Matematikk 1 (TMA4100)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Matematikk 1 (TMA4100)"

Transkript

1 Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012

2 Den deriverte som momentan endringsrate

3 Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon fra tidligere:

4 Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon fra tidligere: Hvis vi tolker størrelsen f (x + h) f (x) h som en gjennomsnittlig endringsrate i intervallet fra x til x + h gir grenseverdien når h 0 oss ett uttrykk for den momentane endringsraten til f i punktet x.

5 Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon fra tidligere: Hvis vi tolker størrelsen f (x + h) f (x) h som en gjennomsnittlig endringsrate i intervallet fra x til x + h gir grenseverdien når h 0 oss ett uttrykk for den momentane endringsraten til f i punktet x. Definisjon: Momentan endringsrate Den momentane endringraten til f med hensyn på x i punktet x 0 er den deriverte gitt at grensen eksisterer. f f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 ) = lim, h 0 h

6 Den deriverte som momentan endringsrate

7 Den deriverte som momentan endringsrate Uttrykket "momentan endringsrate" brukes selv om den uavhengige variabelen x ikke representerer tid.

8 Den deriverte som momentan endringsrate Uttrykket "momentan endringsrate" brukes selv om den uavhengige variabelen x ikke representerer tid. Konvensjon at "endringsrate" refererer til den momentane endringsraten med mindre noe annet spesifiseres.

9 Bevegelse langs rett linje Anta at posisjonen til et objekt langs en akse, s, er gitt som funksjon av tiden t: s = f (t)

10 Bevegelse langs rett linje Anta at posisjonen til et objekt langs en akse, s, er gitt som funksjon av tiden t: s = f (t) Da er:

11 Bevegelse langs rett linje Anta at posisjonen til et objekt langs en akse, s, er gitt som funksjon av tiden t: s = f (t) Da er: Endring i posisjon på tidsintervallet t til t + t: s = f (t + t) f (t).

12 Bevegelse langs rett linje Anta at posisjonen til et objekt langs en akse, s, er gitt som funksjon av tiden t: s = f (t) Da er: Endring i posisjon på tidsintervallet t til t + t: s = f (t + t) f (t). Gjennomsnittshastigheten på dette tidsintervallet: v av = s f (t+ t) f (t) t = t.

13 Bevegelse langs rett linje Hastigheten i et tidspunkt t er gitt ved å se på grenseverdien når t 0:

14 Bevegelse langs rett linje Hastigheten i et tidspunkt t er gitt ved å se på grenseverdien når t 0: Definisjon: (Momentan)hastighet Hastighet (momentanhastighet) er den deriverte av posisjon med hensyn på tid. Hvis posisjonen til et objekt ved tiden t er gitt ved s = f (t) er hastigheten ved tiden t: v(t) = ds dt = lim f (t + t) f (t) t 0 t

15 Bevegelse langs rett linje Hastigheten i et tidspunkt t er gitt ved å se på grenseverdien når t 0: Definisjon: (Momentan)hastighet Hastighet (momentanhastighet) er den deriverte av posisjon med hensyn på tid. Hvis posisjonen til et objekt ved tiden t er gitt ved s = f (t) er hastigheten ved tiden t: Definisjon: Fart v(t) = ds dt = lim f (t + t) f (t) t 0 t Fart er absoluttverdien av hastighet: fart = v(t) = ds dt

16 Bevegelse langs rett linje

17 Bevegelse langs rett linje Definisjon: Akselerasjon Akselerasjon er den deriverte av hastighet med hensyn på tid. Hvis posisjonen til et objekt ved tiden t er gitt ved s = f (t) er akselerasjonen ved tiden t: a(t) = dv dt = d 2 s dt 2.

18 Bevegelse langs rett linje Definisjon: Akselerasjon Akselerasjon er den deriverte av hastighet med hensyn på tid. Hvis posisjonen til et objekt ved tiden t er gitt ved s = f (t) er akselerasjonen ved tiden t: Definisjon: Rykk a(t) = dv dt = d 2 s dt 2. Rykk er den deriverte av akselerasjon med hensyn på tid. Hvis posisjonen til et objekt ved tiden t er gitt ved s = f (t) er rykket ved tiden t: j(t) = da dt = d 3 s dt 3.

19 Bevegelse langs rett linje

20 Eksempel: Fritt fall Bevegelse langs rett linje

21 Bevegelse langs rett linje Eksempel: Fritt fall Anta s = f (t) = 1 2 gt2 med g = 9.8m/s 2. Da er:

22 Bevegelse langs rett linje Eksempel: Fritt fall Anta s = f (t) = 1 2 gt2 med g = 9.8m/s 2. Da er:

23 Bevegelse langs rett linje Eksempel: Fritt fall Anta s = f (t) = 1 2 gt2 med g = 9.8m/s 2. Da er: v(t) = ds dt = gt, a(t) = dv dt = g, j(t) = da dt = 0.

24 Deriverte innen økonomi

25 Deriverte innen økonomi La c(x) angi kostnaden ved å produsere x enheter.

26 Deriverte innen økonomi La c(x) angi kostnaden ved å produsere x enheter. Gjennomsnittlig kostnad per enhet ved å produsere h ekstra enheter: c(x+h) c(x) h

27 Deriverte innen økonomi La c(x) angi kostnaden ved å produsere x enheter. Gjennomsnittlig kostnad per enhet ved å produsere h ekstra enheter: c(x+h) c(x) h Marginalkostnaden er endringsraten for produksjonskostnaden med hensyn på produksjonsnivået dc dx = lim h 0 c(x + h) c(x). h

28 Deriverte innen økonomi La c(x) angi kostnaden ved å produsere x enheter. Gjennomsnittlig kostnad per enhet ved å produsere h ekstra enheter: c(x+h) c(x) h Marginalkostnaden er endringsraten for produksjonskostnaden med hensyn på produksjonsnivået dc dx = lim c(x + h) c(x). h 0 h Marginalkostnaden er i enkelte sammenhenger løst definert som kostnaden ved å produsere en ekstra enhet c x = c(x+1) c(x) 1.

29 Deriverte innen økonomi La c(x) angi kostnaden ved å produsere x enheter. Gjennomsnittlig kostnad per enhet ved å produsere h ekstra enheter: c(x+h) c(x) h Marginalkostnaden er endringsraten for produksjonskostnaden med hensyn på produksjonsnivået dc dx = lim c(x + h) c(x). h 0 h Marginalkostnaden er i enkelte sammenhenger løst definert som kostnaden ved å produsere en ekstra enhet c x = c(x+1) c(x) 1. Denne marginalkostnaden kan approksimeres av grenseverdien dc dx hvis stigningstallet til grafen til c ligner en lineær funksjon i området fra x til x + 1.

30 Deriverte innen økonomi La c(x) angi kostnaden ved å produsere x enheter. Gjennomsnittlig kostnad per enhet ved å produsere h ekstra enheter: c(x+h) c(x) h Marginalkostnaden er endringsraten for produksjonskostnaden med hensyn på produksjonsnivået dc dx = lim c(x + h) c(x). h 0 h Marginalkostnaden er i enkelte sammenhenger løst definert som kostnaden ved å produsere en ekstra enhet c x = c(x+1) c(x) 1. Denne marginalkostnaden kan approksimeres av grenseverdien dc dx hvis stigningstallet til grafen til c ligner en lineær funksjon i området fra x til x + 1. Approksimasjonen fungerer best for store verdier av x.

31 Deriverte innen økonomi La c(x) angi kostnaden ved å produsere x enheter. Gjennomsnittlig kostnad per enhet ved å produsere h ekstra enheter: c(x+h) c(x) h Marginalkostnaden er endringsraten for produksjonskostnaden med hensyn på produksjonsnivået dc dx = lim c(x + h) c(x). h 0 h Marginalkostnaden er i enkelte sammenhenger løst definert som kostnaden ved å produsere en ekstra enhet c x = c(x+1) c(x) 1. Denne marginalkostnaden kan approksimeres av grenseverdien dc dx hvis stigningstallet til grafen til c ligner en lineær funksjon i området fra x til x + 1. Approksimasjonen fungerer best for store verdier av x. Den totale kostnadsfunksjonen c(x) er ofte et kubisk polynom, αx 3 + βx 2 + γx 1 + δ, der δ er faste kostnader og resten er variable kostnader.

32 Derivasjonsregler: Trigonometriske funksjoner

33 Derivasjonsregler: Trigonometriske funksjoner Teorem: Derivasjon av trigonometriske funksjoner

34 Derivasjonsregler: Trigonometriske funksjoner Teorem: Derivasjon av trigonometriske funksjoner Den deriverte av sinus er cosinus: d (sin x) = cos x dx

35 Derivasjonsregler: Trigonometriske funksjoner Teorem: Derivasjon av trigonometriske funksjoner Den deriverte av sinus er cosinus: d (sin x) = cos x dx Den deriverte av cosinus er minus sinus: d (cos x) = sin x dx

36 Derivasjonsregler: Trigonometriske funksjoner Teorem: Derivasjon av trigonometriske funksjoner Den deriverte av sinus er cosinus: d (sin x) = cos x dx Den deriverte av cosinus er minus sinus: Den deriverte av tangens er: d (cos x) = sin x dx d 1 (tan x) = dx cos 2 x

37 Kontinuitet for trigonometriske funksjoner

38 Kontinuitet for trigonometriske funksjoner Vi vet fra før at deriverbarhet impliserer kontinuitet

39 Kontinuitet for trigonometriske funksjoner Vi vet fra før at deriverbarhet impliserer kontinuitet At de trigonometriske funksjonene er deriverbare overalt hvor de er definert gir oss umiddelbart et bevis på at de er kontinuerlige.

40 Kontinuitet for trigonometriske funksjoner Vi vet fra før at deriverbarhet impliserer kontinuitet At de trigonometriske funksjonene er deriverbare overalt hvor de er definert gir oss umiddelbart et bevis på at de er kontinuerlige. Følgelig kan grenseverdiene til algebraiske kombinasjoner og sammensetninger av trigonometriske funksjoner regnes ut direkte ved å evaluere uttrykket i punktet hvor vi skal finne grenseverdien.

41 Kontinuitet for trigonometriske funksjoner Vi vet fra før at deriverbarhet impliserer kontinuitet At de trigonometriske funksjonene er deriverbare overalt hvor de er definert gir oss umiddelbart et bevis på at de er kontinuerlige. Følgelig kan grenseverdiene til algebraiske kombinasjoner og sammensetninger av trigonometriske funksjoner regnes ut direkte ved å evaluere uttrykket i punktet hvor vi skal finne grenseverdien.

42 Kontinuitet for trigonometriske funksjoner Vi vet fra før at deriverbarhet impliserer kontinuitet At de trigonometriske funksjonene er deriverbare overalt hvor de er definert gir oss umiddelbart et bevis på at de er kontinuerlige. Følgelig kan grenseverdiene til algebraiske kombinasjoner og sammensetninger av trigonometriske funksjoner regnes ut direkte ved å evaluere uttrykket i punktet hvor vi skal finne grenseverdien. Eksempel: lim x 0 5 tan(x + π 4 cos x) 2 + cos 2 x = 5 tan(0 + π 4 cos 0) 2 + cos 2 0 = 5 tan( π 4 ) = 5 1 = = 5 tan(0 + π 4 1)

43 Derivasjon av sammensatte funksjoner - Kjerneregelen

44 Derivasjon av sammensatte funksjoner - Kjerneregelen Hvordan deriverer vi en sammensatt funksjon F (x) = (f g)(x) = f (g(x))?

45 Derivasjon av sammensatte funksjoner - Kjerneregelen Hvordan deriverer vi en sammensatt funksjon F (x) = (f g)(x) = f (g(x))? Eksempel: Lineær funksjon

46 Derivasjon av sammensatte funksjoner - Kjerneregelen Hvordan deriverer vi en sammensatt funksjon F (x) = (f g)(x) = f (g(x))? Eksempel: Lineær funksjon Vi kan betrakte funksjonen y = F (x) = 5 2 x = 5( 1 2 x) som F (x) = (f g)(x) = f (g(x)) med y = f (u) = 5u og u = g(x) = 1 2 x.

47 Derivasjon av sammensatte funksjoner - Kjerneregelen Hvordan deriverer vi en sammensatt funksjon F (x) = (f g)(x) = f (g(x))? Eksempel: Lineær funksjon Vi kan betrakte funksjonen y = F (x) = 5 2 x = 5( 1 2x) som F (x) = (f g)(x) = f (g(x)) med y = f (u) = 5u og u = g(x) = 1 2 x. Da har vi: dy dx = 5 2, dy du = 5, og du dx = 1 2.

48 Derivasjon av sammensatte funksjoner - Kjerneregelen Hvordan deriverer vi en sammensatt funksjon F (x) = (f g)(x) = f (g(x))? Eksempel: Lineær funksjon Vi kan betrakte funksjonen y = F (x) = 5 2 x = 5( 1 2x) som F (x) = (f g)(x) = f (g(x)) med y = f (u) = 5u og u = g(x) = 1 2 x. Da har vi: Vi ser dermed at: i dette tilfellet. dy dx = 5 2, dy du = 5, og du dx = 1 2. dy dx = dy du du dx,

49 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Teorem: Kjerneregelen

50 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Teorem: Kjerneregelen Anta at f (u) er deriverbar i punktet u = g(x) og g(x) er deriverbar i x.

51 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Teorem: Kjerneregelen Anta at f (u) er deriverbar i punktet u = g(x) og g(x) er deriverbar i x. Da er den sammensatte funksjonen (f g)(x) = f (g(x)) deriverbar i x og:

52 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Teorem: Kjerneregelen Anta at f (u) er deriverbar i punktet u = g(x) og g(x) er deriverbar i x. Da er den sammensatte funksjonen (f g)(x) = f (g(x)) deriverbar i x og: (f g) (x) = f (g(x)) g (x).

53 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Teorem: Kjerneregelen Anta at f (u) er deriverbar i punktet u = g(x) og g(x) er deriverbar i x. Da er den sammensatte funksjonen (f g)(x) = f (g(x)) deriverbar i x og: Med notasjonen til Leibnitz: (f g) (x) = f (g(x)) g (x).

54 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Teorem: Kjerneregelen Anta at f (u) er deriverbar i punktet u = g(x) og g(x) er deriverbar i x. Da er den sammensatte funksjonen (f g)(x) = f (g(x)) deriverbar i x og: (f g) (x) = f (g(x)) g (x). Med notasjonen til Leibnitz: Hvis y = f (u) og u = g(x), da er: hvor dy/du evalueres i u = g(x). dy dx = dy du du dx,

55 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen

56 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen

57 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Enda en måte å skrive dette på er å sette dy/du = f (u) slik at kjerneregelen skrives d dx f (u) = f (u) du dx

58 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Enda en måte å skrive dette på er å sette dy/du = f (u) slik at kjerneregelen skrives d dx f (u) = f (u) du dx Denne notasjonen gjør det klart at for å bruke kjerneregelen til å finne den deriverte av en sammensatt funksjon f g:

59 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Enda en måte å skrive dette på er å sette dy/du = f (u) slik at kjerneregelen skrives d dx f (u) = f (u) du dx Denne notasjonen gjør det klart at for å bruke kjerneregelen til å finne den deriverte av en sammensatt funksjon f g: 1. Deriver den ytre funksjonen f (u) m.h.p. u og la den indre funksjonen u = g(x) være uendret.

60 Derivasjon av sammensatte funksjoner - kjerneregelen Enda en måte å skrive dette på er å sette dy/du = f (u) slik at kjerneregelen skrives d dx f (u) = f (u) du dx Denne notasjonen gjør det klart at for å bruke kjerneregelen til å finne den deriverte av en sammensatt funksjon f g: 1. Deriver den ytre funksjonen f (u) m.h.p. u og la den indre funksjonen u = g(x) være uendret. 2. Multipliser dette med den deriverte av den indre funksjonen g(x).

61 Parametriske kurver og ligninger

62 Parametriske kurver og ligninger Parametriske kurver går vekk fra å beskrive y direkte som en funksjon av x, y = f (x).

63 Parametriske kurver og ligninger Parametriske kurver går vekk fra å beskrive y direkte som en funksjon av x, y = f (x). Istedenfor gjøres begge variablene til funksjoner av en tredje variabel t, x = f (t) og y = g(t).

64 Parametriske kurver og ligninger Parametriske kurver går vekk fra å beskrive y direkte som en funksjon av x, y = f (x). Istedenfor gjøres begge variablene til funksjoner av en tredje variabel t, x = f (t) og y = g(t). Nyttig for å beskrive vilkårlige kurver i planet.

65 Parametriske kurver og ligninger Parametriske kurver går vekk fra å beskrive y direkte som en funksjon av x, y = f (x). Istedenfor gjøres begge variablene til funksjoner av en tredje variabel t, x = f (t) og y = g(t). Nyttig for å beskrive vilkårlige kurver i planet. Kan beskrive kurver som ikke er grafen til en funksjon fordi de krysser samme vertikale linje flere ganger.

66 Parametriske kurver og ligninger Parametriske kurver går vekk fra å beskrive y direkte som en funksjon av x, y = f (x). Istedenfor gjøres begge variablene til funksjoner av en tredje variabel t, x = f (t) og y = g(t). Nyttig for å beskrive vilkårlige kurver i planet. Kan beskrive kurver som ikke er grafen til en funksjon fordi de krysser samme vertikale linje flere ganger. t er gjerne tid og ligningene gir oss dermed posisjonen, (x, y) = (f (t), g(t)), til en partikkel ved tiden t direkte.

67 Parametriske kurver og ligninger

68 Parametriske kurver og ligninger Definisjon: Parametriske ligninger Hvis x og y er gitt som funksjoner x = f (t), y = g(t) over et intervall av t-verdier, kalles settet av punkter (x, y) = (f (t), g(t)) definert ved disse ligningene en parametrisk kurve. Ligningene er parametriske ligninger for kurven.

69 Parametriske kurver og ligninger Definisjon: Parametriske ligninger Hvis x og y er gitt som funksjoner x = f (t), y = g(t) over et intervall av t-verdier, kalles settet av punkter (x, y) = (f (t), g(t)) definert ved disse ligningene en parametrisk kurve. Ligningene er parametriske ligninger for kurven.

70 Parametriske kurver og ligninger

71 Parametriske kurver og ligninger Variabelen t er en parameter for kurven.

72 Parametriske kurver og ligninger Variabelen t er en parameter for kurven. Definisjonsmengden til t, I, kalles parameterintervallet.

73 Parametriske kurver og ligninger Variabelen t er en parameter for kurven. Definisjonsmengden til t, I, kalles parameterintervallet. Hvis I er et lukket intervall [a, b] kalles (f (a), g(a)) startpunktet og (f (b), g(b)) endepunktet.

74 Parametriske kurver og ligninger Variabelen t er en parameter for kurven. Definisjonsmengden til t, I, kalles parameterintervallet. Hvis I er et lukket intervall [a, b] kalles (f (a), g(a)) startpunktet og (f (b), g(b)) endepunktet. Når vi gir ligninger og et parameterintervall for en kurve sier vi at vi har parametrisert kurven.

75 Parametriske kurver og ligninger Variabelen t er en parameter for kurven. Definisjonsmengden til t, I, kalles parameterintervallet. Hvis I er et lukket intervall [a, b] kalles (f (a), g(a)) startpunktet og (f (b), g(b)) endepunktet. Når vi gir ligninger og et parameterintervall for en kurve sier vi at vi har parametrisert kurven. Ligningene og intervallet utgjør en parametrisering av kurven.

76 Stigningstall for parametriske kurver

77 Stigningstall for parametriske kurver En parametrisert kurve x = f (t) og y = g(t) er deriverbar i punktet t hvis f og g er deriverbare i t.

78 Stigningstall for parametriske kurver En parametrisert kurve x = f (t) og y = g(t) er deriverbar i punktet t hvis f og g er deriverbare i t. For et punkt på en deriverbar parametrisert kurve hvor y i tillegg er en deriverbar funksjon av x gir kjerneregelen: dy dt = dy dx dx dt.

79 Stigningstall for parametriske kurver En parametrisert kurve x = f (t) og y = g(t) er deriverbar i punktet t hvis f og g er deriverbare i t. For et punkt på en deriverbar parametrisert kurve hvor y i tillegg er en deriverbar funksjon av x gir kjerneregelen: Hvis dx dt dy dt = dy dx dx dt. 0 kan vi dele ligningen på dx dt og løse for dy dx.

80 Stigningstall for parametriske kurver

81 Stigningstall for parametriske kurver Formel: Stigningstall dy dx for parametriske kurver

82 Stigningstall for parametriske kurver Formel: Stigningstall dy dx Hvis dy dt, dy dx og dx dt for parametriske kurver alle eksisterer i et punkt hvor dx dt 0 er: dy dx = dy/dt dx/dt.

83 Stigningstall for parametriske kurver Formel: Stigningstall dy dx Hvis dy dt, dy dx Formel: d 2 y dx 2 og dx dt for parametriske kurver alle eksisterer i et punkt hvor dx dt 0 er: dy dx = dy/dt dx/dt. for parametriske kurver

84 Stigningstall for parametriske kurver Formel: Stigningstall dy dx Hvis dy dt, dy dx og dx dt for parametriske kurver alle eksisterer i et punkt hvor dx dt 0 er: dy dx = dy/dt dx/dt. Formel: d 2 y for parametriske kurver dx 2 Hvis ligningene x = f (t) og y = g(t) definerer y som en to ganger deriverbar funksjon av x vil det i etthvert punkt hvor dx dt 0: hvor y = dy/dx. d 2 y dx 2 = dy /dt dx/dt,

Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet

Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet 1 Fremdriftplan I går 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet I dag 2.7 Tangenter og derivasjon 3.1 Den deriverte til en funksjon 3.2 Derivasjonsregler 3.3 Den deriverte som endringsrate

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne

Detaljer

TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven

TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.

Detaljer

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Kontinuitet og derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 25. august 2010 2 Dagens pensum I dag vil vi se på følgende: Kontinuerlige funksjoner Den deriverte

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, øst 2013 Forelesning 7 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7 Derivasjon Denne uken skal vi begynne på tema 2 om derivasjon. I dagens forelesning skal vi se på

Detaljer

Den deriverte og derivasjonsregler

Den deriverte og derivasjonsregler Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.

Detaljer

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der:

Oppgave 2 Løs oppgavene I og II, og kryss av det alternativet (a, b eller c) som passer best. En funksjon er ikke deriverbar der: Oppgave a) Si kort hva deriverte til en funksjon forteller oss. Hva handler deriverbarhet om? b) Er f (x) = deriverbar for alle reelle x-verdier? x Bestem deriverte til f i sin definisjonsmengde. c) Tegn

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning

Detaljer

MA oppsummering så langt

MA oppsummering så langt MA1101 - oppsummering så langt Torsdag 29. september 2005 http://www.math.ntnu.no/emner/ma1101/2005h/ MA1101- oppsummering så langt p.1/21 Pensum til semesterprøven Kapittel P Kapittel 1 Kapittel 2: avsnittene

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er

Detaljer

Matematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag

Matematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag Matematikk 1 Oversiktsforelesning Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag November 25, 2009 LS (IMF) tma4100rep November 25, 2009 1 / 21 Matematikk 1 Hovedperson Relle funksjoner

Detaljer

1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii)

1 MAT100 Obligatorisk innlevering 1. 1 Regn ut i) iii) ii) Regn ut i) ii) 1 MAT1 Obligatorisk innlevering 1 1 Regn ut 3 7 + 1 2. i) 13 14 ii) 11 14 iii) 9 14 2 Regn ut 8 9 + 3 4. i) 57 36 ii) 59 36 iii) 61 36 3 Regn ut 1 4 + 1 8. i) 3 16 ii) 3 8 iii) 5 8 4 Regn ut 1 8 + 1 16.

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 4: Grenseverdi (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 20. august, 2012 Formell definisjon av grenseverdi Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon

Detaljer

TMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016

TMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 TMA4105 Notat om skalarfelt Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 Innhold 1 Grenseverdier og kontinuitet 2 2 Derivasjon av skalarfelt 5 2.1 Partiellderivert og gradient..................................

Detaljer

Fremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier

Fremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier 1 Fremdriftplan Siste uke Kap. 1 Funksjoner 2.1-2.2 Grenseverdier I dag 2.3 Den formelle definisjonen av grenseverdi 2.4 Ensidige grenser og grenser i uendelig 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter

Detaljer

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,

Detaljer

Volum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Volum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Volum Lengde Areal Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 4. oktober 011 Kapittel 6.. Volum ved sylindriske skall 3 Skall-metoden z = g(x) 1 1 1 1 3 1 1 3 z

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 10 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 10 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Antideriverte. 2 Differensiallikninger

Detaljer

. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sin θ = 3

. Følgelig er csc 1 ( 2) = π 4. sin θ = 3 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 00 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 3.7 99 Vi deriverer to ganger: = A cos (ln ) B sin (ln ) = A cos (ln ) A sin (ln ) + B sin (ln ) B cos (ln

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)

Detaljer

MAT jan jan feb MAT Våren 2010

MAT jan jan feb MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis

Detaljer

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner)

Detaljer

MA1103. Partiellderivert, derivert og linearisering

MA1103. Partiellderivert, derivert og linearisering MA1103 4/2 2013 Partiellderivert, derivert og linearisering Partiellderivert i en koordinatretning: Tenk på alle de andre variablene som konstanter. f : A R n R m, a = (a 1,..., a n ) A f 1 f x 1 (a)...

Detaljer

1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = 100. y(1+2 x ) = = 2 x = y. xln2 = ln 100 y. x = 1 ln2 ln. f 1 (x) = 1 ln2 ln x

1+2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y = 100. y(1+2 x ) = = 2 x = y. xln2 = ln 100 y. x = 1 ln2 ln. f 1 (x) = 1 ln2 ln x NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt.5 59 a) Vi skal invertere y f(x) 00 +2 x, dvs. løse ligningen mhp. x. y 00 +2 x y(+2 x ) 00 2 x 00 00 y y

Detaljer

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100 Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl. 9.00-.00 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første

Detaljer

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom

Detaljer

Vår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 2. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag

Vår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 2. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA415 Matematikk 2 Vår 217 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 11.1.9: Den aktuelle kurven er gitt ved r(t) (3 cos t, 4 cos t, 5 sin t).

Detaljer

Vi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3.

Vi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3. TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 2. september 2010 2 Fremdriftplan I går 3.6 Implisitt derivasjon 3.7 Derivasjon

Detaljer

MAT mars mars mars 2010 MAT Våren 2010

MAT mars mars mars 2010 MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag Forelesning Vi har tidligere integrert funksjoner langs x-aksen, og vi har integrert funksjoner i flere variable over begrensede områder i xy-planet. I denne forelesningen skal

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag Onsdag 9. mai, kl. 9. 4. Bokmål Oppgave a) La R være området mellom kurvene Finn

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 20 2 Stigende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis

Detaljer

Løsningsforslag, Øving 10 MA0001 Brukerkurs i Matematikk A

Løsningsforslag, Øving 10 MA0001 Brukerkurs i Matematikk A Løsningsforslag, Øving MA Brukerkurs i Matematikk A Læreboka s. 9-95 8. Anta at en endring i biomasse B(t) vei, t [, ], følger ligningen for t. d B(t) = cos ( ) πt 6 (a) Tegn grafen til d B(t) som funksjon

Detaljer

Kap : Derivasjon 1.

Kap : Derivasjon 1. Ukeoppgaver, uke 36, i Matematikk 0, Kap. 3.-3.4: Derivasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 36 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/ing/allmennfag/emnesider/rea042

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis

Detaljer

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100, H-06

Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100, H-06 Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT, H-6. ( poeng) Det komplekse tallet z har polarkoordinater r = 4, θ = π 4. Da er z lik: + i + i + i i + i Riktig svar: c) + i Begrunnelse: z = r(cos θ + i sin

Detaljer

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk vår 9 Løsningsforslag til eksamen.5.9 Gitt f(, y) = + +y. a) Vi regner ut f = f y = + + y ( + + y ) = + + y

Detaljer

Stigende og avtagende funksjoner Definisjon. Horisontal og vertikal forskyvning. Trigonometriske funksjoner

Stigende og avtagende funksjoner Definisjon. Horisontal og vertikal forskyvning. Trigonometriske funksjoner Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA00 Hans Jako Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 0 Stigende og avtagende funksjoner En funksjon f kalles stigende på intervallet I vis f (x ) < f (x )

Detaljer

Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. august 2010 Induksjon Pensumlitteratur: Notat 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger.

Detaljer

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1 EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.

Detaljer

Fasit, Kap : Derivasjon 2.

Fasit, Kap : Derivasjon 2. Ukeoppgaver, uke 37, i Matematikk 10, Kap. 3.5-3.8: Derivasjon. 1 Fasit, Kap. 3.5-3.8: Derivasjon. Oppgave 1 a) f (x) =x. Denne eksisterer over alt (det er vanligvis punkter med null i nevner som kan skaffe

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2012

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2012 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 202 Løsningsforslag til teknostartøving a) Denisjonsmengden til f() = 3 er D f (, ), som gir at V f (,

Detaljer

MAT jan jan jan MAT Våren 2010

MAT jan jan jan MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA400 Matematikk, høst 203 Forelesning 2 www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2 Transcendentale funksjoner I dagens forelesning skal vi se på følgende: Den naturlige logaritmen. 2 Eksponensialfunksjoner.

Detaljer

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:

Detaljer

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36 MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)

Detaljer

11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER

11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER 11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER FREDRIK THOMMESEN Contents 1. Funksjoner av flere variabler 1 1.1. Funksjoner av to variabler 1 1.2. Partielle deriverte med to variabler 2 1.3. Geometrisk representasjon

Detaljer

Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 13. september 2011 Kapittel 4.3. Monotone funksjoner og førstederivasjons-testen

Detaljer

Notasjon i rettingen:

Notasjon i rettingen: UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 07 Notasjon i rettingen: R = Rett R = Rett, men med liten tulle)feil

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36. Oppgaver til seminaret 8/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36. Oppgaver til seminaret 8/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag : OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 8/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar

Detaljer

= x lim n n 2 + 2n + 4

= x lim n n 2 + 2n + 4 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten

Detaljer

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2 TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2, Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)

Detaljer

Flere anvendelser av derivasjon

Flere anvendelser av derivasjon Flere anvendelser av derivasjon Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 30, 2014 Forelesning 17.09.2014 Fikspunkt-iterasjon Newtons metode Metoder for å finne nullpunkter av funksjoner:

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06 Løsningsforslag til eksamen i MAT, H6 DEL. poeng Hva er den partiellderiverte f z xyz cosxyz x sinyz + xyz cosyz xy cosyz x sinyz + xz cosyz cosyz xyz sinyz når fx, y, z = xz sinyz? Riktig svar b: x sinyz

Detaljer

Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema

Detaljer

arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. oktober 2011 Kapittel 6.6. Arbeid 3 Arbeid definisjon Definisjon (Arbeid

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker 3 i 3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 3 i Løs likningen

Detaljer

Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at

Detaljer

Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. september 2011 Kapittel 4.7. Newtons metode 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsningsforslag Øving 04 30 For å vise at f er en injektiv one-to-one funksjon, ser vi på den deriverte,

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38. Oppgaver til gruppene uke 39

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38. Oppgaver til gruppene uke 39 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 38 Oppgaver til seminaret 23/9 (Tall i blått angir utgave 6, tall i rødt angir utgave 7.) Avsn. 2.7: 15(11), 21(31)(27) Avsn. 2.8: 5, 17(2.8.13)(2.6.13) Avsn. 2.10: 12, 29, 39

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 38. Oppgaver til gruppene uke 39

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 38. Oppgaver til gruppene uke 39 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 38 Oppgaver til seminaret 22/9 (Tall i blått angir utgave 6, tall i rødt angir utgave 7.) Avsn. 2.7: 15(11), 21(31)(27) Avsn. 2.8: 5, 17(2.8.13)(2.6.13) Avsn. 2.10: 12, 29, 39

Detaljer

dx = 1 1 )dx = 3 y= x . Tangentplanet til hyperboloiden i (2, 1, 3) er derfor gitt ved x 2, y 1, z 3 = 0 x 2 + 2(y 1) 2 (z 3) = 0 x + 2y 2z 3 = 2

dx = 1 1 )dx = 3 y= x . Tangentplanet til hyperboloiden i (2, 1, 3) er derfor gitt ved x 2, y 1, z 3 = 0 x 2 + 2(y 1) 2 (z 3) = 0 x + 2y 2z 3 = 2 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA415 Matematikk vår 9 øsningsforslag til eksamen 15. august 9 1 Treghetsmoment med hensyn på x-aksen er gitt ved x [ ] y I

Detaljer

Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon

Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon Marie Vaksvik Draagen, Anne Line Kjærgård og Cecilie Anine Thorsen 20. mars 2014 1 Innhold 1 Introduksjon 3 1.1 Oppgavebeskrivelse................................. 3

Detaljer

r(t) = 3 cos t i + 4 cos t j + 5 sin t k. Hastigheten er simpelthen den tidsderiverte av posisjonen: r(t) = 2t i + t j + 4t 2 k.

r(t) = 3 cos t i + 4 cos t j + 5 sin t k. Hastigheten er simpelthen den tidsderiverte av posisjonen: r(t) = 2t i + t j + 4t 2 k. TMA415 Matematikk 2 Vår 215 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 3 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus: A

Detaljer

(t) = [ 2 cos t, 2 sin t, 0] = 4. Da z = 2(1 + t) blir kurva C en helix/ei skruelinje på denne flata (se fig side 392).

(t) = [ 2 cos t, 2 sin t, 0] = 4. Da z = 2(1 + t) blir kurva C en helix/ei skruelinje på denne flata (se fig side 392). Ma - Løsningsforslag til uke 5 i 7 Eks. mai 994 oppgave Romkurva er parametrisert for t [, π] ved r (t) = [ + cos t, + sin t, + t ] Hastighets- og akselerasjonsvektorene blir v = r (t) = [ sin t, cos t,

Detaljer

MA0003-8. forelesning

MA0003-8. forelesning Implisitt derivasjon og 31. august 2009 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2

Detaljer

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 Innleveringsfrist: Mandag 26. september 2016, kl. 14, i Infosenterskranken i inngangsetasjen

Detaljer

TMA4100 Matematikk1 Høst 2008

TMA4100 Matematikk1 Høst 2008 TMA400 Matematikk Høst 008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 4 4..3 Vi skal finne absolutt maksimum og absolutt minimum verdiene for funksjonen

Detaljer

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel

Detaljer

Trasendentale funksjoner

Trasendentale funksjoner Trasendentale funksjoner Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 9, 2014 Kap. 3.1 og 3.2. Forelesning 8. September. Inverse funksjoner, definisjon og eksistens Deriverte av inverse

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning)

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: REA4 EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL

Detaljer

y = x y, y 2 x 2 = c,

y = x y, y 2 x 2 = c, TMA415 Matematikk Vår 17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

Plan. I dag. Neste uke

Plan. I dag. Neste uke Plan I dag Referansegruppe... Ta opp igjen kurvelengde Areal bestemt av en kurve En annen måte å beskrive punkt i planet Kurver med denne beskrivelsen Tangenter, kurvelengde og areal Neste uke Kjeglesnitt

Detaljer

ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN

ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN NOTAT OM FUNKSJONER AV FLERE VARIABLE VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN Dette notatet inneholder ikke noe nytt pensum i kurset MAT112 i forhold til læreboken

Detaljer

Løysingsforslag Eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen, Hausten 2016

Løysingsforslag Eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen, Hausten 2016 Løysingsforslag Eksamen MAT Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen, Hausten 26 OPPGÅVE Det komplekse talet z = 3 i tilsvarar punktet eller vektoren Rez, Imz) = 3, ) i det komplekse planet, som

Detaljer

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29

NTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29 MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2010

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2010 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 200 2 Funksjon som en maskin x Funksjon f f(x) 3 Definisjon- og verdimengde x f(x) 4 Funksjon som en

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001)

Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA1) Bokmål Tirsdag 1. desember 11 Tid: 9: 1: (4 timer)

Detaljer

Repitisjon av Diverse Emner

Repitisjon av Diverse Emner NTNU December 15, 2012 Oversikt 1 2 3 4 5 Å substituere x med en trigonometrisk funksjon, gjør det mulig å evaluere integral av typen I = dx a 2 +x 2 I = dx a 2 +x 2 I = dx a 2 x 2 der a er en positiv

Detaljer

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009 TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +

Detaljer

e x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2

e x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),

Detaljer

Kalkulus 1. Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger.

Kalkulus 1. Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger. Kalkulus 1 Grenser Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger. Vi sier at funksjonen f(x) har en grense f(a)

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i Matematikk II Torsdag 4. juni 05, kl. 09:00-4:00 Bokmål Tillatte hjelpemiddel: Enkel kalkulator i samsvar

Detaljer

Ubestemt integrasjon.

Ubestemt integrasjon. Ukeoppgaver, uke 4, i Matematikk 0, Ubestemt integrasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 4 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea04

Detaljer