er variable kostnader.

32 Derivasjonsregler: Trigonometriske funksjoner

33 Derivasjonsregler: Trigonometriske funksjoner Teorem: Derivasjon av trigonometriske funksjoner

34 Derivasjonsregler: Trigonometriske funksjoner Teorem: Derivasjon av trigonometriske funksjoner Den deriverte av sinus er cosinus: d (sin x) = cos x dx

35 Derivasjonsregler: Trigonometriske funksjoner Teorem: Derivasjon av trigonometriske funksjoner Den deriverte av sinus er cosinus: d (sin x) = cos x dx Den deriverte av cosinus er minus sinus: d (cos x) = sin x dx

36 Derivasjonsregler: Trigonometriske funksjoner Teorem: Derivasjon av trigonometriske funksjoner Den deriverte av sinus er cosinus: d (sin x) = cos x dx Den deriverte av cosinus er minus sinus: Den deriverte av tangens er: d (cos x) = sin x dx d 1 (tan x) = dx cos 2 x

37 Kontinuitet for trigonometriske funksjoner

38 Kontinuitet for trigonometriske funksjoner Vi vet fra før at deriverbarhet impliserer kontinuitet

39 Kontinuitet for trigonometriske funksjoner Vi vet fra før at deriverbarhet impliserer kontinuitet At de trigonometriske funksjonene er deriverbare overalt hvor de er definert gir oss umiddelbart et bevis på at de er kontinuerlige.

40 Kontinuitet for trigonometriske funksjoner Vi vet fra før at deriverbarhet impliserer kontinuitet At de trigonometriske funksjonene er deriverbare overalt hvor de er definert gir oss umiddelbart et bevis på at de er kontinuerlige. Følgelig kan grenseverdiene til algebraiske kombinasjoner og sammensetninger av trigonometriske funksjoner regnes ut direkte ved å evaluere uttrykket i punktet hvor vi skal finne grenseverdien.

41 Kontinuitet for trigonometriske funksjoner Vi vet fra før at deriverbarhet impliserer kontinuitet At de trigonometriske funksjonene er deriverbare overalt hvor de er definert gir oss umiddelbart et bevis på at de er kontinuerlige. Følgelig kan grenseverdiene til algebraiske kombinasjoner og sammensetninger av trigonometriske funksjoner regnes ut direkte ved å evaluere uttrykket i punktet hvor vi skal finne grenseverdien.

42 Kontinuitet for trigonometriske funksjoner Vi vet fra før at deriverbarhet impliserer kontinuitet At de trigonometriske funksjonene er deriverbare overalt hvor de er definert gir oss umiddelbart et bevis på at de er kontinuerlige. Følgelig kan grenseverdiene til algebraiske kombinasjoner og sammensetninger av trigonometriske funksjoner regnes ut direkte ved å evaluere uttrykket i punktet hvor vi skal finne grenseverdien. Eksempel: lim x 0 5 tan(x + π 4 cos x) 2 + cos 2 x = 5 tan(0 + π 4 cos 0) 2 + cos 2 0 = 5 tan( π 4 ) = 5 1 = = 5 tan(0 + π 4 1)

43 Derivasjon av sammensatte funksjoner - Kjerneregelen

44 Derivasjon av sammensatte funksjoner - Kjerneregelen Hvordan deriverer vi en sammensatt funksjon F (x) = (f g)(x) = f (g(x))?

45 Derivasjon av sammensatte funksjoner - Kjerneregelen Hvordan deriverer vi en sammensatt funksjon F (x) = (f g)(x) = f (g(x))? Eksempel: Lineær funksjon

46 Derivasjon av sammensatte funksjoner - Kjerneregelen Hvordan deriverer vi en sammensatt funksjon F (x) = (f g)(x) = f (g(x))? Eksempel: Lineær funksjon Vi kan betrakte funksjonen y = F (x) = 5 2 x = 5( 1 2 x) som F (x) = (f g)(x) = f (g(x)) med y = f (u) = 5u og u = g(x) = 1 2 x.

47 Derivasjon av sammensatte funksjoner - Kjerneregelen Hvordan deriverer vi en sammensatt funksjon F (x) = (f g)(x) = f (g(x))? Eksempel: Lineær funksjon Vi kan betrakte funksjonen y = F (x) = 5 2 x = 5( 1 2x) som F (x) = (f g)(x) = f (g(x)) med y = f (u) = 5u og u = g(x) = 1 2 x. Da har vi: dy dx = 5 2, dy du = 5, og du dx = 1 2.

48 Derivasjon av sammensatte funksjoner - Kjerneregelen Hvordan deriverer vi en sammensatt funksjon F (x) = (f g)(x) = f (g(x))? Eksempel: Lineær funksjon Vi kan betrakte funksjonen y = F (x) = 5 2 x = 5( 1 2x) som F (x) = (f g)(x) = f (g(x)) med y = f (u) = 5u og u = g(x) = 1 2 x. Da har vi: Vi ser dermed at: i dette tilfellet. dy dx = 5 2, dy du = 5, og du dx = 1 2. dy dx = dy du du dx,

49 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Teorem: Kjerneregelen

50 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Teorem: Kjerneregelen Anta at f (u) er deriverbar i punktet u = g(x) og g(x) er deriverbar i x.

51 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Teorem: Kjerneregelen Anta at f (u) er deriverbar i punktet u = g(x) og g(x) er deriverbar i x. Da er den sammensatte funksjonen (f g)(x) = f (g(x)) deriverbar i x og:

52 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Teorem: Kjerneregelen Anta at f (u) er deriverbar i punktet u = g(x) og g(x) er deriverbar i x. Da er den sammensatte funksjonen (f g)(x) = f (g(x)) deriverbar i x og: (f g) (x) = f (g(x)) g (x).

53 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Teorem: Kjerneregelen Anta at f (u) er deriverbar i punktet u = g(x) og g(x) er deriverbar i x. Da er den sammensatte funksjonen (f g)(x) = f (g(x)) deriverbar i x og: Med notasjonen til Leibnitz: (f g) (x) = f (g(x)) g (x).

54 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Teorem: Kjerneregelen Anta at f (u) er deriverbar i punktet u = g(x) og g(x) er deriverbar i x. Da er den sammensatte funksjonen (f g)(x) = f (g(x)) deriverbar i x og: (f g) (x) = f (g(x)) g (x). Med notasjonen til Leibnitz: Hvis y = f (u) og u = g(x), da er: hvor dy/du evalueres i u = g(x). dy dx = dy du du dx,

55 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen

56 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen

57 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Enda en måte å skrive dette på er å sette dy/du = f (u) slik at kjerneregelen skrives d dx f (u) = f (u) du dx

58 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Enda en måte å skrive dette på er å sette dy/du = f (u) slik at kjerneregelen skrives d dx f (u) = f (u) du dx Denne notasjonen gjør det klart at for å bruke kjerneregelen til å finne den deriverte av en sammensatt funksjon f g:

59 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Enda en måte å skrive dette på er å sette dy/du = f (u) slik at kjerneregelen skrives d dx f (u) = f (u) du dx Denne notasjonen gjør det klart at for å bruke kjerneregelen til å finne den deriverte av en sammensatt funksjon f g: 1. Deriver den ytre funksjonen f (u) m.h.p. u og la den indre funksjonen u = g(x) være uendret.

60 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Enda en måte å skrive dette på er å sette dy/du = f (u) slik at kjerneregelen skrives d dx f (u) = f (u) du dx Denne notasjonen gjør det klart at for å bruke kjerneregelen til å finne den deriverte av en sammensatt funksjon f g: 1. Deriver den ytre funksjonen f (u) m.h.p. u og la den indre funksjonen u = g(x) være uendret. 2. Multipliser dette med den deriverte av den indre funksjonen g(x).

61 Parametriske kurver og ligninger

62 Parametriske kurver og ligninger Parametriske kurver går vekk fra å beskrive y direkte som en funksjon av x, y = f (x).

63 Parametriske kurver og ligninger Parametriske kurver går vekk fra å beskrive y direkte som en funksjon av x, y = f (x). Istedenfor gjøres begge variablene til funksjoner av en tredje variabel t, x = f (t) og y = g(t).

64 Parametriske kurver og ligninger Parametriske kurver går vekk fra å beskrive y direkte som en funksjon av x, y = f (x). Istedenfor gjøres begge variablene til funksjoner av en tredje variabel t, x = f (t) og y = g(t). Nyttig for å beskrive vilkårlige kurver i planet.

65 Parametriske kurver og ligninger Parametriske kurver går vekk fra å beskrive y direkte som en funksjon av x, y = f (x). Istedenfor gjøres begge variablene til funksjoner av en tredje variabel t, x = f (t) og y = g(t). Nyttig for å beskrive vilkårlige kurver i planet. Kan beskrive kurver som ikke er grafen til en funksjon fordi de krysser samme vertikale linje flere ganger.

66 Parametriske kurver og ligninger Parametriske kurver går vekk fra å beskrive y direkte som en funksjon av x, y = f (x). Istedenfor gjøres begge variablene til funksjoner av en tredje variabel t, x = f (t) og y = g(t). Nyttig for å beskrive vilkårlige kurver i planet. Kan beskrive kurver som ikke er grafen til en funksjon fordi de krysser samme vertikale linje flere ganger. t er gjerne tid og ligningene gir oss dermed posisjonen, (x, y) = (f (t), g(t)), til en partikkel ved tiden t direkte.

67 Parametriske kurver og ligninger

68 Parametriske kurver og ligninger Definisjon: Parametriske ligninger Hvis x og y er gitt som funksjoner x = f (t), y = g(t) over et intervall av t-verdier, kalles settet av punkter (x, y) = (f (t), g(t)) definert ved disse ligningene en parametrisk kurve. Ligningene er parametriske ligninger for kurven.

69 Parametriske kurver og ligninger Definisjon: Parametriske ligninger Hvis x og y er gitt som funksjoner x = f (t), y = g(t) over et intervall av t-verdier, kalles settet av punkter (x, y) = (f (t), g(t)) definert ved disse ligningene en parametrisk kurve. Ligningene er parametriske ligninger for kurven.

70 Parametriske kurver og ligninger

71 Parametriske kurver og ligninger Variabelen t er en parameter for kurven.

72 Parametriske kurver og ligninger Variabelen t er en parameter for kurven. Definisjonsmengden til t, I, kalles parameterintervallet.

73 Parametriske kurver og ligninger Variabelen t er en parameter for kurven. Definisjonsmengden til t, I, kalles parameterintervallet. Hvis I er et lukket intervall [a, b] kalles (f (a), g(a)) startpunktet og (f (b), g(b)) endepunktet.

74 Parametriske kurver og ligninger Variabelen t er en parameter for kurven. Definisjonsmengden til t, I, kalles parameterintervallet. Hvis I er et lukket intervall [a, b] kalles (f (a), g(a)) startpunktet og (f (b), g(b)) endepunktet. Når vi gir ligninger og et parameterintervall for en kurve sier vi at vi har parametrisert kurven.

75 Parametriske kurver og ligninger Variabelen t er en parameter for kurven. Definisjonsmengden til t, I, kalles parameterintervallet. Hvis I er et lukket intervall [a, b] kalles (f (a), g(a)) startpunktet og (f (b), g(b)) endepunktet. Når vi gir ligninger og et parameterintervall for en kurve sier vi at vi har parametrisert kurven. Ligningene og intervallet utgjør en parametrisering av kurven.

76 Stigningstall for parametriske kurver

77 Stigningstall for parametriske kurver En parametrisert kurve x = f (t) og y = g(t) er deriverbar i punktet t hvis f og g er deriverbare i t.

78 Stigningstall for parametriske kurver En parametrisert kurve x = f (t) og y = g(t) er deriverbar i punktet t hvis f og g er deriverbare i t. For et punkt på en deriverbar parametrisert kurve hvor y i tillegg er en deriverbar funksjon av x gir kjerneregelen: dy dt = dy dx dx dt.

79 Stigningstall for parametriske kurver En parametrisert kurve x = f (t) og y = g(t) er deriverbar i punktet t hvis f og g er deriverbare i t. For et punkt på en deriverbar parametrisert kurve hvor y i tillegg er en deriverbar funksjon av x gir kjerneregelen: Hvis dx dt dy dt = dy dx dx dt. 0 kan vi dele ligningen på dx dt og løse for dy dx.

80 Stigningstall for parametriske kurver

81 Stigningstall for parametriske kurver Formel: Stigningstall dy dx for parametriske kurver

82 Stigningstall for parametriske kurver Formel: Stigningstall dy dx Hvis dy dt, dy dx og dx dt for parametriske kurver alle eksisterer i et punkt hvor dx dt 0 er: dy dx = dy/dt dx/dt.

83 Stigningstall for parametriske kurver Formel: Stigningstall dy dx Hvis dy dt, dy dx Formel: d 2 y dx 2 og dx dt for parametriske kurver alle eksisterer i et punkt hvor dx dt 0 er: dy dx = dy/dt dx/dt. for parametriske kurver

84 Stigningstall for parametriske kurver Formel: Stigningstall dy dx Hvis dy dt, dy dx og dx dt for parametriske kurver alle eksisterer i et punkt hvor dx dt 0 er: dy dx = dy/dt dx/dt. Formel: d 2 y for parametriske kurver dx 2 Hvis ligningene x = f (t) og y = g(t) definerer y som en to ganger deriverbar funksjon av x vil det i etthvert punkt hvor dx dt 0: hvor y = dy/dx. d 2 y dx 2 = dy /dt dx/dt,